Euclid, Elements, book 10, type Prop 1

Δύο μεγεθῶν ἀνίσων ἐκκειμένων, ἐὰν ἀπὸ τοῦ μείζονοσ ἀφαιρεθῇ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ καὶ τοῦ καταλειπομένου μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ, καὶ τοῦτο ἀεὶ γίγνηται, λειφθήσεταί τι μέγεθοσ, ὃ ἔσται ἔλασσον τοῦ ἐκκειμένου ἐλάσσονοσ μεγέθουσ. Ἔστω δύο μεγέθη ἄνισα τὰ ΑΒ, Γ, ὧν μεῖζον τὸ ΑΒ· λέγω, ὅτι, ἐὰν ἀπὸ τοῦ ΑΒ ἀφαιρεθῇ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ καὶ τοῦ καταλειπομένου μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ, καὶ τοῦτο ἀεὶ γίγνηται, λειφθήσεταί τι μέγεθοσ, ὃ ἔσται ἔλασσον τοῦ Γ μεγέθουσ. Τὸ Γ γὰρ πολλαπλασιαζόμενον ἔσται ποτὲ τοῦ ΑΒ μεῖζον. πεπολλαπλασιάσθω, καὶ ἔστω τὸ ΔΕ τοῦ μὲν Γ πολλαπλάσιον, τοῦ δὲ ΑΒ μεῖζον, καὶ διῃρήσθω τὸ ΔΕ εἰσ τὰ τῷ Γ ἴσα τὰ ΔΖ, ΖΗ, ΗΕ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ μὲν τοῦ ΑΒ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ τὸ ΒΘ, ἀπὸ δὲ τοῦ ΑΘ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ τὸ ΘΚ, καὶ τοῦτο ἀεὶ γιγνέσθω, ἑώσ ἂν αἱ ἐν τῷ ΑΒ διαιρέσεισ ἰσοπληθεῖσ γένωνται ταῖσ ἐν τῷ ΔΕ διαιρέσεσιν. Ἔστωσαν οὖν αἱ ΑΚ, ΚΘ, ΘΒ διαιρέσεισ ἰσοπληθεῖσ οὖσαι ταῖσ ΔΖ, ΖΗ, ΗΕ· καὶ ἐπεὶ μεῖζόν ἐστι τὸ ΔΕ τοῦ ΑΒ, καὶ ἀφῄρηται ἀπὸ μὲν τοῦ ΔΕ ἔλασσον τοῦ ἡμίσεοσ τὸ ΕΗ, ἀπὸ δὲ τοῦ ΑΒ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ τὸ ΒΘ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΗΔ λοιποῦ τοῦ ΘΑ μεῖζόν ἐστιν. καὶ ἐπεὶ μεῖζόν ἐστι τὸ ΗΔ τοῦ ΘΑ, καὶ ἀφῄρηται τοῦ μὲν ΗΔ ἥμισυ τὸ ΗΖ, τοῦ δὲ ΘΑ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ τὸ ΘΚ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΔΖ λοιποῦ τοῦ ΑΚ μεῖζόν ἐστιν. ἴσον δὲ τὸ ΔΖ τῷ Γ· καὶ τὸ Γ ἄρα τοῦ ΑΚ μεῖζόν ἐστιν. ἔλασσον ἄρα τὸ ΑΚ τοῦ Γ. Καταλείπεται ἄρα ἀπὸ τοῦ ΑΒ μεγέθουσ τὸ ΑΚ μέγεθοσ ἔλασσον ὂν τοῦ ἐκκειμένου ἐλάσσονοσ μεγέθουσ τοῦ Γ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. —ὁμοίωσ δὲ δειχθήσεται, κἂν ἡμίση ᾖ τὰ ἀφαιρούμενα. Εἂν δύο μεγεθῶν [ἐκκειμένων] ἀνίσων ἀνθυφαιρουμένου ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονοσ ἀπὸ τοῦ μείζονοσ τὸ καταλειπόμενον μηδέποτε καταμετρῇ τὸ πρὸ ἑαυτοῦ, ἀσύμμετρα ἔσται τὰ μεγέθη. Δύο γὰρ μεγεθῶν ὄντων ἀνίσων τῶν ΑΒ, ΓΔ καὶ ἐλάσσονοσ τοῦ ΑΒ ἀνθυφαιρουμένου ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονοσ ἀπὸ τοῦ μείζονοσ τὸ περιλειπόμενον μηδέποτε καταμετρείτω τὸ πρὸ ἑαυτοῦ· λέγω, ὅτι ἀσύμμετρά ἐστι τὰ ΑΒ, ΓΔ μεγέθη. Εἰ γάρ ἐστι σύμμετρα, μετρήσει τι αὐτὰ μέγεθοσ. μετρείτω, εἰ δυνατόν, καὶ ἔστω τὸ Ε· καὶ τὸ μὲν ΑΒ τὸ ΖΔ καταμετροῦν λειπέτω ἑαυτοῦ ἔλασσον τὸ ΓΖ, τὸ δὲ ΓΖ τὸ ΒΗ καταμετροῦν λειπέτω ἑαυτοῦ ἔλασσον τὸ ΑΗ, καὶ τοῦτο ἀεὶ γινέσθω, ἑώσ οὗ λειφθῇ τι μέγεθοσ, ὅ ἐστιν ἔλασσον τοῦ Ε. γεγονέτω, καὶ λελείφθω τὸ ΑΗ ἔλασσον τοῦ Ε. ἐπεὶ οὖν τὸ Ε τὸ ΑΒ μετρεῖ, ἀλλὰ τὸ ΑΒ τὸ ΔΖ μετρεῖ, καὶ τὸ Ε ἄρα τὸ ΖΔ μετρήσει. μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸ ΓΔ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΓΖ μετρήσει. ἀλλὰ τὸ ΓΖ τὸ ΒΗ μετρεῖ· καὶ τὸ Ε ἄρα τὸ ΒΗ μετρεῖ. μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸ ΑΒ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΗ μετρήσει, τὸ μεῖζον τὸ ἔλασσον. ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τὰ ΑΒ, ΓΔ μεγέθη μετρήσει τι μέγεθοσ· ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ΑΒ, ΓΔ μεγέθη. Εἂν ἄρα δύο μεγεθῶν ἀνίσων, καὶ τὰ ἑξῆσ. Δύο μεγεθῶν συμμέτρων δοθέντων τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον εὑρεῖν. Ἔστω τὰ δοθέντα δύο μεγέθη σύμμετρα τὰ ΑΒ, ΓΔ, ὧν ἔλασσον τὸ ΑΒ· δεῖ δὴ τῶν ΑΒ, ΓΔ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον εὑρεῖν. Τὸ ΑΒ γὰρ μέγεθοσ ἤτοι μετρεῖ τὸ ΓΔ ἢ οὔ. εἰ μὲν οὖν μετρεῖ, μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτό, τὸ ΑΒ ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ κοινὸν μέτρον ἐστίν· καὶ φανερόν, ὅτι καὶ μέγιστον. μεῖζον γὰρ τοῦ ΑΒ μεγέθουσ τὸ ΑΒ οὐ μετρήσει. Μὴ μετρείτω δὴ τὸ ΑΒ τὸ ΓΔ. καὶ ἀνθυφαιρουμένου ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονοσ ἀπὸ τοῦ μείζονοσ, τὸ περιλειπόμενον μετρήσει ποτὲ τὸ πρὸ ἑαυτοῦ διὰ τὸ μὴ εἶναι ἀσύμμετρα τὰ ΑΒ, ΓΔ· καὶ τὸ μὲν ΑΒ τὸ ΕΔ καταμετροῦν λειπέτω ἑαυτοῦ ἔλασσον τὸ ΕΓ, τὸ δὲ ΕΓ τὸ ΖΒ καταμετροῦν λειπέτω ἑαυτοῦ ἔλασσον τὸ ΑΖ, τὸ δὲ ΑΖ τὸ ΓΕ μετρείτω. Ἐπεὶ οὖν τὸ ΑΖ τὸ ΓΕ μετρεῖ, ἀλλὰ τὸ ΓΕ τὸ ΖΒ μετρεῖ, καὶ τὸ ΑΖ ἄρα τὸ ΖΒ μετρήσει. μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτό· καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΑΒ μετρήσει τὸ ΑΖ. ἀλλὰ τὸ ΑΒ τὸ ΔΕ μετρεῖ· καὶ τὸ ΑΖ ἄρα τὸ ΕΔ μετρήσει. μετρεῖ δὲ καὶ τὸ ΓΕ· καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΓΔ μετρεῖ· τὸ ΑΖ ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ κοινὸν μέτρον ἐστίν. λέγω δή, ὅτι καὶ μέγιστον. εἰ γὰρ μή, ἔσται τι μέγεθοσ μεῖζον τοῦ ΑΖ, ὃ μετρήσει τὰ ΑΒ, ΓΔ. ἔστω τὸ Η. ἐπεὶ οὖν τὸ Η τὸ ΑΒ μετρεῖ, ἀλλὰ τὸ ΑΒ τὸ ΕΔ μετρεῖ, καὶ τὸ Η ἄρα τὸ ΕΔ μετρήσει. μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸ ΓΔ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΓΕ μετρήσει τὸ Η. ἀλλὰ τὸ ΓΕ τὸ ΖΒ μετρεῖ· καὶ τὸ Η ἄρα τὸ ΖΒ μετρήσει. μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸ ΑΒ, καὶ λοιπὸν τὸ ΑΖ μετρήσει, τὸ μεῖζον τὸ ἔλασσον· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα μεῖζόν τι μέγεθοσ τοῦ ΑΖ τὰ ΑΒ, ΓΔ μετρήσει· τὸ ΑΖ ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ἐστίν. Δύο ἄρα μεγεθῶν συμμέτρων δοθέντων τῶν ΑΒ, ΓΔ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ηὑρ́ηται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Πόρισμα Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι, ἐὰν μέγεθοσ δύο μεγέθη μετρῇ, καὶ τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον μετρήσει. Τριῶν μεγεθῶν συμμέτρων δοθέντων τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον εὑρεῖν. Ἔστω τὰ δοθέντα τρία μεγέθη σύμμετρα τὰ Α, Β, Γ· δεῖ δὴ τῶν Α, Β, Γ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον εὑρεῖν. Εἰλήφθω γὰρ δύο τῶν Α, Β τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον, καὶ ἔστω τὸ Δ· τὸ δὴ Δ τὸ Γ ἤτοι μετρεῖ ἢ οὔ [μετρεῖ]. μετρείτω πρότερον. ἐπεὶ οὖν τὸ Δ τὸ Γ μετρεῖ, μετρεῖ δὲ καὶ τὰ Α, Β, τὸ Δ ἄρα τὰ Α, Β, Γ μετρεῖ· τὸ Δ ἄρα τῶν Α, Β, Γ κοινὸν μέτρον ἐστίν. καὶ φανερόν, ὅτι καὶ μέγιστον· μεῖζον γὰρ τοῦ Δ μεγέθουσ τὰ Α, Β οὐ μετρεῖ. Μὴ μετρείτω δὴ τὸ Δ τὸ Γ. λέγω πρῶτον, ὅτι σύμμετρά ἐστι τὰ Γ, Δ. ἐπεὶ γὰρ σύμμετρά ἐστι τὰ Α, Β, Γ, μετρήσει τι αὐτὰ μέγεθοσ, ὃ δηλαδὴ καὶ τὰ Α, Β μετρήσει· ὥστε καὶ τὸ τῶν Α, Β μέγιστον κοινὸν μέτρον τὸ Δ μετρήσει. μετρεῖ δὲ καὶ τὸ Γ· ὥστε τὸ εἰρημένον μέγεθοσ μετρήσει τὰ Γ, Δ· σύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ Γ, Δ. εἰλήφθω οὖν αὐτῶν τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον, καὶ ἔστω τὸ Ε. ἐπεὶ οὖν τὸ Ε τὸ Δ μετρεῖ, ἀλλὰ τὸ Δ τὰ Α, Β μετρεῖ, καὶ τὸ Ε ἄρα τὰ Α, Β μετρήσει. μετρεῖ δὲ καὶ τὸ Γ. τὸ Ε ἄρα τὰ Α, Β, Γ μετρεῖ· τὸ Ε ἄρα τῶν Α, Β, Γ κοινόν ἐστι μέτρον. λέγω δή, ὅτι καὶ μέγιστον. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω τι τοῦ Ε μεῖζον μέγεθοσ τὸ Ζ, καὶ μετρείτω τὰ Α, Β, Γ. καὶ ἐπεὶ τὸ Ζ τὰ Α, Β, Γ μετρεῖ, καὶ τὰ Α, Β ἄρα μετρήσει καὶ τὸ τῶν Α, Β μέγιστον κοινὸν μέτρον μετρήσει. τὸ δὲ τῶν Α, Β μέγιστον κοινὸν μέτρον ἐστὶ τὸ Δ· τὸ Ζ ἄρα τὸ Δ μετρεῖ. μετρεῖ δὲ καὶ τὸ Γ· τὸ Ζ ἄρα τὰ Γ, Δ μετρεῖ· καὶ τὸ τῶν Γ, Δ ἄρα μέγιστον κοινὸν μέτρον μετρήσει τὸ Ζ. ἔστι δὲ τὸ Ε· τὸ Ζ ἄρα τὸ Ε μετρήσει, τὸ μεῖζον τὸ ἔλασσον· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα μεῖζόν τι τοῦ Ε μεγέθουσ [μέγεθοσ] τὰ Α, Β, Γ μετρεῖ· τὸ Ε ἄρα τῶν Α, Β, Γ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ἐστίν, ἐὰν μὴ μετρῇ τὸ Δ τὸ Γ, ἐὰν δὲ μετρῇ, αὐτὸ τὸ Δ. Τριῶν ἄρα μεγεθῶν συμμέτρων δοθέντων τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ηὑρ́ηται [ὅπερ ἔδει δεῖξαι]. Πόρισμα Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι, ἐὰν μέγεθοσ τρία μεγέθη μετρῇ, καὶ τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον μετρήσει. Ὁμοίωσ δὴ καὶ ἐπὶ πλειόνων τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ληφθήσεται, καὶ τὸ πόρισμα προχωρήσει. ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τὰ σύμμετρα μεγέθη πρὸσ ἄλληλα λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸσ πρὸσ ἀριθμόν. Ἔστω σύμμετρα μεγέθη τὰ Α, Β· λέγω, ὅτι τὸ Α πρὸσ τὸ Β λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸσ πρὸσ ἀριθμόν. Ἐπεὶ γὰρ σύμμετρά ἐστι τὰ Α, Β, μετρήσει τι αὐτὰ μέγεθοσ. μετρείτω, καὶ ἔστω τὸ Γ. καὶ ὁσάκισ τὸ Γ τὸ Α μετρεῖ τοσαῦται μονάδεσ ἔστωσαν ἐν τῷ Δ, ὁσάκισ δὲ τὸ Γ τὸ Β μετρεῖ, τοσαῦται μονάδεσ ἔστωσαν ἐν τῷ Ε. Ἐπεὶ οὖν τὸ Γ τὸ Α μετρεῖ κατὰ τὰσ ἐν τῷ Δ μονάδασ, μετρεῖ δὲ καὶ ἡ μονὰσ τὸν Δ κατὰ τὰσ ἐν αὐτῷ μονάδασ, ἰσάκισ ἄρα ἡ μονὰσ τὸν Δ μετρεῖ ἀριθμὸν καὶ τὸ Γ μέγεθοσ τὸ Α· ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ Γ πρὸσ τὸ Α, οὕτωσ ἡ μονὰσ πρὸσ τὸν Δ· ἀνάπαλιν ἄρα, ὡσ τὸ Α πρὸσ τὸ Γ, οὕτωσ ὁ Δ πρὸσ τὴν μονάδα. πάλιν ἐπεὶ τὸ Γ τὸ Β μετρεῖ κατὰ τὰσ ἐν τῷ Ε μονάδασ, μετρεῖ δὲ καὶ ἡ μονὰσ τὸν Ε κατὰ τὰσ ἐν αὐτῷ μονάδασ, ἰσάκισ ἄρα ἡ μονὰσ τὸν Ε μετρεῖ καὶ τὸ Γ τὸ Β· ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ Γ πρὸσ τὸ Β, οὕτωσ ἡ μονὰσ πρὸσ τὸν Ε. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡσ τὸ Α πρὸσ τὸ Γ, ὁ Δ πρὸσ τὴν μονάδα· δι’ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡσ τὸ Α πρὸσ τὸ Β, οὕτωσ ὁ Δ ἀριθμὸσ πρὸσ τὸν Ε. Τὰ ἄρα σύμμετρα μεγέθη τὰ Α, Β πρὸσ ἄλληλα λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸσ ὁ Δ πρὸσ ἀριθμὸν τὸν Ε· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν δύο μεγέθη πρὸσ ἄλληλα λόγον ἔχῃ, ὃν ἀριθμὸσ πρὸσ ἀριθμόν, σύμμετρα ἔσται τὰ μεγέθη. Δύο γὰρ μεγέθη τὰ Α, Β πρὸσ ἄλληλα λόγον ἐχέτω, ὃν ἀριθμὸσ ὁ Δ πρὸσ ἀριθμὸν τὸν Ε· λέγω, ὅτι σύμμετρά ἐστι τὰ Α, Β μεγέθη. Ὅσαι γάρ εἰσιν ἐν τῷ Δ μονάδεσ, εἰσ τοσαῦτα ἴσα διῃρήσθω τὸ Α, καὶ ἑνὶ αὐτῶν ἴσον ἔστω τὸ Γ· ὅσαι δέ εἰσιν ἐν τῷ Ε μονάδεσ, ἐκ τοσούτων μεγεθῶν ἴσων τῷ Γ συγκείσθω τὸ Ζ. Ἐπεὶ οὖν, ὅσαι εἰσὶν ἐν τῷ Δ μονάδεσ, τοσαῦτά εἰσι καὶ ἐν τῷ Α μεγέθη ἴσα τῷ Γ, ὃ ἄρα μέροσ ἐστὶν ἡ μονὰσ τοῦ Δ, τὸ αὐτὸ μέροσ ἐστὶ καὶ τὸ Γ τοῦ Α· ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ Γ πρὸσ τὸ Α, οὕτωσ ἡ μονὰσ πρὸσ τὸν Δ. μετρεῖ δὲ ἡ μονὰσ τὸν Δ ἀριθμόν· μετρεῖ ἄρα καὶ τὸ Γ τὸ Α. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ τὸ Γ πρὸσ τὸ Α, οὕτωσ ἡ μονὰσ πρὸσ τὸν Δ [ἀριθμόν], ἀνάπαλιν ἄρα ὡσ τὸ Α πρὸσ τὸ Γ, οὕτωσ ὁ Δ ἀριθμὸσ πρὸσ τὴν μονάδα. πάλιν ἐπεί, ὅσαι εἰσὶν ἐν τῷ Ε μονάδεσ, τοσαῦτά εἰσι καὶ ἐν τῷ Ζ ἴσα τῷ Γ, ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ Γ πρὸσ τὸ Ζ, οὕτωσ ἡ μονὰσ πρὸσ τὸν Ε [ἀριθμόν]. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡσ τὸ Α πρὸσ τὸ Γ, οὕτωσ ὁ Δ πρὸσ τὴν μονάδα· δι’ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡσ τὸ Α πρὸσ τὸ Ζ, οὕτωσ ὁ Δ πρὸσ τὸν Ε. ἀλλ’ ὡσ ὁ Δ πρὸσ τὸν Ε, οὕτωσ ἐστὶ τὸ Α πρὸσ τὸ Β· καὶ ὡσ ἄρα τὸ Α πρὸσ τὸ Β, οὕτωσ καὶ πρὸσ τὸ Ζ. τὸ Α ἄρα πρὸσ ἑκάτερον τῶν Β, Ζ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ Β τῷ Ζ. μετρεῖ δὲ τὸ Γ τὸ Ζ· μετρεῖ ἄρα καὶ τὸ Β. ἀλλὰ μὴν καὶ τὸ Α· τὸ Γ ἄρα τὰ Α, Β μετρεῖ. σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ Α τῷ Β. Εἂν ἄρα δύο μεγέθη πρὸσ ἄλληλα, καὶ τὰ ἑξῆσ. Πόρισμα Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι, ἐὰν ὦσι δύο ἀριθμοί, ὡσ οἱ Δ, Ε, καὶ εὐθεῖα, ὡσ ἡ Α, δύνατόν ἐστι ποιῆσαι ὡσ ὁ Δ ἀριθμὸσ πρὸσ τὸν Ε ἀριθμόν, οὕτωσ τὴν εὐθεῖαν πρὸσ εὐθεῖαν. ἐὰν δὲ καὶ τῶν Α, Ζ μέση ἀνάλογον ληφθῇ, ὡσ ἡ Β, ἔσται ὡσ ἡ Α πρὸσ τὴν Ζ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ Α πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Β, τουτέστιν ὡσ ἡ πρώτη πρὸσ τὴν τρίτην, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ πρώτησ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ δευτέρασ τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίωσ ἀναγραφόμενον. ἀλλ’ ὡσ ἡ Α πρὸσ τὴν Ζ, οὕτωσ ἐστὶν ὁ Δ ἀριθμὸσ πρὸσ τὸν Ε ἀριθμόν· γέγονεν ἄρα καὶ ὡσ ὁ Δ ἀριθμὸσ πρὸσ τὸν Ε ἀριθμόν, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ Α εὐθείασ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Β εὐθείασ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τὰ ἀσύμμετρα μεγέθη πρὸσ ἄλληλα λόγον οὐκ ἔχει, ὃν ἀριθμὸσ πρὸσ ἀριθμόν. Ἔστω ἀσύμμετρα μεγέθη τὰ Α, Β· λέγω, ὅτι τὸ Α πρὸσ τὸ Β λόγον οὐκ ἔχει, ὃν ἀριθμὸσ πρὸσ ἀριθμόν. εἰ γὰρ ἔχει τὸ Α πρὸσ τὸ Β λόγον, ὃν ἀριθμὸσ πρὸσ ἀριθμόν, σύμμετρον ἔσται τὸ Α τῷ Β. οὐκ ἔστι δέ· οὐκ ἄρα τὸ Α πρὸσ τὸ Β λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸσ πρὸσ ἀριθμόν. Τὰ ἄρα ἀσύμμετρα μεγέθη πρὸσ ἄλληλα λόγον οὐκ ἔχει, καὶ τὰ ἑξῆσ. Εἂν δύο μεγέθη πρὸσ ἄλληλα λόγον μὴ ἔχῃ, ὃν ἀριθμὸσ πρὸσ ἀριθμόν, ἀσύμμετρα ἔσται τὰ μεγέθη. Δύο γὰρ μεγέθη τὰ Α, Β πρὸσ ἄλληλα λόγον μὴ ἐχέτω, ὃν ἀριθμὸσ πρὸσ ἀριθμόν· λέγω, ὅτι ἀσύμμετρά ἐστι τὰ Α, Β μεγέθη. Εἰ γὰρ ἔσται σύμμετρα, τὸ Α πρὸσ τὸ Β λόγον ἕξει, ὃν ἀριθμὸσ πρὸσ ἀριθμόν. οὐκ ἔχει δέ. ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ Α, Β μεγέθη. Εἂν ἄρα δύο μεγέθη πρὸσ ἄλληλα, καὶ τὰ ἑξῆσ. Τὰ ἀπὸ τῶν μήκει συμμέτρων εὐθειῶν τετράγωνα πρὸσ ἄλληλα λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· καὶ τὰ τετράγωνα τὰ πρὸσ ἄλληλα λόγον ἔχοντα, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν, καὶ τὰσ πλευρὰσ ἕξει μήκει συμμέτρουσ. τὰ δὲ ἀπὸ τῶν μήκει ἀσυμμέτρων εὐθειῶν τετράγωνα πρὸσ ἄλληλα λόγον οὐκ ἔχει, ὅνπερ τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· καὶ τὰ τετράγωνα τὰ πρὸσ ἄλληλα λόγον μὴ ἔχοντα, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδὲ τὰσ πλευρὰσ ἕξει μήκει συμμέτρουσ. Ἔστωσαν γὰρ αἱ Α, Β μήκει σύμμετροι· λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆσ Α τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Β τετράγωνον λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν. Ἐπεὶ γὰρ σύμμετρόσ ἐστιν ἡ Α τῇ Β μήκει, ἡ Α ἄρα πρὸσ τὴν Β λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸσ πρὸσ ἀριθμόν. ἐχέτω, ὃν ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡσ ἡ Α πρὸσ τὴν Β, οὕτωσ ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ, ἀλλὰ τοῦ μὲν τῆσ Α πρὸσ τὴν Β λόγου διπλασίων ἐστὶν ὁ τοῦ ἀπὸ τῆσ Α τετραγώνου πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Β τετράγωνον· τὰ γὰρ ὅμοια σχήματα ἐν διπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν· τοῦ δὲ τοῦ Γ [ἀριθμοῦ] πρὸσ τὸν Δ [ἀριθμὸν] λόγου διπλασίων ἐστὶν ὁ τοῦ ἀπὸ τοῦ Γ τετραγώνου πρὸσ τὸν ἀπὸ τοῦ Δ τετράγωνον· δύο γὰρ τετραγώνων ἀριθμῶν εἷσ μέσοσ ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμόσ, καὶ ὁ τετράγωνοσ πρὸσ τὸν τετράγωνον [ἀριθμὸν] διπλασίονα λόγον ἔχει, ἤπερ ἡ πλευρὰ πρὸσ τὴν πλευράν· ἔστιν ἄρα καὶ ὡσ τὸ ἀπὸ τῆσ Α τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Β τετράγωνον, οὕτωσ ὁ ἀπὸ τοῦ Γ τετράγωνοσ [ἀριθμὸσ] πρὸσ τὸν ἀπὸ τοῦ Δ [ἀριθμοῦ] τετράγωνον [ἀριθμόν]. Ἀλλὰ δὴ ἔστω ὡσ τὸ ἀπὸ τῆσ Α τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Β, οὕτωσ ὁ ἀπὸ τοῦ Γ τετράγωνοσ πρὸσ τὸν ἀπὸ τοῦ Δ [τετράγωνον]· λέγω, ὅτι σύμμετρόσ ἐστιν ἡ Α τῇ Β μήκει. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡσ τὸ ἀπὸ τῆσ Α τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Β [τετράγωνον], οὕτωσ ὁ ἀπὸ τοῦ Γ τετράγωνοσ πρὸσ τὸν ἀπὸ τοῦ Δ [τετράγωνον], ἀλλ’ ὁ μὲν τοῦ ἀπὸ τῆσ Α τετραγώνου πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Β [τετράγωνον] λόγοσ διπλασίων ἐστὶ τοῦ τῆσ Α πρὸσ τὴν Β λόγου, ὁ δὲ τοῦ ἀπὸ τοῦ Γ [ἀριθμοῦ] τετραγώνου [ἀριθμοῦ] πρὸσ τὸν ἀπὸ τοῦ Δ [ἀριθμοῦ] τετράγωνον [ἀριθμὸν] λόγοσ διπλασίων ἐστὶ τοῦ τοῦ Γ [ἀριθμοῦ] πρὸσ τὸν Δ [ἀριθμὸν] λόγου, ἔστιν ἄρα καὶ ὡσ ἡ Α πρὸσ τὴν Β, οὕτωσ ὁ Γ [ἀριθμὸσ] πρὸσ τὸν Δ [ἀριθμόν]. ἡ Α ἄρα πρὸσ τὴν Β, λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸσ ὁ Γ πρὸσ ἀριθμὸν τὸν Δ· σύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ Α τῇ Β μήκει. Ἀλλὰ δὴ ἀσύμμετροσ ἔστω ἡ Α τῇ Β μήκει· λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆσ Α τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Β [τετράγωνον] λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν. Εἰ γὰρ ἔχει τὸ ἀπὸ τῆσ Α τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Β [τετράγωνον] λόγον, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν, σύμμετροσ ἔσται ἡ Α τῇ Β. οὐκ ἔστι δέ· οὐκ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ Α τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Β [τετράγωνον] λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν. Πάλιν δὴ τὸ ἀπὸ τῆσ Α τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Β [τετράγωνον] λόγον μὴ ἐχέτω, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· λέγω, ὅτι ἀσύμμετρόσ ἐστιν ἡ Α τῇ Β μήκει. Εἰ γάρ ἐστι σύμμετροσ ἡ Α τῇ Β, ἕξει τὸ ἀπὸ τῆσ Α πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Β λόγον, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν. οὐκ ἔχει δέ· οὐκ ἄρα σύμμετρόσ ἐστιν ἡ Α τῇ Β μήκει. Τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν μήκει συμμέτρων, καὶ τὰ ἑξῆσ. Πόρισμα Καὶ φανερὸν ἐκ τῶν δεδειγμένων ἔσται, ὅτι αἱ μήκει σύμμετροι πάντωσ καὶ δυνάμει, αἱ δὲ δυνάμει οὐ πάντωσ καὶ μήκει [εἴπερ τὰ ἀπὸ τῶν μήκει συμμέτρων εὐθειῶν τετράγωνα λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν, τὰ δὲ λόγον ἔχοντα, ὃν ἀριθμὸσ πρὸσ ἀριθμόν, σύμμετρά ἐστιν. ὥστε αἱ μήκει σύμμετροι εὐθεῖαι οὐ μόνον [εἰσὶ] μήκει σύμμετροι, ἀλλὰ καὶ δυνάμει. πάλιν ἐπεί, ὅσα τετράγωνα πρὸσ ἄλληλα λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν, μήκει ἐδείχθη σύμμετρα καὶ δυνάμει ὄντα σύμμετρα τῷ τὰ τετράγωνα λόγον ἔχειν, ὃν ἀριθμὸσ πρὸσ ἀριθμόν, ὅσα ἄρα τετράγωνα λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν, ἀλλὰ ἁπλῶσ, ὃν ἀριθμὸσ πρὸσ ἀριθμόν, σύμμετρα μὲν ἔσται αὐτὰ τὰ τετράγωνα δυνάμει, οὐκέτι δὲ καὶ μήκει· ὥστε τὰ μὲν μήκει σύμμετρα πάντωσ καὶ δυνάμει, τὰ δὲ δυνάμει οὐ πάντωσ καὶ μήκει, εἰ μὴ καὶ λόγον ἔχοιεν, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν. λέγω δή, ὅτι [καὶ] αἱ μήκει ἀσύμμετροι οὐ πάντωσ καὶ δυνάμει, ἐπειδήπερ αἱ δυνάμει σύμμετροι δύνανται λόγον μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν, καὶ διὰ τοῦτο δυνάμει οὖσαι σύμμετροι μήκει εἰσὶν ἀσύμμετροι. ὥστε οὐχ αἱ τῷ μήκει ἀσύμμετροι πάντωσ καὶ δυνάμει, ἀλλὰ δύνανται μήκει οὖσαι ἀσύμμετροι δυνάμει εἶναι καὶ ἀσύμμετροι καὶ σύμμετροι. αἱ δὲ δυνάμει ἀσύμμετροι πάντωσ καὶ μήκει ἀσύμμετροι· εἰ γὰρ [εἰσι] μήκει σύμμετροι, ἔσονται καὶ δυνάμει σύμμετροι. ὑπόκεινται δὲ καὶ ἀσύμμετροι· ὅπερ ἄτοπον. αἱ ἄρα δυνάμει ἀσύμμετροι πάντωσ καὶ μήκει]. Λῆμμα Δέδεικται ἐν τοῖσ ἀριθμητικοῖσ, ὅτι οἱ ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ πρὸσ ἀλλήλουσ λόγον ἔχουσιν, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν, καὶ ὅτι, ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρὸσ ἀλλήλουσ λόγον ἔχωσιν, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν, ὅμοιοί εἰσιν ἐπίπεδοι. καὶ δῆλον ἐκ τούτων, ὅτι οἱ μὴ ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοί, τουτέστιν οἱ μὴ ἀνάλογον ἔχοντεσ τὰσ πλευράσ, πρὸσ ἀλλήλουσ λόγον οὐκ ἔχουσιν, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν. εἰ γὰρ ἕξουσιν, ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἔσονται· ὅπερ οὐχ ὑπόκειται. οἱ ἄρα μὴ ὅμοιοι ἐπίπεδοι πρὸσ ἀλλήλουσ λόγον οὐκ ἔχουσιν, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν. Τῇ προτεθείσῃ εὐθείᾳ προσευρεῖν δύο εὐθείασ ἀσυμμέτρουσ, τὴν μὲν μήκει μόνον, τὴν δὲ καὶ δυνάμει. Ἔστω ἡ προτεθεῖσα εὐθεῖα ἡ Α· δεῖ δὴ τῇ Α προσευρεῖν δύο εὐθείασ ἀσυμμέτρουσ, τὴν μὲν μήκει μόνον, τὴν δὲ καὶ δυνάμει. Ἐκκείσθωσαν γὰρ δύο ἀριθμοὶ οἱ Β, Γ πρὸσ ἀλλήλουσ λόγον μὴ ἔχοντεσ, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν, τουτέστι μὴ ὅμοιοι ἐπίπεδοι, καὶ γεγονέτω ὡσ ὁ Β πρὸσ τὸν Γ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ Α τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Δ τετράγωνον· ἐμάθομεν γάρ· σύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ Α τῷ ἀπὸ τῆσ Δ. καὶ ἐπεὶ ὁ Β πρὸσ τὸν Γ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδ’ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ Α πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Δ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ Α τῇ Δ μήκει. εἰλήφθω τῶν Α, Δ μέση ἀνάλογον ἡ Ε· ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ Α πρὸσ τὴν Δ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ Α τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Ε. ἀσύμμετροσ δέ ἐστιν ἡ Α τῇ Δ μήκει· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ Α τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆσ Ε τετραγώνῳ· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ Α τῇ Ε δυνάμει. Τῇ ἄρα προτεθείσῃ εὐθείᾳ τῇ Α προσεύρηνται δύο εὐθεῖαι ἀσύμμετροι αἱ Δ, Ε, μήκει μὲν μόνον ἡ Δ, δυνάμει δὲ καὶ μήκει δηλαδὴ ἡ Ε [ὅπερ ἔδει δεῖξαι]. Εἂν τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, τὸ δὲ πρῶτον τῷ δευτέρῳ σύμμετρον ᾖ, καὶ τὸ τρίτον τῷ τετάρτῳ σύμμετρον ἔσται· κἂν τὸ πρῶτον τῷ δευτέρῳ ἀσύμμετρον ᾖ, καὶ τὸ τρίτον τῷ τετάρτῳ ἀσύμμετρον ἔσται. Ἔστωσαν τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον τὰ Α, Β, Γ, Δ, ὡσ τὸ Α πρὸσ τὸ Β, οὕτωσ τὸ Γ πρὸσ τὸ Δ, τὸ Α δὲ τῷ Β σύμμετρον ἔστω· λέγω, ὅτι καὶ τὸ Γ τῷ Δ σύμμετρον ἔσται. Ἐπεὶ γὰρ σύμμετρόν ἐστι τὸ Α τῷ Β, τὸ Α ἄρα πρὸσ τὸ Β λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸσ πρὸσ ἀριθμόν. καί ἐστιν ὡσ τὸ Α πρὸσ τὸ Β, οὕτωσ τὸ Γ πρὸσ τὸ Δ· καὶ τὸ Γ ἄρα πρὸσ τὸ Δ λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸσ πρὸσ ἀριθμόν· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ Γ τῷ Δ. Ἀλλὰ δὴ τὸ Α τῷ Β ἀσύμμετρον ἔστω· λέγω, ὅτι καὶ τὸ Γ τῷ Δ ἀσύμμετρον ἔσται. ἐπεὶ γὰρ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ Α τῷ Β, τὸ Α ἄρα πρὸσ τὸ Β λόγον οὐκ ἔχει, ὃν ἀριθμὸσ πρὸσ ἀριθμόν. καί ἐστιν ὡσ τὸ Α πρὸσ τὸ Β, οὕτωσ τὸ Γ πρὸσ τὸ Δ· οὐδὲ τὸ Γ ἄρα πρὸσ τὸ Δ λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸσ πρὸσ ἀριθμόν· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ Γ τῷ Δ. Εἂν ἄρα τέσσαρα μεγέθη, καὶ τὰ ἑξῆσ. Τὰ τῷ αὐτῷ μεγέθει σύμμετρα καὶ ἀλλήλοισ ἐστὶ σύμμετρα. Ἑκάτερον γὰρ τῶν Α, Β τῷ Γ ἔστω σύμμετρον. λέγω, ὅτι καὶ τὸ Α τῷ Β ἐστι σύμμετρον. Ἐπεὶ γὰρ σύμμετρόν ἐστι τὸ Α τῷ Γ, τὸ Α ἄρα πρὸσ τὸ Γ λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸσ πρὸσ ἀριθμόν. ἐχέτω, ὃν ὁ Δ πρὸσ τὸν Ε. πάλιν, ἐπεὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ Γ τῷ Β, τὸ Γ ἄρα πρὸσ τὸ Β λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸσ πρὸσ ἀριθμόν. ἐχέτω, ὃν ὁ Ζ πρὸσ τὸν Η. καὶ λόγων δοθέντων ὁποσωνοῦν τοῦ τε, ὃν ἔχει ὁ Δ πρὸσ τὸν Ε, καὶ ὁ Ζ πρὸσ τὸν Η εἰλήφθωσαν ἀριθμοὶ ἑξῆσ ἐν τοῖσ δοθεῖσι λόγοισ οἱ Θ, Κ, Λ· ὥστε εἶναι ὡσ μὲν τὸν Δ πρὸσ τὸν Ε, οὕτωσ τὸν Θ πρὸσ τὸν Κ, ὡσ δὲ τὸν Ζ πρὸσ τὸν Η, οὕτωσ τὸν Κ πρὸσ τὸν Λ. Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡσ τὸ Α πρὸσ τὸ Γ, οὕτωσ ὁ Δ πρὸσ τὸν Ε, ἀλλ’ ὡσ ὁ Δ πρὸσ τὸν Ε, οὕτωσ ὁ Θ πρὸσ τὸν Κ, ἔστιν ἄρα καὶ ὡσ τὸ Α πρὸσ τὸ Γ, οὕτωσ ὁ Θ πρὸσ τὸν Κ. πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡσ τὸ Γ πρὸσ τὸ Β, οὕτωσ ὁ Ζ πρὸσ τὸν Η, ἀλλ’ ὡσ ὁ Ζ πρὸσ τὸν Η, [οὕτωσ] ὁ Κ πρὸσ τὸν Λ, καὶ ὡσ ἄρα τὸ Γ πρὸσ τὸ Β, οὕτωσ ὁ Κ πρὸσ τὸν Λ. ἔστι δὲ καὶ ὡσ τὸ Α πρὸσ τὸ Γ, οὕτωσ ὁ Θ πρὸσ τὸν Κ· δι’ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡσ τὸ Α πρὸσ τὸ Β, οὕτωσ ὁ Θ πρὸσ τὸν Λ. τὸ Α ἄρα πρὸσ τὸ Β λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸσ ὁ Θ πρὸσ ἀριθμὸν τὸν Λ· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ Α τῷ Β. Τὰ ἄρα τῷ αὐτῷ μεγέθει σύμμετρα καὶ ἀλλήλοισ ἐστὶ σύμμετρα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ᾖ δύο μεγέθη σύμμετρα, τὸ δὲ ἕτερον αὐτῶν μεγέθει τινὶ ἀσύμμετρον ᾖ, καὶ τὸ λοιπὸν τῷ αὐτῷ ἀσύμμετρον ἔσται. Ἔστω δύο μεγέθη σύμμετρα τὰ Α, Β, τὸ δὲ ἕτερον αὐτῶν τὸ Α ἄλλῳ τινὶ τῷ Γ ἀσύμμετρον ἔστω· λέγω, ὅτι καὶ τὸ λοιπὸν τὸ Β τῷ Γ ἀσύμμετρόν ἐστιν. Εἰ γάρ ἐστι σύμμετρον τὸ Β τῷ Γ, ἀλλὰ καὶ τὸ Α τῷ Β σύμμετρόν ἐστιν, καὶ τὸ Α ἄρα τῷ Γ σύμμετρόν ἐστιν. ἀλλὰ καὶ ἀσύμμετρον· ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα σύμμετρόν ἐστι τὸ Β τῷ Γ· ἀσύμμετρον ἄρα. Εἂν ἄρα ᾖ δύο μεγέθη σύμμετρα, καὶ τὰ ἑξῆσ. Λῆμμα Δύο δοθεισῶν εὐθειῶν ἀνίσων εὑρεῖν, τίνι μεῖζον δύναται ἡ μείζων τῆσ ἐλάσσονοσ. Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο ἄνισοι εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, Γ, ὧν μείζων ἔστω ἡ ΑΒ· δεῖ δὴ εὑρεῖν, τίνι μεῖζον δύναται ἡ ΑΒ τῆσ Γ. Γεγράφθω ἐπὶ τῆσ ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΒ, καὶ εἰσ αὐτὸ ἐνηρμόσθω τῇ Γ ἴση ἡ ΑΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ. φανερὸν δή, ὅτι ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΔΒ γωνία, καὶ ὅτι ἡ ΑΒ τῆσ ΑΔ, τουτέστι τῆσ Γ, μεῖζον δύναται τῇ ΔΒ. Ὁμοίωσ δὲ καὶ δύο δοθεισῶν εὐθειῶν ἡ δυναμένη αὐτὰσ εὑρίσκεται οὕτωσ. Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΔ, ΔΒ, καὶ δέον ἔστω εὑρεῖν τὴν δυναμένην αὐτάσ. κείσθωσαν γάρ, ὥστε ὀρθὴν γωνίαν περιέχειν τὴν ὑπὸ ΑΔ, ΔΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ· φανερὸν πάλιν, ὅτι ἡ τὰσ ΑΔ, ΔΒ δυναμένη ἐστὶν ἡ ΑΒ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν τέσσαρεσ εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, δύνηται δὲ ἡ πρώτη τῆσ δευτέρασ μεῖζον τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ [μήκει], καὶ ἡ τρίτη τῆσ τετάρτησ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ [μήκει]. καὶ ἐὰν ἡ πρώτη τῆσ δευτέρασ μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ [μήκει], καὶ ἡ τρίτη τῆσ τετάρτησ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ [μήκει]. Ἔστωσαν τέσσαρεσ εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ Α, Β, Γ, Δ, ὡσ ἡ Α πρὸσ τὴν Β, οὕτωσ ἡ Γ πρὸσ τὴν Δ, καὶ ἡ Α μὲν τῆσ Β μεῖζον δυνάσθω τῷ ἀπὸ τῆσ Ε, ἡ δὲ Γ τῆσ Δ μεῖζον δυνάσθω τῷ ἀπὸ τῆσ Ζ· λέγω, ὅτι, εἴτε σύμμετρόσ ἐστιν ἡ Α τῇ Ε, σύμμετρόσ ἐστι καὶ ἡ Γ τῇ Ζ, εἴτε ἀσύμμετρόσ ἐστιν ἡ Α τῇ Ε, ἀσύμμετρόσ ἐστι καὶ ἡ Γ τῇ Ζ. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡσ ἡ Α πρὸσ τὴν Β, οὕτωσ ἡ Γ πρὸσ τὴν Δ, ἔστιν ἄρα καὶ ὡσ τὸ ἀπὸ τῆσ Α πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Β, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ Γ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Δ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆσ Α ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν Ε, Β, τῷ δὲ ἀπὸ τῆσ Γ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν Δ, Ζ. ἔστιν ἄρα ὡσ τὰ ἀπὸ τῶν Ε, Β πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Β, οὕτωσ τὰ ἀπὸ τῶν Δ, Ζ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Δ· διελόντι ἄρα ἐστὶν ὡσ τὸ ἀπὸ τῆσ Ε πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Β, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ Ζ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Δ· ἔστιν ἄρα καὶ ὡσ ἡ Ε πρὸσ τὴν Β, οὕτωσ ἡ Ζ πρὸσ τὴν Δ· ἀνάπαλιν ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ Β πρὸσ τὴν Ε, οὕτωσ ἡ Δ πρὸσ τὴν Ζ. ἔστι δὲ καὶ ὡσ ἡ Α πρὸσ τὴν Β, οὕτωσ ἡ Γ πρὸσ τὴν Δ· δι’ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ Α πρὸσ τὴν Ε, οὕτωσ ἡ Γ πρὸσ τὴν Ζ. εἴτε οὖν σύμμετρόσ ἐστιν ἡ Α τῇ Ε, σύμμετρόσ ἐστι καὶ ἡ Γ τῇ Ζ, εἴτε ἀσύμμετρόσ ἐστιν ἡ Α τῇ Ε, ἀσύμμετρόσ ἐστι καὶ ἡ Γ τῇ Ζ. Εἂν ἄρα, καὶ τὰ ἑξῆσ. Εἂν δύο μεγέθη σύμμετρα συντεθῇ, καὶ τὸ ὅλον ἑκατέρῳ αὐτῶν σύμμετρον ἔσται· κἂν τὸ ὅλον ἑνὶ αὐτῶν σύμμετρον ᾖ, καὶ τὰ ἐξ ἀρχῆσ μεγέθη σύμμετρα ἔσται. Συγκείσθω γὰρ δύο μεγέθη σύμμετρα τὰ ΑΒ, ΒΓ· λέγω, ὅτι καὶ ὅλον τὸ ΑΓ ἑκατέρῳ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἐστι σύμμετρον. Ἐπεὶ γὰρ σύμμετρά ἐστι τὰ ΑΒ, ΒΓ, μετρήσει τι αὐτὰ μέγεθοσ. μετρείτω, καὶ ἔστω τὸ Δ. ἐπεὶ οὖν τὸ Δ τὰ ΑΒ, ΒΓ μετρεῖ, καὶ ὅλον τὸ ΑΓ μετρήσει. μετρεῖ δὲ καὶ τὰ ΑΒ, ΒΓ. τὸ Δ ἄρα τὰ ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ μετρεῖ· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΓ ἑκατέρῳ τῶν ΑΒ, ΒΓ. Ἀλλὰ δὴ τὸ ΑΓ ἔστω σύμμετρον τῷ ΑΒ· λέγω δή, ὅτι καὶ τὰ ΑΒ, ΒΓ σύμμετρά ἐστιν. Ἐπεὶ γὰρ σύμμετρά ἐστι τὰ ΑΓ, ΑΒ, μετρήσει τι αὐτὰ μέγεθοσ. μετρείτω, καὶ ἔστω τὸ Δ. ἐπεὶ οὖν τὸ Δ τὰ ΓΑ, ΑΒ μετρεῖ, καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΒΓ μετρήσει. μετρεῖ δὲ καὶ τὸ ΑΒ· τὸ Δ ἄρα τὰ ΑΒ, ΒΓ μετρήσει· σύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ΑΒ, ΒΓ. Εἂν ἄρα δύο μεγέθη, καὶ τὰ ἑξῆσ. Εἂν δύο μεγέθη ἀσύμμετρα συντεθῇ, καὶ τὸ ὅλον ἑκατέρῳ αὐτῶν ἀσύμμετρον ἔσται· κἂν τὸ ὅλον ἑνὶ αὐτῶν ἀσύμμετρον ᾖ, καὶ τὰ ἐξ ἀρχῆσ μεγέθη ἀσύμμετρα ἔσται. Συγκείσθω γὰρ δύο μεγέθη ἀσύμμετρα τὰ ΑΒ, ΒΓ· λέγω, ὅτι καὶ ὅλον τὸ ΑΓ ἑκατέρῳ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἀσύμμετρόν ἐστιν. Εἰ γὰρ μή ἐστιν ἀσύμμετρα τὰ ΓΑ, ΑΒ, μετρήσει τι [αὐτὰ] μέγεθοσ. μετρείτω, εἰ δυνατόν, καὶ ἔστω τὸ Δ. ἐπεὶ οὖν τὸ Δ τὰ ΓΑ, ΑΒ μετρεῖ, καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΒΓ μετρήσει. μετρεῖ δὲ καὶ τὸ ΑΒ· τὸ Δ ἄρα τὰ ΑΒ, ΒΓ μετρεῖ. σύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ΑΒ, ΒΓ· ὑπέκειντο δὲ καὶ ἀσύμμετρα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τὰ ΓΑ, ΑΒ μετρήσει τι μέγεθοσ· ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ΓΑ, ΑΒ. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τὰ ΑΓ, ΓΒ ἀσύμμετρά ἐστιν. τὸ ΑΓ ἄρα ἑκατέρῳ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἀσύμμετρόν ἐστιν. Ἀλλὰ δὴ τὸ ΑΓ ἑνὶ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἀσύμμετρον ἔστω. ἔστω δὴ πρότερον τῷ ΑΒ· λέγω, ὅτι καὶ τὰ ΑΒ, ΒΓ ἀσύμμετρά ἐστιν. εἰ γὰρ ἔσται σύμμετρα, μετρήσει τι αὐτὰ μέγεθοσ. μετρείτω, καὶ ἔστω τὸ Δ. ἐπεὶ οὖν τὸ Δ τὰ ΑΒ, ΒΓ μετρεῖ, καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΑΓ μετρήσει. μετρεῖ δὲ καὶ τὸ ΑΒ· τὸ Δ ἄρα τὰ ΓΑ, ΑΒ μετρεῖ. σύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ΓΑ, ΑΒ· ὑπέκειτο δὲ καὶ ἀσύμμετρα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τὰ ΑΒ, ΒΓ μετρήσει τι μέγεθοσ· ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ΑΒ, ΒΓ. Εἂν ἄρα δύο μεγέθη, καὶ τὰ ἑξῆσ. Λῆμμα Εἂν παρά τινα εὐθεῖαν παραβληθῇ παραλληλόγραμμον ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, τὸ παραβληθὲν ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ἐκ τῆσ παραβολῆσ γενομένων τμημάτων τῆσ εὐθείασ. Παρὰ γὰρ εὐθεῖαν τὴν ΑΒ παραβεβλήσθω παραλληλόγραμμον τὸ ΑΔ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τῷ ΔΒ· λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΔ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. Καί ἐστιν αὐτόθεν φανερόν· ἐπεὶ γὰρ τετράγωνόν ἐστι τὸ ΔΒ, ἴση ἐστὶν ἡ ΔΓ τῇ ΓΒ, καί ἐστι τὸ ΑΔ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. Εἂν ἄρα παρά τινα εὐθεῖαν, καὶ τὰ ἑξῆσ. Εἂν ὦσι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι, τῷ δὲ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆσ ἐλάσσονοσ ἴσον παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ καὶ εἰσ σύμμετρα αὐτὴν διαιρῇ μήκει, ἡ μείζων τῆσ ἐλάσσονοσ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ [μήκει]. καὶ ἐὰν ἡ μείζων τῆσ ἐλάσσονοσ μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ [μήκει], τῷ δὲ τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆσ ἐλάσσονοσ ἴσον παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰσ σύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ μήκει. Ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι ἄνισοι αἱ Α, ΒΓ, ὧν μείζων ἡ ΒΓ, τῷ δὲ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆσ ἐλάσσονοσ τῆσ Α, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆσ ἡμισείασ τῆσ Α, ἴσον παρὰ τὴν ΒΓ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ, σύμμετροσ δὲ ἔστω ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ μήκει· λέγω, ὅτι ἡ ΒΓ τῆσ Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ. Τετμήσθω γὰρ ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον, καὶ κείσθω τῇ ΔΕ ἴση ἡ ΕΖ. λοιπὴ ἄρα ἡ ΔΓ ἴση ἐστὶ τῇ ΒΖ. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ἡ ΒΓ τέτμηται εἰσ μὲν ἴσα κατὰ τὸ Ε, εἰσ δὲ ἄνισα κατὰ τὸ Δ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΔ, ΔΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΕΔ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΕΓ τετραγώνῳ· καὶ τὰ τετραπλάσια· τὸ ἄρα τετράκισ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ τετραπλασίου τοῦ ἀπὸ τῆσ ΔΕ ἴσον ἐστὶ τῷ τετράκισ ἀπὸ τῆσ ΕΓ τετραγώνῳ. ἀλλὰ τῷ μέν τετραπλασίῳ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ Α τετράγωνον, τῷ δὲ τετραπλασίῳ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΔΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΔΖ τετράγωνον· διπλασίων γάρ ἐστιν ἡ ΔΖ τῆσ ΔΕ. τῷ δὲ τετραπλασίῳ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΕΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΓ τετράγωνον· διπλασίων γάρ ἐστι πάλιν ἡ ΒΓ τῆσ ΓΕ. τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν Α, ΔΖ τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΒΓ τετραγώνῳ· ὥστε τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΓ τοῦ ἀπὸ τῆσ Α μεῖζόν ἐστι τῷ ἀπὸ τῆσ ΔΖ· ἡ ΒΓ ἄρα τῆσ Α μεῖζον δύναται τῇ ΔΖ. δεικτέον, ὅτι καὶ σύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΒΓ τῇ ΔΖ. ἐπεὶ γὰρ σύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ μήκει, σύμμετροσ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΓΔ μήκει. ἀλλὰ ἡ ΓΔ ταῖσ ΓΔ, ΒΖ ἐστι σύμμετροσ μήκει· ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΓΔ τῇ ΒΖ. καὶ ἡ ΒΓ ἄρα σύμμετρόσ ἐστι ταῖσ ΒΖ, ΓΔ μήκει· ὥστε καὶ λοιπῇ τῇ ΖΔ σύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΒΓ μήκει· ἡ ΒΓ ἄρα τῆσ Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ. Ἀλλὰ δὴ ἡ ΒΓ τῆσ Α μεῖζον δυνάσθω τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, τῷ δὲ τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆσ Α ἴσον παρὰ τὴν ΒΓ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ. δεικτέον, ὅτι σύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ μήκει. Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίωσ δείξομεν, ὅτι ἡ ΒΓ τῆσ Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ τῆσ ΖΔ. δύναται δὲ ἡ ΒΓ τῆσ Α μεῖζον τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ. σύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΖΔ μήκει· ὥστε καὶ λοιπῇ συναμφοτέρῳ τῇ ΒΖ, ΔΓ σύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΒΓ μήκει. ἀλλὰ συναμφότεροσ ἡ ΒΖ, ΔΓ σύμμετρόσ ἐστι τῇ ΔΓ [μήκει]. ὥστε καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΓΔ σύμμετρόσ ἐστι μήκει· καὶ διελόντι ἄρα ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ ἐστι σύμμετροσ μήκει. Εἂν ἄρα ὦσι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι, καὶ τὰ ἑξῆσ. Εἂν ὦσι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι, τῷ δὲ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆσ ἐλάσσονοσ ἴσον παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ εἰσ ἀσύμμετρα αὐτὴν διαιρῇ [μήκει], ἡ μείζων τῆσ ἐλάσσονοσ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. καὶ ἐὰν ἡ μείζων τῆσ ἐλάσσονοσ μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, τῷ δὲ τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆσ ἐλάσσονοσ ἴσον παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰσ ἀσύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ [μήκει]. ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι ἄνισοι αἱ Α, ΒΓ, ὧν μείζων ἡ ΒΓ, τῷ δὲ τετάρτῳ [μέρει] τοῦ ἀπὸ τῆσ ἐλάσσονοσ τῆσ Α ἴσον παρὰ τὴν ΒΓ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔΓ, ἀσύμμετροσ δὲ ἔστω ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ μήκει· λέγω, ὅτι ἡ ΒΓ τῆσ Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων τῷ πρότερον ὁμοίωσ δείξομεν, ὅτι ἡ ΒΓ τῆσ Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ τῆσ ΖΔ. δεικτέον [οὖν], ὅτι ἀσύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΒΓ τῇ ΔΖ μήκει. ἐπεὶ γὰρ ἀσύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ μήκει, ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΓΔ μήκει. ἀλλὰ ἡ ΔΓ σύμμετρόσ ἐστι συναμφοτέραισ ταῖσ ΒΖ, ΔΓ· καὶ ἡ ΒΓ ἄρα ἀσύμμετρόσ ἐστι συναμφοτέραισ ταῖσ ΒΖ, ΔΓ. ὥστε καὶ λοιπῇ τῇ ΖΔ ἀσύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΒΓ μήκει. καὶ ἡ ΒΓ τῆσ Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ τῆσ ΖΔ· ἡ ΒΓ ἄρα τῆσ Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. Δυνάσθω δὴ πάλιν ἡ ΒΓ τῆσ Α μεῖζον τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, τῷ δὲ τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆσ Α ἴσον παρὰ τὴν ΒΓ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ. δεικτέον, ὅτι ἀσύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ μήκει. Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίωσ δείξομεν, ὅτι ἡ ΒΓ τῆσ Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ τῆσ ΖΔ. ἀλλὰ ἡ ΒΓ τῆσ Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΖΔ μήκει· ὥστε καὶ λοιπῇ συναμφοτέρῳ τῇ ΒΖ, ΔΓ ἀσύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΒΓ. ἀλλὰ συναμφότεροσ ἡ ΒΖ, ΔΓ τῇ ΔΓ σύμμετρόσ ἐστι μήκει· καὶ ἡ ΒΓ ἄρα τῇ ΔΓ ἀσύμμετρόσ ἐστι μήκει· ὥστε καὶ διελόντι ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ ἀσύμμετρόσ ἐστι μήκει. Εἂν ἄρα ὦσι δύο εὐθεῖαι, καὶ τὰ ἑξῆσ. Λῆμμα Ἐπεὶ δέδεικται, ὅτι αἱ μήκει σύμμετροι πάντωσ καὶ δυνάμει [εἰσὶ σύμμετροι], αἱ δὲ δυνάμει οὐ πάντωσ καὶ μήκει, ἀλλὰ δὴ δύνανται μήκει καὶ σύμμετροι εἶναι καὶ ἀσύμμετροι, φανερόν, ὅτι, ἐὰν τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ σύμμετρόσ τισ ᾖ μήκει, λέγεται ῥητὴ καὶ σύμμετροσ αὐτῇ οὐ μόνον μήκει, ἀλλὰ καὶ δυνάμει, ἐπεὶ αἱ μήκει σύμμετροι πάντωσ καὶ δυνάμει. ἐὰν δὲ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ σύμμετρόσ τισ ᾖ δυνάμει, εἰ μὲν καὶ μήκει, λέγεται καὶ οὕτωσ ῥητὴ καὶ σύμμετροσ αὐτῇ μήκει καὶ δυνάμει· εἰ δὲ τῇ ἐκκειμένῃ πάλιν ῥητῇ σύμμετρόσ τισ οὖσα δυνάμει μήκει αὐτῇ ᾖ ἀσύμμετροσ, λέγεται καὶ οὕτωσ ῥητὴ δυνάμει μόνον σύμμετροσ. Τὸ ὑπὸ ῥητῶν μήκει συμμέτρων κατά τινα τῶν προειρημένων τρόπων εὐθειῶν περιεχόμενον ὀρθογώνιον ῥητόν ἐστιν. Ὑπὸ γὰρ ῥητῶν μήκει συμμέτρων εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΒΓ ὀρθογώνιον περιεχέσθω τὸ ΑΓ· λέγω, ὅτι ῥητόν ἐστι τὸ ΑΓ. Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆσ ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔ· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔ. καὶ ἐπεὶ σύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει, ἴση δέ ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΔ, σύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΔ τῇ ΒΓ μήκει. καί ἐστιν ὡσ ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΒΓ, οὕτωσ τὸ ΔΑ πρὸσ τὸ ΑΓ. σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΑ τῷ ΑΓ. ῥητὸν δὲ τὸ ΔΑ· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΑΓ. Τὸ ἄρα ὑπὸ ῥητῶν μήκει συμμέτρων, καὶ τὰ ἑξῆσ. Εἂν ῥητὸν παρὰ ῥητὴν παραβληθῇ, πλάτοσ ποιεῖ ῥητὴν καὶ σύμμετρον τῇ, παρ’ ἣν παράκειται, μήκει. Ῥητὸν γὰρ τὸ ΑΓ παρὰ ῥητὴν κατά τινα πάλιν τῶν προειρημένων τρόπων τὴν ΑΒ παραβεβλήσθω πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΒΓ· λέγω, ὅτι ῥητή ἐστιν ἡ ΒΓ καὶ σύμμετροσ τῇ ΒΑ μήκει. Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆσ ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔ· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔ. ῥητὸν δὲ καὶ τὸ ΑΓ· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΑ τῷ ΑΓ. καί ἐστιν ὡσ τὸ ΔΑ πρὸσ τὸ ΑΓ, οὕτωσ ἡ ΔΒ πρὸσ τὴν ΒΓ. σύμμετροσ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΒ τῇ ΒΓ· ἴση δὲ ἡ ΔΒ τῇ ΒΑ· σύμμετροσ ἄρα καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ. ῥητὴ δέ ἐστιν ἡ ΑΒ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΓ καὶ σύμμετροσ τῇ ΑΒ μήκει. Εἂν ἄρα ῥητὸν παρὰ ῥητὴν παραβληθῇ, καὶ τὰ ἑξῆσ. Τὸ ὑπὸ ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων εὐθειῶν περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἄλογόν ἐστιν, καὶ ἡ δυναμένη αὐτὸ ἄλογόσ ἐστιν, καλείσθω δὲ μέση. Ὑπὸ γὰρ ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΒΓ ὀρθογώνιον περιεχέσθω τὸ ΑΓ· λέγω, ὅτι ἄλογόν ἐστι τὸ ΑΓ, καὶ ἡ δυναμένη αὐτὸ ἄλογόσ ἐστιν, καλείσθω δὲ μέση. Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆσ ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔ· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔ. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει· δυνάμει γὰρ μόνον ὑπόκεινται σύμμετροι· ἴση δὲ ἡ ΑΒ τῇ ΒΔ, ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΒ τῇ ΒΓ μήκει. καί ἐστιν ὡσ ἡ ΔΒ πρὸσ τὴν ΒΓ, οὕτωσ τὸ ΑΔ πρὸσ τὸ ΑΓ· ἀσύμμετρον ἄρα [ἐστὶ] τὸ ΔΑ τῷ ΑΓ. ῥητὸν δὲ τὸ ΔΑ· ἄλογον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΓ· ὥστε καὶ ἡ δυναμένη τὸ ΑΓ [τουτέστιν ἡ ἴσον αὐτῷ τετράγωνον δυναμένη] ἄλογόσ ἐστιν, καλείσθω δὲ μέση· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Λῆμμα Εἂν ὦσι δύο εὐθεῖαι, ἔστιν ὡσ ἡ πρώτη πρὸσ τὴν δευτέραν, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ πρώτησ πρὸσ τὸ ὑπὸ τῶν δύο εὐθειῶν. Ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΖΕ, ΕΗ. λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡσ ἡ ΖΕ πρὸσ τὴν ΕΗ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΕ πρὸσ τὸ ὑπὸ τῶν ΖΕ, ΕΗ. Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆσ ΖΕ τετράγωνον τὸ ΔΖ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΗΔ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡσ ἡ ΖΕ πρὸσ τὴν ΕΗ, οὕτωσ τὸ ΖΔ πρὸσ τὸ ΔΗ, καί ἐστι τὸ μὲν ΖΔ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΕ, τὸ δὲ ΔΗ τὸ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΗ, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΖΕ, ΕΗ, ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΖΕ τὴν ΕΗ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΕ πρὸσ τὸ ὑπὸ τῶν ΖΕ, ΕΗ. ὁμοίωσ δὲ καὶ ὡσ τὸ ὑπὸ τῶν ΗΕ, ΕΖ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΕΖ, τουτέστιν ὡσ τὸ ΗΔ πρὸσ τὸ ΖΔ, οὕτωσ ἡ ΗΕ πρὸσ τὴν ΕΖ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τὸ ἀπὸ μέσησ παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ ῥητὴν καὶ ἀσύμμετρον τῇ, παρ’ ἣν παράκειται, μήκει. Ἔστω μέση μὲν ἡ Α, ῥητὴ δὲ ἡ ΓΒ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆσ Α ἴσον παρὰ τὴν ΒΓ παραβεβλήσθω χωρίον ὀρθογώνιον τὸ ΒΔ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΓΔ· λέγω, ὅτι ῥητή ἐστιν ἡ ΓΔ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΓΒ μήκει. Ἐπεὶ γὰρ μέση ἐστὶν ἡ Α, δύναται χωρίον περιεχόμενον ὑπὸ ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων. δυνάσθω τὸ ΗΖ. δύναται δὲ καὶ τὸ ΒΔ· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΔ τῷ ΗΖ. ἔστι δὲ αὐτῷ καὶ ἰσογώνιον· τῶν δὲ ἴσων τε καὶ ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ· ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΕΗ, οὕτωσ ἡ ΕΖ πρὸσ τὴν ΓΔ. ἔστιν ἄρα καὶ ὡσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΓ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΕΗ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΕΖ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΓΔ. σύμμετρον δέ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΓΒ τῷ ἀπὸ τῆσ ΕΗ· ῥητὴ γάρ ἐστιν ἑκατέρα αὐτῶν· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΕΖ τῷ ἀπὸ τῆσ ΓΔ. ῥητὸν δέ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΕΖ· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΓΔ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΔ. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΕΖ τῇ ΕΗ μήκει· δυνάμει γὰρ μόνον εἰσὶ σύμμετροι· ὡσ δὲ ἡ ΕΖ πρὸσ τὴν ΕΗ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΕΖ πρὸσ τὸ ὑπὸ τῶν ΖΕ, ΕΗ, ἀσύμμετρον ἄρα [ἐστὶ] τὸ ἀπὸ τῆσ ΕΖ τῷ ὑπὸ τῶν ΖΕ, ΕΗ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆσ ΕΖ σύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΓΔ· ῥηταὶ γάρ εἰσι δυνάμει· τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΖΕ, ΕΗ σύμμετρόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· ἴσα γάρ ἐστι τῷ ἀπὸ τῆσ Α· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΓΔ τῷ ὑπὸ τῶν ΔΓ, ΓΒ. ὡσ δὲ τὸ ἀπὸ τῆσ ΓΔ πρὸσ τὸ ὑπὸ τῶν ΔΓ, ΓΒ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΔΓ πρὸσ τὴν ΓΒ· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΓ τῇ ΓΒ μήκει. ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΔ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΓΒ μήκει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἡ τῇ μέσῃ σύμμετροσ μέση ἐστίν. Ἔστω μέση ἡ Α, καὶ τῇ Α σύμμετροσ ἔστω ἡ Β· λέγω, ὅτι καὶ ἡ Β μέση ἐστίν. Ἐκκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ ΓΔ, καὶ τῷ μὲν ἀπὸ τῆσ Α ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω χωρίον ὀρθογώνιον τὸ ΓΕ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΕΔ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΔ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΓΔ μήκει. τῷ δὲ ἀπὸ τῆσ Β ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω χωρίον ὀρθογώνιον τὸ ΓΖ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΔΖ. ἐπεὶ οὖν σύμμετρόσ ἐστιν ἡ Α τῇ Β, σύμμετρόν ἐστι καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ Α τῷ ἀπὸ τῆσ Β. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆσ Α ἴσον ἐστὶ τὸ ΕΓ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆσ Β ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΖ· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΓ τῷ ΓΖ. καί ἐστιν ὡσ τὸ ΕΓ πρὸσ τὸ ΓΖ, οὕτωσ ἡ ΕΔ πρὸσ τὴν ΔΖ· σύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΔ τῇ ΔΖ μήκει. ῥητὴ δέ ἐστιν ἡ ΕΔ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΔΓ μήκει· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΖ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΔΓ μήκει· αἱ ΓΔ, ΔΖ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι. ἡ δὲ τὸ ὑπὸ ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων δυναμένη μέση ἐστίν. ἡ ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΔΖ δυναμένη μέση ἐστίν· καὶ δύναται τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΔΖ ἡ Β· μέση ἄρα ἐστὶν ἡ Β. Πόρισμα Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι τὸ τῷ μέσῳ χωρίῳ σύμμετρον μέσον ἐστίν. [δύνανται γὰρ αὐτὰ εὐθεῖαι, αἵ εἰσι δυνάμει σύμμετροι, ὧν ἡ ἑτέρα μέση· ὥστε καὶ ἡ λοιπὴ μέση ἐστίν. ] Ὡσαύτωσ δὲ τοῖσ ἐπὶ τῶν ῥητῶν εἰρημένοισ καὶ ἐπὶ τῶν μέσων ἐξακολουθεῖ, τὴν τῇ μέσῃ μήκει σύμμετρον λέγεσθαι μέσην καὶ σύμμετρον αὐτῇ μὴ μόνον μήκει, ἀλλὰ καὶ δυνάμει, ἐπειδήπερ καθόλου αἱ μήκει σύμμετροι πάντωσ καὶ δυνάμει. ἐὰν δὲ τῇ μέσῃ σύμμετρόσ τισ ᾖ δυνάμει, εἰ μὲν καὶ μήκει, λέγονται καὶ οὕτωσ μέσαι καὶ σύμμετροι μήκει καὶ δυνάμει, εἰ δὲ δυνάμει μόνον, λέγονται μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι. Τὸ ὑπὸ μέσων μήκει συμμέτρων εὐθειῶν κατά τινα τῶν εἰρημένων τρόπων περιεχόμενον ὀρθογώνιον μέσον ἐστίν. Ὑπὸ γὰρ μέσων μήκει συμμέτρων εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΒΓ περιεχέσθω ὀρθογώνιον τὸ ΑΓ· λέγω, ὅτι τὸ ΑΓ μέσον ἐστίν. Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆσ ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔ· μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔ. καὶ ἐπεὶ σύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει, ἴση δὲ ἡ ΑΒ τῇ ΒΔ, σύμμετροσ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΒ τῇ ΒΓ μήκει· ὥστε καὶ τὸ ΔΑ τῷ ΑΓ σύμμετρόν ἐστιν. μέσον δὲ τὸ ΔΑ· μέσον ἄρα καὶ τὸ ΑΓ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τὸ ὑπὸ μέσων δυνάμει μόνον συμμέτρων εὐθειῶν περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἤτοι ῥητὸν ἢ μέσον ἐστίν. Ὑπὸ γὰρ μέσων δυνάμει μόνον συμμέτρων εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΒΓ ὀρθογώνιον περιεχέσθω τὸ ΑΓ· λέγω, ὅτι τὸ ΑΓ ἤτοι ῥητὸν ἢ μέσον ἐστίν. Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνα τὰ ΑΔ, ΒΕ· μέσον ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΑΔ, ΒΕ. καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΖΗ, καὶ τῷ μὲν ΑΔ ἴσον παρὰ τὴν ΖΗ παραβεβλήσθω ὀρθογώνιον παραλληλόγραμμον τὸ ΗΘ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΖΘ, τῷ δὲ ΑΓ ἴσον παρὰ τὴν ΘΜ παραβεβλήσθω ὀρθογώνιον παραλληλόγραμμον τὸ ΜΚ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΘΚ, καὶ ἔτι τῷ ΒΕ ἴσον ὁμοίωσ παρὰ τὴν ΚΝ παραβεβλήσθω τὸ ΝΛ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΚΛ· ἐπ’ εὐθείασ ἄρα εἰσὶν αἱ ΖΘ, ΘΚ, ΚΛ. ἐπεὶ οὖν μέσον ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΑΔ, ΒΕ, καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν ΑΔ τῷ ΗΘ, τὸ δὲ ΒΕ τῷ ΝΛ, μέσον ἄρα καὶ ἑκάτερον τῶν ΗΘ, ΝΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΖΗ παράκειται· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΖΘ, ΚΛ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΖΗ μήκει. καὶ ἐπεὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ ΑΔ τῷ ΒΕ, σύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΗΘ τῷ ΝΛ. καί ἐστιν ὡσ τὸ ΗΘ πρὸσ τὸ ΝΛ, οὕτωσ ἡ ΖΘ πρὸσ τὴν ΚΛ· σύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΘ τῇ ΚΛ μήκει. αἱ ΖΘ, ΚΛ ἄρα ῥηταί εἰσι μήκει σύμμετροι· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΖΘ, ΚΛ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΔΒ τῇ ΒΑ, ἡ δὲ ΞΒ τῇ ΒΓ, ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΔΒ πρὸσ τὴν ΒΓ, οὕτωσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΞ. ἀλλ’ ὡσ μὲν ἡ ΔΒ πρὸσ τὴν ΒΓ, οὕτωσ τὸ ΔΑ πρὸσ τὸ ΑΓ· ὡσ δὲ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΞ, οὕτωσ τὸ ΑΓ πρὸσ τὸ ΓΞ· ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ ΔΑ πρὸσ τὸ ΑΓ, οὕτωσ τὸ ΑΓ πρὸσ τὸ ΓΞ. ἴσον δέ ἐστι τὸ μὲν ΑΔ τῷ ΗΘ, τὸ δὲ ΑΓ τῷ ΜΚ, τὸ δὲ ΓΞ τῷ ΝΛ· ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ ΗΘ πρὸσ τὸ ΜΚ, οὕτωσ τὸ ΜΚ πρὸσ τὸ ΝΛ· ἔστιν ἄρα καὶ ὡσ ἡ ΖΘ πρὸσ τὴν ΘΚ, οὕτωσ ἡ ΘΚ πρὸσ τὴν ΚΛ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΖΘ, ΚΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΘΚ. ῥητὸν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΖΘ, ΚΛ· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΘΚ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΚ. καὶ εἰ μὲν σύμμετρόσ ἐστι τῇ ΖΗ μήκει, ῥητόν ἐστι τὸ ΘΝ· εἰ δὲ ἀσύμμετρόσ ἐστι τῇ ΖΗ μήκει, αἱ ΚΘ, ΘΜ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· μέσον ἄρα τὸ ΘΝ. τὸ ΘΝ ἄρα ἤτοι ῥητὸν ἢ μέσον ἐστίν. ἴσον δὲ τὸ ΘΝ τῷ ΑΓ· τὸ ΑΓ ἄρα ἤτοι ῥητὸν ἢ μέσον ἐστίν. Τὸ ἄρα ὑπὸ μέσων δυνάμει μόνον συμμέτρων, καὶ τὰ ἑξῆσ. Μέσον μέσου οὐχ ὑπερέχει ῥητῷ. Εἰ γὰρ δυνατόν, μέσον τὸ ΑΒ μέσου τοῦ ΑΓ ὑπερεχέτω ῥητῷ τῷ ΔΒ, καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΕΖ, καὶ τῷ ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραβεβλήσθω παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον τὸ ΖΘ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΕΘ, τῷ δὲ ΑΓ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΖΗ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΒΔ λοιπῷ τῷ ΚΘ ἐστιν ἴσον. ῥητὸν δέ ἐστι τὸ ΔΒ· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΚΘ. ἐπεὶ οὖν μέσον ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΑΒ, ΑΓ, καί ἐστι τὸ μὲν ΑΒ τῷ ΖΘ ἴσον, τὸ δὲ ΑΓ τῷ ΖΗ, μέσον ἄρα καὶ ἑκάτερον τῶν ΖΘ, ΖΗ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΘΕ, ΕΗ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΕΖ μήκει. καὶ ἐπεὶ ῥητόν ἐστι τὸ ΔΒ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΚΘ, ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΚΘ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘ καὶ σύμμετροσ τῇ ΕΖ μήκει. ἀλλὰ καὶ ἡ ΕΗ ῥητή ἐστι καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΕΖ μήκει· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΗ τῇ ΗΘ μήκει. καί ἐστιν ὡσ ἡ ΕΗ πρὸσ τὴν ΗΘ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΕΗ πρὸσ τὸ ὑπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΕΗ τῷ ὑπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆσ ΕΗ σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ τετράγωνα· ῥητὰ γὰρ ἀμφότερα· τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ σύμμετρόν ἐστι τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ· διπλάσιον γάρ ἐστιν αὐτοῦ· ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ· καὶ συναμφότερα ἄρα τά τε ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ καὶ τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ, ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΕΘ, ἀσύμμετρόν ἐστι τοῖσ ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ. ῥητὰ δὲ τὰ ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ· ἄλογον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΕΘ. ἄλογοσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ. ἀλλὰ καὶ ῥητή· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. Μέσον ἄρα μέσου οὐχ ὑπερέχει ῥητῷ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Μέσασ εὑρεῖν δυνάμει μόνον συμμέτρουσ ῥητὸν περιεχούσασ. Ἐκκείσθωσαν δύο ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ Α, Β, καὶ εἰλήφθω τῶν Α, Β μέση ἀνάλογον ἡ Γ, καὶ γεγονέτω ὡσ ἡ Α πρὸσ τὴν Β, οὕτωσ ἡ Γ πρὸσ τὴν Δ. Καὶ ἐπεὶ αἱ Α, Β ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Β, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆσ Γ, μέσον ἐστίν. μέση ἄρα ἡ Γ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ Α πρὸσ τὴν Β, [οὕτωσ] ἡ Γ πρὸσ τὴν Δ, αἱ δὲ Α, Β δυνάμει μόνον [εἰσὶ] σύμμετροι, καὶ αἱ Γ, Δ ἄρα δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι. καί ἐστι μέση ἡ Γ· μέση ἄρα καὶ ἡ Δ. αἱ Γ, Δ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι. λέγω, ὅτι καὶ ῥητὸν περιέχουσιν. ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡσ ἡ Α πρὸσ τὴν Β, οὕτωσ ἡ Γ πρὸσ τὴν Δ, ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ Α πρὸσ τὴν Γ, ἡ Β πρὸσ τὴν Δ. ἀλλ’ ὡσ ἡ Α πρὸσ τὴν Γ, ἡ Γ πρὸσ τὴν Β· καὶ ὡσ ἄρα ἡ Γ πρὸσ τὴν Β, οὕτωσ ἡ Β πρὸσ τὴν Δ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Γ, Δ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ Β. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆσ Β· ῥητὸν ἄρα [ἐστὶ] καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Γ, Δ. Εὑρ́ηνται ἄρα μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι ῥητὸν περιέχουσαι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Μέσασ εὑρεῖν δυνάμει μόνον συμμέτρουσ μέσον περιεχούσασ. Ἐκκείσθωσαν [τρεῖσ] ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ Α, Β, Γ, καὶ εἰλήφθω τῶν Α, Β μέση ἀνάλογον ἡ Δ, καὶ γεγονέτω ὡσ ἡ Β πρὸσ τὴν Γ, ἡ Δ πρὸσ τὴν Ε. Ἐπεὶ αἱ Α, Β ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Β, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆσ Δ, μέσον ἐστίν. μέση ἄρα ἡ Δ. καὶ ἐπεὶ αἱ Β, Γ δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι, καί ἐστιν ὡσ ἡ Β πρὸσ τὴν Γ, ἡ Δ πρὸσ τὴν Ε, καὶ αἱ Δ, Ε ἄρα δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι. μέση δὲ ἡ Δ· μέση ἄρα καὶ ἡ Ε· αἱ Δ, Ε ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι. λέγω δή, ὅτι καὶ μέσον περιέχουσιν. ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡσ ἡ Β πρὸσ τὴν Γ, ἡ Δ πρὸσ τὴν Ε, ἐναλλὰξ ἄρα ὡσ ἡ Β πρὸσ τὴν Δ, ἡ Γ πρὸσ τὴν Ε. ὡσ δὲ ἡ Β πρὸσ τὴν Δ, ἡ Δ πρὸσ τὴν Α· καὶ ὡσ ἄρα ἡ Δ πρὸσ τὴν Α, ἡ Γ πρὸσ τὴν Ε· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Γ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν Δ, Ε. μέσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν Α, Γ· μέσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε. Εὑρ́ηνται ἄρα μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι μέσον περιέχουσαι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Λῆμμα Εὑρεῖν δύο τετραγώνουσ ἀριθμούσ, ὥστε καὶ τὸν συγκείμενον ἐξ αὐτῶν εἶναι τετράγωνον. Ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΒ, ΒΓ, ἔστωσαν δὲ ἤτοι ἄρτιοι ἢ περιττοί. καὶ ἐπεί, ἐάν τε ἀπὸ ἀρτίου ἄρτιοσ ἀφαιρεθῇ, ἐάν τε ἀπὸ περισσοῦ περισσόσ, ὁ λοιπὸσ ἄρτιόσ ἐστιν, ὁ λοιπὸσ ἄρα ὁ ΑΓ ἄρτιόσ ἐστιν. τετμήσθω ὁ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Δ. ἔστωσαν δὲ καὶ οἱ ΑΒ, ΒΓ ἤτοι ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἢ τετράγωνοι, οἳ καὶ αὐτοὶ ὅμοιοί εἰσιν ἐπίπεδοι· ὁ ἄρα ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ [τοῦ] ΓΔ τετραγώνου ἴσοσ ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ ΒΔ τετραγώνῳ. καί ἐστι τετράγωνοσ ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ἐπειδήπερ ἐδείχθη, ὅτι, ἐὰν δύο ὅμοιοι ἐπίπεδοι πολλαπλασιάσαντεσ ἀλλήλουσ ποιῶσί τινα, ὁ γενόμενοσ τετράγωνόσ ἐστιν. εὑρ́ηνται ἄρα δύο τετράγωνοι ἀριθμοὶ ὅ τε ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ ΓΔ, οἳ συντεθέντεσ ποιοῦσι τὸν ἀπὸ τοῦ ΒΔ τετράγωνον. Καὶ φανερόν, ὅτι εὑρ́ηνται πάλιν δύο τετράγωνοι ὅ τε ἀπὸ τοῦ ΒΔ καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ ΓΔ, ὥστε τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν τὸν ὑπὸ ΑΒ, ΒΓ εἶναι τετράγωνον, ὅταν οἱ ΑΒ, ΒΓ ὅμοιοι ὦσιν ἐπίπεδοι. ὅταν δὲ μὴ ὦσιν ὅμοιοι ἐπίπεδοι, εὑρ́ηνται δύο τετράγωνοι ὅ τε ἀπὸ τοῦ ΒΔ καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ ΔΓ, ὧν ἡ ὑπεροχὴ ὁ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ οὐκ ἔστι τετράγωνοσ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Λῆμμα Εὑρεῖν δύο τετραγώνουσ ἀριθμούσ, ὥστε τὸν ἐξ αὐτῶν συγκείμενον μὴ εἶναι τετράγωνον. Ἔστω γὰρ ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ὡσ ἔφαμεν, τετράγωνοσ, καὶ ἄρτιοσ ὁ ΓΑ, καὶ τετμήσθω ὁ ΓΑ δίχα τῷ Δ. φανερὸν δή, ὅτι ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνοσ μετὰ τοῦ ἀπὸ [τοῦ] ΓΔ τετραγώνου ἴσοσ ἐστὶ τῷ ἀπὸ [τοῦ] ΒΔ τετραγώνῳ. ἀφῃρήσθω μονὰσ ἡ ΔΕ· ὁ ἄρα ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ [τοῦ] ΓΕ ἐλάσσων ἐστὶ τοῦ ἀπὸ [τοῦ] ΒΔ τετραγώνου. λέγω οὖν, ὅτι ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνοσ μετὰ τοῦ ἀπὸ [τοῦ] ΓΕ οὐκ ἔσται τετράγωνοσ. Εἰ γὰρ ἔσται τετράγωνοσ, ἤτοι ἴσοσ ἐστὶ τῷ ἀπὸ [τοῦ] ΒΕ ἢ ἐλάσσων τοῦ ἀπὸ [τοῦ] ΒΕ, οὐκέτι δὲ καὶ μείζων, ἵνα μὴ τμηθῇ ἡ μονάσ. ἔστω, εἰ δυνατόν, πρότερον ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσοσ τῷ ἀπὸ ΒΕ, καὶ ἔστω τῆσ ΔΕ μονάδοσ διπλασίων ὁ ΗΑ. ἐπεὶ οὖν ὅλοσ ὁ ΑΓ ὅλου τοῦ ΓΔ ἐστι διπλασίων, ὧν ὁ ΑΗ τοῦ ΔΕ ἐστι διπλασίων, καὶ λοιπὸσ ἄρα ὁ ΗΓ λοιποῦ τοῦ ΕΓ ἐστι διπλασίων· δίχα ἄρα τέτμηται ὁ ΗΓ τῷ Ε. ὁ ἄρα ἐκ τῶν ΗΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσοσ ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΒΕ τετραγώνῳ. ἀλλὰ καὶ ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσοσ ὑπόκειται τῷ ἀπὸ [τοῦ] ΒΕ τετραγώνῳ· ὁ ἄρα ἐκ τῶν ΗΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσοσ ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ. καὶ κοινοῦ ἀφαιρεθέντοσ τοῦ ἀπὸ ΓΕ συνάγεται ὁ ΑΒ ἴσοσ τῷ ΗΒ· ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ [τοῦ] ΓΕ ἴσοσ ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΒΕ. λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ἐλάσσων τοῦ ἀπὸ ΒΕ. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω τῷ ἀπὸ ΒΖ ἴσοσ, καὶ τοῦ ΔΖ διπλασίων ὁ ΘΑ. καὶ συναχθήσεται πάλιν διπλασίων ὁ ΘΓ τοῦ ΓΖ· ὥστε καὶ τὸν ΓΘ δίχα τετμῆσθαι κατὰ τὸ Ζ, καὶ διὰ τοῦτο τὸν ἐκ τῶν ΘΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΖΓ ἴσον γίνεσθαι τῷ ἀπὸ ΒΖ. ὑπόκειται δὲ καὶ ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσοσ τῷ ἀπὸ ΒΖ. ὥστε καὶ ὁ ἐκ τῶν ΘΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΖ ἴσοσ ἔσται τῷ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ· ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσοσ ἐστὶ [τῷ] ἐλάσσονι τοῦ ἀπὸ ΒΕ. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ [αὐτῷ] τῷ ἀπὸ ΒΕ. οὐκ ἄρα ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ τετράγωνόσ ἐστιν. [δυνατοῦ δὲ ὄντοσ καὶ κατὰ πλείονασ τρόπουσ τοὺσ εἰρημένουσ ἀριθμοὺσ ἐπιδεικνύειν, ἀρκείσθωσαν ἡμῖν οἱ εἰρημένοι, ἵνα μὴ μακροτέρασ οὔσησ τῆσ πραγματείασ ἐπὶ πλέον αὐτὴν μηκύνωμεν. ] ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εὑρεῖν δύο ῥητὰσ δυνάμει μόνον συμμέτρουσ, ὥστε τὴν μείζονα τῆσ ἐλάσσονοσ μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει. Ἐκκείσθω γάρ τισ ῥητὴ ἡ ΑΒ καὶ δύο τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ ΓΔ, ΔΕ, ὥστε τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν τὸν ΓΕ μὴ εἶναι τετράγωνον, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆσ ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΖΒ, καὶ πεποιήσθω ὡσ ὁ ΔΓ πρὸσ τὸν ΓΕ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΑ τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΖ τετράγωνον καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΒ. Ἐπεὶ [οὖν] ἐστιν ὡσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΑ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΖ, οὕτωσ ὁ ΔΓ πρὸσ τὸν ΓΕ, τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΑ ἄρα πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΖ λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸσ ὁ ΔΓ πρὸσ ἀριθμὸν τὸν ΓΕ· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΑ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΖ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ· ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΖ· ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΑΖ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΔΓ πρὸσ τὸν ΓΕ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΑ ἄρα πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΖ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΑΖ μήκει· αἱ ΒΑ, ΑΖ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι. καὶ ἐπεί [ἐστιν] ὡσ ὁ ΔΓ πρὸσ τὸν ΓΕ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΑ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΖ, ἀναστρέψαντι ἄρα ὡσ ὁ ΓΔ πρὸσ τὸν ΔΕ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΖ. ὁ δὲ ΓΔ πρὸσ τὸν ΔΕ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ ἄρα πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΖ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· σύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΒΖ μήκει. καί ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ ἴσον τοῖσ ἀπὸ τῶν ΑΖ, ΖΒ· ἡ ΑΒ ἄρα τῆσ ΑΖ μεῖζον δύναται τῇ ΒΖ συμμέτρῳ ἑαυτῇ. Εὑρ́ηνται ἄρα δύο ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ ΒΑ, ΑΖ, ὥστε τὴν μείζονα τὴν ΑΒ τῆσ ἐλάσσονοσ τῆσ ΑΖ μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ τῆσ ΒΖ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εὑρεῖν δύο ῥητὰσ δυνάμει μόνον συμμέτρουσ, ὥστε τὴν μείζονα τῆσ ἐλάσσονοσ μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει. Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΑΒ καὶ δύο τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ ΓΕ, ΕΔ, ὥστε τὸν συγκείμενον ἐξ αὐτῶν τὸν ΓΔ μὴ εἶναι τετράγωνον, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆσ ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΖΒ, καὶ πεποιήσθω ὡσ ὁ ΔΓ πρὸσ τὸν ΓΕ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΑ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΒ. Ὁμοίωσ δὴ δείξομεν τῷ πρὸ τούτου, ὅτι αἱ ΒΑ, ΑΖ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ὁ ΔΓ πρὸσ τὸν ΓΕ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΑ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΖ, ἀναστρέψαντι ἄρα ὡσ ὁ ΓΔ πρὸσ τὸν ΔΕ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΖ. ὁ δὲ ΓΔ πρὸσ τὸν ΔΕ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· οὐδ’ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΖ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΒΖ μήκει. καὶ δύναται ἡ ΑΒ τῆσ ΑΖ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆσ ΖΒ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. Αἱ ΑΒ, ΑΖ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΑΒ τῆσ ΑΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ τῆσ ΖΒ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εὑρεῖν δύο μέσασ δυνάμει μόνον συμμέτρουσ ῥητὸν περιεχούσασ, ὥστε τὴν μείζονα τῆσ ἐλάσσονοσ μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει. Ἐκκείσθωσαν δύο ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ Α, Β, ὥστε τὴν Α μείζονα οὖσαν τῆσ ἐλάσσονοσ τῆσ Β μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει. καὶ τῷ ὑπὸ τῶν Α, Β ἴσον ἔστω τὸ ἀπὸ τῆσ Γ. μέσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν Α, Β· μέσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ Γ· μέση ἄρα καὶ ἡ Γ. τῷ δὲ ἀπὸ τῆσ Β ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν Γ, Δ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆσ Β· ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Γ, Δ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ Α πρὸσ τὴν Β, οὕτωσ τὸ ὑπὸ τῶν Α, Β πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Β, ἀλλὰ τῷ μὲν ὑπὸ τῶν Α, Β ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ Γ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆσ Β ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν Γ, Δ, ὡσ ἄρα ἡ Α πρὸσ τὴν Β, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ Γ πρὸσ τὸ ὑπὸ τῶν Γ, Δ. ὡσ δὲ τὸ ἀπὸ τῆσ Γ πρὸσ τὸ ὑπὸ τῶν Γ, Δ, οὕτωσ ἡ Γ πρὸσ τὴν Δ· καὶ ὡσ ἄρα ἡ Α πρὸσ τὴν Β, οὕτωσ ἡ Γ πρὸσ τὴν Δ. σύμμετροσ δὲ ἡ Α τῇ Β δυνάμει μόνον· σύμμετροσ ἄρα καὶ ἡ Γ τῇ Δ δυνάμει μόνον. καί ἐστι μέση ἡ Γ· μέση ἄρα καὶ ἡ Δ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ Α πρὸσ τὴν Β, ἡ Γ πρὸσ τὴν Δ, ἡ δὲ Α τῆσ Β μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ Γ ἄρα τῆσ Δ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ. Εὑρ́ηνται ἄρα δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ Γ, Δ ῥητὸν περιέχουσαι, καὶ ἡ Γ τῆσ Δ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει. Ὁμοίωσ δὴ δειχθήσεται καὶ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου, ὅταν ἡ Α τῆσ Β μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. Εὑρεῖν δύο μέσασ δυνάμει μόνον συμμέτρουσ μέσον περιεχούσασ, ὥστε τὴν μείζονα τῆσ ἐλάσσονοσ μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ. Ἐκκείσθωσαν τρεῖσ ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ Α, Β, Γ, ὥστε τὴν Α τῆσ Γ μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ τῷ μὲν ὑπὸ τῶν Α, Β ἴσον ἔστω τὸ ἀπὸ τῆσ Δ. μέσον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ Δ· καὶ ἡ Δ ἄρα μέση ἐστίν. τῷ δὲ ὑπὸ τῶν Β, Γ ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ τὸ ὑπὸ τῶν Α, Β πρὸσ τὸ ὑπὸ τῶν Β, Γ, οὕτωσ ἡ Α πρὸσ τὴν Γ, ἀλλὰ τῷ μὲν ὑπὸ τῶν Α, Β ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ Δ, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν Β, Γ ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε, ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ Α πρὸσ τὴν Γ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ Δ πρὸσ τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε. ὡσ δὲ τὸ ἀπὸ τῆσ Δ πρὸσ τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε, οὕτωσ ἡ Δ πρὸσ τὴν Ε· καὶ ὡσ ἄρα ἡ Α πρὸσ τὴν Γ, οὕτωσ ἡ Δ πρὸσ τὴν Ε· σύμμετροσ δὲ ἡ Α τῇ Γ δυνάμει [μόνον]. σύμμετροσ ἄρα καὶ ἡ Δ τῇ Ε δυνάμει μόνον. μέση δὲ ἡ Δ· μέση ἄρα καὶ ἡ Ε. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ Α πρὸσ τὴν Γ, ἡ Δ πρὸσ τὴν Ε, ἡ δὲ Α τῆσ Γ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ Δ ἄρα τῆσ Ε μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ. λέγω δή, ὅτι καὶ μέσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε. ἐπεὶ γὰρ ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν Β, Γ τῷ ὑπὸ τῶν Δ, Ε, μέσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν Β, Γ [αἱ γὰρ Β, Γ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι], μέσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε. Εὑρ́ηνται ἄρα δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ Δ, Ε μέσον περιέχουσαι, ὥστε τὴν μείζονα τῆσ ἐλάσσονοσ μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ. Ὁμοίωσ δὴ πάλιν δειχθήσεται καὶ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου, ὅταν ἡ Α τῆσ Γ μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. Λῆμμα Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν Α, καὶ ἤχθω κάθετοσ ἡ ΑΔ· λέγω, ὅτι τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΓΒΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΒΑ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΒΓΔ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆσ ΓΑ, καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΔ, καὶ ἔτι τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΔ ἴσον [ἐστὶ] τῷ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ. Καὶ πρῶτον, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΓΒΔ ἴσον [ἐστὶ] τῷ ἀπὸ τῆσ ΒΑ. Ἐπεὶ γὰρ ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ ἀπὸ τῆσ ὀρθῆσ γωνίασ ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετοσ ἦκται ἡ ΑΔ, τὰ ΑΒΔ, ΑΔΓ ἄρα τρίγωνα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ τῷ ΑΒΓ καὶ ἀλλήλοισ. καὶ ἐπεὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΒΔ τριγώνῳ, ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΓΒ πρὸσ τὴν ΒΑ, οὕτωσ ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΒΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΒΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΒ. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΓ. Καὶ ἐπεί, ἐὰν ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ ἀπὸ τῆσ ὀρθῆσ γωνίασ ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετοσ ἀχθῇ, ἡ ἀχθεῖσα τῶν τῆσ βάσεωσ τμημάτων μέση ἀνάλογόν ἐστιν, ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΔΑ, οὕτωσ ἡ ΑΔ πρὸσ τὴν ΔΓ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΔΑ. Λέγω, ὅτι καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ. ἐπεὶ γάρ, ὡσ ἔφαμεν, ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τῷ ΑΒΔ, ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΓΑ, οὕτωσ ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΔ. [ἐὰν δὲ τέσσαρεσ εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων. ] τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εὑρεῖν δύο εὐθείασ δυνάμει ἀσυμμέτρουσ ποιούσασ τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δ’ ὑπ’ αὐτῶν μέσον. Ἐκκείσθωσαν δύο ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ὥστε τὴν μείζονα τὴν ΑΒ τῆσ ἐλάσσονοσ τῆσ ΒΓ μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ τετμήσθω ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ Δ, καὶ τῷ ἀφ’ ὁποτέρασ τῶν ΒΔ, ΔΓ ἴσον παρὰ τὴν ΑΒ παραβεβλήσθω παραλληλόγραμμον ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆσ ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΖΒ, καὶ ἤχθω τῇ ΑΒ πρὸσ ὀρθὰσ ἡ ΕΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΖΒ. Καὶ ἐπεὶ [δύο] εὐθεῖαι ἄνισοί εἰσιν αἱ ΑΒ, ΒΓ, καὶ ἡ ΑΒ τῆσ ΒΓ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, τῷ δὲ τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΒΓ, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆσ ἡμισείασ αὐτῆσ, ἴσον παρὰ τὴν ΑΒ παραβέβληται παραλληλόγραμμον ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ καὶ ποιεῖ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ, ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ. καί ἐστιν ὡσ ἡ ΑΕ πρὸσ ΕΒ, οὕτωσ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΕ πρὸσ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΕ, ἴσον δὲ τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΕ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΖ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΕ τῷ ἀπὸ τῆσ ΒΖ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΖ τῷ ἀπὸ τῆσ ΖΒ· αἱ ΑΖ, ΖΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ ῥητή ἐστιν, ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ· ὥστε καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΖ, ΖΒ ῥητόν ἐστιν. καὶ ἐπεὶ πάλιν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΕΖ, ὑπόκειται δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ καὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΒΔ ἴσον, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΕ τῇ ΒΔ· διπλῆ ἄρα ἡ ΒΓ τῆσ ΖΕ· ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ σύμμετρόν ἐστι τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΕΖ. μέσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· μέσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΕΖ. ἴσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΕΖ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΒ· μέσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΒ. ἐδείχθη δὲ καὶ ῥητὸν τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων. Εὑρ́ηνται ἄρα δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι αἱ ΑΖ, ΖΒ ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δὲ ὑπ’ αὐτῶν μέσον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εὑρεῖν δύο εὐθείασ δυνάμει ἀσυμμέτρουσ ποιούσασ τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δ’ ὑπ’ αὐτῶν ῥητόν. Ἐκκείσθωσαν δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ ῥητὸν περιέχουσαι τὸ ὑπ’ αὐτῶν, ὥστε τὴν ΑΒ τῆσ ΒΓ μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆσ ΑΒ τὸ ΑΔΒ ἡμικύκλιον, καὶ τετμήσθω ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΑΒ τῷ ἀπὸ τῆσ ΒΕ ἴσον παραλληλόγραμμον ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖΒ· ἀσύμμετροσ ἄρα [ἐστὶν] ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ μήκει. καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ζ τῇ ΑΒ πρὸσ ὀρθὰσ ἡ ΖΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΔΒ. Ἐπεὶ ἀσύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΖ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΖ. ἴσον δὲ τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΖ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΔ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΖ τῷ ἀπὸ τῆσ ΔΒ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΔ τῷ ἀπὸ τῆσ ΔΒ. καὶ ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ, μέσον ἄρα καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΒΓ τῆσ ΔΖ, διπλάσιον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΖΔ. ῥητὸν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΖΔ. τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΖΔ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ· ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ῥητόν ἐστιν. Εὑρ́ηνται ἄρα δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι αἱ ΑΔ, ΔΒ ποιοῦσαι τὸ [μὲν] συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δ’ ὑπ’ αὐτῶν ῥητόν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εὑρεῖν δύο εὐθείασ δυνάμει ἀσυμμέτρουσ ποιούσασ τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ τὸ ὑπ’ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνῳ. Ἐκκείσθωσαν δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ μέσον περιέχουσαι, ὥστε τὴν ΑΒ τῆσ ΒΓ μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆσ ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΒ, καὶ τὰ λοιπὰ γεγονέτω τοῖσ ἐπάνω ὁμοίωσ. Καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ μήκει, ἀσύμμετρόσ ἐστι καὶ ἡ ΑΔ τῇ ΔΒ δυνάμει. καὶ ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ, μέσον ἄρα καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀφ’ ἑκατέρασ τῶν ΒΕ, ΔΖ, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΔΖ· διπλῆ ἄρα ἡ ΒΓ τῆσ ΖΔ· ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΖΔ. μέσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· μέσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΖΔ. καί ἐστιν ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ· μέσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει, σύμμετροσ δὲ ἡ ΓΒ τῇ ΒΕ, ἀσύμμετροσ ἄρα καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΒΕ μήκει· ὥστε καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΕ ἀσύμμετρόν ἐστιν. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆσ ΑΒ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΖΔ, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. Εὑρ́ηνται ἄρα δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΔ, ΔΒ δυνάμει ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν μέσον καὶ τὸ ὑπ’ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν δύο ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι συντεθῶσιν, ἡ ὅλη ἄλογόσ ἐστιν, καλείσθω δὲ ἐκ δύο ὀνομάτων. Συγκείσθωσαν γὰρ δύο ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ· λέγω, ὅτι ὅλη ἡ ΑΓ ἄλογόσ ἐστιν. Ἐπεὶ γὰρ ἀσύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει· δυνάμει γὰρ μόνον εἰσὶ σύμμετροι· ὡσ δὲ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΓ, οὕτωσ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΓ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ ἀπὸ τῆσ ΒΓ. ἀλλὰ τῷ μὲν ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ σύμμετρόν ἐστι τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆσ ΒΓ σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· αἱ γὰρ ΑΒ, ΒΓ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τοῖσ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. καὶ συνθέντι τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΓ, ἀσύμμετρόν ἐστι τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ῥητὸν δὲ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· ἄλογον ἄρα [ἐστὶ] τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΓ· ὥστε καὶ ἡ ΑΓ ἄλογόσ ἐστιν, καλείσθω δὲ ἐκ δύο ὀνομάτων· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι συντεθῶσι ῥητὸν περιέχουσαι, ἡ ὅλη ἄλογόσ ἐστιν, καλείσθω δὲ ἐκ δύο μέσων πρώτη. Συγκείσθωσαν γὰρ δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ ῥητὸν περιέχουσαι· λέγω, ὅτι ὅλη ἡ ΑΓ ἄλογόσ ἐστιν. Ἐπεὶ γὰρ ἀσύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει, καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἄρα ἀσύμμετρά ἐστι τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· καὶ συνθέντι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΓ, ἀσύμμετρόν ἐστι τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ῥητὸν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· ὑπόκεινται γὰρ αἱ ΑΒ, ΒΓ ῥητὸν περιέχουσαι· ἄλογον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΓ· ἄλογοσ ἄρα ἡ ΑΓ, καλείσθω δὲ ἐκ δύο μέσων πρώτη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι συντεθῶσι μέσον περιέχουσαι, ἡ ὅλη ἄλογόσ ἐστιν, καλείσθω δὲ ἐκ δύο μέσων δευτέρα. Συγκείσθωσαν γὰρ δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ μέσον περιέχουσαι· λέγω, ὅτι ἄλογόσ ἐστιν ἡ ΑΓ. Ἐκκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ ΔΕ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΓ ἴσον παρὰ τὴν ΔΕ παραβεβλήσθω τὸ ΔΖ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΔΗ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΓ ἴσον ἐστὶ τοῖσ τε ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ καὶ τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, παραβεβλήσθω δὴ τοῖσ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ παρὰ τὴν ΔΕ ἴσον τὸ ΕΘ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΘΖ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. καὶ ἐπεὶ μέση ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΑΒ, ΒΓ, μέσα ἄρα ἐστὶ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. μέσον δὲ ὑπόκειται καὶ τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. καί ἐστι τοῖσ μὲν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον τὸ ΕΘ, τῷ δὲ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον τὸ ΖΘ· μέσον ἄρα ἑκάτερον τῶν ΕΘ, ΘΖ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΕ παράκειται· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΔΘ, ΘΗ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΔΕ μήκει. ἐπεὶ οὖν ἀσύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει, καί ἐστιν ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ πρὸσ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆσ ΑΒ σύμμετρόν ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετραγώνων, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ σύμμετρόν ἐστι τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ἀλλὰ τοῖσ μὲν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ΕΘ, τῷ δὲ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ΘΖ. ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΘ τῷ ΘΖ· ὥστε καὶ ἡ ΔΘ τῇ ΘΗ ἐστιν ἀσύμμετροσ μήκει. αἱ ΔΘ, ΘΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι. ὥστε ἡ ΔΗ ἄλογόσ ἐστιν. ῥητὴ δὲ ἡ ΔΕ· τὸ δὲ ὑπὸ ἀλόγου καὶ ῥητῆσ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἄλογόν ἐστιν· ἄλογον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΖ χωρίον, καὶ ἡ δυναμένη [αὐτὸ] ἄλογόσ ἐστιν. δύναται δὲ τὸ ΔΖ ἡ ΑΓ· ἄλογοσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ, καλείσθω δὲ ἐκ δύο μέσων δευτέρα. ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι συντεθῶσι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δ’ ὑπ’ αὐτῶν μέσον, ἡ ὅλη εὐθεῖα ἄλογόσ ἐστιν, καλείσθω δὲ μείζων. Συγκείσθωσαν γὰρ δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ ποιοῦσαι τὰ προκείμενα· λέγω, ὅτι ἄλογόσ ἐστιν ἡ ΑΓ. Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μέσον ἐστίν, καὶ τὸ δὶσ [ἄρα] ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μέσον ἐστίν. τὸ δὲ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ῥητόν· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· ὥστε καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΓ, ἀσύμμετρόν ἐστι τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ [ῥητὸν δὲ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ]· ἄλογον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΓ. ὥστε καὶ ἡ ΑΓ ἄλογόσ ἐστιν, καλείσθω δὲ μείζων. ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι συντεθῶσι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δ’ ὑπ’ αὐτῶν ῥητόν, ἡ ὅλη εὐθεῖα ἄλογόσ ἐστιν, καλείσθω δὲ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη. Συγκείσθωσαν γὰρ δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ ποιοῦσαι τὰ προκείμενα· λέγω, ὅτι ἄλογόσ ἐστιν ἡ ΑΓ. Ἐπεὶ γὰρ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μέσον ἐστίν, τὸ δὲ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ῥητόν, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· ὥστε καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΓ ἀσύμμετρόν ἐστι τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ῥητὸν δὲ τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· ἄλογον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΓ. ἄλογοσ ἄρα ἡ ΑΓ, καλείσθω δὲ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη. ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι συντεθῶσι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ τὸ ὑπ’ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων, ἡ ὅλη εὐθεῖα ἄλογόσ ἐστιν, καλείσθω δὲ δύο μέσα δυναμένη. Συγκείσθωσαν γὰρ δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ ποιοῦσαι τὰ προκείμενα· λέγω, ὅτι ἡ ΑΓ ἄλογόσ ἐστιν. Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΔΕ, καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΔΕ τοῖσ μὲν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον τὸ ΔΖ, τῷ δὲ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον τὸ ΗΘ· ὅλον ἄρα τὸ ΔΘ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΓ τετραγώνῳ. καὶ ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, καί ἐστιν ἴσον τῷ ΔΖ, μέσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΔΖ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΕ παράκειται· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΗ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΔΕ μήκει. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΗΚ ῥητή ἐστι καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΗΖ, τουτέστι τῇ ΔΕ, μήκει. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ ΔΖ τῷ ΗΘ· ὥστε καὶ ἡ ΔΗ τῇ ΗΚ ἀσύμμετρόσ ἐστιν. καί εἰσι ῥηταί· αἱ ΔΗ, ΗΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἄλογοσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΚ ἡ καλουμένη ἐκ δύο ὀνομάτων. ῥητὴ δὲ ἡ ΔΕ· ἄλογον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΘ καὶ ἡ δυναμένη αὐτὸ ἄλογόσ ἐστιν. δύναται δὲ τὸ ΘΔ ἡ ΑΓ· ἄλογοσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ, καλείσθω δὲ δύο μέσα δυναμένη. ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Λῆμμα Ὅτι δὲ αἱ εἰρημέναι ἄλογοι μοναχῶσ διαιροῦνται εἰσ τὰσ εὐθείασ, ἐξ ὧν σύγκεινται ποιουσῶν τὰ προκείμενα εἴδη, δείξομεν ἤδη προεκθέμενοι λημμάτιον τοιοῦτον· Ἐκκείσθω εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ τετμήσθω ἡ ὅλη εἰσ ἄνισα καθ’ ἑκάτερον τῶν Γ, Δ, ὑποκείσθω δὲ μείζων ἡ ΑΓ τῆσ ΔΒ· λέγω, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μείζονά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. Τετμήσθω γὰρ ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Ε. καὶ ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ ΑΓ τῆσ ΔΒ, κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΔΓ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΔ λοιπῆσ τῆσ ΓΒ μείζων ἐστίν. ἴση δὲ ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ· ἐλάττων ἄρα ἡ ΔΕ τῆσ ΕΓ· τὰ Γ, Δ ἄρα σημεῖα οὐκ ἴσον ἀπέχουσι τῆσ διχοτομίασ. καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΕΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΕΒ, ἀλλὰ μὴν καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΔΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΕΒ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΕΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΔΕ· ὧν τὸ ἀπὸ τῆσ ΔΕ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΕΓ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. ὥστε καὶ τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἔλασσόν ἐστι τοῦ δὶσ ὑπὸ ΑΔ, ΔΒ. καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μεῖζόν ἐστι τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἡ ἐκ δύο ὀνομάτων κατὰ ἓν μόνον σημεῖον διαιρεῖται εἰσ τὰ ὀνόματα. Ἔστω ἐκ δύο ὀνομάτων ἡ ΑΒ διῃρημένη εἰσ τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Γ· αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι. λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ κατ’ ἄλλο σημεῖον οὐ διαιρεῖται εἰσ δύο ῥητὰσ δυνάμει μόνον συμμέτρουσ. Εἰ γὰρ δυνατόν, διῃρήσθω καὶ κατὰ τὸ Δ, ὥστε καὶ τὰσ ΑΔ, ΔΒ ῥητὰσ εἶναι δυνάμει μόνον συμμέτρουσ. φανερὸν δή, ὅτι ἡ ΑΓ τῇ ΔΒ οὐκ ἔστιν ἡ αὐτή. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω. ἔσται δὴ καὶ ἡ ΑΔ τῇ ΓΒ ἡ αὐτή· καὶ ἔσται ὡσ ἡ ΑΓ πρὸσ τὴν ΓΒ, οὕτωσ ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΔΑ, καὶ ἔσται ἡ ΑΒ κατὰ τὸ αὐτὸ τῇ κατὰ τὸ Γ διαιρέσει διαιρεθεῖσα καὶ κατὰ τὸ Δ· ὅπερ οὐχ ὑπόκειται. οὐκ ἄρα ἡ ΑΓ τῇ ΔΒ ἐστιν ἡ αὐτή. διὰ δὴ τοῦτο καὶ τὰ Γ, Δ σημεῖα οὐκ ἴσον ἀπέχουσι τῆσ διχοτομίασ. ᾧ ἄρα διαφέρει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, τούτῳ διαφέρει καὶ τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ διὰ τὸ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μετὰ τοῦ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μετὰ τοῦ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἴσα εἶναι τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΒ. ἀλλὰ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ διαφέρει ῥητῷ· ῥητὰ γὰρ ἀμφότερα· καὶ τὸ δὶσ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ διαφέρει ῥητῷ μέσα ὄντα· ὅπερ ἄτοπον· μέσον γὰρ μέσου οὐχ ὑπερέχει ῥητῷ. Οὐκ ἄρα ἡ ἐκ δύο ὀνομάτων κατ’ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον διαιρεῖται· καθ’ ἓν ἄρα μόνον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἡ ἐκ δύο μέσων πρώτη καθ’ ἓν μόνον σημεῖον διαιρεῖται. Ἔστω ἐκ δύο μέσων πρώτη ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, ὥστε τὰσ ΑΓ, ΓΒ μέσασ εἶναι δυνάμει μόνον συμμέτρουσ ῥητὸν περιεχούσασ· λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ κατ’ ἄλλο σημεῖον οὐ διαιρεῖται. Εἰ γὰρ δυνατόν, διῃρήσθω καὶ κατὰ τὸ Δ, ὥστε καὶ τὰσ ΑΔ, ΔΒ μέσασ εἶναι δυνάμει μόνον συμμέτρουσ ῥητὸν περιεχούσασ. ἐπεὶ οὖν, ᾧ διαφέρει τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τούτῳ διαφέρει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, ῥητῷ δὲ διαφέρει τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· ῥητὰ γὰρ ἀμφότερα· ῥητῷ ἄρα διαφέρει καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μέσα ὄντα· ὅπερ ἄτοπον. Οὐκ ἄρα ἡ ἐκ δύο μέσων πρώτη κατ’ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον διαιρεῖται εἰσ τὰ ὀνόματα· καθ’ ἓν ἄρα μόνον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἡ ἐκ μέσων δευτέρα καθ’ ἓν μόνον σημεῖον διαιρεῖται. Ἔστω ἐκ δύο μέσων δευτέρα ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, ὥστε τὰσ ΑΓ, ΓΒ μέσασ εἶναι δυνάμει μόνον συμμέτρουσ μέσον περιεχούσασ· φανερὸν δή, ὅτι τὸ Γ οὐκ ἔστι κατὰ τῆσ διχοτομίασ, ὅτι οὐκ εἰσὶ μήκει σύμμετροι. λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ κατ’ ἄλλο σημεῖον οὐ διαιρεῖται. Εἰ γὰρ δυνατόν, διῃρήσθω καὶ κατὰ τὸ Δ, ὥστε τὴν ΑΓ τῇ ΔΒ μὴ εἶναι τὴν αὐτήν, ἀλλὰ μείζονα καθ’ ὑπόθεσιν τὴν ΑΓ· δῆλον δή, ὅτι καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, ὡσ ἐπάνω ἐδείξαμεν, ἐλάσσονα τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· καὶ τὰσ ΑΔ, ΔΒ μέσασ εἶναι δυνάμει μόνον συμμέτρουσ μέσον περιεχούσασ. καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΕΖ, καὶ τῷ μὲν ἀπὸ τῆσ ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον παραβεβλήσθω τὸ ΕΚ, τοῖσ δὲ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΕΗ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΘΚ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. πάλιν δὴ τοῖσ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, ἅπερ ἐλάσσονα ἐδείχθη τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΕΛ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΜΚ ἴσον τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. καὶ ἐπεὶ μέσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, μέσον ἄρα [καὶ] τὸ ΕΗ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΕΖ μήκει. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΘΝ ῥητή ἐστι καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΕΖ μήκει. καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΓ, ΓΒ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι, ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ μήκει. ὡσ δὲ ἡ ΑΓ πρὸσ τὴν ΓΒ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΓ πρὸσ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΓ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆσ ΑΓ σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· δυνάμει γάρ εἰσι σύμμετροι αἱ ΑΓ, ΓΒ. τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ σύμμετρόν ἐστι τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἄρα ἀσύμμετρά ἐστι τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. ἀλλὰ τοῖσ μὲν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ΕΗ, τῷ δὲ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον τὸ ΘΚ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΗ τῷ ΘΚ· ὥστε καὶ ἡ ΕΘ τῇ ΘΝ ἀσύμμετρόσ ἐστι μήκει. καί εἰσι ῥηταί· αἱ ΕΘ, ΘΝ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι. ἐὰν δὲ δύο ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι συντεθῶσιν, ἡ ὅλη ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη ἐκ δύο ὀνομάτων· ἡ ΕΝ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ διῃρημένη κατὰ τὸ Θ. κατὰ τὰ αὐτὰ δὴ δειχθήσονται καὶ αἱ ΕΜ, ΜΝ ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι· καὶ ἔσται ἡ ΕΝ ἐκ δύο ὀνομάτων κατ’ ἄλλο καὶ ἄλλο διῃρημένη τό τε Θ καὶ τὸ Μ, καὶ οὐκ ἔστιν ἡ ΕΘ τῇ ΜΝ ἡ αὐτή, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μείζονά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. ἀλλὰ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μείζονά ἐστι τοῦ δὶσ ὑπὸ ΑΔ, ΔΒ· πολλῷ ἄρα καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τουτέστι τὸ ΕΗ, μεῖζόν ἐστι τοῦ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, τουτέστι τοῦ ΜΚ· ὥστε καὶ ἡ ΕΘ τῆσ ΜΝ μείζων ἐστίν. ἡ ἄρα ΕΘ τῇ ΜΝ οὐκ ἔστιν ἡ αὐτή· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἡ μείζων κατὰ τὸ αὐτὸ μόνον σημεῖον διαιρεῖται. Ἔστω μείζων ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, ὥστε τὰσ ΑΓ, ΓΒ δυνάμει ἀσυμμέτρουσ εἶναι ποιούσασ τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τετραγώνων ῥητόν, τὸ δ’ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον· λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ κατ’ ἄλλο σημεῖον οὐ διαιρεῖται. Εἰ γὰρ δυνατόν, διῃρήσθω καὶ κατὰ τὸ Δ, ὥστε καὶ τὰσ ΑΔ, ΔΒ δυνάμει ἀσυμμέτρουσ εἶναι ποιούσασ τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ῥητόν, τὸ δ’ ὑπ’ αὐτῶν μέσον. καὶ ἐπεί, ᾧ διαφέρει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, τούτῳ διαφέρει καὶ τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, ἀλλὰ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ὑπερέχει ῥητῷ· ῥητὰ γὰρ ἀμφότερα· καὶ τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἄρα τοῦ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ μέσα ὄντα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἡ μείζων κατ’ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον διαιρεῖται· κατὰ τὸ αὐτὸ ἄρα μόνον διαιρεῖται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἡ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη καθ’ ἓν μόνον σημεῖον διαιρεῖται. Ἔστω ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, ὥστε τὰσ ΑΓ, ΓΒ δυνάμει ἀσυμμέτρουσ εἶναι ποιούσασ τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον, τὸ δὲ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ῥητόν· λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ κατ’ ἄλλο σημεῖον οὐ διαιρεῖται. Εἰ γὰρ δυνατόν, διῃρήσθω καὶ κατὰ τὸ Δ, ὥστε καὶ τὰσ ΑΔ, ΔΒ δυνάμει ἀσυμμέτρουσ εἶναι ποιούσασ τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μέσον, τὸ δὲ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ῥητόν. ἐπεὶ οὖν, ᾧ διαφέρει τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τοῦ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, τούτῳ διαφέρει καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τὸ δὲ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τοῦ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ὑπερέχει ῥητῷ, καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἄρα τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ μέσα ὄντα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἡ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη κατ’ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον διαιρεῖται. κατὰ ἓν ἄρα σημεῖον διαιρεῖται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἡ δύο μέσα δυναμένη καθ’ ἓν μόνον σημεῖον διαιρεῖται. Ἔστω [δύο μέσα δυναμένη] ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, ὥστε τὰσ ΑΓ, ΓΒ δυνάμει ἀσυμμέτρουσ εἶναι ποιούσασ τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν. λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ κατ’ ἄλλο σημεῖον οὐ διαιρεῖται ποιοῦσα τὰ προκείμενα. Εἰ γὰρ δυνατόν, διῃρήσθω κατὰ τὸ Δ, ὥστε πάλιν δηλονότι τὴν ΑΓ τῇ ΔΒ μὴ εἶναι τὴν αὐτήν, ἀλλὰ μείζονα καθ’ ὑπόθεσιν τὴν ΑΓ, καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΕΖ, καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΕΖ τοῖσ μὲν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον τὸ ΕΗ, τῷ δὲ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον τὸ ΘΚ· ὅλον ἄρα τὸ ΕΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΒ τετραγώνῳ. πάλιν δὴ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΕΖ τοῖσ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἴσον τὸ ΕΛ· λοιπὸν ἄρα τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ λοιπῷ τῷ ΜΚ ἴσον ἐστίν. καὶ ἐπεὶ μέσον ὑπόκειται τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, μέσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΕΗ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΕ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΕΖ μήκει. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΘΝ ῥητή ἐστι καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΕΖ μήκει. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, καὶ τὸ ΕΗ ἄρα τῷ ΗΝ ἀσύμμετρόν ἐστιν· ὥστε καὶ ἡ ΕΘ τῇ ΘΝ ἀσύμμετρόσ ἐστιν. καί εἰσι ῥηταί· αἱ ΕΘ, ΘΝ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἡ ΕΝ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ διῃρημένη κατὰ τὸ Θ. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ κατὰ τὸ Μ διῄρηται. καὶ οὐκ ἔστιν ἡ ΕΘ τῇ ΜΝ ἡ αὐτή· ἡ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων κατ’ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον διῄρηται· ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον. οὐκ ἄρα ἡ δύο μέσα δυναμένη κατ’ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον διαιρεῖται· καθ’ ἓν ἄρα μόνον [σημεῖον] διαιρεῖται.