헬라어 문장 검색 - Ευξλιδ́Ελεμεντ́03́2́0́

(유클리드, Elements, book 3, type Prop)

Τοῦ δοθέντοσ κύκλου τὸ κέντρον εὑρεῖν. Ἔστω ὁ δοθεὶσ κύκλοσ ὁ ΑΒΓ· δεῖ δὴ τοῦ ΑΒΓ κύκλου τὸ κέντρον εὑρεῖν. Διήχθω τισ εἰσ αὐτόν, ὡσ ἔτυχεν, εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Δ σημεῖον, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ τῇ ΑΒ πρὸσ ὀρθὰσ ἤχθω ἡ ΔΓ καὶ διήχθω ἐπὶ τὸ Ε, καὶ τετμήσθω ἡ ΓΕ δίχα κατὰ τὸ Ζ· λέγω, ὅτι τὸ Ζ κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ [κύκλου]. Μὴ γάρ, ἀλλ’ εἰ δυνατόν, ἔστω τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΑ, ΗΔ, ΗΒ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΔΗ, δύο δὴ αἱ ΑΔ, ΔΗ δύο ταῖσ ΗΔ, ΔΒ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ βάσισ ἡ ΗΑ βάσει τῇ ΗΒ ἐστιν ἴση· ἐκ κέντρου γάρ· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΔΗ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΗΔΒ ἴση ἐστίν. ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπ’ εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰσ ἐφεξῆσ γωνίασ ἴσασ ἀλλήλαισ ποιῇ, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστιν· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΔΒ. ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΔΒ ὀρθή· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΔΒ τῇ ὑπὸ ΗΔΒ, ἡ μείζων τῇ ἐλάττονι· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τὸ Η κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδ’ ἄλλο τι πλὴν τοῦ Ζ. Τὸ Ζ ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ [κύκλου]. Πόρισμα Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἐὰν ἐν κύκλῳ εὐθεῖά τισ εὐθεῖάν τινα δίχα καὶ πρὸσ ὀρθὰσ τέμνῃ, ἐπὶ τῆσ τεμνούσησ ἐστὶ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. Εἂν κύκλου ἐπὶ τῆσ περιφερείασ ληφθῇ δύο τυχόντα σημεῖα, ἡ ἐπὶ τὰ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐντὸσ πεσεῖται τοῦ κύκλου. Ἔστω κύκλοσ ὁ ΑΒΓ, καὶ ἐπὶ τῆσ περιφερείασ αὐτοῦ εἰλήφθω δύο τυχόντα σημεῖα τὰ Α, Β· λέγω, ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐντὸσ πεσεῖται τοῦ κύκλου. Μὴ γάρ, ἀλλ’ εἰ δυνατόν, πιπτέτω ἐκτὸσ ὡσ ἡ ΑΕΒ, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου, καὶ ἔστω τὸ Δ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΑ, ΔΒ, καὶ διήχθω ἡ ΔΖΕ. Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΔΒ, ἴση ἄρα καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΑΕ τῇ ὑπὸ ΔΒΕ· καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΔΑΕ μία πλευρὰ προσεκβέβληται ἡ ΑΕΒ, μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΕΒ γωνία τῆσ ὑπὸ ΔΑΕ. ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΔΑΕ τῇ ὑπὸ ΔΒΕ· μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΕΒ τῆσ ὑπὸ ΔΒΕ. ὑπὸ δὲ τὴν μείζονα γωνίαν ἡ μείζων πλευρὰ ὑποτείνει· μείζων ἄρα ἡ ΔΒ τῆσ ΔΕ. ἴση δὲ ἡ ΔΒ τῇ ΔΖ. μείζων ἄρα ἡ ΔΖ τῆσ ΔΕ ἡ ἐλάττων τῆσ μείζονοσ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐκτὸσ πεσεῖται τοῦ κύκλου. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἐπ’ αὐτῆσ τῆσ περιφερείασ· ἐντὸσ ἄρα. Εἂν ἄρα κύκλου ἐπὶ τῆσ περιφερείασ ληφθῇ δύο τυχόντα σημεῖα, ἡ ἐπὶ τὰ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐντὸσ πεσεῖται τοῦ κύκλου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ἐν κύκλῳ εὐθεῖά τισ διὰ τοῦ κέντρου εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου δίχα τέμνῃ, καὶ πρὸσ ὀρθὰσ αὐτὴν τέμνει· καὶ ἐὰν πρὸσ ὀρθὰσ αὐτὴν τέμνῃ, καὶ δίχα αὐτὴν τέμνει. Ἔστω κύκλοσ ὁ ΑΒΓ, καὶ ἐν αὐτῷ εὐθεῖά τισ διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΓΔ εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου τὴν ΑΒ δίχα τεμνέτω κατὰ τὸ Ζ σημεῖον· λέγω, ὅτι καὶ πρὸσ ὀρθὰσ αὐτὴν τέμνει. Εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου, καὶ ἔστω τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΑ, ΕΒ. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΖΕ, δύο δυσὶν ἴσαι [εἰσίν]. καὶ βάσισ ἡ ΕΑ βάσει τῇ ΕΒ ἴση· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΖΕ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΖΕ ἴση ἐστίν. ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπ’ εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰσ ἐφεξῆσ γωνίασ ἴσασ ἀλλήλαισ ποιῇ, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστιν· ἑκατέρα ἄρα τῶν ὑπὸ ΑΖΕ, ΒΖΕ ὀρθή ἐστιν. ἡ ΓΔ ἄρα διὰ τοῦ κέντρου οὖσα τὴν ΑΒ μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαν δίχα τέμνουσα καὶ πρὸσ ὀρθὰσ τέμνει. Ἀλλὰ δὴ ἡ ΓΔ τὴν ΑΒ πρὸσ ὀρθὰσ τεμνέτω· λέγω, ὅτι καὶ δίχα αὐτὴν τέμνει, τουτέστιν, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ. Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΑ τῇ ΕΒ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΑΖ τῇ ὑπὸ ΕΒΖ. ἐστὶ δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΑΖΕ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΒΖΕ ἴση· δύο ἄρα τρίγωνά ἐστι τὰ ΕΑΖ, ΕΖΒ τὰσ δύο γωνίασ δυσὶ γωνίαισ ἴσασ ἔχοντα καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην κοινὴν αὐτῶν τὴν ΕΖ ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν· καὶ τὰσ λοιπὰσ ἄρα πλευρὰσ ταῖσ λοιπαῖσ πλευραῖσ ἴσασ ἕξει· ἴση ἄρα ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ. Εἂν ἄρα ἐν κύκλῳ εὐθεῖά τισ διὰ τοῦ κέντρου εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου δίχα τέμνῃ, καὶ πρὸσ ὀρθὰσ αὐτὴν τέμνει· καὶ ἐὰν πρὸσ ὀρθὰσ αὐτὴν τέμνῃ, καὶ δίχα αὐτὴν τέμνει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ἐν κύκλῳ δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλασ μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαι, οὐ τέμνουσιν ἀλλήλασ δίχα. Ἔστω κύκλοσ ὁ ΑΒΓΔ, καὶ ἐν αὐτῷ δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΓ, ΒΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλασ κατὰ τὸ Ε μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαι· λέγω, ὅτι οὐ τέμνουσιν ἀλλήλασ δίχα. Εἰ γὰρ δυνατόν, τεμνέτωσαν ἀλλήλασ δίχα ὥστε ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΑΕ τῇ ΕΓ, τὴν δὲ ΒΕ τῇ ΕΔ· καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου, καὶ ἔστω τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΕ. Ἐπεὶ οὖν εὐθεῖά τισ διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΖΕ εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου τὴν ΑΓ δίχα τέμνει, καὶ πρὸσ ὀρθὰσ αὐτὴν τέμνει· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΕΑ· πάλιν, ἐπεὶ εὐθεῖά τισ ἡ ΖΕ εὐθεῖάν τινα τὴν ΒΔ δίχα τέμνει, καὶ πρὸσ ὀρθὰσ αὐτὴν τέμνει· ὀρθὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΕΒ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΕΑ ὀρθή· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΕΑ τῇ ὑπὸ ΖΕΒ ἡ ἐλάττων τῇ μείζονι· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα αἱ ΑΓ, ΒΔ τέμνουσιν ἀλλήλασ δίχα. Εἂν ἄρα ἐν κύκλῳ δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλασ μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαι, οὐ τέμνουσιν ἀλλήλασ δίχα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν δύο κύκλοι τέμνωσιν ἀλλήλουσ, οὐκ ἔσται αὐτῶν τὸ αὐτὸ κέντρον. Δύο γὰρ κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΓΔΗ τεμνέτωσαν ἀλλήλουσ κατὰ τὰ Β, Γ σημεῖα. λέγω, ὅτι οὐκ ἔσται αὐτῶν τὸ αὐτὸ κέντρον. Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΓ, καὶ διήχθω ἡ ΕΖΗ, ὡσ ἔτυχεν. καὶ ἐπεὶ τὸ Ε σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΕΓ τῇ ΕΖ. πάλιν, ἐπεὶ τὸ Ε σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΓΔΗ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΕΓ τῇ ΕΗ· ἐδείχθη δὲ ἡ ΕΓ καὶ τῇ ΕΖ ἴση· καὶ ἡ ΕΖ ἄρα τῇ ΕΗ ἐστιν ἴση ἡ ἐλάσσων τῇ μείζονι· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τὸ Ε σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῶν ΑΒΓ, ΓΔΗ κύκλων. Εἂν ἄρα δύο κύκλοι τέμνωσιν ἀλλήλουσ, οὐκ ἔστιν αὐτῶν τὸ αὐτὸ κέντρον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν δύο κύκλοι ἐφάπτωνται ἀλλήλων, οὐκ ἔσται αὐτῶν τὸ αὐτὸ κέντρον. Δύο γὰρ κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΓΔΕ ἐφαπτέσθωσαν ἀλλήλων κατὰ τὸ Γ σημεῖον· λέγω, ὅτι οὐκ ἔσται αὐτῶν τὸ αὐτὸ κέντρον. Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΓ, καὶ διήχθω, ὡσ ἔτυχεν, ἡ ΖΕΒ. Ἐπεὶ οὖν τὸ Ζ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΖΓ τῇ ΖΒ. πάλιν, ἐπεὶ τὸ Ζ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΓΔΕ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΖΓ τῇ ΖΕ. ἐδείχθη δὲ ἡ ΖΓ τῇ ΖΒ ἴση· καὶ ἡ ΖΕ ἄρα τῇ ΖΒ ἐστιν ἴση, ἡ ἐλάττων τῇ μείζονι· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τὸ Ζ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῶν ΑΒΓ, ΓΔΕ κύκλων. Εἂν ἄρα δύο κύκλοι ἐφάπτωνται ἀλλήλων, οὐκ ἔσται αὐτῶν τὸ αὐτὸ κέντρον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν κύκλου ἐπὶ τῆσ διαμέτρου ληφθῇ τι σημεῖον, ὃ μή ἐστι κέντρον τοῦ κύκλου, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸσ τὸν κύκλον προσπίπτωσιν εὐθεῖαί τινεσ, μεγίστη μὲν ἔσται, ἐφ’ ἧσ τὸ κέντρον, ἐλαχίστη δὲ ἡ λοιπή, τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆσ διὰ τοῦ κέντρου τῆσ ἀπώτερον μείζων ἐστίν, δύο δὲ μόνον ἴσαι ἀπὸ τοῦ σημείου προσπεσοῦνται πρὸσ τὸν κύκλον ἐφ’ ἑκάτερα τῆσ ἐλαχίστησ. Ἔστω κύκλοσ ὁ ΑΒΓΔ, διάμετροσ δὲ αὐτοῦ ἔστω ἡ ΑΔ, καὶ ἐπὶ τῆσ ΑΔ εἰλήφθω τι σημεῖον τὸ Ζ, ὃ μή ἐστι κέντρον τοῦ κύκλου, κέντρον δὲ τοῦ κύκλου ἔστω τὸ Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ πρὸσ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον προσπιπτέτωσαν εὐθεῖαί τινεσ αἱ ΖΒ, ΖΓ, ΖΗ· λέγω, ὅτι μεγίστη μέν ἐστιν ἡ ΖΑ, ἐλαχίστη δὲ ἡ ΖΔ, τῶν δὲ ἄλλων ἡ μὲν ΖΒ τῆσ ΖΓ μείζων, ἡ δὲ ΖΓ τῆσ ΖΗ. Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΕ, ΓΕ, ΗΕ. καὶ ἐπεὶ παντὸσ τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆσ λοιπῆσ μείζονέσ εἰσιν, αἱ ἄρα ΕΒ, ΕΖ τῆσ ΒΖ μείζονέσ εἰσιν. ἴση δὲ ἡ ΑΕ τῇ ΒΕ [αἱ ἄρα ΒΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσὶ τῇ ΑΖ]· μείζων ἄρα ἡ ΑΖ τῆσ ΒΖ. πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΓΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΖΕ, δύο δὴ αἱ ΒΕ, ΕΖ δυσὶ ταῖσ ΓΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσίν. ἀλλὰ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΕΖ γωνίασ τῆσ ὑπὸ ΓΕΖ μείζων. βάσισ ἄρα ἡ ΒΖ βάσεωσ τῆσ ΓΖ μείζων ἐστίν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΓΖ τῆσ ΖΗ μείζων ἐστίν. Πάλιν, ἐπεὶ αἱ ΗΖ, ΖΕ τῆσ ΕΗ μείζονέσ εἰσιν, ἴση δὲ ἡ ΕΗ τῇ ΕΔ, αἱ ἄρα ΗΖ, ΖΕ τῆσ ΕΔ μείζονέσ εἰσιν. κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΕΖ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΗΖ λοιπῆσ τῆσ ΖΔ μείζων ἐστίν. μεγίστη μὲν ἄρα ἡ ΖΑ, ἐλαχίστη δὲ ἡ ΖΔ, μείζων δὲ ἡ μὲν ΖΒ τῆσ ΖΓ, ἡ δὲ ΖΓ τῆσ ΖΗ. Λέγω, ὅτι καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου δύο μόνον ἴσαι προσπεσοῦνται πρὸσ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον ἐφ’ ἑκάτερα τῆσ ΖΔ ἐλαχίστησ. συνεστάτω γὰρ πρὸσ τῇ ΕΖ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸσ αὐτῇ σημείῳ τῷ Ε τῇ ὑπὸ ΗΕΖ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΖΕΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΘ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΗΕ τῇ ΕΘ, κοινὴ δὲ ἡ ΕΖ, δύο δὴ αἱ ΗΕ, ΕΖ δυσὶ ταῖσ ΘΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσίν· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΗΕΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΘΕΖ ἴση· βάσισ ἄρα ἡ ΖΗ βάσει τῇ ΖΘ ἴση ἐστίν. λέγω δή, ὅτι τῇ ΖΗ ἄλλη ἴση οὐ προσπεσεῖται πρὸσ τὸν κύκλον ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου. εἰ γὰρ δυνατόν, προσπιπτέτω ἡ ΖΚ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΖΚ τῇ ΖΗ ἴση ἐστίν, ἀλλὰ ἡ ΖΘ τῇ ΖΗ [ἴση ἐστίν], καὶ ἡ ΖΚ ἄρα τῇ ΖΘ ἐστιν ἴση, ἡ ἔγγιον τῆσ διὰ τοῦ κέντρου τῇ ἀπώτερον ἴση· ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου ἑτέρα τισ προσπεσεῖται πρὸσ τὸν κύκλον ἴση τῇ ΗΖ· μία ἄρα μόνη. Εἂν ἄρα κύκλου ἐπὶ τῆσ διαμέτρου ληφθῇ τι σημεῖον, ὃ μή ἐστι κέντρον τοῦ κύκλου, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸσ τὸν κύκλον προσπίπτωσιν εὐθεῖαί τινεσ, μεγίστη μὲν ἔσται, ἐφ’ ἧσ τὸ κέντρον, ἐλαχίστη δὲ ἡ λοιπή, τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆσ διὰ τοῦ κέντρου τῆσ ἀπώτερον μείζων ἐστίν, δύο δὲ μόνον ἴσαι ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου προσπεσοῦνται πρὸσ τὸν κύκλον ἐφ’ ἑκάτερα τῆσ ἐλαχίστησ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτόσ, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸσ τὸν κύκλον διαχθῶσιν εὐθεῖαί τινεσ, ὧν μία μὲν διὰ τοῦ κέντρου, αἱ δὲ λοιπαί, ὡσ ἔτυχεν, τῶν μὲν πρὸσ τὴν κοίλην περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν μεγίστη μέν ἐστιν ἡ διὰ τοῦ κέντρου, τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆσ διὰ τοῦ κέντρου τῆσ ἀπώτερον μείζων ἐστίν, τῶν δὲ πρὸσ τὴν κυρτὴν περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν ἐλαχίστη μέν ἐστιν ἡ μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τῆσ διαμέτρου, τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆσ ἐλαχίστησ τῆσ ἀπώτερόν ἐστιν ἐλάττων, δύο δὲ μόνον ἴσαι ἀπὸ τοῦ σημείου προσπεσοῦνται πρὸσ τὸν κύκλον ἐφ’ ἑκάτερα τῆσ ἐλαχίστησ. Ἔστω κύκλοσ ὁ ΑΒΓ, καὶ τοῦ ΑΒΓ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐκτὸσ τὸ Δ, καὶ ἀπ’ αὐτοῦ διήχθωσαν εὐθεῖαί τινεσ αἱ ΔΑ, ΔΕ, ΔΖ, ΔΓ, ἔστω δὲ ἡ ΔΑ διὰ τοῦ κέντρου. λέγω, ὅτι τῶν μὲν πρὸσ τὴν ΑΕΖΓ κοίλην περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν μεγίστη μέν ἐστιν ἡ διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΔΑ, μείζων δὲ ἡ μὲν ΔΕ τῆσ ΔΖ ἡ δὲ ΔΖ τῆσ ΔΓ, τῶν δὲ πρὸσ τὴν ΘΛΚΗ κυρτὴν περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν ἐλαχίστη μέν ἐστιν ἡ ΔΗ ἡ μεταξὺ τοῦ σημείου καὶ τῆσ διαμέτρου τῆσ ΑΗ, ἀεὶ δὲ ἡ ἔγγιον τῆσ ΔΗ ἐλαχίστησ ἐλάττων ἐστὶ τῆσ ἀπώτερον, ἡ μὲν ΔΚ τῆσ ΔΛ, ἡ δὲ ΔΛ τῆσ ΔΘ. Εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου καὶ ἔστω τὸ Μ· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΜΕ, ΜΖ, ΜΓ, ΜΚ, ΜΛ, ΜΘ. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΜ τῇ ΕΜ, κοινὴ προσκείσθω ἡ ΜΔ· ἡ ἄρα ΑΔ ἴση ἐστὶ ταῖσ ΕΜ, ΜΔ. ἀλλ’ αἱ ΕΜ, ΜΔ τῆσ ΕΔ μείζονέσ εἰσιν· καὶ ἡ ΑΔ ἄρα τῆσ ΕΔ μείζων ἐστίν. πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΜΕ τῇ ΜΖ, κοινὴ δὲ ἡ ΜΔ, αἱ ΕΜ, ΜΔ ἄρα ταῖσ ΖΜ, ΜΔ ἴσαι εἰσίν· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΜΔ γωνίασ τῆσ ὑπὸ ΖΜΔ μείζων ἐστίν. βάσισ ἄρα ἡ ΕΔ βάσεωσ τῆσ ΖΔ μείζων ἐστίν. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΖΔ τῆσ ΓΔ μείζων ἐστίν· μεγίστη μὲν ἄρα ἡ ΔΑ, μείζων δὲ ἡ μὲν ΔΕ τῆσ ΔΖ, ἡ δὲ ΔΖ τῆσ ΔΓ. Καὶ ἐπεὶ αἱ ΜΚ, ΚΔ τῆσ ΜΔ μείζονέσ εἰσιν, ἴση δὲ ἡ ΜΗ τῇ ΜΚ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΚΔ λοιπῆσ τῆσ ΗΔ μείζων ἐστίν· ὥστε ἡ ΗΔ τῆσ ΚΔ ἐλάττων ἐστίν· καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΜΛΔ ἐπὶ μιᾶσ τῶν πλευρῶν τῆσ ΜΔ δύο εὐθεῖαι ἐντὸσ συνεστάθησαν αἱ ΜΚ, ΚΔ, αἱ ἄρα ΜΚ, ΚΔ τῶν ΜΛ, ΛΔ ἐλάττονέσ εἰσιν· ἴση δὲ ἡ ΜΚ τῇ ΜΛ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΔΚ λοιπῆσ τῆσ ΔΛ ἐλάττων ἐστίν. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΔΛ τῆσ ΔΘ ἐλάττων ἐστίν· ἐλαχίστη μὲν ἄρα ἡ ΔΗ, ἐλάττων δὲ ἡ μὲν ΔΚ τῆσ ΔΛ ἡ δὲ ΔΛ τῆσ ΔΘ. Λέγω, ὅτι καὶ δύο μόνον ἴσαι ἀπὸ τοῦ Δ σημείου προσπεσοῦνται πρὸσ τὸν κύκλον ἐφ’ ἑκάτερα τῆσ ΔΗ ἐλαχίστησ· συνεστάτω πρὸσ τῇ ΜΔ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸσ αὐτῇ σημείῳ τῷ Μ τῇ ὑπὸ ΚΜΔ γωνίᾳ ἴση γωνία ἡ ὑπὸ ΔΜΒ καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΜΚ τῇ ΜΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΜΔ, δύο δὴ αἱ ΚΜ, ΜΔ δύο ταῖσ ΒΜ, ΜΔ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΚΜΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΜΔ ἴση· βάσισ ἄρα ἡ ΔΚ βάσει τῇ ΔΒ ἴση ἐστίν. λέγω [δή], ὅτι τῇ ΔΚ εὐθείᾳ ἄλλη ἴση οὐ προσπεσεῖται πρὸσ τὸν κύκλον ἀπὸ τοῦ Δ σημείου. εἰ γὰρ δυνατόν, προσπιπτέτω καὶ ἔστω ἡ ΔΝ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΔΚ τῇ ΔΝ ἐστιν ἴση, ἀλλ’ ἡ ΔΚ τῇ ΔΒ ἐστιν ἴση, καὶ ἡ ΔΒ ἄρα τῇ ΔΝ ἐστιν ἴση, ἡ ἔγγιον τῆσ ΔΗ ἐλαχίστησ τῇ ἀπώτερον [ἐστιν] ἴση· ὅπερ ἀδύνατον ἐδείχθη. οὐκ ἄρα πλείουσ ἢ δύο ἴσαι πρὸσ τὸν ΑΒΓ κύκλον ἀπὸ τοῦ Δ σημείου ἐφ’ ἑκάτερα τῆσ ΔΗ ἐλαχίστησ προσπεσοῦνται. Εἂν ἄρα κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτόσ, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸσ τὸν κύκλον διαχθῶσιν εὐθεῖαί τινεσ, ὧν μία μὲν διὰ τοῦ κέντρου αἱ δὲ λοιπαί, ὡσ ἔτυχεν, τῶν μὲν πρὸσ τὴν κοίλην περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν μεγίστη μέν ἐστιν ἡ διὰ τοῦ κέντρου, τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆσ διὰ τοῦ κέντρου τῆσ ἀπώτερον μείζων ἐστίν, τῶν δὲ πρὸσ τὴν κυρτὴν περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν ἐλαχίστη μέν ἐστιν ἡ μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τῆσ διαμέτρου, τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆσ ἐλαχίστησ τῆσ ἀπώτερόν ἐστιν ἐλάττων, δύο δὲ μόνον ἴσαι ἀπὸ τοῦ σημείου προσπεσοῦνται πρὸσ τὸν κύκλον ἐφ’ ἑκάτερα τῆσ ἐλαχίστησ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐντόσ, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸσ τὸν κύκλον προσπίπτωσι πλείουσ ἢ δύο ἴσαι εὐθεῖαι, τὸ ληφθὲν σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ κύκλου. Ἔστω κύκλοσ ὁ ΑΒΓ, ἐντὸσ δὲ αὐτοῦ σημεῖον τὸ Δ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ πρὸσ τὸν ΑΒΓ κύκλον προσπιπτέτωσαν πλείουσ ἢ δύο ἴσαι εὐθεῖαι αἱ ΔΑ, ΔΒ, ΔΓ· λέγω, ὅτι τὸ Δ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου. Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΒ, ΒΓ καὶ τετμήσθωσαν δίχα κατὰ τὰ Ε, Ζ σημεῖα, καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΕΔ, ΖΔ διήχθωσαν ἐπὶ τὰ Η, Κ, Θ, Λ σημεῖα. Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΕΔ, δύο δὴ αἱ ΑΕ, ΕΔ δύο ταῖσ ΒΕ, ΕΔ ἴσαι εἰσίν· καὶ βάσισ ἡ ΔΑ βάσει τῇ ΔΒ ἴση· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΕΔ ἴση ἐστίν· ὀρθὴ ἄρα ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΕΔ, ΒΕΔ γωνιῶν· ἡ ΗΚ ἄρα τὴν ΑΒ τέμνει δίχα καὶ πρὸσ ὀρθάσ. καὶ ἐπεί, ἐὰν ἐν κύκλῳ εὐθεῖά τισ εὐθεῖάν τινα δίχα τε καὶ πρὸσ ὀρθὰσ τέμνῃ, ἐπὶ τῆσ τεμνούσησ ἐστὶ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου, ἐπὶ τῆσ ΗΚ ἄρα ἐστὶ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἐπὶ τῆσ ΘΛ ἐστι τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου. καὶ οὐδὲν ἕτερον κοινὸν ἔχουσιν αἱ ΗΚ, ΘΛ εὐθεῖαι ἢ τὸ Δ σημεῖον· τὸ Δ ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου. Εἂν ἄρα κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐντόσ, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸσ τὸν κύκλον προσπίπτωσι πλείουσ ἢ δύο ἴσαι εὐθεῖαι, τὸ ληφθὲν σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ κύκλου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Κύκλοσ κύκλον οὐ τέμνει κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο. Εἰ γὰρ δυνατόν, κύκλοσ ὁ ΑΒΓ κύκλον τὸν ΔΕΖ τεμνέτω κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο τὰ Β, Η, Ζ, Θ, καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΒΘ, ΒΗ δίχα τεμνέσθωσαν κατὰ τὰ Κ, Λ σημεῖα· καὶ ἀπὸ τῶν Κ, Λ ταῖσ ΒΘ, ΒΗ πρὸσ ὀρθὰσ ἀχθεῖσαι αἱ ΚΓ, ΛΜ διήχθωσαν ἐπὶ τὰ Α, Ε σημεῖα. Ἐπεὶ οὖν ἐν κύκλῳ τῷ ΑΒΓ εὐθεῖά τισ ἡ ΑΓ εὐθεῖάν τινα τὴν ΒΘ δίχα καὶ πρὸσ ὀρθὰσ τέμνει, ἐπὶ τῆσ ΑΓ ἄρα ἐστὶ τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου. πάλιν, ἐπεὶ ἐν κύκλῳ τῷ αὐτῷ τῷ ΑΒΓ εὐθεῖά τισ ἡ ΝΞ εὐθεῖάν τινα τὴν ΒΗ δίχα καὶ πρὸσ ὀρθὰσ τέμνει, ἐπὶ τῆσ ΝΞ ἄρα ἐστὶ τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου. ἐδείχθη δὲ καὶ ἐπὶ τῆσ ΑΓ, καὶ κατ’ οὐδὲν συμβάλλουσιν αἱ ΑΓ, ΝΞ εὐθεῖαι ἢ κατὰ τὸ Ο· τὸ Ο ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τοῦ ΔΕΖ κύκλου κέντρον ἐστὶ τὸ Ο· δύο ἄρα κύκλων τεμνόντων ἀλλήλουσ τῶν ΑΒΓ, ΔΕΖ τὸ αὐτό ἐστι κέντρον τὸ Ο· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. Οὐκ ἄρα κύκλοσ κύκλον τέμνει κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν δύο κύκλοι ἐφάπτωνται ἀλλήλων ἐντόσ, καὶ ληφθῇ αὐτῶν τὰ κέντρα, ἡ ἐπὶ τὰ κέντρα αὐτῶν ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα καὶ ἐκβαλλομένη ἐπὶ τὴν συναφὴν πεσεῖται τῶν κύκλων. Δύο γὰρ κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΑΔΕ ἐφαπτέσθωσαν ἀλλήλων ἐντὸσ κατὰ τὸ Α σημεῖον, καὶ εἰλήφθω τοῦ μὲν ΑΒΓ κύκλου κέντρον τὸ Ζ, τοῦ δὲ ΑΔΕ τὸ Η· λέγω, ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὸ Ζ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐκβαλλομένη ἐπὶ τὸ Α πεσεῖται. Μὴ γάρ, ἀλλ’ εἰ δυνατόν, πιπτέτω ὡσ ἡ ΖΗΘ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΑΗ. Ἐπεὶ οὖν αἱ ΑΗ, ΗΖ τῆσ ΖΑ, τουτέστι τῆσ ΖΘ, μείζονέσ εἰσιν, κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΖΗ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΗ λοιπῆσ τῆσ ΗΘ μείζων ἐστίν. ἴση δὲ ἡ ΑΗ τῇ ΗΔ· καὶ ἡ ΗΔ ἄρα τῆσ ΗΘ μείζων ἐστὶν ἡ ἐλάττων τῆσ μείζονοσ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· οὐκ ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ Η ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐκτὸσ πεσεῖται· κατὰ τὸ Α ἄρα ἐπὶ τῆσ συναφῆσ πεσεῖται. Εἂν ἄρα δύο κύκλοι ἐφάπτωνται ἀλλήλων ἐντόσ, [καὶ ληφθῇ αὐτῶν τὰ κέντρα], ἡ ἐπὶ τὰ κέντρα αὐτῶν ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα [καὶ ἐκβαλλομένη] ἐπὶ τὴν συναφὴν πεσεῖται τῶν κύκλων· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν δύο κύκλοι ἐφάπτωνται ἀλλήλων ἐκτόσ, ἡ ἐπὶ τὰ κέντρα αὐτῶν ἐπιζευγνυμένη διὰ τῆσ ἐπαφῆσ ἐλεύσεται. Δύο γὰρ κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΑΔΕ ἐφαπτέσθωσαν ἀλλήλων ἐκτὸσ κατὰ τὸ Α σημεῖον, καὶ εἰλήφθω τοῦ μὲν ΑΒΓ κέντρον τὸ Ζ, τοῦ δὲ ΑΔΕ τὸ Η· λέγω, ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ Η ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα διὰ τῆσ κατὰ τὸ Α ἐπαφῆσ ἐλεύσεται. Μὴ γάρ, ἀλλ’ εἰ δυνατόν, ἐρχέσθω ὡσ ἡ ΖΓΔΗ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΑΗ. Ἐπεὶ οὖν τὸ Ζ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΖΑ τῇ ΖΓ. πάλιν, ἐπεὶ τὸ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΔΕ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΗΑ τῇ ΗΔ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΖΑ τῇ ΖΓ ἴση· αἱ ἄρα ΖΑ, ΑΗ ταῖσ ΖΓ, ΗΔ ἴσαι εἰσίν· ὥστε ὅλη ἡ ΖΗ τῶν ΖΑ, ΑΗ μείζων ἐστίν· ἀλλὰ καὶ ἐλάττων· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ Η ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα διὰ τῆσ κατὰ τὸ Α ἐπαφῆσ οὐκ ἐλεύσεται· δι’ αὐτῆσ ἄρα. Εἂν ἄρα δύο κύκλοι ἐφάπτωνται ἀλλήλων ἐκτόσ, ἡ ἐπὶ τὰ κέντρα αὐτῶν ἐπιζευγνυμένη [εὐθεῖα] διὰ τῆσ ἐπαφῆσ ἐλεύσεται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Κύκλοσ κύκλου οὐκ ἐφάπτεται κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ καθ’ ἕν, ἐάν τε ἐντὸσ ἐάν τε ἐκτὸσ ἐφάπτηται. Εἰ γὰρ δυνατόν, κύκλοσ ὁ ΑΒΓΔ κύκλου τοῦ ΕΒΖΔ ἐφαπτέσθω πρότερον ἐντὸσ κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ ἓν τὰ Δ, Β. Καὶ εἰλήφθω τοῦ μὲν ΑΒΓΔ κύκλου κέντρον τὸ Η, τοῦ δὲ ΕΒΖΔ τὸ Θ. Ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὸ Θ ἐπιζευγνυμένη ἐπὶ τὰ Β, Δ πεσεῖται. πιπτέτω ὡσ ἡ ΒΗΘΔ. καὶ ἐπεὶ τὸ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ ΗΔ· μείζων ἄρα ἡ ΒΗ τῆσ ΘΔ· πολλῷ ἄρα μείζων ἡ ΒΘ τῆσ ΘΔ. πάλιν, ἐπεὶ τὸ Θ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΕΒΖΔ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΒΘ τῇ ΘΔ· ἐδείχθη δὲ αὐτῆσ καὶ πολλῷ μείζων· ὅπερ ἀδύνατον· οὐκ ἄρα κύκλοσ κύκλου ἐφάπτεται ἐντὸσ κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ ἕν. Λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ἐκτόσ. Εἰ γὰρ δυνατόν, κύκλοσ ὁ ΑΓΚ κύκλου τοῦ ΑΒΓΔ ἐφαπτέσθω ἐκτὸσ κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ ἓν τὰ Α, Γ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ. Ἐπεὶ οὖν κύκλων τῶν ΑΒΓΔ, ΑΓΚ εἴληπται ἐπὶ τῆσ περιφερείασ ἑκατέρου δύο τυχόντα σημεῖα τὰ Α, Γ, ἡ ἐπὶ τὰ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐντὸσ ἑκατέρου πεσεῖται· ἀλλὰ τοῦ μὲν ΑΒΓΔ ἐντὸσ ἔπεσεν, τοῦ δὲ ΑΓΚ ἐκτόσ· ὅπερ ἄτοπον· οὐκ ἄρα κύκλοσ κύκλου ἐφάπτεται ἐκτὸσ κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ ἕν. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ ἐντόσ. Κύκλοσ ἄρα κύκλου οὐκ ἐφάπτεται κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ [καθ’] ἕν, ἐάν τε ἐντὸσ ἐάν τε ἐκτὸσ ἐφάπτηται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἐν κύκλῳ αἱ ἴσαι εὐθεῖαι ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ κέντρου, καὶ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι ἀπὸ τοῦ κέντρου ἴσαι ἀλλήλαισ εἰσίν. Ἔστω κύκλοσ ὁ ΑΒΓΔ, καὶ ἐν αὐτῷ ἴσαι εὐθεῖαι ἔστωσαν αἱ ΑΒ, ΓΔ· λέγω, ὅτι αἱ ΑΒ, ΓΔ ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ κέντρου. Εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου καὶ ἔστω τὸ Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὰσ ΑΒ, ΓΔ κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΕΖ, ΕΗ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ, ΕΓ. Ἐπεὶ οὖν εὐθεῖά τισ διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΕΖ εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου τὴν ΑΒ πρὸσ ὀρθὰσ τέμνει, καὶ δίχα αὐτὴν τέμνει. ἴση ἄρα ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ· διπλῆ ἄρα ἡ ΑΒ τῆσ ΑΖ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΓΔ τῆσ ΓΗ ἐστι διπλῆ· καί ἐστιν ἴση ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΑΖ τῇ ΓΗ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΓ, ἴσον καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΕ τῷ ἀπὸ τῆσ ΕΓ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆσ ΑΕ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΖ, ΕΖ· ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸσ τῷ Ζ γωνία· τῷ δὲ ἀπὸ τῆσ ΕΓ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΓ· ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸσ τῷ Η γωνία· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΖ, ΖΕ ἴσα ἐστὶ τοῖσ ἀπὸ τῶν ΓΗ, ΗΕ, ὧν τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΓΗ· ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΑΖ τῇ ΓΗ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΕ τῷ ἀπὸ τῆσ ΕΗ ἴσον ἐστίν· ἴση ἄρα ἡ ΕΖ τῇ ΕΗ. ἐν δὲ κύκλῳ ἴσον ἀπέχειν ἀπὸ τοῦ κέντρου εὐθεῖαι λέγονται, ὅταν αἱ ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπ’ αὐτὰσ κάθετοι ἀγόμεναι ἴσαι ὦσιν· αἱ ἄρα ΑΒ, ΓΔ ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ κέντρου. Ἀλλὰ δὴ αἱ ΑΒ, ΓΔ εὐθεῖαι ἴσον ἀπεχέτωσαν ἀπὸ τοῦ κέντρου, τουτέστιν ἴση ἔστω ἡ ΕΖ τῇ ΕΗ. λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ. Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίωσ δείξομεν, ὅτι διπλῆ ἐστιν ἡ μὲν ΑΒ τῆσ ΑΖ, ἡ δὲ ΓΔ τῆσ ΓΗ· καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΓΕ, ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΕ τῷ ἀπὸ τῆσ ΓΕ· ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆσ ΑΕ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΕΖ, ΖΑ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆσ ΓΕ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΓ. τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΕΖ, ΖΑ ἴσα ἐστὶ τοῖσ ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΓ· ὧν τὸ ἀπὸ τῆσ ΕΖ τῷ ἀπὸ τῆσ ΕΗ ἐστιν ἴσον· ἴση γὰρ ἡ ΕΖ τῇ ΕΗ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΓΗ· ἴση ἄρα ἡ ΑΖ τῇ ΓΗ· καί ἐστι τῆσ μὲν ΑΖ διπλῆ ἡ ΑΒ, τῆσ δὲ ΓΗ διπλῆ ἡ ΓΔ· ἴση ἄρα ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ. Ἐν κύκλῳ ἄρα αἱ ἴσαι εὐθεῖαι ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ κέντρου, καὶ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι ἀπὸ τοῦ κέντρου ἴσαι ἀλλήλαισ εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἐν κύκλῳ μεγίστη μὲν ἡ διάμετροσ τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τοῦ κέντρου τῆσ ἀπώτερον μείζων ἐστίν. Ἔστω κύκλοσ ὁ ΑΒΓΔ, διάμετροσ δὲ αὐτοῦ ἔστω ἡ ΑΔ, κέντρον δὲ τὸ Ε, καὶ ἔγγιον μὲν τῆσ ΑΔ διαμέτρου ἔστω ἡ ΒΓ, ἀπώτερον δὲ ἡ ΖΗ· λέγω, ὅτι μεγίστη μέν ἐστιν ἡ ΑΔ, μείζων δὲ ἡ ΒΓ τῆσ ΖΗ. Ἤχθωσαν γὰρ ἀπὸ τοῦ Ε κέντρου ἐπὶ τὰσ ΒΓ, ΖΗ κάθετοι αἱ ΕΘ, ΕΚ. καὶ ἐπεὶ ἔγγιον μὲν τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΒΓ, ἀπώτερον δὲ ἡ ΖΗ, μείζων ἄρα ἡ ΕΚ τῆσ ΕΘ. κείσθω τῇ ΕΘ ἴση ἡ ΕΛ, καὶ διὰ τοῦ Λ τῇ ΕΚ πρὸσ ὀρθὰσ ἀχθεῖσα ἡ ΛΜ διήχθω ἐπὶ τὸ Ν, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΜΕ, ΕΝ, ΖΕ, ΕΗ. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΘ τῇ ΕΛ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΜΝ. πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΕΜ, ἡ δὲ ΕΔ τῇ ΕΝ, ἡ ἄρα ΑΔ ταῖσ ΜΕ, ΕΝ ἴση ἐστίν. ἀλλ’ αἱ μὲν ΜΕ, ΕΝ τῆσ ΜΝ μείζονέσ εἰσιν [καὶ ἡ ΑΔ τῆσ ΜΝ μείζων ἐστίν, ἴση δὲ ἡ ΜΝ τῇ ΒΓ· ἡ ΑΔ ἄρα τῆσ ΒΓ μείζων ἐστίν. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΜΕ, ΕΝ δύο ταῖσ ΖΕ, ΕΗ ἴσαι εἰσίν, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΜΕΝ γωνίασ τῆσ ὑπὸ ΖΕΗ μείζων [ἐστίν], βάσισ ἄρα ἡ ΜΝ βάσεωσ τῆσ ΖΗ μείζων ἐστίν. ἀλλὰ ἡ ΜΝ τῇ ΒΓ ἐδείχθη ἴση [καὶ ἡ ΒΓ τῆσ ΖΗ μείζων ἐστίν]. μεγίστη μὲν ἄρα ἡ ΑΔ διάμετροσ, μείζων δὲ ἡ ΒΓ τῆσ ΖΗ. Ἐν κύκλῳ ἄρα μεγίστη μέν ἐστιν ἡ διάμετροσ, τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τοῦ κέντρου τῆσ ἀπώτερον μείζων ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἡ τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸσ ὀρθὰσ ἀπ’ ἄκρασ ἀγομένη ἐκτὸσ πεσεῖται τοῦ κύκλου, καὶ εἰσ τὸν μεταξὺ τόπον τῆσ τε εὐθείασ καὶ τῆσ περιφερείασ ἑτέρα εὐθεῖα οὐ παρεμπεσεῖται, καὶ ἡ μὲν τοῦ ἡμικυκλίου γωνία ἁπάσησ γωνίασ ὀξείασ εὐθυγράμμου μείζων ἐστίν, ἡ δὲ λοιπὴ ἐλάττων. Ἔστω κύκλοσ ὁ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ Δ καὶ διάμετρον τὴν ΑΒ· λέγω, ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Α τῇ ΑΒ πρὸσ ὀρθὰσ ἀπ’ ἄκρασ ἀγομένη ἐκτὸσ πεσεῖται τοῦ κύκλου. Μὴ γάρ, ἀλλ’ εἰ δυνατόν, πιπτέτω ἐντὸσ ὡσ ἡ ΓΑ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΓ. Ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΔΓ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΓΔ. ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΔΑΓ· ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΔ· τριγώνου δὴ τοῦ ΑΓΔ αἱ δύο γωνίαι αἱ ὑπὸ ΔΑΓ, ΑΓΔ δύο ὀρθαῖσ ἴσαι εἰσίν· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῇ ΒΑ πρὸσ ὀρθὰσ ἀγομένη ἐντὸσ πεσεῖται τοῦ κύκλου. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδ’ ἐπὶ τῆσ περιφερείασ· ἐκτὸσ ἄρα. Πιπτέτω ὡσ ἡ ΑΕ· λέγω δή, ὅτι εἰσ τὸν μεταξὺ τόπον τῆσ τε ΑΕ εὐθείασ καὶ τῆσ ΓΘΑ περιφερείασ ἑτέρα εὐθεῖα οὐ παρεμπεσεῖται. Εἰ γὰρ δυνατόν, παρεμπιπτέτω ὡσ ἡ ΖΑ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ σημείου ἐπὶ τὴν ΖΑ κάθετοσ ἡ ΔΗ. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΗΔ, ἐλάττων δὲ ὀρθῆσ ἡ ὑπὸ ΔΑΗ, μείζων ἄρα ἡ ΑΔ τῆσ ΔΗ. ἴση δὲ ἡ ΔΑ τῇ ΔΘ· μείζων ἄρα ἡ ΔΘ τῆσ ΔΗ, ἡ ἐλάττων τῆσ μείζονοσ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα εἰσ τὸν μεταξὺ τόπον τῆσ τε εὐθείασ καὶ τῆσ περιφερείασ ἑτέρα εὐθεῖα παρεμπεσεῖται. Λέγω, ὅτι καὶ ἡ μὲν τοῦ ἡμικυκλίου γωνία ἡ περιεχομένη ὑπό τε τῆσ ΒΑ εὐθείασ καὶ τῆσ ΓΘΑ περιφερείασ ἁπάσησ γωνίασ ὀξείασ εὐθυγράμμου μείζων ἐστίν, ἡ δὲ λοιπὴ ἡ περιεχομένη ὑπό τε τῆσ ΓΘΑ περιφερείασ καὶ τῆσ ΑΕ εὐθείασ ἁπάσησ γωνίασ ὀξείασ εὐθυγράμμου ἐλάττων ἐστίν. Εἰ γὰρ ἐστί τισ γωνία εὐθύγραμμοσ μείζων μὲν τῆσ περιεχομένησ ὑπό τε τῆσ ΒΑ εὐθείασ καὶ τῆσ ΓΘΑ περιφερείασ, ἐλάττων δὲ τῆσ περιεχομένησ ὑπό τε τῆσ ΓΘΑ περιφερείασ καὶ τῆσ ΑΕ εὐθείασ, εἰσ τὸν μεταξὺ τόπον τῆσ τε ΓΘΑ περιφερείασ καὶ τῆσ ΑΕ εὐθείασ εὐθεῖα περεμπεσεῖται, ἥτισ ποιήσει μείζονα μὲν τῆσ περιεχομένησ ὑπό τε τῆσ ΒΑ εὐθείασ καὶ τῆσ ΓΘΑ περιφερείασ ὑπὸ εὐθειῶν περιεχομένην, ἐλάττονα δὲ τῆσ περιεχομένησ ὑπό τε τῆσ ΓΘΑ περιφερείασ καὶ τῆσ ΑΕ εὐθείασ. οὐ παρεμπίπτει δέ· οὐκ ἄρα τῆσ περιεχομένησ γωνίασ ὑπό τε τῆσ ΒΑ εὐθείασ καὶ τῆσ ΓΘΑ περιφερείασ ἔσται μείζων ὀξεῖα ὑπὸ εὐθειῶν περιεχομένη, οὐδὲ μὴν ἐλάττων τῆσ περιεχομένησ ὑπό τε τῆσ ΓΘΑ περιφερείασ καὶ τῆσ ΑΕ εὐθείασ. Πόρισμα Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἡ τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸσ ὀρθὰσ ἀπ’ ἄκρασ ἀγομένη ἐφάπτεται τοῦ κύκλου [καὶ ὅτι εὐθεῖα κύκλου καθ’ ἓν μόνον ἐφάπτεται σημεῖον, ἐπειδήπερ καὶ ἡ κατὰ δύο αὐτῷ συμβάλλουσα ἐντὸσ αὐτοῦ πίπτουσα ἐδείχθη]. ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἀπὸ τοῦ δοθέντοσ σημείου τοῦ δοθέντοσ κύκλου ἐφαπτομένην εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν. Ἔστω τὸ μὲν δοθὲν σημεῖον τὸ Α, ὁ δὲ δοθεὶσ κύκλοσ ὁ ΒΓΔ· δεῖ δὴ ἀπὸ τοῦ Α σημείου τοῦ ΒΓΔ κύκλου ἐφαπτομένην εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν. Εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΕ, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Ε διαστήματι δὲ τῷ ΕΑ κύκλοσ γεγράφθω ὁ ΑΖΗ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ τῇ ΕΑ πρὸσ ὀρθὰσ ἤχθω ἡ ΔΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΖ, ΑΒ· λέγω, ὅτι ἀπὸ τοῦ Α σημείου τοῦ ΒΓΔ κύκλου ἐφαπτομένη ἦκται ἡ ΑΒ. Ἐπεὶ γὰρ τὸ Ε κέντρον ἐστὶ τῶν ΒΓΔ, ΑΖΗ κύκλων, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΕΑ τῇ ΕΖ, ἡ δὲ ΕΔ τῇ ΕΒ· δύο δὴ αἱ ΑΕ, ΕΒ δύο ταῖσ ΖΕ, ΕΔ ἴσαι εἰσίν· καὶ γωνίαν κοινὴν περιέχουσι τὴν πρὸσ τῷ Ε· βάσισ ἄρα ἡ ΔΖ βάσει τῇ ΑΒ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον τῷ ΕΒΑ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖσ λοιπαῖσ γωνίαισ· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΔΖ τῇ ὑπὸ ΕΒΑ. ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΕΔΖ· ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΕΒΑ. καί ἐστιν ἡ ΕΒ ἐκ τοῦ κέντρου· ἡ δὲ τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸσ ὀρθὰσ ἀπ’ ἄκρασ ἀγομένη ἐφάπτεται τοῦ κύκλου· ἡ ΑΒ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΒΓΔ κύκλου. Ἀπὸ τοῦ ἄρα δοθέντοσ σημείου τοῦ Α τοῦ δοθέντοσ κύκλου τοῦ ΒΓΔ ἐφαπτομένη εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΑΒ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. Εἂν κύκλου ἐφάπτηταί τισ εὐθεῖα, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ἁφὴν ἐπιζευχθῇ τισ εὐθεῖα, ἡ ἐπιζευχθεῖσα κάθετοσ ἔσται ἐπὶ τὴν ἐφαπτομένην. Κύκλου γὰρ τοῦ ΑΒΓ ἐφαπτέσθω τισ εὐθεῖα ἡ ΔΕ κατὰ τὸ Γ σημεῖον, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ Γ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΓ· λέγω, ὅτι ἡ ΖΓ κάθετόσ ἐστιν ἐπὶ τὴν ΔΕ. Εἰ γὰρ μή, ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὴν ΔΕ κάθετοσ ἡ ΖΗ. Ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΖΗΓ γωνία ὀρθή ἐστιν, ὀξεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΓΗ· ὑπὸ δὲ τὴν μείζονα γωνίαν ἡ μείζων πλευρὰ ὑποτείνει· μείζων ἄρα ἡ ΖΓ τῆσ ΖΗ· ἴση δὲ ἡ ΖΓ τῇ ΖΒ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΖΒ τῆσ ΖΗ ἡ ἐλάττων τῆσ μείζονοσ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἡ ΖΗ κάθετόσ ἐστιν ἐπὶ τὴν ΔΕ. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδ’ ἄλλη τισ πλὴν τῆσ ΖΓ· ἡ ΖΓ ἄρα κάθετόσ ἐστιν ἐπὶ τὴν ΔΕ. Εἂν ἄρα κύκλου ἐφάπτηταί τισ εὐθεῖα, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ἁφὴν ἐπιζευχθῇ τισ εὐθεῖα, ἡ ἐπιζευχθεῖσα κάθετοσ ἔσται ἐπὶ τὴν ἐφαπτομένην· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν κύκλου ἐφάπτηταί τισ εὐθεῖα, ἀπὸ δὲ τῆσ ἁφῆσ τῇ ἐφαπτομένῃ πρὸσ ὀρθὰσ [γωνίασ] εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ, ἐπὶ τῆσ ἀχθείσησ ἔσται τὸ κέντρον τοῦ κύκλου. Κύκλου γὰρ τοῦ ΑΒΓ ἐφαπτέσθω τισ εὐθεῖα ἡ ΔΕ κατὰ τὸ Γ σημεῖον, καὶ ἀπὸ τοῦ Γ τῇ ΔΕ πρὸσ ὀρθὰσ ἤχθω ἡ ΓΑ· λέγω, ὅτι ἐπὶ τῆσ ΑΓ ἐστι τὸ κέντρον τοῦ κύκλου. Μὴ γάρ, ἀλλ’ εἰ δυνατόν, ἔστω τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΖ. Ἐπεὶ [οὖν] κύκλου τοῦ ΑΒΓ ἐφάπτεταί τισ εὐθεῖα ἡ ΔΕ, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ἁφὴν ἐπέζευκται ἡ ΖΓ, ἡ ΖΓ ἄρα κάθετόσ ἐστιν ἐπὶ τὴν ΔΕ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΓΕ. ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΕ ὀρθή· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΓΕ τῇ ὑπὸ ΑΓΕ ἡ ἐλάττων τῇ μείζονι· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τὸ Ζ κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδ’ ἄλλο τι πλὴν ἐπὶ τῆσ ΑΓ. Εἂν ἄρα κύκλου ἐφάπτηταί τισ εὐθεῖα, ἀπὸ δὲ τῆσ ἁφῆσ τῇ ἐφαπτομένῃ πρὸσ ὀρθὰσ εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ, ἐπὶ τῆσ ἀχθείσησ ἔσται τὸ κέντρον τοῦ κύκλου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἐν κύκλῳ ἡ πρὸσ τῷ κέντρῳ γωνία διπλασίων ἐστὶ τῆσ πρὸσ τῇ περιφερείᾳ, ὅταν τὴν αὐτὴν περιφέρειαν βάσιν ἔχωσιν αἱ γωνίαι. Ἔστω κύκλοσ ὁ ΑΒΓ, καὶ πρὸσ μὲν τῷ κέντρῳ αὐτοῦ γωνία ἔστω ἡ ὑπὸ ΒΕΓ, πρὸσ δὲ τῇ περιφερείᾳ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ, ἐχέτωσαν δὲ τὴν αὐτὴν περιφέρειαν βάσιν τὴν ΒΓ· λέγω, ὅτι διπλασίων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΕΓ γωνία τῆσ ὑπὸ ΒΑΓ. Ἐπιζευχθεῖσα γὰρ ἡ ΑΕ διήχθω ἐπὶ τὸ Ζ. Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΕΑ τῇ ΕΒ, ἴση καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΑΒ τῇ ὑπὸ ΕΒΑ· αἱ ἄρα ὑπὸ ΕΑΒ, ΕΒΑ γωνίαι τῆσ ὑπὸ ΕΑΒ διπλασίουσ εἰσίν. ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΒΕΖ ταῖσ ὑπὸ ΕΑΒ, ΕΒΑ· καὶ ἡ ὑπὸ ΒΕΖ ἄρα τῆσ ὑπὸ ΕΑΒ ἐστι διπλῆ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΕΓ τῆσ ὑπὸ ΕΑΓ ἐστι διπλῆ. ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΕΓ ὅλησ τῆσ ὑπὸ ΒΑΓ ἐστι διπλῆ. Κεκλάσθω δὴ πάλιν, καὶ ἔστω ἑτέρα γωνία ἡ ὑπὸ ΒΔΓ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΔΕ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Η. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι διπλῆ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΗΕΓ γωνία τῆσ ὑπὸ ΕΔΓ, ὧν ἡ ὑπὸ ΗΕΒ διπλῆ ἐστι τῆσ ὑπὸ ΕΔΒ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΕΓ διπλῆ ἐστι τῆσ ὑπὸ ΒΔΓ. Ἐν κύκλῳ ἄρα ἡ πρὸσ τῷ κέντρῳ γωνία διπλασίων ἐστὶ τῆσ πρὸσ τῇ περιφερείᾳ, ὅταν τὴν αὐτὴν περιφέρειαν βάσιν ἔχωσιν [αἱ γωνίαι]· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἐν κύκλῳ αἱ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαισ εἰσίν. Ἔστω κύκλοσ ὁ ΑΒΓΔ, καὶ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι τῷ ΒΑΕΔ γωνίαι ἔστωσαν αἱ ὑπὸ ΒΑΔ, ΒΕΔ· λέγω, ὅτι αἱ ὑπὸ ΒΑΔ, ΒΕΔ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαισ εἰσίν. Εἰλήφθω γὰρ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου τὸ κέντρον, καὶ ἔστω τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΖ, ΖΔ. Καὶ ἐπεὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΒΖΔ γωνία πρὸσ τῷ κέντρῳ ἐστίν, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΑΔ πρὸσ τῇ περιφερείᾳ, καὶ ἔχουσι τὴν αὐτὴν περιφέρειαν βάσιν τὴν ΒΓΔ, ἡ ἄρα ὑπὸ ΒΖΔ γωνία διπλασίων ἐστὶ τῆσ ὑπὸ ΒΑΔ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἡ ὑπὸ ΒΖΔ καὶ τῆσ ὑπὸ ΒΕΔ ἐστι διπλασίων· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΔ τῇ ὑπὸ ΒΕΔ. Ἐν κύκλῳ ἄρα αἱ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαισ εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τῶν ἐν τοῖσ κύκλοισ τετραπλεύρων αἱ ἀπεναντίον γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖσ ἴσαι εἰσίν. Ἔστω κύκλοσ ὁ ΑΒΓΔ, καὶ ἐν αὐτῷ τετράπλευρον ἔστω τὸ ΑΒΓΔ· λέγω, ὅτι αἱ ἀπεναντίον γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖσ ἴσαι εἰσίν. Ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ, ΒΔ. Ἐπεὶ οὖν παντὸσ τριγώνου αἱ τρεῖσ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖσ ἴσαι εἰσίν, τοῦ ΑΒΓ ἄρα τριγώνου αἱ τρεῖσ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΓΑΒ, ΑΒΓ, ΒΓΑ δυσὶν ὀρθαῖσ ἴσαι εἰσίν. ἴση δὲ ἡ μὲν ὑπὸ ΓΑΒ τῇ ὑπὸ ΒΔΓ· ἐν γὰρ τῷ αὐτῷ τμήματί εἰσι τῷ ΒΑΔΓ· ἡ δὲ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΑΔΒ· ἐν γὰρ τῷ αὐτῷ τμήματί εἰσι τῷ ΑΔΓΒ· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΔΓ ταῖσ ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΓΒ ἴση ἐστίν. κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΓ· αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΑΓ, ΑΓΒ ταῖσ ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΔΓ ἴσαι εἰσίν. ἀλλ’ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΑΓ, ΑΓΒ δυσὶν ὀρθαῖσ ἴσαι εἰσίν. καὶ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΔΓ ἄρα δυσὶν ὀρθαῖσ ἴσαι εἰσίν. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ ὑπὸ ΒΑΔ, ΔΓΒ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖσ ἴσαι εἰσίν. Τῶν ἄρα ἐν τοῖσ κύκλοισ τετραπλεύρων αἱ ἀπεναντίον γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖσ ἴσαι εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἐπὶ τῆσ αὐτῆσ εὐθείασ δύο τμήματα κύκλων ὅμοια καὶ ἄνισα οὐ συσταθήσεται ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη. Εἰ γὰρ δυνατόν, ἐπὶ τῆσ αὐτῆσ εὐθείασ τῆσ ΑΒ δύο τμήματα κύκλων ὅμοια καὶ ἄνισα συνεστάτω ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰ ΑΓΒ, ΑΔΒ, καὶ διήχθω ἡ ΑΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΒ, ΔΒ. Ἐπεὶ οὖν ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΓΒ τμῆμα τῷ ΑΔΒ τμήματι, ὅμοια δὲ τμήματα κύκλων ἐστὶ τὰ δεχόμενα γωνίασ ἴσασ, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΔΒ ἡ ἐκτὸσ τῇ ἐντόσ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. Οὐκ ἄρα ἐπὶ τῆσ αὐτῆσ εὐθείασ δύο τμήματα κύκλων ὅμοια καὶ ἄνισα συσταθήσεται ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τὰ ἐπὶ ἴσων εὐθειῶν ὅμοια τμήματα κύκλων ἴσα ἀλλήλοισ ἐστίν. Ἔστωσαν γὰρ ἐπὶ ἴσων εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΓΔ ὅμοια τμήματα κύκλων τὰ ΑΕΒ, ΓΖΔ· λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΕΒ τμῆμα τῷ ΓΖΔ τμήματι. Ἐφαρμοζομένου γὰρ τοῦ ΑΕΒ τμήματοσ ἐπὶ τὸ ΓΖΔ καὶ τιθεμένου τοῦ μὲν Α σημείου ἐπὶ τὸ Γ τῆσ δὲ ΑΒ εὐθείασ ἐπὶ τὴν ΓΔ, ἐφαρμόσει καὶ τὸ Β σημεῖον ἐπὶ τὸ Δ σημεῖον διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΑΒ τῇ ΓΔ· τῆσ δὲ ΑΒ ἐπὶ τὴν ΓΔ ἐφαρμοσάσησ ἐφαρμόσει καὶ τὸ ΑΕΒ τμῆμα ἐπὶ τὸ ΓΖΔ. εἰ γὰρ ἡ ΑΒ εὐθεῖα ἐπὶ τὴν ΓΔ ἐφαρμόσει, τὸ δὲ ΑΕΒ τμῆμα ἐπὶ τὸ ΓΖΔ μὴ ἐφαρμόσει, ἤτοι ἐντὸσ αὐτοῦ πεσεῖται ἢ ἐκτὸσ ἢ παραλλάξει ὡσ τὸ ΓΗΔ, καὶ κύκλοσ κύκλον τέμνει κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἐφαρμοζομένησ τῆσ ΑΒ εὐθείασ ἐπὶ τὴν ΓΔ οὐκ ἐφαρμόσει καὶ τὸ ΑΕΒ τμῆμα ἐπὶ τὸ ΓΖΔ· ἐφαρμόσει ἄρα, καὶ ἴσον αὐτῷ ἔσται. Τὰ ἄρα ἐπὶ ἴσων εὐθειῶν ὅμοια τμήματα κύκλων ἴσα ἀλλήλοισ ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Κύκλου τμήματοσ δοθέντοσ προσαναγράψαι τὸν κύκλον, οὗπέρ ἐστι τμῆμα. Ἔστω τὸ δοθὲν τμῆμα κύκλου τὸ ΑΒΓ· δεῖ δὴ τοῦ ΑΒΓ τμήματοσ προσαναγράψαι τὸν κύκλον, οὗπέρ ἐστι τμῆμα. Τετμήσθω γὰρ ἡ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Δ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ σημείου τῇ ΑΓ πρὸσ ὀρθὰσ ἡ ΔΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ· ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία ἄρα τῆσ ὑπὸ ΒΑΔ ἤτοι μείζων ἐστὶν ἢ ἴση ἢ ἐλάττων. Ἔστω πρότερον μείζων, καὶ συνεστάτω πρὸσ τῇ ΒΑ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸσ αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ ὑπὸ ΑΒΔ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΑΕ, καὶ διήχθω ἡ ΔΒ ἐπὶ τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΓ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΑΕ, ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΕΒ εὐθεῖα τῇ ΕΑ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΓ, κοινὴ δὲ ἡ ΔΕ, δύο δὴ αἱ ΑΔ, ΔΕ δύο ταῖσ ΓΔ, ΔΕ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΔΕ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΓΔΕ ἐστιν ἴση· ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα· βάσισ ἄρα ἡ ΑΕ βάσει τῇ ΓΕ ἐστιν ἴση. ἀλλὰ ἡ ΑΕ τῇ ΒΕ ἐδείχθη ἴση· καὶ ἡ ΒΕ ἄρα τῇ ΓΕ ἐστιν ἴση· αἱ τρεῖσ ἄρα αἱ ΑΕ, ΕΒ, ΕΓ ἴσαι ἀλλήλαισ εἰσίν· ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Ε διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν ΑΕ, ΕΒ, ΕΓ κύκλοσ γραφόμενοσ ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων καὶ ἔσται προσαναγεγραμμένοσ. κύκλου ἄρα τμήματοσ δοθέντοσ προσαναγέγραπται ὁ κύκλοσ. καὶ δῆλον, ὡσ τὸ ΑΒΓ τμῆμα ἔλαττόν ἐστιν ἡμικυκλίου διὰ τὸ τὸ Ε κέντρον ἐκτὸσ αὐτοῦ τυγχάνειν. Ὁμοίωσ [δὲ] κἂν ᾖ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία ἴση τῇ ὑπὸ ΒΑΔ, τῆσ ΑΔ ἴσησ γενομένησ ἑκατέρᾳ τῶν ΒΔ, ΔΓ αἱ τρεῖσ αἱ ΔΑ, ΔΒ, ΔΓ ἴσαι ἀλλήλαισ ἔσονται, καὶ ἔσται τὸ Δ κέντρον τοῦ προσαναπεπληρωμένου κύκλου, καὶ δηλαδὴ ἔσται τὸ ΑΒΓ ἡμικύκλιον. Εἂν δὲ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ ἐλάττων ᾖ τῆσ ὑπὸ ΒΑΔ, καὶ συστησώμεθα πρὸσ τῇ ΒΑ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸσ αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ ὑπὸ ΑΒΔ γωνίᾳ ἴσην, ἐντὸσ τοῦ ΑΒΓ τμήματοσ πεσεῖται τὸ κέντρον ἐπὶ τῆσ ΔΒ, καὶ ἔσται δηλαδὴ τὸ ΑΒΓ τμῆμα μεῖζον ἡμικυκλίου. Κύκλου ἄρα τμήματοσ δοθέντοσ προσαναγέγραπται ὁ κύκλοσ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. Ἐν τοῖσ ἴσοισ κύκλοισ αἱ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβήκασιν, ἐάν τε πρὸσ τοῖσ κέντροισ ἐάν τε πρὸσ ταῖσ περιφερείαισ ὦσι βεβηκυῖαι. Ἔστωσαν ἴσοι κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ καὶ ἐν αὐτοῖσ ἴσαι γωνίαι ἔστωσαν πρὸσ μὲν τοῖσ κέντροισ αἱ ὑπὸ ΒΗΓ, ΕΘΖ, πρὸσ δὲ ταῖσ περιφερείαισ αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΕΔΖ· λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΒΚΓ περιφέρεια τῇ ΕΛΖ περιφερείᾳ. Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΓ, ΕΖ. Καὶ ἐπεὶ ἴσοι εἰσὶν οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ κύκλοι, ἴσαι εἰσὶν αἱ ἐκ τῶν κέντρων· δύο δὴ αἱ ΒΗ, ΗΓ δύο ταῖσ ΕΘ, ΘΖ ἴσαι· καὶ γωνία ἡ πρὸσ τῷ Η γωνίᾳ τῇ πρὸσ τῷ Θ ἴση· βάσισ ἄρα ἡ ΒΓ βάσει τῇ ΕΖ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ πρὸσ τῷ Α γωνία τῇ πρὸσ τῷ Δ, ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΑΓ τμῆμα τῷ ΕΔΖ τμήματι· καί εἰσιν ἐπὶ ἴσων εὐθειῶν [τῶν ΒΓ, ΕΖ]· τὰ δὲ ἐπὶ ἴσων εὐθειῶν ὅμοια τμήματα κύκλων ἴσα ἀλλήλοισ ἐστίν· ἴσον ἄρα τὸ ΒΑΓ τμῆμα τῷ ΕΔΖ. ἔστι δὲ καὶ ὅλοσ ὁ ΑΒΓ κύκλοσ ὅλῳ τῷ ΔΕΖ κύκλῳ ἴσοσ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΚΓ περιφέρεια τῇ ΕΛΖ περιφερείᾳ ἐστὶν ἴση. Ἐν ἄρα τοῖσ ἴσοισ κύκλοισ αἱ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβήκασιν, ἐάν τε πρὸσ τοῖσ κέντροισ ἐάν τε πρὸσ ταῖσ περιφερείαισ ὦσι βεβηκυῖαι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἐν τοῖσ ἴσοισ κύκλοισ αἱ ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβηκυῖαι γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαισ εἰσίν, ἐάν τε πρὸσ τοῖσ κέντροισ ἐάν τε πρὸσ ταῖσ περιφερείαισ ὦσι βεβηκυῖαι. Ἐν γὰρ ἴσοισ κύκλοισ τοῖσ ΑΒΓ, ΔΕΖ ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν τῶν ΒΓ, ΕΖ πρὸσ μὲν τοῖσ Η, Θ κέντροισ γωνίαι βεβηκέτωσαν αἱ ὑπὸ ΒΗΓ, ΕΘΖ, πρὸσ δὲ ταῖσ περιφερείαισ αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΕΔΖ· λέγω, ὅτι ἡ μὲν ὑπὸ ΒΗΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΘΖ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἐστιν ἴση. Εἰ γὰρ ἄνισόσ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΒΗΓ τῇ ὑπὸ ΕΘΖ, μία αὐτῶν μείζων ἐστίν. ἔστω μείζων ἡ ὑπὸ ΒΗΓ, καὶ συνεστάτω πρὸσ τῇ ΒΗ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸσ αὐτῇ σημείῳ τῷ Η τῇ ὑπὸ ΕΘΖ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΗΚ· αἱ δὲ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβήκασιν, ὅταν πρὸσ τοῖσ κέντροισ ὦσιν· ἴση ἄρα ἡ ΒΚ περιφέρεια τῇ ΕΖ περιφερείᾳ. ἀλλὰ ἡ ΕΖ τῇ ΒΓ ἐστιν ἴση· καὶ ἡ ΒΚ ἄρα τῇ ΒΓ ἐστιν ἴση ἡ ἐλάττων τῇ μείζονι· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἄνισόσ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΒΗΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΘΖ· ἴση ἄρα. καί ἐστι τῆσ μὲν ὑπὸ ΒΗΓ ἡμίσεια ἡ πρὸσ τῷ Α, τῆσ δὲ ὑπὸ ΕΘΖ ἡμίσεια ἡ πρὸσ τῷ Δ· ἴση ἄρα καὶ ἡ πρὸσ τῷ Α γωνία τῇ πρὸσ τῷ Δ. Ἐν ἄρα τοῖσ ἴσοισ κύκλοισ αἱ ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβηκυῖαι γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαισ εἰσίν, ἐάν τε πρὸσ τοῖσ κέντροισ ἐάν τε πρὸσ ταῖσ περιφερείαισ ὦσι βεβηκυῖαι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἐν τοῖσ ἴσοισ κύκλοισ αἱ ἴσαι εὐθεῖαι ἴσασ περιφερείασ ἀφαιροῦσι τὴν μὲν μείζονα τῇ μείζονι τὴν δὲ ἐλάττονα τῇ ἐλάττονι. Ἔστωσαν ἴσοι κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ, καὶ ἐν τοῖσ κύκλοισ ἴσαι εὐθεῖαι ἔστωσαν αἱ ΑΒ, ΔΕ τὰσ μὲν ΑΓΒ, ΔΖΕ περιφερείασ μείζονασ ἀφαιροῦσαι τὰσ δὲ ΑΗΒ, ΔΘΕ ἐλάττονασ· λέγω, ὅτι ἡ μὲν ΑΓΒ μείζων περιφέρεια ἴση ἐστὶ τῇ ΔΖΕ μείζονι περιφερείᾳ, ἡ δὲ ΑΗΒ ἐλάττων περιφέρεια τῇ ΔΘΕ. Εἰλήφθω γὰρ τὰ κέντρα τῶν κύκλων τὰ Κ, Λ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΚ, ΚΒ, ΔΛ, ΛΕ. Καὶ ἐπεὶ ἴσοι κύκλοι εἰσίν, ἴσαι εἰσὶ καὶ αἱ ἐκ τῶν κέντρων· δύο δὴ αἱ ΑΚ, ΚΒ δυσὶ ταῖσ ΔΛ, ΛΕ ἴσαι εἰσίν· καὶ βάσισ ἡ ΑΒ βάσει τῇ ΔΕ ἴση· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΚΒ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΛΕ ἴση ἐστίν. αἱ δὲ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβήκασιν, ὅταν πρὸσ τοῖσ κέντροισ ὦσιν· ἴση ἄρα ἡ ΑΗΒ περιφέρεια τῇ ΔΘΕ. ἐστὶ δὲ καὶ ὅλοσ ὁ ΑΒΓ κύκλοσ ὅλῳ τῷ ΔΕΖ κύκλῳ ἴσοσ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΓΒ περιφέρεια λοιπῇ τῇ ΔΖΕ περιφερείᾳ ἴση ἐστίν. Ἐν ἄρα τοῖσ ἴσοισ κύκλοισ αἱ ἴσαι εὐθεῖαι ἴσασ περιφερείασ ἀφαιροῦσι τὴν μὲν μείζονα τῇ μείζονι τὴν δὲ ἐλάττονα τῇ ἐλάττονι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἐν τοῖσ ἴσοισ κύκλοισ τὰσ ἴσασ περιφερείασ ἴσαι εὐθεῖαι ὑποτείνουσιν. Ἔστωσαν ἴσοι κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ, καὶ ἐν αὐτοῖσ ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλήφθωσαν αἱ ΒΗΓ, ΕΘΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΓ, ΕΖ εὐθεῖαι· λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΕΖ. Εἰλήφθω γὰρ τὰ κέντρα τῶν κύκλων, καὶ ἔστω τὰ Κ, Λ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΚ, ΚΓ, ΕΛ, ΛΖ. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΗΓ περιφέρεια τῇ ΕΘΖ περιφερείᾳ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΚΓ τῇ ὑπὸ ΕΛΖ. καὶ ἐπεὶ ἴσοι εἰσὶν οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ κύκλοι, ἴσαι εἰσὶ καὶ αἱ ἐκ τῶν κέντρων· δύο δὴ αἱ ΒΚ, ΚΓ δυσὶ ταῖσ ΕΛ, ΛΖ ἴσαι εἰσίν· καὶ γωνίασ ἴσασ περιέχουσιν· βάσισ ἄρα ἡ ΒΓ βάσει τῇ ΕΖ ἴση ἐστίν. Ἐν ἄρα τοῖσ ἴσοισ κύκλοισ τὰσ ἴσασ περιφερείασ ἴσαι εὐθεῖαι ὑποτείνουσιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τὴν δοθεῖσαν περιφέρειαν δίχα τεμεῖν. Ἔστω ἡ δοθεῖσα περιφέρεια ἡ ΑΔΒ· δεῖ δὴ τὴν ΑΔΒ περιφέρειαν δίχα τεμεῖν. Ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ, καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Γ, καὶ ἀπὸ τοῦ Γ σημείου τῇ ΑΒ εὐθείᾳ πρὸσ ὀρθὰσ ἤχθω ἡ ΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΔΒ. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΓΔ, δύο δὴ αἱ ΑΓ, ΓΔ δυσὶ ταῖσ ΒΓ, ΓΔ ἴσαι εἰσίν· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΓΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΓΔ ἴση· ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα· βάσισ ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΔΒ ἴση ἐστίν. αἱ δὲ ἴσαι εὐθεῖαι ἴσασ περιφερείασ ἀφαιροῦσι τὴν μὲν μείζονα τῇ μείζονι τὴν δὲ ἐλάττονα τῇ ἐλάττονι· καί ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΑΔ, ΔΒ περιφερειῶν ἐλάττων ἡμικυκλίου· ἴση ἄρα ἡ ΑΔ περιφέρεια τῇ ΔΒ περιφερείᾳ. Ἡ ἄρα δοθεῖσα περιφέρεια δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Δ σημεῖον· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. Ἐν κύκλῳ ἡ μὲν ἐν τῷ ἡμικυκλίῳ γωνία ὀρθή ἐστιν, ἡ δὲ ἐν τῷ μείζονι τμήματι ἐλάττων ὀρθῆσ, ἡ δὲ ἐν τῷ ἐλάττονι τμήματι μείζων ὀρθῆσ· καὶ ἔτι ἡ μὲν τοῦ μείζονοσ τμήματοσ γωνία μείζων ἐστὶν ὀρθῆσ, ἡ δὲ τοῦ ἐλάττονοσ τμήματοσ γωνία ἐλάττων ὀρθῆσ. Ἔστω κύκλοσ ὁ ΑΒΓΔ, διάμετροσ δὲ αὐτοῦ ἔστω ἡ ΒΓ, κέντρον δὲ τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΑ, ΑΓ, ΑΔ, ΔΓ· λέγω, ὅτι ἡ μὲν ἐν τῷ ΒΑΓ ἡμικυκλίῳ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ ὀρθή ἐστιν, ἡ δὲ ἐν τῷ ΑΒΓ μείζονι τοῦ ἡμικυκλίου τμήματι γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ἐλάττων ἐστὶν ὀρθῆσ, ἡ δὲ ἐν τῷ ΑΔΓ ἐλάττονι τοῦ ἡμικυκλίου τμήματι γωνία ἡ ὑπὸ ΑΔΓ μείζων ἐστὶν ὀρθῆσ. Ἐπεζεύχθω ἡ ΑΕ, καὶ διήχθω ἡ ΒΑ ἐπὶ τὸ Ζ. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΑ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΕ τῇ ὑπὸ ΒΑΕ. πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΕ τῇ ΕΑ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΕ τῇ ὑπὸ ΓΑΕ· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΓ δυσὶ ταῖσ ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΓΒ ἴση ἐστίν. ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΑΓ ἐκτὸσ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου δυσὶ ταῖσ ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΓΒ γωνίαισ ἴση· ἴση ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΑΓ· ὀρθὴ ἄρα ἑκατέρα· ἡ ἄρα ἐν τῷ ΒΑΓ ἡμικυκλίῳ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ ὀρθή ἐστιν. Καὶ ἐπεὶ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου δύο γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΑΓ δύο ὀρθῶν ἐλάττονέσ εἰσιν, ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ, ἐλάττων ἄρα ὀρθῆσ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία· καί ἐστιν ἐν τῷ ΑΒΓ μείζονι τοῦ ἡμικυκλίου τμήματι. Καὶ ἐπεὶ ἐν κύκλῳ τετράπλευρόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ, τῶν δὲ ἐν τοῖσ κύκλοισ τετραπλεύρων αἱ ἀπεναντίον γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖσ ἴσαι εἰσίν [αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΔΓ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖσ ἴσαι εἰσίν], καί ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ἐλάττων ὀρθῆσ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΔΓ γωνία μείζων ὀρθῆσ ἐστιν· καί ἐστιν ἐν τῷ ΑΔΓ ἐλάττονι τοῦ ἡμικυκλίου τμήματι. Λέγω, ὅτι καὶ ἡ μὲν τοῦ μείζονοσ τμήματοσ γωνία ἡ περιεχομένη ὑπό [τε] τῆσ ΑΒΓ περιφερείασ καὶ τῆσ ΑΓ εὐθείασ μείζων ἐστὶν ὀρθῆσ, ἡ δὲ τοῦ ἐλάττονοσ τμήματοσ γωνία ἡ περιεχομένη ὑπό [τε] τῆσ ΑΔ[Γ] περιφερείασ καὶ τῆσ ΑΓ εὐθείασ ἐλάττων ἐστὶν ὀρθῆσ. καί ἐστιν αὐτόθεν φανερόν. ἐπεὶ γὰρ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ εὐθειῶν ὀρθή ἐστιν, ἡ ἄρα ὑπὸ τῆσ ΑΒΓ περιφερείασ καὶ τῆσ ΑΓ εὐθείασ περιεχομένη μείζων ἐστὶν ὀρθῆσ. πάλιν, ἐπεὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΑΖ εὐθειῶν ὀρθή ἐστιν, ἡ ἄρα ὑπὸ τῆσ ΓΑ εὐθείασ καὶ τῆσ ΑΔ[Γ] περιφερείασ περιεχομένη ἐλάττων ἐστὶν ὀρθῆσ. Ἐν κύκλῳ ἄρα ἡ μὲν ἐν τῷ ἡμικυκλίῳ γωνία ὀρθή ἐστιν, ἡ δὲ ἐν τῷ μείζονι τμήματι ἐλάττων ὀρθῆσ, ἡ δὲ ἐν τῷ ἐλάττονι [τμήματι] μείζων ὀρθῆσ, καὶ ἔτι ἡ μὲν τοῦ μείζονοσ τμήματοσ [γωνία] μείζων [ἐστὶν] ὀρθῆσ, ἡ δὲ τοῦ ἐλάττονοσ τμήματοσ [γωνία] ἐλάττων ὀρθῆσ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. [Πόρισμα Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἐὰν [ἡ] μία γωνία τριγώνου ταῖσ δυσὶν ἴση ᾖ, ὀρθή ἐστιν ἡ γωνία διὰ τὸ καὶ τὴν ἐκείνησ ἐκτὸσ ταῖσ αὐταῖσ ἴσην εἶναι· ἐὰν δὲ αἱ ἐφεξῆσ ἴσαι ὦσιν, ὀρθαί εἰσιν. ] Εἂν κύκλου ἐφάπτηταί τισ εὐθεῖα, ἀπὸ δὲ τῆσ ἁφῆσ εἰσ τὸν κύκλον διαχθῇ τισ εὐθεῖα τέμνουσα τὸν κύκλον, ἃσ ποιεῖ γωνίασ πρὸσ τῇ ἐφαπτομένῃ, ἴσαι ἔσονται ταῖσ ἐν τοῖσ ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου τμήμασι γωνίαισ. Κύκλου γὰρ τοῦ ΑΒΓΔ ἐφαπτέσθω τισ εὐθεῖα ἡ ΕΖ κατὰ τὸ Β σημεῖον, καὶ ἀπὸ τοῦ Β σημείου διήχθω τισ εὐθεῖα εἰσ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τέμνουσα αὐτὸν ἡ ΒΔ. λέγω, ὅτι ἃσ ποιεῖ γωνίασ ἡ ΒΔ μετὰ τῆσ ΕΖ ἐφαπτομένησ, ἴσαι ἔσονται ταῖσ ἐν τοῖσ ἐναλλὰξ τμήμασι τοῦ κύκλου γωνίαισ, τουτέστιν, ὅτι ἡ μὲν ὑπὸ ΖΒΔ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ΒΑΔ τμήματι συνισταμένῃ γωνίᾳ, ἡ δὲ ὑπὸ ΕΒΔ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ΔΓΒ τμήματι συνισταμένῃ γωνίᾳ. Ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Β τῇ ΕΖ πρὸσ ὀρθὰσ ἡ ΒΑ, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆσ ΒΔ περιφερείασ τυχὸν σημεῖον τὸ Γ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΔΓ, ΓΒ. Καὶ ἐπεὶ κύκλου τοῦ ΑΒΓΔ ἐφάπτεταί τισ εὐθεῖα ἡ ΕΖ κατὰ τὸ Β, καὶ ἀπὸ τῆσ ἁφῆσ ἦκται τῇ ἐφαπτομένῃ πρὸσ ὀρθὰσ ἡ ΒΑ, ἐπὶ τῆσ ΒΑ ἄρα τὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου. ἡ ΒΑ ἄρα διάμετρόσ ἐστι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου· ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΔΒ γωνία ἐν ἡμικυκλίῳ οὖσα ὀρθή ἐστιν. λοιπαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ ΒΑΔ, ΑΒΔ μιᾷ ὀρθῇ ἴσαι εἰσίν. ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΖ ὀρθή· ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΒΖ ἴση ἐστὶ ταῖσ ὑπὸ ΒΑΔ, ΑΒΔ. κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΔ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΒΖ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τμήματι τοῦ κύκλου γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΑΔ. καὶ ἐπεὶ ἐν κύκλῳ τετράπλευρόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ, αἱ ἀπεναντίον αὐτοῦ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖσ ἴσαι εἰσίν. εἰσὶ δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΔΒΖ, ΔΒΕ δυσὶν ὀρθαῖσ ἴσαι· αἱ ἄρα ὑπὸ ΔΒΖ, ΔΒΕ ταῖσ ὑπὸ ΒΑΔ, ΒΓΔ ἴσαι εἰσίν, ὧν ἡ ὑπὸ ΒΑΔ τῇ ὑπὸ ΔΒΖ ἐδείχθη ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΒΕ τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου τμήματι τῷ ΔΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΓΒ γωνίᾳ ἐστὶν ἴση. Εἂν ἄρα κύκλου ἐφάπτηταί τισ εὐθεῖα, ἀπὸ δὲ τῆσ ἁφῆσ εἰσ τὸν κύκλον διαχθῇ τισ εὐθεῖα τέμνουσα τὸν κύκλον, ἃσ ποιεῖ γωνίασ πρὸσ τῇ ἐφαπτομένῃ, ἴσαι ἔσονται ταῖσ ἐν τοῖσ ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου τμήμασι γωνίαισ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἐπὶ τῆσ δοθείσησ εὐθείασ γράψαι τμῆμα κύκλου δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ. Ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμοσ ἡ πρὸσ τῷ Γ· δεῖ δὴ ἐπὶ τῆσ δοθείσησ εὐθείασ τῆσ ΑΒ γράψαι τμῆμα κύκλου δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ πρὸσ τῷ Γ. Ἡ δὴ πρὸσ τῷ Γ [γωνία] ἤτοι ὀξεῖά ἐστιν ἢ ὀρθὴ ἢ ἀμβλεῖα· ἔστω πρότερον ὀξεῖα, καὶ ὡσ ἐπὶ τῆσ πρώτησ καταγραφῆσ συνεστάτω πρὸσ τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ Α σημείῳ τῇ πρὸσ τῷ Γ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΑΔ· ὀξεῖα ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ. ἤχθω τῇ ΔΑ πρὸσ ὀρθὰσ ἡ ΑΕ, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου τῇ ΑΒ πρὸσ ὀρθὰσ ἡ ΖΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΒ. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΖΗ, δύο δὴ αἱ ΑΖ, ΖΗ δύο ταῖσ ΒΖ, ΖΗ ἴσαι εἰσίν· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΖΗ [γωνίᾳ] τῇ ὑπὸ ΒΖΗ ἴση· βάσισ ἄρα ἡ ΑΗ βάσει τῇ ΒΗ ἴση ἐστίν. ὁ ἄρα κέντρῳ μὲν τῷ Η διαστήματι δὲ τῷ ΗΑ κύκλοσ γραφόμενοσ ἥξει καὶ διὰ τοῦ Β. γεγράφθω καὶ ἔστω ὁ ΑΒΕ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΒ. ἐπεὶ οὖν ἀπ’ ἄκρασ τῆσ ΑΕ διαμέτρου ἀπὸ τοῦ Α τῇ ΑΕ πρὸσ ὀρθάσ ἐστιν ἡ ΑΔ, ἡ ΑΔ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΑΒΕ κύκλου· ἐπεὶ οὖν κύκλου τοῦ ΑΒΕ ἐφάπτεταί τισ εὐθεῖα ἡ ΑΔ, καὶ ἀπὸ τῆσ κατὰ τὸ Α ἁφῆσ εἰσ τὸν ΑΒΕ κύκλον διῆκταί τισ εὐθεῖα ἡ ΑΒ, ἡ ἄρα ὑπὸ ΔΑΒ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου τμήματι γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΕΒ. ἀλλ’ ἡ ὑπὸ ΔΑΒ τῇ πρὸσ τῷ Γ ἐστιν ἴση· καὶ ἡ πρὸσ τῷ Γ ἄρα γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΑΕΒ. Ἐπὶ τῆσ δοθείσησ ἄρα εὐθείασ τῆσ ΑΒ τμῆμα κύκλου γέγραπται τὸ ΑΕΒ δεχόμενον γωνίαν τὴν ὑπὸ ΑΕΒ ἴσην τῇ δοθείσῃ τῇ πρὸσ τῷ Γ. Ἀλλὰ δὴ ὀρθὴ ἔστω ἡ πρὸσ τῷ Γ· καὶ δέον πάλιν ἔστω ἐπὶ τῆσ ΑΒ γράψαι τμῆμα κύκλου δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ πρὸσ τῷ Γ ὀρθῇ [γωνίᾳ]. συνεστάτω [πάλιν] τῇ πρὸσ τῷ Γ ὀρθῇ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΑΔ, ὡσ ἔχει ἐπὶ τῆσ δευτέρασ καταγραφῆσ, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Ζ, καὶ κέντρῳ τῷ Ζ, διαστήματι δὲ ὁποτέρῳ τῶν ΖΑ, ΖΒ, κύκλοσ γεγράφθω ὁ ΑΕΒ. Ἐφάπτεται ἄρα ἡ ΑΔ εὐθεῖα τοῦ ΑΒΕ κύκλου διὰ τὸ ὀρθὴν εἶναι τὴν πρὸσ τῷ Α γωνίαν. καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΔ γωνία τῇ ἐν τῷ ΑΕΒ τμήματι· ὀρθὴ γὰρ καὶ αὐτὴ ἐν ἡμικυκλίῳ οὖσα. ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ τῇ πρὸσ τῷ Γ ἴση ἐστίν. καὶ ἡ ἐν τῷ ΑΕΒ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ πρὸσ τῷ Γ. γέγραπται ἄρα πάλιν ἐπὶ τῆσ ΑΒ τμῆμα κύκλου τὸ ΑΕΒ δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ πρὸσ τῷ Γ. Ἀλλὰ δὴ ἡ πρὸσ τῷ Γ ἀμβλεῖα ἔστω· καὶ συνεστάτω αὐτῇ ἴση πρὸσ τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ Α σημείῳ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ, ὡσ ἔχει ἐπὶ τῆσ τρίτησ καταγραφῆσ, καὶ τῇ ΑΔ πρὸσ ὀρθὰσ ἤχθω ἡ ΑΕ, καὶ τετμήσθω πάλιν ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Ζ, καὶ τῇ ΑΒ πρὸσ ὀρθὰσ ἤχθω ἡ ΖΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΒ. Καὶ ἐπεὶ πάλιν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ, καὶ κοινὴ ἡ ΖΗ, δύο δὴ αἱ ΑΖ, ΖΗ δύο ταῖσ ΒΖ, ΖΗ ἴσαι εἰσίν· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΖΗ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΖΗ ἴση· βάσισ ἄρα ἡ ΑΗ βάσει τῇ ΒΗ ἴση ἐστίν· ὁ ἄρα κέντρῳ μὲν τῷ Η διαστήματι δὲ τῷ ΗΑ κύκλοσ γραφόμενοσ ἥξει καὶ διὰ τοῦ Β. ἐρχέσθω ὡσ ὁ ΑΕΒ. καὶ ἐπεὶ τῇ ΑΕ διαμέτρῳ ἀπ’ ἄκρασ πρὸσ ὀρθάσ ἐστιν ἡ ΑΔ, ἡ ΑΔ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΑΕΒ κύκλου. καὶ ἀπὸ τῆσ κατὰ τὸ Α ἐπαφῆσ διῆκται ἡ ΑΒ· ἡ ἄρα ὑπὸ ΒΑΔ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου τμήματι τῷ ΑΘΒ συνισταμένῃ γωνίᾳ. ἀλλ’ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ γωνία τῇ πρὸσ τῷ Γ ἴση ἐστίν. καὶ ἡ ἐν τῷ ΑΘΒ ἄρα τμήματι γωνία ἴση ἐστὶ τῇ πρὸσ τῷ Γ. Ἐπὶ τῆσ ἄρα δοθείσησ εὐθείασ τῆσ ΑΒ γέγραπται τμῆμα κύκλου τὸ ΑΘΒ δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ πρὸσ τῷ Γ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. Ἀπὸ τοῦ δοθέντοσ κύκλου τμῆμα ἀφελεῖν δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ. Ἔστω ὁ δοθεὶσ κύκλοσ ὁ ΑΒΓ, ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμοσ ἡ πρὸσ τῷ Δ· δεῖ δὴ ἀπὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου τμῆμα ἀφελεῖν δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ τῇ πρὸσ τῷ Δ. Ἤχθω τοῦ ΑΒΓ ἐφαπτομένη ἡ ΕΖ κατὰ τὸ Β σημεῖον, καὶ συνεστάτω πρὸσ τῇ ΖΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸσ αὐτῇ σημείῳ τῷ Β τῇ πρὸσ τῷ Δ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΖΒΓ. Ἐπεὶ οὖν κύκλου τοῦ ΑΒΓ ἐφάπτεταί τισ εὐθεῖα ἡ ΕΖ, καὶ ἀπὸ τῆσ κατὰ τὸ Β ἐπαφῆσ διῆκται ἡ ΒΓ, ἡ ὑπὸ ΖΒΓ ἄρα γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ΒΑΓ ἐναλλὰξ τμήματι συνισταμένῃ γωνίᾳ. ἀλλ’ ἡ ὑπὸ ΖΒΓ τῇ πρὸσ τῷ Δ ἐστιν ἴση· καὶ ἡ ἐν τῷ ΒΑΓ ἄρα τμήματι ἴση ἐστὶ τῇ πρὸσ τῷ Δ [γωνίᾳ]. Ἀπὸ τοῦ δοθέντοσ ἄρα κύκλου τοῦ ΑΒΓ τμῆμα ἀφῄρηται τὸ ΒΑΓ δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ τῇ πρὸσ τῷ Δ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. Εἂν ἐν κύκλῳ δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλασ, τὸ ὑπὸ τῶν τῆσ μιᾶσ τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν τῆσ ἑτέρασ τμημάτων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ. Ἐν γὰρ κύκλῳ τῷ ΑΒΓΔ δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΓ, ΒΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλασ κατὰ τὸ Ε σημεῖον· λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ. Εἰ μὲν οὖν αἱ ΑΓ, ΒΔ διὰ τοῦ κέντρου εἰσὶν ὥστε τὸ Ε κέντρον εἶναι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου, φανερόν, ὅτι ἴσων οὐσῶν τῶν ΑΕ, ΕΓ, ΔΕ, ΕΒ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ. Μὴ ἔστωσαν δὴ αἱ ΑΓ, ΔΒ διὰ τοῦ κέντρου, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓΔ, καὶ ἔστω τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὰσ ΑΓ, ΔΒ εὐθείασ κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΖΗ, ΖΘ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΒ, ΖΓ, ΖΕ. Καὶ ἐπεὶ εὐθεῖά τισ διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΗΖ εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου τὴν ΑΓ πρὸσ ὀρθὰσ τέμνει, καὶ δίχα αὐτὴν τέμνει· ἴση ἄρα ἡ ΑΗ τῇ ΗΓ. ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ ΑΓ τέτμηται εἰσ μὲν ἴσα κατὰ τὸ Η, εἰσ δὲ ἄνισα κατὰ τὸ Ε, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΕΗ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΗΓ· [κοινὸν] προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΖ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ μετὰ τῶν ἀπὸ τῶν ΗΕ, ΗΖ ἴσον ἐστὶ τοῖσ ἀπὸ τῶν ΓΗ, ΗΖ. ἀλλὰ τοῖσ μὲν ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΖ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΕ, τοῖσ δὲ ἀπὸ τῶν ΓΗ, ΗΖ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΓ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΖΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΖΓ. ἴση δὲ ἡ ΖΓ τῇ ΖΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΕΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΖΒ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΖΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΖΒ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΖΕ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆσ ΖΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΖΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΖΕ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΕ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ. Εἂν ἄρα ἐν κύκλῳ εὐθεῖαι δύο τέμνωσιν ἀλλήλασ, τὸ ὑπὸ τῶν τῆσ μιᾶσ τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν τῆσ ἑτέρασ τμημάτων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτόσ, καὶ ἀπ’ αὐτοῦ πρὸσ τὸν κύκλον προσπίπτωσι δύο εὐθεῖαι, καὶ ἡ μὲν αὐτῶν τέμνῃ τὸν κύκλον, ἡ δὲ ἐφάπτηται, ἔσται τὸ ὑπὸ ὅλησ τῆσ τεμνούσησ καὶ τῆσ ἐκτὸσ ἀπολαμβανομένησ μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τῆσ κυρτῆσ περιφερείασ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆσ ἐφαπτομένησ τετραγώνῳ. Κύκλου γὰρ τοῦ ΑΒΓ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐκτὸσ τὸ Δ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ πρὸσ τὸν ΑΒΓ κύκλον προσπιπτέτωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΔΓ[Α], ΔΒ· καὶ ἡ μὲν ΔΓΑ τεμνέτω τὸν ΑΒΓ κύκλον, ἡ δὲ ΒΔ ἐφαπτέσθω· λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΔΒ τετραγώνῳ. Ἡ ἄρα [Δ]ΓΑ ἤτοι διὰ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἢ οὔ. ἔστω πρότερον διὰ τοῦ κέντρου, καὶ ἔστω τὸ Ζ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΒ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΒΔ. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ἡ ΑΓ δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Ζ, πρόσκειται δὲ αὐτῇ ἡ ΓΔ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΖΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΖΔ. ἴση δὲ ἡ ΖΓ τῇ ΖΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΖΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΖΔ. τῷ δὲ ἀπὸ τῆσ ΖΔ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΖΒ, ΒΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΖΒ ἴσον ἐστὶ τοῖσ ἀπὸ τῶν ΖΒ, ΒΔ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΒ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΔΒ ἐφαπτομένησ. ἀλλὰ δὴ ἡ ΔΓΑ μὴ ἔστω διὰ τοῦ κέντρου τοῦ ΑΒΓ κύκλου, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τὸ Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὴν ΑΓ κάθετοσ ἤχθω ἡ ΕΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΒ, ΕΓ, ΕΔ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΒΔ. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖά τισ διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΕΖ εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου τὴν ΑΓ πρὸσ ὀρθὰσ τέμνει, καὶ δίχα αὐτὴν τέμνει· ἡ ΑΖ ἄρα τῇ ΖΓ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ἡ ΑΓ τέτμηται δίχα κατὰ τὸ Ζ σημεῖον, πρόσκειται δὲ αὐτῇ ἡ ΓΔ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΖΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΖΔ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΕ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΕ ἴσον ἐστὶ τοῖσ ἀπὸ τῶν ΖΔ, ΖΕ. τοῖσ δὲ ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΕΓ· ὀρθὴ γὰρ [ἐστιν] ἡ ὑπὸ ΕΖΓ [γωνία]· τοῖσ δὲ ἀπὸ τῶν ΔΖ, ΖΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΕΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΕΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΕΔ. ἴση δὲ ἡ ΕΓ τῇ ΕΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΕΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΕΔ. τῷ δὲ ἀπὸ τῆσ ΕΔ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΕΒ, ΒΔ· ὀρθὴ γὰρ ἡ ὑπὸ ΕΒΔ γωνία· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΕΒ ἴσον ἐστὶ τοῖσ ἀπὸ τῶν ΕΒ, ΒΔ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆσ ΕΒ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΔΒ. Εἂν ἄρα κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτόσ, καὶ ἀπ’ αὐτοῦ πρὸσ τὸν κύκλον προσπίπτωσι δύο εὐθεῖαι, καὶ ἡ μὲν αὐτῶν τέμνῃ τὸν κύκλον, ἡ δὲ ἐφάπτηται, ἔσται τὸ ὑπὸ ὅλησ τῆσ τεμνούσησ καὶ τῆσ ἐκτὸσ ἀπολαμβανομένησ μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τῆσ κυρτῆσ περιφερείασ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆσ ἐφαπτομένησ τετραγώνῳ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτόσ, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸσ τὸν κύκλον προσπίπτωσι δύο εὐθεῖαι, καὶ ἡ μὲν αὐτῶν τέμνῃ τὸν κύκλον, ἡ δὲ προσπίπτῃ, ᾖ δὲ τὸ ὑπὸ [τῆσ] ὅλησ τῆσ τεμνούσησ καὶ τῆσ ἐκτὸσ ἀπολαμβανομένησ μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τῆσ κυρτῆσ περιφερείασ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆσ προσπιπτούσησ, ἡ προσπίπτουσα ἐφάψεται τοῦ κύκλου. κύκλου γὰρ τοῦ ΑΒΓ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐκτὸσ τὸ Δ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ πρὸσ τὸν ΑΒΓ κύκλον προσπιπτέτωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΔΓΑ, ΔΒ, καὶ ἡ μὲν ΔΓΑ τεμνέτω τὸν κύκλον, ἡ δὲ ΔΒ προσπιπτέτω, ἔστω δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆσ ΔΒ. λέγω, ὅτι ἡ ΔΒ ἐφάπτεται τοῦ ΑΒΓ κύκλου. Ἤχθω γὰρ τοῦ ΑΒΓ ἐφαπτομένη ἡ ΔΕ, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου, καὶ ἔστω τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΕ, ΖΒ, ΖΔ. ἡ ἄρα ὑπὸ ΖΕΔ ὀρθή ἐστιν. καὶ ἐπεὶ ἡ ΔΕ ἐφάπτεται τοῦ ΑΒΓ κύκλου, τέμνει δὲ ἡ ΔΓΑ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΔΕ. ἦν δὲ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆσ ΔΒ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆσ ΔΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΔΒ· ἴση ἄρα ἡ ΔΕ τῇ ΔΒ. ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ΖΕ τῇ ΖΒ ἴση· δύο δὴ αἱ ΔΕ, ΕΖ δύο ταῖσ ΔΒ, ΒΖ ἴσαι εἰσίν· καὶ βάσισ αὐτῶν κοινὴ ἡ ΖΔ· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΕΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΒΖ ἐστιν ἴση. ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΔΕΖ· ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΔΒΖ. καί ἐστιν ἡ ΖΒ ἐκβαλλομένη διάμετροσ· ἡ δὲ τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸσ ὀρθὰσ ἀπ’ ἄκρασ ἀγομένη ἐφάπτεται τοῦ κύκλου· ἡ ΔΒ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΑΒΓ κύκλου. ὁμοίωσ δὴ δειχθήσεται, κἂν τὸ κέντρον ἐπὶ τῆσ ΑΓ τυγχάνῃ. Εἂν ἄρα κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτόσ, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸσ τὸν κύκλον προσπίπτωσι δύο εὐθεῖαι, καὶ ἡ μὲν αὐτῶν τέμνῃ τὸν κύκλον, ἡ δὲ προσπίπτῃ, ᾖ δὲ τὸ ὑπὸ ὅλησ τῆσ τεμνούσησ καὶ τῆσ ἐκτὸσ ἀπολαμβανομένησ μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τῆσ κυρτῆσ περιφερείασ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆσ προσπιπτούσησ, ἡ προσπίπτουσα ἐφάψεται τοῦ κύκλου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

MENU NAVIGATION

호흡부호 보기

강세부호 보기

장단부호 보기

작은 Iota 보기

모든 부호 보기

헬라어 텍스트

Euclid, Elements, book 3, type Prop

(유클리드, Elements, book 3, type Prop)

상위

목록

SEARCH

MENU NAVIGATION