Euclid, Elements, book 8, type Prop

Εἂν ὦσιν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆσ ἀνάλογον, οἱ δὲ ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ ὦσιν, ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖσ. Ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆσ ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ, οἱ δὲ ἄκροι αὐτῶν οἱ Α, Δ πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ ἔστωσαν· λέγω, ὅτι οἱ Α, Β, Γ, Δ ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖσ. Εἰ γὰρ μή, ἔστωσαν ἐλάττονεσ τῶν Α, Β, Γ, Δ οἱ Ε, Ζ, Η, Θ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὄντεσ αὐτοῖσ. καὶ ἐπεὶ οἱ Α, Β, Γ, Δ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶ τοῖσ Ε, Ζ, Η, Θ, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθοσ [τῶν Α, Β, Γ, Δ] τῷ πλήθει [τῶν Ε, Ζ, Η, Θ], δι’ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Δ, ὁ Ε πρὸσ τὸν Θ. οἱ δὲ Α, Δ πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ μετροῦσι τοὺσ τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντασ ἰσάκισ ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα, τουτέστιν ὅ τε ἡγούμενοσ τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενοσ τὸν ἑπόμενον. μετρεῖ ἄρα ὁ Α τὸν Ε ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα οἱ Ε, Ζ, Η, Θ ἐλάσσονεσ ὄντεσ τῶν Α, Β, Γ, Δ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶν αὐτοῖσ. οἱ Α, Β, Γ, Δ ἄρα ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖσ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἀριθμοὺσ εὑρεῖν ἑξῆσ ἀνάλογον ἐλαχίστουσ, ὅσουσ ἂν ἐπιτάξῃ τισ, ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ. Ἔστω ὁ δοθεὶσ λόγοσ ἐν ἐλαχίστοισ ἀριθμοῖσ ὁ τοῦ Α πρὸσ τὸν Β· δεῖ δὴ ἀριθμοὺσ εὑρεῖν ἑξῆσ ἀνάλογον ἐλαχίστουσ, ὅσουσ ἄν τισ ἐπιτάξῃ, ἐν τῷ τοῦ Α πρὸσ τὸν Β λόγῳ. Ἐπιτετάχθωσαν δὴ τέσσαρεσ, καὶ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσασ τὸν Γ ποιείτω, τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσασ τὸν Δ ποιείτω, καὶ ἔτι ὁ Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσασ τὸν Ε ποιείτω, καὶ ἔτι ὁ Α τοὺσ Γ, Δ, Ε πολλαπλασιάσασ τοὺσ Ζ, Η, Θ ποιείτω, ὁ δὲ Β τὸν Ε πολλαπλασιάσασ τὸν Κ ποιείτω. Καὶ ἐπεὶ ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσασ τὸν Γ πεποίηκεν, τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσασ τὸν Δ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β, [οὕτωσ] ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ. πάλιν, ἐπεὶ ὁ μὲν Α τὸν Β πολλαπλασιάσασ τὸν Δ πεποίηκεν, ὁ δὲ Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσασ τὸν Ε πεποίηκεν, ἑκάτεροσ ἄρα τῶν Α, Β τὸν Β πολλαπλασιάσασ ἑκάτερον τῶν Δ, Ε πεποίηκεν. ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β, οὕτωσ ὁ Δ πρὸσ τὸν Ε. ἀλλ’ ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β, ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ· καὶ ὡσ ἄρα ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ, ὁ Δ πρὸσ τὸν Ε. καὶ ἐπεὶ ὁ Α τοὺσ Γ, Δ πολλαπλασιάσασ τοὺσ Ζ, Η πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ, [οὕτωσ] ὁ Ζ πρὸσ τὸν Η. ὡσ δὲ ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ, οὕτωσ ἦν ὁ Α πρὸσ τὸν Β· καὶ ὡσ ἄρα ὁ Α πρὸσ τὸν Β, ὁ Ζ πρὸσ τὸν Η. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Α τοὺσ Δ, Ε πολλαπλασιάσασ τοὺσ Η, Θ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Δ πρὸσ τὸν Ε, ὁ Η πρὸσ τὸν Θ. ἀλλ’ ὡσ ὁ Δ πρὸσ τὸν Ε, ὁ Α πρὸσ τὸν Β. καὶ ὡσ ἄρα ὁ Α πρὸσ τὸν Β, οὕτωσ ὁ Η πρὸσ τὸν Θ. καὶ ἐπεὶ οἱ Α, Β τὸν Ε πολλαπλασιάσαντεσ τοὺσ Θ, Κ πεποιήκασιν, ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β, οὕτωσ ὁ Θ πρὸσ τὸν Κ. ἀλλ’ ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β, οὕτωσ ὅ τε Ζ πρὸσ τὸν Η καὶ ὁ Η πρὸσ τὸν Θ. καὶ ὡσ ἄρα ὁ Ζ πρὸσ τὸν Η, οὕτωσ ὅ τε Η πρὸσ τὸν Θ καὶ ὁ Θ πρὸσ τὸν Κ· οἱ Γ, Δ, Ε ἄρα καὶ οἱ Ζ, Η, Θ, Κ ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τῷ τοῦ Α πρὸσ τὸν Β λόγῳ. λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστοι. ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Β ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖσ, οἱ δὲ ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν, οἱ Α, Β ἄρα πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν. καὶ ἑκάτεροσ μὲν τῶν Α, Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσασ ἑκάτερον τῶν Γ, Ε πεποίηκεν, ἑκάτερον δὲ τῶν Γ, Ε πολλαπλασιάσασ ἑκάτερον τῶν Ζ, Κ πεποίηκεν· οἱ Γ, Ε ἄρα καὶ οἱ Ζ, Κ πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν. ἐὰν δὲ ὦσιν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆσ ἀνάλογον, οἱ δὲ ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ ὦσιν, ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖσ. οἱ Γ, Δ, Ε ἄρα καὶ οἱ Ζ, Η, Θ, Κ ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖσ Α, Β· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Πόρισμα Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἐὰν τρεῖσ ἀριθμοὶ ἑξῆσ ἀνάλογον ἐλάχιστοι ὦσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖσ, οἱ ἄκροι αὐτῶν τετράγωνοί εἰσιν, ἐὰν δὲ τέσσαρεσ, κύβοι. Εἂν ὦσιν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆσ ἀνάλογον ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖσ, οἱ ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν. Ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆσ ἀνάλογον ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖσ οἱ Α, Β, Γ, Δ· λέγω, ὅτι οἱ ἄκροι αὐτῶν οἱ Α, Δ πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν. Εἰλήφθωσαν γὰρ δύο μὲν ἀριθμοὶ ἐλάχιστοι ἐν τῷ τῶν Α, Β, Γ, Δ λόγῳ οἱ Ε, Ζ, τρεῖσ δὲ οἱ Η, Θ, Κ, καὶ ἑξῆσ ἑνὶ πλείουσ, ἑώσ τὸ λαμβανόμενον πλῆθοσ ἴσον γένηται τῷ πλήθει τῶν Α, Β, Γ, Δ. εἰλήφθωσαν καὶ ἔστωσαν οἱ Λ, Μ, Ν, Ξ. Καὶ ἐπεὶ οἱ Ε, Ζ ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖσ, πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν. καὶ ἐπεὶ ἑκάτεροσ τῶν Ε, Ζ ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσασ ἑκάτερον τῶν Η, Κ πεποίηκεν, ἑκάτερον δὲ τῶν Η, Κ πολλαπλασιάσασ ἑκάτερον τῶν Λ, Ξ πεποίηκεν, καὶ οἱ Η, Κ ἄρα καὶ οἱ Λ, Ξ πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν. καὶ ἐπεὶ οἱ Α, Β, Γ, Δ ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖσ, εἰσὶ δὲ καὶ οἱ Λ, Μ, Ν, Ξ ἐλάχιστοι ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὄντεσ τοῖσ Α, Β, Γ, Δ, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθοσ τῶν Α, Β, Γ, Δ τῷ πλήθει τῶν Λ, Μ, Ν, Ξ, ἕκαστοσ ἄρα τῶν Α, Β, Γ, Δ ἑκάστῳ τῶν Λ, Μ, Ν, Ξ ἴσοσ ἐστίν· ἴσοσ ἄρα ἐστὶν ὁ μὲν Α τῷ Λ, ὁ δὲ Δ τῷ Ξ. καί εἰσιν οἱ Λ, Ξ πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ. καὶ οἱ Α, Δ ἄρα πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Λόγων δοθέντων ὁποσωνοῦν ἐν ἐλαχίστοισ ἀριθμοῖσ ἀριθμοὺσ εὑρεῖν ἑξῆσ ἀνάλογον ἐλαχίστουσ ἐν τοῖσ δοθεῖσι λόγοισ. Ἔστωσαν οἱ δοθέντεσ λόγοι ἐν ἐλαχίστοισ ἀριθμοῖσ ὅ τε τοῦ Α πρὸσ τὸν Β καὶ ὁ τοῦ Γ πρὸσ τὸν Δ καὶ ἔτι ὁ τοῦ Ε πρὸσ τὸν Ζ· δεῖ δὴ ἀριθμοὺσ εὑρεῖν ἑξῆσ ἀνάλογον ἐλαχίστουσ ἔν τε τῷ τοῦ Α πρὸσ τὸν Β λόγῳ καὶ ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸσ τὸν Δ καὶ ἔτι ἐν τῷ τοῦ Ε πρὸσ τὸν Ζ. Εἰλήφθω γὰρ ὁ ὑπὸ τῶν Β, Γ ἐλάχιστοσ μετρούμενοσ ἀριθμὸσ ὁ Η. καὶ ὁσάκισ μὲν ὁ Β τὸν Η μετρεῖ, τοσαυτάκισ καὶ ὁ Α τὸν Θ μετρείτω, ὁσάκισ δὲ ὁ Γ τὸν Η μετρεῖ, τοσαυτάκισ καὶ ὁ Δ τὸν Κ μετρείτω. ὁ δὲ Ε τὸν Κ ἤτοι μετρεῖ ἢ οὐ μετρεῖ. μετρείτω πρότερον. καὶ ὁσάκισ ὁ Ε τὸν Κ μετρεῖ, τοσαυτάκισ καὶ ὁ Ζ τὸν Λ μετρείτω. καὶ ἐπεὶ ἰσάκισ ὁ Α τὸν Θ μετρεῖ καὶ ὁ Β τὸν Η, ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β, οὕτωσ ὁ Θ πρὸσ τὸν Η. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡσ ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ, οὕτωσ ὁ Η πρὸσ τὸν Κ, καὶ ἔτι ὡσ ὁ Ε πρὸσ τὸν Ζ, οὕτωσ ὁ Κ πρὸσ τὸν Λ· οἱ Θ, Η, Κ, Λ ἄρα ἑξῆσ ἀνάλογόν εἰσιν ἔν τε τῷ τοῦ Α πρὸσ τὸν Β καὶ ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸσ τὸν Δ καὶ ἔτι ἐν τῷ τοῦ Ε πρὸσ τὸν Ζ λόγῳ. λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστοι. εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ Θ, Η, Κ, Λ ἑξῆσ ἀνάλογον ἐλάχιστοι ἔν τε τοῖσ τοῦ Α πρὸσ τὸν Β καὶ τοῦ Γ πρὸσ τὸν Δ καὶ ἐν τῷ τοῦ Ε πρὸσ τὸν Ζ λόγοισ, ἔστωσαν οἱ Ν, Ξ, Μ, Ο. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β, οὕτωσ ὁ Ν πρὸσ τὸν Ξ, οἱ δὲ Α, Β ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺσ τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντασ ἰσάκισ ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα, τουτέστιν ὅ τε ἡγούμενοσ τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενοσ τὸν ἑπόμενον, ὁ Β ἄρα τὸν Ξ μετρεῖ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Γ τὸν Ξ μετρεῖ· οἱ Β, Γ ἄρα τὸν Ξ μετροῦσιν· καὶ ὁ ἐλάχιστοσ ἄρα ὑπὸ τῶν Β, Γ μετρούμενοσ τὸν Ξ μετρήσει. ἐλάχιστοσ δὲ ὑπὸ τῶν Β, Γ μετρεῖται ὁ Η· ὁ Η ἄρα τὸν Ξ μετρεῖ ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἔσονταί τινεσ τῶν Θ, Η, Κ, Λ ἐλάσσονεσ ἀριθμοὶ ἑξῆσ ἔν τε τῷ τοῦ Α πρὸσ τὸν Β καὶ τῷ τοῦ Γ πρὸσ τὸν Δ καὶ ἔτι τῷ τοῦ Ε πρὸσ τὸν Ζ λόγῳ. Μὴ μετρείτω δὴ ὁ Ε τὸν Κ. καὶ εἰλήφθω ὑπὸ τῶν Ε, Κ ἐλάχιστοσ μετρούμενοσ ἀριθμὸσ ὁ Μ. καὶ ὁσάκισ μὲν ὁ Κ τὸν Μ μετρεῖ, τοσαυτάκισ καὶ ἑκάτεροσ τῶν Θ, Η ἑκάτερον τῶν Ν, Ξ μετρείτω, ὁσάκισ δὲ ὁ Ε τὸν Μ μετρεῖ, τοσαυτάκισ καὶ ὁ Ζ τὸν Ο μετρείτω. ἐπεὶ ἰσάκισ ὁ Θ τὸν Ν μετρεῖ καὶ ὁ Η τὸν Ξ, ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Θ πρὸσ τὸν Η, οὕτωσ ὁ Ν πρὸσ τὸν Ξ. ὡσ δὲ ὁ Θ πρὸσ τὸν Η, οὕτωσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β· καὶ ὡσ ἄρα ὁ Α πρὸσ τὸν Β, οὕτωσ ὁ Ν πρὸσ τὸν Ξ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡσ ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ, οὕτωσ ὁ Ξ πρὸσ τὸν Μ. πάλιν, ἐπεὶ ἰσάκισ ὁ Ε τὸν Μ μετρεῖ καὶ ὁ Ζ τὸν Ο, ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Ε πρὸσ τὸν Ζ, οὕτωσ ὁ Μ πρὸσ τὸν Ο· οἱ Ν, Ξ, Μ, Ο ἄρα ἑξῆσ ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τοῖσ τοῦ τε Α πρὸσ τὸν Β καὶ τοῦ Γ πρὸσ τὸν Δ καὶ ἔτι τοῦ Ε πρὸσ τὸν Ζ λόγοισ. λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστοι ἐν τοῖσ ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ λόγοισ. εἰ γὰρ μή, ἔσονταί τινεσ τῶν Ν, Ξ, Μ, Ο ἐλάσσονεσ ἀριθμοὶ ἑξῆσ ἀνάλογον ἐν τοῖσ ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ λόγοισ. ἔστωσαν οἱ Π, Ρ, Σ, Τ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ὁ Π πρὸσ τὸν Ρ, οὕτωσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β, οἱ δὲ Α, Β ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺσ τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντασ αὐτοῖσ ἰσάκισ ὅ τε ἡγούμενοσ τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενοσ τὸν ἑπόμενον, ὁ Β ἄρα τὸν Ρ μετρεῖ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Γ τὸν Ρ μετρεῖ· οἱ Β, Γ ἄρα τὸν Ρ μετροῦσιν. καὶ ὁ ἐλάχιστοσ ἄρα ὑπὸ τῶν Β, Γ μετρούμενοσ τὸν Ρ μετρήσει. ἐλάχιστοσ δὲ ὑπὸ τῶν Β, Γ μετρούμενόσ ἐστιν ὁ Η· ὁ Η ἄρα τὸν Ρ μετρεῖ. καί ἐστιν ὡσ ὁ Η πρὸσ τὸν Ρ, οὕτωσ ὁ Κ πρὸσ τὸν Σ· καὶ ὁ Κ ἄρα τὸν Σ μετρεῖ. μετρεῖ δὲ καὶ ὁ Ε τὸν Σ· οἱ Ε, Κ ἄρα τὸν Σ μετροῦσιν. καὶ ὁ ἐλάχιστοσ ἄρα ὑπὸ τῶν Ε, Κ μετρούμενοσ τὸν Σ μετρήσει. ἐλάχιστοσ δὲ ὑπὸ τῶν Ε, Κ μετρούμενόσ ἐστιν ὁ Μ· ὁ Μ ἄρα τὸν Σ μετρεῖ ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἔσονταί τινεσ τῶν Ν, Ξ, Μ, Ο ἐλάσσονεσ ἀριθμοὶ ἑξῆσ ἀνάλογον ἔν τε τοῖσ τοῦ Α πρὸσ τὸν Β καὶ τοῦ Γ πρὸσ τὸν Δ καὶ ἔτι τοῦ Ε πρὸσ τὸν Ζ λόγοισ· οἱ Ν, Ξ, Μ, Ο ἄρα ἑξῆσ ἀνάλογον ἐλάχιστοί εἰσιν ἐν τοῖσ ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ λόγοισ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Οἱ ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ πρὸσ ἀλλήλουσ λόγον ἔχουσι τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν. Ἔστωσαν ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, καὶ τοῦ μὲν Α πλευραὶ ἔστωσαν οἱ Γ, Δ ἀριθμοί, τοῦ δὲ Β οἱ Ε, Ζ· λέγω, ὅτι ὁ Α πρὸσ τὸν Β λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν. Λόγων γὰρ δοθέντων τοῦ τε ὃν ἔχει ὁ Γ πρὸσ τὸν Ε καὶ ὁ Δ πρὸσ τὸν Ζ εἰλήφθωσαν ἀριθμοὶ ἑξῆσ ἐλάχιστοι ἐν τοῖσ ΓΕ, ΔΖ λόγοισ, οἱ Η, Θ, Κ, ὥστε εἶναι ὡσ μὲν τὸν Γ πρὸσ τὸν Ε, οὕτωσ τὸν Η πρὸσ τὸν Θ, ὡσ δὲ τὸν Δ πρὸσ τὸν Ζ, οὕτωσ τὸν Θ πρὸσ τὸν Κ. καὶ ὁ Δ τὸν Ε πολλαπλασιάσασ τὸν Λ ποιείτω. Καὶ ἐπεὶ ὁ Δ τὸν μὲν Γ πολλαπλασιάσασ τὸν Α πεποίηκεν, τὸν δὲ Ε πολλαπλασιάσασ τὸν Λ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Γ πρὸσ τὸν Ε, οὕτωσ ὁ Α πρὸσ τὸν Λ. ὡσ δὲ ὁ Γ πρὸσ τὸν Ε, οὕτωσ ὁ Η πρὸσ τὸν Θ· καὶ ὡσ ἄρα ὁ Η πρὸσ τὸν Θ, οὕτωσ ὁ Α πρὸσ τὸν Λ. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Ε τὸν Δ πολλαπλασιάσασ τὸν Λ πεποίηκεν, ἀλλὰ μὴν καὶ τὸν Ζ πολλαπλασιάσασ τὸν Β πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Δ πρὸσ τὸν Ζ, οὕτωσ ὁ Λ πρὸσ τὸν Β. ἀλλ’ ὡσ ὁ Δ πρὸσ τὸν Ζ, οὕτωσ ὁ Θ πρὸσ τὸν Κ· καὶ ὡσ ἄρα ὁ Θ πρὸσ τὸν Κ, οὕτωσ ὁ Λ πρὸσ τὸν Β. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡσ ὁ Η πρὸσ τὸν Θ, οὕτωσ ὁ Α πρὸσ τὸν Λ· δι’ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡσ ὁ Η πρὸσ τὸν Κ, [οὕτωσ] ὁ Α πρὸσ τὸν Β, ὁ δὲ Η πρὸσ τὸν Κ λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν· καὶ ὁ Α ἄρα πρὸσ τὸν Β λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ὦσιν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆσ ἀνάλογον, ὁ δὲ πρῶτοσ τὸν δεύτερον μὴ μετρῇ, οὐδὲ ἄλλοσ οὐδεὶσ οὐδένα μετρήσει. Ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆσ ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ, Ε, ὁ δὲ Α τὸν Β μὴ μετρείτω· λέγω, ὅτι οὐδὲ ἄλλοσ οὐδεὶσ οὐδένα μετρήσει. Ὅτι μὲν οὖν οἱ Α, Β, Γ, Δ, Ε ἑξῆσ ἀλλήλουσ οὐ μετροῦσιν, φανερόν· οὐδὲ γὰρ ὁ Α τὸν Β μετρεῖ. λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ἄλλοσ οὐδεὶσ οὐδένα μετρήσει. εἰ γὰρ δυνατόν, μετρείτω ὁ Α τὸν Γ. καὶ ὅσοι εἰσὶν οἱ Α, Β, Γ, τοσοῦτοι εἰλήφθωσαν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖσ Α, Β, Γ οἱ Ζ, Η, Θ. καὶ ἐπεὶ οἱ Ζ, Η, Θ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶ τοῖσ Α, Β, Γ, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθοσ τῶν Α, Β, Γ τῷ πλήθει τῶν Ζ, Η, Θ, δι’ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Γ, οὕτωσ ὁ Ζ πρὸσ τὸν Θ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β, οὕτωσ ὁ Ζ πρὸσ τὸν Η, οὐ μετρεῖ δὲ ὁ Α τὸν Β, οὐ μετρεῖ ἄρα οὐδὲ ὁ Ζ τὸν Η· οὐκ ἄρα μονάσ ἐστιν ὁ Ζ· ἡ γὰρ μονὰσ πάντα ἀριθμὸν μετρεῖ. καί εἰσιν οἱ Ζ, Θ πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ [οὐδὲ ὁ Ζ ἄρα τὸν Θ μετρεῖ]. καί ἐστιν ὡσ ὁ Ζ πρὸσ τὸν Θ, οὕτωσ ὁ Α πρὸσ τὸν Γ· οὐδὲ ὁ Α ἄρα τὸν Γ μετρεῖ. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἄλλοσ οὐδεὶσ οὐδένα μετρήσει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ὦσιν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ [ἑξῆσ] ἀνάλογον, ὁ δὲ πρῶτοσ τὸν ἔσχατον μετρῇ, καὶ τὸν δεύτερον μετρήσει. Ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆσ ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ, ὁ δὲ Α τὸν Δ μετρείτω· λέγω, ὅτι καὶ ὁ Α τὸν Β μετρεῖ. εἰ γὰρ οὐ μετρεῖ ὁ Α τὸν Β, οὐδὲ ἄλλοσ οὐδεὶσ οὐδένα μετρήσει· μετρεῖ δὲ ὁ Α τὸν Δ. μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Α τὸν Β· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν δύο ἀριθμῶν μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲσ ἀνάλογον ἐμπίπτωσιν ἀριθμοί, ὅσοι εἰσ αὐτοὺσ μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲσ ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ εἰσ τοὺσ τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντασ [αὐτοῖσ] μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲσ ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται. Δύο γὰρ ἀριθμῶν τῶν Α, Β μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲσ ἀνάλογον ἐμπιπτέτωσαν ἀριθμοὶ οἱ Γ, Δ, καὶ πεποιήσθω ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β, οὕτωσ ὁ Ε πρὸσ τὸν Ζ· λέγω, ὅτι ὅσοι εἰσ τοὺσ Α, Β μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲσ ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ εἰσ τοὺσ Ε, Ζ μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲσ ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται. Ὅσοι γάρ εἰσι τῷ πλήθει οἱ Α, Β, Γ, Δ, τοσοῦτοι εἰλήφθωσαν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖσ Α, Γ, Δ, Β οἱ Η, Θ, Κ, Λ· οἱ ἄρα ἄκροι αὐτῶν οἱ Η, Λ πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν. καὶ ἐπεὶ οἱ Α, Γ, Δ, Β τοῖσ Η, Θ, Κ, Λ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσίν, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθοσ τῶν Α, Γ, Δ, Β τῷ πλήθει τῶν Η, Θ, Κ, Λ, δι’ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β, οὕτωσ ὁ Η πρὸσ τὸν Λ. ὡσ δὲ ὁ Α πρὸσ τὸν Β, οὕτωσ ὁ Ε πρὸσ τὸν Ζ· καὶ ὡσ ἄρα ὁ Η πρὸσ τὸν Λ, οὕτωσ ὁ Ε πρὸσ τὸν Ζ. οἱ δὲ Η, Λ πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ μετροῦσι τοὺσ τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντασ ἰσάκισ ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα, τουτέστιν ὅ τε ἡγούμενοσ τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενοσ τὸν ἑπόμενον. ἰσάκισ ἄρα ὁ Η τὸν Ε μετρεῖ καὶ ὁ Λ τὸν Ζ. ὁσάκισ δὴ ὁ Η τὸν Ε μετρεῖ, τοσαυτάκισ καὶ ἑκάτεροσ τῶν Θ, Κ ἑκάτερον τῶν Μ, Ν μετρείτω· οἱ Η, Θ, Κ, Λ ἄρα τοὺσ Ε, Μ, Ν, Ζ ἰσάκισ μετροῦσιν. οἱ Η, Θ, Κ, Λ ἄρα τοῖσ Ε, Μ, Ν, Ζ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσίν. ἀλλὰ οἱ Η, Θ, Κ, Λ τοῖσ Α, Γ, Δ, Β ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσίν· καὶ οἱ Α, Γ, Δ, Β ἄρα τοῖσ Ε, Μ, Ν, Ζ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσίν. οἱ δὲ Α, Γ, Δ, Β ἑξῆσ ἀνάλογόν εἰσιν· καὶ οἱ Ε, Μ, Ν, Ζ ἄρα ἑξῆσ ἀνάλογόν εἰσιν. ὅσοι ἄρα εἰσ τοὺσ Α, Β μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲσ ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ εἰσ τοὺσ Ε, Ζ μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲσ ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ ὦσιν, καὶ εἰσ αὐτοὺσ μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲσ ἀνάλογον ἐμπίπτωσιν ἀριθμοί, ὅσοι εἰσ αὐτοὺσ μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲσ ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ ἑκατέρου αὐτῶν καὶ μονάδοσ μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲσ ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται. Ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ οἱ Α, Β καὶ εἰσ αὐτοὺσ μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲσ ἀνάλογον ἐμπιπτέτωσαν οἱ Γ, Δ, καὶ ἐκκείσθω ἡ Ε μονάσ· λέγω, ὅτι ὅσοι εἰσ τοὺσ Α, Β μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲσ ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ ἑκατέρου τῶν Α, Β καὶ τῆσ μονάδοσ μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲσ ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται. Εἰλήφθωσαν γὰρ δύο μὲν ἀριθμοὶ ἐλάχιστοι ἐν τῷ τῶν Α, Γ, Δ, Β λόγῳ ὄντεσ οἱ Ζ, Η, τρεῖσ δὲ οἱ Θ, Κ, Λ, καὶ ἀεὶ ἑξῆσ ἑνὶ πλείουσ, ἑώσ ἂν ἴσον γένηται τὸ πλῆθοσ αὐτῶν τῷ πλήθει τῶν Α, Γ, Δ, Β. εἰλήφθωσαν, καὶ ἔστωσαν οἱ Μ, Ν, Ξ, Ο. φανερὸν δή, ὅτι ὁ μὲν Ζ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσασ τὸν Θ πεποίηκεν, τὸν δὲ Θ πολλαπλασιάσασ τὸν Μ πεποίηκεν, καὶ ὁ Η ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσασ τὸν Λ πεποίηκεν, τὸν δὲ Λ πολλαπλασιάσασ τὸν Ο πεποίηκεν. καὶ ἐπεὶ οἱ Μ, Ν, Ξ, Ο ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖσ Ζ, Η, εἰσὶ δὲ καὶ οἱ Α, Γ, Δ, Β ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖσ Ζ, Η, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθοσ τῶν Μ, Ν, Ξ, Ο τῷ πλήθει τῶν Α, Γ, Δ, Β, ἕκαστοσ ἄρα τῶν Μ, Ν, Ξ, Ο ἑκάστῳ τῶν Α, Γ, Δ, Β ἴσοσ ἐστίν· ἴσοσ ἄρα ἐστὶν ὁ μὲν Μ τῷ Α, ὁ δὲ Ο τῷ Β. καὶ ἐπεὶ ὁ Ζ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσασ τὸν Θ πεποίηκεν, ὁ Ζ ἄρα τὸν Θ μετρεῖ κατὰ τὰσ ἐν τῷ Ζ μονάδασ. μετρεῖ δὲ καὶ ἡ Ε μονὰσ τὸν Ζ κατὰ τὰσ ἐν αὐτῷ μονάδασ· ἰσάκισ ἄρα ἡ Ε μονὰσ τὸν Ζ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Ζ τὸν Θ. ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ Ε μονὰσ πρὸσ τὸν Ζ ἀριθμόν, οὕτωσ ὁ Ζ πρὸσ τὸν Θ. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Ζ τὸν Θ πολλαπλασιάσασ τὸν Μ πεποίηκεν, ὁ Θ ἄρα τὸν Μ μετρεῖ κατὰ τὰσ ἐν τῷ Ζ μονάδασ. μετρεῖ δὲ καὶ ἡ Ε μονὰσ τὸν Ζ ἀριθμὸν κατὰ τὰσ ἐν αὐτῷ μονάδασ· ἰσάκισ ἄρα ἡ Ε μονὰσ τὸν Ζ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Θ τὸν Μ. ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ Ε μονὰσ πρὸσ τὸν Ζ ἀριθμόν, οὕτωσ ὁ Θ πρὸσ τὸν Μ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡσ ἡ Ε μονὰσ πρὸσ τὸν Ζ ἀριθμόν, οὕτωσ ὁ Ζ πρὸσ τὸν Θ· καὶ ὡσ ἄρα ἡ Ε μονὰσ πρὸσ τὸν Ζ ἀριθμόν, οὕτωσ ὁ Ζ πρὸσ τὸν Θ καὶ ὁ Θ πρὸσ τὸν Μ. ἴσοσ δὲ ὁ Μ τῷ Α· ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ Ε μονὰσ πρὸσ τὸν Ζ ἀριθμόν, οὕτωσ ὁ Ζ πρὸσ τὸν Θ καὶ ὁ Θ πρὸσ τὸν Α. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡσ ἡ Ε μονὰσ πρὸσ τὸν Η ἀριθμόν, οὕτωσ ὁ Η πρὸσ τὸν Λ καὶ ὁ Λ πρὸσ τὸν Β. ὅσοι ἄρα εἰσ τοὺσ Α, Β μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲσ ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ ἑκατέρου τῶν Α, Β καὶ μονάδοσ τῆσ Ε μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲσ ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν δύο ἀριθμῶν ἑκατέρου καὶ μονάδοσ μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲσ ἀνάλογον ἐμπίπτωσιν ἀριθμοί, ὅσοι ἑκατέρου αὐτῶν καὶ μονάδοσ μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲσ ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ εἰσ αὐτοὺσ μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲσ ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται. Δύο γὰρ ἀριθμῶν τῶν Α, Β καὶ μονάδοσ τῆσ Γ μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲσ ἀνάλογον ἐμπιπτέτωσαν ἀριθμοὶ οἵ τε Δ, Ε καὶ οἱ Ζ, Η· λέγω, ὅτι ὅσοι ἑκατέρου τῶν Α, Β καὶ μονάδοσ τῆσ Γ μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲσ ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ εἰσ τοὺσ Α, Β μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲσ ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται. Ὁ Δ γὰρ τὸν Ζ πολλαπλασιάσασ τὸν Θ ποιείτω, ἑκάτεροσ δὲ τῶν Δ, Ζ τὸν Θ πολλαπλασιάσασ ἑκάτερον τῶν Κ, Λ ποιείτω. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ Γ μονὰσ πρὸσ τὸν Δ ἀριθμόν, οὕτωσ ὁ Δ πρὸσ τὸν Ε, ἰσάκισ ἄρα ἡ Γ μονὰσ τὸν Δ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Δ τὸν Ε. ἡ δὲ Γ μονὰσ τὸν Δ ἀριθμὸν μετρεῖ κατὰ τὰσ ἐν τῷ Δ μονάδασ· καὶ ὁ Δ ἄρα ἀριθμὸσ τὸν Ε μετρεῖ κατὰ τὰσ ἐν τῷ Δ μονάδασ· ὁ Δ ἄρα ἑαυτὸν πολλαπλασιάσασ τὸν Ε πεποίηκεν. πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ Γ [μονὰσ] πρὸσ τὸν Δ ἀριθμὸν, οὕτωσ ὁ Ε πρὸσ τὸν Α, ἰσάκισ ἄρα ἡ Γ μονὰσ τὸν Δ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Ε τὸν Α. ἡ δὲ Γ μονὰσ τὸν Δ ἀριθμὸν μετρεῖ κατὰ τὰσ ἐν τῷ Δ μονάδασ· καὶ ὁ Ε ἄρα τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰσ ἐν τῷ Δ μονάδασ· ὁ Δ ἄρα τὸν Ε πολλαπλασιάσασ τὸν Α πεποίηκεν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ μὲν Ζ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσασ τὸν Η πεποίηκεν, τὸν δὲ Η πολλαπλασιάσασ τὸν Β πεποίηκεν. καὶ ἐπεὶ ὁ Δ ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσασ τὸν Ε πεποίηκεν, τὸν δὲ Ζ πολλαπλασιάσασ τὸν Θ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Δ πρὸσ τὸν Ζ, οὕτωσ ὁ Ε πρὸσ τὸν Θ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡσ ὁ Δ πρὸσ τὸν Ζ, οὕτωσ ὁ Θ πρὸσ τὸν Η. καὶ ὡσ ἄρα ὁ Ε πρὸσ τὸν Θ, οὕτωσ ὁ Θ πρὸσ τὸν Η. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Δ ἑκάτερον τῶν Ε, Θ πολλαπλασιάσασ ἑκάτερον τῶν Α, Κ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Ε πρὸσ τὸν Θ, οὕτωσ ὁ Α πρὸσ τὸν Κ. ἀλλ’ ὡσ ὁ Ε πρὸσ τὸν Θ, οὕτωσ ὁ Δ πρὸσ τὸν Ζ· καὶ ὡσ ἄρα ὁ Δ πρὸσ τὸν Ζ, οὕτωσ ὁ Α πρὸσ τὸν Κ. πάλιν, ἐπεὶ ἑκάτεροσ τῶν Δ, Ζ τὸν Θ πολλαπλασιάσασ ἑκάτερον τῶν Κ, Λ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Δ πρὸσ τὸν Ζ, οὕτωσ ὁ Κ πρὸσ τὸν Λ. ἀλλ’ ὡσ ὁ Δ πρὸσ τὸν Ζ, οὕτωσ ὁ Α πρὸσ τὸν Κ· καὶ ὡσ ἄρα ὁ Α πρὸσ τὸν Κ, οὕτωσ ὁ Κ πρὸσ τὸν Λ. ἔτι ἐπεὶ ὁ Ζ ἑκάτερον τῶν Θ, Η πολλαπλασιάσασ ἑκάτερον τῶν Λ, Β πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Θ πρὸσ τὸν Η, οὕτωσ ὁ Λ πρὸσ τὸν Β. ὡσ δὲ ὁ Θ πρὸσ τὸν Η, οὕτωσ ὁ Δ πρὸσ τὸν Ζ· καὶ ὡσ ἄρα ὁ Δ πρὸσ τὸν Ζ, οὕτωσ ὁ Λ πρὸσ τὸν Β. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡσ ὁ Δ πρὸσ τὸν Ζ, οὕτωσ ὅ τε Α πρὸσ τὸν Κ καὶ ὁ Κ πρὸσ τὸν Λ· καὶ ὡσ ἄρα ὁ Α πρὸσ τὸν Κ, οὕτωσ ὁ Κ πρὸσ τὸν Λ καὶ ὁ Λ πρὸσ τὸν Β. οἱ Α, Κ, Λ, Β ἄρα κατὰ τὸ συνεχὲσ ἑξῆσ εἰσιν ἀνάλογον. ὅσοι ἄρα ἑκατέρου τῶν Α, Β καὶ τῆσ Γ μονάδοσ μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲσ ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ εἰσ τοὺσ Α, Β μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲσ ἐμπεσοῦνται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Δύο τετραγώνων ἀριθμῶν εἷσ μέσοσ ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμόσ, καὶ ὁ τετράγωνοσ πρὸσ τὸν τετράγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ πλευρὰ πρὸσ τὴν πλευράν. Ἔστωσαν τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, καὶ τοῦ μὲν Α πλευρὰ ἔστω ὁ Γ, τοῦ δὲ Β ὁ Δ· λέγω, ὅτι τῶν Α, Β εἷσ μέσοσ ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμόσ, καὶ ὁ Α πρὸσ τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ. Ὁ Γ γὰρ τὸν Δ πολλαπλασιάσασ τὸν Ε ποιείτω. καὶ ἐπεὶ τετράγωνόσ ἐστιν ὁ Α, πλευρὰ δὲ αὐτοῦ ἐστιν ὁ Γ, ὁ Γ ἄρα ἑαυτὸν πολλαπλασιάσασ τὸν Α πεποίηκεν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Δ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσασ τὸν Β πεποίηκεν. ἐπεὶ οὖν ὁ Γ ἑκάτερον τῶν Γ, Δ πολλαπλασιάσασ ἑκάτερον τῶν Α, Ε πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ, οὕτωσ ὁ Α πρὸσ τὸν Ε. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡσ ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ, οὕτωσ ὁ Ε πρὸσ τὸν Β. καὶ ὡσ ἄρα ὁ Α πρὸσ τὸν Ε, οὕτωσ ὁ Ε πρὸσ τὸν Β. τῶν Α, Β ἄρα εἷσ μέσοσ ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμόσ. Λέγω δή, ὅτι καὶ ὁ Α πρὸσ τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ. ἐπεὶ γὰρ τρεῖσ ἀριθμοὶ ἀνάλογόν εἰσιν οἱ Α, Ε, Β, ὁ Α ἄρα πρὸσ τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Α πρὸσ τὸν Ε. ὡσ δὲ ὁ Α πρὸσ τὸν Ε, οὕτωσ ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ. ὁ Α ἄρα πρὸσ τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Γ πλευρὰ πρὸσ τὴν Δ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Δύο κύβων ἀριθμῶν δύο μέσοι ἀνάλογόν εἰσιν ἀριθμοί, καὶ ὁ κύβοσ πρὸσ τὸν κύβον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ πλευρὰ πρὸσ τὴν πλευράν. Ἔστωσαν κύβοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β καὶ τοῦ μὲν Α πλευρὰ ἔστω ὁ Γ, τοῦ δὲ Β ὁ Δ· λέγω, ὅτι τῶν Α, Β δύο μέσοι ἀνάλογόν εἰσιν ἀριθμοί, καὶ ὁ Α πρὸσ τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ. Ὁ γὰρ Γ ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσασ τὸν Ε ποιείτω, τὸν δὲ Δ πολλαπλασιάσασ τὸν Ζ ποιείτω, ὁ δὲ Δ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσασ τὸν Η ποιείτω, ἑκάτεροσ δὲ τῶν Γ, Δ τὸν Ζ πολλαπλασιάσασ ἑκάτερον τῶν Θ, Κ ποιείτω. Καὶ ἐπεὶ κύβοσ ἐστὶν ὁ Α, πλευρὰ δὲ αὐτοῦ ὁ Γ, καὶ ὁ Γ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσασ τὸν Ε πεποίηκεν, ὁ Γ ἄρα ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσασ τὸν Ε πεποίηκεν, τὸν δὲ Ε πολλαπλασιάσασ τὸν Α πεποίηκεν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Δ ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσασ τὸν Η πεποίηκεν, τὸν δὲ Η πολλαπλασιάσασ τὸν Β πεποίηκεν. καὶ ἐπεὶ ὁ Γ ἑκάτερον τῶν Γ, Δ πολλαπλασιάσασ ἑκάτερον τῶν Ε, Ζ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ, οὕτωσ ὁ Ε πρὸσ τὸν Ζ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡσ ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ, οὕτωσ ὁ Ζ πρὸσ τὸν Η. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Γ ἑκάτερον τῶν Ε, Ζ πολλαπλασιάσασ ἑκάτερον τῶν Α, Θ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Ε πρὸσ τὸν Ζ, οὕτωσ ὁ Α πρὸσ τὸν Θ. ὡσ δὲ ὁ Ε πρὸσ τὸν Ζ, οὕτωσ ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ· καὶ ὡσ ἄρα ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ, οὕτωσ ὁ Α πρὸσ τὸν Θ. πάλιν, ἐπεὶ ἑκάτεροσ τῶν Γ, Δ τὸν Ζ πολλαπλασιάσασ ἑκάτερον τῶν Θ, Κ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ, οὕτωσ ὁ Θ πρὸσ τὸν Κ. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Δ ἑκάτερον τῶν Ζ, Η πολλαπλασιάσασ ἑκάτερον τῶν Κ, Β πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Ζ πρὸσ τὸν Η, οὕτωσ ὁ Κ πρὸσ τὸν Β. ὡσ δὲ ὁ Ζ πρὸσ τὸν Η, οὕτωσ ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ· καὶ ὡσ ἄρα ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ, οὕτωσ ὅ τε Α πρὸσ τὸν Θ καὶ ὁ Θ πρὸσ τὸν Κ καὶ ὁ Κ πρὸσ τὸν Β. τῶν Α, Β ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογόν εἰσιν οἱ Θ, Κ. Λέγω δή, ὅτι καὶ ὁ Α πρὸσ τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ. ἐπεὶ γὰρ τέσσαρεσ ἀριθμοὶ ἀνάλογόν εἰσιν οἱ Α, Θ, Κ, Β, ὁ Α ἄρα πρὸσ τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Α πρὸσ τὸν Θ. ὡσ δὲ ὁ Α πρὸσ τὸν Θ, οὕτωσ ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ· καὶ ὁ Α [ἄρα] πρὸσ τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ. ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ὦσιν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆσ ἀνάλογον, καὶ πολλαπλασιάσασ ἕκαστοσ ἑαυτὸν ποιῇ τινα, οἱ γενόμενοι ἐξ αὐτῶν ἀνάλογον ἔσονται· καὶ ἐὰν οἱ ἐξ ἀρχῆσ τοὺσ γενομένουσ πολλαπλασιάσαντεσ ποιῶσί τινασ, καὶ αὐτοὶ ἀνάλογον ἔσονται [καὶ ἀεὶ περὶ τοὺσ ἄκρουσ τοῦτο συμβαίνει]. Ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆσ ἀνάλογον, οἱ Α, Β, Γ, ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β, οὕτωσ ὁ Β πρὸσ τὸν Γ, καὶ οἱ Α, Β, Γ ἑαυτοὺσ μὲν πολλαπλασιάσαντεσ τοὺσ Δ, Ε, Ζ ποιείτωσαν, τοὺσ δὲ Δ, Ε, Ζ πολλαπλασιάσαντεσ τοὺσ Η, Θ, Κ ποιείτωσαν· λέγω, ὅτι οἵ τε Δ, Ε, Ζ καὶ οἱ Η, Θ, Κ ἑξῆσ ἀνάλογόν εἰσιν. Ὁ μὲν γὰρ Α τὸν Β πολλαπλασιάσασ τὸν Λ ποιείτω, ἑκάτεροσ δὲ τῶν Α, Β τὸν Λ πολλαπλασιάσασ ἑκάτερον τῶν Μ, Ν ποιείτω. καὶ πάλιν ὁ μὲν Β τὸν Γ πολλαπλασιάσασ τὸν Ξ ποιείτω, ἑκάτεροσ δὲ τῶν Β, Γ τὸν Ξ πολλαπλασιάσασ ἑκάτερον τῶν Ο, Π ποιείτω. Ὁμοίωσ δὴ τοῖσ ἐπάνω δείξομεν, ὅτι οἱ Δ, Λ, Ε καὶ οἱ Η, Μ, Ν, Θ ἑξῆσ εἰσιν ἀνάλογον ἐν τῷ τοῦ Α πρὸσ τὸν Β λόγῳ, καὶ ἔτι οἱ Ε, Ξ, Ζ καὶ οἱ Θ, Ο, Π, Κ ἑξῆσ εἰσιν ἀνάλογον ἐν τῷ τοῦ Β πρὸσ τὸν Γ λόγῳ. καί ἐστιν ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β, οὕτωσ ὁ Β πρὸσ τὸν Γ· καὶ οἱ Δ, Λ, Ε ἄρα τοῖσ Ε, Ξ, Ζ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶ καὶ ἔτι οἱ Η, Μ, Ν, Θ τοῖσ Θ, Ο, Π, Κ. καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν τῶν Δ, Λ, Ε πλῆθοσ τῷ τῶν Ε, Ξ, Ζ πλήθει, τὸ δὲ τῶν Η, Μ, Ν, Θ τῷ τῶν Θ, Ο, Π, Κ· δι’ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡσ μὲν ὁ Δ πρὸσ τὸν Ε, οὕτωσ ὁ Ε πρὸσ τὸν Ζ, ὡσ δὲ ὁ Η πρὸσ τὸν Θ, οὕτωσ ὁ Θ πρὸσ τὸν Κ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν τετράγωνοσ τετράγωνον μετρῇ, καὶ ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρήσει· καὶ ἐὰν ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρῇ, καὶ ὁ τετράγωνοσ τὸν τετράγωνον μετρήσει. Ἔστωσαν τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, πλευραὶ δὲ αὐτῶν ἔστωσαν οἱ Γ, Δ, ὁ δὲ Α τὸν Β μετρείτω· λέγω, ὅτι καὶ ὁ Γ τὸν Δ μετρεῖ. Ὁ Γ γὰρ τὸν Δ πολλαπλασιάσασ τὸν Ε ποιείτω· οἱ Α, Ε, Β ἄρα ἑξῆσ ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸσ τὸν Δ λόγῳ. καὶ ἐπεὶ οἱ Α, Ε, Β ἑξῆσ ἀνάλογόν εἰσιν, καὶ μετρεῖ ὁ Α τὸν Β, μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Α τὸν Ε. καί ἐστιν ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Ε, οὕτωσ ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ· μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Γ τὸν Δ. Πάλιν δὴ ὁ Γ τὸν Δ μετρείτω· λέγω, ὅτι καὶ ὁ Α τὸν Β μετρεῖ. Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίωσ δείξομεν, ὅτι οἱ Α, Ε, Β ἑξῆσ ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸσ τὸν Δ λόγῳ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ, οὕτωσ ὁ Α πρὸσ τὸν Ε, μετρεῖ δὲ ὁ Γ τὸν Δ, μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Α τὸν Ε. καί εἰσιν οἱ Α, Ε, Β ἑξῆσ ἀνάλογον· μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Α τὸν Β. Εἂν ἄρα τετράγωνοσ τετράγωνον μετρῇ, καὶ ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρήσει· καὶ ἐὰν ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρῇ, καὶ ὁ τετράγωνοσ τὸν τετράγωνον μετρήσει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν κύβοσ ἀριθμὸσ κύβον ἀριθμὸν μετρῇ, καὶ ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρήσει· καὶ ἐὰν ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρῇ, καὶ ὁ κύβοσ τὸν κύβον μετρήσει. Κύβοσ γὰρ ἀριθμὸσ ὁ Α κύβον τὸν Β μετρείτω, καὶ τοῦ μὲν Α πλευρὰ ἔστω ὁ Γ, τοῦ δὲ Β ὁ Δ· λέγω, ὅτι ὁ Γ τὸν Δ μετρεῖ. Ὁ Γ γὰρ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσασ τὸν Ε ποιείτω, ὁ δὲ Δ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσασ τὸν Η ποιείτω, καὶ ἔτι ὁ Γ τὸν Δ πολλαπλασιάσασ τὸν Ζ [ποιείτω], ἑκάτεροσ δὲ τῶν Γ, Δ τὸν Ζ πολλαπλασιάσασ ἑκάτερον τῶν Θ, Κ ποιείτω. φανερὸν δή, ὅτι οἱ Ε, Ζ, Η καὶ οἱ Α, Θ, Κ, Β ἑξῆσ ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸσ τὸν Δ λόγῳ. καὶ ἐπεὶ οἱ Α, Θ, Κ, Β ἑξῆσ ἀνάλογόν εἰσιν, καὶ μετρεῖ ὁ Α τὸν Β, μετρεῖ ἄρα καὶ τὸν Θ. καί ἐστιν ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Θ, οὕτωσ ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ· μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Γ τὸν Δ. Ἀλλὰ δὴ μετρείτω ὁ Γ τὸν Δ· λέγω, ὅτι καὶ ὁ Α τὸν Β μετρήσει. Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι οἱ Α, Θ, Κ, Β ἑξῆσ ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸσ τὸν Δ λόγῳ. καὶ ἐπεὶ ὁ Γ τὸν Δ μετρεῖ, καί ἐστιν ὡσ ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ, οὕτωσ ὁ Α πρὸσ τὸν Θ, καὶ ὁ Α ἄρα τὸν Θ μετρεῖ· ὥστε καὶ τὸν Β μετρεῖ ὁ Α· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ τετράγωνον ἀριθμὸν μὴ μετρῇ, οὐδὲ ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρήσει· κἂν ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μὴ μετρῇ, οὐδὲ ὁ τετράγωνοσ τὸν τετράγωνον μετρήσει. ἔστωσαν τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, πλευραὶ δὲ αὐτῶν ἔστωσαν οἱ Γ, Δ, καὶ μὴ μετρείτω ὁ Α τὸν Β· λέγω, ὅτι οὐδὲ ὁ Γ τὸν Δ μετρεῖ. Εἰ γὰρ μετρεῖ ὁ Γ τὸν Δ, μετρήσει καὶ ὁ Α τὸν Β. οὐ μετρεῖ δὲ ὁ Α τὸν Β· οὐδὲ ἄρα ὁ Γ τὸν Δ μετρήσει. Μὴ μετρείτω [δὴ] πάλιν ὁ Γ τὸν Δ· λέγω, ὅτι οὐδὲ ὁ Α τὸν Β μετρήσει. Εἰ γὰρ μετρεῖ ὁ Α τὸν Β, μετρήσει καὶ ὁ Γ τὸν Δ. οὐ μετρεῖ δὲ ὁ Γ τὸν Δ· οὐδ’ ἄρα ὁ Α τὸν Β μετρήσει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν κύβοσ ἀριθμὸσ κύβον ἀριθμὸν μὴ μετρῇ, οὐδὲ ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρήσει· κἂν ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μὴ μετρῇ, οὐδὲ ὁ κύβοσ τὸν κύβον μετρήσει. Κύβοσ γὰρ ἀριθμὸσ ὁ Α κύβον ἀριθμὸν τὸν Β μὴ μετρείτω, καὶ τοῦ μὲν Α πλευρὰ ἔστω ὁ Γ, τοῦ δὲ Β ὁ Δ· λέγω, ὅτι ὁ Γ τὸν Δ οὐ μετρήσει. Εἰ γὰρ μετρεῖ ὁ Γ τὸν Δ, καὶ ὁ Α τὸν Β μετρήσει. οὐ μετρεῖ δὲ ὁ Α τὸν Β· οὐδ’ ἄρα ὁ Γ τὸν Δ μετρεῖ. Ἀλλὰ δὴ μὴ μετρείτω ὁ Γ τὸν Δ· λέγω, ὅτι οὐδὲ ὁ Α τὸν Β μετρήσει. Εἰ γὰρ ὁ Α τὸν Β μετρεῖ, καὶ ὁ Γ τὸν Δ μετρήσει. οὐ μετρεῖ δὲ ὁ Γ τὸν Δ· οὐδ’ ἄρα ὁ Α τὸν Β μετρήσει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Δύο ὁμοίων ἐπιπέδων ἀριθμῶν εἷσ μέσοσ ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμόσ· καὶ ὁ ἐπίπεδοσ πρὸσ τὸν ἐπίπεδον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογοσ πλευρὰ πρὸσ τὴν ὁμόλογον πλευράν. Ἔστωσαν δύο ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, καὶ τοῦ μὲν Α πλευραὶ ἔστωσαν οἱ Γ, Δ ἀριθμοί, τοῦ δὲ Β οἱ Ε, Ζ. καὶ ἐπεὶ ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν οἱ ἀνάλογον ἔχοντεσ τὰσ πλευράσ, ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ, οὕτωσ ὁ Ε πρὸσ τὸν Ζ. λέγω οὖν, ὅτι τῶν Α, Β εἷσ μέσοσ ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμόσ, καὶ ὁ Α πρὸσ τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸσ τὸν Ε ἢ ὁ Δ πρὸσ τὸν Ζ, τουτέστιν ἤπερ ἡ ὁμόλογοσ πλευρὰ πρὸσ τὴν ὁμόλογον [πλευράν]. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ, οὕτωσ ὁ Ε πρὸσ τὸν Ζ, ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡσ ὁ Γ πρὸσ τὸν Ε, ὁ Δ πρὸσ τὸν Ζ. καὶ ἐπεὶ ἐπίπεδόσ ἐστιν ὁ Α, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ οἱ Γ, Δ, ὁ Δ ἄρα τὸν Γ πολλαπλασιάσασ τὸν Α πεποίηκεν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Ε τὸν Ζ πολλαπλασιάσασ τὸν Β πεποίηκεν. ὁ Δ δὴ τὸν Ε πολλαπλασιάσασ τὸν Η ποιείτω. καὶ ἐπεὶ ὁ Δ τὸν μὲν Γ πολλαπλασιάσασ τὸν Α πεποίηκεν, τὸν δὲ Ε πολλαπλασιάσασ τὸν Η πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Γ πρὸσ τὸν Ε, οὕτωσ ὁ Α πρὸσ τὸν Η. ἀλλ’ ὡσ ὁ Γ πρὸσ τὸν Ε, [οὕτωσ] ὁ Δ πρὸσ τὸν Ζ· καὶ ὡσ ἄρα ὁ Δ πρὸσ τὸν Ζ, οὕτωσ ὁ Α πρὸσ τὸν Η. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Ε τὸν μὲν Δ πολλαπλασιάσασ τὸν Η πεποίηκεν, τὸν δὲ Ζ πολλαπλασιάσασ τὸν Β πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Δ πρὸσ τὸν Ζ, οὕτωσ ὁ Η πρὸσ τὸν Β. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡσ ὁ Δ πρὸσ τὸν Ζ, οὕτωσ ὁ Α πρὸσ τὸν Η· καὶ ὡσ ἄρα ὁ Α πρὸσ τὸν Η, οὕτωσ ὁ Η πρὸσ τὸν Β. οἱ Α, Η, Β ἄρα ἑξῆσ ἀνάλογόν εἰσιν. τῶν Α, Β ἄρα εἷσ μέσοσ ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμόσ. Λέγω δή, ὅτι καὶ ὁ Α πρὸσ τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογοσ πλευρὰ πρὸσ τὴν ὁμόλογον πλευράν, τουτέστιν ἤπερ ὁ Γ πρὸσ τὸν Ε ἢ ὁ Δ πρὸσ τὸν Ζ. ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Η, Β ἑξῆσ ἀνάλογόν εἰσιν, ὁ Α πρὸσ τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸσ τὸν Η. καί ἐστιν ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Η, οὕτωσ ὅ τε Γ πρὸσ τὸν Ε καὶ ὁ Δ πρὸσ τὸν Ζ. καὶ ὁ Α ἄρα πρὸσ τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸσ τὸν Ε ἢ ὁ Δ πρὸσ τὸν Ζ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Δύο ὁμοίων στερεῶν ἀριθμῶν δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί· καὶ ὁ στερεὸσ πρὸσ τὸν ὅμοιον στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογοσ πλευρὰ πρὸσ τὴν ὁμόλογον πλευράν. Ἔστωσαν δύο ὅμοιοι στερεοὶ οἱ Α, Β, καὶ τοῦ μὲν Α πλευραὶ ἔστωσαν οἱ Γ, Δ, Ε, τοῦ δὲ Β οἱ Ζ, Η, Θ. καὶ ἐπεὶ ὅμοιοι στερεοί εἰσιν οἱ ἀνάλογον ἔχοντεσ τὰσ πλευράσ, ἔστιν ἄρα ὡσ μὲν ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ, οὕτωσ ὁ Ζ πρὸσ τὸν Η, ὡσ δὲ ὁ Δ πρὸσ τὸν Ε, οὕτωσ ὁ Η πρὸσ τὸν Θ. λέγω, ὅτι τῶν Α, Β δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί, καὶ ὁ Α πρὸσ τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸσ τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸσ τὸν Η καὶ ἔτι ὁ Ε πρὸσ τὸν Θ. Ὁ Γ γὰρ τὸν Δ πολλαπλασιάσασ τὸν Κ ποιείτω, ὁ δὲ Ζ τὸν Η πολλαπλασιάσασ τὸν Λ ποιείτω. καὶ ἐπεὶ οἱ Γ, Δ τοῖσ Ζ, Η ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσίν, καὶ ἐκ μὲν τῶν Γ, Δ ἐστιν ὁ Κ, ἐκ δὲ τῶν Ζ, Η ὁ Λ, οἱ Κ, Λ [ἄρα] ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί· τῶν Κ, Λ ἄρα εἷσ μέσοσ ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμόσ. ἔστω ὁ Μ. ὁ Μ ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Δ, Ζ, ὡσ ἐν τῷ πρὸ τούτου θεωρήματι ἐδείχθη. καὶ ἐπεὶ ὁ Δ τὸν μὲν Γ πολλαπλασιάσασ τὸν Κ πεποίηκεν, τὸν δὲ Ζ πολλαπλασιάσασ τὸν Μ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Γ πρὸσ τὸν Ζ, οὕτωσ ὁ Κ πρὸσ τὸν Μ. ἀλλ’ ὡσ ὁ Κ πρὸσ τὸν Μ, ὁ Μ πρὸσ τὸν Λ. οἱ Κ, Μ, Λ ἄρα ἑξῆσ εἰσιν ἀνάλογον ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸσ τὸν Ζ λόγῳ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ, οὕτωσ ὁ Ζ πρὸσ τὸν Η, ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡσ ὁ Γ πρὸσ τὸν Ζ, οὕτωσ ὁ Δ πρὸσ τὸν Η. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡσ ὁ Δ πρὸσ τὸν Η, οὕτωσ ὁ Ε πρὸσ τὸν Θ. οἱ Κ, Μ, Λ ἄρα ἑξῆσ εἰσιν ἀνάλογον ἔν τε τῷ τοῦ Γ πρὸσ τὸν Ζ λόγῳ καὶ τῷ τοῦ Δ πρὸσ τὸν Η καὶ ἔτι τῷ τοῦ Ε πρὸσ τὸν Θ. ἑκάτεροσ δὴ τῶν Ε, Θ τὸν Μ πολλαπλασιάσασ ἑκάτερον τῶν Ν, Ξ ποιείτω. καὶ ἐπεὶ στερεόσ ἐστιν ὁ Α, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ εἰσιν οἱ Γ, Δ, Ε, ὁ Ε ἄρα τὸν ἐκ τῶν Γ, Δ πολλαπλασιάσασ τὸν Α πεποίηκεν. ὁ δὲ ἐκ τῶν Γ, Δ ἐστιν ὁ Κ· ὁ Ε ἄρα τὸν Κ πολλαπλασιάσασ τὸν Α πεποίηκεν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Θ τὸν Λ πολλαπλασιάσασ τὸν Β πεποίηκεν. καὶ ἐπεὶ ὁ Ε τὸν Κ πολλαπλασιάσασ τὸν Α πεποίηκεν, ἀλλὰ μὴν καὶ τὸν Μ πολλαπλασιάσασ τὸν Ν πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Κ πρὸσ τὸν Μ, οὕτωσ ὁ Α πρὸσ τὸν Ν. ὡσ δὲ ὁ Κ πρὸσ τὸν Μ, οὕτωσ ὅ τε Γ πρὸσ τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸσ τὸν Η καὶ ἔτι ὁ Ε πρὸσ τὸν Θ· καὶ ὡσ ἄρα ὁ Γ πρὸσ τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸσ τὸν Η καὶ ὁ Ε πρὸσ τὸν Θ, οὕτωσ ὁ Α πρὸσ τὸν Ν. πάλιν, ἐπεὶ ἑκάτεροσ τῶν Ε, Θ τὸν Μ πολλαπλασιάσασ ἑκάτερον τῶν Ν, Ξ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Ε πρὸσ τὸν Θ, οὕτωσ ὁ Ν πρὸσ τὸν Ξ. ἀλλ’ ὡσ ὁ Ε πρὸσ τὸν Θ, οὕτωσ ὅ τε Γ πρὸσ τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸσ τὸν Η· καὶ ὡσ ἄρα ὁ Γ πρὸσ τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸσ τὸν Η καὶ ὁ Ε πρὸσ τὸν Θ, οὕτωσ ὅ τε Α πρὸσ τὸν Ν καὶ ὁ Ν πρὸσ τὸν Ξ. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Θ τὸν Μ πολλαπλασιάσασ τὸν Ξ πεποίηκεν, ἀλλὰ μὴν καὶ τὸν Λ πολλαπλασιάσασ τὸν Β πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Μ πρὸσ τὸν Λ, οὕτωσ ὁ Ξ πρὸσ τὸν Β. ἀλλ’ ὡσ ὁ Μ πρὸσ τὸν Λ, οὕτωσ ὅ τε Γ πρὸσ τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸσ τὸν Η καὶ ὁ Ε πρὸσ τὸν Θ. καὶ ὡσ ἄρα ὁ Γ πρὸσ τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸσ τὸν Η καὶ ὁ Ε πρὸσ τὸν Θ, οὕτωσ οὐ μόνον ὁ Ξ πρὸσ τὸν Β, ἀλλὰ καὶ ὁ Α πρὸσ τὸν Ν καὶ ὁ Ν πρὸσ τὸν Ξ. οἱ Α, Ν, Ξ, Β ἄρα ἑξῆσ εἰσιν ἀνάλογον ἐν τοῖσ εἰρημένοισ τῶν πλευρῶν λόγοισ. Λέγω, ὅτι καὶ ὁ Α πρὸσ τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογοσ πλευρὰ πρὸσ τὴν ὁμόλογον πλευράν, τουτέστιν ἤπερ ὁ Γ ἀριθμὸσ πρὸσ τὸν Ζ ἢ ὁ Δ πρὸσ τὸν Η καὶ ἔτι ὁ Ε πρὸσ τὸν Θ. ἐπεὶ γὰρ τέσσαρεσ ἀριθμοὶ ἑξῆσ ἀνάλογόν εἰσιν οἱ Α, Ν, Ξ, Β, ὁ Α ἄρα πρὸσ τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Α πρὸσ τὸν Ν. ἀλλ’ ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Ν, οὕτωσ ἐδείχθη ὅ τε Γ πρὸσ τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸσ τὸν Η καὶ ἔτι ὁ Ε πρὸσ τὸν Θ. καὶ ὁ Α ἄρα πρὸσ τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογοσ πλευρὰ πρὸσ τὴν ὁμόλογον πλευράν, τουτέστιν ἤπερ ὁ Γ ἀριθμὸσ πρὸσ τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸσ τὸν Η καὶ ἔτι ὁ Ε πρὸσ τὸν Θ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν δύο ἀριθμῶν εἷσ μέσοσ ἀνάλογον ἐμπίπτῃ ἀριθμόσ, ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἔσονται οἱ ἀριθμοί. Δύο γὰρ ἀριθμῶν τῶν Α, Β εἷσ μέσοσ ἀνάλογον ἐμπιπτέτω ἀριθμὸσ ὁ Γ· λέγω, ὅτι οἱ Α, Β ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί. Εἰλήφθωσαν [γὰρ] ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖσ Α, Γ οἱ Δ, Ε· ἰσάκισ ἄρα ὁ Δ τὸν Α μετρεῖ καὶ ὁ Ε τὸν Γ. ὁσάκισ δὴ ὁ Δ τὸν Α μετρεῖ, τοσαῦται μονάδεσ ἔστωσαν ἐν τῷ Ζ· ὁ Ζ ἄρα τὸν Δ πολλαπλασιάσασ τὸν Α πεποίηκεν. ὥστε ὁ Α ἐπίπεδόσ ἐστιν, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ οἱ Δ, Ζ. πάλιν, ἐπεὶ οἱ Δ, Ε ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖσ Γ, Β, ἰσάκισ ἄρα ὁ Δ τὸν Γ μετρεῖ καὶ ὁ Ε τὸν Β. ὁσάκισ δὴ ὁ Ε τὸν Β μετρεῖ, τοσαῦται μονάδεσ ἔστωσαν ἐν τῷ Η. ὁ Ε ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰσ ἐν τῷ Η μονάδασ· ὁ Η ἄρα τὸν Ε πολλαπλασιάσασ τὸν Β πεποίηκεν. ὁ Β ἄρα ἐπίπεδόσ ἐστι, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ εἰσιν οἱ Ε, Η. οἱ Α, Β ἄρα ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί. λέγω δή, ὅτι καὶ ὅμοιοι. ἐπεὶ γὰρ ὁ Ζ τὸν μὲν Δ πολλαπλασιάσασ τὸν Α πεποίηκεν, τὸν δὲ Ε πολλαπλασιάσασ τὸν Γ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Δ πρὸσ τὸν Ε, οὕτωσ ὁ Α πρὸσ τὸν Γ, τουτέστιν ὁ Γ πρὸσ τὸν Β. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Ε ἑκάτερον τῶν Ζ, Η πολλαπλασιάσασ τοὺσ Γ, Β πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Ζ πρὸσ τὸν Η, οὕτωσ ὁ Γ πρὸσ τὸν Β. ὡσ δὲ ὁ Γ πρὸσ τὸν Β, οὕτωσ ὁ Δ πρὸσ τὸν Ε· καὶ ὡσ ἄρα ὁ Δ πρὸσ τὸν Ε, οὕτωσ ὁ Ζ πρὸσ τὸν Η. καὶ ἐναλλὰξ ὡσ ὁ Δ πρὸσ τὸν Ζ, οὕτωσ ὁ Ε πρὸσ τὸν Η. οἱ Α, Β ἄρα ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί· αἱ γὰρ πλευραὶ αὐτῶν ἀνάλογόν εἰσιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν δύο ἀριθμῶν δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτωσιν ἀριθμοί, ὅμοιοι στερεοί εἰσιν οἱ ἀριθμοί. Δύο γὰρ ἀριθμῶν τῶν Α, Β δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπιπτέτωσαν ἀριθμοὶ οἱ Γ, Δ· λέγω, ὅτι οἱ Α, Β ὅμοιοι στερεοί εἰσιν. Εἰλήφθωσαν γὰρ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖσ Α, Γ, Δ τρεῖσ οἱ Ε, Ζ, Η· οἱ ἄρα ἄκροι αὐτῶν οἱ Ε, Η πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν. καὶ ἐπεὶ τῶν Ε, Η εἷσ μέσοσ ἀνάλογον ἐμπέπτωκεν ἀριθμὸσ ὁ Ζ, οἱ Ε, Η ἄρα ἀριθμοὶ ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν. ἔστωσαν οὖν τοῦ μὲν Ε πλευραὶ οἱ Θ, Κ, τοῦ δὲ Η οἱ Λ, Μ. φανερὸν ἄρα ἐστὶν ἐκ τοῦ πρὸ τούτου, ὅτι οἱ Ε, Ζ, Η ἑξῆσ εἰσιν ἀνάλογον ἔν τε τῷ τοῦ Θ πρὸσ τὸν Λ λόγῳ καὶ τῷ τοῦ Κ πρὸσ τὸν Μ. καὶ ἐπεὶ οἱ Ε, Ζ, Η ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖσ Α, Γ, Δ, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθοσ τῶν Ε, Ζ, Η τῷ πλήθει τῶν Α, Γ, Δ, δι’ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡσ ὁ Ε πρὸσ τὸν Η, οὕτωσ ὁ Α πρὸσ τὸν Δ. οἱ δὲ Ε, Η πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺσ τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντασ αὐτοῖσ ἰσάκισ ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα, τουτέστιν ὅ τε ἡγούμενοσ τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενοσ τὸν ἑπόμενον· ἰσάκισ ἄρα ὁ Ε τὸν Α μετρεῖ καὶ ὁ Η τὸν Δ. ὁσάκισ δὴ ὁ Ε τὸν Α μετρεῖ, τοσαῦται μονάδεσ ἔστωσαν ἐν τῷ Ν. ὁ Ν ἄρα τὸν Ε πολλαπλασιάσασ τὸν Α πεποίηκεν. ὁ δὲ Ε ἐστιν ὁ ἐκ τῶν Θ, Κ· ὁ Ν ἄρα τὸν ἐκ τῶν Θ, Κ πολλαπλασιάσασ τὸν Α πεποίηκεν. στερεὸσ ἄρα ἐστὶν ὁ Α, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ εἰσιν οἱ Θ, Κ, Ν. πάλιν, ἐπεὶ οἱ Ε, Ζ, Η ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖσ Γ, Δ, Β, ἰσάκισ ἄρα ὁ Ε τὸν Γ μετρεῖ καὶ ὁ Η τὸν Β. ὁσάκισ δὴ ὁ Ε τὸν Γ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδεσ ἔστωσαν ἐν τῷ Ξ. ὁ Η ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰσ ἐν τῷ Ξ μονάδασ· ὁ Ξ ἄρα τὸν Η πολλαπλασιάσασ τὸν Β πεποίηκεν. ὁ δὲ Η ἐστιν ὁ ἐκ τῶν Λ, Μ· ὁ Ξ ἄρα τὸν ἐκ τῶν Λ, Μ πολλαπλασιάσασ τὸν Β πεποίηκεν. στερεὸσ ἄρα ἐστὶν ὁ Β, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ εἰσιν οἱ Λ, Μ, Ξ· οἱ Α, Β ἄρα στερεοί εἰσιν. Λέγω [δή], ὅτι καὶ ὅμοιοι. ἐπεὶ γὰρ οἱ Ν, Ξ τὸν Ε πολλαπλασιάσαντεσ τοὺσ Α, Γ πεποιήκασιν, ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Ν πρὸσ τὸν Ξ, ὁ Α πρὸσ τὸν Γ, τουτέστιν ὁ Ε πρὸσ τὸν Ζ. ἀλλ’ ὡσ ὁ Ε πρὸσ τὸν Ζ, ὁ Θ πρὸσ τὸν Λ καὶ ὁ Κ πρὸσ τὸν Μ· καὶ ὡσ ἄρα ὁ Θ πρὸσ τὸν Λ, οὕτωσ ὁ Κ πρὸσ τὸν Μ καὶ ὁ Ν πρὸσ τὸν Ξ. καί εἰσιν οἱ μὲν Θ, Κ, Ν πλευραὶ τοῦ Α, οἱ δὲ Ξ, Λ, Μ πλευραὶ τοῦ Β. οἱ Α, Β ἄρα ἀριθμοὶ ὅμοιοι στερεοί εἰσιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν τρεῖσ ἀριθμοὶ ἑξῆσ ἀνάλογον ὦσιν, ὁ δὲ πρῶτοσ τετράγωνοσ ᾖ, καὶ ὁ τρίτοσ τετράγωνοσ ἔσται. Ἔστωσαν τρεῖσ ἀριθμοὶ ἑξῆσ ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, ὁ δὲ πρῶτοσ ὁ Α τετράγωνοσ ἔστω· λέγω, ὅτι καὶ ὁ τρίτοσ ὁ Γ τετράγωνόσ ἐστιν. Ἐπεὶ γὰρ τῶν Α, Γ εἷσ μέσοσ ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμὸσ ὁ Β, οἱ Α, Γ ἄρα ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν. τετράγωνοσ δὲ ὁ Α· τετράγωνοσ ἄρα καὶ ὁ Γ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν τέσσαρεσ ἀριθμοὶ ἑξῆσ ἀνάλογον ὦσιν, ὁ δὲ πρῶτοσ κύβοσ ᾖ, καὶ ὁ τέταρτοσ κύβοσ ἔσται. Ἔστωσαν τέσσαρεσ ἀριθμοὶ ἑξῆσ ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ, ὁ δὲ Α κύβοσ ἔστω· λέγω, ὅτι καὶ ὁ Δ κύβοσ ἐστίν. Ἐπεὶ γὰρ τῶν Α, Δ δύο μέσοι ἀνάλογόν εἰσιν ἀριθμοὶ οἱ Β, Γ, οἱ Α, Δ ἄρα ὅμοιοί εἰσι στερεοὶ ἀριθμοί. κύβοσ δὲ ὁ Α· κύβοσ ἄρα καὶ ὁ Δ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν δύο ἀριθμοὶ πρὸσ ἀλλήλουσ λόγον ἔχωσιν, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν, ὁ δὲ πρῶτοσ τετράγωνοσ ᾖ, καὶ ὁ δεύτεροσ τετράγωνοσ ἔσται. Δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β πρὸσ ἀλλήλουσ λόγον ἐχέτωσαν, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ ὁ Γ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμὸν τὸν Δ, ὁ δὲ Α τετράγωνοσ ἔστω· λέγω, ὅτι καὶ ὁ Β τετράγωνόσ ἐστιν. Ἐπεὶ γὰρ οἱ Γ, Δ τετράγωνοί εἰσιν, οἱ Γ, Δ ἄρα ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν. τῶν Γ, Δ ἄρα εἷσ μέσοσ ἀνάλογον ἐμπίπτει ἀριθμόσ. καί ἐστιν ὡσ ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ, ὁ Α πρὸσ τὸν Β· καὶ τῶν Α, Β ἄρα εἷσ μέσοσ ἀνάλογον ἐμπίπτει ἀριθμόσ. καί ἐστιν ὁ Α τετράγωνοσ· καὶ ὁ Β ἄρα τετράγωνόσ ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν δύο ἀριθμοὶ πρὸσ ἀλλήλουσ λόγον ἔχωσιν, ὃν κύβοσ ἀριθμὸσ πρὸσ κύβον ἀριθμόν, ὁ δὲ πρῶτοσ κύβοσ ᾖ, καὶ ὁ δεύτεροσ κύβοσ ἔσται. Δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β πρὸσ ἀλλήλουσ λόγον ἐχέτωσαν, ὃν κύβοσ ἀριθμὸσ ὁ Γ πρὸσ κύβον ἀριθμὸν τὸν Δ, κύβοσ δὲ ἔστω ὁ Α· λέγω [δή], ὅτι καὶ ὁ Β κύβοσ ἐστίν. Ἐπεὶ γὰρ οἱ Γ, Δ κύβοι εἰσίν, οἱ Γ, Δ ὅμοιοι στερεοί εἰσιν· τῶν Γ, Δ ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί. ὅσοι δὲ εἰσ τοὺσ Γ, Δ μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲσ ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν, τοσοῦτοι καὶ εἰσ τοὺσ τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντασ αὐτοῖσ· ὥστε καὶ τῶν Α, Β δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί. ἐμπιπτέτωσαν οἱ Ε, Ζ. ἐπεὶ οὖν τέσσαρεσ ἀριθμοὶ οἱ Α, Ε, Ζ, Β ἑξῆσ ἀνάλογόν εἰσιν, καί ἐστι κύβοσ ὁ Α, κύβοσ ἄρα καὶ ὁ Β· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Οἱ ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ πρὸσ ἀλλήλουσ λόγον ἔχουσιν, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν. Ἔστωσαν ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β· λέγω, ὅτι ὁ Α πρὸσ τὸν Β λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν. Ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Β ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν, τῶν Α, Β ἄρα εἷσ μέσοσ ἀνάλογον ἐμπίπτει ἀριθμόσ. ἐμπιπτέτω καὶ ἔστω ὁ Γ, καὶ εἰλήφθωσαν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖσ Α, Γ, Β οἱ Δ, Ε, Ζ· οἱ ἄρα ἄκροι αὐτῶν οἱ Δ, Ζ τετράγωνοί εἰσιν. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ὁ Δ πρὸσ τὸν Ζ, οὕτωσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β, καί εἰσιν οἱ Δ, Ζ τετράγωνοι, ὁ Α ἄρα πρὸσ τὸν Β λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Οἱ ὅμοιοι στερεοὶ ἀριθμοὶ πρὸσ ἀλλήλουσ λόγον ἔχουσιν, ὃν κύβοσ ἀριθμὸσ πρὸσ κύβον ἀριθμόν. Ἔστωσαν ὅμοιοι στερεοὶ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β· λέγω, ὅτι ὁ Α πρὸσ τὸν Β λόγον ἔχει, ὃν κύβοσ ἀριθμὸσ πρὸσ κύβον ἀριθμόν. Ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Β ὅμοιοι στερεοί εἰσιν, τῶν Α, Β ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί. ἐμπιπτέτωσαν οἱ Γ, Δ, καὶ εἰλήφθωσαν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖσ Α, Γ, Δ, Β ἴσοι αὐτοῖσ τὸ πλῆθοσ οἱ Ε, Ζ, Η, Θ· οἱ ἄρα ἄκροι αὐτῶν οἱ Ε, Θ κύβοι εἰσίν. καί ἐστιν ὡσ ὁ Ε πρὸσ τὸν Θ, οὕτωσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β· καὶ ὁ Α ἄρα πρὸσ τὸν Β λόγον ἔχει, ὃν κύβοσ ἀριθμὸσ πρὸσ κύβον ἀριθμόν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.