Euclid, Elements, book 13, type Prop

(유클리드, Elements, book 13, type Prop)

Εἂν εὐθεῖα γραμμὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, τὸ μεῖζον τμῆμα προσλαβὸν τὴν ἡμίσειαν τῆσ ὅλησ πενταπλάσιον δύναται τοῦ ἀπὸ τῆσ ἡμισείασ τετραγώνου. Εὐθεῖα γὰρ γραμμὴ ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω κατὰ τὸ Γ σημεῖον, καὶ ἔστω μεῖζον τμῆμα τὸ ΑΓ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπ’ εὐθείασ τῇ ΓΑ εὐθεῖα ἡ ΑΔ, καὶ κείσθω τῆσ ΑΒ ἡμίσεια ἡ ΑΔ· λέγω, ὅτι πενταπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΓΔ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΔΑ. Ἀναγεγράφθωσαν γὰρ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΔΓ τετράγωνα τὰ ΑΕ, ΔΖ, καὶ καταγεγράφθω ἐν τῷ ΔΖ τὸ σχῆμα, καὶ διήχθω ἡ ΖΓ ἐπὶ τὸ Η. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Γ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΓ. καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΑΒΓ τὸ ΓΕ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆσ ΑΓ τὸ ΖΘ· ἴσον ἄρα τὸ ΓΕ τῷ ΖΘ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΒΑ τῆσ ΑΔ, ἴση δὲ ἡ μὲν ΒΑ τῇ ΚΑ, ἡ δὲ ΑΔ τῇ ΑΘ, διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΚΑ τῆσ ΑΘ. ὡσ δὲ ἡ ΚΑ πρὸσ τὴν ΑΘ, οὕτωσ τὸ ΓΚ πρὸσ τὸ ΓΘ· διπλάσιον ἄρα τὸ ΓΚ τοῦ ΓΘ. εἰσὶ δὲ καὶ τὰ ΛΘ, ΘΓ διπλάσια τοῦ ΓΘ. ἴσον ἄρα τὸ ΚΓ τοῖσ ΛΘ, ΘΓ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ΓΕ τῷ ΘΖ ἴσον· ὅλον ἄρα τὸ ΑΕ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ΜΝΞ γνώμονι. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΒΑ τῆσ ΑΔ, τετραπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΑ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΑΔ, τουτέστι τὸ ΑΕ τοῦ ΔΘ. ἴσον δὲ τὸ ΑΕ τῷ ΜΝΞ γνώμονι· καὶ ὁ ΜΝΞ ἄρα γνώμων τετραπλάσιόσ ἐστι τοῦ ΑΟ· ὅλον ἄρα τὸ ΔΖ πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΟ. καί ἐστι τὸ μὲν ΔΖ τὸ ἀπὸ τῆσ ΔΓ, τὸ δὲ ΑΟ τὸ ἀπὸ τῆσ ΔΑ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆσ ΓΔ πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΔΑ. Εἂν ἄρα εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, τὸ μεῖζον τμῆμα προσλαβὸν τὴν ἡμίσειαν τῆσ ὅλησ πενταπλάσιον δύναται τοῦ ἀπὸ τῆσ ἡμισείασ τετραγώνου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν εὐθεῖα γραμμὴ τμήματοσ ἑαυτῆσ πενταπλάσιον δύνηται, τῆσ διπλασίασ τοῦ εἰρημένου τμήματοσ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένησ τὸ μεῖζον τμῆμα τὸ λοιπὸν μέροσ ἐστὶ τῆσ ἐξ ἀρχῆσ εὐθείασ. Εὐθεῖα γὰρ γραμμὴ ἡ ΑΒ τμήματοσ ἑαυτῆσ τοῦ ΑΓ πενταπλάσιον δυνάσθω, τῆσ δὲ ΑΓ διπλῆ ἔστω ἡ ΓΔ· λέγω, ὅτι τῆσ ΓΔ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένησ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΓΒ. Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀφ’ ἑκατέρασ τῶν ΑΒ, ΓΔ τετράγωνα τὰ ΑΖ, ΓΗ, καὶ καταγεγράφθω ἐν τῷ ΑΖ τὸ σχῆμα, καὶ διήχθω ἡ ΒΕ. καὶ ἐπεὶ πενταπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΑ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΑΓ, πενταπλάσιόν ἐστι τὸ ΑΖ τοῦ ΑΘ. τετραπλάσιοσ ἄρα ὁ ΜΝΞ γνώμων τοῦ ΑΘ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΔΓ τῆσ ΓΑ, τετραπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ ΔΓ τοῦ ἀπὸ ΓΑ, τουτέστι τὸ ΓΗ τοῦ ΑΘ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὁ ΜΝΞ γνώμων τετραπλάσιοσ τοῦ ΑΘ· ἴσοσ ἄρα ὁ ΜΝΞ γνώμων τῷ ΓΗ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΔΓ τῆσ ΓΑ, ἴση δὲ ἡ μὲν ΔΓ τῇ ΓΚ, ἡ δὲ ΑΓ τῇ ΓΘ [διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΚΓ τῆσ ΓΘ], διπλάσιον ἄρα καὶ τὸ ΚΒ τοῦ ΒΘ. εἰσὶ δὲ καὶ τὰ ΛΘ, ΘΒ τοῦ ΘΒ διπλάσια· ἴσον ἄρα τὸ ΚΒ τοῖσ ΛΘ, ΘΒ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὅλοσ ὁ ΜΝΞ γνώμων ὅλῳ τῷ ΓΗ ἴσοσ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΘΖ τῷ ΒΗ ἐστιν ἴσον. καί ἐστι τὸ μὲν ΒΗ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔΒ· ἴση γὰρ ἡ ΓΔ τῇ ΔΗ· τὸ δὲ ΘΖ τὸ ἀπὸ τῆσ ΓΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΔΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΓΒ. ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΔΓ πρὸσ τὴν ΓΒ, οὕτωσ ἡ ΓΒ πρὸσ τὴν ΒΔ. μείζων δὲ ἡ ΔΓ τῆσ ΓΒ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΓΒ τῆσ ΒΔ. τῆσ ΓΔ ἄρα εὐθείασ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένησ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΓΒ. Εἂν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμήματοσ ἑαυτῆσ πενταπλάσιον δύνηται, τῆσ διπλασίασ τοῦ εἰρημένου τμήματοσ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένησ τὸ μεῖζον τμῆμα τὸ λοιπὸν μέροσ ἐστὶ τῆσ ἐξ ἀρχῆσ εὐθείασ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Λῆμμα Ὅτι δὲ ἡ διπλῆ τῆσ ΑΓ μείζων ἐστὶ τῆσ ΒΓ, οὕτωσ δεικτέον. Εἰ γὰρ μή, ἔστω, εἰ δυνατόν, ἡ ΒΓ διπλῆ τῆσ ΓΑ. τετραπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΓ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΓΑ· πενταπλάσια ἄρα τὰ ἀπὸ τῶν ΒΓ, ΓΑ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΓΑ. ὑπόκειται δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΑ πενταπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆσ ΓΑ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆσ ΒΑ ἴσον ἐστὶ τοῖσ ἀπὸ τῶν ΒΓ, ΓΑ· ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἡ ΓΒ διπλασία ἐστὶ τῆσ ΑΓ. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἡ ἐλάττων τῆσ ΓΒ διπλασίων ἐστὶ τῆσ ΓΑ· πολλῷ γὰρ [μεῖζον] τὸ ἄτοπον. Ἡ ἄρα τῆσ ΑΓ διπλῆ μείζων ἐστὶ τῆσ ΓΒ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν εὐθεῖα γραμμὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, τὸ ἔλασσον τμῆμα προσλαβὸν τὴν ἡμίσειαν τοῦ μείζονοσ τμήματοσ πενταπλάσιον δύναται τοῦ ἀπὸ τῆσ ἡμισείασ τοῦ μείζονοσ τμήματοσ τετραγώνου. Εὐθεῖα γάρ τισ ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω κατὰ τὸ Γ σημεῖον, καὶ ἔστω μεῖζον τμῆμα τὸ ΑΓ, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Δ· λέγω, ὅτι πενταπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΔ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΔΓ. Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆσ ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΕ, καὶ καταγεγράφθω διπλοῦν τὸ σχῆμα. ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΓ τῆσ ΔΓ, τετραπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΓ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΔΓ, τουτέστι τὸ ΡΣ τοῦ ΖΗ. καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΓ, καί ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ τὸ ΓΕ, τὸ ἄρα ΓΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ΡΣ. τετραπλάσιον δὲ τὸ ΡΣ τοῦ ΖΗ· τετραπλάσιον ἄρα καὶ τὸ ΓΕ τοῦ ΖΗ. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΓ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ΘΚ τῇ ΚΖ. ὥστε καὶ τὸ ΗΖ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ΘΛ τετραγώνῳ. ἴση ἄρα ἡ ΗΚ τῇ ΚΛ, τουτέστιν ἡ ΜΝ τῇ ΝΕ· ὥστε καὶ τὸ ΜΖ τῷ ΖΕ ἐστιν ἴσον. ἀλλὰ τὸ ΜΖ τῷ ΓΗ ἐστιν ἴσον· καὶ τὸ ΓΗ ἄρα τῷ ΖΕ ἐστιν ἴσον. κοινὸν προσκείσθω τὸ ΓΝ· ὁ ἄρα ΞΟΠ γνώμων ἴσοσ ἐστὶ τῷ ΓΕ. ἀλλὰ τὸ ΓΕ τετραπλάσιον ἐδείχθη τοῦ ΗΖ· καὶ ὁ ΞΟΠ ἄρα γνώμων τετραπλάσιόσ ἐστι τοῦ ΖΗ τετραγώνου. ὁ ΞΟΠ ἄρα γνώμων καὶ τὸ ΖΗ τετράγωνον πενταπλάσιόσ ἐστι τοῦ ΖΗ. ἀλλὰ ὁ ΞΟΠ γνώμων καὶ τὸ ΖΗ τετράγωνόν ἐστι τὸ ΔΝ. καί ἐστι τὸ μὲν ΔΝ τὸ ἀπὸ τῆσ ΔΒ, τὸ δὲ ΗΖ τὸ ἀπὸ τῆσ ΔΓ. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆσ ΔΒ πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΔΓ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν εὐθεῖα γραμμὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, τὸ ἀπὸ τῆσ ὅλησ καὶ τοῦ ἐλάσσονοσ τμήματοσ, τὰ συναμφότερα τετράγωνα, τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τοῦ μείζονοσ τμήματοσ τετραγώνου. Ἔστω εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ τετμήσθω ἄκρον καὶ μέσον λόγον κατὰ τὸ Γ, καὶ ἔστω μεῖζον τμῆμα τὸ ΑΓ· λέγω, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΓΑ. Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆσ ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔΕΒ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Γ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΑΓ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΓ. καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΑΒΓ τὸ ΑΚ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆσ ΑΓ τὸ ΘΗ· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΚ τῷ ΘΗ. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΖ τῷ ΖΕ, κοινὸν προσκείσθω τὸ ΓΚ· ὅλον ἄρα τὸ ΑΚ ὅλῳ τῷ ΓΕ ἐστιν ἴσον· τὰ ἄρα ΑΚ, ΓΕ τοῦ ΑΚ ἐστι διπλάσια. ἀλλὰ τὰ ΑΚ, ΓΕ ὁ ΛΜΝ γνώμων ἐστὶ καὶ τὸ ΓΚ τετράγωνον· ὁ ἄρα ΛΜΝ γνώμων καὶ τὸ ΓΚ τετράγωνον διπλάσιά ἐστι τοῦ ΑΚ. ἀλλὰ μὴν καὶ τὸ ΑΚ τῷ ΘΗ ἐδείχθη ἴσον· ὁ ἄρα ΛΜΝ γνώμων καὶ [τὸ ΓΚ τετράγωνον διπλάσιά ἐστι τοῦ ΘΗ· ὥστε ὁ ΛΜΝ γνώμων καὶ] τὰ ΓΚ, ΘΗ τετράγωνα τριπλάσιά ἐστι τοῦ ΘΗ τετραγώνου. καί ἐστιν ὁ [μὲν] ΛΜΝ γνώμων καὶ τὰ ΓΚ, ΘΗ τετράγωνα ὅλον τὸ ΑΕ καὶ τὸ ΓΚ, ἅπερ ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνα, τὸ δὲ ΗΘ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΓ τετράγωνον. τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνα τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΑΓ τετραγώνου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν εὐθεῖα γραμμὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, καὶ προστεθῇ αὐτῇ ἴση τῷ μείζονι τμήματι, ἡ ὅλη εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ἐξ ἀρχῆσ εὐθεῖα. Εὐθεῖα γὰρ γραμμὴ ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω κατὰ τὸ Γ σημεῖον, καὶ ἔστω μεῖζον τμῆμα ἡ ΑΓ, καὶ τῇ ΑΓ ἴση [κείσθω] ἡ ΑΔ. λέγω, ὅτι ἡ ΔΒ εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Α, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ἐξ ἀρχῆσ εὐθεῖα ἡ ΑΒ. Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆσ ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΕ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα. ἐπεὶ ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Γ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΑΓ. καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ τὸ ΓΕ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆσ ΑΓ τὸ ΓΘ· ἴσον ἄρα τὸ ΓΕ τῷ ΘΓ. ἀλλὰ τῷ μὲν ΓΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ΘΕ, τῷ δὲ ΘΓ ἴσον τὸ ΔΘ· καὶ τὸ ΔΘ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ΘΕ [κοινὸν προσκείσθω τὸ ΘΒ]. ὅλον ἄρα τὸ ΔΚ ὅλῳ τῷ ΑΕ ἐστιν ἴσον. καί ἐστι τὸ μὲν ΔΚ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΑ· ἴση γὰρ ἡ ΑΔ τῇ ΔΛ· τὸ δὲ ΑΕ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΔΑ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΒ. ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΔΒ πρὸσ τὴν ΒΑ, οὕτωσ ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΔ. μείζων δὲ ἡ ΔΒ τῆσ ΒΑ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΒΑ τῆσ ΑΔ. Ἡ ἄρα ΔΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέμηται κατὰ τὸ Α, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΑΒ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν εὐθεῖα ῥητὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, ἑκάτερον τῶν τμημάτων ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη ἀποτομή. Ἔστω εὐθεῖα ῥητὴ ἡ ΑΒ καὶ τετμήσθω ἄκρον καὶ μέσον λόγον κατὰ τὸ Γ, καὶ ἔστω μεῖζον τμῆμα ἡ ΑΓ· λέγω, ὅτι ἑκατέρα τῶν ΑΓ, ΓΒ ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη ἀποτομή. Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΒΑ, καὶ κείσθω τῆσ ΒΑ ἡμίσεια ἡ ΑΔ. ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ ΑΒ τέτμηται ἄκρον καὶ μέσον λόγον κατὰ τὸ Γ, καὶ τῷ μείζονι τμήματι τῷ ΑΓ πρόσκειται ἡ ΑΔ ἡμίσεια οὖσα τῆσ ΑΒ, τὸ ἄρα ἀπὸ ΓΔ τοῦ ἀπὸ ΔΑ πενταπλάσιόν ἐστιν. τὸ ἄρα ἀπὸ ΓΔ πρὸσ τὸ ἀπὸ ΔΑ λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸσ πρὸσ ἀριθμόν· σύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ ΓΔ τῷ ἀπὸ ΔΑ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ ΔΑ· ῥητὴ γὰρ [ἐστιν] ἡ ΔΑ ἡμίσεια οὖσα τῆσ ΑΒ ῥητῆσ οὔσησ· ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΓΔ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΓΔ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ ΓΔ πρὸσ τὸ ἀπὸ ΔΑ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν, ἀσύμμετροσ ἄρα μήκει ἡ ΓΔ τῇ ΔΑ· αἱ ΓΔ, ΔΑ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ. πάλιν, ἐπεὶ ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΑΓ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒ, ΒΓ τῷ ἀπὸ ΑΓ ἴσον ἐστίν. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆσ ΑΓ ἀποτομῆσ παρὰ τὴν ΑΒ ῥητὴν παραβληθὲν πλάτοσ ποιεῖ τὴν ΒΓ. τὸ δὲ ἀπὸ ἀποτομῆσ παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ ἀποτομὴν πρώτην· ἀποτομὴ ἄρα πρώτη ἐστὶν ἡ ΓΒ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΓΑ ἀποτομή. Εἂν ἄρα εὐθεῖα ῥητὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, ἑκάτερον τῶν τμημάτων ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη ἀποτομή· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν πενταγώνου ἰσοπλεύρου αἱ τρεῖσ γωνίαι ἤτοι αἱ κατὰ τὸ ἑξῆσ ἢ αἱ μὴ κατὰ τὸ ἑξῆσ ἴσαι ὦσιν, ἰσογώνιον ἔσται τὸ πεντάγωνον. Πενταγώνου γὰρ ἰσοπλεύρου τοῦ ΑΒΓΔΕ αἱ τρεῖσ γωνίαι πρότερον αἱ κατὰ τὸ ἑξῆσ αἱ πρὸσ τοῖσ Α, Β, Γ ἴσαι ἀλλήλαισ ἔστωσαν· λέγω, ὅτι ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον. Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΓ, ΒΕ, ΖΔ. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΓΒ, ΒΑ δυσὶ ταῖσ ΒΑ, ΑΕ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΓΒΑ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΑΕ ἐστιν ἴση, βάσισ ἄρα ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΒΕ ἐστιν ἴση, καὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΒΕ τριγώνῳ ἴσον, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖσ λοιπαῖσ γωνίαισ ἴσαι ἔσονται, ὑφ’ ἃσ αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν, ἡ μὲν ὑπὸ ΒΓΑ τῇ ὑπὸ ΒΕΑ, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΒΕ τῇ ὑπὸ ΓΑΒ· ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΑΖ πλευρᾷ τῇ ΒΖ ἐστιν ἴση. ἐδείχθη δὲ καὶ ὅλη ἡ ΑΓ ὅλῃ τῇ ΒΕ ἴση· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΖΓ λοιπῇ τῇ ΖΕ ἐστιν ἴση. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΓΔ τῇ ΔΕ ἴση. δύο δὴ αἱ ΖΓ, ΓΔ δυσὶ ταῖσ ΖΕ, ΕΔ ἴσαι εἰσίν· καὶ βάσισ αὐτῶν κοινὴ ἡ ΖΔ· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΓΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΕΔ ἐστιν ἴση. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΑ τῇ ὑπὸ ΑΕΒ ἴση· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΓΔ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΑΕΔ ἴση. ἀλλ’ ἡ ὑπὸ ΒΓΔ ἴση ὑπόκειται ταῖσ πρὸσ τοῖσ Α, Β γωνίαισ· καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΔ ἄρα ταῖσ πρὸσ τοῖσ Α, Β γωνίαισ ἴση ἐστίν. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ὑπὸ ΓΔΕ γωνία ἴση ἐστὶ ταῖσ πρὸσ τοῖσ Α, Β, Γ γωνίαισ· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον. Ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστωσαν ἴσαι αἱ κατὰ τὸ ἑξῆσ γωνίαι, ἀλλ’ ἔστωσαν ἴσαι αἱ πρὸσ τοῖσ Α, Γ, Δ σημείοισ· λέγω, ὅτι καὶ οὕτωσ ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον. Ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΒΔ. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΒΑ, ΑΕ δυσὶ ταῖσ ΒΓ, ΓΔ ἴσαι εἰσὶ καὶ γωνίασ ἴσασ περιέχουσιν, βάσισ ἄρα ἡ ΒΕ βάσει τῇ ΒΔ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΒΓΔ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖσ λοιπαῖσ γωνίαισ ἴσαι ἔσονται, ὑφ’ ἃσ αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΕΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΔΒ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΕΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΔΕ ἴση, ἐπεὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΒΕ πλευρᾷ τῇ ΒΔ ἐστιν ἴση. καὶ ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΔ γωνία ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΓΔΕ ἐστιν ἴση. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΓΔΕ ταῖσ πρὸσ τοῖσ Α, Γ γωνίαισ ὑπόκειται ἴση· καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΔ ἄρα γωνία ταῖσ πρὸσ τοῖσ Α, Γ ἴση ἐστίν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ἴση ἐστὶ ταῖσ πρὸσ τοῖσ Α, Γ, Δ γωνίαισ. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν πενταγώνου ἰσοπλεύρου καὶ ἰσογωνίου τὰσ κατὰ τὸ ἑξῆσ δύο γωνίασ ὑποτείνωσιν εὐθεῖαι, ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέμνουσιν ἀλλήλασ, καὶ τὰ μείζονα αὐτῶν τμήματα ἴσα ἐστὶ τῇ τοῦ πενταγώνου πλευρᾷ. Πενταγώνου γὰρ ἰσοπλεύρου καὶ ἰσογωνίου τοῦ ΑΒΓ ΔΕ δύο γωνίασ τὰσ κατὰ τὸ ἑξῆσ τὰσ πρὸσ τοῖσ Α, Β ὑποτεινέτωσαν εὐθεῖαι αἱ ΑΓ, ΒΕ τέμνουσαι ἀλλήλασ κατὰ τὸ Θ σημεῖον· λέγω, ὅτι ἑκατέρα αὐτῶν ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Θ σημεῖον, καὶ τὰ μείζονα αὐτῶν τμήματα ἴσα ἐστὶ τῇ τοῦ πενταγώνου πλευρᾷ. Περιγεγράφθω γὰρ περὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον κύκλοσ ὁ ΑΒΓΔΕ. καὶ ἐπεὶ δύο εὐθεῖαι αἱ ΕΑ, ΑΒ δυσὶ ταῖσ ΑΒ, ΒΓ ἴσαι εἰσὶ καὶ γωνίασ ἴσασ περιέχουσιν, βάσισ ἄρα ἡ ΒΕ βάσει τῇ ΑΓ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖσ λοιπαῖσ γωνίαισ ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφ’ ἃσ αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΒΕ· διπλῆ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΘΕ τῆσ ὑπὸ ΒΑΘ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΕΑΓ τῆσ ὑπὸ ΒΑΓ διπλῆ, ἐπειδήπερ καὶ περιφέρεια ἡ ΕΔΓ περιφερείασ τῆσ ΓΒ ἐστι διπλῆ· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΘΑΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΘΕ· ὥστε καὶ ἡ ΘΕ εὐθεῖα τῇ ΕΑ, τουτέστι τῇ ΑΒ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΑ εὐθεῖα τῇ ΑΕ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΕ τῇ ὑπὸ ΑΕΒ. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΑΒΕ τῇ ὑπὸ ΒΑΘ ἐδείχθη ἴση· καὶ ἡ ὑπὸ ΒΕΑ ἄρα τῇ ὑπὸ ΒΑΘ ἐστιν ἴση. καὶ κοινὴ τῶν δύο τριγώνων τοῦ τε ΑΒΕ καὶ τοῦ ΑΒΘ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΕ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΕ γωνία λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΑΘΒ ἐστιν ἴση· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΑΒΘ τριγώνῳ· ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΕΒ πρὸσ τὴν ΒΑ, οὕτωσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΘ. ἴση δὲ ἡ ΒΑ τῇ ΕΘ· ὡσ ἄρα ἡ ΒΕ πρὸσ τὴν ΕΘ, οὕτωσ ἡ ΕΘ πρὸσ τὴν ΘΒ. μείζων δὲ ἡ ΒΕ τῆσ ΕΘ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΕΘ τῆσ ΘΒ. ἡ ΒΕ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Θ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμα τὸ ΘΕ ἴσον ἐστὶ τῇ τοῦ πενταγώνου πλευρᾷ. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΑΓ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Θ, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆσ τμῆμα ἡ ΓΘ ἴσον ἐστὶ τῇ τοῦ πενταγώνου πλευρᾷ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ἡ τοῦ ἑξαγώνου πλευρὰ καὶ ἡ τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰσ τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων συντεθῶσιν, ἡ ὅλη εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆσ τμῆμά ἐστιν ἡ τοῦ ἑξαγώνου πλευρά. Ἔστω κύκλοσ ὁ ΑΒΓ, καὶ τῶν εἰσ τὸν ΑΒΓ κύκλον ἐγγραφομένων σχημάτων, δεκαγώνου μὲν ἔστω πλευρὰ ἡ ΒΓ, ἑξαγώνου δὲ ἡ ΓΔ, καὶ ἔστωσαν ἐπ’ εὐθείασ· λέγω, ὅτι ἡ ὅλη εὐθεῖα ἡ ΒΔ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆσ τμῆμά ἐστιν ἡ ΓΔ. Εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ε σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΒ, ΕΓ, ΕΔ, καὶ διήχθω ἡ ΒΕ ἐπὶ τὸ Α. ἐπεὶ δεκαγώνου ἰσοπλεύρου πλευρά ἐστιν ἡ ΒΓ, πενταπλασίων ἄρα ἡ ΑΓΒ περιφέρεια τῆσ ΒΓ περιφερείασ· τετραπλασίων ἄρα ἡ ΑΓ περιφέρεια τῆσ ΓΒ. ὡσ δὲ ἡ ΑΓ περιφέρεια πρὸσ τὴν ΓΒ, οὕτωσ ἡ ὑπὸ ΑΕΓ γωνία πρὸσ τὴν ὑπὸ ΓΕΒ· τετραπλασίων ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΓ τῆσ ὑπὸ ΓΕΒ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἡ ὑπὸ ΕΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΓΒ, ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΕΓ γωνία διπλασία ἐστὶ τῆσ ὑπὸ ΕΓΒ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΓ εὐθεῖα τῇ ΓΔ· ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ ἑξαγώνου πλευρᾷ τοῦ εἰσ τὸν ΑΒΓ κύκλον [ἐγγραφομένου]· ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΕΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΔΕ γωνίᾳ· διπλασία ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΓΒ γωνία τῆσ ὑπὸ ΕΔΓ. ἀλλὰ τῆσ ὑπὸ ΕΓΒ διπλασία ἐδείχθη ἡ ὑπὸ ΑΕΓ· τετραπλασία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΓ τῆσ ὑπὸ ΕΔΓ. ἐδείχθη δὲ καὶ τῆσ ὑπὸ ΒΕΓ τετραπλασία ἡ ὑπὸ ΑΕΓ· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΔΓ τῇ ὑπὸ ΒΕΓ. κοινὴ δὲ τῶν δύο τριγώνων, τοῦ τε ΒΕΓ καὶ τοῦ ΒΕΔ, ἡ ὑπὸ ΕΒΔ γωνία· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΕΔ τῇ ὑπὸ ΕΓΒ ἐστιν ἴση· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΒΔ τρίγωνον τῷ ΕΒΓ τριγώνῳ. ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΔΒ πρὸσ τὴν ΒΕ, οὕτωσ ἡ ΕΒ πρὸσ τὴν ΒΓ. ἴση δὲ ἡ ΕΒ τῇ ΓΔ. ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΔΓ, οὕτωσ ἡ ΔΓ πρὸσ τὴν ΓΒ. μείζων δὲ ἡ ΒΔ τῆσ ΔΓ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΔΓ τῆσ ΓΒ. ἡ ΒΔ ἄρα εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται [κατὰ τὸ Γ], καὶ τὸ μεῖζον τμῆμα αὐτῆσ ἐστιν ἡ ΔΓ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν εἰσ κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρον ἐγγραφῇ, ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ δύναται τήν τε τοῦ ἑξαγώνου καὶ τὴν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰσ τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων. Ἔστω κύκλοσ ὁ ΑΒΓΔΕ, καὶ εἰσ τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρον ἐγγεγράφθω τὸ ΑΒΓΔΕ. λέγω, ὅτι ἡ τοῦ ΑΒΓΔΕ πενταγώνου πλευρὰ δύναται τήν τε τοῦ ἑξαγώνου καὶ τὴν τοῦ δεκαγώνου πλευρὰν τῶν εἰσ τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον ἐγγραφομένων. Εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ζ σημεῖον, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΖ διήχθω ἐπὶ τὸ Η σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΒ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετοσ ἤχθω ἡ ΖΘ, καὶ διήχθω ἐπὶ τὸ Κ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΚ, ΚΒ, καὶ πάλιν ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὴν ΑΚ κάθετοσ ἤχθω ἡ ΖΛ, καὶ διήχθω ἐπὶ τὸ Μ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΝ. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒΓΗ περιφέρεια τῇ ΑΕΔΗ περιφερείᾳ, ὧν ἡ ΑΒΓ τῇ ΑΕΔ ἐστιν ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΗ περιφέρεια λοιπῇ τῇ ΗΔ ἐστιν ἴση. πενταγώνου δὲ ἡ ΓΔ· δεκαγώνου ἄρα ἡ ΓΗ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΖΑ τῇ ΖΒ, καὶ κάθετοσ ἡ ΖΘ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΖΚ γωνία τῇ ὑπὸ ΚΖΒ. ὥστε καὶ περιφέρεια ἡ ΑΚ τῇ ΚΒ ἐστιν ἴση· διπλῆ ἄρα ἡ ΑΒ περιφέρεια τῆσ ΒΚ περιφερείασ· δεκαγώνου ἄρα πλευρά ἐστιν ἡ ΑΚ εὐθεῖα. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΑΚ τῆσ ΚΜ ἐστι διπλῆ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΒ περιφέρεια τῆσ ΒΚ περιφερείασ, ἴση δὲ ἡ ΓΔ περιφέρεια τῇ ΑΒ περιφερείᾳ, διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΓΔ περιφέρεια τῆσ ΒΚ περιφερείασ. ἔστι δὲ ἡ ΓΔ περιφέρεια καὶ τῆσ ΓΗ διπλῆ· ἴση ἄρα ἡ ΓΗ περιφέρεια τῇ ΒΚ περιφερείᾳ. ἀλλὰ ἡ ΒΚ τῆσ ΚΜ ἐστι διπλῆ, ἐπεὶ καὶ ἡ ΚΑ· καὶ ἡ ΓΗ ἄρα τῆσ ΚΜ ἐστι διπλῆ. ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ ΓΒ περιφέρεια τῆσ ΒΚ περιφερείασ ἐστὶ διπλῆ· ἴση γὰρ ἡ ΓΒ περιφέρεια τῇ ΒΑ. καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΗΒ περιφέρεια τῆσ ΒΜ ἐστι διπλῆ· ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΗΖΒ γωνίασ τῆσ ὑπὸ ΒΖΜ [ἐστι] διπλῆ. ἔστι δὲ ἡ ὑπὸ ΗΖΒ καὶ τῆσ ὑπὸ ΖΑΒ διπλῆ· ἴση γὰρ ἡ ὑπὸ ΖΑΒ τῇ ὑπὸ ΑΒΖ. καὶ ἡ ὑπὸ ΒΖΝ ἄρα τῇ ὑπὸ ΖΑΒ ἐστιν ἴση. κοινὴ δὲ τῶν δύο τριγώνων, τοῦ τε ΑΒΖ καὶ τοῦ ΒΖΝ, ἡ ὑπὸ ΑΒΖ γωνία· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΖΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΒΝΖ ἐστιν ἴση· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΖ τρίγωνον τῷ ΒΖΝ τριγώνῳ. ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΑΒ εὐθεῖα πρὸσ τὴν ΒΖ, οὕτωσ ἡ ΖΒ πρὸσ τὴν ΒΝ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒΝ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΒΖ. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΛ τῇ ΛΚ, κοινὴ δὲ καὶ πρὸσ ὀρθὰσ ἡ ΛΝ, βάσισ ἄρα ἡ ΚΝ βάσει τῇ ΑΝ ἐστιν ἴση· καὶ γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΛΚΝ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΛΑΝ ἐστιν ἴση. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΛΑΝ τῇ ὑπὸ ΚΒΝ ἐστιν ἴση· καὶ ἡ ὑπὸ ΛΚΝ ἄρα τῇ ὑπὸ ΚΒΝ ἐστιν ἴση. καὶ κοινὴ τῶν δύο τριγώνων τοῦ τε ΑΚΒ καὶ τοῦ ΑΚΝ ἡ πρὸσ τῷ Α. λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΚΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΚΝΑ ἐστιν ἴση· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΚΒΑ τρίγωνον τῷ ΚΝΑ τριγώνῳ. ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΒΑ εὐθεῖα πρὸσ τὴν ΑΚ, οὕτωσ ἡ ΚΑ πρὸσ τὴν ΑΝ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΑΝ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΚ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΝ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆσ ΒΖ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒΝ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΑΝ, ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΑ, ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΒΖ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΑΚ. καί ἐστιν ἡ μὲν ΒΑ πενταγώνου πλευρά, ἡ δὲ ΒΖ ἑξαγώνου, ἡ δὲ ΑΚ δεκαγώνου. Ἡ ἄρα τοῦ πενταγώνου πλευρὰ δύναται τήν τε τοῦ ἑξαγώνου καὶ τὴν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰσ τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν εἰσ κύκλον ῥητὴν ἔχοντα τὴν διάμετρον πεντάγωνον ἰσόπλευρον ἐγγραφῇ, ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάσσων. Εἰσ γὰρ κύκλον τὸν ΑΒΓΔΕ ῥητὴν ἔχοντα τὴν διάμετρον πεντάγωνον ἰσόπλευρον ἐγγεγράφθω τὸ ΑΒΓΔΕ· λέγω, ὅτι ἡ τοῦ [ΑΒΓΔΕ] πενταγώνου πλευρὰ ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάσσων. Εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ζ σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΖΒ καὶ διήχθωσαν ἐπὶ τὰ Η, Θ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ, καὶ κείσθω τῆσ ΑΖ τέταρτον μέροσ ἡ ΖΚ. ῥητὴ δὲ ἡ ΑΖ· ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΖΚ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΒΖ ῥητή· ὅλη ἄρα ἡ ΒΚ ῥητή ἐστιν. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓΗ περιφέρεια τῇ ΑΔΗ περιφερείᾳ, ὧν ἡ ΑΒΓ τῇ ΑΕΔ ἐστιν ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΗ λοιπῇ τῇ ΗΔ ἐστιν ἴση. καὶ ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὴν ΑΔ, συνάγονται ὀρθαὶ αἱ πρὸσ τῷ Λ γωνίαι, καὶ διπλῆ ἡ ΓΔ τῆσ ΓΛ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ πρὸσ τῷ Μ ὀρθαί εἰσιν, καὶ διπλῆ ἡ ΑΓ τῆσ ΓΜ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΛΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΜΖ, κοινὴ δὲ τῶν δύο τριγώνων τοῦ τε ΑΓΛ καὶ τοῦ ΑΜΖ ἡ ὑπὸ ΛΑΓ, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΛ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΜΖΑ ἐστιν ἴση· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΓΛ τρίγωνον τῷ ΑΜΖ τριγώνῳ· ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΛΓ πρὸσ ΓΑ, οὕτωσ ἡ ΜΖ πρὸσ ΖΑ· καὶ τῶν ἡγουμένων τὰ διπλάσια· ὡσ ἄρα ἡ τῆσ ΛΓ διπλῆ πρὸσ τὴν ΓΑ, οὕτωσ ἡ τῆσ ΜΖ διπλῆ πρὸσ τὴν ΖΑ. ὡσ δὲ ἡ τῆσ ΜΖ διπλῆ πρὸσ τὴν ΖΑ, οὕτωσ ἡ ΜΖ πρὸσ τὴν ἡμίσειαν τῆσ ΖΑ· καὶ ὡσ ἄρα ἡ τῆσ ΛΓ διπλῆ πρὸσ τὴν ΓΑ, οὕτωσ ἡ ΜΖ πρὸσ τὴν ἡμίσειαν τῆσ ΖΑ. καὶ τῶν ἑπομένων τὰ ἡμίσεα· ὡσ ἄρα ἡ τῆσ ΛΓ διπλῆ πρὸσ τὴν ἡμίσειαν τῆσ ΓΑ, οὕτωσ ἡ ΜΖ πρὸσ τὸ τέταρτον τῆσ ΖΑ. καί ἐστι τῆσ μὲν ΛΓ διπλῆ ἡ ΔΓ, τῆσ δὲ ΓΑ ἡμίσεια ἡ ΓΜ, τῆσ δὲ ΖΑ τέταρτον μέροσ ἡ ΖΚ· ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΔΓ πρὸσ τὴν ΓΜ, οὕτωσ ἡ ΜΖ πρὸσ τὴν ΖΚ. συνθέντι καὶ ὡσ συναμφότεροσ ἡ ΔΓΜ πρὸσ τὴν ΓΜ, οὕτωσ ἡ ΜΚ πρὸσ ΚΖ· καὶ ὡσ ἄρα τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆσ ΔΓΜ πρὸσ τὸ ἀπὸ ΓΜ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ ΜΚ πρὸσ τὸ ἀπὸ ΚΖ. καὶ ἐπεὶ τῆσ ὑπὸ δύο πλευρὰσ τοῦ πενταγώνου ὑποτεινούσησ, οἱο͂ν τῆσ ΑΓ, ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένησ τὸ μεῖζον τμῆμα ἴσον ἐστὶ τῇ τοῦ πενταγώνου πλευρᾷ, τουτέστι τῇ ΔΓ, τὸ δὲ μεῖζον τμῆμα προσλαβὸν τὴν ἡμίσειαν τῆσ ὅλησ πενταπλάσιον δύναται τοῦ ἀπὸ τῆσ ἡμισείασ τῆσ ὅλησ, καί ἐστιν ὅλησ τῆσ ΑΓ ἡμίσεια ἡ ΓΜ, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆσ ΔΓΜ ὡσ μιᾶσ πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΓΜ. ὡσ δὲ τὸ ἀπὸ τῆσ ΔΓΜ ὡσ μιᾶσ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΓΜ, οὕτωσ ἐδείχθη τὸ ἀπὸ τῆσ ΜΚ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΚΖ· πενταπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΜΚ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΚΖ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆσ ΚΖ· ῥητὴ γὰρ ἡ διάμετροσ· ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΜΚ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΚ [δυνάμει μόνον]. καὶ ἐπεὶ τετραπλασία ἐστὶν ἡ ΒΖ τῆσ ΖΚ, πενταπλασία ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΚ τῆσ ΚΖ· εἰκοσιπενταπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΚ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΚΖ. πενταπλάσιον δὲ τὸ ἀπὸ τῆσ ΜΚ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΚΖ· πενταπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΚ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΚΜ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆσ ΒΚ πρὸσ τὸ ἀπὸ ΚΜ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΚ τῇ ΚΜ μήκει. καί ἐστι ῥητὴ ἑκατέρα αὐτῶν. αἱ ΒΚ, ΚΜ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι. ἐὰν δὲ ἀπὸ ῥητῆσ ῥητὴ ἀφαιρεθῇ δυνάμει μόνον σύμμετροσ οὖσα τῇ ὅλῃ, ἡ λοιπὴ ἄλογόσ ἐστιν ἀποτομή· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΒ, προσαρμόζουσα δὲ αὐτῇ ἡ ΜΚ. λέγω δή, ὅτι καὶ τετάρτη. ᾧ δὴ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΚ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΚΜ, ἐκείνῳ ἴσον ἔστω τὸ ἀπὸ τῆσ Ν· ἡ ΒΚ ἄρα τῆσ ΚΜ μεῖζον δύναται τῇ Ν. καὶ ἐπεὶ σύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΚΖ τῇ ΖΒ, καὶ συνθέντι σύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΚΒ τῇ ΖΒ. ἀλλὰ ἡ ΒΖ τῇ ΒΘ σύμμετρόσ ἐστιν· καὶ ἡ ΒΚ ἄρα τῇ ΒΘ σύμμετρόσ ἐστιν. καὶ ἐπεὶ πενταπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΚ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΚΜ, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆσ ΒΚ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΚΜ λόγον ἔχει, ὃν <ε> πρὸσ ἕν. ἀναστρέψαντι ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΚ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Ν λόγον ἔχει, ὃν <ε> πρὸσ <δ>, οὐχ ὃν τετράγωνοσ πρὸσ τετράγωνον· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΚ τῇ Ν· ἡ ΒΚ ἄρα τῆσ ΚΜ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. ἐπεὶ οὖν ὅλη ἡ ΒΚ τῆσ προσαρμοζούσησ τῆσ ΚΜ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ὅλη ἡ ΒΚ σύμμετρόσ ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΒΘ, ἀποτομὴ ἄρα τετάρτη ἐστὶν ἡ ΜΒ. τὸ δὲ ὑπὸ ῥητῆσ καὶ ἀποτομῆσ τετάρτησ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἄλογόν ἐστιν, καὶ ἡ δυναμένη αὐτὸ ἄλογόσ ἐστιν, καλεῖται δὲ ἐλάττων. δύναται δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΘΒΜ ἡ ΑΒ διὰ τὸ ἐπιζευγνυμένησ τῆσ ΑΘ ἰσογώνιον γίνεσθαι τὸ ΑΒΘ τρίγωνον τῷ ΑΒΜ τριγώνῳ καὶ εἶναι ὡσ τὴν ΘΒ πρὸσ τὴν ΒΑ, οὕτωσ τὴν ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΜ. Ἡ ἄρα ΑΒ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάττων· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν εἰσ κύκλον τρίγωνον ἰσόπλευρον ἐγγραφῇ, ἡ τοῦ τριγώνου πλευρὰ δυνάμει τριπλασίων ἐστὶ τῆσ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου. Ἔστω κύκλοσ ὁ ΑΒΓ, καὶ εἰσ αὐτὸν τρίγωνον ἰσόπλευρον ἐγγεγράφθω τὸ ΑΒΓ· λέγω, ὅτι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου μία πλευρὰ δυνάμει τριπλασίων ἐστὶ τῆσ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΑΒΓ κύκλου. Εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου τὸ Δ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΔ διήχθω ἐπὶ τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΕ. καὶ ἐπεὶ ἰσόπλευρόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, ἡ ΒΕΓ ἄρα περιφέρεια τρίτον μέροσ ἐστὶ τῆσ τοῦ ΑΒΓ κύκλου περιφερείασ. ἡ ἄρα ΒΕ περιφέρεια ἕκτον ἐστὶ μέροσ τῆσ τοῦ κύκλου περιφερείασ· ἑξαγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΕ εὐθεῖα· ἴση ἄρα ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῇ ΔΕ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΕ τῆσ ΔΕ, τετραπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΕ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΕΔ, τουτέστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΒΕ. ἴσον δὲ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΕ τοῖσ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΕ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΕ τετραπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΒΕ. διελόντι ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΒΕ. ἴση δὲ ἡ ΒΕ τῇ ΔΕ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆσ ΑΒ τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΔΕ. Ἡ ἄρα τοῦ τριγώνου πλευρὰ δυνάμει τριπλασία ἐστὶ τῆσ ἐκ τοῦ κέντρου [τοῦ κύκλου]· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Πυραμίδα συστήσασθαι καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν τῇ δοθείσῃ καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ δυνάμει ἡμιολία ἐστὶ τῆσ πλευρᾶσ τῆσ πυραμίδοσ. Ἐκκείσθω ἡ τῆσ δοθείσησ σφαίρασ διάμετροσ ἡ ΑΒ, καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Γ σημεῖον, ὥστε διπλασίαν εἶναι τὴν ΑΓ τῆσ ΓΒ· καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆσ ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΒ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ σημείου τῇ ΑΒ πρὸσ ὀρθὰσ ἡ ΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΑ· καὶ ἐκκείσθω κύκλοσ ὁ ΕΖΗ ἴσην ἔχων τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῇ ΔΓ, καὶ ἐγγεγράφθω εἰσ τὸν ΕΖΗ κύκλον τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΕΖΗ· καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Θ σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΘ, ΘΖ, ΘΗ· καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ Θ σημείου τῷ τοῦ ΕΖΗ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸσ ὀρθὰσ ἡ ΘΚ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆσ ΘΚ τῇ ΑΓ εὐθείᾳ ἴση ἡ ΘΚ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΕ, ΚΖ, ΚΗ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΚΘ ὀρθή ἐστι πρὸσ τὸ τοῦ ΕΖΗ κύκλου ἐπίπεδον, καὶ πρὸσ πάσασ ἄρα τὰσ ἁπτομένασ αὐτῆσ εὐθείασ καὶ οὔσασ ἐν τῷ τοῦ ΕΖΗ κύκλου ἐπιπέδῳ ὀρθὰσ ποιήσει γωνίασ. ἅπτεται δὲ αὐτῆσ ἑκάστη τῶν ΘΕ, ΘΖ, ΘΗ· ἡ ΘΚ ἄρα πρὸσ ἑκάστην τῶν ΘΕ, ΘΖ, ΘΗ ὀρθή ἐστιν. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΓ τῇ ΘΚ, ἡ δὲ ΓΔ τῇ ΘΕ, καὶ ὀρθὰσ γωνίασ περιέχουσιν, βάσισ ἄρα ἡ ΔΑ βάσει τῇ ΚΕ ἐστιν ἴση. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκατέρα τῶν ΚΖ, ΚΗ τῇ ΔΑ ἐστιν ἴση· αἱ τρεῖσ ἄρα αἱ ΚΕ, ΚΖ, ΚΗ ἴσαι ἀλλήλαισ εἰσίν. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΓ τῆσ ΓΒ, τριπλῆ ἄρα ἡ ΑΒ τῆσ ΒΓ. ὡσ δὲ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΔ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΔΓ, ὡσ ἑξῆσ δειχθήσεται. τριπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΔ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΔΓ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΕ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΕΘ τριπλάσιον, καί ἐστιν ἴση ἡ ΔΓ τῇ ΕΘ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΔΑ τῇ ΕΖ. ἀλλὰ ἡ ΔΑ ἑκάστῃ τῶν ΚΕ, ΚΖ, ΚΗ ἐδείχθη ἴση· καὶ ἑκάστη ἄρα τῶν ΕΖ, ΖΗ, ΗΕ ἑκάστῃ τῶν ΚΕ, ΚΖ, ΚΗ ἐστιν ἴση· ἰσόπλευρα ἄρα ἐστὶ τὰ τέσσαρα τρίγωνα τὰ ΕΖΗ, ΚΕΖ, ΚΖΗ, ΚΕΗ. πυραμὶσ ἄρα συνέσταται ἐκ τεσσάρων τριγώνων ἰσοπλεύρων, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΕΖΗ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Κ σημεῖον. Δεῖ δὴ αὐτὴν καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν τῇ δοθείσῃ καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ ἡμιολία ἐστὶ δυνάμει τῆσ πλευρᾶσ τῆσ πυραμίδοσ. Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἐπ’ εὐθείασ τῇ ΚΘ εὐθεῖα ἡ ΘΛ, καὶ κείσθω τῇ ΓΒ ἴση ἡ ΘΛ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ ΑΓ πρὸσ τὴν ΓΔ, οὕτωσ ἡ ΓΔ πρὸσ τὴν ΓΒ, ἴση δὲ ἡ μὲν ΑΓ τῇ ΚΘ, ἡ δὲ ΓΔ τῇ ΘΕ, ἡ δὲ ΓΒ τῇ ΘΛ, ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΚΘ πρὸσ τὴν ΘΕ, οὕτωσ ἡ ΕΘ πρὸσ τὴν ΘΛ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΚΘ, ΘΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΕΘ. καί ἐστιν ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΚΘΕ, ΕΘΛ γωνιῶν· τὸ ἄρα ἐπὶ τῆσ ΚΛ γραφόμενον ἡμικύκλιον ἥξει καὶ διὰ τοῦ Ε [ἐπειδήπερ ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὴν ΕΛ, ὀρθὴ γίνεται ἡ ὑπὸ ΛΕΚ γωνία διὰ τὸ ἰσογώνιον γίνεσθαι τὸ ΕΛΚ τρίγωνον ἑκατέρῳ τῶν ΕΛΘ, ΕΘΚ τριγώνων]. ἐὰν δὴ μενούσησ τῆσ ΚΛ περιενεχθὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰσ τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, ἥξει καὶ διὰ τῶν Ζ, Η σημείων ἐπιζευγνυμένων τῶν ΖΛ, ΛΗ καὶ ὀρθῶν ὁμοίωσ γινομένων τῶν πρὸσ τοῖσ Ζ, Η γωνιῶν· καὶ ἔσται ἡ πυραμὶσ σφαίρᾳ περιειλημμένη τῇ δοθείσῃ. ἡ γὰρ ΚΛ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ ἴση ἐστὶ τῇ τῆσ δοθείσησ σφαίρασ διαμέτρῳ τῇ ΑΒ, ἐπειδήπερ τῇ μὲν ΑΓ ἴση κεῖται ἡ ΚΘ, τῇ δὲ ΓΒ ἡ ΘΛ. Λέγω δή, ὅτι ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ ἡμιολία ἐστὶ δυνάμει τῆσ πλευρᾶσ τῆσ πυραμίδοσ. Ἐπεὶ γὰρ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΓ τῆσ ΓΒ, τριπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆσ ΒΓ· ἀναστρέψαντι ἡμιολία ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΑ τῆσ ΑΓ. ὡσ δὲ ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΑ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΔ [ἐπειδήπερ ἐπιζευγνυμένησ τῆσ ΔΒ ἐστιν ὡσ ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΔ, οὕτωσ ἡ ΔΑ πρὸσ τὴν ΑΓ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΔΑΒ, ΔΑΓ τριγώνων, καὶ εἶναι ὡσ τὴν πρώτην πρὸσ τὴν τρίτην, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ πρώτησ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ δευτέρασ]. ἡμιόλιον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΑ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΑΔ. καί ἐστιν ἡ μὲν ΒΑ ἡ τῆσ δοθείσησ σφαίρασ διάμετροσ, ἡ δὲ ΑΔ ἴση τῇ πλευρᾷ τῆσ πυραμίδοσ. Ἡ ἄρα τῆσ σφαίρασ διάμετροσ ἡμιολία ἐστὶ τῆσ πλευρᾶσ τῆσ πυραμίδοσ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Λῆμμα Δεικτέον, ὅτι ἐστὶν ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΔ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΔΓ. Ἐκκείσθω γὰρ ἡ τοῦ ἡμικυκλίου καταγραφή, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆσ ΑΓ τετράγωνον τὸ ΕΓ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΖΒ παραλληλόγραμμον. ἐπεὶ οὖν διὰ τὸ ἰσογώνιον εἶναι τὸ ΔΑΒ τρίγωνον τῷ ΔΑΓ τριγώνῳ ἐστὶν ὡσ ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΔ, οὕτωσ ἡ ΔΑ πρὸσ τὴν ΑΓ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΔ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΓ, οὕτωσ τὸ ΕΒ πρὸσ τὸ ΒΖ, καί ἐστι τὸ μὲν ΕΒ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ· ἴση γὰρ ἡ ΕΑ τῇ ΑΓ· τὸ δὲ ΒΖ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, ὡσ ἄρα ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΓ, οὕτωσ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ πρὸσ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΔ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆσ ΔΓ· ἡ γὰρ ΔΓ κάθετοσ τῶν τῆσ βάσεωσ τμημάτων τῶν ΑΓ, ΓΒ μέση ἀνάλογόν ἐστι διὰ τὸ ὀρθὴν εἶναι τὴν ὑπὸ ΑΔΒ. ὡσ ἄρα ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΔ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΔΓ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ὀκτάεδρον συστήσασθαι καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν, ᾗ καὶ τὰ πρότερα, καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ δυνάμει διπλασία ἐστὶ τῆσ πλευρᾶσ τοῦ ὀκταέδρου. Ἐκκείσθω ἡ τῆσ δοθείσησ σφαίρασ διάμετροσ ἡ ΑΒ, καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Γ, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆσ ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΒ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ τῇ ΑΒ πρὸσ ὀρθὰσ ἡ ΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ, καὶ ἐκκείσθω τετράγωνον τὸ ΕΖΗΘ ἴσην ἔχον ἑκάστην τῶν πλευρῶν τῇ ΔΒ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΖ, ΕΗ, καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ Κ σημείου τῷ τοῦ ΕΖΗΘ τετραγώνου ἐπιπέδῳ πρὸσ ὀρθὰσ εὐθεῖα ἡ ΚΛ καὶ διήχθω ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη τοῦ ἐπιπέδου ὡσ ἡ ΚΜ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀφ’ ἑκατέρασ τῶν ΚΛ, ΚΜ μιᾷ τῶν ΕΚ, ΖΚ, ΗΚ, ΘΚ ἴση ἑκατέρα τῶν ΚΛ, ΚΜ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΕ, ΛΖ, ΛΗ, ΛΘ, ΜΕ, ΜΖ, ΜΗ, ΜΘ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΚΕ τῇ ΚΘ, καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΕΚΘ γωνία, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆσ ΘΕ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΕΚ. πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΛΚ τῇ ΚΕ, καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΛΚΕ γωνία, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆσ ΕΛ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΕΚ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΘΕ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆσ ΕΚ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆσ ΛΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΕΘ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΕ τῇ ΕΘ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΛΘ τῇ ΘΕ ἐστιν ἴση· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΕΘ τρίγωνον. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἕκαστον τῶν λοιπῶν τριγώνων, ὧν βάσεισ μέν εἰσιν αἱ τοῦ ΕΖΗΘ τετραγώνου πλευραί, κορυφαὶ δὲ τὰ Λ, Μ σημεῖα, ἰσόπλευρόν ἐστιν· ὀκτάεδρον ἄρα συνέσταται ὑπὸ ὀκτὼ τριγώνων ἰσοπλεύρων περιεχόμενον. Δεῖ δὴ αὐτὸ καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν τῇ δοθείσῃ καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ δυνάμει διπλασίων ἐστὶ τῆσ τοῦ ὀκταέδρου πλευρᾶσ. Ἐπεὶ γὰρ αἱ τρεῖσ αἱ ΛΚ, ΚΜ, ΚΕ ἴσαι ἀλλήλαισ εἰσίν, τὸ ἄρα ἐπὶ τῆσ ΛΜ γραφόμενον ἡμικύκλιον ἥξει καὶ διὰ τοῦ Ε. καὶ διὰ τὰ αὐτά, ἐὰν μενούσησ τῆσ ΛΜ περιενεχθὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰσ τὸ αὐτὸ ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, ἥξει καὶ διὰ τῶν Ζ, Η, Θ σημείων, καὶ ἔσται σφαίρᾳ περιειλημμένον τὸ ὀκτάεδρον. λέγω δή, ὅτι καὶ τῇ δοθείσῃ. ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΛΚ τῇ ΚΜ, κοινὴ δὲ ἡ ΚΕ, καὶ γωνίασ ὀρθὰσ περιέχουσιν, βάσισ ἄρα ἡ ΛΕ βάσει τῇ ΕΜ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΛΕΜ γωνία· ἐν ἡμικυκλίῳ γάρ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆσ ΛΜ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΛΕ. πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ, διπλασία ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆσ ΒΓ. ὡσ δὲ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΔ· διπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΒΔ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΛΜ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆσ ΛΕ. καί ἐστιν ἴσον τὸ ἀπὸ τῆσ ΔΒ τῷ ἀπὸ τῆσ ΛΕ· ἴση γὰρ κεῖται ἡ ΕΘ τῇ ΔΒ. ἴσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ τῷ ἀπὸ τῆσ ΛΜ· ἴση ἄρα ἡ ΑΒ τῇ ΛΜ. καί ἐστιν ἡ ΑΒ ἡ τῆσ δοθείσησ σφαίρασ διάμετροσ· ἡ ΛΜ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ τῆσ δοθείσησ σφαίρασ διαμέτρῳ. Περιείληπται ἄρα τὸ ὀκτάεδρον τῇ δοθείσῃ σφαίρᾳ. καὶ συναποδέδεικται, ὅτι ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ δυνάμει διπλασίων ἐστὶ τῆσ τοῦ ὀκταέδρου πλευρᾶσ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Κύβον συστήσασθαι καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν, ᾗ καὶ τὴν πυραμίδα, καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ δυνάμει τριπλασίων ἐστὶ τῆσ τοῦ κύβου πλευρᾶσ. Ἐκκείσθω ἡ τῆσ δοθείσησ σφαίρασ διάμετροσ ἡ ΑΒ καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Γ ὥστε διπλῆν εἶναι τὴν ΑΓ τῆσ ΓΒ, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆσ ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΒ, καὶ ἀπὸ τοῦ Γ τῇ ΑΒ πρὸσ ὀρθὰσ ἤχθω ἡ ΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ, καὶ ἐκκείσθω τετράγωνον τὸ ΕΖΗΘ ἴσην ἔχον τὴν πλευρὰν τῇ ΔΒ, καὶ ἀπὸ τῶν Ε, Ζ, Η, Θ τῷ τοῦ ΕΖΗΘ τετραγώνου ἐπιπέδῳ πρὸσ ὀρθὰσ ἤχθωσαν αἱ ΕΚ, ΖΛ, ΗΜ, ΘΝ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ ἑκάστησ τῶν ΕΚ, ΖΛ, ΗΜ, ΘΝ μιᾷ τῶν ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΕ ἴση ἑκάστη τῶν ΕΚ, ΖΛ, ΗΜ, ΘΝ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΛ, ΛΜ, ΜΝ, ΝΚ· κύβοσ ἄρα συνέσταται ὁ ΖΝ ὑπὸ ἓξ τετραγώνων ἴσων περιεχόμενοσ. δεῖ δὴ αὐτὸν καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν τῇ δοθείσῃ καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ δυνάμει τριπλασία ἐστὶ τῆσ πλευρᾶσ τοῦ κύβου. Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΚΗ, ΕΗ. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΚΕΗ γωνία διὰ τὸ καὶ τὴν ΚΕ ὀρθὴν εἶναι πρὸσ τὸ ΕΗ ἐπίπεδον δηλαδὴ καὶ πρὸσ τὴν ΕΗ εὐθεῖαν, τὸ ἄρα ἐπὶ τῆσ ΚΗ γραφόμενον ἡμικύκλιον ἥξει καὶ διὰ τοῦ Ε σημείου. πάλιν, ἐπεὶ ἡ ΗΖ ὀρθή ἐστι πρὸσ ἑκατέραν τῶν ΖΛ, ΖΕ, καὶ πρὸσ τὸ ΖΚ ἄρα ἐπίπεδον ὀρθή ἐστιν ἡ ΗΖ· ὥστε καὶ ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὴν ΖΚ, ἡ ΗΖ ὀρθὴ ἔσται καὶ πρὸσ τὴν ΖΚ· καὶ διὰ τοῦτο πάλιν τὸ ἐπὶ τῆσ ΗΚ γραφόμενον ἡμικύκλιον ἥξει καὶ διὰ τοῦ Ζ. ὁμοίωσ καὶ διὰ τῶν λοιπῶν τοῦ κύβου σημείων ἥξει. ἐὰν δὴ μενούσησ τῆσ ΚΗ περιενεχθὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰσ τὸ αὐτὸ ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, ἔσται σφαίρᾳ περιειλημμένοσ ὁ κύβοσ. λέγω δή, ὅτι καὶ τῇ δοθείσῃ. ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΗΖ τῇ ΖΕ, καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ πρὸσ τῷ Ζ γωνία, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆσ ΕΗ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΕΖ. ἴση δὲ ἡ ΕΖ τῇ ΕΚ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆσ ΕΗ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΕΚ· ὥστε τὰ ἀπὸ τῶν ΗΕ, ΕΚ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΚ, τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΕΚ. καὶ ἐπεὶ τριπλασίων ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆσ ΒΓ, ὡσ δὲ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΔ, τριπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΒΔ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΚ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΚΕ τριπλάσιον. καὶ κεῖται ἴση ἡ ΚΕ τῇ ΔΒ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΚΗ τῇ ΑΒ. καί ἐστιν ἡ ΑΒ τῆσ δοθείσησ σφαίρασ διάμετροσ· καὶ ἡ ΚΗ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ τῆσ δοθείσησ σφαίρασ διαμέτρῳ. Τῇ δοθείσῃ ἄρα σφαίρᾳ περιείληπται ὁ κύβοσ· καὶ συναποδέδεικται, ὅτι ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ δυνάμει τριπλασίων ἐστὶ τῆσ τοῦ κύβου πλευρᾶσ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἰκοσάεδρον συστήσασθαι καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν, ᾗ καὶ τὰ προειρημένα σχήματα, καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάττων. Ἐκκείσθω ἡ τῆσ δοθείσησ σφαίρασ διάμετροσ ἡ ΑΒ καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Γ ὥστε τετραπλῆν εἶναι τὴν ΑΓ τῆσ ΓΒ, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆσ ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΒ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ τῇ ΑΒ πρὸσ ὀρθὰσ γωνίασ εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ, καὶ ἐκκείσθω κύκλοσ ὁ ΕΖΗΘΚ, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἔστω τῇ ΔΒ, καὶ ἐγγεγράφθω εἰσ τὸν ΕΖΗΘΚ κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον τὸ ΕΖΗΘΚ, καὶ τετμήσθωσαν αἱ ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΚ, ΚΕ περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ Λ, Μ, Ν, Ξ, Ο σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΜ, ΜΝ, ΝΞ, ΞΟ, ΟΛ, ΕΟ. ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΛΜΝΞΟ πεντάγωνον, καὶ δεκαγώνου ἡ ΕΟ εὐθεῖα. καὶ ἀνεστάτωσαν ἀπὸ τῶν Ε, Ζ, Η, Θ, Κ σημείων τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸσ ὀρθὰσ γωνίασ εὐθεῖαι αἱ ΕΠ, ΖΡ, ΗΣ, ΘΤ, ΚΥ ἴσαι οὖσαι τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘΚ κύκλου, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΠΡ, ΡΣ, ΣΤ, ΤΥ, ΥΠ, ΠΛ, ΛΡ, ΡΜ, ΜΣ, ΣΝ, ΝΤ, ΤΞ, ΞΥ, ΥΟ, ΟΠ. καὶ ἐπεὶ ἑκατέρα τῶν ΕΠ, ΚΥ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸσ ὀρθάσ ἐστιν, παράλληλοσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΠ τῇ ΚΥ. ἔστι δὲ αὐτῇ καὶ ἴση· αἱ δὲ τὰσ ἴσασ τε καὶ παραλλήλουσ ἐπιζευγνύουσαι ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη εὐθεῖαι ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν. ἡ ΠΥ ἄρα τῇ ΕΚ ἴση τε καὶ παράλληλόσ ἐστιν. πενταγώνου δὲ ἰσοπλεύρου ἡ ΕΚ· πενταγώνου ἄρα ἰσοπλεύρου καὶ ἡ ΠΥ τοῦ εἰσ τὸν ΕΖΗΘΚ κύκλον ἐγγραφομένου. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκάστη τῶν ΠΡ, ΡΣ, ΣΤ, ΤΥ πενταγώνου ἐστὶν ἰσοπλεύρου τοῦ εἰσ τὸν ΕΖΗΘΚ κύκλον ἐγγραφομένου· ἰσόπλευρον ἄρα τὸ ΠΡΣΤΥ πεντάγωνον. καὶ ἐπεὶ ἑξαγώνου μέν ἐστιν ἡ ΠΕ, δεκαγώνου δὲ ἡ ΕΟ, καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΠΕΟ, πενταγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ ΠΟ· ἡ γὰρ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ δύναται τήν τε τοῦ ἑξαγώνου καὶ τὴν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰσ τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΟΥ πενταγώνου ἐστὶ πλευρά. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΠΥ πενταγώνου· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΠΟΥ τρίγωνον. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἕκαστον τῶν ΠΛΡ, ΡΜΣ, ΣΝΤ, ΤΞΥ ἰσόπλευρόν ἐστιν. καὶ ἐπεὶ πενταγώνου ἐδείχθη ἑκατέρα τῶν ΠΛ, ΠΟ, ἔστι δὲ καὶ ἡ ΛΟ πενταγώνου, ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΠΛΟ τρίγωνον. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἕκαστον τῶν ΛΡΜ, ΜΣΝ, ΝΤΞ, ΞΥΟ τριγώνων ἰσόπλευρόν ἐστιν. εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΕΖΗ ΘΚ κύκλου τὸ Φ σημεῖον· καὶ ἀπὸ τοῦ Φ τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸσ ὀρθὰσ ἀνεστάτω ἡ ΦΩ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη ὡσ ἡ ΦΨ, καὶ ἀφῃρήσθω ἑξαγώνου μὲν ἡ ΦΧ, δεκαγώνου δὲ ἑκατέρα τῶν ΦΨ, ΧΩ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΠΩ, ΠΧ, ΥΩ, ΕΦ, ΛΦ, ΛΨ, ΨΜ. καὶ ἐπεὶ ἑκατέρα τῶν ΦΧ, ΠΕ τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸσ ὀρθάσ ἐστιν, παράλληλοσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΦΧ τῇ ΠΕ. εἰσὶ δὲ καὶ ἴσαι· καὶ αἱ ΕΦ, ΠΧ ἄρα ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν. ἑξαγώνου δὲ ἡ ΕΦ· ἑξαγώνου ἄρα καὶ ἡ ΠΧ. καὶ ἐπεὶ ἑξαγώνου μέν ἐστιν ἡ ΠΧ, δεκαγώνου δὲ ἡ ΧΩ, καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΠΧΩ γωνία, πενταγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ ΠΩ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΥΩ πενταγώνου ἐστίν, ἐπειδήπερ, ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὰσ ΦΚ, ΧΥ, ἴσαι καὶ ἀπεναντίον ἔσονται, καί ἐστιν ἡ ΦΚ ἐκ τοῦ κέντρου οὖσα ἑξαγώνου· ἑξαγώνου ἄρα καὶ ἡ ΧΥ. δεκαγώνου δὲ ἡ ΧΩ, καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΥΧΩ· πενταγώνου ἄρα ἡ ΥΩ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΠΥ πενταγώνου· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΠΥΩ τρίγωνον. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἕκαστον τῶν λοιπῶν τριγώνων, ὧν βάσεισ μέν εἰσιν αἱ ΠΡ, ΡΣ, ΣΤ, ΤΥ εὐθεῖαι, κορυφὴ δὲ τὸ Ω σημεῖον, ἰσόπλευρόν ἐστιν. πάλιν, ἐπεὶ ἑξαγώνου μὲν ἡ ΦΛ, δεκαγώνου δὲ ἡ ΦΨ, καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΛΦΨ γωνία, πενταγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΨ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὴν ΜΦ οὖσαν ἑξαγώνου, συνάγεται καὶ ἡ ΜΨ πενταγώνου. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΛΜ πενταγώνου· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΜΨ τρίγωνον. ὁμοίωσ δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ ἕκαστον τῶν λοιπῶν τριγώνων, ὧν βάσεισ μέν εἰσιν αἱ ΜΝ, ΝΞ, ΞΟ, ΟΛ, κορυφὴ δὲ τὸ Ψ σημεῖον, ἰσόπλευρόν ἐστιν. συνέσταται ἄρα εἰκοσάεδρον ὑπὸ εἴκοσι τριγώνων ἰσοπλεύρων περιεχόμενον. Δεῖ δὴ αὐτὸ καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν τῇ δοθείσῃ καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάσσων. Ἐπεὶ γὰρ ἑξαγώνου ἐστὶν ἡ ΦΧ, δεκαγώνου δὲ ἡ ΧΩ, ἡ ΦΩ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέμηται κατὰ τὸ Χ, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆσ τμῆμά ἐστιν ἡ ΦΧ· ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΩΦ πρὸσ τὴν ΦΧ, οὕτωσ ἡ ΦΧ πρὸσ τὴν ΧΩ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΦΧ τῇ ΦΕ, ἡ δὲ ΧΩ τῇ ΦΨ· ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΩΦ πρὸσ τὴν ΦΕ, οὕτωσ ἡ ΕΦ πρὸσ τὴν ΦΨ. καί εἰσιν ὀρθαὶ αἱ ὑπὸ ΩΦΕ, ΕΦΨ γωνίαι· ἐὰν ἄρα ἐπιζεύξωμεν τὴν ΕΩ εὐθεῖαν, ὀρθὴ ἔσται ἡ ὑπὸ ΨΕΩ γωνία διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΨΕΩ, ΦΕΩ τριγώνων. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ ΩΦ πρὸσ τὴν ΦΧ, οὕτωσ ἡ ΦΧ πρὸσ τὴν ΧΩ, ἴση δὲ ἡ μὲν ΩΦ τῇ ΨΧ, ἡ δὲ ΦΧ τῇ ΧΠ, ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΨΧ πρὸσ τὴν ΧΠ, οὕτωσ ἡ ΠΧ πρὸσ τὴν ΧΩ. καὶ διὰ τοῦτο πάλιν ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὴν ΠΨ, ὀρθὴ ἔσται ἡ πρὸσ τῷ Π γωνία· τὸ ἄρα ἐπὶ τῆσ ΨΩ γραφόμενον ἡμικύκλιον ἥξει καὶ διὰ τοῦ Π. καὶ ἐὰν μενούσησ τῆσ ΨΩ περιενεχθὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰσ τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, ἥξει καὶ διὰ τοῦ Π καὶ τῶν λοιπῶν σημείων τοῦ εἰκοσαέδρου, καὶ ἔσται σφαίρᾳ περιειλημμένον τὸ εἰκοσάεδρον. λέγω δή, ὅτι καὶ τῇ δοθείσῃ. τετμήσθω γὰρ ἡ ΦΧ δίχα κατὰ τὸ Α#. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΦΩ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Χ, καὶ τὸ ἔλασσον αὐτῆσ τμῆμά ἐστιν ἡ ΩΧ, ἡ ἄρα ΩΧ προσλαβοῦσα τὴν ἡμίσειαν τοῦ μείζονοσ τμήματοσ τὴν ΧΑ# πενταπλάσιον δύναται τοῦ ἀπὸ τῆσ ἡμισείασ τοῦ μείζονοσ τμήματοσ· πενταπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΩΑ# τοῦ ἀπὸ τῆσ Α#Χ. καί ἐστι τῆσ μὲν ΩΑ# διπλῆ ἡ ΩΨ, τῆσ δὲ Α#Χ διπλῆ ἡ ΦΧ· πενταπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΩΨ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΧΦ. καὶ ἐπεὶ τετραπλῆ ἐστιν ἡ ΑΓ τῆσ ΓΒ, πενταπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆσ ΒΓ. ὡσ δὲ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΔ· πενταπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΒΔ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΩΨ πενταπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆσ ΦΧ. καί ἐστιν ἴση ἡ ΔΒ τῇ ΦΧ· ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘΚ κύκλου· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΨΩ. καί ἐστιν ἡ ΑΒ ἡ τῆσ δοθείσησ σφαίρασ διάμετροσ· καὶ ἡ ΨΩ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ τῆσ δοθείσησ σφαίρασ διαμέτρῳ. τῇ ἄρα δοθείσῃ σφαίρᾳ περιείληπται τὸ εἰκοσάεδρον. Λέγω δή, ὅτι ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάττων. ἐπεὶ γὰρ ῥητή ἐστιν ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ, καί ἐστι δυνάμει πενταπλασίων τῆσ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘΚ κύκλου, ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘΚ κύκλου· ὥστε καὶ ἡ διάμετροσ αὐτοῦ ῥητή ἐστιν. ἐὰν δὲ εἰσ κύκλον ῥητὴν ἔχοντα τὴν διάμετρον πεντάγωνον ἰσόπλευρον ἐγγραφῇ, ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάττων. ἡ δὲ τοῦ ΕΖΗΘΚ πενταγώνου πλευρὰ ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου ἐστίν. ἡ ἄρα τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάττων. Πόρισμα Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ δυνάμει πενταπλασίων ἐστὶ τῆσ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου, ἀφ’ οὗ τὸ εἰκοσάεδρον ἀναγέγραπται, καὶ ὅτι ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ σύγκειται ἔκ τε τῆσ τοῦ ἑξαγώνου καὶ δύο τῶν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰσ τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων. ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Δωδεκάεδρον συστήσασθαι καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν, ᾗ καὶ τὰ προειρημένα σχήματα, καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τοῦ δωδεκαέδρου πλευρὰ ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη ἀποτομή. Ἐκκείσθωσαν τοῦ προειρημένου κύβου δύο ἐπίπεδα πρὸσ ὀρθὰσ ἀλλήλοισ τὰ ΑΒΓΔ, ΓΒΕΖ, καὶ τετμήσθω ἑκάστη τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ, ΕΖ, ΕΒ, ΖΓ πλευρῶν δίχα κατὰ τὰ Η, Θ, Κ, Λ, Μ, Ν, Ξ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΚ, ΘΛ, ΜΘ, ΝΞ, καὶ τετμήσθω ἑκάστη τῶν ΝΟ, ΟΞ, ΘΠ ἄκρον καὶ μέσον λόγον κατὰ τὰ Ρ, Σ, Τ σημεῖα, καὶ ἔστω αὐτῶν μείζονα τμήματα τὰ ΡΟ, ΟΣ, ΤΠ, καὶ ἀνεστάτωσαν ἀπὸ τῶν Ρ, Σ, Τ σημείων τοῖσ τοῦ κύβου ἐπιπέδοισ πρὸσ ὀρθὰσ ἐπὶ τὰ ἐκτὸσ μέρη τοῦ κύβου αἱ ΡΥ, ΣΦ, ΤΧ, καὶ κείσθωσαν ἴσαι ταῖσ ΡΟ, ΟΣ, ΤΠ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΥΒ, ΒΧ, ΧΓ, ΓΦ, ΦΥ. λέγω, ὅτι τὸ ΥΒΧΓΦ πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ καὶ ἔτι ἰσογώνιόν ἐστιν. ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΡΒ, ΣΒ, ΦΒ. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ἡ ΝΟ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ρ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΡΟ, τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΟΝ, ΝΡ τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΡΟ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΟΝ τῇ ΝΒ, ἡ δὲ ΟΡ τῇ ΡΥ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΒΝ, ΝΡ τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΡΥ. τοῖσ δὲ ἀπὸ τῶν ΒΝ, ΝΡ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΡ ἐστιν ἴσον· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆσ ΒΡ τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΡΥ· ὥστε τὰ ἀπὸ τῶν ΒΡ, ΡΥ τετραπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΡΥ. τοῖσ δὲ ἀπὸ τῶν ΒΡ, ΡΥ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΥ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆσ ΒΥ τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΥΡ· διπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΥ τῆσ ΡΥ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΦΥ τῆσ ΥΡ διπλῆ, ἐπειδήπερ καὶ ἡ ΣΡ τῆσ ΟΡ, τουτέστι τῆσ ΡΥ, ἐστι διπλῆ· ἴση ἄρα ἡ ΒΥ τῇ ΥΦ. ὁμοίωσ δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν ΒΧ, ΧΓ, ΓΦ ἑκατέρᾳ τῶν ΒΥ, ΥΦ ἐστιν ἴση. ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΥΦΓΧ πεντάγωνον. λέγω δή, ὅτι καὶ ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ. ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Ο ἑκατέρᾳ τῶν ΡΥ, ΣΦ παράλληλοσ ἐπὶ τὰ ἐκτὸσ τοῦ κύβου μέρη ἡ ΟΨ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΨΘ, ΘΧ· λέγω, ὅτι ἡ ΨΘΧ εὐθεῖά ἐστιν. ἐπεὶ γὰρ ἡ ΘΠ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Τ, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆσ τμῆμά ἐστιν ἡ ΠΤ, ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΘΠ πρὸσ τὴν ΠΤ, οὕτωσ ἡ ΠΤ πρὸσ τὴν ΤΘ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΘΠ τῇ ΘΟ, ἡ δὲ ΠΤ ἑκατέρᾳ τῶν ΤΧ, ΟΨ· ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΘΟ πρὸσ τὴν ΟΨ, οὕτωσ ἡ ΧΤ πρὸσ τὴν ΤΘ. καί ἐστι παράλληλοσ ἡ μὲν ΘΟ τῇ ΤΧ· ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν τῷ ΒΔ ἐπιπέδῳ πρὸσ ὀρθάσ ἐστιν· ἡ δὲ ΤΘ τῇ ΟΨ· ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν τῷ ΒΖ ἐπιπέδῳ πρὸσ ὀρθάσ ἐστιν. ἐὰν δὲ δύο τρίγωνα συντεθῇ κατὰ μίαν γωνίαν, ὡσ τὰ ΨΟΘ, ΘΤΧ, τὰσ δύο πλευρὰσ ταῖσ δυσὶν ἀνάλογον ἔχοντα, ὥστε τὰσ ὁμολόγουσ αὐτῶν πλευρὰσ καὶ παραλλήλουσ εἶναι, αἱ λοιπαὶ εὐθεῖαι ἐπ’ εὐθείασ ἔσονται· ἐπ’ εὐθείασ ἄρα ἐστὶν ἡ ΨΘ τῇ ΘΧ. πᾶσα δὲ εὐθεῖα ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ· ἐν ἑνὶ ἄρα ἐπιπέδῳ ἐστὶ τὸ ΥΒΧΓΦ πεντάγωνον. Λέγω δή, ὅτι καὶ ἰσογώνιόν ἐστιν. Ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΝΟ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ρ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΟΡ [ἔστιν ἄρα ὡσ συναμφότεροσ ἡ ΝΟ, ΟΡ πρὸσ τὴν ΟΝ, οὕτωσ ἡ ΝΟ πρὸσ τὴν ΟΡ], ἴση δὲ ἡ ΟΡ τῇ ΟΣ [ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΣΝ πρὸσ τὴν ΝΟ, οὕτωσ ἡ ΝΟ πρὸσ τὴν ΟΣ], ἡ ΝΣ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ο, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΝΟ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΝΣ, ΣΟ τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΝΟ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΝΟ τῇ ΝΒ, ἡ δὲ ΟΣ τῇ ΣΦ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΝΣ, ΣΦ τετράγωνα τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΝΒ· ὥστε τὰ ἀπὸ τῶν ΦΣ, ΣΝ, ΝΒ τετραπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΝΒ. τοῖσ δὲ ἀπὸ τῶν ΣΝ, ΝΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΣΒ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΒΣ, ΣΦ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΦ [1ὀρθὴ γὰρ ἡ ὑπὸ ΦΣΒ γωνία]1, τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΝΒ· διπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ ΦΒ τῆσ ΒΝ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΒΓ τῆσ ΒΝ διπλῆ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΦ τῇ ΒΓ. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΒΥ, ΥΦ δυσὶ ταῖσ ΒΧ, ΧΓ ἴσαι εἰσίν, καὶ βάσισ ἡ ΒΦ βάσει τῇ ΒΓ ἴση, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΥΦ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΧΓ ἐστιν ἴση. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ὑπὸ ΥΦΓ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΒΧΓ· αἱ ἄρα ὑπὸ ΒΧΓ, ΒΥΦ, ΥΦΓ τρεῖσ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαισ εἰσίν. ἐὰν δὲ πενταγώνου ἰσοπλεύρου αἱ τρεῖσ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαισ ὦσιν, ἰσογώνιον ἔσται τὸ πεντάγωνον· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΥΦΓΧ πεντάγωνον. ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον· τὸ ἄρα ΒΥΦΓΧ πεντάγωνον ἰσόπλευρόν ἐστι καὶ ἰσογώνιον, καί ἐστιν ἐπὶ μιᾶσ τοῦ κύβου πλευρᾶσ τῆσ ΒΓ. ἐὰν ἄρα ἐφ’ ἑκάστησ τῶν τοῦ κύβου δώδεκα πλευρῶν τὰ αὐτὰ κατασκευάσωμεν, συσταθήσεταί τι σχῆμα στερεὸν ὑπὸ δώδεκα πενταγώνων ἰσοπλεύρων τε καὶ ἰσογωνίων περιεχόμενον, ὃ καλεῖται δωδεκάεδρον. Δεῖ δὴ αὐτὸ καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν τῇ δοθείσῃ καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τοῦ δωδεκαέδρου πλευρὰ ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη ἀποτομή. Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΨΟ, καὶ ἔστω ἡ ΨΩ· συμβάλλει ἄρα ἡ ΟΩ τῇ τοῦ κύβου διαμέτρῳ, καὶ δίχα τέμνουσιν ἀλλήλασ· τοῦτο γὰρ δέδεικται ἐν τῷ παρατελεύτῳ θεωρήματι τοῦ ἑνδεκάτου βιβλίου. τεμνέτωσαν κατὰ τὸ Ω· τὸ Ω ἄρα κέντρον ἐστὶ τῆσ σφαίρασ τῆσ περιλαμβανούσησ τὸν κύβον, καὶ ἡ ΩΟ ἡμίσεια τῆσ πλευρᾶσ τοῦ κύβου. ἐπεζεύχθω δὴ ἡ ΥΩ. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΝΣ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ο, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆσ τμῆμά ἐστιν ἡ ΝΟ, τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΝΣ, ΣΟ τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΝΟ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΝΣ τῇ ΨΩ, ἐπειδήπερ καὶ ἡ μὲν ΝΟ τῇ ΟΩ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ΨΟ τῇ ΟΣ. ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ ΟΣ τῇ ΨΥ, ἐπεὶ καὶ τῇ ΡΟ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΩΨ, ΨΥ τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΝΟ. τοῖσ δὲ ἀπὸ τῶν ΩΨ, ΨΥ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΥΩ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆσ ΥΩ τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΝΟ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆσ σφαίρασ τῆσ περιλαμβανούσησ τὸν κύβον δυνάμει τριπλασίων τῆσ ἡμισείασ τῆσ τοῦ κύβου πλευρᾶσ· προδέδεικται γὰρ κύβον συστήσασθαι καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ δυνάμει τριπλασίων ἐστὶ τῆσ πλευρᾶσ τοῦ κύβου. εἰ δὲ ὅλη τῆσ ὅλησ, καὶ [ἡ] ἡμίσεια τῆσ ἡμισείασ· καί ἐστιν ἡ ΝΟ ἡμίσεια τῆσ τοῦ κύβου πλευρᾶσ· ἡ ἄρα ΥΩ ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆσ σφαίρασ τῆσ περιλαμβανούσησ τὸν κύβον. καί ἐστι τὸ Ω κέντρον τῆσ σφαίρασ τῆσ περιλαμβανούσησ τὸν κύβον· τὸ Υ ἄρα σημεῖον πρὸσ τῇ ἐπιφανείᾳ ἐστὶ τῆσ σφαίρασ. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν λοιπῶν γωνιῶν τοῦ δωδεκαέδρου πρὸσ τῇ ἐπιφανείᾳ ἐστὶ τῆσ σφαίρασ· περιείληπται ἄρα τὸ δωδεκάεδρον τῇ δοθείσῃ σφαίρᾳ. Λέγω δή, ὅτι ἡ τοῦ δωδεκαέδρου πλευρὰ ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη ἀποτομή. Ἐπεὶ γὰρ τῆσ ΝΟ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμημένησ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΡΟ, τῆσ δὲ ΟΞ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμημένησ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΟΣ, ὅλησ ἄρα τῆσ ΝΞ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένησ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΡΣ. οἱο͂ν ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ ΝΟ πρὸσ τὴν ΟΡ, ἡ ΟΡ πρὸσ τὴν ΡΝ, καὶ τὰ διπλάσια· τὰ γὰρ μέρη τοῖσ ἰσάκισ πολλαπλασίοισ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον· ὡσ ἄρα ἡ ΝΞ πρὸσ τὴν ΡΣ, οὕτωσ ἡ ΡΣ πρὸσ συναμφότερον τὴν ΝΡ, ΣΞ. μείζων δὲ ἡ ΝΞ τῆσ ΡΣ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΡΣ συναμφοτέρου τῆσ ΝΡ, ΣΞ· ἡ ΝΞ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆσ τμῆμά ἐστιν ἡ ΡΣ. ἴση δὲ ἡ ΡΣ τῇ ΥΦ· τῆσ ἄρα ΝΞ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένησ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΥΦ. καὶ ἐπεὶ ῥητή ἐστιν ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ καί ἐστι δυνάμει τριπλασίων τῆσ τοῦ κύβου πλευρᾶσ, ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΝΞ πλευρὰ οὖσα τοῦ κύβου. ἐὰν δὲ ῥητὴ γραμμὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, ἑκάτερον τῶν τμημάτων ἄλογόσ ἐστιν ἀποτομή. Ἡ ΥΦ ἄρα πλευρὰ οὖσα τοῦ δωδεκαέδρου ἄλογόσ ἐστιν ἀποτομή. Πόρισμα Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι τῆσ τοῦ κύβου πλευρᾶσ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένησ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ τοῦ δωδεκαέδρου πλευρά. ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τὰσ πλευρὰσ τῶν πέντε σχημάτων ἐκθέσθαι καὶ συγκρῖναι πρὸσ ἀλλήλασ. Ἐκκείσθω ἡ τῆσ δοθείσησ σφαίρασ διάμετροσ ἡ ΑΒ, καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Γ ὥστε ἴσην εἶναι τὴν ΑΓ τῇ ΓΒ, κατὰ δὲ τὸ Δ ὥστε διπλασίονα εἶναι τὴν ΑΔ τῆσ ΔΒ, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆσ ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΕΒ, καὶ ἀπὸ τῶν Γ, Δ τῇ ΑΒ πρὸσ ὀρθὰσ ἤχθωσαν αἱ ΓΕ, ΔΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΖΒ, ΕΒ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΔ τῆσ ΔΒ, τριπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆσ ΒΔ. ἀναστρέψαντι ἡμιολία ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΑ τῆσ ΑΔ. ὡσ δὲ ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΔ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΑ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΖ· ἰσογώνιον γάρ ἐστι τὸ ΑΖΒ τρίγωνον τῷ ΑΖΔ τριγώνῳ· ἡμιόλιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΑ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΑΖ. ἔστι δὲ καὶ ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ δυνάμει ἡμιολία τῆσ πλευρᾶσ τῆσ πυραμίδοσ. καί ἐστιν ἡ ΑΒ ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ· ἡ ΑΖ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ πλευρᾷ τῆσ πυραμίδοσ. Πάλιν, ἐπεὶ διπλασίων ἐστὶν ἡ ΑΔ τῆσ ΔΒ, τριπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆσ ΒΔ. ὡσ δὲ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΔ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΖ· τριπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΒΖ. ἔστι δὲ καὶ ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ δυνάμει τριπλασίων τῆσ τοῦ κύβου πλευρᾶσ. καί ἐστιν ἡ ΑΒ ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ· ἡ ΒΖ ἄρα τοῦ κύβου ἐστὶ πλευρά. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ, διπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆσ ΒΓ. ὡσ δὲ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΕ· διπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΒΕ. ἔστι δὲ καὶ ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ δυνάμει διπλασίων τῆσ τοῦ ὀκταέδρου πλευρᾶσ. καί ἐστιν ἡ ΑΒ ἡ τῆσ δοθείσησ σφαίρασ διάμετροσ· ἡ ΒΕ ἄρα τοῦ ὀκταέδρου ἐστὶ πλευρά. Ἤχθω δὴ ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῇ ΑΒ εὐθείᾳ πρὸσ ὀρθὰσ ἡ ΑΗ, καὶ κείσθω ἡ ΑΗ ἴση τῇ ΑΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΓ, καὶ ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετοσ ἤχθω ἡ ΘΚ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΗΑ τῆσ ΑΓ· ἴση γὰρ ἡ ΗΑ τῇ ΑΒ· ὡσ δὲ ἡ ΗΑ πρὸσ τὴν ΑΓ, οὕτωσ ἡ ΘΚ πρὸσ τὴν ΚΓ, διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΘΚ τῆσ ΚΓ. τετραπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΘΚ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΚΓ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΘΚ, ΚΓ, ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΘΓ, πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΚΓ. ἴση δὲ ἡ ΘΓ τῇ ΓΒ· πενταπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΓ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΓΚ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΒ τῆσ ΓΒ, ὧν ἡ ΑΔ τῆσ ΔΒ ἐστι διπλῆ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΔ λοιπῆσ τῆσ ΔΓ ἐστι διπλῆ. τριπλῆ ἄρα ἡ ΒΓ τῆσ ΓΔ· ἐνναπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΓ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΓΔ. πενταπλάσιον δὲ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΓ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΓΚ· μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΓΚ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΓΔ. μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΚ τῆσ ΓΔ. κείσθω τῇ ΓΚ ἴση ἡ ΓΛ, καὶ ἀπὸ τοῦ Λ τῇ ΑΒ πρὸσ ὀρθὰσ ἤχθω ἡ ΛΜ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΜΒ. καὶ ἐπεὶ πενταπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΓ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΓΚ, καί ἐστι τῆσ μὲν ΒΓ διπλῆ ἡ ΑΒ, τῆσ δὲ ΓΚ διπλῆ ἡ ΚΛ, πενταπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΚΛ. ἔστι δὲ καὶ ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ δυνάμει πενταπλασίων τῆσ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου, ἀφ’ οὗ τὸ εἰκοσάεδρον ἀναγέγραπται. καί ἐστιν ἡ ΑΒ ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ· ἡ ΚΛ ἄρα ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶ τοῦ κύκλου, ἀφ’ οὗ τὸ εἰκοσάεδρον ἀναγέγραπται· ἡ ΚΛ ἄρα ἑξαγώνου ἐστὶ πλευρὰ τοῦ εἰρημένου κύκλου. καὶ ἐπεὶ ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ σύγκειται ἔκ τε τῆσ τοῦ ἑξαγώνου καὶ δύο τῶν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰσ τὸν εἰρημένον κύκλον ἐγγραφομένων, καί ἐστιν ἡ μὲν ΑΒ ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ, ἡ δὲ ΚΛ ἑξαγώνου πλευρά, καὶ ἴση ἡ ΑΚ τῇ ΛΒ, ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΚ, ΛΒ δεκαγώνου ἐστὶ πλευρὰ τοῦ ἐγγραφομένου εἰσ τὸν κύκλον, ἀφ’ οὗ τὸ εἰκοσάεδρον ἀναγέγραπται. καὶ ἐπεὶ δεκαγώνου μὲν ἡ ΛΒ, ἑξαγώνου δὲ ἡ ΜΛ· ἴση γάρ ἐστι τῇ ΚΛ, ἐπεὶ καὶ τῇ ΘΚ· ἴσον γὰρ ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ κέντρου· καί ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΘΚ, ΚΛ διπλασίων τῆσ ΚΓ· πενταγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΒ. ἡ δὲ τοῦ πενταγώνου ἐστὶν ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου· εἰκοσαέδρου ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΒ. Καὶ ἐπεὶ ἡ ΖΒ κύβου ἐστὶ πλευρά, τετμήσθω ἄκρον καὶ μέσον λόγον κατὰ τὸ Ν, καὶ ἔστω μεῖζον τμῆμα τὸ ΝΒ· ἡ ΝΒ ἄρα δωδεκαέδρου ἐστὶ πλευρά. Καὶ ἐπεὶ ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ ἐδείχθη τῆσ μὲν ΑΖ πλευρᾶσ τῆσ πυραμίδοσ δυνάμει ἡμιολία, τῆσ δὲ τοῦ ὀκταέδρου τῆσ ΒΕ δυνάμει διπλασίων, τῆσ δὲ τοῦ κύβου τῆσ ΖΒ δυνάμει τριπλασίων, οἱών ἄρα ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ δυνάμει ἕξ, τοιούτων ἡ μὲν τῆσ πυραμίδοσ τεσσάρων, ἡ δὲ τοῦ ὀκταέδρου τριῶν, ἡ δὲ τοῦ κύβου δύο. ἡ μὲν ἄρα τῆσ πυραμίδοσ πλευρὰ τῆσ μὲν τοῦ ὀκταέδρου πλευρᾶσ δυνάμει ἐστὶν ἐπίτριτοσ, τῆσ δὲ τοῦ κύβου δυνάμει διπλῆ, ἡ δὲ τοῦ ὀκταέδρου τῆσ τοῦ κύβου δυνάμει ἡμιολία. αἱ μὲν οὖν εἰρημέναι τῶν τριῶν σχημάτων πλευραί, λέγω δὴ πυραμίδοσ καὶ ὀκταέδρου καὶ κύβου, πρὸσ ἀλλήλασ εἰσὶν ἐν λόγοισ ῥητοῖσ. αἱ δὲ λοιπαὶ δύο, λέγω δὴ ἥ τε τοῦ εἰκοσαέδρου καὶ ἡ τοῦ δωδεκαέδρου, οὔτε πρὸσ ἀλλήλασ οὔτε πρὸσ τὰσ προειρημένασ εἰσὶν ἐν λόγοισ ῥητοῖσ· ἄλογοι γάρ εἰσιν, ἡ μὲν ἐλάττων, ἡ δὲ ἀποτομή. Ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ ἡ ΜΒ τῆσ τοῦ δωδεκαέδρου τῆσ ΝΒ, δείξομεν οὕτωσ. Ἐπεὶ γὰρ ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΖΔΒ τρίγωνον τῷ ΖΑΒ τριγώνῳ, ἀνάλογόν ἐστιν ὡσ ἡ ΔΒ πρὸσ τὴν ΒΖ, οὕτωσ ἡ ΒΖ πρὸσ τὴν ΒΑ. καὶ ἐπεὶ τρεῖσ εὐθεῖαι ἀνάλογόν εἰσιν, ἔστιν ὡσ ἡ πρώτη πρὸσ τὴν τρίτην, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ πρώτησ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ δευτέρασ· ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΔΒ πρὸσ τὴν ΒΑ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΔΒ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΖ· ἀνάπαλιν ἄρα ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΔ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΒ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΔ. τριπλῆ δὲ ἡ ΑΒ τῆσ ΒΔ· τριπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΒ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΒΔ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΔ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΔΒ τετραπλάσιον· διπλῆ γὰρ ἡ ΑΔ τῆσ ΔΒ· μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΔ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΖΒ· μείζων ἄρα ἡ ΑΔ τῆσ ΖΒ· πολλῷ ἄρα ἡ ΑΛ τῆσ ΖΒ μείζων ἐστίν. καὶ τῆσ μὲν ΑΛ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένησ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΚΛ, ἐπειδήπερ ἡ μὲν ΛΚ ἑξαγώνου ἐστίν, ἡ δὲ ΚΑ δεκαγώνου· τῆσ δὲ ΖΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένησ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΝΒ· μείζων ἄρα ἡ ΚΛ τῆσ ΝΒ. ἴση δὲ ἡ ΚΛ τῇ ΛΜ· μείζων ἄρα ἡ ΛΜ τῆσ ΝΒ [τῆσ δὲ ΛΜ μείζων ἐστὶν ἡ ΜΒ]. πολλῷ ἄρα ἡ ΜΒ πλευρὰ οὖσα τοῦ εἰκοσαέδρου μείζων ἐστὶ τῆσ ΝΒ πλευρᾶσ οὔσησ τοῦ δωδεκαέδρου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Λέγω δή, ὅτι παρὰ τὰ εἰρημένα πέντε σχήματα οὐ συσταθήσεται ἕτερον σχῆμα περιεχόμενον ὑπὸ ἰσοπλεύρων τε καὶ ἰσογωνίων ἴσων ἀλλήλοισ. Ὑπὸ μὲν γὰρ δύο τριγώνων ἢ ὅλωσ ἐπιπέδων στερεὰ γωνία οὐ συνίσταται. ὑπὸ δὲ τριῶν τριγώνων ἡ τῆσ πυραμίδοσ, ὑπὸ δὲ τεσσάρων ἡ τοῦ ὀκταέδρου, ὑπὸ δὲ πέντε ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου· ὑπὸ δὲ ἓξ τριγώνων ἰσοπλεύρων τε καὶ ἰσογωνίων πρὸσ ἑνὶ σημείῳ συνισταμένων οὐκ ἔσται στερεὰ γωνία· οὔσησ γὰρ τῆσ τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου γωνίασ διμοίρου ὀρθῆσ ἔσονται αἱ ἓξ τέσσαρσιν ὀρθαῖσ ἴσαι· ὅπερ ἀδύνατον· ἅπασα γὰρ στερεὰ γωνία ὑπὸ ἐλασσόνων ἢ τεσσάρων ὀρθῶν περιέχεται. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ οὐδὲ ὑπὸ πλειόνων ἢ ἓξ γωνιῶν ἐπιπέδων στερεὰ γωνία συνίσταται. ὑπὸ δὲ τετραγώνων τριῶν ἡ τοῦ κύβου γωνία περιέχεται· ὑπὸ δὲ τεσσάρων ἀδύνατον· ἔσονται γὰρ πάλιν τέσσαρεσ ὀρθαί. ὑπὸ δὲ πενταγώνων ἰσοπλεύρων καὶ ἰσογωνίων, ὑπὸ μὲν τριῶν ἡ τοῦ δωδεκαέδρου· ὑπὸ δὲ τεσσάρων ἀδύνατον· οὔσησ γὰρ τῆσ τοῦ πενταγώνου ἰσοπλεύρου γωνίασ ὀρθῆσ καὶ πέμπτου, ἔσονται αἱ τέσσαρεσ γωνίαι τεσσάρων ὀρθῶν μείζουσ· ὅπερ ἀδύνατον. οὐδὲ μὴν ὑπὸ πολυγώνων ἑτέρων σχημάτων περισχεθήσεται στερεὰ γωνία διὰ τὸ αὐτὸ ἄτοπον. Οὐκ ἄρα παρὰ τὰ εἰρημένα πέντε σχήματα ἕτερον σχῆμα στερεὸν συσταθήσεται ὑπὸ ἰσοπλεύρων τε καὶ ἰσογωνίων περιεχόμενον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Λῆμμα Ὅτι δὲ ἡ τοῦ ἰσοπλεύρου καὶ ἰσογωνίου πενταγώνου γωνία ὀρθή ἐστι καὶ πέμπτου, οὕτω δεικτέον. Ἔστω γὰρ πεντάγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓΔΕ, καὶ περιγεγράφθω περὶ αὐτὸ κύκλοσ ὁ ΑΒΓ ΔΕ, καὶ εἰλήφθω αὐτοῦ τὸ κέντρον τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΑ, ΖΒ, ΖΓ, ΖΔ, ΖΕ. δίχα ἄρα τέμνουσι τὰσ πρὸσ τοῖσ Α, Β, Γ, Δ, Ε τοῦ πενταγώνου γωνίασ. καὶ ἐπεὶ αἱ πρὸσ τῷ Ζ πέντε γωνίαι τέσσαρσιν ὀρθαῖσ ἴσαι εἰσὶ καί εἰσιν ἴσαι, μία ἄρα αὐτῶν, ὡσ ἡ ὑπὸ ΑΖΒ, μιᾶσ ὀρθῆσ ἐστι παρὰ πέμπτον· λοιπαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ ΖΑΒ, ΑΒΖ μιᾶσ εἰσιν ὀρθῆσ καὶ πέμπτου. ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΖΑΒ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ τοῦ πενταγώνου γωνία μιᾶσ ἐστιν ὀρθῆσ καὶ πέμπτου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

상위

Elements

목록

일치하는 문장이 없습니다.

SEARCH

MENU NAVIGATION