Sense

1. by means of, by virtue of, by the aid of
2. on account of, for the sake of, as to

Examples

• ὅντε διὰ βροτοὶ ἄνδρες ὁμῶς ἄφατοί τε φατοί τε, ῥητοί τ ἄρρητοί τε Διὸς μεγάλοιο ἕκητι. (Hesiod, Works and Days, Book WD 2:2)
• εἰ μὲν θνητή τ ἐσσι, γυνὴ δέ σε γείνατο μήτηρ, Ὀτρεὺς δ ἐστὶ πατὴρ ὀνομακλυτός, ὡς ἀγορεύεις, ἀθανάτου δὲ ἕκητι διακτόρου ἐνθάδ ἱκάνεις Ἑρμέω, ἐμὴ δ ἄλοχος κεκλήσεαι ἤματα πάντα: (Anonymous, Homeric Hymns, 14:1)
• ὃ δ ἀέξετο πατρὸς ἕκητι ἄντρῳ ἐν εὐώδει μεταρίθμιος ἀθανάτοισιν. (Anonymous, Homeric Hymns, 2:2)
• Φλίας δ αὖτ ἐπὶ τοῖσιν Ἀραιθυρέηθεν ἵκανεν, ἔνθ ἀφνειὸς ἔναιε Διωνύσοιο ἕκητι, πατρὸς ἑοῦ, πηγῇσιν ἐφέστιος Ἀσωποῖο. (Apollodorus, Argonautica, book 1 3:6)
• τῶ οὐκ ἂν δηναιὸν ἐχοίμεθα τοῖο ἕκητι ναυτιλίης, ὅτε μοῦνον ἐπιπνεύσουσιν ἀῆται. (Apollodorus, Argonautica, book 1 7:12)

Source: Henry George Liddell. Robert Scott. "A Greek-English Lexicon". revised and augmented throughout by. Sir Henry Stuart Jones.