헬라어 문장 검색 - Ευξλιδ́Ελεμεντ́10́6́0́

(유클리드, Elements, book 10, type Prop 3)

Εὑρεῖν τὴν πρώτην ἀποτομήν. Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Α, καὶ τῇ Α μήκει σύμμετροσ ἔστω ἡ ΒΗ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΗ. καὶ ἐκκείσθωσαν δύο τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ ΔΕ, ΕΖ, ὧν ἡ ὑπεροχὴ ὁ ΖΔ μὴ ἔστω τετράγωνοσ· οὐδ’ ἄρα ὁ ΕΔ πρὸσ τὸν ΔΖ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν. καὶ πεποιήσθω ὡσ ὁ ΕΔ πρὸσ τὸν ΔΖ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΗ τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΓ τετράγωνον· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΗ τῷ ἀπὸ τῆσ ΗΓ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΗ· ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΓ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΗΓ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΕΔ πρὸσ τὸν ΔΖ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδ’ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΓ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ ΗΓ μήκει. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ΒΗ, ΗΓ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἡ ἄρα ΒΓ ἀποτομή ἐστιν. Λέγω δή, ὅτι καὶ πρώτη. Ωἷ γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΗ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΗΓ, ἔστω τὸ ἀπὸ τῆσ Θ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ὁ ΕΔ πρὸσ τὸν ΖΔ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΓ, καὶ ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡσ ὁ ΔΕ πρὸσ τὸν ΕΖ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΒ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Θ. ὁ δὲ ΔΕ πρὸσ τὸν ΕΖ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· ἑκάτεροσ γὰρ τετράγωνόσ ἐστιν· καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΒ ἄρα πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Θ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· σύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ Θ μήκει. καὶ δύναται ἡ ΒΗ τῆσ ΗΓ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆσ Θ· ἡ ΒΗ ἄρα τῆσ ΗΓ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει. καί ἐστιν ἡ ὅλη ἡ ΒΗ σύμμετροσ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ Α. ἡ ΒΓ ἄρα ἀποτομή ἐστι πρώτη. Εὑρ́ηται ἄρα ἡ πρώτη ἀποτομὴ ἡ ΒΓ· ὅπερ ἔδει εὑρεῖν. Εὑρεῖν τὴν δευτέραν ἀποτομήν. Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Α καὶ τῇ Α σύμμετροσ μήκει ἡ ΗΓ. ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΓ. καὶ ἐκκείσθωσαν δύο τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ ΔΕ, ΕΖ, ὧν ἡ ὑπεροχὴ ὁ ΔΖ μὴ ἔστω τετράγωνοσ. καὶ πεποιήσθω ὡσ ὁ ΖΔ πρὸσ τὸν ΔΕ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΓΗ τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΒ τετράγωνον. σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΓΗ τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆσ ΗΒ τετραγώνῳ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΓ. ῥητὸν ἄρα [ἐστὶ] καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΒ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΓ τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΒ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν, ἀσύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΓΗ τῇ ΗΒ μήκει. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ΓΗ, ΗΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἡ ΒΓ ἄρα ἀποτομή ἐστιν. Λέγω δή, ὅτι καὶ δευτέρα. Ωἷ γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΗ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΗΓ, ἔστω τὸ ἀπὸ τῆσ Θ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΓ, οὕτωσ ὁ ΕΔ ἀριθμὸσ πρὸσ τὸν ΔΖ ἀριθμόν, ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Θ, οὕτωσ ὁ ΔΕ πρὸσ τὸν ΕΖ. καί ἐστιν ἑκάτεροσ τῶν ΔΕ, ΕΖ τετράγωνοσ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆσ ΒΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Θ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· σύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ Θ μήκει. καὶ δύναται ἡ ΒΗ τῆσ ΗΓ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆσ Θ· ἡ ΒΗ ἄρα τῆσ ΗΓ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει. καί ἐστιν ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΓΗ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ σύμμετροσ τῇ Α. ἡ ΒΓ ἄρα ἀποτομή ἐστι δευτέρα. Εὑρ́ηται ἄρα δευτέρα ἀποτομὴ ἡ ΒΓ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εὑρεῖν τὴν τρίτην ἀποτομήν. Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Α, καὶ ἐκκείσθωσαν τρεῖσ ἀριθμοὶ οἱ Ε, ΒΓ, ΓΔ λόγον μὴ ἔχοντεσ πρὸσ ἀλλήλουσ, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν, ὁ δὲ ΓΒ πρὸσ τὸν ΒΔ λόγον ἐχέτω, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν, καὶ πεποιήσθω ὡσ μὲν ὁ Ε πρὸσ τὸν ΒΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ Α τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ τετράγωνον, ὡσ δὲ ὁ ΒΓ πρὸσ τὸν ΓΔ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΘ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡσ ὁ Ε πρὸσ τὸν ΒΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ Α τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ τετράγωνον, σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ Α τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆσ ΖΗ τετραγώνῳ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆσ Α τετράγωνον. ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ. καὶ ἐπεὶ ὁ Ε πρὸσ τὸν ΒΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδ’ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ Α τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ [τετράγωνον] λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ Α τῇ ΖΗ μήκει. πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡσ ὁ ΒΓ πρὸσ τὸν ΓΔ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΘ, σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ τῷ ἀπὸ τῆσ ΗΘ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ· ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΘ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΒΓ πρὸσ τὸν ΓΔ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδ’ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΘ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΗΘ μήκει. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ΖΗ, ΗΘ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΘ. Λέγω δή, ὅτι καὶ τρίτη. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡσ μὲν ὁ Ε πρὸσ τὸν ΒΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ Α τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ, ὡσ δὲ ὁ ΒΓ πρὸσ τὸν ΓΔ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΘΗ, δι’ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡσ ὁ Ε πρὸσ τὸν ΓΔ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ Α πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΘΗ. ὁ δὲ Ε πρὸσ τὸν ΓΔ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· οὐδ’ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ Α πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΘ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετροσ ἄρα ἡ Α τῇ ΗΘ μήκει. οὐδετέρα ἄρα τῶν ΖΗ, ΗΘ σύμμετρόσ ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ Α μήκει. ᾧ οὖν μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΗΘ, ἔστω τὸ ἀπὸ τῆσ Κ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡσ ὁ ΒΓ πρὸσ τὸν ΓΔ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΘ, ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡσ ὁ ΒΓ πρὸσ τὸν ΒΔ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Κ. ὁ δὲ ΒΓ πρὸσ τὸν ΒΔ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ ἄρα πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Κ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν. σύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ Κ μήκει, καὶ δύναται ἡ ΖΗ τῆσ ΗΘ μεῖζον τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ. καὶ οὐδετέρα τῶν ΖΗ, ΗΘ σύμμετρόσ ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ Α μήκει· ἡ ΖΘ ἄρα ἀποτομή ἐστι τρίτη. Εὑρ́ηται ἄρα ἡ τρίτη ἀποτομὴ ἡ ΖΘ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εὑρεῖν τὴν τετάρτην ἀποτομήν. Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Α καὶ τῇ Α μήκει σύμμετροσ ἡ ΒΗ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΗ. καὶ ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΔΖ, ΖΕ, ὥστε τὸν ΔΕ ὅλον πρὸσ ἑκάτερον τῶν ΔΖ, ΕΖ λόγον μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν. καὶ πεποιήσθω ὡσ ὁ ΔΕ πρὸσ τὸν ΕΖ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΗ τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΓ. σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΗ τῷ ἀπὸ τῆσ ΗΓ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΗ· ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΓ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΓ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΔΕ πρὸσ τὸν ΕΖ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδ’ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΓ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ ΗΓ μήκει. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ΒΗ, ΗΓ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ. [Λέγω δή, ὅτι καὶ τετάρτη]. Ωἷ οὖν μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΗ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΗΓ, ἔστω τὸ ἀπὸ τῆσ Θ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡσ ὁ ΔΕ πρὸσ τὸν ΕΖ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΓ, καὶ ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡσ ὁ ΕΔ πρὸσ τὸν ΔΖ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΒ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Θ. ὁ δὲ ΕΔ πρὸσ τὸν ΔΖ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· οὐδ’ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΒ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Θ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ Θ μήκει. καὶ δύναται ἡ ΒΗ τῆσ ΗΓ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆσ Θ· ἡ ἄρα ΒΗ τῆσ ΗΓ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. καί ἐστιν ὅλη ἡ ΒΗ σύμμετροσ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ Α. ἡ ἄρα ΒΓ ἀποτομή ἐστι τετάρτη. Εὑρ́ηται ἄρα ἡ τετάρτη ἀποτομή· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εὑρεῖν τὴν πέμπτην ἀποτομήν. Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Α, καὶ τῇ Α μήκει σύμμετροσ ἔστω ἡ ΓΗ· ῥητὴ ἄρα [ἐστὶν] ἡ ΓΗ. καὶ ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΔΖ, ΖΕ, ὥστε τὸν ΔΕ πρὸσ ἑκάτερον τῶν ΔΖ, ΖΕ λόγον πάλιν μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· καὶ πεποιήσθω ὡσ ὁ ΖΕ πρὸσ τὸν ΕΔ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΓΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΒ. ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΒ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΗ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ὁ ΔΕ πρὸσ τὸν ΕΖ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΓ, ὁ δὲ ΔΕ πρὸσ τὸν ΕΖ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδ’ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΓ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ ΗΓ μήκει. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ΒΗ, ΗΓ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἡ ΒΓ ἄρα ἀποτομή ἐστιν. Λέγω δή, ὅτι καὶ πέμπτη. Ωἷ γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΗ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΗΓ, ἔστω τὸ ἀπὸ τῆσ Θ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΓ, οὕτωσ ὁ ΔΕ πρὸσ τὸν ΕΖ, ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡσ ὁ ΕΔ πρὸσ τὸν ΔΖ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Θ. ὁ δὲ ΕΔ πρὸσ τὸν ΔΖ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· οὐδ’ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Θ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ Θ μήκει. καὶ δύναται ἡ ΒΗ τῆσ ΗΓ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆσ Θ· ἡ ΗΒ ἄρα τῆσ ΗΓ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει. καί ἐστιν ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΓΗ σύμμετροσ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ Α μήκει· ἡ ἄρα ΒΓ ἀποτομή ἐστι πέμπτη. Εὑρ́ηται ἄρα ἡ πέμπτη ἀποτομὴ ἡ ΒΓ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εὑρεῖν τὴν ἕκτην ἀποτομήν. Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Α καὶ τρεῖσ ἀριθμοὶ οἱ Ε, ΒΓ, ΓΔ λόγον μὴ ἔχοντεσ πρὸσ ἀλλήλουσ, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· ἔτι δὲ καὶ ὁ ΓΒ πρὸσ τὸν ΒΔ λόγον μὴ ἐχέτω, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· καὶ πεποιήσθω ὡσ μὲν ὁ Ε πρὸσ τὸν ΒΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ Α πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ, ὡσ δὲ ὁ ΒΓ πρὸσ τὸν ΓΔ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΘ. Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡσ ὁ Ε πρὸσ τὸν ΒΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ Α πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ, σύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ Α τῷ ἀπὸ τῆσ ΖΗ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆσ Α· ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΗ. καὶ ἐπεὶ ὁ Ε πρὸσ τὸν ΒΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδ’ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ Α πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ Α τῇ ΖΗ μήκει. πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡσ ὁ ΒΓ πρὸσ τὸν ΓΔ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΘ, σύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ τῷ ἀπὸ τῆσ ΗΘ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ· ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΘ· ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΗΘ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΒΓ πρὸσ τὸν ΓΔ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδ’ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΘ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΗΘ μήκει. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ΖΗ, ΗΘ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἡ ἄρα ΖΘ ἀποτομή ἐστιν. Λέγω δή, ὅτι καὶ ἕκτη. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡσ μὲν ὁ Ε πρὸσ τὸν ΒΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ Α πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ, ὡσ δὲ ὁ ΒΓ πρὸσ τὸν ΓΔ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΘ, δι’ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡσ ὁ Ε πρὸσ τὸν ΓΔ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ Α πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΘ. ὁ δὲ Ε πρὸσ τὸν ΓΔ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· οὐδ’ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ Α πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΘ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ Α τῇ ΗΘ μήκει· οὐδετέρα ἄρα τῶν ΖΗ, ΗΘ σύμμετρόσ ἐστι τῇ Α ῥητῇ μήκει. ᾧ οὖν μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΗΘ, ἔστω τὸ ἀπὸ τῆσ Κ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡσ ὁ ΒΓ πρὸσ τὸν ΓΔ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΘ, ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡσ ὁ ΓΒ πρὸσ τὸν ΒΔ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Κ. ὁ δὲ ΓΒ πρὸσ τὸν ΒΔ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· οὐδ’ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Κ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ Κ μήκει. καὶ δύναται ἡ ΖΗ τῆσ ΗΘ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆσ Κ· ἡ ΖΗ ἄρα τῆσ ΗΘ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει. καὶ οὐδετέρα τῶν ΖΗ, ΗΘ σύμμετρόσ ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ Α. ἡ ἄρα ΖΘ ἀποτομή ἐστιν ἕκτη. Εὑρ́ηται ἄρα ἡ ἕκτη ἀποτομὴ ἡ ΖΘ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆσ καὶ ἀποτομῆσ πρώτησ, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἀποτομή ἐστιν. Περιεχέσθω γὰρ χωρίον τὸ ΑΒ ὑπὸ ῥητῆσ τῆσ ΑΓ καὶ ἀποτομῆσ πρώτησ τῆσ ΑΔ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη ἀποτομή ἐστιν. Ἐπεὶ γὰρ ἀποτομή ἐστι πρώτη ἡ ΑΔ, ἔστω αὐτῇ προσαρμόζουσα ἡ ΔΗ· αἱ ΑΗ, ΗΔ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι. καὶ ὅλη ἡ ΑΗ σύμμετρόσ ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΑΓ, καὶ ἡ ΑΗ τῆσ ΗΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει· ἐὰν ἄρα τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆσ ΔΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰσ σύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ. τετμήσθω ἡ ΔΗ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΕΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ· σύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ. καὶ διὰ τῶν Ε, Ζ, Η σημείων τῇ ΑΓ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΕΘ, ΖΙ, ΗΚ. Καὶ ἐπεὶ σύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ μήκει, καὶ ἡ ΑΗ ἄρα ἑκατέρᾳ τῶν ΑΖ, ΖΗ σύμμετρόσ ἐστι μήκει. ἀλλὰ ἡ ΑΗ σύμμετρόσ ἐστι τῇ ΑΓ· καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΖ, ΖΗ σύμμετρόσ ἐστι τῇ ΑΓ μήκει. καί ἐστι ῥητὴ ἡ ΑΓ· ῥητὴ ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΑΖ, ΖΗ· ὥστε καὶ ἑκάτερον τῶν ΑΙ, ΖΚ ῥητόν ἐστιν. καὶ ἐπεὶ σύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΔΕ τῇ ΕΗ μήκει, καὶ ἡ ΔΗ ἄρα ἑκατέρᾳ τῶν ΔΕ, ΕΗ σύμμετρόσ ἐστι μήκει. ῥητὴ δὲ ἡ ΔΗ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΑΓ μήκει· ῥητὴ ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΔΕ, ΕΗ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΑΓ μήκει· ἑκάτερον ἄρα τῶν ΔΘ, ΕΚ μέσον ἐστίν. Κείσθω δὴ τῷ μὲν ΑΙ ἴσον τετράγωνον τὸ ΛΜ, τῷ δὲ ΖΚ ἴσον τετράγωνον ἀφῃρήσθω κοινὴν γωνίαν ἔχον αὐτῷ τὴν ὑπὸ ΛΟΜ τὸ ΝΞ· περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν ἐστι τὰ ΛΜ, ΝΞ τετράγωνα. ἔστω αὐτῶν διάμετροσ ἡ ΟΡ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα. ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ περιεχόμενον ὀρθογώνιον τῷ ἀπὸ τῆσ ΕΗ τετραγώνῳ, ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΑΖ πρὸσ τὴν ΕΗ, οὕτωσ ἡ ΕΗ πρὸσ τὴν ΖΗ. ἀλλ’ ὡσ μὲν ἡ ΑΖ πρὸσ τὴν ΕΗ, οὕτωσ τὸ ΑΙ πρὸσ τὸ ΕΚ, ὡσ δὲ ἡ ΕΗ πρὸσ τὴν ΖΗ, οὕτωσ ἐστὶ τὸ ΕΚ πρὸσ τὸ ΚΖ· τῶν ἄρα ΑΙ, ΚΖ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΕΚ. ἔστι δὲ καὶ τῶν ΛΜ, ΝΞ μέσον ἀνάλογον τὸ ΜΝ, ὡσ ἐν τοῖσ ἔμπροσθεν ἐδείχθη, καί ἐστι τὸ [μὲν] ΑΙ τῷ ΛΜ τετραγώνῳ ἴσον, τὸ δὲ ΚΖ τῷ ΝΞ· καὶ τὸ ΜΝ ἄρα τῷ ΕΚ ἴσον ἐστίν. ἀλλὰ τὸ μὲν ΕΚ τῷ ΔΘ ἐστιν ἴσον, τὸ δὲ ΜΝ τῷ ΛΞ· τὸ ἄρα ΔΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΥΦΧ γνώμονι καὶ τῷ ΝΞ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ΑΚ ἴσον τοῖσ ΛΜ, ΝΞ τετραγώνοισ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΣΤ. τὸ δὲ ΣΤ τὸ ἀπὸ τῆσ ΛΝ ἐστι τετράγωνον· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆσ ΛΝ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΒ· ἡ ΛΝ ἄρα δύναται τὸ ΑΒ. Λέγω δή, ὅτι ἡ ΛΝ ἀποτομή ἐστιν. Ἐπεὶ γὰρ ῥητόν ἐστιν ἑκάτερον τῶν ΑΙ, ΖΚ, καί ἐστιν ἴσον τοῖσ ΛΜ, ΝΞ, καὶ ἑκάτερον ἄρα τῶν ΛΜ, ΝΞ ῥητόν ἐστιν, τουτέστι τὸ ἀπὸ ἑκατέρασ τῶν ΛΟ, ΟΝ· καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ΛΟ, ΟΝ ῥητή ἐστιν. πάλιν, ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ ΔΘ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΛΞ, μέσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΛΞ. ἐπεὶ οὖν τὸ μὲν ΛΞ μέσον ἐστίν, τὸ δὲ ΝΞ ῥητόν, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΞ τῷ ΝΞ· ὡσ δὲ τὸ ΛΞ πρὸσ τὸ ΝΞ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΛΟ πρὸσ τὴν ΟΝ· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΟ τῇ ΟΝ μήκει. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ΛΟ, ΟΝ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΝ. καὶ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον· ἡ ἄρα τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη ἀποτομή ἐστιν. Εἂν ἄρα χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆσ, καὶ τὰ ἑξῆσ. Εἂν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆσ καὶ ἀποτομῆσ δευτέρασ, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη μέσησ ἀποτομή ἐστι πρώτη. Χωρίον γὰρ τὸ ΑΒ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆσ τῆσ ΑΓ καὶ ἀποτομῆσ δευτέρασ τῆσ ΑΔ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη μέσησ ἀποτομή ἐστι πρώτη. Ἔστω γὰρ τῇ ΑΔ προσαρμόζουσα ἡ ΔΗ· αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΔ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΔΗ σύμμετρόσ ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΑΓ, ἡ δὲ ὅλη ἡ ΑΗ τῆσ προσαρμοζούσησ τῆσ ΗΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΗ τῆσ ΗΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, ἐὰν ἄρα τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆσ ΗΔ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰσ σύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ. τετμήσθω οὖν ἡ ΔΗ δίχα κατὰ τὸ Ε· καὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΕΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ· σύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ μήκει. καὶ ἡ ΑΗ ἄρα ἑκατέρᾳ τῶν ΑΖ, ΖΗ σύμμετρόσ ἐστι μήκει. ῥητὴ δὲ ἡ ΑΗ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΑΓ μήκει· καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΖ, ΖΗ ῥητή ἐστι καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΑΓ μήκει· ἑκάτερον ἄρα τῶν ΑΙ, ΖΚ μέσον ἐστίν. πάλιν, ἐπεὶ σύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΔΕ τῇ ΕΗ, καὶ ἡ ΔΗ ἄρα ἑκατέρᾳ τῶν ΔΕ, ΕΗ σύμμετρόσ ἐστιν. ἀλλ’ ἡ ΔΗ σύμμετρόσ ἐστι τῇ ΑΓ μήκει. [ῥητὴ ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΔΕ, ΕΗ καὶ σύμμετροσ τῇ ΑΓ μήκει. ] ἑκάτερον ἄρα τῶν ΔΘ, ΕΚ ῥητόν ἐστιν. Συνεστάτω οὖν τῷ μὲν ΑΙ ἴσον τετράγωνον τὸ ΛΜ, τῷ δὲ ΖΚ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΝΞ περὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν ὂν τῷ ΛΜ τὴν ὑπὸ τῶν ΛΟΜ· περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα ἐστὶ διάμετρον τὰ ΛΜ, ΝΞ τετράγωνα. ἔστω αὐτῶν διάμετροσ ἡ ΟΡ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα. ἐπεὶ οὖν τὰ ΑΙ, ΖΚ μέσα ἐστὶ καί ἐστιν ἴσα τοῖσ ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ, καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ [ἄρα] μέσα ἐστίν· καὶ αἱ ΛΟ, ΟΝ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι. καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΕΗ, ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΑΖ πρὸσ τὴν ΕΗ, οὕτωσ ἡ ΕΗ πρὸσ τὴν ΖΗ· ἀλλ’ ὡσ μὲν ἡ ΑΖ πρὸσ τὴν ΕΗ, οὕτωσ τὸ ΑΙ πρὸσ τὸ ΕΚ· ὡσ δὲ ἡ ΕΗ πρὸσ τὴν ΖΗ, οὕτωσ [ἐστὶ] τὸ ΕΚ πρὸσ τὸ ΖΚ· τῶν ἄρα ΑΙ, ΖΚ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΕΚ. ἔστι δὲ καὶ τῶν ΛΜ, ΝΞ τετραγώνων μέσον ἀνάλογον τὸ ΜΝ· καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν ΑΙ τῷ ΛΜ, τὸ δὲ ΖΚ τῷ ΝΞ· καὶ τὸ ΜΝ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ΕΚ. ἀλλὰ τῷ μὲν ΕΚ ἴσον [ἐστὶ] τὸ ΔΘ, τῷ δὲ ΜΝ ἴσον τὸ ΛΞ· ὅλον ἄρα τὸ ΔΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΥΦΧ γνώμονι καὶ τῷ ΝΞ. ἐπεὶ οὖν ὅλον τὸ ΑΚ ἴσον ἐστὶ τοῖσ ΛΜ, ΝΞ, ὧν τὸ ΔΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΥΦΧ γνώμονι καὶ τῷ ΝΞ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΤΣ. τὸ δὲ ΤΣ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΛΝ· τὸ ἀπὸ τῆσ ΛΝ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΒ χωρίῳ· ἡ ΛΝ ἄρα δύναται τὸ ΑΒ χωρίον. Λέγω [δή], ὅτι ἡ ΛΝ μέσησ ἀποτομή ἐστι πρώτη. Ἐπεὶ γὰρ ῥητόν ἐστι τὸ ΕΚ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΛΞ, ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΞ, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ. μέσον δὲ ἐδείχθη τὸ ΝΞ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΞ τῷ ΝΞ· ὡσ δὲ τὸ ΛΞ πρὸσ τὸ ΝΞ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΛΟ πρὸσ ΟΝ· αἱ ΛΟ, ΟΝ ἄρα ἀσύμμετροί εἰσι μήκει. αἱ ἄρα ΛΟ, ΟΝ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι ῥητὸν περιέχουσαι· ἡ ΛΝ ἄρα μέσησ ἀποτομή ἐστι πρώτη· καὶ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον. Ἡ ἄρα τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη μέσησ ἀποτομή ἐστι πρώτη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆσ καὶ ἀποτομῆσ τρίτησ, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη μέσησ ἀποτομή ἐστι δευτέρα. Χωρίον γὰρ τὸ ΑΒ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆσ τῆσ ΑΓ καὶ ἀποτομῆσ τρίτησ τῆσ ΑΔ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη μέσησ ἀποτομή ἐστι δευτέρα. Ἔστω γὰρ τῇ ΑΔ προσαρμόζουσα ἡ ΔΗ· αἱ ΑΗ, ΗΔ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ οὐδετέρα τῶν ΑΗ, ΗΔ σύμμετρόσ ἐστι μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΑΓ, ἡ δὲ ὅλη ἡ ΑΗ τῆσ προσαρμοζούσησ τῆσ ΔΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΗ τῆσ ΗΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, ἐὰν ἄρα τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆσ ΔΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰσ σύμμετρα αὐτὴν διελεῖ. τετμήσθω οὖν ἡ ΔΗ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΕΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ. καὶ ἤχθωσαν διὰ τῶν Ε, Ζ, Η σημείων τῇ ΑΓ παράλληλοι αἱ ΕΘ, ΖΙ, ΗΚ· σύμμετροι ἄρα εἰσὶν αἱ ΑΖ, ΖΗ· σύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ΑΙ τῷ ΖΚ. καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΖ, ΖΗ σύμμετροί εἰσι μήκει, καὶ ἡ ΑΗ ἄρα ἑκατέρᾳ τῶν ΑΖ, ΖΗ σύμμετρόσ ἐστι μήκει. ῥητὴ δὲ ἡ ΑΗ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΑΓ μήκει· ὥστε καὶ αἱ ΑΖ, ΖΗ. ἑκάτερον ἄρα τῶν ΑΙ, ΖΚ μέσον ἐστίν. πάλιν, ἐπεὶ σύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΔΕ τῇ ΕΗ μήκει, καὶ ἡ ΔΗ ἄρα ἑκατέρᾳ τῶν ΔΕ, ΕΗ σύμμετρόσ ἐστι μήκει. ῥητὴ δὲ ἡ ΗΔ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΑΓ μήκει· ῥητὴ ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΔΕ, ΕΗ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΑΓ μήκει· ἑκάτερον ἄρα τῶν ΔΘ, ΕΚ μέσον ἐστίν. καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΗ, ΗΔ δυνάμει μόνον σύμμετροί εἰσιν, ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶ μήκει ἡ ΑΗ τῇ ΗΔ. ἀλλ’ ἡ μὲν ΑΗ τῇ ΑΖ σύμμετρόσ ἐστι μήκει, ἡ δὲ ΔΗ τῇ ΕΗ· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΕΗ μήκει. ὡσ δὲ ἡ ΑΖ πρὸσ τὴν ΕΗ, οὕτωσ ἐστὶ τὸ ΑΙ πρὸσ τὸ ΕΚ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΙ τῷ ΕΚ. Συνεστάτω οὖν τῷ μὲν ΑΙ ἴσον τετράγωνον τὸ ΛΜ, τῷ δὲ ΖΚ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΝΞ περὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν ὂν τῷ ΛΜ· περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν ἐστι τὰ ΛΜ, ΝΞ. ἔστω αὐτῶν διάμετροσ ἡ ΟΡ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΕΗ, ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΑΖ πρὸσ τὴν ΕΗ, οὕτωσ ἡ ΕΗ πρὸσ τὴν ΖΗ. ἀλλ’ ὡσ μὲν ἡ ΑΖ πρὸσ τὴν ΕΗ, οὕτωσ ἐστὶ τὸ ΑΙ πρὸσ τὸ ΕΚ· ὡσ δὲ ἡ ΕΗ πρὸσ τὴν ΖΗ, οὕτωσ ἐστὶ τὸ ΕΚ πρὸσ τὸ ΖΚ· καὶ ὡσ ἄρα τὸ ΑΙ πρὸσ τὸ ΕΚ, οὕτωσ τὸ ΕΚ πρὸσ τὸ ΖΚ· τῶν ἄρα ΑΙ, ΖΚ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΕΚ. ἔστι δὲ καὶ τῶν ΛΜ, ΝΞ τετραγώνων μέσον ἀνάλογον τὸ ΜΝ· καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν ΑΙ τῷ ΛΜ, τὸ δὲ ΖΚ τῷ ΝΞ· καὶ τὸ ΕΚ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ΜΝ. ἀλλὰ τὸ μὲν ΜΝ ἴσον ἐστὶ τῷ ΛΞ, τὸ δὲ ΕΚ ἴσον [ἐστὶ] τῷ ΔΘ· καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΔΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΥΦΧ γνώμονι καὶ τῷ ΝΞ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ΑΚ ἴσον τοῖσ ΛΜ, ΝΞ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΣΤ, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆσ ΛΝ τετραγώνῳ· ἡ ΛΝ ἄρα δύναται τὸ ΑΒ χωρίον. Λέγω, ὅτι ἡ ΛΝ μέσησ ἀποτομή ἐστι δευτέρα. Ἐπεὶ γὰρ μέσα ἐδείχθη τὰ ΑΙ, ΖΚ καί ἐστιν ἴσα τοῖσ ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ, μέσον ἄρα καὶ ἑκάτερον τῶν ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ· μέση ἄρα ἑκατέρα τῶν ΛΟ, ΟΝ. καὶ ἐπεὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ ΑΙ τῷ ΖΚ, σύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΛΟ τῷ ἀπὸ τῆσ ΟΝ. πάλιν, ἐπεὶ ἀσύμμετρον ἐδείχθη τὸ ΑΙ τῷ ΕΚ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΛΜ τῷ ΜΝ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΛΟ τῷ ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ· ὥστε καὶ ἡ ΛΟ ἀσύμμετρόσ ἐστι τῇ ΟΝ· αἱ ΛΟ, ΟΝ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι. Λέγω δή, ὅτι καὶ μέσον περιέχουσιν. Ἐπεὶ γὰρ μέσον ἐδείχθη τὸ ΕΚ καί ἐστιν ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ, μέσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ· ὥστε αἱ ΛΟ, ΟΝ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι μέσον περιέχουσαι. ἡ ΛΝ ἄρα μέσησ ἀποτομή ἐστι δευτέρα· καὶ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον. Ἡ ἄρα τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη μέσησ ἀποτομή ἐστι δευτέρα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆσ καὶ ἀποτομῆσ τετάρτησ, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἐλάσσων ἐστίν. Χωρίον γὰρ τὸ ΑΒ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆσ τῆσ ΑΓ καὶ ἀποτομῆσ τετάρτησ τῆσ ΑΔ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη ἐλάσσων ἐστίν. Ἔστω γὰρ τῇ ΑΔ προσαρμόζουσα ἡ ΔΗ· αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΔ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΑΗ σύμμετρόσ ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΑΓ μήκει, ἡ δὲ ὅλη ἡ ΑΗ τῆσ προσαρμοζούσησ τῆσ ΔΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΗ τῆσ ΗΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει, ἐὰν ἄρα τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆσ ΔΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰσ ἀσύμμετρα αὐτὴν διελεῖ. τετμήσθω οὖν ἡ ΔΗ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΕΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶ μήκει ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ. ἤχθωσαν οὖν διὰ τῶν Ε, Ζ, Η παράλληλοι ταῖσ ΑΓ, ΒΔ αἱ ΕΘ, ΖΙ, ΗΚ. ἐπεὶ οὖν ῥητή ἐστιν ἡ ΑΗ καὶ σύμμετροσ τῇ ΑΓ μήκει, ῥητὸν ἄρα ἐστὶν ὅλον τὸ ΑΚ. πάλιν, ἐπεὶ ἀσύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΔΗ τῇ ΑΓ μήκει, καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί, μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΚ. πάλιν, ἐπεὶ ἀσύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ μήκει, ἀσύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ΑΙ τῷ ΖΚ. συνεστάτω οὖν τῷ μὲν ΑΙ ἴσον τετράγωνον τὸ ΛΜ, τῷ δὲ ΖΚ ἴσον ἀφῃρήσθω περὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν τὴν ὑπὸ τῶν ΛΟΜ τὸ ΝΞ. περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν ἐστι τὰ ΛΜ, ΝΞ τετράγωνα. ἔστω αὐτῶν διάμετροσ ἡ ΟΡ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΕΗ, ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΑΖ πρὸσ τὴν ΕΗ, οὕτωσ ἡ ΕΗ πρὸσ τὴν ΖΗ. ἀλλ’ ὡσ μὲν ἡ ΑΖ πρὸσ τὴν ΕΗ, οὕτωσ ἐστὶ τὸ ΑΙ πρὸσ τὸ ΕΚ, ὡσ δὲ ἡ ΕΗ πρὸσ τὴν ΖΗ, οὕτωσ ἐστὶ τὸ ΕΚ πρὸσ τὸ ΖΚ· τῶν ἄρα ΑΙ, ΖΚ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΕΚ. ἔστι δὲ καὶ τῶν ΛΜ, ΝΞ τετραγώνων μέσον ἀνάλογον τὸ ΜΝ, καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν ΑΙ τῷ ΛΜ, τὸ δὲ ΖΚ τῷ ΝΞ· καὶ τὸ ΕΚ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ΜΝ. ἀλλὰ τῷ μὲν ΕΚ ἴσον ἐστὶ τὸ ΔΘ, τῷ δὲ ΜΝ ἴσον ἐστὶ τὸ ΛΞ· ὅλον ἄρα τὸ ΔΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΥΦΧ γνώμονι καὶ τῷ ΝΞ. ἐπεὶ οὖν ὅλον τὸ ΑΚ ἴσον ἐστὶ τοῖσ ΛΜ, ΝΞ τετραγώνοισ, ὧν τὸ ΔΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΥΦΧ γνώμονι καὶ τῷ ΝΞ τετραγώνῳ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΣΤ, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆσ ΛΝ τετραγώνῳ· ἡ ΛΝ ἄρα δύναται τὸ ΑΒ χωρίον. Λέγω, ὅτι ἡ ΛΝ ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάσσων. Ἐπεὶ γὰρ ῥητόν ἐστι τὸ ΑΚ καί ἐστιν ἴσον τοῖσ ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ τετραγώνοισ, τὸ ἄρα συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ ῥητόν ἐστιν. πάλιν, ἐπεὶ τὸ ΔΚ μέσον ἐστίν, καί ἐστιν ἴσον τὸ ΔΚ τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ, τὸ ἄρα δὶσ ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ μέσον ἐστίν. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρον ἐδείχθη τὸ ΑΙ τῷ ΖΚ, ἀσύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΛΟ τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆσ ΟΝ τετραγώνῳ. αἱ ΛΟ, ΟΝ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δὲ δὶσ ὑπ’ αὐτῶν μέσον. ἡ ΛΝ ἄρα ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάσσων· καὶ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον. Ἡ ἄρα τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη ἐλάσσων ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆσ καὶ ἀποτομῆσ πέμπτησ, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη [ἡ] μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν. Χωρίον γὰρ τὸ ΑΒ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆσ τῆσ ΑΓ καὶ ἀποτομῆσ πέμπτησ τῆσ ΑΔ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη [ἡ] μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν. Ἔστω γὰρ τῇ ΑΔ προσαρμόζουσα ἡ ΔΗ· αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΔ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΗΔ σύμμετρόσ ἐστι μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΑΓ, ἡ δὲ ὅλη ἡ ΑΗ τῆσ προσαρμοζούσησ τῆσ ΔΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. ἐὰν ἄρα τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆσ ΔΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰσ ἀσύμμετρα αὐτὴν διελεῖ. τετμήσθω οὖν ἡ ΔΗ δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον, καὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΕΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ μήκει. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΑΗ τῇ ΓΑ μήκει, καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί, μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΚ. πάλιν, ἐπεὶ ῥητή ἐστιν ἡ ΔΗ καὶ σύμμετροσ τῇ ΑΓ μήκει, ῥητόν ἐστι τὸ ΔΚ. συνεστάτω οὖν τῷ μὲν ΑΙ ἴσον τετράγωνον τὸ ΛΜ, τῷ δὲ ΖΚ ἴσον τετράγωνον ἀφῃρήσθω τὸ ΝΞ περὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν τὴν ὑπὸ ΛΟΜ· περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν ἐστι τὰ ΛΜ, ΝΞ τετράγωνα. ἔστω αὐτῶν διάμετροσ ἡ ΟΡ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι ἡ ΛΝ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον. Λέγω, ὅτι ἡ ΛΝ ἡ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν. Ἐπεὶ γὰρ μέσον ἐδείχθη τὸ ΑΚ καί ἐστιν ἴσον τοῖσ ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ, τὸ ἄρα συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ μέσον ἐστίν. πάλιν, ἐπεὶ ῥητόν ἐστι τὸ ΔΚ καί ἐστιν ἴσον τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ, καὶ αὐτὸ ῥητόν ἐστιν. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ ΑΙ τῷ ΖΚ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΛΟ τῷ ἀπὸ τῆσ ΟΝ· αἱ ΛΟ, ΟΝ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δὲ δὶσ ὑπ’ αὐτῶν ῥητόν. ἡ λοιπὴ ἄρα ἡ ΛΝ ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα· καὶ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον. Ἡ τὸ ΑΒ ἄρα χωρίον δυναμένη μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆσ καὶ ἀποτομῆσ ἕκτησ, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν. Χωρίον γὰρ τὸ ΑΒ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆσ τῆσ ΑΓ καὶ ἀποτομῆσ ἕκτησ τῆσ ΑΔ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη [ἡ] μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν. Ἔστω γὰρ τῇ ΑΔ προσαρμόζουσα ἡ ΔΗ· αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΔ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ οὐδετέρα αὐτῶν σύμμετρόσ ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΑΓ μήκει, ἡ δὲ ὅλη ἡ ΑΗ τῆσ προσαρμοζούσησ τῆσ ΔΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΗ τῆσ ΗΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει, ἐὰν ἄρα τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆσ ΔΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰσ ἀσύμμετρα αὐτὴν διελεῖ. τετμήσθω οὖν ἡ ΔΗ δίχα κατὰ τὸ Ε [σημεῖον], καὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΕΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ μήκει. ὡσ δὲ ἡ ΑΖ πρὸσ τὴν ΖΗ, οὕτωσ ἐστὶ τὸ ΑΙ πρὸσ τὸ ΖΚ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΙ τῷ ΖΚ. καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΗ, ΑΓ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, μέσον ἐστὶ τὸ ΑΚ. πάλιν, ἐπεὶ αἱ ΑΓ, ΔΗ ῥηταί εἰσι καὶ ἀσύμμετροι μήκει, μέσον ἐστὶ καὶ τὸ ΔΚ. ἐπεὶ οὖν αἱ ΑΗ, ΗΔ δυνάμει μόνον σύμμετροί εἰσιν, ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΗ τῇ ΗΔ μήκει. ὡσ δὲ ἡ ΑΗ πρὸσ τὴν ΗΔ, οὕτωσ ἐστὶ τὸ ΑΚ πρὸσ τὸ ΚΔ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΚ τῷ ΚΔ. συνεστάτω οὖν τῷ μὲν ΑΙ ἴσον τετράγωνον τὸ ΛΜ, τῷ δὲ ΖΚ ἴσον ἀφῃρήσθω περὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν τὸ ΝΞ· περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν ἐστι τὰ ΛΜ, ΝΞ τετράγωνα. ἔστω αὐτῶν διάμετροσ ἡ ΟΡ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα. ὁμοίωσ δὴ τοῖσ ἐπάνω δείξομεν, ὅτι ἡ ΛΝ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον. Λέγω, ὅτι ἡ ΛΝ [ἡ] μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν. Ἐπεὶ γὰρ μέσον ἐδείχθη τὸ ΑΚ καί ἐστιν ἴσον τοῖσ ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ, τὸ ἄρα συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ μέσον ἐστίν. πάλιν, ἐπεὶ μέσον ἐδείχθη τὸ ΔΚ καί ἐστιν ἴσον τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ, καὶ τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ μέσον ἐστίν. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρον ἐδείχθη τὸ ΑΚ τῷ ΔΚ, ἀσύμμετρα [ἄρα] ἐστὶ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ τετράγωνα τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ ΑΙ τῷ ΖΚ, ἀσύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΛΟ τῷ ἀπὸ τῆσ ΟΝ· αἱ ΛΟ, ΟΝ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ τὸ δὶσ ὑπ’ αὐτῶν μέσον ἔτι τε τὰ ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα ἀσύμμετρα τῷ δὶσ ὑπ’ αὐτῶν. ἡ ἄρα ΛΝ ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα· καὶ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον. Ἡ ἄρα τὸ χωρίον δυναμένη μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τὸ ἀπὸ ἀποτομῆσ παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ ἀποτομὴν πρώτην. Ἔστω ἀποτομὴ ἡ ΑΒ, ῥητὴ δὲ ἡ ΓΔ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΕ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΓΖ· λέγω, ὅτι ἡ ΓΖ ἀποτομή ἐστι πρώτη. Ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΗ· αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΒ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι. καὶ τῷ μὲν ἀπὸ τῆσ ΑΗ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΘ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆσ ΒΗ τὸ ΚΛ. ὅλον ἄρα τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖσ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ· ὧν τὸ ΓΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΒ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΖΛ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. τετμήσθω ἡ ΖΜ δίχα κατὰ τὸ Ν σημεῖον, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ν τῇ ΓΔ παράλληλοσ ἡ ΝΞ· ἑκάτερον ἄρα τῶν ΖΞ, ΛΝ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. καὶ ἐπεὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ῥητά ἐστιν, καί ἐστι τοῖσ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον τὸ ΔΜ, ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΜ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παραβέβληται πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΓΜ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ καὶ σύμμετροσ τῇ ΓΔ μήκει. πάλιν, ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, καὶ τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον τὸ ΖΛ, μέσον ἄρα τὸ ΖΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παράκειται πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΖΜ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΜ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΓΔ μήκει. καὶ ἐπεὶ τὰ μὲν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ῥητά ἐστιν, τὸ δὲ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον, ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. καὶ τοῖσ μὲν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΛ, τῷ δὲ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τὸ ΖΛ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΜ τῷ ΖΛ. ὡσ δὲ τὸ ΔΜ πρὸσ τὸ ΖΛ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΓΜ πρὸσ τὴν ΖΜ. ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ τῇ ΖΜ μήκει. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ἄρα ΓΜ, ΜΖ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἡ ΓΖ ἄρα ἀποτομή ἐστιν. Λέγω δή, ὅτι καὶ πρώτη. Ἐπεὶ γὰρ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, καί ἐστι τῷ μὲν ἀπὸ τῆσ ΑΗ ἴσον τὸ ΓΘ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆσ ΒΗ ἴσον τὸ ΚΛ, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τὸ ΝΛ, καὶ τῶν ΓΘ, ΚΛ ἄρα μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΝΛ· ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ ΓΘ πρὸσ τὸ ΝΛ, οὕτωσ τὸ ΝΛ πρὸσ τὸ ΚΛ. ἀλλ’ ὡσ μὲν τὸ ΓΘ πρὸσ τὸ ΝΛ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΓΚ πρὸσ τὴν ΝΜ· ὡσ δὲ τὸ ΝΛ πρὸσ τὸ ΚΛ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΝΜ πρὸσ τὴν ΚΜ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΚ, ΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΝΜ, τουτέστι τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆσ ΖΜ. καὶ ἐπεὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΗ τῷ ἀπὸ τῆσ ΗΒ, σύμμετρόν [ἐστι] καὶ τὸ ΓΘ τῷ ΚΛ. ὡσ δὲ τὸ ΓΘ πρὸσ τὸ ΚΛ, οὕτωσ ἡ ΓΚ πρὸσ τὴν ΚΜ· σύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΚ τῇ ΚΜ. ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι ἄνισοί εἰσιν αἱ ΓΜ, ΜΖ, καὶ τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆσ ΖΜ ἴσον παρὰ τὴν ΓΜ παραβέβληται ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΚ, ΚΜ, καί ἐστι σύμμετροσ ἡ ΓΚ τῇ ΚΜ, ἡ ἄρα ΓΜ τῆσ ΜΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει. καί ἐστιν ἡ ΓΜ σύμμετροσ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΓΔ μήκει· ἡ ἄρα ΓΖ ἀποτομή ἐστι πρώτη. Τὸ ἄρα ἀπὸ ἀποτομῆσ παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ ἀποτομὴν πρώτην· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τὸ ἀπὸ μέσησ ἀποτομῆσ πρώτησ παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ ἀποτομὴν δευτέραν. Ἔστω μέσησ ἀποτομὴ πρώτη ἡ ΑΒ, ῥητὴ δὲ ἡ ΓΔ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΕ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΓΖ· λέγω, ὅτι ἡ ΓΖ ἀποτομή ἐστι δευτέρα. Ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΗ· αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΒ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι ῥητὸν περιέχουσαι. καὶ τῷ μὲν ἀπὸ τῆσ ΑΗ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΘ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΓΚ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆσ ΗΒ ἴσον τὸ ΚΛ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΚΜ· ὅλον ἄρα τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖσ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ· μέσον ἄρα καὶ τὸ ΓΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παράκειται πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΓΜ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΓΔ μήκει. καὶ ἐπεὶ τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖσ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, ὧν τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΓΕ, λοιπὸν ἄρα τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΖΛ. ῥητὸν δὲ [ἐστι] τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ· ῥητὸν ἄρα τὸ ΖΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΖΕ παράκειται πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΖΜ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΜ καὶ σύμμετροσ τῇ ΓΔ μήκει. ἐπεὶ οὖν τὰ μὲν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, τουτέστι τὸ ΓΛ, μέσον ἐστίν, τὸ δὲ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, τουτέστι τὸ ΖΛ, ῥητόν, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΛ τῷ ΖΛ. ὡσ δὲ τὸ ΓΛ πρὸσ τὸ ΖΛ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΓΜ πρὸσ τὴν ΖΜ· ἀσύμμετροσ ἄρα ἡ ΓΜ τῇ ΖΜ μήκει. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ἄρα ΓΜ, ΜΖ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἡ ΓΖ ἄρα ἀποτομή ἐστιν. Λέγω δή, ὅτι καὶ δευτέρα. Τετμήσθω γὰρ ἡ ΖΜ δίχα κατὰ τὸ Ν, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ν τῇ ΓΔ παράλληλοσ ἡ ΝΞ· ἑκάτερον ἄρα τῶν ΖΞ, ΝΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. καὶ ἐπεὶ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τετραγώνων μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν ἀπὸ τῆσ ΑΗ τῷ ΓΘ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ ΝΛ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆσ ΒΗ τῷ ΚΛ, καὶ τῶν ΓΘ, ΚΛ ἄρα μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΝΛ· ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ ΓΘ πρὸσ τὸ ΝΛ, οὕτωσ τὸ ΝΛ πρὸσ τὸ ΚΛ. ἀλλ’ ὡσ μὲν τὸ ΓΘ πρὸσ τὸ ΝΛ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΓΚ πρὸσ τὴν ΝΜ, ὡσ δὲ τὸ ΝΛ πρὸσ τὸ ΚΛ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΝΜ πρὸσ τὴν ΜΚ· ὡσ ἄρα ἡ ΓΚ πρὸσ τὴν ΝΜ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΝΜ πρὸσ τὴν ΚΜ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΚ, ΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΝΜ, τουτέστι τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆσ ΖΜ. [καὶ ἐπεὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΗ τῷ ἀπὸ τῆσ ΒΗ, σύμμετρόν ἐστι καὶ τὸ ΓΘ τῷ ΚΛ, τουτέστιν ἡ ΓΚ τῇ ΚΜ. ] ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι ἄνισοί εἰσιν αἱ ΓΜ, ΜΖ, καὶ τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆσ ΜΖ ἴσον παρὰ τὴν μείζονα τὴν ΓΜ παραβέβληται ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΚ, ΚΜ καὶ εἰσ σύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ, ἡ ἄρα ΓΜ τῆσ ΜΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει. καί ἐστιν ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΖΜ σύμμετροσ μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΓΔ· ἡ ἄρα ΓΖ ἀποτομή ἐστι δευτέρα. Τὸ ἄρα ἀπὸ μέσησ ἀποτομῆσ πρώτησ παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ ἀποτομὴν δευτέραν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τὸ ἀπὸ μέσησ ἀποτομῆσ δευτέρασ παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ ἀποτομὴν τρίτην. Ἔστω μέσησ ἀποτομὴ δευτέρα ἡ ΑΒ, ῥητὴ δὲ ἡ ΓΔ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΕ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΓΖ· λέγω, ὅτι ἡ ΓΖ ἀποτομή ἐστι τρίτη. Ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΗ· αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΒ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι μέσον περιέχουσαι. καὶ τῷ μὲν ἀπὸ τῆσ ΑΗ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΘ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΓΚ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆσ ΒΗ ἴσον παρὰ τὴν ΚΘ παραβεβλήσθω τὸ ΚΛ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΚΜ· ὅλον ἄρα τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖσ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ [καί ἐστι μέσα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ]· μέσον ἄρα καὶ τὸ ΓΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παραβέβληται πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΓΜ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΓΔ μήκει. καὶ ἐπεὶ ὅλον τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖσ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, ὧν τὸ ΓΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΒ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΛΖ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. τετμήσθω οὖν ἡ ΖΜ δίχα κατὰ τὸ Ν σημεῖον, καὶ τῇ ΓΔ παράλληλοσ ἤχθω ἡ ΝΞ· ἑκάτερον ἄρα τῶν ΖΞ, ΝΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. μέσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ· μέσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΖΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΖΜ· ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΖΜ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΓΔ μήκει. καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΗ, ΗΒ δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι, ἀσύμμετροσ ἄρα [ἐστὶ] μήκει ἡ ΑΗ τῇ ΗΒ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΗ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆσ ΑΗ σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ· ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. ἀλλὰ τοῖσ μὲν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΛ, τῷ δὲ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ΖΛ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΛ τῷ ΖΛ. ὡσ δὲ τὸ ΓΛ πρὸσ τὸ ΖΛ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΓΜ πρὸσ τὴν ΖΜ· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ τῇ ΖΜ μήκει. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ἄρα ΓΜ, ΜΖ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΖ. Λέγω δή, ὅτι καὶ τρίτη. Ἐπεὶ γὰρ σύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΗ τῷ ἀπὸ τῆσ ΗΒ, σύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ΓΘ τῷ ΚΛ· ὥστε καὶ ἡ ΓΚ τῇ ΚΜ. καὶ ἐπεὶ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, καί ἐστι τῷ μὲν ἀπὸ τῆσ ΑΗ ἴσον τὸ ΓΘ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆσ ΗΒ ἴσον τὸ ΚΛ, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον τὸ ΝΛ, καὶ τῶν ΓΘ, ΚΛ ἄρα μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΝΛ· ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ ΓΘ πρὸσ τὸ ΝΛ, οὕτωσ τὸ ΝΛ πρὸσ τὸ ΚΛ. ἀλλ’ ὡσ μὲν τὸ ΓΘ πρὸσ τὸ ΝΛ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΓΚ πρὸσ τὴν ΝΜ, ὡσ δὲ τὸ ΝΛ πρὸσ τὸ ΚΛ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΝΜ πρὸσ τὴν ΚΜ· ὡσ ἄρα ἡ ΓΚ πρὸσ τὴν ΜΝ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΜΝ πρὸσ τὴν ΚΜ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΚ, ΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ [ἀπὸ τῆσ ΜΝ, τουτέστι τῷ] τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆσ ΖΜ. ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι ἄνισοί εἰσιν αἱ ΓΜ, ΜΖ, καὶ τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆσ ΖΜ ἴσον παρὰ τὴν ΓΜ παραβέβληται ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ καὶ εἰσ σύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ, ἡ ΓΜ ἄρα τῆσ ΜΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ. καὶ οὐδετέρα τῶν ΓΜ, ΜΖ σύμμετρόσ ἐστι μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΓΔ· ἡ ἄρα ΓΖ ἀποτομή ἐστι τρίτη. Τὸ ἄρα ἀπὸ μέσησ ἀποτομῆσ δευτέρασ παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ ἀποτομὴν τρίτην· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τὸ ἀπὸ ἐλάσσονοσ παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ ἀποτομὴν τετάρτην. Ἔστω ἐλάσσων ἡ ΑΒ, ῥητὴ δὲ ἡ ΓΔ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΒ ἴσον παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΕ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΓΖ· λέγω, ὅτι ἡ ΓΖ ἀποτομή ἐστι τετάρτη. Ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΗ· αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τετραγώνων ῥητόν, τὸ δὲ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον. καὶ τῷ μὲν ἀπὸ τῆσ ΑΗ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΘ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΓΚ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆσ ΒΗ ἴσον τὸ ΚΛ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΚΜ· ὅλον ἄρα τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖσ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. καί ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ῥητόν· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΓΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παράκειται πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΓΜ· ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΓΜ καὶ σύμμετροσ τῇ ΓΔ μήκει. καὶ ἐπεὶ ὅλον τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖσ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, ὧν τὸ ΓΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΒ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΖΛ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. τετμήσθω οὖν ἡ ΖΜ δίχα κατὰ τὸ Ν σημεῖον, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ν ὁποτέρᾳ τῶν ΓΔ, ΜΛ παράλληλοσ ἡ ΝΞ· ἑκάτερον ἄρα τῶν ΖΞ, ΝΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. καὶ ἐπεὶ τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον ἐστὶ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΖΛ, καὶ τὸ ΖΛ ἄρα μέσον ἐστίν. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΖΕ παράκειται πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΖΜ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΜ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΓΔ μήκει. καὶ ἐπεὶ τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ῥητόν ἐστιν, τὸ δὲ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον, ἀσύμμετρα [ἄρα] ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. ἴσον δέ [ἐστι] τὸ ΓΛ τοῖσ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, τῷ δὲ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον τὸ ΖΛ· ἀσύμμετρον ἄρα [ἐστὶ] τὸ ΓΛ τῷ ΖΛ. ὡσ δὲ τὸ ΓΛ πρὸσ τὸ ΖΛ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΓΜ πρὸσ τὴν ΜΖ· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ τῇ ΜΖ μήκει. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ἄρα ΓΜ, ΜΖ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΖ. Λέγω [δή], ὅτι καὶ τετάρτη. Ἐπεὶ γὰρ αἱ ΑΗ, ΗΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι, ἀσύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΗ τῷ ἀπὸ τῆσ ΗΒ. καί ἐστι τῷ μὲν ἀπὸ τῆσ ΑΗ ἴσον τὸ ΓΘ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆσ ΗΒ ἴσον τὸ ΚΛ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΘ τῷ ΚΛ. ὡσ δὲ τὸ ΓΘ πρὸσ τὸ ΚΛ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΓΚ πρὸσ τὴν ΚΜ· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΚ τῇ ΚΜ μήκει. καὶ ἐπεὶ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν ἀπὸ τῆσ ΑΗ τῷ ΓΘ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆσ ΗΒ τῷ ΚΛ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ ΝΛ, τῶν ἄρα ΓΘ, ΚΛ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΝΛ· ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ ΓΘ πρὸσ τὸ ΝΛ, οὕτωσ τὸ ΝΛ πρὸσ τὸ ΚΛ. ἀλλ’ ὡσ μὲν τὸ ΓΘ πρὸσ τὸ ΝΛ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΓΚ πρὸσ τὴν ΝΜ, ὡσ δὲ τὸ ΝΛ πρὸσ τὸ ΚΛ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΝΜ πρὸσ τὴν ΚΜ· ὡσ ἄρα ἡ ΓΚ πρὸσ τὴν ΜΝ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΜΝ πρὸσ τὴν ΚΜ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΚ, ΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΜΝ, τουτέστι τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆσ ΖΜ. ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι ἄνισοί εἰσιν αἱ ΓΜ, ΜΖ, καὶ τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆσ ΜΖ ἴσον παρὰ τὴν ΓΜ παραβέβληται ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΚ, ΚΜ καὶ εἰσ ἀσύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ, ἡ ἄρα ΓΜ τῆσ ΜΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. καί ἐστιν ὅλη ἡ ΓΜ σύμμετροσ μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΓΔ· ἡ ἄρα ΓΖ ἀποτομή ἐστι τετάρτη. Τὸ ἄρα ἀπὸ ἐλάσσονοσ καὶ τὰ ἑξῆσ. Τὸ ἀπὸ τῆσ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιούσησ παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ ἀποτομὴν πέμπτην. Ἔστω ἡ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα ἡ ΑΒ, ῥητὴ δὲ ἡ ΓΔ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΕ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΓΖ· λέγω, ὅτι ἡ ΓΖ ἀποτομή ἐστι πέμπτη. Ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΗ· αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΒ εὐθεῖαι δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δὲ δὶσ ὑπ’ αὐτῶν ῥητόν. καὶ τῷ μὲν ἀπὸ τῆσ ΑΗ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΘ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆσ ΗΒ ἴσον τὸ ΚΛ· ὅλον ἄρα τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖσ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. τὸ δὲ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἅμα μέσον ἐστίν· μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παράκειται πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΓΜ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΓΔ. καὶ ἐπεὶ ὅλον τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖσ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, ὧν τὸ ΓΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΒ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΖΛ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. τετμήσθω οὖν ἡ ΖΜ δίχα κατὰ τὸ Ν, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ν ὁποτέρᾳ τῶν ΓΔ, ΜΛ παράλληλοσ ἡ ΝΞ· ἑκάτερον ἄρα τῶν ΖΞ, ΝΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. καὶ ἐπεὶ τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ῥητόν ἐστι καί [ἐστιν] ἴσον τῷ ΖΛ, ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΖΜ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΜ καὶ σύμμετροσ τῇ ΓΔ μήκει. καὶ ἐπεὶ τὸ μὲν ΓΛ μέσον ἐστίν, τὸ δὲ ΖΛ ῥητόν, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΛ τῷ ΖΛ. ὡσ δὲ τὸ ΓΛ πρὸσ τὸ ΖΛ, οὕτωσ ἡ ΓΜ πρὸσ τὴν ΜΖ· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ τῇ ΜΖ μήκει. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ἄρα ΓΜ, ΜΖ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΖ. Λέγω δή, ὅτι καὶ πέμπτη. Ὁμοίωσ γὰρ δείξομεν, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΓΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΝΜ, τουτέστι τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆσ ΖΜ. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΗ τῷ ἀπὸ τῆσ ΗΒ, ἴσον δὲ τὸ μὲν ἀπὸ τῆσ ΑΗ τῷ ΓΘ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆσ ΗΒ τῷ ΚΛ, ἀσύμμετρον ἄρα τὸ ΓΘ τῷ ΚΛ. ὡσ δὲ τὸ ΓΘ πρὸσ τὸ ΚΛ, οὕτωσ ἡ ΓΚ πρὸσ τὴν ΚΜ· ἀσύμμετροσ ἄρα ἡ ΓΚ τῇ ΚΜ μήκει. ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι ἄνισοί εἰσιν αἱ ΓΜ, ΜΖ, καὶ τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆσ ΖΜ ἴσον παρὰ τὴν ΓΜ παραβέβληται ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ καὶ εἰσ ἀσύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ, ἡ ἄρα ΓΜ τῆσ ΜΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. καί ἐστιν ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΖΜ σύμμετροσ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΓΔ· ἡ ἄρα ΓΖ ἀποτομή ἐστι πέμπτη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τὸ ἀπὸ τῆσ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιούσησ παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ ἀποτομὴν ἕκτην. Ἔστω ἡ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα ἡ ΑΒ, ῥητὴ δὲ ἡ ΓΔ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΕ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΓΖ· λέγω, ὅτι ἡ ΓΖ ἀποτομή ἐστιν ἕκτη. Ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΗ· αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον καὶ ἀσύμμετρον τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. παραβεβλήσθω οὖν παρὰ τὴν ΓΔ τῷ μὲν ἀπὸ τῆσ ΑΗ ἴσον τὸ ΓΘ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΓΚ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆσ ΒΗ τὸ ΚΛ· ὅλον ἄρα τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖσ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ· μέσον ἄρα [ἐστὶ] καὶ τὸ ΓΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παράκειται πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΓΜ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΓΔ μήκει. ἐπεὶ οὖν τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖσ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, ὧν τὸ ΓΕ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΒ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΖΛ ἴσον ἐστὶ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. καί ἐστι τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον· καὶ τὸ ΖΛ ἄρα μέσον ἐστίν. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΖΕ παράκειται πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΖΜ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΜ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΓΔ μήκει. καὶ ἐπεὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἀσύμμετρά ἐστι τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, καί ἐστι τοῖσ μὲν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον τὸ ΓΛ, τῷ δὲ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον τὸ ΖΛ, ἀσύμμετρον ἄρα [ἐστὶ] τὸ ΓΛ τῷ ΖΛ. ὡσ δὲ τὸ ΓΛ πρὸσ τὸ ΖΛ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΓΜ πρὸσ τὴν ΜΖ· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ τῇ ΜΖ μήκει. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί. αἱ ΓΜ, ΜΖ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΖ. Λέγω δή, ὅτι καὶ ἕκτη. Ἐπεὶ γὰρ τὸ ΖΛ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, τετμήσθω δίχα ἡ ΖΜ κατὰ τὸ Ν, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ν τῇ ΓΔ παράλληλοσ ἡ ΝΞ· ἑκάτερον ἄρα τῶν ΖΞ, ΝΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΗ, ΗΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΗ τῷ ἀπὸ τῆσ ΗΒ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆσ ΑΗ ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΘ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆσ ΗΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ΚΛ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΘ τῷ ΚΛ. ὡσ δὲ τὸ ΓΘ πρὸσ τὸ ΚΛ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΓΚ πρὸσ τὴν ΚΜ· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΚ τῇ ΚΜ. καὶ ἐπεὶ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, καί ἐστι τῷ μὲν ἀπὸ τῆσ ΑΗ ἴσον τὸ ΓΘ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆσ ΗΒ ἴσον τὸ ΚΛ, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον τὸ ΝΛ, καὶ τῶν ἄρα ΓΘ, ΚΛ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΝΛ· ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ ΓΘ πρὸσ τὸ ΝΛ, οὕτωσ τὸ ΝΛ πρὸσ τὸ ΚΛ. καὶ διὰ τὰ αὐτὰ ἡ ΓΜ τῆσ ΜΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. καὶ οὐδετέρα αὐτῶν σύμμετρόσ ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΓΔ· ἡ ΓΖ ἄρα ἀποτομή ἐστιν ἕκτη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἡ τῇ ἀποτομῇ μήκει σύμμετροσ ἀποτομή ἐστι καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτή. Ἔστω ἀποτομὴ ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ μήκει σύμμετροσ ἔστω ἡ ΓΔ· λέγω, ὅτι καὶ ἡ ΓΔ ἀποτομή ἐστι καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ. Ἐπεὶ γὰρ ἀποτομή ἐστιν ἡ ΑΒ, ἔστω αὐτῇ προσαρμόζουσα ἡ ΒΕ· αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι. καὶ τῷ τῆσ ΑΒ πρὸσ τὴν ΓΔ λόγῳ ὁ αὐτὸσ γεγονέτω ὁ τῆσ ΒΕ πρὸσ τὴν ΔΖ· καὶ ὡσ ἓν ἄρα πρὸσ ἕν, πάντα [ἐστὶ] πρὸσ πάντα· ἔστιν ἄρα καὶ ὡσ ὅλη ἡ ΑΕ πρὸσ ὅλην τὴν ΓΖ, οὕτωσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΓΔ. σύμμετροσ δὲ ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ μήκει. σύμμετροσ ἄρα καὶ ἡ ΑΕ μὲν τῇ ΓΖ, ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΔΖ. καὶ αἱ ΑΕ, ΕΒ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι. [ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΔ. Λέγω δή, ὅτι καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ. ] Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡσ ἡ ΑΕ πρὸσ τὴν ΓΖ, οὕτωσ ἡ ΒΕ πρὸσ τὴν ΔΖ, ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΑΕ πρὸσ τὴν ΕΒ, οὕτωσ ἡ ΓΖ πρὸσ τὴν ΖΔ. ἤτοι δὴ ἡ ΑΕ τῆσ ΕΒ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ ἢ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου. εἰ μὲν οὖν ἡ ΑΕ τῆσ ΕΒ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΓΖ τῆσ ΖΔ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ. καὶ εἰ μὲν σύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καὶ ἡ ΓΖ, εἰ δὲ ἡ ΒΕ, καὶ ἡ ΔΖ, εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΑΕ, ΕΒ, καὶ οὐδετέρα τῶν ΓΖ, ΖΔ. εἰ δὲ ἡ ΑΕ [τῆσ ΕΒ] μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΓΖ τῆσ ΖΔ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. καὶ εἰ μὲν σύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καὶ ἡ ΓΖ, εἰ δὲ ἡ ΒΕ, καὶ ἡ ΔΖ, εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΑΕ, ΕΒ, οὐδετέρα τῶν ΓΖ, ΖΔ. Ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΔ καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἡ τῇ μέσησ ἀποτομῇ σύμμετροσ μέσησ ἀποτομή ἐστι καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτή. Ἔστω μέσησ ἀποτομὴ ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ μήκει σύμμετροσ ἔστω ἡ ΓΔ· λέγω, ὅτι καὶ ἡ ΓΔ μέσησ ἀποτομή ἐστι καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ. Ἐπεὶ γὰρ μέσησ ἀποτομή ἐστιν ἡ ΑΒ, ἔστω αὐτῇ προσαρμόζουσα ἡ ΕΒ. αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι. καὶ γεγονέτω ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΓΔ, οὕτωσ ἡ ΒΕ πρὸσ τὴν ΔΖ· σύμμετροσ ἄρα [ἐστὶ] καὶ ἡ ΑΕ τῇ ΓΖ, ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΔΖ. αἱ δὲ ΑΕ, ΕΒ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι· καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι· μέσησ ἄρα ἀποτομή ἐστιν ἡ ΓΔ. Λέγω δή, ὅτι καὶ τῇ τάξει ἐστὶν ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ. Ἐπεὶ [γάρ] ἐστιν ὡσ ἡ ΑΕ πρὸσ τὴν ΕΒ, οὕτωσ ἡ ΓΖ πρὸσ τὴν ΖΔ [ἀλλ’ ὡσ μὲν ἡ ΑΕ πρὸσ τὴν ΕΒ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΕ πρὸσ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ, ὡσ δὲ ἡ ΓΖ πρὸσ τὴν ΖΔ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΓΖ πρὸσ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ], ἔστιν ἄρα καὶ ὡσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΕ πρὸσ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΓΖ πρὸσ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ [καὶ ἐναλλὰξ ὡσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΕ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΓΖ, οὕτωσ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ πρὸσ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ]. σύμμετρον δὲ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΕ τῷ ἀπὸ τῆσ ΓΖ· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ. εἴτε οὖν ῥητόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ, ῥητὸν ἔσται καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ, εἴτε μέσον [ἐστὶ] τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ, μέσον [ἐστὶ] καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ. Μέσησ ἄρα ἀποτομή ἐστιν ἡ ΓΔ καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἡ τῇ ἐλάσσονι σύμμετροσ ἐλάσσων ἐστίν. Ἔστω γὰρ ἐλάσσων ἡ ΑΒ καὶ τῇ ΑΒ σύμμετροσ ἡ ΓΔ· λέγω, ὅτι καὶ ἡ ΓΔ ἐλάσσων ἐστίν. Γεγονέτω γὰρ τὰ αὐτά· καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΕ, ΕΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι, καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡσ ἡ ΑΕ πρὸσ τὴν ΕΒ, οὕτωσ ἡ ΓΖ πρὸσ τὴν ΖΔ, ἔστιν ἄρα καὶ ὡσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΕ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΕΒ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΓΖ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΔ. συνθέντι ἄρα ἐστὶν ὡσ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΕΒ, οὕτωσ τὰ ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΔ [καὶ ἐναλλάξ]· σύμμετρον δέ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΕ τῷ ἀπὸ τῆσ ΔΖ· σύμμετρον ἄρα καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τετραγώνων τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ τετραγώνων. ῥητὸν δέ ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τετραγώνων· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ τετραγώνων. πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΕ πρὸσ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΓΖ πρὸσ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ, σύμμετρον δὲ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΕ τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆσ ΓΖ τετραγώνῳ, σύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ. μέσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ· μέσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ· αἱ ΓΖ, ΖΔ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δ’ ὑπ’ αὐτῶν μέσον. Ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΔ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἡ τῇ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιούσῃ σύμμετροσ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν. Ἔστω μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα ἡ ΑΒ καὶ τῇ ΑΒ σύμμετροσ ἡ ΓΔ· λέγω, ὅτι καὶ ἡ ΓΔ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν. Ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΕ· αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τετραγώνων μέσον, τὸ δ’ ὑπ’ αὐτῶν ῥητόν. καὶ τὰ αὐτὰ κατεσκευάσθω. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν τοῖσ πρότερον, ὅτι αἱ ΓΖ, ΖΔ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶ ταῖσ ΑΕ, ΕΒ, καὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τετραγώνων τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ τετραγώνων, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ· ὥστε καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ τετραγώνων μέσον, τὸ δ’ ὑπ’ αὐτῶν ῥητόν. Ἡ ΓΔ ἄρα μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἡ τῇ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιούσῃ σύμμετροσ καὶ αὐτὴ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν. Ἔστω μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ ἔστω σύμμετροσ ἡ ΓΔ· λέγω, ὅτι καὶ ἡ ΓΔ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν. Ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΕ, καὶ τὰ αὐτὰ κατεσκευάσθω· αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ τὸ ὑπ’ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων τῷ ὑπ’ αὐτῶν. καί εἰσιν, ὡσ ἐδείχθη, αἱ ΑΕ, ΕΒ σύμμετροι ταῖσ ΓΖ, ΖΔ, καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τετραγώνων τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ· καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ τὸ ὑπ’ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν [τετραγώνων] τῷ ὑπ’ αὐτῶν. Ἡ ΓΔ ἄρα μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἀπὸ ῥητοῦ μέσου ἀφαιρουμένου ἡ τὸ λοιπὸν χωρίον δυναμένη μία δύο ἀλόγων γίνεται ἤτοι ἀποτομὴ ἢ ἐλάσσων. Ἀπὸ γὰρ ῥητοῦ τοῦ ΒΓ μέσον ἀφῃρήσθω τὸ ΒΔ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ λοιπὸν δυναμένη τὸ ΕΓ μία δύο ἀλόγων γίνεται ἤτοι ἀποτομὴ ἢ ἐλάσσων. Ἐκκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ ΖΗ, καὶ τῷ μὲν ΒΓ ἴσον παρὰ τὴν ΖΗ παραβεβλήσθω ὀρθογώνιον παραλληλόγραμμον τὸ ΗΘ, τῷ δὲ ΔΒ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΗΚ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΕΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ΛΘ. ἐπεὶ οὖν ῥητὸν μέν ἐστι τὸ ΒΓ, μέσον δὲ τὸ ΒΔ, ἴσον δὲ τὸ μὲν ΒΓ τῷ ΗΘ, τὸ δὲ ΒΔ τῷ ΗΚ, ῥητὸν μὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΘ, μέσον δὲ τὸ ΗΚ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΖΗ παράκειται· ῥητὴ μὲν ἄρα ἡ ΖΘ καὶ σύμμετροσ τῇ ΖΗ μήκει, ῥητὴ δὲ ἡ ΖΚ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΖΗ μήκει· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΘ τῇ ΖΚ μήκει. αἱ ΖΘ, ΖΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΘ, προσαρμόζουσα δὲ αὐτῇ ἡ ΚΖ. ἤτοι δὴ ἡ ΘΖ τῆσ ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἢ οὔ. Δυνάσθω πρότερον τῷ ἀπὸ συμμέτρου. καί ἐστιν ὅλη ἡ ΘΖ σύμμετροσ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΖΗ· ἀποτομὴ ἄρα πρώτη ἐστὶν ἡ ΚΘ. τὸ δ’ ὑπὸ ῥητῆσ καὶ ἀποτομῆσ πρώτησ περιεχόμενον ἡ δυναμένη ἀποτομή ἐστιν. ἡ ἄρα τὸ ΛΘ, τουτέστι τὸ ΕΓ, δυναμένη ἀποτομή ἐστιν. Εἰ δὲ ἡ ΘΖ τῆσ ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καί ἐστιν ὅλη ἡ ΖΘ σύμμετροσ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΖΗ, ἀποτομὴ τετάρτη ἐστὶν ἡ ΚΘ. τὸ δ’ ὑπὸ ῥητῆσ καὶ ἀποτομῆσ τετάρτησ περιεχόμενον ἡ δυναμένη ἐλάσσων ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἀπὸ μέσου ῥητοῦ ἀφαιρουμένου ἄλλαι δύο ἄλογοι γίνονται ἤτοι μέσησ ἀποτομὴ πρώτη ἢ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα. Ἀπὸ γὰρ μέσου τοῦ ΒΓ ῥητὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΒΔ. λέγω, ὅτι ἡ τὸ λοιπὸν τὸ ΕΓ δυναμένη μία δύο ἀλόγων γίνεται ἤτοι μέσησ ἀποτομὴ πρώτη ἢ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα. Ἐκκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ ΖΗ, καὶ παραβεβλήσθω ὁμοίωσ τὰ χωρία. ἔστι δὴ ἀκολούθωσ ῥητὴ μὲν ἡ ΖΘ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΖΗ μήκει, ῥητὴ δὲ ἡ ΚΖ καὶ σύμμετροσ τῇ ΖΗ μήκει· αἱ ΖΘ, ΖΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΘ, προσαρμόζουσα δὲ ταύτῃ ἡ ΖΚ. ἤτοι δὴ ἡ ΘΖ τῆσ ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ ἢ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου. Εἰ μὲν οὖν ἡ ΘΖ τῆσ ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καί ἐστιν ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΖΚ σύμμετροσ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΖΗ, ἀποτομὴ δευτέρα ἐστὶν ἡ ΚΘ. ῥητὴ δὲ ἡ ΖΗ· ὥστε ἡ τὸ ΛΘ, τουτέστι τὸ ΕΓ, δυναμένη μέσησ ἀποτομὴ πρώτη ἐστίν. Εἰ δὲ ἡ ΘΖ τῆσ ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου, καί ἐστιν ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΖΚ σύμμετροσ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΖΗ, ἀποτομὴ πέμπτη ἐστὶν ἡ ΚΘ· ὥστε ἡ τὸ ΕΓ δυναμένη μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἀπὸ μέσου μέσου ἀφαιρουμένου ἀσυμμέτρου τῷ ὅλῳ αἱ λοιπαὶ δύο ἄλογοι γίνονται ἤτοι μέσησ ἀποτομὴ δευτέρα ἢ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα. Ἀφῃρήσθω γὰρ ὡσ ἐπὶ τῶν προκειμένων καταγραφῶν ἀπὸ μέσου τοῦ ΒΓ μέσον τὸ ΒΔ ἀσύμμετρον τῷ ὅλῳ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΕΓ δυναμένη μία ἐστὶ δύο ἀλόγων ἤτοι μέσησ ἀποτομὴ δευτέρα ἢ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα. Ἐπεὶ γὰρ μέσον ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΒΓ, ΒΔ, καὶ ἀσύμμετρον τὸ ΒΓ τῷ ΒΔ, ἔσται ἀκολούθωσ ῥητὴ ἑκατέρα τῶν ΖΘ, ΖΚ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΖΗ μήκει. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ ΒΓ τῷ ΒΔ, τουτέστι τὸ ΗΘ τῷ ΗΚ, ἀσύμμετροσ καὶ ἡ ΘΖ τῇ ΖΚ· αἱ ΖΘ, ΖΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΘ [προσαρμόζουσα δὲ ἡ ΖΚ. ἤτοι δὴ ἡ ΖΘ τῆσ ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἢ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ]. Εἰ μὲν δὴ ἡ ΖΘ τῆσ ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ οὐθετέρα τῶν ΖΘ, ΖΚ σύμμετρόσ ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΖΗ, ἀποτομὴ τρίτη ἐστὶν ἡ ΚΘ. ῥητὴ δὲ ἡ ΚΛ, τὸ δ’ ὑπὸ ῥητῆσ καὶ ἀποτομῆσ τρίτησ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἄλογόν ἐστιν, καὶ ἡ δυναμένη αὐτὸ ἄλογόσ ἐστιν, καλεῖται δὲ μέσησ ἀποτομὴ δευτέρα· ὥστε ἡ τὸ ΛΘ, τουτέστι τὸ ΕΓ, δυναμένη μέσησ ἀποτομή ἐστι δευτέρα. Εἰ δὲ ἡ ΖΘ τῆσ ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ [μήκει], καὶ οὐθετέρα τῶν ΘΖ, ΖΚ σύμμετρόσ ἐστι τῇ ΖΗ μήκει, ἀποτομὴ ἕκτη ἐστὶν ἡ ΚΘ. τὸ δ’ ὑπὸ ῥητῆσ καὶ ἀποτομῆσ ἕκτησ ἡ δυναμένη ἐστὶ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα. ἡ τὸ ΛΘ ἄρα, τουτέστι τὸ ΕΓ, δυναμένη μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἡ ἀποτομὴ οὐκ ἔστιν ἡ αὐτὴ τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων. Ἔστω ἀποτομὴ ἡ ΑΒ· λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ οὐκ ἔστιν ἡ αὐτὴ τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων. Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω· καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΔΓ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω ὀρθογώνιον τὸ ΓΕ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΔΕ. ἐπεὶ οὖν ἀποτομή ἐστιν ἡ ΑΒ, ἀποτομὴ πρώτη ἐστὶν ἡ ΔΕ. ἔστω αὐτῇ προσαρμόζουσα ἡ ΕΖ· αἱ ΔΖ, ΖΕ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΔΖ τῆσ ΖΕ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΔΖ σύμμετρόσ ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΔΓ. πάλιν, ἐπεὶ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΑΒ, ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων πρώτη ἐστὶν ἡ ΔΕ. διῃρήσθω εἰσ τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Η, καὶ ἔστω μεῖζον ὄνομα τὸ ΔΗ· αἱ ΔΗ, ΗΕ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΔΗ τῆσ ΗΕ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ τὸ μεῖζον ἡ ΔΗ σύμμετρόσ ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΔΓ. καὶ ἡ ΔΖ ἄρα τῇ ΔΗ σύμμετρόσ ἐστι μήκει· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΗΖ σύμμετρόσ ἐστι τῇ ΔΖ μήκει. [ἐπεὶ οὖν σύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΔΖ τῇ ΗΖ, ῥητὴ δέ ἐστιν ἡ ΔΖ, ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΗΖ. ἐπεὶ οὖν σύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΔΖ τῇ ΗΖ μήκει] ἀσύμμετροσ δὲ ἡ ΔΖ τῇ ΕΖ μήκει· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΗ τῇ ΕΖ μήκει. αἱ ΗΖ, ΖΕ ἄρα ῥηταί [εἰσι] δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΗ. ἀλλὰ καὶ ῥητή· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. Ἡ ἄρα ἀποτομὴ οὐκ ἔστιν ἡ αὐτὴ τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. [Πόρισμα] Ἡ ἀποτομὴ καὶ αἱ μετ’ αὐτὴν ἄλογοι οὔτε τῇ μέσῃ οὔτε ἀλλήλαισ εἰσὶν αἱ αὐταί. Τὸ μὲν γὰρ ἀπὸ μέσησ παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ ῥητὴν καὶ ἀσύμμετρον τῇ, παρ’ ἣν παράκειται, μήκει, τὸ δὲ ἀπὸ ἀποτομῆσ παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ ἀποτομὴν πρώτην, τὸ δὲ ἀπὸ μέσησ ἀποτομῆσ πρώτησ παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ ἀποτομὴν δευτέραν, τὸ δὲ ἀπὸ μέσησ ἀποτομῆσ δευτέρασ παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ ἀποτομὴν τρίτην, τὸ δὲ ἀπὸ ἐλάσσονοσ παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ ἀποτομὴν τετάρτην, τὸ δὲ ἀπὸ τῆσ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιούσησ παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ ἀποτομὴν πέμπτην, τὸ δὲ ἀπὸ τῆσ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιούσησ παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ ἀποτομὴν ἕκτην. ἐπεὶ οὖν τὰ εἰρημένα πλάτη διαφέρει τοῦ τε πρώτου καὶ ἀλλήλων, τοῦ μὲν πρώτου, ὅτι ῥητή ἐστιν, ἀλλήλων δέ, ἐπεὶ τῇ τάξει οὐκ εἰσὶν αἱ αὐταί, δῆλον, ὡσ καὶ αὐταὶ αἱ ἄλογοι διαφέρουσιν ἀλλήλων. καὶ ἐπεὶ δέδεικται ἡ ἀποτομὴ οὐκ οὖσα ἡ αὐτὴ τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων, ποιοῦσι δὲ πλάτη παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμεναι αἱ μετὰ τὴν ἀποτομὴν ἀποτομὰσ ἀκολούθωσ ἑκάστη τῇ τάξει τῇ καθ’ αὑτήν, αἱ δὲ μετὰ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων τὰσ ἐκ δύο ὀνομάτων καὶ αὐταὶ τῇ τάξει ἀκολούθωσ, ἕτεραι ἄρα εἰσὶν αἱ μετὰ τὴν ἀποτομὴν καὶ ἕτεραι αἱ μετὰ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων, ὡσ εἶναι τῇ τάξει πάσασ ἀλόγουσ <ιγ>, Μέσην, Ἐκ δύο ὀνομάτων, Ἐκ δύο μέσων πρώτην, Ἐκ δύο μέσων δευτέραν, Μείζονα, Ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένην, Δύο μέσα δυναμένην, Ἀποτομήν, Μέσησ ἀποτομὴν πρώτην, Μέσησ ἀποτομὴν δευτέραν, Ἐλάσσονα, Μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσαν, Μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσαν. Τὸ ἀπὸ ῥητῆσ παρὰ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ ἀποτομήν, ἧσ τὰ ὀνόματα σύμμετρά ἐστι τοῖσ τῆσ ἐκ δύο ὀνομάτων ὀνόμασι καὶ ἔτι ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ ἔτι ἡ γινομένη ἀποτομὴ τὴν αὐτὴν ἕξει τάξιν τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων. Ἔστω ῥητὴ μὲν ἡ Α, ἐκ δύο ὀνομάτων δὲ ἡ ΒΓ, ἧσ μεῖζον ὄνομα ἔστω ἡ ΔΓ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆσ Α ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΕΖ· λέγω, ὅτι ἡ ΕΖ ἀποτομή ἐστιν, ἧσ τὰ ὀνόματα σύμμετρά ἐστι τοῖσ ΓΔ, ΔΒ, καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ ἔτι ἡ ΕΖ τὴν αὐτὴν ἕξει τάξιν τῇ ΒΓ. Ἔστω γὰρ πάλιν τῷ ἀπὸ τῆσ Α ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, Η. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΕΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔ, Η, ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΓΒ πρὸσ τὴν ΒΔ, οὕτωσ ἡ Η πρὸσ τὴν ΕΖ. μείζων δὲ ἡ ΓΒ τῆσ ΒΔ· μείζων ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ Η τῆσ ΕΖ. ἔστω τῇ Η ἴση ἡ ΕΘ· ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΓΒ πρὸσ τὴν ΒΔ, οὕτωσ ἡ ΘΕ πρὸσ τὴν ΕΖ· διελόντι ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΓΔ πρὸσ τὴν ΒΔ, οὕτωσ ἡ ΘΖ πρὸσ τὴν ΖΕ. γεγονέτω ὡσ ἡ ΘΖ πρὸσ τὴν ΖΕ, οὕτωσ ἡ ΖΚ πρὸσ τὴν ΚΕ· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΘΚ πρὸσ ὅλην τὴν ΚΖ ἐστιν, ὡσ ἡ ΖΚ πρὸσ ΚΕ· ὡσ γὰρ ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸσ ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτωσ ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸσ ἅπαντα τὰ ἑπόμενα. ὡσ δὲ ἡ ΖΚ πρὸσ ΚΕ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΓΔ πρὸσ τὴν ΔΒ· καὶ ὡσ ἄρα ἡ ΘΚ πρὸσ ΚΖ, οὕτωσ ἡ ΓΔ πρὸσ τὴν ΔΒ. σύμμετρον δὲ τὸ ἀπὸ τῆσ ΓΔ τῷ ἀπὸ τῆσ ΔΒ· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΘΚ τῷ ἀπὸ τῆσ ΚΖ. καί ἐστιν ὡσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΘΚ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΚΖ, οὕτωσ ἡ ΘΚ πρὸσ τὴν ΚΕ, ἐπεὶ αἱ τρεῖσ αἱ ΘΚ, ΚΖ, ΚΕ ἀνάλογόν εἰσιν. σύμμετροσ ἄρα ἡ ΘΚ τῇ ΚΕ μήκει· ὥστε καὶ ἡ ΘΕ τῇ ΕΚ σύμμετρόσ ἐστι μήκει. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆσ Α ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΕΘ, ΒΔ, ῥητὸν δέ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ Α, ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΕΘ, ΒΔ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΒΔ παράκειται· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ καὶ σύμμετροσ τῇ ΒΔ μήκει· ὥστε καὶ ἡ σύμμετροσ αὐτῇ ἡ ΕΚ ῥητή ἐστι καὶ σύμμετροσ τῇ ΒΔ μήκει. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡσ ἡ ΓΔ πρὸσ ΔΒ, οὕτωσ ἡ ΖΚ πρὸσ ΚΕ, αἱ δὲ ΓΔ, ΔΒ δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι, καὶ αἱ ΖΚ, ΚΕ δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι. ῥητὴ δέ ἐστιν ἡ ΚΕ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΚ. αἱ ΖΚ, ΚΕ ἄρα ῥηταὶ δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ. Ἤτοι δὲ ἡ ΓΔ τῆσ ΔΒ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ ἢ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου. Εἰ μὲν οὖν ἡ ΓΔ τῆσ ΔΒ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου [ἑαυτῇ], καὶ ἡ ΖΚ τῆσ ΚΕ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ. καὶ εἰ μὲν σύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΓΔ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καὶ ἡ ΖΚ· εἰ δὲ ἡ ΒΔ, καὶ ἡ ΚΕ· εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΓΔ, ΔΒ, καὶ οὐδετέρα τῶν ΖΚ, ΚΕ. Εἰ δὲ ἡ ΓΔ τῆσ ΔΒ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΖΚ τῆσ ΚΕ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. καὶ εἰ μὲν ἡ ΓΔ σύμμετρόσ ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καὶ ἡ ΖΚ· εἰ δὲ ἡ ΒΔ, καὶ ἡ ΚΕ· εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΓΔ, ΔΒ, καὶ οὐδετέρα τῶν ΖΚ, ΚΕ· ὥστε ἀποτομή ἐστιν ἡ ΖΕ, ἧσ τὰ ὀνόματα τὰ ΖΚ, ΚΕ σύμμετρά ἐστι τοῖσ τῆσ ἐκ δύο ὀνομάτων ὀνόμασι τοῖσ ΓΔ, ΔΒ καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ τὴν αὐτὴν τάξιν ἔχει τῇ ΒΓ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τὸ ἀπὸ ῥητῆσ παρὰ ἀποτομὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων, ἧσ τὰ ὀνόματα σύμμετρά ἐστι τοῖσ τῆσ ἀποτομῆσ ὀνόμασι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ἔτι δὲ ἡ γινομένη ἐκ δύο ὀνομάτων τὴν αὐτὴν τάξιν ἔχει τῇ ἀποτομῇ. Ἔστω ῥητὴ μὲν ἡ Α, ἀποτομὴ δὲ ἡ ΒΔ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆσ Α ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΚΘ, ὥστε τὸ ἀπὸ τῆσ Α ῥητῆσ παρὰ τὴν ΒΔ ἀποτομὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ τὴν ΚΘ· λέγω, ὅτι ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΚΘ, ἧσ τὰ ὀνόματα σύμμετρά ἐστι τοῖσ τῆσ ΒΔ ὀνόμασι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ ἔτι ἡ ΚΘ τὴν αὐτὴν ἔχει τάξιν τῇ ΒΔ. Ἔστω γὰρ τῇ ΒΔ προσαρμόζουσα ἡ ΔΓ· αἱ ΒΓ, ΓΔ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι. καὶ τῷ ἀπὸ τῆσ Α ἴσον ἔστω καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, Η. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆσ Α· ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, Η. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΒΓ παραβέβληται· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ Η καὶ σύμμετροσ τῇ ΒΓ μήκει. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, Η ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΚΘ, ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΓΒ πρὸσ ΒΔ, οὕτωσ ἡ ΚΘ πρὸσ Η. μείζων δὲ ἡ ΒΓ τῆσ ΒΔ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΚΘ τῆσ Η. κείσθω τῇ Η ἴση ἡ ΚΕ· σύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΕ τῇ ΒΓ μήκει. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ ΓΒ πρὸσ ΒΔ, οὕτωσ ἡ ΘΚ πρὸσ ΚΕ, ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΓΔ, οὕτωσ ἡ ΚΘ πρὸσ ΘΕ. γεγονέτω ὡσ ἡ ΚΘ πρὸσ ΘΕ, οὕτωσ ἡ ΘΖ πρὸσ ΖΕ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΚΖ πρὸσ ΖΘ ἐστιν, ὡσ ἡ ΚΘ πρὸσ ΘΕ, τουτέστιν [ὡσ] ἡ ΒΓ πρὸσ ΓΔ. αἱ δὲ ΒΓ, ΓΔ δυνάμει μόνον [εἰσὶ] σύμμετροι· καὶ αἱ ΚΖ, ΖΘ ἄρα δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ ΚΘ πρὸσ ΘΕ, ἡ ΚΖ πρὸσ ΖΘ, ἀλλ’ ὡσ ἡ ΚΘ πρὸσ ΘΕ, ἡ ΘΖ πρὸσ ΖΕ, καὶ ὡσ ἄρα ἡ ΚΖ πρὸσ ΖΘ, ἡ ΘΖ πρὸσ ΖΕ· ὥστε καὶ ὡσ ἡ πρώτη πρὸσ τὴν τρίτην, τὸ ἀπὸ τῆσ πρώτησ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ δευτέρασ· καὶ ὡσ ἄρα ἡ ΚΖ πρὸσ ΖΕ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΚΖ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΘ. σύμμετρον δέ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΚΖ τῷ ἀπὸ τῆσ ΖΘ· αἱ γὰρ ΚΖ, ΖΘ δυνάμει εἰσὶ σύμμετροι· σύμμετροσ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΚΖ τῇ ΖΕ μήκει· ὥστε ἡ ΚΖ καὶ τῇ ΚΕ σύμμετρόσ [ἐστι] μήκει. ῥητὴ δέ ἐστιν ἡ ΚΕ καὶ σύμμετροσ τῇ ΒΓ μήκει· ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΚΖ καὶ σύμμετροσ τῇ ΒΓ μήκει. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ ΒΓ πρὸσ ΓΔ, οὕτωσ ἡ ΚΖ πρὸσ ΖΘ, ἐναλλὰξ ὡσ ἡ ΒΓ πρὸσ ΚΖ, οὕτωσ ἡ ΔΓ πρὸσ ΖΘ. σύμμετροσ δὲ ἡ ΒΓ τῇ ΚΖ· σύμμετροσ ἄρα καὶ ἡ ΖΘ τῇ ΓΔ μήκει. αἱ ΒΓ, ΓΔ δὲ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· καὶ αἱ ΚΖ, ΖΘ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἄρα ἡ ΚΘ. Εἰ μὲν οὖν ἡ ΒΓ τῆσ ΓΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΚΖ τῆσ ΖΘ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ. καὶ εἰ μὲν σύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΒΓ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καὶ ἡ ΚΖ, εἰ δὲ ἡ ΓΔ σύμμετρόσ ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καὶ ἡ ΖΘ, εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΒΓ, ΓΔ, οὐδετέρα τῶν ΚΖ, ΖΘ. Εἰ δὲ ἡ ΒΓ τῆσ ΓΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΚΖ τῆσ ΖΘ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. καὶ εἰ μὲν σύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΒΓ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καὶ ἡ ΚΖ, εἰ δὲ ἡ ΓΔ, καὶ ἡ ΖΘ, εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΒΓ, ΓΔ, οὐδετέρα τῶν ΚΖ, ΖΘ. Ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΚΘ, ἧσ τὰ ὀνόματα τὰ ΚΖ, ΖΘ σύμμετρά [ἐστι] τοῖσ τῆσ ἀποτομῆσ ὀνόμασι τοῖσ ΒΓ, ΓΔ καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ ἔτι ἡ ΚΘ τῇ ΒΓ τὴν αὐτὴν ἕξει τάξιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ἀποτομῆσ καὶ τῆσ ἐκ δύο ὀνομάτων, ἧσ τὰ ὀνόματα σύμμετρά τέ ἐστι τοῖσ τῆσ ἀποτομῆσ ὀνόμασι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ῥητή ἐστιν. Περιεχέσθω γὰρ χωρίον τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΓΔ ὑπὸ ἀποτομῆσ τῆσ ΑΒ καὶ τῆσ ἐκ δύο ὀνομάτων τῆσ ΓΔ, ἧσ μεῖζον ὄνομα ἔστω τὸ ΓΕ, καὶ ἔστω τὰ ὀνόματα τῆσ ἐκ δύο ὀνομάτων τὰ ΓΕ, ΕΔ σύμμετρά τε τοῖσ τῆσ ἀποτομῆσ ὀνόμασι τοῖσ ΑΖ, ΖΒ καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ ἔστω ἡ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΓΔ δυναμένη ἡ Η· λέγω, ὅτι ῥητή ἐστιν ἡ Η. Ἐκκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ Θ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆσ Θ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΚΛ· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΛ, ἧσ τὰ ὀνόματα ἔστω τὰ ΚΜ, ΜΛ σύμμετρα τοῖσ τῆσ ἐκ δύο ὀνομάτων ὀνόμασι τοῖσ ΓΕ, ΕΔ καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ. ἀλλὰ καὶ αἱ ΓΕ, ΕΔ σύμμετροί τέ εἰσι ταῖσ ΑΖ, ΖΒ καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ· ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΑΖ πρὸσ τὴν ΖΒ, οὕτωσ ἡ ΚΜ πρὸσ ΜΛ. ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΑΖ πρὸσ τὴν ΚΜ, οὕτωσ ἡ ΒΖ πρὸσ τὴν ΛΜ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΒ πρὸσ λοιπὴν τὴν ΚΛ ἐστιν ὡσ ἡ ΑΖ πρὸσ ΚΜ. σύμμετροσ δὲ ἡ ΑΖ τῇ ΚΜ· σύμμετροσ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΚΛ. καί ἐστιν ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ ΚΛ, οὕτωσ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΑΒ πρὸσ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΚΛ· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΑΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΚΛ. ἴσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΚΛ τῷ ἀπὸ τῆσ Θ· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΑΒ τῷ ἀπὸ τῆσ Θ. τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΑΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ Η· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ Η τῷ ἀπὸ τῆσ Θ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆσ Θ· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ Η· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ Η. καὶ δύναται τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΑΒ. Εἂν ἄρα χωρίον περιέχηται ὑπὸ ἀποτομῆσ καὶ τῆσ ἐκ δύο ὀνομάτων, ἧσ τὰ ὀνόματα σύμμετρά ἐστι τοῖσ τῆσ ἀποτομῆσ ὀνόμασι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ῥητή ἐστιν. Πόρισμα Καὶ γέγονεν ἡμῖν καὶ διὰ τούτου φανερόν, ὅτι δυνατόν ἐστι ῥητὸν χωρίον ὑπὸ ἀλόγων εὐθειῶν περιέχεσθαι. ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἀπὸ μέσησ ἄπειροι ἄλογοι γίνονται, καὶ οὐδεμία οὐδεμιᾷ τῶν πρότερον ἡ αὐτή. Ἔστω μέση ἡ Α· λέγω, ὅτι ἀπὸ τῆσ Α ἄπειροι ἄλογοι γίνονται, καὶ οὐδεμία οὐδεμιᾷ τῶν πρότερον ἡ αὐτή. Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Β, καὶ τῷ ὑπὸ τῶν Β, Α ἴσον ἔστω τὸ ἀπὸ τῆσ Γ· ἄλογοσ ἄρα ἐστὶν ἡ Γ· τὸ γὰρ ὑπὸ ἀλόγου καὶ ῥητῆσ ἄλογόν ἐστιν. καὶ οὐδεμιᾷ τῶν πρότερον ἡ αὐτή· τὸ γὰρ ἀπ’ οὐδεμιᾶσ τῶν πρότερον παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ μέσην. πάλιν δὴ τῷ ὑπὸ τῶν Β, Γ ἴσον ἔστω τὸ ἀπὸ τῆσ Δ· ἄλογον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ Δ. ἄλογοσ ἄρα ἐστὶν ἡ Δ· καὶ οὐδεμιᾷ τῶν πρότερον ἡ αὐτή· τὸ γὰρ ἀπ’ οὐδεμιᾶσ τῶν πρότερον παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ τὴν Γ. ὁμοίωσ δὴ τῆσ τοιαύτησ τάξεωσ ἐπ’ ἄπειρον προβαινούσησ φανερόν, ὅτι ἀπὸ τῆσ μέσησ ἄπειροι ἄλογοι γίνονται, καὶ οὐδεμία οὐδεμιᾷ τῶν πρότερον ἡ αὐτή· ὅπερ ἔδει δεῖξαι].

MENU NAVIGATION

호흡부호 보기

강세부호 보기

장단부호 보기

작은 Iota 보기

모든 부호 보기

헬라어 텍스트

Euclid, Elements, book 10, type Prop 3

(유클리드, Elements, book 10, type Prop 3)

상위

목록

SEARCH

MENU NAVIGATION