헬라어 문장 검색 - Ευξλιδ́Ελεμεντ́12́1́

(유클리드, Elements, book 12, type Prop)

Τὰ ἐν τοῖσ κύκλοισ ὅμοια πολύγωνα πρὸσ ἄλληλά ἐστιν ὡσ τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα. Ἔστωσαν κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΖΗΘ, καὶ ἐν αὐτοῖσ ὅμοια πολύγωνα ἔστω τὰ ΑΒΓΔΕ, ΖΗΘΚΛ, διάμετροι δὲ τῶν κύκλων ἔστωσαν αἱ ΒΜ, ΗΝ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΜ τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΝ τετράγωνον, οὕτωσ τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον πρὸσ τὸ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον. Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΕ, ΑΜ, ΗΛ, ΖΝ. καὶ ἐπεὶ ὅμοιον τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον τῷ ΖΗΘΚΛ πολυγώνῳ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΖΛ, καί ἐστιν ὡσ ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΕ, οὕτωσ ἡ ΗΖ πρὸσ τὴν ΖΛ. δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΒΑΕ, ΗΖΛ μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχοντα τὴν ὑπὸ ΒΑΕ τῇ ὑπὸ ΗΖΛ, περὶ δὲ τὰσ ἴσασ γωνίασ τὰσ πλευρὰσ ἀνάλογον· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΖΗΛ τριγώνῳ. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΕΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΛΗ. ἀλλ’ ἡ μὲν ὑπὸ ΑΕΒ τῇ ὑπὸ ΑΜΒ ἐστιν ἴση· ἐπὶ γὰρ τῆσ αὐτῆσ περιφερείασ βεβήκασιν· ἡ δὲ ὑπὸ ΖΛΗ τῇ ὑπὸ ΖΝΗ· καὶ ἡ ὑπὸ ΑΜΒ ἄρα τῇ ὑπὸ ΖΝΗ ἐστιν ἴση. ἔστι δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΒΑΜ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΗΖΝ ἴση· καὶ ἡ λοιπὴ ἄρα τῇ λοιπῇ ἐστιν ἴση. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΜ τρίγωνον τῷ ΖΗΝ τριγώνῳ. ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΒΜ πρὸσ τὴν ΗΝ, οὕτωσ ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΗΖ. ἀλλὰ τοῦ μὲν τῆσ ΒΜ πρὸσ τὴν ΗΝ λόγου διπλασίων ἐστὶν ὁ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΒΜ τετραγώνου πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΝ τετράγωνον, τοῦ δὲ τῆσ ΒΑ πρὸσ τὴν ΗΖ διπλασίων ἐστὶν ὁ τοῦ ΑΒΓΔΕ πολυγώνου πρὸσ τὸ ΖΗ ΘΚΛ πολύγωνον· καὶ ὡσ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΜ τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΝ τετράγωνον, οὕτωσ τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον πρὸσ τὸ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον. Τὰ ἄρα ἐν τοῖσ κύκλοισ ὅμοια πολύγωνα πρὸσ ἄλληλά ἐστιν ὡσ τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Οἱ κύκλοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσὶν ὡσ τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα. Ἔστωσαν κύκλοι οἱ ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ, διάμετροι δὲ αὐτῶν [ἔστωσαν] αἱ ΒΔ, ΖΘ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡσ ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ πρὸσ τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΔ τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΘ τετράγωνον. Εἰ γὰρ μή ἐστιν ὡσ ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ πρὸσ τὸν ΕΖΗΘ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΔ τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΘ, ἔσται ὡσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΔ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΘ, οὕτωσ ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ ἤτοι πρὸσ ἔλασσόν τι τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου χωρίον ἢ πρὸσ μεῖζον. ἔστω πρότερον πρὸσ ἔλασσον τὸ Σ. καὶ ἐγγεγράφθω εἰσ τὸν ΕΖΗΘ κύκλον τετράγωνον τὸ ΕΖΗΘ· τὸ δὴ ἐγγεγραμμένον τετράγωνον μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου, ἐπειδήπερ ἐὰν διὰ τῶν Ε, Ζ, Η, Θ σημείων ἐφαπτομένασ [εὐθείασ] τοῦ κύκλου ἀγάγωμεν, τοῦ περιγραφομένου περὶ τὸν κύκλον τετραγώνου ἥμισύ ἐστι τὸ ΕΖΗΘ τετράγωνον, τοῦ δὲ περιγραφέντοσ τετραγώνου ἐλάττων ἐστὶν ὁ κύκλοσ· ὥστε τὸ ΕΖΗΘ ἐγγεγραμμένον τετράγωνον μεῖζόν ἐστι τοῦ ἡμίσεωσ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου. τετμήσθωσαν δίχα αἱ ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΕ περιφέρειαι κατὰ τὰ Κ, Λ, Μ, Ν σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΚ, ΚΖ, ΖΛ, ΛΗ, ΗΜ, ΜΘ, ΘΝ, ΝΕ· καὶ ἕκαστον ἄρα τῶν ΕΚΖ, ΖΛΗ, ΗΜΘ, ΘΝΕ τριγώνων μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ καθ’ ἑαυτὸ τμήματοσ τοῦ κύκλου, ἐπειδήπερ ἐὰν διὰ τῶν Κ, Λ, Μ, Ν σημείων ἐφαπτομένασ τοῦ κύκλου ἀγάγωμεν καὶ ἀναπληρώσωμεν τὰ ἐπὶ τῶν ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΕ εὐθειῶν παραλληλόγραμμα, ἕκαστον τῶν ΕΚΖ, ΖΛΗ, ΗΜΘ, ΘΝΕ τριγώνων ἥμισυ ἔσται τοῦ καθ’ ἑαυτὸ παραλληλογράμμου, ἀλλὰ τὸ καθ’ ἑαυτὸ τμῆμα ἔλαττόν ἐστι τοῦ παραλληλογράμμου· ὥστε ἕκαστον τῶν ΕΚΖ, ΖΛΗ, ΗΜΘ, ΘΝΕ τριγώνων μεῖζόν ἐστι τοῦ ἡμίσεωσ τοῦ καθ’ ἑαυτὸ τμήματοσ τοῦ κύκλου. τέμνοντεσ δὴ τὰσ ὑπολειπομένασ περιφερείασ δίχα καὶ ἐπιζευγνύντεσ εὐθείασ καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιοῦντεσ καταλείψομέν τινα ἀποτμήματα τοῦ κύκλου, ἃ ἔσται ἐλάσσονα τῆσ ὑπεροχῆσ, ᾗ ὑπερέχει ὁ ΕΖΗΘ κύκλοσ τοῦ Σ χωρίου. ἐδείχθη γὰρ ἐν τῷ πρώτῳ θεωρήματι τοῦ δεκάτου βιβλίου, ὅτι δύο μεγεθῶν ἀνίσων ἐκκειμένων, ἐὰν ἀπὸ τοῦ μείζονοσ ἀφαιρεθῇ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ καὶ τοῦ καταλειπομένου μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ, καὶ τοῦτο ἀεὶ γίγνηται, λειφθήσεταί τι μέγεθοσ, ὃ ἔσται ἔλασσον τοῦ ἐκκειμένου ἐλάσσονοσ μεγέθουσ. λελείφθω οὖν, καὶ ἔστω τὰ ἐπὶ τῶν ΕΚ, ΚΖ, ΖΛ, ΛΗ, ΗΜ, ΜΘ, ΘΝ, ΝΕ τμήματα τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου ἐλάττονα τῆσ ὑπεροχῆσ, ᾗ ὑπερέχει ὁ ΕΖΗΘ κύκλοσ τοῦ Σ χωρίου. λοιπὸν ἄρα τὸ ΕΚΖΛΗ ΜΘΝ πολύγωνον μεῖζόν ἐστι τοῦ Σ χωρίου. ἐγγεγράφθω καὶ εἰσ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τῷ ΕΚΖΛΗΜΘΝ πολυγώνῳ ὅμοιον πολύγωνον τὸ ΑΞΒΟΓΠΔΡ· ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΔ τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΘ τετράγωνον, οὕτωσ τὸ ΑΞΒΟΓΠΔΡ πολύγωνον πρὸσ τὸ ΕΚΖΛ ΗΜΘΝ πολύγωνον. ἀλλὰ καὶ ὡσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΔ τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΘ, οὕτωσ ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ πρὸσ τὸ Σ χωρίον· καὶ ὡσ ἄρα ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ πρὸσ τὸ Σ χωρίον, οὕτωσ τὸ ΑΞΒΟΓΠΔΡ πολύγωνον πρὸσ τὸ ΕΚΖΛΗΜΘΝ πολύγωνον· ἐναλλὰξ ἄρα ὡσ ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ πρὸσ τὸ ἐν αὐτῷ πολύγωνον, οὕτωσ τὸ Σ χωρίον πρὸσ τὸ ΕΚΖΛΗΜΘΝ πολύγωνον. μείζων δὲ ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ τοῦ ἐν αὐτῷ πολυγώνου· μεῖζον ἄρα καὶ τὸ Σ χωρίον τοῦ ΕΚΖΛΗΜΘΝ πολυγώνου. ἀλλὰ καὶ ἔλαττον· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΔ τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΘ, οὕτωσ ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ πρὸσ ἔλασσόν τι τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου χωρίον. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ὡσ τὸ ἀπὸ ΖΘ πρὸσ τὸ ἀπὸ ΒΔ, οὕτωσ ὁ ΕΖΗΘ κύκλοσ πρὸσ ἔλασσόν τι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου χωρίον. Λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ὡσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΔ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΘ, οὕτωσ ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ πρὸσ μεῖζόν τι τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου χωρίον. Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω πρὸσ μεῖζον τὸ Σ. ἀνάπαλιν ἄρα [ἐστὶν] ὡσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΘ τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΔΒ, οὕτωσ τὸ Σ χωρίον πρὸσ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον. ἀλλ’ ὡσ τὸ Σ χωρίον πρὸσ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, οὕτωσ ὁ ΕΖΗΘ κύκλοσ πρὸσ ἔλαττόν τι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου χωρίον· καὶ ὡσ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΘ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΔ, οὕτωσ ὁ ΕΖΗΘ κύκλοσ πρὸσ ἔλασσόν τι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου χωρίον· ὅπερ ἀδύνατον ἐδείχθη. οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΔ τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΘ, οὕτωσ ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ πρὸσ μεῖζόν τι τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου χωρίον. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ πρὸσ ἔλασσον· ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΔ τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΘ, οὕτωσ ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ πρὸσ τὸν ΕΖΗΘ κύκλον. Οἱ ἄρα κύκλοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσὶν ὡσ τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Λῆμμα Λέγω δή, ὅτι τοῦ Σ χωρίου μείζονοσ ὄντοσ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου ἐστὶν ὡσ τὸ Σ χωρίον πρὸσ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, οὕτωσ ὁ ΕΖΗΘ κύκλοσ πρὸσ ἔλαττόν τι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου χωρίον. Γεγονέτω γὰρ ὡσ τὸ Σ χωρίον πρὸσ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, οὕτωσ ὁ ΕΖΗΘ κύκλοσ πρὸσ τὸ Τ χωρίον. λέγω, ὅτι ἔλαττόν ἐστι τὸ Τ χωρίον τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου. ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡσ τὸ Σ χωρίον πρὸσ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, οὕτωσ ὁ ΕΖΗΘ κύκλοσ πρὸσ τὸ Τ χωρίον, ἐναλλάξ ἐστιν ὡσ τὸ Σ χωρίον πρὸσ τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτωσ ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ πρὸσ τὸ Τ χωρίον. μεῖζον δὲ τὸ Σ χωρίον τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου· μείζων ἄρα καὶ ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ τοῦ Τ χωρίου. ὥστε ἐστὶν ὡσ τὸ Σ χωρίον πρὸσ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, οὕτωσ ὁ ΕΖΗΘ κύκλοσ πρὸσ ἔλαττόν τι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου χωρίον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Πᾶσα πυραμὶσ τρίγωνον ἔχουσα βάσιν διαιρεῖται εἰσ δύο πυραμίδασ ἴσασ τε καὶ ὁμοίασ ἀλλήλαισ καὶ [ὁμοίασ] τῇ ὅλῃ τριγώνουσ ἐχούσασ βάσεισ καὶ εἰσ δύο πρίσματα ἴσα· καὶ τὰ δύο πρίσματα μείζονά ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τῆσ ὅλησ πυραμίδοσ. Ἔστω πυραμίσ, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον· λέγω, ὅτι ἡ ΑΒΓΔ πυραμὶσ διαιρεῖται εἰσ δύο πυραμίδασ ἴσασ ἀλλήλαισ τριγώνουσ βάσεισ ἐχούσασ καὶ ὁμοίασ τῇ ὅλῃ καὶ εἰσ δύο πρίσματα ἴσα· καὶ τὰ δύο πρίσματα μείζονά ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τῆσ ὅλησ πυραμίδοσ. Τετμήσθωσαν γὰρ αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ, ΑΔ, ΔΒ, ΔΓ δίχα κατὰ τὰ Ε, Ζ, Η, Θ, Κ, Λ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΕ, ΕΗ, ΗΘ, ΘΚ, ΚΛ, ΛΘ, ΚΖ, ΖΗ. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΕΒ, ἡ δὲ ΑΘ τῇ ΔΘ, παράλληλοσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ τῇ ΔΒ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΘΚ τῇ ΑΒ παράλληλόσ ἐστιν. παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΘΕ ΒΚ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΚ τῇ ΕΒ. ἀλλὰ ἡ ΕΒ τῇ ΕΑ ἐστιν ἴση· καὶ ἡ ΑΕ ἄρα τῇ ΘΚ ἐστιν ἴση. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΘ τῇ ΘΔ ἴση· δύο δὴ αἱ ΕΑ, ΑΘ δυσὶ ταῖσ ΚΘ, ΘΔ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΑΘ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΚΘΔ ἴση· βάσισ ἄρα ἡ ΕΘ βάσει τῇ ΚΔ ἐστιν ἴση. ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΕΘ τρίγωνον τῷ ΘΚΔ τριγώνῳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΑΘΗ τρίγωνον τῷ ΘΛΔ τριγώνῳ ἴσον τέ ἐστι καὶ ὅμοιον. καὶ ἐπεὶ δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων αἱ ΕΘ, ΘΗ παρὰ δύο εὐθείασ ἁπτομένασ ἀλλήλων τὰσ ΚΔ, ΔΛ εἰσιν οὐκ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι, ἴσασ γωνίασ περιέξουσιν. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΘΗ γωνία τῇ ὑπὸ ΚΔΛ γωνίᾳ. καὶ ἐπεὶ δύο εὐθεῖαι αἱ ΕΘ, ΘΗ δυσὶ ταῖσ ΚΔ, ΔΛ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΘΗ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΚΔΛ ἐστιν ἴση, βάσισ ἄρα ἡ ΕΗ βάσει τῇ ΚΛ [ἐστιν] ἴση· ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΕΘΗ τρίγωνον τῷ ΚΔΛ τριγώνῳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΑΕΗ τρίγωνον τῷ ΘΚΛ τριγώνῳ ἴσον τε καὶ ὅμοιόν ἐστιν. ἡ ἄρα πυραμίσ, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΑΕΗ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Θ σημεῖον, ἴση καὶ ὁμοία ἐστὶ πυραμίδι, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΘΚΛ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον. καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΑΔΒ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΑΒ ἦκται ἡ ΘΚ, ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΔΒ τρίγωνον τῷ ΔΘΚ τριγώνῳ, καὶ τὰσ πλευρὰσ ἀνάλογον ἔχουσιν· ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔΒ τρίγωνον τῷ ΔΘΚ τριγώνῳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ μὲν ΔΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΚΛ τριγώνῳ ὅμοιόν ἐστιν, τὸ δὲ ΑΔΓ τῷ ΔΛΘ. καὶ ἐπεὶ δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων αἱ ΒΑ, ΑΓ παρὰ δύο εὐθείασ ἁπτομένασ ἀλλήλων τὰσ ΚΘ, ΘΛ εἰσιν οὐκ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, ἴσασ γωνίασ περιέξουσιν. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΚΘΛ. καί ἐστιν ὡσ ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΓ, οὕτωσ ἡ ΚΘ πρὸσ τὴν ΘΛ· ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΘΚΛ τριγώνῳ. καὶ πυραμὶσ ἄρα, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον, ὁμοία ἐστὶ πυραμίδι, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΘΚΛ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον. ἀλλὰ πυραμίσ, ἧσ βάσισ μὲν [ἐστι] τὸ ΘΚΛ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον, ὁμοία ἐδείχθη πυραμίδι, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΑΕΗ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Θ σημεῖον [ὥστε καὶ πυραμίσ, ἧσ βάσισ μὲν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον, ὁμοία ἐστὶ πυραμίδι, ἧσ βάσισ μὲν τὸ ΑΕΗ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Θ σημεῖον]. ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΕΗΘ, ΘΚΛΔ πυραμίδων ὁμοία ἐστὶ τῇ ὅλῃ τῇ ΑΒΓΔ πυραμίδι. —Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΖ τῇ ΖΓ, διπλάσιόν ἐστι τὸ ΕΒΖΗ παραλληλόγραμμον τοῦ ΗΖΓ τριγώνου. καὶ ἐπεί, ἐὰν ᾖ δύο πρίσματα ἰσοϋψῆ, καὶ τὸ μὲν ἔχῃ βάσιν παραλληλόγραμμον, τὸ δὲ τρίγωνον, διπλάσιον δὲ ᾖ τὸ παραλληλόγραμμον τοῦ τριγώνου, ἴσα ἐστὶ τὰ πρίσματα, ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ πρίσμα τὸ περιεχόμενον ὑπὸ δύο μὲν τριγώνων τῶν ΒΚΖ, ΕΘΗ, τριῶν δὲ παραλληλογράμμων τῶν ΕΒΖΗ, ΕΒΚΘ, ΘΚΖΗ τῷ πρίσματι τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ δύο μὲν τριγώνων τῶν ΗΖΓ, ΘΚΛ, τριῶν δὲ παραλληλογράμμων τῶν ΚΖΓΛ, ΛΓΗΘ, ΘΚΖΗ. καὶ φανερόν, ὅτι ἑκάτερον τῶν πρισμάτων, οὗ τε βάσισ τὸ ΕΒΖΗ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ ἡ ΘΚ εὐθεῖα, καὶ οὗ βάσισ τὸ ΗΖΓ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΘΚΛ τρίγωνον, μεῖζόν ἐστιν ἑκατέρασ τῶν πυραμίδων, ὧν βάσεισ μὲν τὰ ΑΕΗ, ΘΚΛ τρίγωνα, κορυφαὶ δὲ τὰ Θ, Δ σημεῖα, ἐπειδήπερ [καὶ] ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὰσ ΕΖ, ΕΚ εὐθείασ, τὸ μὲν πρίσμα, οὗ βάσισ τὸ ΕΒΖΗ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ ἡ ΘΚ εὐθεῖα, μεῖζόν ἐστι τῆσ πυραμίδοσ, ἧσ βάσισ τὸ ΕΒΖ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Κ σημεῖον. ἀλλ’ ἡ πυραμίσ, ἧσ βάσισ τὸ ΕΒΖ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Κ σημεῖον, ἴση ἐστὶ πυραμίδι, ἧσ βάσισ τὸ ΑΕΗ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Θ σημεῖον· ὑπὸ γὰρ ἴσων καὶ ὁμοίων ἐπιπέδων περιέχονται. ὥστε καὶ τὸ πρίσμα, οὗ βάσισ μὲν τὸ ΕΒΖΗ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ ἡ ΘΚ εὐθεῖα, μεῖζόν ἐστι πυραμίδοσ, ἧσ βάσισ μὲν τὸ ΑΕΗ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Θ σημεῖον. ἴσον δὲ τὸ μὲν πρίσμα, οὗ βάσισ τὸ ΕΒΖΗ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ ἡ ΘΚ εὐθεῖα, τῷ πρίσματι, οὗ βάσισ μὲν τὸ ΗΖΓ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΘΚΛ τρίγωνον· ἡ δὲ πυραμίσ, ἧσ βάσισ τὸ ΑΕΗ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Θ σημεῖον, ἴση ἐστὶ πυραμίδι, ἧσ βάσισ τὸ ΘΚΛ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον. τὰ ἄρα εἰρημένα δύο πρίσματα μείζονά ἐστι τῶν εἰρημένων δύο πυραμίδων, ὧν βάσεισ μὲν τὰ ΑΕΗ, ΘΚΛ τρίγωνα, κορυφαὶ δὲ τὰ Θ, Δ σημεῖα. Ἡ ἄρα ὅλη πυραμίσ, ἧσ βάσισ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον, διῄρηται εἴσ τε δύο πυραμίδασ ἴσασ ἀλλήλαισ [καὶ ὁμοίασ τῇ ὅλῃ] καὶ εἰσ δύο πρίσματα ἴσα, καὶ τὰ δύο πρίσματα μείζονά ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τῆσ ὅλησ πυραμίδοσ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ὦσι δύο πυραμίδεσ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψοσ τριγώνουσ ἔχουσαι βάσεισ, διαιρεθῇ δὲ ἑκατέρα αὐτῶν εἴσ τε δύο πυραμίδασ ἴσασ ἀλλήλαισ καὶ ὁμοίασ τῇ ὅλῃ καὶ εἰσ δύο πρίσματα ἴσα, ἔσται ὡσ ἡ τῆσ μιᾶσ πυραμίδοσ βάσισ πρὸσ τὴν τῆσ ἑτέρασ πυραμίδοσ βάσιν, οὕτωσ τὰ ἐν τῇ μιᾷ πυραμίδι πρίσματα πάντα πρὸσ τὰ ἐν τῇ ἑτέρᾳ πυραμίδι πρίσματα πάντα ἰσοπληθῆ. Ἔστωσαν δύο πυραμίδεσ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψοσ τριγώνουσ ἔχουσαι βάσεισ τὰσ ΑΒΓ, ΔΕΖ, κορυφὰσ δὲ τὰ Η, Θ σημεῖα, καὶ διῃρήσθω ἑκατέρα αὐτῶν εἴσ τε δύο πυραμίδασ ἴσασ ἀλλήλαισ καὶ ὁμοίασ τῇ ὅλῃ καὶ εἰσ δύο πρίσματα ἴσα· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡσ ἡ ΑΒΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτωσ τὰ ἐν τῇ ΑΒΓΗ πυραμίδι πρίσματα πάντα πρὸσ τὰ ἐν τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι πρίσματα ἰσοπληθῆ. Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΒΞ τῇ ΞΓ, ἡ δὲ ΑΛ τῇ ΛΓ, παράλληλοσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΞ τῇ ΑΒ καὶ ὅμοιον τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΛΞΓ τριγώνῳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον τῷ ΡΦΖ τριγώνῳ ὅμοιόν ἐστιν. καὶ ἐπεὶ διπλασίων ἐστὶν ἡ μὲν ΒΓ τῆσ ΓΞ, ἡ δὲ ΕΖ τῆσ ΖΦ, ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΓΞ, οὕτωσ ἡ ΕΖ πρὸσ τὴν ΖΦ. καὶ ἀναγέγραπται ἀπὸ μὲν τῶν ΒΓ, ΓΞ ὅμοιά τε καὶ ὁμοίωσ κείμενα εὐθύγραμμα τὰ ΑΒΓ, ΛΞΓ, ἀπὸ δὲ τῶν ΕΖ, ΖΦ ὅμοιά τε καὶ ὁμοίωσ κείμενα [εὐθύγραμμα] τὰ ΔΕΖ, ΡΦΖ. ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΛΞΓ τρίγωνον, οὕτωσ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΡΦΖ τρίγωνον· ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡσ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΔΕΖ [τρίγωνον], οὕτωσ τὸ ΛΞΓ [τρίγωνον] πρὸσ τὸ ΡΦΖ τρίγωνον. ἀλλ’ ὡσ τὸ ΛΞΓ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΡΦΖ τρίγωνον, οὕτωσ τὸ πρίσμα, οὗ βάσισ μὲν [ἐστι] τὸ ΛΞΓ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΟΜΝ, πρὸσ τὸ πρίσμα, οὗ βάσισ μὲν τὸ ΡΦΖ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΣΤΥ· καὶ ὡσ ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον, οὕτωσ τὸ πρίσμα, οὗ βάσισ μὲν τὸ ΛΞΓ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΟΜΝ, πρὸσ τὸ πρίσμα, οὗ βάσισ μὲν τὸ ΡΦΖ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΣΤΥ. ὡσ δὲ τὰ εἰρημένα πρίσματα πρὸσ ἄλληλα, οὕτωσ τὸ πρίσμα, οὗ βάσισ μὲν τὸ ΚΒΞΛ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ ἡ ΟΜ εὐθεῖα, πρὸσ τὸ πρίσμα, οὗ βάσισ μὲν τὸ ΠΕΦΡ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ ἡ ΣΤ εὐθεῖα. καὶ τὰ δύο ἄρα πρίσματα, οὗ τε βάσισ μὲν τὸ ΚΒΞΛ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ ἡ ΟΜ, καὶ οὗ βάσισ μὲν τὸ ΛΞΓ, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΟΜΝ, πρὸσ τὰ πρίσματα, οὗ τε βάσισ μὲν τὸ ΠΕΦΡ, ἀπεναντίον δὲ ἡ ΣΤ εὐθεῖα, καὶ οὗ βάσισ μὲν τὸ ΡΦΖ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΣΤΥ. καὶ ὡσ ἄρα ἡ ΑΒΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτωσ τὰ εἰρημένα δύο πρίσματα πρὸσ τὰ εἰρημένα δύο πρίσματα. Καὶ ὁμοίωσ, ἐὰν διαιρεθῶσιν αἱ ΟΜΝΗ, ΣΤΥΘ πυραμίδεσ εἴσ τε δύο πρίσματα καὶ δύο πυραμίδασ, ἔσται ὡσ ἡ ΟΜΝ βάσισ πρὸσ τὴν ΣΤΥ βάσιν, οὕτωσ τὰ ἐν τῇ ΟΜ ΝΗ πυραμίδι δύο πρίσματα πρὸσ τὰ ἐν τῇ ΣΤΥΘ πυραμίδι δύο πρίσματα. ἀλλ’ ὡσ ἡ ΟΜΝ βάσισ πρὸσ τὴν ΣΤΥ βάσιν, οὕτωσ ἡ ΑΒΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΔΕΖ βάσιν· ἴσον γὰρ ἑκάτερον τῶν ΟΜΝ, ΣΤΥ τριγώνων ἑκατέρῳ τῶν ΛΞΓ, ΡΦΖ. καὶ ὡσ ἄρα ἡ ΑΒΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτωσ τὰ τέσσαρα πρίσματα πρὸσ τὰ τέσσαρα πρίσματα. ὁμοίωσ δὲ κἂν τὰσ ὑπολειπομένασ πυραμίδασ διέλωμεν εἴσ τε δύο πυραμίδασ καὶ εἰσ δύο πρίσματα, ἔσται ὡσ ἡ ΑΒΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτωσ τὰ ἐν τῇ ΑΒ ΓΗ πυραμίδι πρίσματα πάντα πρὸσ τὰ ἐν τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι πρίσματα πάντα ἰσοπληθῆ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Λῆμμα Ὅτι δέ ἐστιν ὡσ τὸ ΛΞΓ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΡΦΖ τρίγωνον, οὕτωσ τὸ πρίσμα, οὗ βάσισ τὸ ΛΞΓ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΟΜΝ, πρὸσ τὸ πρίσμα, οὗ βάσισ μὲν τὸ ΡΦΖ [τρίγωνον], ἀπεναντίον δὲ τὸ ΣΤΥ, οὕτω δεικτέον. Ἐπὶ γὰρ τῆσ αὐτῆσ καταγραφῆσ νενοήσθωσαν ἀπὸ τῶν Η, Θ κάθετοι ἐπὶ τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ ἐπίπεδα, ἴσαι δηλαδὴ τυγχάνουσαι διὰ τὸ ἰσοϋψεῖσ ὑποκεῖσθαι τὰσ πυραμίδασ. καὶ ἐπεὶ δύο εὐθεῖαι ἥ τε ΗΓ καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Η κάθετοσ ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων τῶν ΑΒΓ, ΟΜΝ τέμνονται, εἰσ τοὺσ αὐτοὺσ λόγουσ τμηθήσονται. καὶ τέτμηται ἡ ΗΓ δίχα ὑπὸ τοῦ ΟΜΝ ἐπιπέδου κατὰ τὸ Ν· καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Η ἄρα κάθετοσ ἐπὶ τὸ ΑΒΓ ἐπίπεδον δίχα τμηθήσεται ὑπὸ τοῦ ΟΜΝ ἐπιπέδου. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Θ κάθετοσ ἐπὶ τὸ ΔΕΖ ἐπίπεδον δίχα τμηθήσεται ὑπὸ τοῦ ΣΤΥ ἐπιπέδου. καί εἰσιν ἴσαι αἱ ἀπὸ τῶν Η, Θ κάθετοι ἐπὶ τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ ἐπίπεδα· ἴσαι ἄρα καὶ αἱ ἀπὸ τῶν ΟΜΝ, ΣΤΥ τριγώνων ἐπὶ τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ κάθετοι. ἰσοϋψῆ ἄρα [ἐστὶ] τὰ πρίσματα, ὧν βάσεισ μέν εἰσι τὰ ΛΞΓ, ΡΦΖ τρίγωνα, ἀπεναντίον δὲ τὰ ΟΜΝ, ΣΤΥ. ὥστε καὶ τὰ στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ ἀπὸ τῶν εἰρημένων πρισμάτων ἀναγραφόμενα ἰσοϋψῆ καὶ πρὸσ ἄλληλα [εἰσὶν] ὡσ αἱ βάσεισ· καὶ τὰ ἡμίση ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΛΞΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΡΦΖ βάσιν, οὕτωσ τὰ εἰρημένα πρίσματα πρὸσ ἄλληλα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Αἱ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψοσ οὖσαι πυραμίδεσ καὶ τριγώνουσ ἔχουσαι βάσεισ πρὸσ ἀλλήλασ εἰσὶν ὡσ αἱ βάσεισ. Ἔστωσαν ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψοσ πυραμίδεσ, ὧν βάσεισ μὲν τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ τρίγωνα, κορυφαὶ δὲ τὰ Η, Θ σημεῖα· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡσ ἡ ΑΒΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτωσ ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶσ πρὸσ τὴν ΔΕΖΘ πυραμίδα. Εἰ γὰρ μή ἐστιν ὡσ ἡ ΑΒΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτωσ ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶσ πρὸσ τὴν ΔΕΖΘ πυραμίδα, ἔσται ὡσ ἡ ΑΒΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτωσ ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶσ ἤτοι πρὸσ ἔλασσόν τι τῆσ ΔΕΖΘ πυραμίδοσ στερεὸν ἢ πρὸσ μεῖζον. ἔστω πρότερον πρὸσ ἔλασσον τὸ Χ, καὶ διῃρήσθω ἡ ΔΕΖΘ πυραμὶσ εἴσ τε δύο πυραμίδασ ἴσασ ἀλλήλαισ καὶ ὁμοίασ τῇ ὅλῃ καὶ εἰσ δύο πρίσματα ἴσα· τὰ δὴ δύο πρίσματα μείζονά ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τῆσ ὅλησ πυραμίδοσ. καὶ πάλιν αἱ ἐκ τῆσ διαιρέσεωσ γινόμεναι πυραμίδεσ ὁμοίωσ διῃρήσθωσαν, καὶ τοῦτο ἀεὶ γινέσθω, ἑώσ οὗ λειφθῶσί τινεσ πυραμίδεσ ἀπὸ τῆσ ΔΕΖΘ πυραμίδοσ, αἵ εἰσιν ἐλάττονεσ τῆσ ὑπεροχῆσ, ᾗ ὑπερέχει ἡ ΔΕ ΖΘ πυραμὶσ τοῦ Χ στερεοῦ. λελείφθωσαν καὶ ἔστωσαν λόγου ἕνεκεν αἱ ΔΠΡΣ, ΣΤΥΘ· λοιπὰ ἄρα τὰ ἐν τῇ ΔΕ ΖΘ πυραμίδι πρίσματα μείζονά ἐστι τοῦ Χ στερεοῦ. διῃρήσθω καὶ ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶσ ὁμοίωσ καὶ ἰσοπληθῶσ τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι· ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΑΒΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτωσ τὰ ἐν τῇ ΑΒΓΗ πυραμίδι πρίσματα πρὸσ τὰ ἐν τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι πρίσματα. ἀλλὰ καὶ ὡσ ἡ ΑΒΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτωσ ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶσ πρὸσ τὸ Χ στερεόν· καὶ ὡσ ἄρα ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶσ πρὸσ τὸ Χ στερεόν, οὕτωσ τὰ ἐν τῇ ΑΒΓΗ πυραμίδι πρίσματα πρὸσ τὰ ἐν τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι πρίσματα· ἐναλλὰξ ἄρα ὡσ ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶσ πρὸσ τὰ ἐν αὐτῇ πρίσματα, οὕτωσ τὸ Χ στερεὸν πρὸσ τὰ ἐν τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι πρίσματα. μείζων δὲ ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶσ τῶν ἐν αὐτῇ πρισμάτων· μεῖζον ἄρα καὶ τὸ Χ στερεὸν τῶν ἐν τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι πρισμάτων. ἀλλὰ καὶ ἔλαττον· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΑΒΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτωσ ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶσ πρὸσ ἔλασσόν τι τῆσ ΔΕΖΘ πυραμίδοσ στερεόν. ὁμοίωσ δὴ δειχθήσεται, ὅτι οὐδὲ ὡσ ἡ ΔΕΖ βάσισ πρὸσ τὴν ΑΒΓ βάσιν, οὕτωσ ἡ ΔΕΖΘ πυραμὶσ πρὸσ ἔλαττόν τι τῆσ ΑΒΓΗ πυραμίδοσ στερεόν. Λέγω δή, ὅτι οὐκ ἔστιν οὐδὲ ὡσ ἡ ΑΒΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτωσ ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶσ πρὸσ μεῖζόν τι τῆσ ΔΕΖΘ πυραμίδοσ στερεόν. Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω πρὸσ μεῖζον τὸ Χ· ἀνάπαλιν ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΔΕΖ βάσισ πρὸσ τὴν ΑΒΓ βάσιν, οὕτωσ τὸ Χ στερεὸν πρὸσ τὴν ΑΒΓΗ πυραμίδα. ὡσ δὲ τὸ Χ στερεὸν πρὸσ τὴν ΑΒΓΗ πυραμίδα, οὕτωσ ἡ ΔΕΖΘ πυραμὶσ πρὸσ ἔλασσόν τι τῆσ ΑΒΓΗ πυραμίδοσ, ὡσ ἔμπροσθεν ἐδείχθη· καὶ ὡσ ἄρα ἡ ΔΕΖ βάσισ πρὸσ τὴν ΑΒΓ βάσιν, οὕτωσ ἡ ΔΕΖΘ πυραμὶσ πρὸσ ἔλασσόν τι τῆσ ΑΒΓΗ πυραμίδοσ· ὅπερ ἄτοπον ἐδείχθη. οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΑΒΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτωσ ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶσ πρὸσ μεῖζόν τι τῆσ ΔΕΖΘ πυραμίδοσ στερεόν. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ πρὸσ ἔλασσον. ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΑΒΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτωσ ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶσ πρὸσ τὴν ΔΕΖΘ πυραμίδα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Αἱ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψοσ οὖσαι πυραμίδεσ καὶ πολυγώνουσ ἔχουσαι βάσεισ πρὸσ ἀλλήλασ εἰσὶν ὡσ αἱ βάσεισ. Ἔστωσαν ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψοσ πυραμίδεσ, ὧν [αἱ] βάσεισ μὲν τὰ ΑΒΓΔΕ, ΖΗΘΚΛ πολύγωνα, κορυφαὶ δὲ τὰ Μ, Ν σημεῖα· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡσ ἡ ΑΒΓΔΕ βάσισ πρὸσ τὴν ΖΗΘΚΛ βάσιν, οὕτωσ ἡ ΑΒΓΔΕΜ πυραμὶσ πρὸσ τὴν ΖΗΘΚΛΝ πυραμίδα. Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΓ, ΑΔ, ΖΘ, ΖΚ. ἐπεὶ οὖν δύο πυραμίδεσ εἰσὶν αἱ ΑΒΓΜ, ΑΓΔΜ τριγώνουσ ἔχουσαι βάσεισ καὶ ὕψοσ ἴσον, πρὸσ ἀλλήλασ εἰσὶν ὡσ αἱ βάσεισ· ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΑΒΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΑΓΔ βάσιν, οὕτωσ ἡ ΑΒΓΜ πυραμὶσ πρὸσ τὴν ΑΓΔΜ πυραμίδα. καὶ συνθέντι ὡσ ἡ ΑΒΓΔ βάσισ πρὸσ τὴν ΑΓΔ βάσιν, οὕτωσ ἡ ΑΒΓΔΜ πυραμὶσ πρὸσ τὴν ΑΓΔΜ πυραμίδα. ἀλλὰ καὶ ὡσ ἡ ΑΓΔ βάσισ πρὸσ τὴν ΑΔΕ βάσιν, οὕτωσ ἡ ΑΓΔΜ πυραμὶσ πρὸσ τὴν ΑΔΕΜ πυραμίδα. δι’ ἴσου ἄρα ὡσ ἡ ΑΒΓΔ βάσισ πρὸσ τὴν ΑΔΕ βάσιν, οὕτωσ ἡ ΑΒΓΔΜ πυραμὶσ πρὸσ τὴν ΑΔΕΜ πυραμίδα. καὶ συνθέντι πάλιν, ὡσ ἡ ΑΒΓΔΕ βάσισ πρὸσ τὴν ΑΔΕ βάσιν, οὕτωσ ἡ ΑΒΓΔΕΜ πυραμὶσ πρὸσ τὴν ΑΔΕΜ πυραμίδα. ὁμοίωσ δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ ὡσ ἡ ΖΗΘΚΛ βάσισ πρὸσ τὴν ΖΗΘ βάσιν, οὕτωσ καὶ ἡ ΖΗΘΚΛΝ πυραμὶσ πρὸσ τὴν ΖΗΘΝ πυραμίδα. καὶ ἐπεὶ δύο πυραμίδεσ εἰσὶν αἱ ΑΔ ΕΜ, ΖΗΘΝ τριγώνουσ ἔχουσαι βάσεισ καὶ ὕψοσ ἴσον, ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΑΔΕ βάσισ πρὸσ τὴν ΖΗΘ βάσιν, οὕτωσ ἡ ΑΔΕΜ πυραμὶσ πρὸσ τὴν ΖΗΘΝ πυραμίδα. ἀλλ’ ὡσ ἡ ΑΔΕ βάσισ πρὸσ τὴν ΑΒΓΔΕ βάσιν, οὕτωσ ἦν ἡ ΑΔ ΕΜ πυραμὶσ πρὸσ τὴν ΑΒΓΔΕΜ πυραμίδα. καὶ δι’ ἴσου ἄρα ὡσ ἡ ΑΒΓΔΕ βάσισ πρὸσ τὴν ΖΗΘ βάσιν, οὕτωσ ἡ ΑΒΓΔΕΜ πυραμὶσ πρὸσ τὴν ΖΗΘΝ πυραμίδα. ἀλλὰ μὴν καὶ ὡσ ἡ ΖΗΘ βάσισ πρὸσ τὴν ΖΗΘΚΛ βάσιν, οὕτωσ ἦν καὶ ἡ ΖΗΘΝ πυραμὶσ πρὸσ τὴν ΖΗΘΚΛΝ πυραμίδα. καὶ δι’ ἴσου ἄρα ὡσ ἡ ΑΒΓΔΕ βάσισ πρὸσ τὴν ΖΗΘΚΛ βάσιν, οὕτωσ ἡ ΑΒΓΔΕΜ πυραμὶσ πρὸσ τὴν ΖΗΘΚΛΝ πυραμίδα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Πᾶν πρίσμα τρίγωνον ἔχον βάσιν διαιρεῖται εἰσ τρεῖσ πυραμίδασ ἴσασ ἀλλήλαισ τριγώνουσ βάσεισ ἐχούσασ. Ἔστω πρίσμα, οὗ βάσισ μὲν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΔΕΖ· λέγω, ὅτι τὸ ΑΒΓΔΕΖ πρίσμα διαιρεῖται εἰσ τρεῖσ πυραμίδασ ἴσασ ἀλλήλαισ τριγώνουσ ἐχούσασ βάσεισ. Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΔ, ΕΓ, ΓΔ. ἐπεὶ παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ΑΒΕΔ, διάμετροσ δὲ αὐτοῦ ἐστιν ἡ ΒΔ, ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΕΒΔ τριγώνῳ· καὶ ἡ πυραμὶσ ἄρα, ἧσ βάσισ μὲν τὸ ΑΒΔ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον, ἴση ἐστὶ πυραμίδι, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΔΕΒ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον. ἀλλὰ ἡ πυραμίσ, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΔΕΒ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον, ἡ αὐτή ἐστι πυραμίδι, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΕΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον· ὑπὸ γὰρ τῶν αὐτῶν ἐπιπέδων περιέχεται. καὶ πυραμὶσ ἄρα, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΑΒΔ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον, ἴση ἐστὶ πυραμίδι, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΕΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον. πάλιν, ἐπεὶ παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ΖΓΒΕ, διάμετροσ δέ ἐστιν αὐτοῦ ἡ ΓΕ, ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΕΖ τρίγωνον τῷ ΓΒΕ τριγώνῳ. καὶ πυραμὶσ ἄρα, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΒΓΕ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον, ἴση ἐστὶ πυραμίδι, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΕΓΖ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον. ἡ δὲ πυραμίσ, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΒΓΕ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον, ἴση ἐδείχθη πυραμίδι, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΑΒΔ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον· καὶ πυραμὶσ ἄρα, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΓΕΖ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον, ἴση ἐστὶ πυραμίδι, ἧσ βάσισ μὲν [ἐστι] τὸ ΑΒΔ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον· διῄρηται ἄρα τὸ ΑΒΓΔΕΖ πρίσμα εἰσ τρεῖσ πυραμίδασ ἴσασ ἀλλήλαισ τριγώνουσ ἐχούσασ βάσεισ. Καὶ ἐπεὶ πυραμίσ, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΑΒΔ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον, ἡ αὐτή ἐστι πυραμίδι, ἧσ βάσισ τὸ ΓΑΒ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον· ὑπὸ γὰρ τῶν αὐτῶν ἐπιπέδων περιέχονται· ἡ δὲ πυραμίσ, ἧσ βάσισ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον, τρίτον ἐδείχθη τοῦ πρίσματοσ, οὗ βάσισ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΔΕΖ, καὶ ἡ πυραμὶσ ἄρα, ἧσ βάσισ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον, τρίτον ἐστὶ τοῦ πρίσματοσ τοῦ ἔχοντοσ βάσιν τὴν αὐτὴν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΔΕΖ. Πόρισμα Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι πᾶσα πυραμὶσ τρίτον μέροσ ἐστὶ τοῦ πρίσματοσ τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντοσ αὐτῇ καὶ ὕψοσ ἴσον [ἐπειδήπερ κἂν ἕτερόν τι σχῆμα εὐθύγραμμον ἔχῃ ἡ βάσισ τοῦ πρίσματοσ, τοιοῦτο καὶ τὸ ἀπεναντίον, καὶ διαιρεῖται εἰσ πρίσματα τρίγωνα ἔχοντα τὰσ βάσεισ καὶ τὰ ἀπεναντίον, καὶ ὡσ ἡ ὅλη βάσισ πρὸσ ἕκαστον]· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Αἱ ὅμοιαι πυραμίδεσ καὶ τριγώνουσ ἔχουσαι βάσεισ ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν. Ἔστωσαν ὅμοιαι καὶ ὁμοίωσ κείμεναι πυραμίδεσ, ὧν βάσεισ μέν εἰσι τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ τρίγωνα, κορυφαὶ δὲ τὰ Η, Θ σημεῖα· λέγω, ὅτι ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶσ πρὸσ τὴν ΔΕΖΘ πυραμίδα τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΕΖ. Συμπεπληρώσθω γὰρ τὰ ΒΗΜΛ, ΕΘΠΟ στερεὰ παραλληλεπίπεδα. καὶ ἐπεὶ ὁμοία ἐστὶν ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶσ τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ γωνίᾳ, ἡ δὲ ὑπὸ ΗΒΓ τῇ ὑπὸ ΘΕΖ, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΒΗ τῇ ὑπὸ ΔΕΘ, καί ἐστιν ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΔΕ, οὕτωσ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΕΖ, καὶ ἡ ΒΗ πρὸσ τὴν ΕΘ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΔΕ, οὕτωσ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΕΖ, καὶ περὶ ἴσασ γωνίασ αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν, ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΜ παραλληλόγραμμον τῷ ΕΠ παραλληλογράμμῳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ μὲν ΒΝ τῷ ΕΡ ὅμοιόν ἐστι, τὸ δὲ ΒΚ τῷ ΕΞ· τὰ τρία ἄρα τὰ ΜΒ, ΒΚ, ΒΝ τρισὶ τοῖσ ΕΠ, ΕΞ, ΕΡ ὅμοιά ἐστιν. ἀλλὰ τὰ μὲν τρία τὰ ΜΒ, ΒΚ, ΒΝ τρισὶ τοῖσ ἀπεναντίον ἴσα τε καὶ ὅμοιά ἐστιν, τὰ δὲ τρία τὰ ΕΠ, ΕΞ, ΕΡ τρισὶ τοῖσ ἀπεναντίον ἴσα τε καὶ ὅμοιά ἐστιν. τὰ ΒΗΜΛ, ΕΘΠΟ ἄρα στερεὰ ὑπὸ ὁμοίων ἐπιπέδων ἴσων τὸ πλῆθοσ περιέχεται. ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΗΜΛ στερεὸν τῷ ΕΘΠΟ στερεῷ. τὰ δὲ ὅμοια στερεὰ παραλληλεπίπεδα ἐν τριπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν. τὸ ΒΗΜΛ ἄρα στερεὸν πρὸσ τὸ ΕΘΠΟ στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογοσ πλευρὰ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ὁμόλογον πλευρὰν τὴν ΕΖ. ὡσ δὲ τὸ ΒΗΜΛ στερεὸν πρὸσ τὸ ΕΘΠΟ στερεόν, οὕτωσ ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶσ πρὸσ τὴν ΔΕΖΘ πυραμίδα, ἐπειδήπερ ἡ πυραμὶσ ἕκτον μέροσ ἐστὶ τοῦ στερεοῦ διὰ τὸ καὶ τὸ πρίσμα ἥμισυ ὂν τοῦ στερεοῦ παραλληλεπιπέδου τριπλάσιον εἶναι τῆσ πυραμίδοσ. καὶ ἡ ΑΒΓΗ ἄρα πυραμὶσ πρὸσ τὴν ΔΕΖΘ πυραμίδα τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΕΖ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Πόρισμα Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι καὶ αἱ πολυγώνουσ ἔχουσαι βάσεισ ὅμοιαι πυραμίδεσ πρὸσ ἀλλήλασ ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν. διαιρεθεισῶν γὰρ αὐτῶν εἰσ τὰσ ἐν αὐταῖσ πυραμίδασ τριγώνουσ βάσεισ ἐχούσασ τῷ καὶ τὰ ὅμοια πολύγωνα τῶν βάσεων εἰσ ὅμοια τρίγωνα διαιρεῖσθαι καὶ ἴσα τῷ πλήθει καὶ ὁμόλογα τοῖσ ὅλοισ ἔσται ὡσ [ἡ] ἐν τῇ ἑτέρᾳ μία πυραμὶσ τρίγωνον ἔχουσα βάσιν πρὸσ τὴν ἐν τῇ ἑτέρᾳ μίαν πυραμίδα τρίγωνον ἔχουσαν βάσιν, οὕτωσ καὶ ἅπασαι αἱ ἐν τῇ ἑτέρᾳ πυραμίδι πυραμίδεσ τριγώνουσ ἔχουσαι βάσεισ πρὸσ τὰσ ἐν τῇ ἑτέρᾳ πυραμίδι πυραμίδασ τριγώνουσ βάσεισ ἐχούσασ, τουτέστιν αὐτὴ ἡ πολύγωνον βάσιν ἔχουσα πυραμὶσ πρὸσ τὴν πολύγωνον βάσιν ἔχουσαν πυραμίδα. ἡ δὲ τρίγωνον βάσιν ἔχουσα πυραμὶσ πρὸσ τὴν τρίγωνον βάσιν ἔχουσαν ἐν τριπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν· καὶ ἡ πολύγωνον ἄρα βάσιν ἔχουσα πρὸσ τὴν ὁμοίαν βάσιν ἔχουσαν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ πλευρὰ πρὸσ τὴν πλευράν. Τῶν ἴσων πυραμίδων καὶ τριγώνουσ βάσεισ ἐχουσῶν ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεισ τοῖσ ὕψεσιν· καὶ ὧν πυραμίδων τριγώνουσ βάσεισ ἐχουσῶν ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεισ τοῖσ ὕψεσιν, ἴσαι εἰσὶν ἐκεῖναι. Ἔστωσαν γὰρ ἴσαι πυραμίδεσ τριγώνουσ βάσεισ ἔχουσαι τὰσ ΑΒΓ, ΔΕΖ, κορυφὰσ δὲ τὰ Η, Θ σημεῖα· λέγω, ὅτι τῶν ΑΒΓΗ, ΔΕΖΘ πυραμίδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεισ τοῖσ ὕψεσιν, καί ἐστιν ὡσ ἡ ΑΒΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτωσ τὸ τῆσ ΔΕΖΘ πυραμίδοσ ὕψοσ πρὸσ τὸ τῆσ ΑΒΓΗ πυραμίδοσ ὕψοσ. Συμπεπληρώσθω γὰρ τὰ ΒΗΜΛ, ΕΘΠΟ στερεὰ παραλληλεπίπεδα. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶσ τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι, καί ἐστι τῆσ μὲν ΑΒΓΗ πυραμίδοσ ἑξαπλάσιον τὸ ΒΗ ΜΛ στερεόν, τῆσ δὲ ΔΕΖΘ πυραμίδοσ ἑξαπλάσιον τὸ ΕΘΠΟ στερεόν, ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΗΜΛ στερεὸν τῷ ΕΘΠΟ στερεῷ. τῶν δὲ ἴσων στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεισ τοῖσ ὕψεσιν· ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΒΜ βάσισ πρὸσ τὴν ΕΠ βάσιν, οὕτωσ τὸ τοῦ ΕΘΠΟ στερεοῦ ὕψοσ πρὸσ τὸ τοῦ ΒΗΜΛ στερεοῦ ὕψοσ. ἀλλ’ ὡσ ἡ ΒΜ βάσισ πρὸσ τὴν ΕΠ, οὕτωσ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον. καὶ ὡσ ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον, οὕτωσ τὸ τοῦ ΕΘΠΟ στερεοῦ ὕψοσ πρὸσ τὸ τοῦ ΒΗΜΛ στερεοῦ ὕψοσ. ἀλλὰ τὸ μὲν τοῦ ΕΘΠΟ στερεοῦ ὕψοσ τὸ αὐτό ἐστι τῷ τῆσ ΔΕΖΘ πυραμίδοσ ὕψει, τὸ δὲ τοῦ ΒΗΜΛ στερεοῦ ὕψοσ τὸ αὐτό ἐστι τῷ τῆσ ΑΒΓΗ πυραμίδοσ ὕψει· ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΑΒΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτωσ τὸ τῆσ ΔΕΖΘ πυραμίδοσ ὕψοσ πρὸσ τὸ τῆσ ΑΒΓΗ πυραμίδοσ ὕψοσ. τῶν ΑΒΓΗ, ΔΕΖΘ ἄρα πυραμίδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεισ τοῖσ ὕψεσιν. Ἀλλὰ δὴ τῶν ΑΒΓΗ, ΔΕΖΘ πυραμίδων ἀντιπεπονθέτωσαν αἱ βάσεισ τοῖσ ὕψεσιν, καὶ ἔστω ὡσ ἡ ΑΒΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτωσ τὸ τῆσ ΔΕΖΘ πυραμίδοσ ὕψοσ πρὸσ τὸ τῆσ ΑΒΓΗ πυραμίδοσ ὕψοσ· λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶσ τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι. Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ ΑΒΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτωσ τὸ τῆσ ΔΕΖΘ πυραμίδοσ ὕψοσ πρὸσ τὸ τῆσ ΑΒΓΗ πυραμίδοσ ὕψοσ, ἀλλ’ ὡσ ἡ ΑΒΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτωσ τὸ ΒΜ παραλληλόγραμμον πρὸσ τὸ ΕΠ παραλληλόγραμμον, καὶ ὡσ ἄρα τὸ ΒΜ παραλληλόγραμμον πρὸσ τὸ ΕΠ παραλληλόγραμμον, οὕτωσ τὸ τῆσ ΔΕΖΘ πυραμίδοσ ὕψοσ πρὸσ τὸ τῆσ ΑΒΓΗ πυραμίδοσ ὕψοσ. ἀλλὰ τὸ [μὲν] τῆσ ΔΕΖΘ πυραμίδοσ ὕψοσ τὸ αὐτό ἐστι τῷ τοῦ ΕΘΠΟ παραλληλεπιπέδου ὕψει, τὸ δὲ τῆσ ΑΒΓΗ πυραμίδοσ ὕψοσ τὸ αὐτό ἐστι τῷ τοῦ ΒΗΜΛ παραλληλεπιπέδου ὕψει· ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΒΜ βάσισ πρὸσ τὴν ΕΠ βάσιν, οὕτωσ τὸ τοῦ ΕΘΠΟ παραλληλεπιπέδου ὕψοσ πρὸσ τὸ τοῦ ΒΗΜΛ παραλληλεπιπέδου ὕψοσ. ὧν δὲ στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεισ τοῖσ ὕψεσιν, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΗΜΛ στερεὸν παραλληλεπίπεδον τῷ ΕΘ ΠΟ στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ. καί ἐστι τοῦ μὲν ΒΗΜΛ ἕκτον μέροσ ἡ ΑΒΓΗ πυραμίσ, τοῦ δὲ ΕΘΠΟ παραλληλεπιπέδου ἕκτον μέροσ ἡ ΔΕΖΘ πυραμίσ· ἴση ἄρα ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶσ τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι. Τῶν ἄρα ἴσων πυραμίδων καὶ τριγώνουσ βάσεισ ἐχουσῶν ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεισ τοῖσ ὕψεσιν· καὶ ὧν πυραμίδων τριγώνουσ βάσεισ ἐχουσῶν ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεισ τοῖσ ὕψεσιν, ἴσαι εἰσὶν ἐκεῖναι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Πᾶσ κῶνοσ κυλίνδρου τρίτον μέροσ ἐστὶ τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντοσ αὐτῷ καὶ ὕψοσ ἴσον. Ἐχέτω γὰρ κῶνοσ κυλίνδρῳ βάσιν τε τὴν αὐτὴν τὸν ΑΒΓΔ κύκλον καὶ ὕψοσ ἴσον· λέγω, ὅτι ὁ κῶνοσ τοῦ κυλίνδρου τρίτον ἐστὶ μέροσ, τουτέστιν ὅτι ὁ κύλινδροσ τοῦ κώνου τριπλασίων ἐστίν. Εἰ γὰρ μή ἐστιν ὁ κύλινδροσ τοῦ κώνου τριπλασίων, ἔσται ὁ κύλινδροσ τοῦ κώνου ἤτοι μείζων ἢ τριπλασίων ἢ ἐλάσσων ἢ τριπλασίων. ἔστω πρότερον μείζων ἢ τριπλασίων, καὶ ἐγγεγράφθω εἰσ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τετράγωνον τὸ ΑΒΓΔ· τὸ δὴ ΑΒΓΔ τετράγωνον μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου. καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ ΑΒΓΔ τετραγώνου πρίσμα ἰσουψὲσ τῷ κυλίνδρῳ. τὸ δὴ ἀνιστάμενον πρίσμα μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ κυλίνδρου, ἐπειδήπερ κἂν περὶ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τετράγωνον περιγράψωμεν, τὸ ἐγγεγραμμένον εἰσ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τετράγωνον ἥμισύ ἐστι τοῦ περιγεγραμμένου· καί ἐστι τὰ ἀπ’ αὐτῶν ἀνιστάμενα στερεὰ παραλληλεπίπεδα πρίσματα ἰσοϋψῆ· τὰ δὲ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψοσ ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα πρὸσ ἄλληλά ἐστιν ὡσ αἱ βάσεισ· καὶ τὸ ἐπὶ τοῦ ΑΒΓΔ ἄρα τετραγώνου ἀνασταθὲν πρίσμα ἥμισύ ἐστι τοῦ ἀνασταθέντοσ πρίσματοσ ἀπὸ τοῦ περὶ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον περιγραφέντοσ τετραγώνου· καί ἐστιν ὁ κύλινδροσ ἐλάττων τοῦ πρίσματοσ τοῦ ἀνασταθέντοσ ἀπὸ τοῦ περὶ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον περιγραφέντοσ τετραγώνου· τὸ ἄρα πρίσμα τὸ ἀνασταθὲν ἀπὸ τοῦ ΑΒΓΔ τετραγώνου ἰσοϋψὲσ τῷ κυλίνδρῳ μεῖζόν ἐστι τοῦ ἡμίσεωσ τοῦ κυλίνδρου. τετμήσθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ Ε, Ζ, Η, Θ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ, ΕΒ, ΒΖ, ΖΓ, ΓΗ, ΗΔ, ΔΘ, ΘΑ· καὶ ἕκαστον ἄρα τῶν ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ, ΔΘΑ τριγώνων μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ καθ’ ἑαυτὸ τμήματοσ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου, ὡσ ἔμπροσθεν ἐδείκνυμεν. ἀνεστάτω ἐφ’ ἑκάστου τῶν ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ, ΔΘΑ τριγώνων πρίσματα ἰσουψῆ τῷ κυλίνδρῳ· καὶ ἕκαστον ἄρα τῶν ἀνασταθέντων πρισμάτων μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ μέροσ τοῦ καθ’ ἑαυτὸ τμήματοσ τοῦ κυλίνδρου, ἐπειδήπερ ἐὰν διὰ τῶν Ε, Ζ, Η, Θ σημείων παραλλήλουσ ταῖσ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ ἀγάγωμεν, καὶ συμπληρώσωμεν τὰ ἐπὶ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ παραλληλόγραμμα, καὶ ἀπ’ αὐτῶν ἀναστήσωμεν στερεὰ παραλληλεπίπεδα ἰσοϋψῆ τῷ κυλίνδρῳ, ἑκάστου τῶν ἀνασταθέντων ἡμίση ἐστὶ τὰ πρίσματα τὰ ἐπὶ τῶν ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ, ΔΘΑ τριγώνων· καί ἐστι τὰ τοῦ κυλίνδρου τμήματα ἐλάττονα τῶν ἀνασταθέντων στερεῶν παραλληλεπιπέδων· ὥστε καὶ τὰ ἐπὶ τῶν ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ, ΔΘΑ τριγώνων πρίσματα μείζονά ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τῶν καθ’ ἑαυτὰ τοῦ κυλίνδρου τμημάτων. τέμνοντεσ δὴ τὰσ ὑπολειπομένασ περιφερείασ δίχα καὶ ἐπιζευγνύντεσ εὐθείασ καὶ ἀνιστάντεσ ἐφ’ ἑκάστου τῶν τριγώνων πρίσματα ἰσοϋψῆ τῷ κυλίνδρῳ καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιοῦντεσ καταλείψομέν τινα ἀποτμήματα τοῦ κυλίνδρου, ἃ ἔσται ἐλάττονα τῆσ ὑπεροχῆσ, ᾗ ὑπερέχει ὁ κύλινδροσ τοῦ τριπλασίου τοῦ κώνου. λελείφθω, καὶ ἔστω τὰ ΑΕ, ΕΒ, ΒΖ, ΖΓ, ΓΗ, ΗΔ, ΔΘ, ΘΑ· λοιπὸν ἄρα τὸ πρίσμα, οὗ βάσισ μὲν τὸ ΑΕΒΖ ΓΗΔΘ πολύγωνον, ὕψοσ δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ, μεῖζόν ἐστιν ἢ τριπλάσιον τοῦ κώνου. ἀλλὰ τὸ πρίσμα, οὗ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον, ὕψοσ δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ, τριπλάσιόν ἐστι τῆσ πυραμίδοσ, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ ἡ αὐτὴ τῷ κώνῳ· καὶ ἡ πυραμὶσ ἄρα, ἧσ βάσισ μὲν [ἐστι] τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ ἡ αὐτὴ τῷ κώνῳ, μείζων ἐστὶ τοῦ κώνου τοῦ βάσιν ἔχοντοσ τὸν ΑΒ ΓΔ κύκλον. ἀλλὰ καὶ ἐλάττων· ἐμπεριέχεται γὰρ ὑπ’ αὐτοῦ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἐστὶν ὁ κύλινδροσ τοῦ κώνου μείζων ἢ τριπλάσιοσ. Λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ἐλάττων ἐστὶν ἢ τριπλάσιοσ ὁ κύλινδροσ τοῦ κώνου. Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ἐλάττων ἢ τριπλάσιοσ ὁ κύλινδροσ τοῦ κώνου· ἀνάπαλιν ἄρα ὁ κῶνοσ τοῦ κυλίνδρου μείζων ἐστὶν ἢ τρίτον μέροσ. ἐγγεγράφθω δὴ εἰσ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τετράγωνον τὸ ΑΒΓΔ· τὸ ΑΒΓΔ ἄρα τετράγωνον μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου. καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ ΑΒΓΔ τετραγώνου πυραμὶσ τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσα τῷ κώνῳ· ἡ ἄρα ἀνασταθεῖσα πυραμὶσ μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ μέροσ τοῦ κώνου, ἐπειδήπερ, ὡσ ἔμπροσθεν ἐδείκνυμεν, ὅτι ἐὰν περὶ τὸν κύκλον τετράγωνον περιγράψωμεν, ἔσται τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον ἥμισυ τοῦ περὶ τὸν κύκλον περιγεγραμμένου τετραγώνου· καὶ ἐὰν ἀπὸ τῶν τετραγώνων στερεὰ παραλληλεπίπεδα ἀναστήσωμεν ἰσοϋψῆ τῷ κώνῳ, ἃ καὶ καλεῖται πρίσματα, ἔσται τὸ ἀνασταθὲν ἀπὸ τοῦ ΑΒΓΔ τετραγώνου ἥμισυ τοῦ ἀνασταθέντοσ ἀπὸ τοῦ περὶ τὸν κύκλον περιγραφέντοσ τετραγώνου· πρὸσ ἄλληλα γάρ εἰσιν ὡσ αἱ βάσεισ. ὥστε καὶ τὰ τρίτα· καὶ πυραμὶσ ἄρα, ἧσ βάσισ τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον, ἥμισύ ἐστι τῆσ πυραμίδοσ τῆσ ἀνασταθείσησ ἀπὸ τοῦ περὶ τὸν κύκλον περιγραφέντοσ τετραγώνου. καί ἐστι μείζων ἡ πυραμὶσ ἡ ἀνασταθεῖσα ἀπὸ τοῦ περὶ τὸν κύκλον τετραγώνου τοῦ κώνου· ἐμπεριέχει γὰρ αὐτόν. ἡ ἄρα πυραμὶσ, ἧσ βάσισ τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον, κορυφὴ δὲ ἡ αὐτὴ τῷ κώνῳ, μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ κώνου. τετμήσθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ Ε, Ζ, Η, Θ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ, ΕΒ, ΒΖ, ΖΓ, ΓΗ, ΗΔ, ΔΘ, ΘΑ· καὶ ἕκαστον ἄρα τῶν ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ, ΔΘΑ τριγώνων μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ μέροσ τοῦ καθ’ ἑαυτὸ τμήματοσ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου. καὶ ἀνεστάτωσαν ἐφ’ ἑκάστου τῶν ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ, ΔΘΑ τριγώνων πυραμίδεσ τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσαι τῷ κώνῳ· καὶ ἑκάστη ἄρα τῶν ἀνασταθεισῶν πυραμίδων κατὰ τὸν αὐτὸν τρόπον μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ μέροσ τοῦ καθ’ ἑαυτὴν τμήματοσ τοῦ κώνου. τέμνοντεσ δὴ τὰσ ὑπολειπομένασ περιφερείασ δίχα καὶ ἐπιζευγνύντεσ εὐθείασ καὶ ἀνιστάντεσ ἐφ’ ἑκάστου τῶν τριγώνων πυραμίδα τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσαν τῷ κώνῳ καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιοῦντεσ καταλείψομέν τινα ἀποτμήματα τοῦ κώνου, ἃ ἔσται ἐλάττονα τῆσ ὑπεροχῆσ, ᾗ ὑπερέχει ὁ κῶνοσ τοῦ τρίτου μέρουσ τοῦ κυλίνδρου. λελείφθω, καὶ ἔστω τὰ ἐπὶ τῶν ΑΕ, ΕΒ, ΒΖ, ΖΓ, ΓΗ, ΗΔ, ΔΘ, ΘΑ· λοιπὴ ἄρα ἡ πυραμίσ, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ ἡ αὐτὴ τῷ κώνῳ, μείζων ἐστὶν ἢ τρίτον μέροσ τοῦ κυλίνδρου. ἀλλ’ ἡ πυραμίσ, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΑΕΒΖΓ ΗΔΘ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ ἡ αὐτὴ τῷ κώνῳ, τρίτον ἐστὶ μέροσ τοῦ πρίσματοσ, οὗ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΑΕΒΖΓ ΗΔΘ πολύγωνον, ὕψοσ δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ· τὸ ἄρα πρίσμα, οὗ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον, ὕψοσ δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ, μεῖζόν ἐστι τοῦ κυλίνδρου, οὗ βάσισ ἐστὶν ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ. ἀλλὰ καὶ ἔλαττον· ἐμπεριέχεται γὰρ ὑπ’ αὐτοῦ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ὁ κύλινδροσ τοῦ κώνου ἐλάττων ἐστὶν ἢ τριπλάσιοσ. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ μείζων ἢ τριπλάσιοσ· τριπλάσιοσ ἄρα ὁ κύλινδροσ τοῦ κώνου· ὥστε ὁ κῶνοσ τρίτον ἐστὶ μέροσ τοῦ κυλίνδρου. Πᾶσ ἄρα κῶνοσ κυλίνδρου τρίτον μέροσ ἐστὶ τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντοσ αὐτῷ καὶ ὕψοσ ἴσον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Οἱ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψοσ ὄντεσ κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσὶν ὡσ αἱ βάσεισ. Ἔστωσαν ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψοσ κῶνοι καὶ κύλινδροι, ὧν βάσεισ μὲν [εἰσιν] οἱ ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ κύκλοι, ἄξονεσ δὲ οἱ ΚΛ, ΜΝ, διάμετροι δὲ τῶν βάσεων αἱ ΑΓ, ΕΗ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡσ ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ πρὸσ τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτωσ ὁ ΑΛ κῶνοσ πρὸσ τὸν ΕΝ κῶνον. Εἰ γὰρ μή, ἔσται ὡσ ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ πρὸσ τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτωσ ὁ ΑΛ κῶνοσ ἤτοι πρὸσ ἔλασσόν τι τοῦ ΕΝ κώνου στερεὸν ἢ πρὸσ μεῖζον. ἔστω πρότερον πρὸσ ἔλασσον τὸ Ξ, καὶ ᾧ ἔλασσόν ἐστι τὸ Ξ στερεὸν τοῦ ΕΝ κώνου, ἐκείνῳ ἴσον ἔστω τὸ Ψ στερεόν· ὁ ΕΝ κῶνοσ ἄρα ἴσοσ ἐστὶ τοῖσ Ξ, Ψ στερεοῖσ. ἐγγεγράφθω εἰσ τὸν ΕΖΗΘ κύκλον τετράγωνον τὸ ΕΖΗΘ· τὸ ἄρα τετράγωνον μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ κύκλου. ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ ΕΖ ΗΘ τετραγώνου πυραμὶσ ἰσοϋψὴσ τῷ κώνῳ· ἡ ἄρα ἀνασταθεῖσα πυραμὶσ μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ κώνου, ἐπειδήπερ ἐὰν περιγράψωμεν περὶ τὸν κύκλον τετράγωνον, καὶ ἀπ’ αὐτοῦ ἀναστήσωμεν πυραμίδα ἰσοϋψῆ τῷ κώνῳ, ἡ ἐγγραφεῖσα πυραμὶσ ἥμισύ ἐστι τῆσ περιγραφείσησ· πρὸσ ἀλλήλασ γάρ εἰσιν ὡσ αἱ βάσεισ· ἐλάττων δὲ ὁ κῶνοσ τῆσ περιγραφείσησ πυραμίδοσ. τετμήσθωσαν αἱ ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΕ περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ Ο, Π, Ρ, Σ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΟ, ΟΕ, ΕΠ, ΠΖ, ΖΡ, ΡΗ, ΗΣ, ΣΘ. ἕκαστον ἄρα τῶν ΘΟΕ, ΕΠΖ, ΖΡΗ, ΗΣΘ τριγώνων μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ καθ’ ἑαυτὸ τμήματοσ τοῦ κύκλου. ἀνεστάτω ἐφ’ ἑκάστου τῶν ΘΟΕ, ΕΠΖ, ΖΡΗ, ΗΣΘ τριγώνων πυραμὶσ ἰσοϋψὴσ τῷ κώνῳ· καὶ ἑκάστη ἄρα τῶν ἀνασταθεισῶν πυραμίδων μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ καθ’ ἑαυτὴν τμήματοσ τοῦ κώνου. τέμνοντεσ δὴ τὰσ ὑπολειπομένασ περιφερείασ δίχα καὶ ἐπιζευγνύντεσ εὐθείασ καὶ ἀνιστάντεσ ἐπὶ ἑκάστου τῶν τριγώνων πυραμίδασ ἰσοϋψεῖσ τῷ κώνῳ καὶ ἀεὶ τοῦτο ποιοῦντεσ καταλείψομέν τινα ἀποτμήματα τοῦ κώνου, ἃ ἔσται ἐλάσσονα τοῦ Ψ στερεοῦ. λελείφθω, καὶ ἔστω τὰ ἐπὶ τῶν ΘΟΕ, ΕΠΖ, ΖΡΗ, ΗΣΘ· λοιπὴ ἄρα ἡ πυραμίσ, ἧσ βάσισ τὸ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολύγωνον, ὕψοσ δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κώνῳ, μείζων ἐστὶ τοῦ Ξ στερεοῦ. ἐγγεγράφθω καὶ εἰσ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τῷ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολυγώνῳ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίωσ κείμενον πολύγωνον τὸ ΔΤΑΥΒ ΦΓΧ, καὶ ἀνεστάτω ἐπ’ αὐτοῦ πυραμὶσ ἰσοϋψὴσ τῷ ΑΛ κώνῳ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΓ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΕΗ, οὕτωσ τὸ ΔΤΑΥΒΦΓΧ πολύγωνον πρὸσ τὸ ΘΟΕ ΠΖΡΗΣ πολύγωνον, ὡσ δὲ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΓ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΕΗ, οὕτωσ ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ πρὸσ τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, καὶ ὡσ ἄρα ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ πρὸσ τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτωσ τὸ ΔΤΑΥΒΦΓΧ πολύγωνον πρὸσ τὸ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολύγωνον. ὡσ δὲ ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ πρὸσ τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτωσ ὁ ΑΛ κῶνοσ πρὸσ τὸ Ξ στερεόν, ὡσ δὲ τὸ ΔΤΑΥΒΦΓΧ πολύγωνον πρὸσ τὸ ΘΟΕΠΖ ΡΗΣ πολύγωνον, οὕτωσ ἡ πυραμίσ, ἧσ βάσισ μὲν τὸ ΔΤΑΥΒΦΓΧ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, πρὸσ τὴν πυραμίδα, ἧσ βάσισ μὲν τὸ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον. καὶ ὡσ ἄρα ὁ ΑΛ κῶνοσ πρὸσ τὸ Ξ στερεόν, οὕτωσ ἡ πυραμίσ, ἧσ βάσισ μὲν τὸ ΔΤΑΥΒΦΓΧ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, πρὸσ τὴν πυραμίδα, ἧσ βάσισ μὲν τὸ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον· ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡσ ὁ ΑΛ κῶνοσ πρὸσ τὴν ἐν αὐτῷ πυραμίδα, οὕτωσ τὸ Ξ στερεὸν πρὸσ τὴν ἐν τῷ ΕΝ κώνῳ πυραμίδα. μείζων δὲ ὁ ΑΛ κῶνοσ τῆσ ἐν αὐτῷ πυραμίδοσ· μεῖζον ἄρα καὶ τὸ Ξ στερεὸν τῆσ ἐν τῷ ΕΝ κώνῳ πυραμίδοσ. ἀλλὰ καὶ ἔλασσον· ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡσ ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ πρὸσ τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτωσ ὁ ΑΛ κῶνοσ πρὸσ ἔλασσόν τι τοῦ ΕΝ κώνου στερεόν. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδέ ἐστιν ὡσ ὁ ΕΖΗΘ κύκλοσ πρὸσ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, οὕτωσ ὁ ΕΝ κῶνοσ πρὸσ ἔλασσόν τι τοῦ ΑΛ κώνου στερεόν. Λέγω δή, ὅτι οὐδέ ἐστιν ὡσ ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ πρὸσ τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτωσ ὁ ΑΛ κῶνοσ πρὸσ μεῖζόν τι τοῦ ΕΝ κώνου στερεόν. Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω πρὸσ μεῖζον τὸ Ξ· ἀνάπαλιν ἄρα ἐστὶν ὡσ ὁ ΕΖΗΘ κύκλοσ πρὸσ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, οὕτωσ τὸ Ξ στερεὸν πρὸσ τὸν ΑΛ κῶνον. ἀλλ’ ὡσ τὸ Ξ στερεὸν πρὸσ τὸν ΑΛ κῶνον, οὕτωσ ὁ ΕΝ κῶνοσ πρὸσ ἔλασσόν τι τοῦ ΑΛ κώνου στερεόν· καὶ ὡσ ἄρα ὁ ΕΖΗΘ κύκλοσ πρὸσ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, οὕτωσ ὁ ΕΝ κῶνοσ πρὸσ ἔλασσόν τι τοῦ ΑΛ κώνου στερεόν· ὅπερ ἀδύνατον ἐδείχθη. οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡσ ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ πρὸσ τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτωσ ὁ ΑΛ κῶνοσ πρὸσ μεῖζόν τι τοῦ ΕΝ κώνου στερεόν. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ πρὸσ ἔλασσον· ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ πρὸσ τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτωσ ὁ ΑΛ κῶνοσ πρὸσ τὸν ΕΝ κῶνον. Ἀλλ’ ὡσ ὁ κῶνοσ πρὸσ τὸν κῶνον, ὁ κύλινδροσ πρὸσ τὸν κύλινδρον· τριπλασίων γὰρ ἑκάτεροσ ἑκατέρου. καὶ ὡσ ἄρα ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ πρὸσ τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτωσ οἱ ἐπ’ αὐτῶν ἰσοϋψεῖσ [τοῖσ κώνοισ] κύλινδροι. Οἱ ἄρα ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψοσ ὄντεσ κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσὶν ὡσ αἱ βάσεισ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Οἱ ὅμοιοι κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸσ ἀλλήλουσ ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ἐν ταῖσ βάσεσι διαμέτρων. Ἔστωσαν ὅμοιοι κῶνοι καὶ κύλινδροι, ὧν βάσεισ μὲν οἱ ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ κύκλοι, διάμετροι δὲ τῶν βάσεων αἱ ΒΔ, ΖΘ, ἄξονεσ δὲ τῶν κώνων καὶ κυλίνδρων οἱ ΚΛ, ΜΝ· λέγω, ὅτι ὁ κῶνοσ, οὗ βάσισ μὲν [ἐστιν] ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, πρὸσ τὸν κῶνον, οὗ βάσισ μὲν [ἐστιν] ὁ ΕΖΗΘ κύκλοσ, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον, τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΖΘ. Εἰ γὰρ μὴ ἔχει ὁ ΑΒΓΔΛ κῶνοσ πρὸσ τὸν ΕΖΗΘΝ κῶνον τριπλασίονα λόγον ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΖΘ, ἕξει ὁ ΑΒΓΔΛ κῶνοσ ἢ πρὸσ ἔλασσόν τι τοῦ ΕΖΗΘΝ κώνου στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἢ πρὸσ μεῖζον. ἐχέτω πρότερον πρὸσ ἔλασσον τὸ Ξ, καὶ ἐγγεγράφθω εἰσ τὸν ΕΖΗΘ κύκλον τετράγωνον τὸ ΕΖΗΘ· τὸ ἄρα ΕΖΗΘ τετράγωνον μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου. καὶ ἀνεστάτω ἐπὶ τοῦ ΕΖΗΘ τετραγώνου πυραμὶσ τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσα τῷ κώνῳ· ἡ ἄρα ἀνασταθεῖσα πυραμὶσ μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ μέροσ τοῦ κώνου. τετμήσθωσαν δὴ αἱ ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΕ περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ Ο, Π, Ρ, Σ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΟ, ΟΖ, ΖΠ, ΠΗ, ΗΡ, ΡΘ, ΘΣ, ΣΕ. καὶ ἕκαστον ἄρα τῶν ΕΟΖ, ΖΠΗ, ΗΡΘ, ΘΣΕ τριγώνων μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ μέροσ τοῦ καθ’ ἑαυτὸ τμήματοσ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου. καὶ ἀνεστάτω ἐφ’ ἑκάστου τῶν ΕΟΖ, ΖΠΗ, ΗΡΘ, ΘΣΕ τριγώνων πυραμὶσ τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσα τῷ κώνῳ· καὶ ἑκάστη ἄρα τῶν ἀνασταθεισῶν πυραμίδων μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ μέροσ τοῦ καθ’ ἑαυτὴν τμήματοσ τοῦ κώνου. τέμνοντεσ δὴ τὰσ ὑπολειπομένασ περιφερείασ δίχα καὶ ἐπιζευγνύντεσ εὐθείασ καὶ ἀνιστάντεσ ἐφ’ ἑκάστου τῶν τριγώνων πυραμίδασ τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἐχούσασ τῷ κώνῳ καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιοῦντεσ καταλείψομέν τινα ἀποτμήματα τοῦ κώνου, ἃ ἔσται ἐλάσσονα τῆσ ὑπεροχῆσ, ᾗ ὑπερέχει ὁ ΕΖΗΘΝ κῶνοσ τοῦ Ξ στερεοῦ. λελείφθω, καὶ ἔστω τὰ ἐπὶ τῶν ΕΟ, ΟΖ, ΖΠ, ΠΗ, ΗΡ, ΡΘ, ΘΣ, ΣΕ· λοιπὴ ἄρα ἡ πυραμίσ, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον, μείζων ἐστὶ τοῦ Ξ στερεοῦ. ἐγγεγράφθω καὶ εἰσ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τῷ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολυγώνῳ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίωσ κείμενον πολύγωνον τὸ ΑΤΒΥΓΦΔΧ, καὶ ἀνεστάτω ἐπὶ τοῦ ΑΤΒΥΓΦΔΧ πολυγώνου πυραμὶσ τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσα τῷ κώνῳ, καὶ τῶν μὲν περιεχόντων τὴν πυραμίδα, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΑΤΒΥ ΓΦΔΧ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, ἓν τρίγωνον ἔστω τὸ ΛΒΤ, τῶν δὲ περιεχόντων τὴν πυραμίδα, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον, ἓν τρίγωνον ἔστω τὸ ΝΖΟ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΤ, ΜΟ. καὶ ἐπεὶ ὅμοιόσ ἐστιν ὁ ΑΒΓΔΛ κῶνοσ τῷ ΕΖΗΘΝ κώνῳ, ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΖΘ, οὕτωσ ὁ ΚΛ ἄξων πρὸσ τὸν ΜΝ ἄξονα. ὡσ δὲ ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΖΘ, οὕτωσ ἡ ΒΚ πρὸσ τὴν ΖΜ· καὶ ὡσ ἄρα ἡ ΒΚ πρὸσ τὴν ΖΜ, οὕτωσ ἡ ΚΛ πρὸσ τὴν ΜΝ. καὶ ἐναλλὰξ ὡσ ἡ ΒΚ πρὸσ τὴν ΚΛ, οὕτωσ ἡ ΖΜ πρὸσ τὴν ΜΝ. καὶ περὶ ἴσασ γωνίασ τὰσ ὑπὸ ΒΚΛ, ΖΜΝ αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν· ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΚΛ τρίγωνον τῷ ΖΜΝ τριγώνῳ. πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ ΒΚ πρὸσ τὴν ΚΤ, οὕτωσ ἡ ΖΜ πρὸσ τὴν ΜΟ, καὶ περὶ ἴσασ γωνίασ τὰσ ὑπὸ ΒΚΤ, ΖΜΟ, ἐπειδήπερ, ὃ μέροσ ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΚΤ γωνία τῶν πρὸσ τῷ Κ κέντρῳ τεσσάρων ὀρθῶν, τὸ αὐτὸ μέροσ ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΜΟ γωνία τῶν πρὸσ τῷ Μ κέντρῳ τεσσάρων ὀρθῶν· ἐπεὶ οὖν περὶ ἴσασ γωνίασ αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν, ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΚΤ τρίγωνον τῷ ΖΜΟ τριγώνῳ. πάλιν, ἐπεὶ ἐδείχθη ὡσ ἡ ΒΚ πρὸσ τὴν ΚΛ, οὕτωσ ἡ ΖΜ πρὸσ τὴν ΜΝ, ἴση δὲ ἡ μὲν ΒΚ τῇ ΚΤ, ἡ δὲ ΖΜ τῇ ΟΜ, ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΤΚ πρὸσ τὴν ΚΛ, οὕτωσ ἡ ΟΜ πρὸσ τὴν ΜΝ. καὶ περὶ ἴσασ γωνίασ τὰσ ὑπὸ ΤΚΛ, ΟΜΝ· ὀρθαὶ γάρ· αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν· ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΚΤ τρίγωνον τῷ ΝΜΟ τριγώνῳ. καὶ ἐπεὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΛΚΒ, ΝΜΖ τριγώνων ἐστὶν ὡσ ἡ ΛΒ πρὸσ τὴν ΒΚ, οὕτωσ ἡ ΝΖ πρὸσ τὴν ΖΜ, διὰ δὲ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΒΚΤ, ΖΜΟ τριγώνων ἐστὶν ὡσ ἡ ΚΒ πρὸσ τὴν ΒΤ, οὕτωσ ἡ ΜΖ πρὸσ τὴν ΖΟ, δι’ ἴσου ἄρα ὡσ ἡ ΛΒ πρὸσ τὴν ΒΤ, οὕτωσ ἡ ΝΖ πρὸσ τὴν ΖΟ. πάλιν, ἐπεὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΛΤΚ, ΝΟΜ τριγώνων ἐστὶν ὡσ ἡ ΛΤ πρὸσ τὴν ΤΚ, οὕτωσ ἡ ΝΟ πρὸσ τὴν ΟΜ, διὰ δὲ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΤΚΒ, ΟΜΖ τριγώνων ἐστὶν ὡσ ἡ ΚΤ πρὸσ τὴν ΤΒ, οὕτωσ ἡ ΜΟ πρὸσ τὴν ΟΖ, δι’ ἴσου ἄρα ὡσ ἡ ΛΤ πρὸσ τὴν ΤΒ, οὕτωσ ἡ ΝΟ πρὸσ τὴν ΟΖ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡσ ἡ ΤΒ πρὸσ τὴν ΒΛ, οὕτωσ ἡ ΟΖ πρὸσ τὴν ΖΝ. δι’ ἴσου ἄρα ὡσ ἡ ΤΛ πρὸσ τὴν ΛΒ, οὕτωσ ἡ ΟΝ πρὸσ τὴν ΝΖ. τῶν ΛΤΒ, ΝΟΖ ἄρα τριγώνων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραί· ἰσογώνια ἄρα ἐστὶ τὰ ΛΤΒ, ΝΟΖ τρίγωνα· ὥστε καὶ ὅμοια. καὶ πυραμὶσ ἄρα, ἧσ βάσισ μὲν τὸ ΒΚΤ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, ὁμοία ἐστὶ πυραμίδι, ἧσ βάσισ μὲν τὸ ΖΜΟ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον· ὑπὸ γὰρ ὁμοίων ἐπιπέδων περιέχονται ἴσων τὸ πλῆθοσ. αἱ δὲ ὅμοιαι πυραμίδεσ καὶ τριγώνουσ ἔχουσαι βάσεισ ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν. ἡ ἄρα ΒΚΤΛ πυραμὶσ πρὸσ τὴν ΖΜΟΝ πυραμίδα τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΚ πρὸσ τὴν ΖΜ. ὁμοίωσ δὴ ἐπιζευγνύντεσ ἀπὸ τῶν Α, Χ, Δ, Φ, Γ, Υ ἐπὶ τὸ Κ εὐθείασ καὶ ἀπὸ τῶν Ε, Σ, Θ, Ρ, Η, Π ἐπὶ τὸ Μ καὶ ἀνιστάντεσ ἐφ’ ἑκάστου τῶν τριγώνων πυραμίδασ τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἐχούσασ τοῖσ κώνοισ δείξομεν, ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν ὁμοταγῶν πυραμίδων πρὸσ ἑκάστην ὁμοταγῆ πυραμίδα τριπλασίονα λόγον ἕξει ἤπερ ἡ ΒΚ ὁμόλογοσ πλευρὰ πρὸσ τὴν ΖΜ ὁμόλογον πλευράν, τουτέστιν ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΖΘ. καὶ ὡσ ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸσ ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτωσ ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸσ ἅπαντα τὰ ἑπόμενα· ἔστιν ἄρα καὶ ὡσ ἡ ΒΚΤΛ πυραμὶσ πρὸσ τὴν ΖΜΟΝ πυραμίδα, οὕτωσ ἡ ὅλη πυραμίσ, ἧσ βάσισ τὸ ΑΤΒΥΓΦΔΧ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, πρὸσ τὴν ὅλην πυραμίδα, ἧσ βάσισ μὲν τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον· ὥστε καὶ πυραμίσ, ἧσ βάσισ μὲν τὸ ΑΤΒΥΓΦΔΧ, κορυφὴ δὲ τὸ Λ, πρὸσ τὴν πυραμίδα, ἧσ βάσισ [μὲν] τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον, τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΖΘ. ὑπόκειται δὲ καὶ ὁ κῶνοσ, οὗ βάσισ [μὲν] ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, πρὸσ τὸ Ξ στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχων ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΖΘ· ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ κῶνοσ, οὗ βάσισ μέν ἐστιν ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ, κορυφὴ δὲ τὸ Λ, πρὸσ τὸ Ξ στερεόν, οὕτωσ ἡ πυραμίσ, ἧσ βάσισ μὲν τὸ ΑΤΒΥΓΦΔΧ [πολύγωνον], κορυφὴ δὲ τὸ Λ, πρὸσ τὴν πυραμίδα, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν· ἐναλλὰξ ἄρα, ὡσ ὁ κῶνοσ, οὗ βάσισ μὲν ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ, κορυφὴ δὲ τὸ Λ, πρὸσ τὴν ἐν αὐτῷ πυραμίδα, ἧσ βάσισ μὲν τὸ ΑΤΒΥΓΦΔΧ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Λ, οὕτωσ τὸ Ξ [στερεὸν] πρὸσ τὴν πυραμίδα, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν. μείζων δὲ ὁ εἰρημένοσ κῶνοσ τῆσ ἐν αὐτῷ πυραμίδοσ· ἐμπεριέχει γὰρ αὐτήν. μεῖζον ἄρα καὶ τὸ Ξ στερεὸν τῆσ πυραμίδοσ, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν. ἀλλὰ καὶ ἔλαττον· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ὁ κῶνοσ, οὗ βάσισ ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ, κορυφὴ δὲ τὸ Λ [σημεῖον], πρὸσ ἔλαττόν τι τοῦ κώνου στερεόν, οὗ βάσισ μὲν ὁ ΕΖΗΘ κύκλοσ, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον, τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΖΘ. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ὁ ΕΖΗΘΝ κῶνοσ πρὸσ ἔλαττόν τι τοῦ ΑΒΓΔΛ κώνου στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΘ πρὸσ τὴν ΒΔ. Λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ὁ ΑΒΓΔΛ κῶνοσ πρὸσ μεῖζόν τι τοῦ ΕΖΗΘΝ κώνου στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΖΘ. Εἰ γὰρ δυνατόν, ἐχέτω πρὸσ μεῖζον τὸ Ξ. ἀνάπαλιν ἄρα τὸ Ξ στερεὸν πρὸσ τὸν ΑΒΓΔΛ κῶνον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΘ πρὸσ τὴν ΒΔ. ὡσ δὲ τὸ Ξ στερεὸν πρὸσ τὸν ΑΒΓΔΛ κῶνον, οὕτωσ ὁ ΕΖΗΘΝ κῶνοσ πρὸσ ἔλαττόν τι τοῦ ΑΒΓΔΛ κώνου στερεόν. καὶ ὁ ΕΖΗΘΝ ἄρα κῶνοσ πρὸσ ἔλαττόν τι τοῦ ΑΒΓΔΛ κώνου στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΘ πρὸσ τὴν ΒΔ· ὅπερ ἀδύνατον ἐδείχθη. οὐκ ἄρα ὁ ΑΒΓΔΛ κῶνοσ πρὸσ μεῖζόν τι τοῦ ΕΖΗΘΝ κώνου στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΖΘ. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ πρὸσ ἔλαττον. ὁ ΑΒΓΔΛ ἄρα κῶνοσ πρὸσ τὸν ΕΖΗΘΝ κῶνον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΖΘ. Ὡσ δὲ ὁ κῶνοσ πρὸσ τὸν κῶνον, ὁ κύλινδροσ πρὸσ τὸν κύλινδρον· τριπλάσιοσ γὰρ ὁ κύλινδροσ τοῦ κώνου ὁ ἐπὶ τῆσ αὐτῆσ βάσεωσ τῷ κώνῳ καὶ ἰσοϋψὴσ αὐτῷ. καὶ ὁ κύλινδροσ ἄρα πρὸσ τὸν κύλινδρον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΖΘ. Οἱ ἄρα ὅμοιοι κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸσ ἀλλήλουσ ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ἐν ταῖσ βάσεσι διαμέτρων· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν κύλινδροσ ἐπιπέδῳ τμηθῇ παραλλήλῳ ὄντι τοῖσ ἀπεναντίον ἐπιπέδοισ, ἔσται ὡσ ὁ κύλινδροσ πρὸσ τὸν κύλινδρον, οὕτωσ ὁ ἄξων πρὸσ τὸν ἄξονα. Κύλινδροσ γὰρ ὁ ΑΔ ἐπιπέδῳ τῷ ΗΘ τετμήσθω παραλλήλῳ ὄντι τοῖσ ἀπεναντίον ἐπιπέδοισ τοῖσ ΑΒ, ΓΔ, καὶ συμβαλλέτω τῷ ἄξονι τὸ ΗΘ ἐπίπεδον κατὰ τὸ Κ σημεῖον· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡσ ὁ ΒΗ κύλινδροσ πρὸσ τὸν ΗΔ κύλινδρον, οὕτωσ ὁ ΕΚ ἄξων πρὸσ τὸν ΚΖ ἄξονα. Ἐκβεβλήσθω γὰρ ὁ ΕΖ ἄξων ἐφ’ ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ τὰ Λ, Μ σημεῖα, καὶ ἐκκείσθωσαν τῷ ΕΚ ἄξονι ἴσοι ὁσοιδηποτοῦν οἱ ΕΝ, ΝΛ, τῷ δὲ ΖΚ ἴσοι ὁσοιδηποτοῦν οἱ ΖΞ, ΞΜ, καὶ νοείσθω ὁ ἐπὶ τοῦ ΛΜ ἄξονοσ κύλινδροσ ὁ ΟΧ, οὗ βάσεισ οἱ ΟΠ, ΦΧ κύκλοι. καὶ ἐκβεβλήσθω διὰ τῶν Ν, Ξ σημείων ἐπίπεδα παράλληλα τοῖσ ΑΒ, ΓΔ καὶ ταῖσ βάσεσι τοῦ ΟΧ κυλίνδρου καὶ ποιείτωσαν τοὺσ ΡΣ, ΤΥ κύκλουσ περὶ τὰ Ν, Ξ κέντρα. καὶ ἐπεὶ οἱ ΛΝ, ΝΕ, ΕΚ ἄξονεσ ἴσοι εἰσὶν ἀλλήλοισ, οἱ ἄρα ΠΡ, ΡΒ, ΒΗ κύλινδροι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσὶν ὡσ αἱ βάσεισ. ἴσαι δέ εἰσιν αἱ βάσεισ· ἴσοι ἄρα καὶ οἱ ΠΡ, ΡΒ, ΒΗ κύλινδροι ἀλλήλοισ. ἐπεὶ οὖν οἱ ΛΝ, ΝΕ, ΕΚ ἄξονεσ ἴσοι εἰσὶν ἀλλήλοισ, εἰσὶ δὲ καὶ οἱ ΠΡ, ΡΒ, ΒΗ κύλινδροι ἴσοι ἀλλήλοισ, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθοσ τῷ πλήθει, ὁσαπλασίων ἄρα ὁ ΚΛ ἄξων τοῦ ΕΚ ἄξονοσ, τοσαυταπλασίων ἔσται καὶ ὁ ΠΗ κύλινδροσ τοῦ ΗΒ κυλίνδρου. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁσαπλασίων ἐστὶν ὁ ΜΚ ἄξων τοῦ ΚΖ ἄξονοσ, τοσαυταπλασίων ἐστὶ καὶ ὁ ΧΗ κύλινδροσ τοῦ ΗΔ κυλίνδρου. καὶ εἰ μὲν ἴσοσ ἐστὶν ὁ ΚΛ ἄξων τῷ ΚΜ ἄξονι, ἴσοσ ἔσται καὶ ὁ ΠΗ κύλινδροσ τῷ ΗΧ κυλίνδρῳ, εἰ δὲ μείζων ὁ ἄξων τοῦ ἄξονοσ, μείζων καὶ ὁ κύλινδροσ τοῦ κυλίνδρου, καὶ εἰ ἐλάσσων, ἐλάσσων. τεσσάρων δὴ μεγεθῶν ὄντων, ἀξόνων μὲν τῶν ΕΚ, ΚΖ, κυλίνδρων δὲ τῶν ΒΗ, ΗΔ, εἴληπται ἰσάκισ πολλαπλάσια, τοῦ μὲν ΕΚ ἄξονοσ καὶ τοῦ ΒΗ κυλίνδρου ὅ τε ΛΚ ἄξων καὶ ὁ ΠΗ κύλινδροσ, τοῦ δὲ ΚΖ ἄξονοσ καὶ τοῦ ΗΔ κυλίνδρου ὅ τε ΚΜ ἄξων καὶ ὁ ΗΧ κύλινδροσ, καὶ δέδεικται, ὅτι εἰ ὑπερέχει ὁ ΚΛ ἄξων τοῦ ΚΜ ἄξονοσ, ὑπερέχει καὶ ὁ ΠΗ κύλινδροσ τοῦ ΗΧ κυλίνδρου, καὶ εἰ ἴσοσ, ἴσοσ, καὶ εἰ ἐλάσσων, ἐλάσσων. ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ ΕΚ ἄξων πρὸσ τὸν ΚΖ ἄξονα, οὕτωσ ὁ ΒΗ κύλινδροσ πρὸσ τὸν ΗΔ κύλινδρον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Οἱ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντεσ κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσὶν ὡσ τὰ ὕψη. Ἔστωσαν γὰρ ἐπὶ ἴσων βάσεων τῶν ΑΒ, ΓΔ κύκλων κύλινδροι οἱ ΕΒ, ΖΔ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡσ ὁ ΕΒ κύλινδροσ πρὸσ τὸν ΖΔ κύλινδρον, οὕτωσ ὁ ΗΘ ἄξων πρὸσ τὸν ΚΛ ἄξονα. Ἐκβεβλήσθω γὰρ ὁ ΚΛ ἄξων ἐπὶ τὸ Ν σημεῖον, καὶ κείσθω τῷ ΗΘ ἄξονι ἴσοσ ὁ ΛΝ, καὶ περὶ ἄξονα τὸν ΛΝ κύλινδροσ νενοήσθω ὁ ΓΜ. ἐπεὶ οὖν οἱ ΕΒ, ΓΜ κύλινδροι ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψοσ εἰσίν, πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσὶν ὡσ αἱ βάσεισ. ἴσαι δέ εἰσιν αἱ βάσεισ ἀλλήλαισ· ἴσοι ἄρα εἰσὶ καὶ οἱ ΕΒ, ΓΜ κύλινδροι. καὶ ἐπεὶ κύλινδροσ ὁ ΖΜ ἐπιπέδῳ τέτμηται τῷ ΓΔ παραλλήλῳ ὄντι τοῖσ ἀπεναντίον ἐπιπέδοισ, ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ ΓΜ κύλινδροσ πρὸσ τὸν ΖΔ κύλινδρον, οὕτωσ ὁ ΛΝ ἄξων πρὸσ τὸν ΚΛ ἄξονα. ἴσοσ δέ ἐστιν ὁ μὲν ΓΜ κύλινδροσ τῷ ΕΒ κυλίνδρῳ, ὁ δὲ ΛΝ ἄξων τῷ ΗΘ ἄξονι· ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ ΕΒ κύλινδροσ πρὸσ τὸν ΖΔ κύλινδρον, οὕτωσ ὁ ΗΘ ἄξων πρὸσ τὸν ΚΛ ἄξονα. ὡσ δὲ ὁ ΕΒ κύλινδροσ πρὸσ τὸν ΖΔ κύλινδρον, οὕτωσ ὁ ΑΒΗ κῶνοσ πρὸσ τὸν ΓΔΚ κῶνον. καὶ ὡσ ἄρα ὁ ΗΘ ἄξων πρὸσ τὸν ΚΛ ἄξονα, οὕτωσ ὁ ΑΒΗ κῶνοσ πρὸσ τὸν ΓΔΚ κῶνον καὶ ὁ ΕΒ κύλινδροσ πρὸσ τὸν ΖΔ κύλινδρον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τῶν ἴσων κώνων καὶ κυλίνδρων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεισ τοῖσ ὕψεσιν· καὶ ὧν κώνων καὶ κυλίνδρων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεισ τοῖσ ὕψεσιν, ἴσοι εἰσὶν ἐκεῖνοι. Ἔστωσαν ἴσοι κῶνοι καὶ κύλινδροι, ὧν βάσεισ μὲν οἱ ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ κύκλοι, διάμετροι δὲ αὐτῶν αἱ ΑΓ, ΕΗ, ἄξονεσ δὲ οἱ ΚΛ, ΜΝ, οἵτινεσ καὶ ὕψη εἰσὶ τῶν κώνων ἢ κυλίνδρων, καὶ συμπεπληρώσθωσαν οἱ ΑΞ, ΕΟ κύλινδροι. λέγω, ὅτι τῶν ΑΞ, ΕΟ κυλίνδρων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεισ τοῖσ ὕψεσιν, καί ἐστιν ὡσ ἡ ΑΒΓΔ βάσισ πρὸσ τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτωσ τὸ ΜΝ ὕψοσ πρὸσ τὸ ΚΛ ὕψοσ. Τὸ γὰρ ΛΚ ὕψοσ τῷ ΜΝ ὕψει ἤτοι ἴσον ἐστὶν ἢ οὔ. ἔστω πρότερον ἴσον. ἔστι δὲ καὶ ὁ ΑΞ κύλινδροσ τῷ ΕΟ κυλίνδρῳ ἴσοσ. οἱ δὲ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψοσ ὄντεσ κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσὶν ὡσ αἱ βάσεισ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΑΒΓΔ βάσισ τῇ ΕΖΗΘ βάσει. ὥστε καὶ ἀντιπέπονθεν, ὡσ ἡ ΑΒΓΔ βάσισ πρὸσ τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτωσ τὸ ΜΝ ὕψοσ πρὸσ τὸ ΚΛ ὕψοσ. ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω τὸ ΛΚ ὕψοσ τῷ ΜΝ ἴσον, ἀλλ’ ἔστω μεῖζον τὸ ΜΝ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τοῦ ΜΝ ὕψουσ τῷ ΚΛ ἴσον τὸ ΠΝ, καὶ διὰ τοῦ Π σημείου τετμήσθω ὁ ΕΟ κύλινδροσ ἐπιπέδῳ τῷ ΤΥΣ παραλλήλῳ τοῖσ τῶν ΕΖΗΘ, ΡΟ κύκλων ἐπιπέδοισ, καὶ ἀπὸ βάσεωσ μὲν τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου, ὕψουσ δὲ τοῦ ΝΠ κύλινδροσ νενοήσθω ὁ ΕΣ. καὶ ἐπεὶ ἴσοσ ἐστὶν ὁ ΑΞ κύλινδροσ τῷ ΕΟ κυλίνδρῳ, ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ ΑΞ κύλινδροσ πρὸσ τὸν ΕΣ κύλινδρον, οὕτωσ ὁ ΕΟ κύλινδροσ πρὸσ τὸν ΕΣ κύλινδρον. ἀλλ’ ὡσ μὲν ὁ ΑΞ κύλινδροσ πρὸσ τὸν ΕΣ κύλινδρον, οὕτωσ ἡ ΑΒΓΔ βάσισ πρὸσ τὴν ΕΖΗΘ· ὑπὸ γὰρ τὸ αὐτὸ ὕψοσ εἰσὶν οἱ ΑΞ, ΕΣ κύλινδροι· ὡσ δὲ ὁ ΕΟ κύλινδροσ πρὸσ τὸν ΕΣ, οὕτωσ τὸ ΜΝ ὕψοσ πρὸσ τὸ ΠΝ ὕψοσ· ὁ γὰρ ΕΟ κύλινδροσ ἐπιπέδῳ τέτμηται παραλλήλῳ ὄντι τοῖσ ἀπεναντίον ἐπιπέδοισ. ἔστιν ἄρα καὶ ὡσ ἡ ΑΒΓΔ βάσισ πρὸσ τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτωσ τὸ ΜΝ ὕψοσ πρὸσ τὸ ΠΝ ὕψοσ. ἴσον δὲ τὸ ΠΝ ὕψοσ τῷ ΚΛ ὕψει· ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΑΒΓΔ βάσισ πρὸσ τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτωσ τὸ ΜΝ ὕψοσ πρὸσ τὸ ΚΛ ὕψοσ. τῶν ἄρα ΑΞ, ΕΟ κυλίνδρων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεισ τοῖσ ὕψεσιν. Ἀλλὰ δὴ τῶν ΑΞ, ΕΟ κυλίνδρων ἀντιπεπονθέτωσαν αἱ βάσεισ τοῖσ ὕψεσιν, καὶ ἔστω ὡσ ἡ ΑΒΓΔ βάσισ πρὸσ τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτωσ τὸ ΜΝ ὕψοσ πρὸσ τὸ ΚΛ ὕψοσ· λέγω, ὅτι ἴσοσ ἐστὶν ὁ ΑΞ κύλινδροσ τῷ ΕΟ κυλίνδρῳ. Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ ΑΒΓΔ βάσισ πρὸσ τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτωσ τὸ ΜΝ ὕψοσ πρὸσ τὸ ΚΛ ὕψοσ, ἴσον δὲ τὸ ΚΛ ὕψοσ τῷ ΠΝ ὕψει, ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΑΒΓΔ βάσισ πρὸσ τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτωσ τὸ ΜΝ ὕψοσ πρὸσ τὸ ΠΝ ὕψοσ. ἀλλ’ ὡσ μὲν ἡ ΑΒΓΔ βάσισ πρὸσ τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτωσ ὁ ΑΞ κύλινδροσ πρὸσ τὸν ΕΣ κύλινδρον· ὑπὸ γὰρ τὸ αὐτὸ ὕψοσ εἰσίν· ὡσ δὲ τὸ ΜΝ ὕψοσ πρὸσ τὸ ΠΝ [ὕψοσ], οὕτωσ ὁ ΕΟ κύλινδροσ πρὸσ τὸν ΕΣ κύλινδρον· ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ ΑΞ κύλινδροσ πρὸσ τὸν ΕΣ κύλινδρον, οὕτωσ ὁ ΕΟ κύλινδροσ πρὸσ τὸν ΕΣ. ἴσοσ ἄρα ὁ ΑΞ κύλινδροσ τῷ ΕΟ κυλίνδρῳ. ὡσαύτωσ δὲ καὶ ἐπὶ τῶν κώνων· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Δύο κύκλων περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον ὄντων εἰσ τὸν μείζονα κύκλον πολύγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἀρτιόπλευρον ἐγγράψαι μὴ ψαῦον τοῦ ἐλάσσονοσ κύκλου. Ἔστωσαν οἱ δοθέντεσ δύο κύκλοι οἱ ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον τὸ Κ· δεῖ δὴ εἰσ τὸν μείζονα κύκλον τὸν ΑΒΓΔ πολύγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἀρτιόπλευρον ἐγγράψαι μὴ ψαῦον τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου. Ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Κ κέντρου εὐθεῖα ἡ ΒΚΔ, καὶ ἀπὸ τοῦ Η σημείου τῇ ΒΔ εὐθείᾳ πρὸσ ὀρθὰσ ἤχθω ἡ ΗΑ καὶ διήχθω ἐπὶ τὸ Γ· ἡ ΑΓ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου. τέμνοντεσ δὴ τὴν ΒΑΔ περιφέρειαν δίχα καὶ τὴν ἡμίσειαν αὐτῆσ δίχα καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιοῦντεσ καταλείψομεν περιφέρειαν ἐλάσσονα τῆσ ΑΔ. λελείφθω, καὶ ἔστω ἡ ΛΔ, καὶ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὴν ΒΔ κάθετοσ ἤχθω ἡ ΛΜ καὶ διήχθω ἐπὶ τὸ Ν, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΔ, ΔΝ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΔ τῇ ΔΝ. καὶ ἐπεὶ παράλληλόσ ἐστιν ἡ ΛΝ τῇ ΑΓ, ἡ δὲ ΑΓ ἐφάπτεται τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου, ἡ ΛΝ ἄρα οὐκ ἐφάπτεται τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου· πολλῷ ἄρα αἱ ΛΔ, ΔΝ οὐκ ἐφάπτονται τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου. ἐὰν δὴ τῇ ΛΔ εὐθείᾳ ἴσασ κατὰ τὸ συνεχὲσ ἐναρμόσωμεν εἰσ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, ἐγγραφήσεται εἰσ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον πολύγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἀρτιόπλευρον μὴ ψαῦον τοῦ ἐλάσσονοσ κύκλου τοῦ ΕΖΗΘ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. Δύο σφαιρῶν περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον οὐσῶν εἰσ τὴν μείζονα σφαῖραν στερεὸν πολύεδρον ἐγγράψαι μὴ ψαῦον τῆσ ἐλάσσονοσ σφαίρασ κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν. Νενοήσθωσαν δύο σφαῖραι περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον τὸ Α· δεῖ δὴ εἰσ τὴν μείζονα σφαῖραν στερεὸν πολύεδρον ἐγγράψαι μὴ ψαῦον τῆσ ἐλάσσονοσ σφαίρασ κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν. Τετμήσθωσαν αἱ σφαῖραι ἐπιπέδῳ τινὶ διὰ τοῦ κέντρου· ἔσονται δὴ αἱ τομαὶ κύκλοι, ἐπειδήπερ μενούσησ τῆσ διαμέτρου καὶ περιφερομένου τοῦ ἡμικυκλίου ἐγίγνετο ἡ σφαῖρα· ὥστε καὶ καθ’ οἱάσ ἂν θέσεωσ ἐπινοήσωμεν τὸ ἡμικύκλιον, τὸ δι’ αὐτοῦ ἐκβαλλόμενον ἐπίπεδον ποιήσει ἐπὶ τῆσ ἐπιφανείασ τῆσ σφαίρασ κύκλον. καὶ φανερόν, ὅτι καὶ μέγιστον, ἐπειδήπερ ἡ διάμετροσ τῆσ σφαίρασ, ἥτισ ἐστὶ καὶ τοῦ ἡμικυκλίου διάμετροσ δηλαδὴ καὶ τοῦ κύκλου, μείζων ἐστὶ πασῶν τῶν εἰσ τὸν κύκλον ἢ τὴν σφαῖραν διαγομένων [εὐθειῶν]. ἔστω οὖν ἐν μὲν τῇ μείζονι σφαίρᾳ κύκλοσ ὁ ΒΓΔΕ, ἐν δὲ τῇ ἐλάσσονι σφαίρᾳ κύκλοσ ὁ ΖΗΘ, καὶ ἤχθωσαν αὐτῶν δύο διάμετροι πρὸσ ὀρθὰσ ἀλλήλαισ αἱ ΒΔ, ΓΕ, καὶ δύο κύκλων περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον ὄντων τῶν ΒΓΔΕ, ΖΗΘ εἰσ τὸν μείζονα κύκλον τὸν ΒΓΔΕ πολύγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἀρτιόπλευρον ἐγγεγράφθω μὴ ψαῦον τοῦ ἐλάσσονοσ κύκλου τοῦ ΖΗΘ, οὗ πλευραὶ ἔστωσαν ἐν τῷ ΒΕ τεταρτημορίῳ αἱ ΒΚ, ΚΛ, ΛΜ, ΜΕ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΚΑ διήχθω ἐπὶ τὸ Ν, καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῷ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸσ ὀρθὰσ ἡ ΑΞ καὶ συμβαλλέτω τῇ ἐπιφανείᾳ τῆσ σφαίρασ κατὰ τὸ Ξ, καὶ διὰ τῆσ ΑΞ καὶ ἑκατέρασ τῶν ΒΔ, ΚΝ ἐπίπεδα ἐκβεβλήσθω· ποιήσουσι δὴ διὰ τὰ εἰρημένα ἐπὶ τῆσ ἐπιφανείασ τῆσ σφαίρασ μεγίστουσ κύκλουσ. ποιείτωσαν, ὧν ἡμικύκλια ἔστω ἐπὶ τῶν ΒΔ, ΚΝ διαμέτρων τὰ ΒΞΔ, ΚΞΝ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΞΑ ὀρθή ἐστι πρὸσ τὸ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπίπεδον, καὶ πάντα ἄρα τὰ διὰ τῆσ ΞΑ ἐπίπεδά ἐστιν ὀρθὰ πρὸσ τὸ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπίπεδον· ὥστε καὶ τὰ ΒΞΔ, ΚΞΝ ἡμικύκλια ὀρθά ἐστι πρὸσ τὸ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπίπεδον. καὶ ἐπεὶ ἴσα ἐστὶ τὰ ΒΕΔ, ΒΞΔ, ΚΞΝ ἡμικύκλια· ἐπὶ γὰρ ἴσων εἰσὶ διαμέτρων τῶν ΒΔ, ΚΝ· ἴσα ἐστὶ καὶ τὰ ΒΕ, ΒΞ, ΚΞ τεταρτημόρια ἀλλήλοισ. ὅσαι ἄρα εἰσὶν ἐν τῷ ΒΕ τεταρτημορίῳ πλευραὶ τοῦ πολυγώνου, τοσαῦταί εἰσι καὶ ἐν τοῖσ ΒΞ, ΚΞ τεταρτημορίοισ ἴσαι ταῖσ ΒΚ, ΚΛ, ΛΜ, ΜΕ εὐθείαισ. ἐγγεγράφθωσαν καὶ ἔστωσαν αἱ ΒΟ, ΟΠ, ΠΡ, ΡΞ, ΚΣ, ΣΤ, ΤΥ, ΥΞ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΣΟ, ΤΠ, ΥΡ, καὶ ἀπὸ τῶν Ο, Σ ἐπὶ τὸ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπίπεδον κάθετοι ἤχθωσαν· πεσοῦνται δὴ ἐπὶ τὰσ κοινὰσ τομὰσ τῶν ἐπιπέδων τὰσ ΒΔ, ΚΝ, ἐπειδήπερ καὶ τὰ τῶν ΒΞΔ, ΚΞΝ ἐπίπεδα ὀρθά ἐστι πρὸσ τὸ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπίπεδον. πιπτέτωσαν, καὶ ἔστωσαν αἱ ΟΦ, ΣΧ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΧΦ. καὶ ἐπεὶ ἐν ἴσοισ ἡμικυκλίοισ τοῖσ ΒΞΔ, ΚΞΝ ἴσαι ἀπειλημμέναι εἰσὶν αἱ ΒΟ, ΚΣ, καὶ κάθετοι ἠγμέναι εἰσὶν αἱ ΟΦ, ΣΧ, ἴση [ἄρα] ἐστὶν ἡ μὲν ΟΦ τῇ ΣΧ, ἡ δὲ ΒΦ τῇ ΚΧ. ἔστι δὲ καὶ ὅλη ἡ ΒΑ ὅλῃ τῇ ΚΑ ἴση· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΦΑ λοιπῇ τῇ ΧΑ ἐστιν ἴση· ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΒΦ πρὸσ τὴν ΦΑ, οὕτωσ ἡ ΚΧ πρὸσ τὴν ΧΑ· παράλληλοσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΧΦ τῇ ΚΒ. καὶ ἐπεὶ ἑκατέρα τῶν ΟΦ, ΣΧ ὀρθή ἐστι πρὸσ τὸ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπίπεδον, παράλληλοσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΟΦ τῇ ΣΧ. ἐδείχθη δὲ αὐτῇ καὶ ἴση· καὶ αἱ ΧΦ, ΣΟ ἄρα ἴσαι εἰσὶ καὶ παράλληλοι. καὶ ἐπεὶ παράλληλόσ ἐστιν ἡ ΧΦ τῇ ΣΟ, ἀλλὰ ἡ ΧΦ τῇ ΚΒ ἐστι παράλληλοσ, καὶ ἡ ΣΟ ἄρα τῇ ΚΒ ἐστι παράλληλοσ. καὶ ἐπιζευγνύουσιν αὐτὰσ αἱ ΒΟ, ΚΣ· τὸ ΚΒΟΣ ἄρα τετράπλευρον ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ, ἐπειδήπερ, ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι παράλληλοι, καὶ ἐφ’ ἑκατέρασ αὐτῶν ληφθῇ τυχόντα σημεῖα, ἡ ἐπὶ τὰ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἐστὶ ταῖσ παραλλήλοισ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκάτερον τῶν ΣΟΠΤ, ΤΠΡΥ τετραπλεύρων ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ΥΡΞ τρίγωνον ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ. ἐὰν δὴ νοήσωμεν ἀπὸ τῶν Ο, Σ, Π, Τ, Ρ, Υ σημείων ἐπὶ τὸ Α ἐπιζευγνυμένασ εὐθείασ, συσταθήσεταί τι σχῆμα στερεὸν πολύεδρον μεταξὺ τῶν ΒΞ, ΚΞ περιφερειῶν ἐκ πυραμίδων συγκείμενον, ὧν βάσεισ μὲν τὰ ΚΒΟΣ, ΣΟΠΤ, ΤΠΡΥ τετράπλευρα καὶ τὸ ΥΡΞ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον. ἐὰν δὲ καὶ ἐπὶ ἑκάστησ τῶν ΚΛ, ΛΜ, ΜΕ πλευρῶν καθάπερ ἐπὶ τῆσ ΒΚ τὰ αὐτὰ κατασκευάσωμεν καὶ ἔτι ἐπὶ τῶν λοιπῶν τριῶν τεταρτημορίων, συσταθήσεταί τι σχῆμα πολύεδρον ἐγγεγραμμένον εἰσ τὴν σφαῖραν πυραμίσι περιεχόμενον, ὧν βάσεισ [μὲν] τὰ εἰρημένα τετράπλευρα καὶ τὸ ΥΡΞ τρίγωνον καὶ τὰ ὁμοταγῆ αὐτοῖσ, κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον. Λέγω, ὅτι τὸ εἰρημένον πολύεδρον οὐκ ἐφάψεται τῆσ ἐλάσσονοσ σφαίρασ κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν, ἐφ’ ἧσ ἐστιν ὁ ΖΗΘ κύκλοσ. Ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α σημείου ἐπὶ τὸ τοῦ ΚΒΟΣ τετραπλεύρου ἐπίπεδον κάθετοσ ἡ ΑΨ καὶ συμβαλλέτω τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Ψ σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΨΒ, ΨΚ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΨ ὀρθή ἐστι πρὸσ τὸ τοῦ ΚΒΟΣ τετραπλεύρου ἐπίπεδον, καὶ πρὸσ πάσασ ἄρα τὰσ ἁπτομένασ αὐτῆσ εὐθείασ καὶ οὔσασ ἐν τῷ τοῦ τετραπλεύρου ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστιν. ἡ ΑΨ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸσ ἑκατέραν τῶν ΒΨ, ΨΚ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΑΚ, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΚ. καί ἐστι τῷ μὲν ἀπὸ τῆσ ΑΒ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΨ, ΨΒ· ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸσ τῷ Ψ· τῷ δὲ ἀπὸ τῆσ ΑΚ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΨ, ΨΚ. τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΨ, ΨΒ ἴσα ἐστὶ τοῖσ ἀπὸ τῶν ΑΨ, ΨΚ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΨ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΨ λοιπῷ τῷ ἀπὸ τῆσ ΨΚ ἴσον ἐστίν· ἴση ἄρα ἡ ΒΨ τῇ ΨΚ. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ ἀπὸ τοῦ Ψ ἐπὶ τὰ Ο, Σ ἐπιζευγνύμεναι εὐθεῖαι ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρᾳ τῶν ΒΨ, ΨΚ. ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Ψ καὶ διαστήματι ἑνὶ τῶν ΨΒ, ΨΚ γραφόμενοσ κύκλοσ ἥξει καὶ διὰ τῶν Ο, Σ, καὶ ἔσται ἐν κύκλῳ τὸ ΚΒΟΣ τετράπλευρον. Καὶ ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ ΚΒ τῆσ ΧΦ, ἴση δὲ ἡ ΧΦ τῇ ΣΟ, μείζων ἄρα ἡ ΚΒ τῆσ ΣΟ. ἴση δὲ ἡ ΚΒ ἑκατέρᾳ τῶν ΚΣ, ΒΟ· καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ΚΣ, ΒΟ τῆσ ΣΟ μείζων ἐστίν. καὶ ἐπεὶ ἐν κύκλῳ τετράπλευρόν ἐστι τὸ ΚΒΟΣ, καὶ ἴσαι αἱ ΚΒ, ΒΟ, ΚΣ, καὶ ἐλάττων ἡ ΟΣ, καὶ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἐστὶν ἡ ΒΨ, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆσ ΚΒ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΒΨ μεῖζόν ἐστιν ἢ διπλάσιον. ἤχθω ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὴν ΒΦ κάθετοσ ἡ ΚΩ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΒΔ τῆσ ΔΩ ἐλάττων ἐστὶν ἢ διπλῆ, καί ἐστιν ὡσ ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΔΩ, οὕτωσ τὸ ὑπὸ τῶν ΔΒ, ΒΩ πρὸσ τὸ ὑπὸ [τῶν] ΔΩ, ΩΒ, ἀναγραφομένου ἀπὸ τῆσ ΒΩ τετραγώνου καὶ συμπληρουμένου τοῦ ἐπὶ τῆσ ΩΔ παραλληλογράμμου καὶ τὸ ὑπὸ ΔΒ, ΒΩ ἄρα τοῦ ὑπὸ ΔΩ, ΩΒ ἔλαττόν ἐστιν ἢ διπλάσιον. καί ἐστι τῆσ ΚΔ ἐπιζευγνυμένησ τὸ μὲν ὑπὸ ΔΒ, ΒΩ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆσ ΒΚ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΔΩ, ΩΒ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆσ ΚΩ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆσ ΚΒ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΚΩ ἔλασσόν ἐστιν ἢ διπλάσιον. ἀλλὰ τὸ ἀπὸ τῆσ ΚΒ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΒΨ μεῖζόν ἐστιν ἢ διπλάσιον· μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΚΩ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΒΨ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΑ τῇ ΚΑ, ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΑ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΚ. καί ἐστι τῷ μὲν ἀπὸ τῆσ ΒΑ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΒΨ, ΨΑ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆσ ΚΑ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΚΩ, ΩΑ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΒΨ, ΨΑ ἴσα ἐστὶ τοῖσ ἀπὸ τῶν ΚΩ, ΩΑ, ὧν τὸ ἀπὸ τῆσ ΚΩ μεῖζον τοῦ ἀπὸ τῆσ ΒΨ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΩΑ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΨΑ. μείζων ἄρα ἡ ΑΨ τῆσ ΑΩ· πολλῷ ἄρα ἡ ΑΨ μείζων ἐστὶ τῆσ ΑΗ. καί ἐστιν ἡ μὲν ΑΨ ἐπὶ μίαν τοῦ πολυέδρου βάσιν, ἡ δὲ ΑΗ ἐπὶ τὴν τῆσ ἐλάσσονοσ σφαίρασ ἐπιφάνειαν· ὥστε τὸ πολύεδρον οὐ ψαύσει τῆσ ἐλάσσονοσ σφαίρασ κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν. Δύο ἄρα σφαιρῶν περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον οὐσῶν εἰσ τὴν μείζονα σφαῖραν στερεὸν πολύεδρον ἐγγέγραπται μὴ ψαῦον τῆσ ἐλάσσονοσ σφαίρασ κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. Πόρισμα Εἂν δὲ καὶ εἰσ ἑτέραν σφαῖραν τῷ ἐν τῇ ΒΓΔΕ σφαίρᾳ στερεῷ πολυέδρῳ ὅμοιον στερεὸν πολύεδρον ἐγγραφῇ, τὸ ἐν τῇ ΒΓΔΕ σφαίρᾳ στερεὸν πολύεδρον πρὸσ τὸ ἐν τῇ ἑτέρᾳ σφαίρᾳ στερεὸν πολύεδρον τριπλασίονα λόγον ἔχει, ἤπερ ἡ τῆσ ΒΓΔΕ σφαίρασ διάμετροσ πρὸσ τὴν τῆσ ἑτέρασ σφαίρασ διάμετρον. διαιρεθέντων γὰρ τῶν στερεῶν εἰσ τὰσ ὁμοιοπληθεῖσ καὶ ὁμοιοταγεῖσ πυραμίδασ ἔσονται αἱ πυραμίδεσ ὅμοιαι. αἱ δὲ ὅμοιαι πυραμίδεσ πρὸσ ἀλλήλασ ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν· ἡ ἄρα πυραμίσ, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΚΒΟΣ τετράπλευρον, κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον, πρὸσ τὴν ἐν τῇ ἑτέρᾳ σφαίρᾳ ὁμοιοταγῆ πυραμίδα τριπλασίονα λόγον ἔχει, ἤπερ ἡ ὁμόλογοσ πλευρὰ πρὸσ τὴν ὁμόλογον πλευράν, τουτέστιν ἤπερ ἡ ΑΒ ἐκ τοῦ κέντρου τῆσ σφαίρασ τῆσ περὶ κέντρον τὸ Α πρὸσ τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆσ ἑτέρασ σφαίρασ. ὁμοίωσ καὶ ἑκάστη πυραμὶσ τῶν ἐν τῇ περὶ κέντρον τὸ Α σφαίρᾳ πρὸσ ἑκάστην ὁμοταγῆ πυραμίδα τῶν ἐν τῇ ἑτέρᾳ σφαίρᾳ τριπλασίονα λόγον ἕξει, ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆσ ἑτέρασ σφαίρασ. καὶ ὡσ ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸσ ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτωσ ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸσ ἅπαντα τὰ ἑπόμενα· ὥστε ὅλον τὸ ἐν τῇ περὶ κέντρον τὸ Α σφαίρᾳ στερεὸν πολύεδρον πρὸσ ὅλον τὸ ἐν τῇ ἑτέρᾳ [σφαίρᾳ] στερεὸν πολύεδρον τριπλασίονα λόγον ἕξει, ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆσ ἑτέρασ σφαίρασ, τουτέστιν ἤπερ ἡ ΒΔ διάμετροσ πρὸσ τὴν τῆσ ἑτέρασ σφαίρασ διάμετρον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Αἱ σφαῖραι πρὸσ ἀλλήλασ ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ἰδίων διαμέτρων. Νενοήσθωσαν σφαῖραι αἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ, διάμετροι δὲ αὐτῶν αἱ ΒΓ, ΕΖ· λέγω, ὅτι ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸσ τὴν ΔΕΖ σφαῖραν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΕΖ. Εἰ γὰρ μὴ ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸσ τὴν ΔΕΖ σφαῖραν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΕΖ, ἕξει ἄρα ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸσ ἐλάσσονά τινα τῆσ ΔΕΖ σφαίρασ τριπλασίονα λόγον ἢ πρὸσ μείζονα ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΕΖ. ἐχέτω πρότερον πρὸσ ἐλάσσονα τὴν ΗΘΚ, καὶ νενοήσθω ἡ ΔΕΖ τῇ ΗΘΚ περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον, καὶ ἐγγεγράφθω εἰσ τὴν μείζονα σφαῖραν τὴν ΔΕΖ στερεὸν πολύεδρον μὴ ψαῦον τῆσ ἐλάσσονοσ σφαίρασ τῆσ ΗΘΚ κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν, ἐγγεγράφθω δὲ καὶ εἰσ τὴν ΑΒΓ σφαῖραν τῷ ἐν τῇ ΔΕΖ σφαίρᾳ στερεῷ πολυέδρῳ ὅμοιον στερεὸν πολύεδρον· τὸ ἄρα ἐν τῇ ΑΒΓ στερεὸν πολύεδρον πρὸσ τὸ ἐν τῇ ΔΕΖ στερεὸν πολύεδρον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΕΖ. ἔχει δὲ καὶ ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸσ τὴν ΗΘΚ σφαῖραν τριπλασίονα λόγον ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΕΖ· ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸσ τὴν ΗΘΚ σφαῖραν, οὕτωσ τὸ ἐν τῇ ΑΒΓ σφαίρᾳ στερεὸν πολύεδρον πρὸσ τὸ ἐν τῇ ΔΕΖ σφαίρᾳ στερεὸν πολύεδρον· ἐναλλὰξ [ἄρα] ὡσ ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸσ τὸ ἐν αὐτῇ πολύεδρον, οὕτωσ ἡ ΗΘΚ σφαῖρα πρὸσ τὸ ἐν τῇ ΔΕΖ σφαίρᾳ στερεὸν πολύεδρον. μείζων δὲ ἡ ΑΒΓ σφαῖρα τοῦ ἐν αὐτῇ πολυέδρου· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΗΘΚ σφαῖρα τοῦ ἐν τῇ ΔΕΖ σφαίρᾳ πολυέδρου. ἀλλὰ καὶ ἐλάττων· ἐμπεριέχεται γὰρ ὑπ’ αὐτοῦ. οὐκ ἄρα ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸσ ἐλάσσονα τῆσ ΔΕΖ σφαίρασ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ διάμετροσ πρὸσ τὴν ΕΖ. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἡ ΔΕΖ σφαῖρα πρὸσ ἐλάσσονα τῆσ ΑΒΓ σφαίρασ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸσ τὴν ΒΓ. Λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸσ μείζονά τινα τῆσ ΔΕΖ σφαίρασ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΕΖ. Εἰ γὰρ δυνατόν, ἐχέτω πρὸσ μείζονα τὴν ΛΜΝ· ἀνάπαλιν ἄρα ἡ ΛΜΝ σφαῖρα πρὸσ τὴν ΑΒΓ σφαῖραν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ διάμετροσ πρὸσ τὴν ΒΓ διάμετρον. ὡσ δὲ ἡ ΛΜΝ σφαῖρα πρὸσ τὴν ΑΒΓ σφαῖραν, οὕτωσ ἡ ΔΕΖ σφαῖρα πρὸσ ἐλάσσονά τινα τῆσ ΑΒΓ σφαίρασ, ἐπειδήπερ μείζων ἐστὶν ἡ ΛΜΝ τῆσ ΔΕΖ, ὡσ ἔμπροσθεν ἐδείχθη. καὶ ἡ ΔΕΖ ἄρα σφαῖρα πρὸσ ἐλάσσονά τινα τῆσ ΑΒΓ σφαίρασ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸσ τὴν ΒΓ· ὅπερ ἀδύνατον ἐδείχθη. οὐκ ἄρα ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸσ μείζονά τινα τῆσ ΔΕΖ σφαίρασ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΕΖ. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ πρὸσ ἐλάσσονα. ἡ ἄρα ΑΒΓ σφαῖρα πρὸσ τὴν ΔΕΖ σφαῖραν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΕΖ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

MENU NAVIGATION

호흡부호 보기

강세부호 보기

장단부호 보기

작은 Iota 보기

모든 부호 보기

헬라어 텍스트

Euclid, Elements, book 12, type Prop

(유클리드, Elements, book 12, type Prop)

상위

목록

SEARCH

MENU NAVIGATION