헬라어 문장 검색 - Ευξλιδ́Ελεμεντ́13́1́0́

(유클리드, Elements, book 13, type Prop)

Εἂν εὐθεῖα γραμμὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, τὸ μεῖζον τμῆμα προσλαβὸν τὴν ἡμίσειαν τῆσ ὅλησ πενταπλάσιον δύναται τοῦ ἀπὸ τῆσ ἡμισείασ τετραγώνου. Εὐθεῖα γὰρ γραμμὴ ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω κατὰ τὸ Γ σημεῖον, καὶ ἔστω μεῖζον τμῆμα τὸ ΑΓ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπ’ εὐθείασ τῇ ΓΑ εὐθεῖα ἡ ΑΔ, καὶ κείσθω τῆσ ΑΒ ἡμίσεια ἡ ΑΔ· λέγω, ὅτι πενταπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΓΔ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΔΑ. Ἀναγεγράφθωσαν γὰρ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΔΓ τετράγωνα τὰ ΑΕ, ΔΖ, καὶ καταγεγράφθω ἐν τῷ ΔΖ τὸ σχῆμα, καὶ διήχθω ἡ ΖΓ ἐπὶ τὸ Η. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Γ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΓ. καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΑΒΓ τὸ ΓΕ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆσ ΑΓ τὸ ΖΘ· ἴσον ἄρα τὸ ΓΕ τῷ ΖΘ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΒΑ τῆσ ΑΔ, ἴση δὲ ἡ μὲν ΒΑ τῇ ΚΑ, ἡ δὲ ΑΔ τῇ ΑΘ, διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΚΑ τῆσ ΑΘ. ὡσ δὲ ἡ ΚΑ πρὸσ τὴν ΑΘ, οὕτωσ τὸ ΓΚ πρὸσ τὸ ΓΘ· διπλάσιον ἄρα τὸ ΓΚ τοῦ ΓΘ. εἰσὶ δὲ καὶ τὰ ΛΘ, ΘΓ διπλάσια τοῦ ΓΘ. ἴσον ἄρα τὸ ΚΓ τοῖσ ΛΘ, ΘΓ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ΓΕ τῷ ΘΖ ἴσον· ὅλον ἄρα τὸ ΑΕ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ΜΝΞ γνώμονι. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΒΑ τῆσ ΑΔ, τετραπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΑ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΑΔ, τουτέστι τὸ ΑΕ τοῦ ΔΘ. ἴσον δὲ τὸ ΑΕ τῷ ΜΝΞ γνώμονι· καὶ ὁ ΜΝΞ ἄρα γνώμων τετραπλάσιόσ ἐστι τοῦ ΑΟ· ὅλον ἄρα τὸ ΔΖ πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΟ. καί ἐστι τὸ μὲν ΔΖ τὸ ἀπὸ τῆσ ΔΓ, τὸ δὲ ΑΟ τὸ ἀπὸ τῆσ ΔΑ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆσ ΓΔ πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΔΑ. Εἂν ἄρα εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, τὸ μεῖζον τμῆμα προσλαβὸν τὴν ἡμίσειαν τῆσ ὅλησ πενταπλάσιον δύναται τοῦ ἀπὸ τῆσ ἡμισείασ τετραγώνου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν εὐθεῖα γραμμὴ τμήματοσ ἑαυτῆσ πενταπλάσιον δύνηται, τῆσ διπλασίασ τοῦ εἰρημένου τμήματοσ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένησ τὸ μεῖζον τμῆμα τὸ λοιπὸν μέροσ ἐστὶ τῆσ ἐξ ἀρχῆσ εὐθείασ. Εὐθεῖα γὰρ γραμμὴ ἡ ΑΒ τμήματοσ ἑαυτῆσ τοῦ ΑΓ πενταπλάσιον δυνάσθω, τῆσ δὲ ΑΓ διπλῆ ἔστω ἡ ΓΔ· λέγω, ὅτι τῆσ ΓΔ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένησ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΓΒ. Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀφ’ ἑκατέρασ τῶν ΑΒ, ΓΔ τετράγωνα τὰ ΑΖ, ΓΗ, καὶ καταγεγράφθω ἐν τῷ ΑΖ τὸ σχῆμα, καὶ διήχθω ἡ ΒΕ. καὶ ἐπεὶ πενταπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΑ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΑΓ, πενταπλάσιόν ἐστι τὸ ΑΖ τοῦ ΑΘ. τετραπλάσιοσ ἄρα ὁ ΜΝΞ γνώμων τοῦ ΑΘ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΔΓ τῆσ ΓΑ, τετραπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ ΔΓ τοῦ ἀπὸ ΓΑ, τουτέστι τὸ ΓΗ τοῦ ΑΘ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὁ ΜΝΞ γνώμων τετραπλάσιοσ τοῦ ΑΘ· ἴσοσ ἄρα ὁ ΜΝΞ γνώμων τῷ ΓΗ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΔΓ τῆσ ΓΑ, ἴση δὲ ἡ μὲν ΔΓ τῇ ΓΚ, ἡ δὲ ΑΓ τῇ ΓΘ [διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΚΓ τῆσ ΓΘ], διπλάσιον ἄρα καὶ τὸ ΚΒ τοῦ ΒΘ. εἰσὶ δὲ καὶ τὰ ΛΘ, ΘΒ τοῦ ΘΒ διπλάσια· ἴσον ἄρα τὸ ΚΒ τοῖσ ΛΘ, ΘΒ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὅλοσ ὁ ΜΝΞ γνώμων ὅλῳ τῷ ΓΗ ἴσοσ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΘΖ τῷ ΒΗ ἐστιν ἴσον. καί ἐστι τὸ μὲν ΒΗ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔΒ· ἴση γὰρ ἡ ΓΔ τῇ ΔΗ· τὸ δὲ ΘΖ τὸ ἀπὸ τῆσ ΓΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΔΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΓΒ. ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΔΓ πρὸσ τὴν ΓΒ, οὕτωσ ἡ ΓΒ πρὸσ τὴν ΒΔ. μείζων δὲ ἡ ΔΓ τῆσ ΓΒ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΓΒ τῆσ ΒΔ. τῆσ ΓΔ ἄρα εὐθείασ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένησ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΓΒ. Εἂν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμήματοσ ἑαυτῆσ πενταπλάσιον δύνηται, τῆσ διπλασίασ τοῦ εἰρημένου τμήματοσ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένησ τὸ μεῖζον τμῆμα τὸ λοιπὸν μέροσ ἐστὶ τῆσ ἐξ ἀρχῆσ εὐθείασ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Λῆμμα Ὅτι δὲ ἡ διπλῆ τῆσ ΑΓ μείζων ἐστὶ τῆσ ΒΓ, οὕτωσ δεικτέον. Εἰ γὰρ μή, ἔστω, εἰ δυνατόν, ἡ ΒΓ διπλῆ τῆσ ΓΑ. τετραπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΓ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΓΑ· πενταπλάσια ἄρα τὰ ἀπὸ τῶν ΒΓ, ΓΑ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΓΑ. ὑπόκειται δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΑ πενταπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆσ ΓΑ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆσ ΒΑ ἴσον ἐστὶ τοῖσ ἀπὸ τῶν ΒΓ, ΓΑ· ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἡ ΓΒ διπλασία ἐστὶ τῆσ ΑΓ. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἡ ἐλάττων τῆσ ΓΒ διπλασίων ἐστὶ τῆσ ΓΑ· πολλῷ γὰρ [μεῖζον] τὸ ἄτοπον. Ἡ ἄρα τῆσ ΑΓ διπλῆ μείζων ἐστὶ τῆσ ΓΒ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν εὐθεῖα γραμμὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, τὸ ἔλασσον τμῆμα προσλαβὸν τὴν ἡμίσειαν τοῦ μείζονοσ τμήματοσ πενταπλάσιον δύναται τοῦ ἀπὸ τῆσ ἡμισείασ τοῦ μείζονοσ τμήματοσ τετραγώνου. Εὐθεῖα γάρ τισ ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω κατὰ τὸ Γ σημεῖον, καὶ ἔστω μεῖζον τμῆμα τὸ ΑΓ, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Δ· λέγω, ὅτι πενταπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΔ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΔΓ. Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆσ ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΕ, καὶ καταγεγράφθω διπλοῦν τὸ σχῆμα. ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΓ τῆσ ΔΓ, τετραπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΓ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΔΓ, τουτέστι τὸ ΡΣ τοῦ ΖΗ. καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΓ, καί ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ τὸ ΓΕ, τὸ ἄρα ΓΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ΡΣ. τετραπλάσιον δὲ τὸ ΡΣ τοῦ ΖΗ· τετραπλάσιον ἄρα καὶ τὸ ΓΕ τοῦ ΖΗ. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΓ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ΘΚ τῇ ΚΖ. ὥστε καὶ τὸ ΗΖ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ΘΛ τετραγώνῳ. ἴση ἄρα ἡ ΗΚ τῇ ΚΛ, τουτέστιν ἡ ΜΝ τῇ ΝΕ· ὥστε καὶ τὸ ΜΖ τῷ ΖΕ ἐστιν ἴσον. ἀλλὰ τὸ ΜΖ τῷ ΓΗ ἐστιν ἴσον· καὶ τὸ ΓΗ ἄρα τῷ ΖΕ ἐστιν ἴσον. κοινὸν προσκείσθω τὸ ΓΝ· ὁ ἄρα ΞΟΠ γνώμων ἴσοσ ἐστὶ τῷ ΓΕ. ἀλλὰ τὸ ΓΕ τετραπλάσιον ἐδείχθη τοῦ ΗΖ· καὶ ὁ ΞΟΠ ἄρα γνώμων τετραπλάσιόσ ἐστι τοῦ ΖΗ τετραγώνου. ὁ ΞΟΠ ἄρα γνώμων καὶ τὸ ΖΗ τετράγωνον πενταπλάσιόσ ἐστι τοῦ ΖΗ. ἀλλὰ ὁ ΞΟΠ γνώμων καὶ τὸ ΖΗ τετράγωνόν ἐστι τὸ ΔΝ. καί ἐστι τὸ μὲν ΔΝ τὸ ἀπὸ τῆσ ΔΒ, τὸ δὲ ΗΖ τὸ ἀπὸ τῆσ ΔΓ. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆσ ΔΒ πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΔΓ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν εὐθεῖα γραμμὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, τὸ ἀπὸ τῆσ ὅλησ καὶ τοῦ ἐλάσσονοσ τμήματοσ, τὰ συναμφότερα τετράγωνα, τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τοῦ μείζονοσ τμήματοσ τετραγώνου. Ἔστω εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ τετμήσθω ἄκρον καὶ μέσον λόγον κατὰ τὸ Γ, καὶ ἔστω μεῖζον τμῆμα τὸ ΑΓ· λέγω, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΓΑ. Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆσ ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔΕΒ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Γ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΑΓ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΓ. καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΑΒΓ τὸ ΑΚ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆσ ΑΓ τὸ ΘΗ· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΚ τῷ ΘΗ. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΖ τῷ ΖΕ, κοινὸν προσκείσθω τὸ ΓΚ· ὅλον ἄρα τὸ ΑΚ ὅλῳ τῷ ΓΕ ἐστιν ἴσον· τὰ ἄρα ΑΚ, ΓΕ τοῦ ΑΚ ἐστι διπλάσια. ἀλλὰ τὰ ΑΚ, ΓΕ ὁ ΛΜΝ γνώμων ἐστὶ καὶ τὸ ΓΚ τετράγωνον· ὁ ἄρα ΛΜΝ γνώμων καὶ τὸ ΓΚ τετράγωνον διπλάσιά ἐστι τοῦ ΑΚ. ἀλλὰ μὴν καὶ τὸ ΑΚ τῷ ΘΗ ἐδείχθη ἴσον· ὁ ἄρα ΛΜΝ γνώμων καὶ [τὸ ΓΚ τετράγωνον διπλάσιά ἐστι τοῦ ΘΗ· ὥστε ὁ ΛΜΝ γνώμων καὶ] τὰ ΓΚ, ΘΗ τετράγωνα τριπλάσιά ἐστι τοῦ ΘΗ τετραγώνου. καί ἐστιν ὁ [μὲν] ΛΜΝ γνώμων καὶ τὰ ΓΚ, ΘΗ τετράγωνα ὅλον τὸ ΑΕ καὶ τὸ ΓΚ, ἅπερ ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνα, τὸ δὲ ΗΘ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΓ τετράγωνον. τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνα τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΑΓ τετραγώνου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν εὐθεῖα γραμμὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, καὶ προστεθῇ αὐτῇ ἴση τῷ μείζονι τμήματι, ἡ ὅλη εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ἐξ ἀρχῆσ εὐθεῖα. Εὐθεῖα γὰρ γραμμὴ ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω κατὰ τὸ Γ σημεῖον, καὶ ἔστω μεῖζον τμῆμα ἡ ΑΓ, καὶ τῇ ΑΓ ἴση [κείσθω] ἡ ΑΔ. λέγω, ὅτι ἡ ΔΒ εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Α, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ἐξ ἀρχῆσ εὐθεῖα ἡ ΑΒ. Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆσ ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΕ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα. ἐπεὶ ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Γ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΑΓ. καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ τὸ ΓΕ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆσ ΑΓ τὸ ΓΘ· ἴσον ἄρα τὸ ΓΕ τῷ ΘΓ. ἀλλὰ τῷ μὲν ΓΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ΘΕ, τῷ δὲ ΘΓ ἴσον τὸ ΔΘ· καὶ τὸ ΔΘ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ΘΕ [κοινὸν προσκείσθω τὸ ΘΒ]. ὅλον ἄρα τὸ ΔΚ ὅλῳ τῷ ΑΕ ἐστιν ἴσον. καί ἐστι τὸ μὲν ΔΚ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΑ· ἴση γὰρ ἡ ΑΔ τῇ ΔΛ· τὸ δὲ ΑΕ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΔΑ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΒ. ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΔΒ πρὸσ τὴν ΒΑ, οὕτωσ ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΔ. μείζων δὲ ἡ ΔΒ τῆσ ΒΑ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΒΑ τῆσ ΑΔ. Ἡ ἄρα ΔΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέμηται κατὰ τὸ Α, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΑΒ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν εὐθεῖα ῥητὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, ἑκάτερον τῶν τμημάτων ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη ἀποτομή. Ἔστω εὐθεῖα ῥητὴ ἡ ΑΒ καὶ τετμήσθω ἄκρον καὶ μέσον λόγον κατὰ τὸ Γ, καὶ ἔστω μεῖζον τμῆμα ἡ ΑΓ· λέγω, ὅτι ἑκατέρα τῶν ΑΓ, ΓΒ ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη ἀποτομή. Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΒΑ, καὶ κείσθω τῆσ ΒΑ ἡμίσεια ἡ ΑΔ. ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ ΑΒ τέτμηται ἄκρον καὶ μέσον λόγον κατὰ τὸ Γ, καὶ τῷ μείζονι τμήματι τῷ ΑΓ πρόσκειται ἡ ΑΔ ἡμίσεια οὖσα τῆσ ΑΒ, τὸ ἄρα ἀπὸ ΓΔ τοῦ ἀπὸ ΔΑ πενταπλάσιόν ἐστιν. τὸ ἄρα ἀπὸ ΓΔ πρὸσ τὸ ἀπὸ ΔΑ λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸσ πρὸσ ἀριθμόν· σύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ ΓΔ τῷ ἀπὸ ΔΑ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ ΔΑ· ῥητὴ γὰρ [ἐστιν] ἡ ΔΑ ἡμίσεια οὖσα τῆσ ΑΒ ῥητῆσ οὔσησ· ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΓΔ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΓΔ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ ΓΔ πρὸσ τὸ ἀπὸ ΔΑ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν, ἀσύμμετροσ ἄρα μήκει ἡ ΓΔ τῇ ΔΑ· αἱ ΓΔ, ΔΑ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ. πάλιν, ἐπεὶ ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΑΓ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒ, ΒΓ τῷ ἀπὸ ΑΓ ἴσον ἐστίν. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆσ ΑΓ ἀποτομῆσ παρὰ τὴν ΑΒ ῥητὴν παραβληθὲν πλάτοσ ποιεῖ τὴν ΒΓ. τὸ δὲ ἀπὸ ἀποτομῆσ παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ ἀποτομὴν πρώτην· ἀποτομὴ ἄρα πρώτη ἐστὶν ἡ ΓΒ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΓΑ ἀποτομή. Εἂν ἄρα εὐθεῖα ῥητὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, ἑκάτερον τῶν τμημάτων ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη ἀποτομή· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν πενταγώνου ἰσοπλεύρου αἱ τρεῖσ γωνίαι ἤτοι αἱ κατὰ τὸ ἑξῆσ ἢ αἱ μὴ κατὰ τὸ ἑξῆσ ἴσαι ὦσιν, ἰσογώνιον ἔσται τὸ πεντάγωνον. Πενταγώνου γὰρ ἰσοπλεύρου τοῦ ΑΒΓΔΕ αἱ τρεῖσ γωνίαι πρότερον αἱ κατὰ τὸ ἑξῆσ αἱ πρὸσ τοῖσ Α, Β, Γ ἴσαι ἀλλήλαισ ἔστωσαν· λέγω, ὅτι ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον. Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΓ, ΒΕ, ΖΔ. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΓΒ, ΒΑ δυσὶ ταῖσ ΒΑ, ΑΕ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΓΒΑ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΑΕ ἐστιν ἴση, βάσισ ἄρα ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΒΕ ἐστιν ἴση, καὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΒΕ τριγώνῳ ἴσον, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖσ λοιπαῖσ γωνίαισ ἴσαι ἔσονται, ὑφ’ ἃσ αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν, ἡ μὲν ὑπὸ ΒΓΑ τῇ ὑπὸ ΒΕΑ, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΒΕ τῇ ὑπὸ ΓΑΒ· ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΑΖ πλευρᾷ τῇ ΒΖ ἐστιν ἴση. ἐδείχθη δὲ καὶ ὅλη ἡ ΑΓ ὅλῃ τῇ ΒΕ ἴση· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΖΓ λοιπῇ τῇ ΖΕ ἐστιν ἴση. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΓΔ τῇ ΔΕ ἴση. δύο δὴ αἱ ΖΓ, ΓΔ δυσὶ ταῖσ ΖΕ, ΕΔ ἴσαι εἰσίν· καὶ βάσισ αὐτῶν κοινὴ ἡ ΖΔ· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΓΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΕΔ ἐστιν ἴση. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΑ τῇ ὑπὸ ΑΕΒ ἴση· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΓΔ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΑΕΔ ἴση. ἀλλ’ ἡ ὑπὸ ΒΓΔ ἴση ὑπόκειται ταῖσ πρὸσ τοῖσ Α, Β γωνίαισ· καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΔ ἄρα ταῖσ πρὸσ τοῖσ Α, Β γωνίαισ ἴση ἐστίν. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ὑπὸ ΓΔΕ γωνία ἴση ἐστὶ ταῖσ πρὸσ τοῖσ Α, Β, Γ γωνίαισ· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον. Ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστωσαν ἴσαι αἱ κατὰ τὸ ἑξῆσ γωνίαι, ἀλλ’ ἔστωσαν ἴσαι αἱ πρὸσ τοῖσ Α, Γ, Δ σημείοισ· λέγω, ὅτι καὶ οὕτωσ ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον. Ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΒΔ. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΒΑ, ΑΕ δυσὶ ταῖσ ΒΓ, ΓΔ ἴσαι εἰσὶ καὶ γωνίασ ἴσασ περιέχουσιν, βάσισ ἄρα ἡ ΒΕ βάσει τῇ ΒΔ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΒΓΔ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖσ λοιπαῖσ γωνίαισ ἴσαι ἔσονται, ὑφ’ ἃσ αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΕΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΔΒ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΕΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΔΕ ἴση, ἐπεὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΒΕ πλευρᾷ τῇ ΒΔ ἐστιν ἴση. καὶ ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΔ γωνία ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΓΔΕ ἐστιν ἴση. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΓΔΕ ταῖσ πρὸσ τοῖσ Α, Γ γωνίαισ ὑπόκειται ἴση· καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΔ ἄρα γωνία ταῖσ πρὸσ τοῖσ Α, Γ ἴση ἐστίν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ἴση ἐστὶ ταῖσ πρὸσ τοῖσ Α, Γ, Δ γωνίαισ. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν πενταγώνου ἰσοπλεύρου καὶ ἰσογωνίου τὰσ κατὰ τὸ ἑξῆσ δύο γωνίασ ὑποτείνωσιν εὐθεῖαι, ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέμνουσιν ἀλλήλασ, καὶ τὰ μείζονα αὐτῶν τμήματα ἴσα ἐστὶ τῇ τοῦ πενταγώνου πλευρᾷ. Πενταγώνου γὰρ ἰσοπλεύρου καὶ ἰσογωνίου τοῦ ΑΒΓ ΔΕ δύο γωνίασ τὰσ κατὰ τὸ ἑξῆσ τὰσ πρὸσ τοῖσ Α, Β ὑποτεινέτωσαν εὐθεῖαι αἱ ΑΓ, ΒΕ τέμνουσαι ἀλλήλασ κατὰ τὸ Θ σημεῖον· λέγω, ὅτι ἑκατέρα αὐτῶν ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Θ σημεῖον, καὶ τὰ μείζονα αὐτῶν τμήματα ἴσα ἐστὶ τῇ τοῦ πενταγώνου πλευρᾷ. Περιγεγράφθω γὰρ περὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον κύκλοσ ὁ ΑΒΓΔΕ. καὶ ἐπεὶ δύο εὐθεῖαι αἱ ΕΑ, ΑΒ δυσὶ ταῖσ ΑΒ, ΒΓ ἴσαι εἰσὶ καὶ γωνίασ ἴσασ περιέχουσιν, βάσισ ἄρα ἡ ΒΕ βάσει τῇ ΑΓ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖσ λοιπαῖσ γωνίαισ ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφ’ ἃσ αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΒΕ· διπλῆ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΘΕ τῆσ ὑπὸ ΒΑΘ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΕΑΓ τῆσ ὑπὸ ΒΑΓ διπλῆ, ἐπειδήπερ καὶ περιφέρεια ἡ ΕΔΓ περιφερείασ τῆσ ΓΒ ἐστι διπλῆ· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΘΑΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΘΕ· ὥστε καὶ ἡ ΘΕ εὐθεῖα τῇ ΕΑ, τουτέστι τῇ ΑΒ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΑ εὐθεῖα τῇ ΑΕ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΕ τῇ ὑπὸ ΑΕΒ. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΑΒΕ τῇ ὑπὸ ΒΑΘ ἐδείχθη ἴση· καὶ ἡ ὑπὸ ΒΕΑ ἄρα τῇ ὑπὸ ΒΑΘ ἐστιν ἴση. καὶ κοινὴ τῶν δύο τριγώνων τοῦ τε ΑΒΕ καὶ τοῦ ΑΒΘ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΕ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΕ γωνία λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΑΘΒ ἐστιν ἴση· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΑΒΘ τριγώνῳ· ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΕΒ πρὸσ τὴν ΒΑ, οὕτωσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΘ. ἴση δὲ ἡ ΒΑ τῇ ΕΘ· ὡσ ἄρα ἡ ΒΕ πρὸσ τὴν ΕΘ, οὕτωσ ἡ ΕΘ πρὸσ τὴν ΘΒ. μείζων δὲ ἡ ΒΕ τῆσ ΕΘ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΕΘ τῆσ ΘΒ. ἡ ΒΕ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Θ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμα τὸ ΘΕ ἴσον ἐστὶ τῇ τοῦ πενταγώνου πλευρᾷ. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΑΓ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Θ, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆσ τμῆμα ἡ ΓΘ ἴσον ἐστὶ τῇ τοῦ πενταγώνου πλευρᾷ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ἡ τοῦ ἑξαγώνου πλευρὰ καὶ ἡ τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰσ τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων συντεθῶσιν, ἡ ὅλη εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆσ τμῆμά ἐστιν ἡ τοῦ ἑξαγώνου πλευρά. Ἔστω κύκλοσ ὁ ΑΒΓ, καὶ τῶν εἰσ τὸν ΑΒΓ κύκλον ἐγγραφομένων σχημάτων, δεκαγώνου μὲν ἔστω πλευρὰ ἡ ΒΓ, ἑξαγώνου δὲ ἡ ΓΔ, καὶ ἔστωσαν ἐπ’ εὐθείασ· λέγω, ὅτι ἡ ὅλη εὐθεῖα ἡ ΒΔ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆσ τμῆμά ἐστιν ἡ ΓΔ. Εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ε σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΒ, ΕΓ, ΕΔ, καὶ διήχθω ἡ ΒΕ ἐπὶ τὸ Α. ἐπεὶ δεκαγώνου ἰσοπλεύρου πλευρά ἐστιν ἡ ΒΓ, πενταπλασίων ἄρα ἡ ΑΓΒ περιφέρεια τῆσ ΒΓ περιφερείασ· τετραπλασίων ἄρα ἡ ΑΓ περιφέρεια τῆσ ΓΒ. ὡσ δὲ ἡ ΑΓ περιφέρεια πρὸσ τὴν ΓΒ, οὕτωσ ἡ ὑπὸ ΑΕΓ γωνία πρὸσ τὴν ὑπὸ ΓΕΒ· τετραπλασίων ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΓ τῆσ ὑπὸ ΓΕΒ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἡ ὑπὸ ΕΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΓΒ, ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΕΓ γωνία διπλασία ἐστὶ τῆσ ὑπὸ ΕΓΒ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΓ εὐθεῖα τῇ ΓΔ· ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ ἑξαγώνου πλευρᾷ τοῦ εἰσ τὸν ΑΒΓ κύκλον [ἐγγραφομένου]· ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΕΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΔΕ γωνίᾳ· διπλασία ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΓΒ γωνία τῆσ ὑπὸ ΕΔΓ. ἀλλὰ τῆσ ὑπὸ ΕΓΒ διπλασία ἐδείχθη ἡ ὑπὸ ΑΕΓ· τετραπλασία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΓ τῆσ ὑπὸ ΕΔΓ. ἐδείχθη δὲ καὶ τῆσ ὑπὸ ΒΕΓ τετραπλασία ἡ ὑπὸ ΑΕΓ· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΔΓ τῇ ὑπὸ ΒΕΓ. κοινὴ δὲ τῶν δύο τριγώνων, τοῦ τε ΒΕΓ καὶ τοῦ ΒΕΔ, ἡ ὑπὸ ΕΒΔ γωνία· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΕΔ τῇ ὑπὸ ΕΓΒ ἐστιν ἴση· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΒΔ τρίγωνον τῷ ΕΒΓ τριγώνῳ. ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΔΒ πρὸσ τὴν ΒΕ, οὕτωσ ἡ ΕΒ πρὸσ τὴν ΒΓ. ἴση δὲ ἡ ΕΒ τῇ ΓΔ. ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΔΓ, οὕτωσ ἡ ΔΓ πρὸσ τὴν ΓΒ. μείζων δὲ ἡ ΒΔ τῆσ ΔΓ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΔΓ τῆσ ΓΒ. ἡ ΒΔ ἄρα εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται [κατὰ τὸ Γ], καὶ τὸ μεῖζον τμῆμα αὐτῆσ ἐστιν ἡ ΔΓ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν εἰσ κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρον ἐγγραφῇ, ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ δύναται τήν τε τοῦ ἑξαγώνου καὶ τὴν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰσ τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων. Ἔστω κύκλοσ ὁ ΑΒΓΔΕ, καὶ εἰσ τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρον ἐγγεγράφθω τὸ ΑΒΓΔΕ. λέγω, ὅτι ἡ τοῦ ΑΒΓΔΕ πενταγώνου πλευρὰ δύναται τήν τε τοῦ ἑξαγώνου καὶ τὴν τοῦ δεκαγώνου πλευρὰν τῶν εἰσ τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον ἐγγραφομένων. Εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ζ σημεῖον, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΖ διήχθω ἐπὶ τὸ Η σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΒ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετοσ ἤχθω ἡ ΖΘ, καὶ διήχθω ἐπὶ τὸ Κ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΚ, ΚΒ, καὶ πάλιν ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὴν ΑΚ κάθετοσ ἤχθω ἡ ΖΛ, καὶ διήχθω ἐπὶ τὸ Μ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΝ. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒΓΗ περιφέρεια τῇ ΑΕΔΗ περιφερείᾳ, ὧν ἡ ΑΒΓ τῇ ΑΕΔ ἐστιν ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΗ περιφέρεια λοιπῇ τῇ ΗΔ ἐστιν ἴση. πενταγώνου δὲ ἡ ΓΔ· δεκαγώνου ἄρα ἡ ΓΗ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΖΑ τῇ ΖΒ, καὶ κάθετοσ ἡ ΖΘ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΖΚ γωνία τῇ ὑπὸ ΚΖΒ. ὥστε καὶ περιφέρεια ἡ ΑΚ τῇ ΚΒ ἐστιν ἴση· διπλῆ ἄρα ἡ ΑΒ περιφέρεια τῆσ ΒΚ περιφερείασ· δεκαγώνου ἄρα πλευρά ἐστιν ἡ ΑΚ εὐθεῖα. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΑΚ τῆσ ΚΜ ἐστι διπλῆ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΒ περιφέρεια τῆσ ΒΚ περιφερείασ, ἴση δὲ ἡ ΓΔ περιφέρεια τῇ ΑΒ περιφερείᾳ, διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΓΔ περιφέρεια τῆσ ΒΚ περιφερείασ. ἔστι δὲ ἡ ΓΔ περιφέρεια καὶ τῆσ ΓΗ διπλῆ· ἴση ἄρα ἡ ΓΗ περιφέρεια τῇ ΒΚ περιφερείᾳ. ἀλλὰ ἡ ΒΚ τῆσ ΚΜ ἐστι διπλῆ, ἐπεὶ καὶ ἡ ΚΑ· καὶ ἡ ΓΗ ἄρα τῆσ ΚΜ ἐστι διπλῆ. ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ ΓΒ περιφέρεια τῆσ ΒΚ περιφερείασ ἐστὶ διπλῆ· ἴση γὰρ ἡ ΓΒ περιφέρεια τῇ ΒΑ. καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΗΒ περιφέρεια τῆσ ΒΜ ἐστι διπλῆ· ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΗΖΒ γωνίασ τῆσ ὑπὸ ΒΖΜ [ἐστι] διπλῆ. ἔστι δὲ ἡ ὑπὸ ΗΖΒ καὶ τῆσ ὑπὸ ΖΑΒ διπλῆ· ἴση γὰρ ἡ ὑπὸ ΖΑΒ τῇ ὑπὸ ΑΒΖ. καὶ ἡ ὑπὸ ΒΖΝ ἄρα τῇ ὑπὸ ΖΑΒ ἐστιν ἴση. κοινὴ δὲ τῶν δύο τριγώνων, τοῦ τε ΑΒΖ καὶ τοῦ ΒΖΝ, ἡ ὑπὸ ΑΒΖ γωνία· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΖΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΒΝΖ ἐστιν ἴση· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΖ τρίγωνον τῷ ΒΖΝ τριγώνῳ. ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΑΒ εὐθεῖα πρὸσ τὴν ΒΖ, οὕτωσ ἡ ΖΒ πρὸσ τὴν ΒΝ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒΝ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΒΖ. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΛ τῇ ΛΚ, κοινὴ δὲ καὶ πρὸσ ὀρθὰσ ἡ ΛΝ, βάσισ ἄρα ἡ ΚΝ βάσει τῇ ΑΝ ἐστιν ἴση· καὶ γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΛΚΝ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΛΑΝ ἐστιν ἴση. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΛΑΝ τῇ ὑπὸ ΚΒΝ ἐστιν ἴση· καὶ ἡ ὑπὸ ΛΚΝ ἄρα τῇ ὑπὸ ΚΒΝ ἐστιν ἴση. καὶ κοινὴ τῶν δύο τριγώνων τοῦ τε ΑΚΒ καὶ τοῦ ΑΚΝ ἡ πρὸσ τῷ Α. λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΚΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΚΝΑ ἐστιν ἴση· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΚΒΑ τρίγωνον τῷ ΚΝΑ τριγώνῳ. ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΒΑ εὐθεῖα πρὸσ τὴν ΑΚ, οὕτωσ ἡ ΚΑ πρὸσ τὴν ΑΝ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΑΝ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΚ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΝ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆσ ΒΖ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒΝ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΑΝ, ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΑ, ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΒΖ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΑΚ. καί ἐστιν ἡ μὲν ΒΑ πενταγώνου πλευρά, ἡ δὲ ΒΖ ἑξαγώνου, ἡ δὲ ΑΚ δεκαγώνου. Ἡ ἄρα τοῦ πενταγώνου πλευρὰ δύναται τήν τε τοῦ ἑξαγώνου καὶ τὴν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰσ τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν εἰσ κύκλον ῥητὴν ἔχοντα τὴν διάμετρον πεντάγωνον ἰσόπλευρον ἐγγραφῇ, ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάσσων. Εἰσ γὰρ κύκλον τὸν ΑΒΓΔΕ ῥητὴν ἔχοντα τὴν διάμετρον πεντάγωνον ἰσόπλευρον ἐγγεγράφθω τὸ ΑΒΓΔΕ· λέγω, ὅτι ἡ τοῦ [ΑΒΓΔΕ] πενταγώνου πλευρὰ ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάσσων. Εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ζ σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΖΒ καὶ διήχθωσαν ἐπὶ τὰ Η, Θ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ, καὶ κείσθω τῆσ ΑΖ τέταρτον μέροσ ἡ ΖΚ. ῥητὴ δὲ ἡ ΑΖ· ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΖΚ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΒΖ ῥητή· ὅλη ἄρα ἡ ΒΚ ῥητή ἐστιν. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓΗ περιφέρεια τῇ ΑΔΗ περιφερείᾳ, ὧν ἡ ΑΒΓ τῇ ΑΕΔ ἐστιν ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΗ λοιπῇ τῇ ΗΔ ἐστιν ἴση. καὶ ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὴν ΑΔ, συνάγονται ὀρθαὶ αἱ πρὸσ τῷ Λ γωνίαι, καὶ διπλῆ ἡ ΓΔ τῆσ ΓΛ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ πρὸσ τῷ Μ ὀρθαί εἰσιν, καὶ διπλῆ ἡ ΑΓ τῆσ ΓΜ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΛΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΜΖ, κοινὴ δὲ τῶν δύο τριγώνων τοῦ τε ΑΓΛ καὶ τοῦ ΑΜΖ ἡ ὑπὸ ΛΑΓ, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΛ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΜΖΑ ἐστιν ἴση· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΓΛ τρίγωνον τῷ ΑΜΖ τριγώνῳ· ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΛΓ πρὸσ ΓΑ, οὕτωσ ἡ ΜΖ πρὸσ ΖΑ· καὶ τῶν ἡγουμένων τὰ διπλάσια· ὡσ ἄρα ἡ τῆσ ΛΓ διπλῆ πρὸσ τὴν ΓΑ, οὕτωσ ἡ τῆσ ΜΖ διπλῆ πρὸσ τὴν ΖΑ. ὡσ δὲ ἡ τῆσ ΜΖ διπλῆ πρὸσ τὴν ΖΑ, οὕτωσ ἡ ΜΖ πρὸσ τὴν ἡμίσειαν τῆσ ΖΑ· καὶ ὡσ ἄρα ἡ τῆσ ΛΓ διπλῆ πρὸσ τὴν ΓΑ, οὕτωσ ἡ ΜΖ πρὸσ τὴν ἡμίσειαν τῆσ ΖΑ. καὶ τῶν ἑπομένων τὰ ἡμίσεα· ὡσ ἄρα ἡ τῆσ ΛΓ διπλῆ πρὸσ τὴν ἡμίσειαν τῆσ ΓΑ, οὕτωσ ἡ ΜΖ πρὸσ τὸ τέταρτον τῆσ ΖΑ. καί ἐστι τῆσ μὲν ΛΓ διπλῆ ἡ ΔΓ, τῆσ δὲ ΓΑ ἡμίσεια ἡ ΓΜ, τῆσ δὲ ΖΑ τέταρτον μέροσ ἡ ΖΚ· ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΔΓ πρὸσ τὴν ΓΜ, οὕτωσ ἡ ΜΖ πρὸσ τὴν ΖΚ. συνθέντι καὶ ὡσ συναμφότεροσ ἡ ΔΓΜ πρὸσ τὴν ΓΜ, οὕτωσ ἡ ΜΚ πρὸσ ΚΖ· καὶ ὡσ ἄρα τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆσ ΔΓΜ πρὸσ τὸ ἀπὸ ΓΜ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ ΜΚ πρὸσ τὸ ἀπὸ ΚΖ. καὶ ἐπεὶ τῆσ ὑπὸ δύο πλευρὰσ τοῦ πενταγώνου ὑποτεινούσησ, οἱο͂ν τῆσ ΑΓ, ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένησ τὸ μεῖζον τμῆμα ἴσον ἐστὶ τῇ τοῦ πενταγώνου πλευρᾷ, τουτέστι τῇ ΔΓ, τὸ δὲ μεῖζον τμῆμα προσλαβὸν τὴν ἡμίσειαν τῆσ ὅλησ πενταπλάσιον δύναται τοῦ ἀπὸ τῆσ ἡμισείασ τῆσ ὅλησ, καί ἐστιν ὅλησ τῆσ ΑΓ ἡμίσεια ἡ ΓΜ, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆσ ΔΓΜ ὡσ μιᾶσ πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΓΜ. ὡσ δὲ τὸ ἀπὸ τῆσ ΔΓΜ ὡσ μιᾶσ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΓΜ, οὕτωσ ἐδείχθη τὸ ἀπὸ τῆσ ΜΚ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΚΖ· πενταπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΜΚ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΚΖ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆσ ΚΖ· ῥητὴ γὰρ ἡ διάμετροσ· ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΜΚ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΚ [δυνάμει μόνον]. καὶ ἐπεὶ τετραπλασία ἐστὶν ἡ ΒΖ τῆσ ΖΚ, πενταπλασία ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΚ τῆσ ΚΖ· εἰκοσιπενταπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΚ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΚΖ. πενταπλάσιον δὲ τὸ ἀπὸ τῆσ ΜΚ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΚΖ· πενταπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΚ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΚΜ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆσ ΒΚ πρὸσ τὸ ἀπὸ ΚΜ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΚ τῇ ΚΜ μήκει. καί ἐστι ῥητὴ ἑκατέρα αὐτῶν. αἱ ΒΚ, ΚΜ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι. ἐὰν δὲ ἀπὸ ῥητῆσ ῥητὴ ἀφαιρεθῇ δυνάμει μόνον σύμμετροσ οὖσα τῇ ὅλῃ, ἡ λοιπὴ ἄλογόσ ἐστιν ἀποτομή· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΒ, προσαρμόζουσα δὲ αὐτῇ ἡ ΜΚ. λέγω δή, ὅτι καὶ τετάρτη. ᾧ δὴ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΚ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΚΜ, ἐκείνῳ ἴσον ἔστω τὸ ἀπὸ τῆσ Ν· ἡ ΒΚ ἄρα τῆσ ΚΜ μεῖζον δύναται τῇ Ν. καὶ ἐπεὶ σύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΚΖ τῇ ΖΒ, καὶ συνθέντι σύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΚΒ τῇ ΖΒ. ἀλλὰ ἡ ΒΖ τῇ ΒΘ σύμμετρόσ ἐστιν· καὶ ἡ ΒΚ ἄρα τῇ ΒΘ σύμμετρόσ ἐστιν. καὶ ἐπεὶ πενταπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΚ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΚΜ, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆσ ΒΚ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΚΜ λόγον ἔχει, ὃν <ε> πρὸσ ἕν. ἀναστρέψαντι ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΚ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Ν λόγον ἔχει, ὃν <ε> πρὸσ <δ>, οὐχ ὃν τετράγωνοσ πρὸσ τετράγωνον· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΚ τῇ Ν· ἡ ΒΚ ἄρα τῆσ ΚΜ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. ἐπεὶ οὖν ὅλη ἡ ΒΚ τῆσ προσαρμοζούσησ τῆσ ΚΜ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ὅλη ἡ ΒΚ σύμμετρόσ ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΒΘ, ἀποτομὴ ἄρα τετάρτη ἐστὶν ἡ ΜΒ. τὸ δὲ ὑπὸ ῥητῆσ καὶ ἀποτομῆσ τετάρτησ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἄλογόν ἐστιν, καὶ ἡ δυναμένη αὐτὸ ἄλογόσ ἐστιν, καλεῖται δὲ ἐλάττων. δύναται δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΘΒΜ ἡ ΑΒ διὰ τὸ ἐπιζευγνυμένησ τῆσ ΑΘ ἰσογώνιον γίνεσθαι τὸ ΑΒΘ τρίγωνον τῷ ΑΒΜ τριγώνῳ καὶ εἶναι ὡσ τὴν ΘΒ πρὸσ τὴν ΒΑ, οὕτωσ τὴν ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΜ. Ἡ ἄρα ΑΒ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάττων· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν εἰσ κύκλον τρίγωνον ἰσόπλευρον ἐγγραφῇ, ἡ τοῦ τριγώνου πλευρὰ δυνάμει τριπλασίων ἐστὶ τῆσ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου. Ἔστω κύκλοσ ὁ ΑΒΓ, καὶ εἰσ αὐτὸν τρίγωνον ἰσόπλευρον ἐγγεγράφθω τὸ ΑΒΓ· λέγω, ὅτι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου μία πλευρὰ δυνάμει τριπλασίων ἐστὶ τῆσ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΑΒΓ κύκλου. Εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου τὸ Δ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΔ διήχθω ἐπὶ τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΕ. καὶ ἐπεὶ ἰσόπλευρόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, ἡ ΒΕΓ ἄρα περιφέρεια τρίτον μέροσ ἐστὶ τῆσ τοῦ ΑΒΓ κύκλου περιφερείασ. ἡ ἄρα ΒΕ περιφέρεια ἕκτον ἐστὶ μέροσ τῆσ τοῦ κύκλου περιφερείασ· ἑξαγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΕ εὐθεῖα· ἴση ἄρα ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῇ ΔΕ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΕ τῆσ ΔΕ, τετραπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΕ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΕΔ, τουτέστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΒΕ. ἴσον δὲ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΕ τοῖσ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΕ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΕ τετραπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΒΕ. διελόντι ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΒΕ. ἴση δὲ ἡ ΒΕ τῇ ΔΕ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆσ ΑΒ τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΔΕ. Ἡ ἄρα τοῦ τριγώνου πλευρὰ δυνάμει τριπλασία ἐστὶ τῆσ ἐκ τοῦ κέντρου [τοῦ κύκλου]· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Πυραμίδα συστήσασθαι καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν τῇ δοθείσῃ καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ δυνάμει ἡμιολία ἐστὶ τῆσ πλευρᾶσ τῆσ πυραμίδοσ. Ἐκκείσθω ἡ τῆσ δοθείσησ σφαίρασ διάμετροσ ἡ ΑΒ, καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Γ σημεῖον, ὥστε διπλασίαν εἶναι τὴν ΑΓ τῆσ ΓΒ· καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆσ ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΒ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ σημείου τῇ ΑΒ πρὸσ ὀρθὰσ ἡ ΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΑ· καὶ ἐκκείσθω κύκλοσ ὁ ΕΖΗ ἴσην ἔχων τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῇ ΔΓ, καὶ ἐγγεγράφθω εἰσ τὸν ΕΖΗ κύκλον τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΕΖΗ· καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Θ σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΘ, ΘΖ, ΘΗ· καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ Θ σημείου τῷ τοῦ ΕΖΗ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸσ ὀρθὰσ ἡ ΘΚ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆσ ΘΚ τῇ ΑΓ εὐθείᾳ ἴση ἡ ΘΚ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΕ, ΚΖ, ΚΗ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΚΘ ὀρθή ἐστι πρὸσ τὸ τοῦ ΕΖΗ κύκλου ἐπίπεδον, καὶ πρὸσ πάσασ ἄρα τὰσ ἁπτομένασ αὐτῆσ εὐθείασ καὶ οὔσασ ἐν τῷ τοῦ ΕΖΗ κύκλου ἐπιπέδῳ ὀρθὰσ ποιήσει γωνίασ. ἅπτεται δὲ αὐτῆσ ἑκάστη τῶν ΘΕ, ΘΖ, ΘΗ· ἡ ΘΚ ἄρα πρὸσ ἑκάστην τῶν ΘΕ, ΘΖ, ΘΗ ὀρθή ἐστιν. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΓ τῇ ΘΚ, ἡ δὲ ΓΔ τῇ ΘΕ, καὶ ὀρθὰσ γωνίασ περιέχουσιν, βάσισ ἄρα ἡ ΔΑ βάσει τῇ ΚΕ ἐστιν ἴση. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκατέρα τῶν ΚΖ, ΚΗ τῇ ΔΑ ἐστιν ἴση· αἱ τρεῖσ ἄρα αἱ ΚΕ, ΚΖ, ΚΗ ἴσαι ἀλλήλαισ εἰσίν. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΓ τῆσ ΓΒ, τριπλῆ ἄρα ἡ ΑΒ τῆσ ΒΓ. ὡσ δὲ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΔ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΔΓ, ὡσ ἑξῆσ δειχθήσεται. τριπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΔ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΔΓ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΕ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΕΘ τριπλάσιον, καί ἐστιν ἴση ἡ ΔΓ τῇ ΕΘ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΔΑ τῇ ΕΖ. ἀλλὰ ἡ ΔΑ ἑκάστῃ τῶν ΚΕ, ΚΖ, ΚΗ ἐδείχθη ἴση· καὶ ἑκάστη ἄρα τῶν ΕΖ, ΖΗ, ΗΕ ἑκάστῃ τῶν ΚΕ, ΚΖ, ΚΗ ἐστιν ἴση· ἰσόπλευρα ἄρα ἐστὶ τὰ τέσσαρα τρίγωνα τὰ ΕΖΗ, ΚΕΖ, ΚΖΗ, ΚΕΗ. πυραμὶσ ἄρα συνέσταται ἐκ τεσσάρων τριγώνων ἰσοπλεύρων, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΕΖΗ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Κ σημεῖον. Δεῖ δὴ αὐτὴν καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν τῇ δοθείσῃ καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ ἡμιολία ἐστὶ δυνάμει τῆσ πλευρᾶσ τῆσ πυραμίδοσ. Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἐπ’ εὐθείασ τῇ ΚΘ εὐθεῖα ἡ ΘΛ, καὶ κείσθω τῇ ΓΒ ἴση ἡ ΘΛ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ ΑΓ πρὸσ τὴν ΓΔ, οὕτωσ ἡ ΓΔ πρὸσ τὴν ΓΒ, ἴση δὲ ἡ μὲν ΑΓ τῇ ΚΘ, ἡ δὲ ΓΔ τῇ ΘΕ, ἡ δὲ ΓΒ τῇ ΘΛ, ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΚΘ πρὸσ τὴν ΘΕ, οὕτωσ ἡ ΕΘ πρὸσ τὴν ΘΛ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΚΘ, ΘΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΕΘ. καί ἐστιν ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΚΘΕ, ΕΘΛ γωνιῶν· τὸ ἄρα ἐπὶ τῆσ ΚΛ γραφόμενον ἡμικύκλιον ἥξει καὶ διὰ τοῦ Ε [ἐπειδήπερ ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὴν ΕΛ, ὀρθὴ γίνεται ἡ ὑπὸ ΛΕΚ γωνία διὰ τὸ ἰσογώνιον γίνεσθαι τὸ ΕΛΚ τρίγωνον ἑκατέρῳ τῶν ΕΛΘ, ΕΘΚ τριγώνων]. ἐὰν δὴ μενούσησ τῆσ ΚΛ περιενεχθὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰσ τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, ἥξει καὶ διὰ τῶν Ζ, Η σημείων ἐπιζευγνυμένων τῶν ΖΛ, ΛΗ καὶ ὀρθῶν ὁμοίωσ γινομένων τῶν πρὸσ τοῖσ Ζ, Η γωνιῶν· καὶ ἔσται ἡ πυραμὶσ σφαίρᾳ περιειλημμένη τῇ δοθείσῃ. ἡ γὰρ ΚΛ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ ἴση ἐστὶ τῇ τῆσ δοθείσησ σφαίρασ διαμέτρῳ τῇ ΑΒ, ἐπειδήπερ τῇ μὲν ΑΓ ἴση κεῖται ἡ ΚΘ, τῇ δὲ ΓΒ ἡ ΘΛ. Λέγω δή, ὅτι ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ ἡμιολία ἐστὶ δυνάμει τῆσ πλευρᾶσ τῆσ πυραμίδοσ. Ἐπεὶ γὰρ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΓ τῆσ ΓΒ, τριπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆσ ΒΓ· ἀναστρέψαντι ἡμιολία ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΑ τῆσ ΑΓ. ὡσ δὲ ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΑ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΔ [ἐπειδήπερ ἐπιζευγνυμένησ τῆσ ΔΒ ἐστιν ὡσ ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΔ, οὕτωσ ἡ ΔΑ πρὸσ τὴν ΑΓ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΔΑΒ, ΔΑΓ τριγώνων, καὶ εἶναι ὡσ τὴν πρώτην πρὸσ τὴν τρίτην, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ πρώτησ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ δευτέρασ]. ἡμιόλιον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΑ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΑΔ. καί ἐστιν ἡ μὲν ΒΑ ἡ τῆσ δοθείσησ σφαίρασ διάμετροσ, ἡ δὲ ΑΔ ἴση τῇ πλευρᾷ τῆσ πυραμίδοσ. Ἡ ἄρα τῆσ σφαίρασ διάμετροσ ἡμιολία ἐστὶ τῆσ πλευρᾶσ τῆσ πυραμίδοσ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Λῆμμα Δεικτέον, ὅτι ἐστὶν ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΔ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΔΓ. Ἐκκείσθω γὰρ ἡ τοῦ ἡμικυκλίου καταγραφή, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆσ ΑΓ τετράγωνον τὸ ΕΓ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΖΒ παραλληλόγραμμον. ἐπεὶ οὖν διὰ τὸ ἰσογώνιον εἶναι τὸ ΔΑΒ τρίγωνον τῷ ΔΑΓ τριγώνῳ ἐστὶν ὡσ ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΔ, οὕτωσ ἡ ΔΑ πρὸσ τὴν ΑΓ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΔ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΓ, οὕτωσ τὸ ΕΒ πρὸσ τὸ ΒΖ, καί ἐστι τὸ μὲν ΕΒ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ· ἴση γὰρ ἡ ΕΑ τῇ ΑΓ· τὸ δὲ ΒΖ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, ὡσ ἄρα ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΓ, οὕτωσ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ πρὸσ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΔ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆσ ΔΓ· ἡ γὰρ ΔΓ κάθετοσ τῶν τῆσ βάσεωσ τμημάτων τῶν ΑΓ, ΓΒ μέση ἀνάλογόν ἐστι διὰ τὸ ὀρθὴν εἶναι τὴν ὑπὸ ΑΔΒ. ὡσ ἄρα ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΔ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΔΓ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ὀκτάεδρον συστήσασθαι καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν, ᾗ καὶ τὰ πρότερα, καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ δυνάμει διπλασία ἐστὶ τῆσ πλευρᾶσ τοῦ ὀκταέδρου. Ἐκκείσθω ἡ τῆσ δοθείσησ σφαίρασ διάμετροσ ἡ ΑΒ, καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Γ, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆσ ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΒ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ τῇ ΑΒ πρὸσ ὀρθὰσ ἡ ΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ, καὶ ἐκκείσθω τετράγωνον τὸ ΕΖΗΘ ἴσην ἔχον ἑκάστην τῶν πλευρῶν τῇ ΔΒ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΖ, ΕΗ, καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ Κ σημείου τῷ τοῦ ΕΖΗΘ τετραγώνου ἐπιπέδῳ πρὸσ ὀρθὰσ εὐθεῖα ἡ ΚΛ καὶ διήχθω ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη τοῦ ἐπιπέδου ὡσ ἡ ΚΜ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀφ’ ἑκατέρασ τῶν ΚΛ, ΚΜ μιᾷ τῶν ΕΚ, ΖΚ, ΗΚ, ΘΚ ἴση ἑκατέρα τῶν ΚΛ, ΚΜ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΕ, ΛΖ, ΛΗ, ΛΘ, ΜΕ, ΜΖ, ΜΗ, ΜΘ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΚΕ τῇ ΚΘ, καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΕΚΘ γωνία, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆσ ΘΕ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΕΚ. πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΛΚ τῇ ΚΕ, καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΛΚΕ γωνία, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆσ ΕΛ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΕΚ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΘΕ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆσ ΕΚ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆσ ΛΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΕΘ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΕ τῇ ΕΘ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΛΘ τῇ ΘΕ ἐστιν ἴση· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΕΘ τρίγωνον. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἕκαστον τῶν λοιπῶν τριγώνων, ὧν βάσεισ μέν εἰσιν αἱ τοῦ ΕΖΗΘ τετραγώνου πλευραί, κορυφαὶ δὲ τὰ Λ, Μ σημεῖα, ἰσόπλευρόν ἐστιν· ὀκτάεδρον ἄρα συνέσταται ὑπὸ ὀκτὼ τριγώνων ἰσοπλεύρων περιεχόμενον. Δεῖ δὴ αὐτὸ καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν τῇ δοθείσῃ καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ δυνάμει διπλασίων ἐστὶ τῆσ τοῦ ὀκταέδρου πλευρᾶσ. Ἐπεὶ γὰρ αἱ τρεῖσ αἱ ΛΚ, ΚΜ, ΚΕ ἴσαι ἀλλήλαισ εἰσίν, τὸ ἄρα ἐπὶ τῆσ ΛΜ γραφόμενον ἡμικύκλιον ἥξει καὶ διὰ τοῦ Ε. καὶ διὰ τὰ αὐτά, ἐὰν μενούσησ τῆσ ΛΜ περιενεχθὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰσ τὸ αὐτὸ ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, ἥξει καὶ διὰ τῶν Ζ, Η, Θ σημείων, καὶ ἔσται σφαίρᾳ περιειλημμένον τὸ ὀκτάεδρον. λέγω δή, ὅτι καὶ τῇ δοθείσῃ. ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΛΚ τῇ ΚΜ, κοινὴ δὲ ἡ ΚΕ, καὶ γωνίασ ὀρθὰσ περιέχουσιν, βάσισ ἄρα ἡ ΛΕ βάσει τῇ ΕΜ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΛΕΜ γωνία· ἐν ἡμικυκλίῳ γάρ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆσ ΛΜ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΛΕ. πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ, διπλασία ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆσ ΒΓ. ὡσ δὲ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΔ· διπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΒΔ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΛΜ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆσ ΛΕ. καί ἐστιν ἴσον τὸ ἀπὸ τῆσ ΔΒ τῷ ἀπὸ τῆσ ΛΕ· ἴση γὰρ κεῖται ἡ ΕΘ τῇ ΔΒ. ἴσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ τῷ ἀπὸ τῆσ ΛΜ· ἴση ἄρα ἡ ΑΒ τῇ ΛΜ. καί ἐστιν ἡ ΑΒ ἡ τῆσ δοθείσησ σφαίρασ διάμετροσ· ἡ ΛΜ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ τῆσ δοθείσησ σφαίρασ διαμέτρῳ. Περιείληπται ἄρα τὸ ὀκτάεδρον τῇ δοθείσῃ σφαίρᾳ. καὶ συναποδέδεικται, ὅτι ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ δυνάμει διπλασίων ἐστὶ τῆσ τοῦ ὀκταέδρου πλευρᾶσ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Κύβον συστήσασθαι καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν, ᾗ καὶ τὴν πυραμίδα, καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ δυνάμει τριπλασίων ἐστὶ τῆσ τοῦ κύβου πλευρᾶσ. Ἐκκείσθω ἡ τῆσ δοθείσησ σφαίρασ διάμετροσ ἡ ΑΒ καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Γ ὥστε διπλῆν εἶναι τὴν ΑΓ τῆσ ΓΒ, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆσ ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΒ, καὶ ἀπὸ τοῦ Γ τῇ ΑΒ πρὸσ ὀρθὰσ ἤχθω ἡ ΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ, καὶ ἐκκείσθω τετράγωνον τὸ ΕΖΗΘ ἴσην ἔχον τὴν πλευρὰν τῇ ΔΒ, καὶ ἀπὸ τῶν Ε, Ζ, Η, Θ τῷ τοῦ ΕΖΗΘ τετραγώνου ἐπιπέδῳ πρὸσ ὀρθὰσ ἤχθωσαν αἱ ΕΚ, ΖΛ, ΗΜ, ΘΝ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ ἑκάστησ τῶν ΕΚ, ΖΛ, ΗΜ, ΘΝ μιᾷ τῶν ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΕ ἴση ἑκάστη τῶν ΕΚ, ΖΛ, ΗΜ, ΘΝ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΛ, ΛΜ, ΜΝ, ΝΚ· κύβοσ ἄρα συνέσταται ὁ ΖΝ ὑπὸ ἓξ τετραγώνων ἴσων περιεχόμενοσ. δεῖ δὴ αὐτὸν καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν τῇ δοθείσῃ καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ δυνάμει τριπλασία ἐστὶ τῆσ πλευρᾶσ τοῦ κύβου. Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΚΗ, ΕΗ. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΚΕΗ γωνία διὰ τὸ καὶ τὴν ΚΕ ὀρθὴν εἶναι πρὸσ τὸ ΕΗ ἐπίπεδον δηλαδὴ καὶ πρὸσ τὴν ΕΗ εὐθεῖαν, τὸ ἄρα ἐπὶ τῆσ ΚΗ γραφόμενον ἡμικύκλιον ἥξει καὶ διὰ τοῦ Ε σημείου. πάλιν, ἐπεὶ ἡ ΗΖ ὀρθή ἐστι πρὸσ ἑκατέραν τῶν ΖΛ, ΖΕ, καὶ πρὸσ τὸ ΖΚ ἄρα ἐπίπεδον ὀρθή ἐστιν ἡ ΗΖ· ὥστε καὶ ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὴν ΖΚ, ἡ ΗΖ ὀρθὴ ἔσται καὶ πρὸσ τὴν ΖΚ· καὶ διὰ τοῦτο πάλιν τὸ ἐπὶ τῆσ ΗΚ γραφόμενον ἡμικύκλιον ἥξει καὶ διὰ τοῦ Ζ. ὁμοίωσ καὶ διὰ τῶν λοιπῶν τοῦ κύβου σημείων ἥξει. ἐὰν δὴ μενούσησ τῆσ ΚΗ περιενεχθὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰσ τὸ αὐτὸ ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, ἔσται σφαίρᾳ περιειλημμένοσ ὁ κύβοσ. λέγω δή, ὅτι καὶ τῇ δοθείσῃ. ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΗΖ τῇ ΖΕ, καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ πρὸσ τῷ Ζ γωνία, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆσ ΕΗ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΕΖ. ἴση δὲ ἡ ΕΖ τῇ ΕΚ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆσ ΕΗ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΕΚ· ὥστε τὰ ἀπὸ τῶν ΗΕ, ΕΚ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΚ, τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΕΚ. καὶ ἐπεὶ τριπλασίων ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆσ ΒΓ, ὡσ δὲ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΔ, τριπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΒΔ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΚ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΚΕ τριπλάσιον. καὶ κεῖται ἴση ἡ ΚΕ τῇ ΔΒ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΚΗ τῇ ΑΒ. καί ἐστιν ἡ ΑΒ τῆσ δοθείσησ σφαίρασ διάμετροσ· καὶ ἡ ΚΗ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ τῆσ δοθείσησ σφαίρασ διαμέτρῳ. Τῇ δοθείσῃ ἄρα σφαίρᾳ περιείληπται ὁ κύβοσ· καὶ συναποδέδεικται, ὅτι ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ δυνάμει τριπλασίων ἐστὶ τῆσ τοῦ κύβου πλευρᾶσ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἰκοσάεδρον συστήσασθαι καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν, ᾗ καὶ τὰ προειρημένα σχήματα, καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάττων. Ἐκκείσθω ἡ τῆσ δοθείσησ σφαίρασ διάμετροσ ἡ ΑΒ καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Γ ὥστε τετραπλῆν εἶναι τὴν ΑΓ τῆσ ΓΒ, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆσ ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΒ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ τῇ ΑΒ πρὸσ ὀρθὰσ γωνίασ εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ, καὶ ἐκκείσθω κύκλοσ ὁ ΕΖΗΘΚ, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἔστω τῇ ΔΒ, καὶ ἐγγεγράφθω εἰσ τὸν ΕΖΗΘΚ κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον τὸ ΕΖΗΘΚ, καὶ τετμήσθωσαν αἱ ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΚ, ΚΕ περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ Λ, Μ, Ν, Ξ, Ο σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΜ, ΜΝ, ΝΞ, ΞΟ, ΟΛ, ΕΟ. ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΛΜΝΞΟ πεντάγωνον, καὶ δεκαγώνου ἡ ΕΟ εὐθεῖα. καὶ ἀνεστάτωσαν ἀπὸ τῶν Ε, Ζ, Η, Θ, Κ σημείων τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸσ ὀρθὰσ γωνίασ εὐθεῖαι αἱ ΕΠ, ΖΡ, ΗΣ, ΘΤ, ΚΥ ἴσαι οὖσαι τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘΚ κύκλου, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΠΡ, ΡΣ, ΣΤ, ΤΥ, ΥΠ, ΠΛ, ΛΡ, ΡΜ, ΜΣ, ΣΝ, ΝΤ, ΤΞ, ΞΥ, ΥΟ, ΟΠ. καὶ ἐπεὶ ἑκατέρα τῶν ΕΠ, ΚΥ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸσ ὀρθάσ ἐστιν, παράλληλοσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΠ τῇ ΚΥ. ἔστι δὲ αὐτῇ καὶ ἴση· αἱ δὲ τὰσ ἴσασ τε καὶ παραλλήλουσ ἐπιζευγνύουσαι ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη εὐθεῖαι ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν. ἡ ΠΥ ἄρα τῇ ΕΚ ἴση τε καὶ παράλληλόσ ἐστιν. πενταγώνου δὲ ἰσοπλεύρου ἡ ΕΚ· πενταγώνου ἄρα ἰσοπλεύρου καὶ ἡ ΠΥ τοῦ εἰσ τὸν ΕΖΗΘΚ κύκλον ἐγγραφομένου. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκάστη τῶν ΠΡ, ΡΣ, ΣΤ, ΤΥ πενταγώνου ἐστὶν ἰσοπλεύρου τοῦ εἰσ τὸν ΕΖΗΘΚ κύκλον ἐγγραφομένου· ἰσόπλευρον ἄρα τὸ ΠΡΣΤΥ πεντάγωνον. καὶ ἐπεὶ ἑξαγώνου μέν ἐστιν ἡ ΠΕ, δεκαγώνου δὲ ἡ ΕΟ, καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΠΕΟ, πενταγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ ΠΟ· ἡ γὰρ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ δύναται τήν τε τοῦ ἑξαγώνου καὶ τὴν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰσ τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΟΥ πενταγώνου ἐστὶ πλευρά. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΠΥ πενταγώνου· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΠΟΥ τρίγωνον. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἕκαστον τῶν ΠΛΡ, ΡΜΣ, ΣΝΤ, ΤΞΥ ἰσόπλευρόν ἐστιν. καὶ ἐπεὶ πενταγώνου ἐδείχθη ἑκατέρα τῶν ΠΛ, ΠΟ, ἔστι δὲ καὶ ἡ ΛΟ πενταγώνου, ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΠΛΟ τρίγωνον. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἕκαστον τῶν ΛΡΜ, ΜΣΝ, ΝΤΞ, ΞΥΟ τριγώνων ἰσόπλευρόν ἐστιν. εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΕΖΗ ΘΚ κύκλου τὸ Φ σημεῖον· καὶ ἀπὸ τοῦ Φ τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸσ ὀρθὰσ ἀνεστάτω ἡ ΦΩ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη ὡσ ἡ ΦΨ, καὶ ἀφῃρήσθω ἑξαγώνου μὲν ἡ ΦΧ, δεκαγώνου δὲ ἑκατέρα τῶν ΦΨ, ΧΩ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΠΩ, ΠΧ, ΥΩ, ΕΦ, ΛΦ, ΛΨ, ΨΜ. καὶ ἐπεὶ ἑκατέρα τῶν ΦΧ, ΠΕ τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸσ ὀρθάσ ἐστιν, παράλληλοσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΦΧ τῇ ΠΕ. εἰσὶ δὲ καὶ ἴσαι· καὶ αἱ ΕΦ, ΠΧ ἄρα ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν. ἑξαγώνου δὲ ἡ ΕΦ· ἑξαγώνου ἄρα καὶ ἡ ΠΧ. καὶ ἐπεὶ ἑξαγώνου μέν ἐστιν ἡ ΠΧ, δεκαγώνου δὲ ἡ ΧΩ, καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΠΧΩ γωνία, πενταγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ ΠΩ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΥΩ πενταγώνου ἐστίν, ἐπειδήπερ, ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὰσ ΦΚ, ΧΥ, ἴσαι καὶ ἀπεναντίον ἔσονται, καί ἐστιν ἡ ΦΚ ἐκ τοῦ κέντρου οὖσα ἑξαγώνου· ἑξαγώνου ἄρα καὶ ἡ ΧΥ. δεκαγώνου δὲ ἡ ΧΩ, καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΥΧΩ· πενταγώνου ἄρα ἡ ΥΩ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΠΥ πενταγώνου· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΠΥΩ τρίγωνον. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἕκαστον τῶν λοιπῶν τριγώνων, ὧν βάσεισ μέν εἰσιν αἱ ΠΡ, ΡΣ, ΣΤ, ΤΥ εὐθεῖαι, κορυφὴ δὲ τὸ Ω σημεῖον, ἰσόπλευρόν ἐστιν. πάλιν, ἐπεὶ ἑξαγώνου μὲν ἡ ΦΛ, δεκαγώνου δὲ ἡ ΦΨ, καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΛΦΨ γωνία, πενταγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΨ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὴν ΜΦ οὖσαν ἑξαγώνου, συνάγεται καὶ ἡ ΜΨ πενταγώνου. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΛΜ πενταγώνου· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΜΨ τρίγωνον. ὁμοίωσ δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ ἕκαστον τῶν λοιπῶν τριγώνων, ὧν βάσεισ μέν εἰσιν αἱ ΜΝ, ΝΞ, ΞΟ, ΟΛ, κορυφὴ δὲ τὸ Ψ σημεῖον, ἰσόπλευρόν ἐστιν. συνέσταται ἄρα εἰκοσάεδρον ὑπὸ εἴκοσι τριγώνων ἰσοπλεύρων περιεχόμενον. Δεῖ δὴ αὐτὸ καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν τῇ δοθείσῃ καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάσσων. Ἐπεὶ γὰρ ἑξαγώνου ἐστὶν ἡ ΦΧ, δεκαγώνου δὲ ἡ ΧΩ, ἡ ΦΩ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέμηται κατὰ τὸ Χ, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆσ τμῆμά ἐστιν ἡ ΦΧ· ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΩΦ πρὸσ τὴν ΦΧ, οὕτωσ ἡ ΦΧ πρὸσ τὴν ΧΩ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΦΧ τῇ ΦΕ, ἡ δὲ ΧΩ τῇ ΦΨ· ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΩΦ πρὸσ τὴν ΦΕ, οὕτωσ ἡ ΕΦ πρὸσ τὴν ΦΨ. καί εἰσιν ὀρθαὶ αἱ ὑπὸ ΩΦΕ, ΕΦΨ γωνίαι· ἐὰν ἄρα ἐπιζεύξωμεν τὴν ΕΩ εὐθεῖαν, ὀρθὴ ἔσται ἡ ὑπὸ ΨΕΩ γωνία διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΨΕΩ, ΦΕΩ τριγώνων. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ ΩΦ πρὸσ τὴν ΦΧ, οὕτωσ ἡ ΦΧ πρὸσ τὴν ΧΩ, ἴση δὲ ἡ μὲν ΩΦ τῇ ΨΧ, ἡ δὲ ΦΧ τῇ ΧΠ, ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΨΧ πρὸσ τὴν ΧΠ, οὕτωσ ἡ ΠΧ πρὸσ τὴν ΧΩ. καὶ διὰ τοῦτο πάλιν ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὴν ΠΨ, ὀρθὴ ἔσται ἡ πρὸσ τῷ Π γωνία· τὸ ἄρα ἐπὶ τῆσ ΨΩ γραφόμενον ἡμικύκλιον ἥξει καὶ διὰ τοῦ Π. καὶ ἐὰν μενούσησ τῆσ ΨΩ περιενεχθὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰσ τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, ἥξει καὶ διὰ τοῦ Π καὶ τῶν λοιπῶν σημείων τοῦ εἰκοσαέδρου, καὶ ἔσται σφαίρᾳ περιειλημμένον τὸ εἰκοσάεδρον. λέγω δή, ὅτι καὶ τῇ δοθείσῃ. τετμήσθω γὰρ ἡ ΦΧ δίχα κατὰ τὸ Α#. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΦΩ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Χ, καὶ τὸ ἔλασσον αὐτῆσ τμῆμά ἐστιν ἡ ΩΧ, ἡ ἄρα ΩΧ προσλαβοῦσα τὴν ἡμίσειαν τοῦ μείζονοσ τμήματοσ τὴν ΧΑ# πενταπλάσιον δύναται τοῦ ἀπὸ τῆσ ἡμισείασ τοῦ μείζονοσ τμήματοσ· πενταπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΩΑ# τοῦ ἀπὸ τῆσ Α#Χ. καί ἐστι τῆσ μὲν ΩΑ# διπλῆ ἡ ΩΨ, τῆσ δὲ Α#Χ διπλῆ ἡ ΦΧ· πενταπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΩΨ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΧΦ. καὶ ἐπεὶ τετραπλῆ ἐστιν ἡ ΑΓ τῆσ ΓΒ, πενταπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆσ ΒΓ. ὡσ δὲ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΔ· πενταπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΒΔ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΩΨ πενταπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆσ ΦΧ. καί ἐστιν ἴση ἡ ΔΒ τῇ ΦΧ· ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘΚ κύκλου· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΨΩ. καί ἐστιν ἡ ΑΒ ἡ τῆσ δοθείσησ σφαίρασ διάμετροσ· καὶ ἡ ΨΩ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ τῆσ δοθείσησ σφαίρασ διαμέτρῳ. τῇ ἄρα δοθείσῃ σφαίρᾳ περιείληπται τὸ εἰκοσάεδρον. Λέγω δή, ὅτι ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάττων. ἐπεὶ γὰρ ῥητή ἐστιν ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ, καί ἐστι δυνάμει πενταπλασίων τῆσ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘΚ κύκλου, ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘΚ κύκλου· ὥστε καὶ ἡ διάμετροσ αὐτοῦ ῥητή ἐστιν. ἐὰν δὲ εἰσ κύκλον ῥητὴν ἔχοντα τὴν διάμετρον πεντάγωνον ἰσόπλευρον ἐγγραφῇ, ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάττων. ἡ δὲ τοῦ ΕΖΗΘΚ πενταγώνου πλευρὰ ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου ἐστίν. ἡ ἄρα τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάττων. Πόρισμα Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ δυνάμει πενταπλασίων ἐστὶ τῆσ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου, ἀφ’ οὗ τὸ εἰκοσάεδρον ἀναγέγραπται, καὶ ὅτι ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ σύγκειται ἔκ τε τῆσ τοῦ ἑξαγώνου καὶ δύο τῶν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰσ τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων. ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Δωδεκάεδρον συστήσασθαι καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν, ᾗ καὶ τὰ προειρημένα σχήματα, καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τοῦ δωδεκαέδρου πλευρὰ ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη ἀποτομή. Ἐκκείσθωσαν τοῦ προειρημένου κύβου δύο ἐπίπεδα πρὸσ ὀρθὰσ ἀλλήλοισ τὰ ΑΒΓΔ, ΓΒΕΖ, καὶ τετμήσθω ἑκάστη τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ, ΕΖ, ΕΒ, ΖΓ πλευρῶν δίχα κατὰ τὰ Η, Θ, Κ, Λ, Μ, Ν, Ξ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΚ, ΘΛ, ΜΘ, ΝΞ, καὶ τετμήσθω ἑκάστη τῶν ΝΟ, ΟΞ, ΘΠ ἄκρον καὶ μέσον λόγον κατὰ τὰ Ρ, Σ, Τ σημεῖα, καὶ ἔστω αὐτῶν μείζονα τμήματα τὰ ΡΟ, ΟΣ, ΤΠ, καὶ ἀνεστάτωσαν ἀπὸ τῶν Ρ, Σ, Τ σημείων τοῖσ τοῦ κύβου ἐπιπέδοισ πρὸσ ὀρθὰσ ἐπὶ τὰ ἐκτὸσ μέρη τοῦ κύβου αἱ ΡΥ, ΣΦ, ΤΧ, καὶ κείσθωσαν ἴσαι ταῖσ ΡΟ, ΟΣ, ΤΠ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΥΒ, ΒΧ, ΧΓ, ΓΦ, ΦΥ. λέγω, ὅτι τὸ ΥΒΧΓΦ πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ καὶ ἔτι ἰσογώνιόν ἐστιν. ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΡΒ, ΣΒ, ΦΒ. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ἡ ΝΟ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ρ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΡΟ, τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΟΝ, ΝΡ τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΡΟ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΟΝ τῇ ΝΒ, ἡ δὲ ΟΡ τῇ ΡΥ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΒΝ, ΝΡ τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΡΥ. τοῖσ δὲ ἀπὸ τῶν ΒΝ, ΝΡ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΡ ἐστιν ἴσον· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆσ ΒΡ τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΡΥ· ὥστε τὰ ἀπὸ τῶν ΒΡ, ΡΥ τετραπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΡΥ. τοῖσ δὲ ἀπὸ τῶν ΒΡ, ΡΥ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΥ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆσ ΒΥ τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΥΡ· διπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΥ τῆσ ΡΥ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΦΥ τῆσ ΥΡ διπλῆ, ἐπειδήπερ καὶ ἡ ΣΡ τῆσ ΟΡ, τουτέστι τῆσ ΡΥ, ἐστι διπλῆ· ἴση ἄρα ἡ ΒΥ τῇ ΥΦ. ὁμοίωσ δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν ΒΧ, ΧΓ, ΓΦ ἑκατέρᾳ τῶν ΒΥ, ΥΦ ἐστιν ἴση. ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΥΦΓΧ πεντάγωνον. λέγω δή, ὅτι καὶ ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ. ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Ο ἑκατέρᾳ τῶν ΡΥ, ΣΦ παράλληλοσ ἐπὶ τὰ ἐκτὸσ τοῦ κύβου μέρη ἡ ΟΨ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΨΘ, ΘΧ· λέγω, ὅτι ἡ ΨΘΧ εὐθεῖά ἐστιν. ἐπεὶ γὰρ ἡ ΘΠ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Τ, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆσ τμῆμά ἐστιν ἡ ΠΤ, ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΘΠ πρὸσ τὴν ΠΤ, οὕτωσ ἡ ΠΤ πρὸσ τὴν ΤΘ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΘΠ τῇ ΘΟ, ἡ δὲ ΠΤ ἑκατέρᾳ τῶν ΤΧ, ΟΨ· ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΘΟ πρὸσ τὴν ΟΨ, οὕτωσ ἡ ΧΤ πρὸσ τὴν ΤΘ. καί ἐστι παράλληλοσ ἡ μὲν ΘΟ τῇ ΤΧ· ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν τῷ ΒΔ ἐπιπέδῳ πρὸσ ὀρθάσ ἐστιν· ἡ δὲ ΤΘ τῇ ΟΨ· ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν τῷ ΒΖ ἐπιπέδῳ πρὸσ ὀρθάσ ἐστιν. ἐὰν δὲ δύο τρίγωνα συντεθῇ κατὰ μίαν γωνίαν, ὡσ τὰ ΨΟΘ, ΘΤΧ, τὰσ δύο πλευρὰσ ταῖσ δυσὶν ἀνάλογον ἔχοντα, ὥστε τὰσ ὁμολόγουσ αὐτῶν πλευρὰσ καὶ παραλλήλουσ εἶναι, αἱ λοιπαὶ εὐθεῖαι ἐπ’ εὐθείασ ἔσονται· ἐπ’ εὐθείασ ἄρα ἐστὶν ἡ ΨΘ τῇ ΘΧ. πᾶσα δὲ εὐθεῖα ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ· ἐν ἑνὶ ἄρα ἐπιπέδῳ ἐστὶ τὸ ΥΒΧΓΦ πεντάγωνον. Λέγω δή, ὅτι καὶ ἰσογώνιόν ἐστιν. Ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΝΟ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ρ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΟΡ [ἔστιν ἄρα ὡσ συναμφότεροσ ἡ ΝΟ, ΟΡ πρὸσ τὴν ΟΝ, οὕτωσ ἡ ΝΟ πρὸσ τὴν ΟΡ], ἴση δὲ ἡ ΟΡ τῇ ΟΣ [ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΣΝ πρὸσ τὴν ΝΟ, οὕτωσ ἡ ΝΟ πρὸσ τὴν ΟΣ], ἡ ΝΣ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ο, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΝΟ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΝΣ, ΣΟ τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΝΟ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΝΟ τῇ ΝΒ, ἡ δὲ ΟΣ τῇ ΣΦ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΝΣ, ΣΦ τετράγωνα τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΝΒ· ὥστε τὰ ἀπὸ τῶν ΦΣ, ΣΝ, ΝΒ τετραπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΝΒ. τοῖσ δὲ ἀπὸ τῶν ΣΝ, ΝΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΣΒ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΒΣ, ΣΦ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΦ [1ὀρθὴ γὰρ ἡ ὑπὸ ΦΣΒ γωνία]1, τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΝΒ· διπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ ΦΒ τῆσ ΒΝ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΒΓ τῆσ ΒΝ διπλῆ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΦ τῇ ΒΓ. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΒΥ, ΥΦ δυσὶ ταῖσ ΒΧ, ΧΓ ἴσαι εἰσίν, καὶ βάσισ ἡ ΒΦ βάσει τῇ ΒΓ ἴση, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΥΦ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΧΓ ἐστιν ἴση. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ὑπὸ ΥΦΓ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΒΧΓ· αἱ ἄρα ὑπὸ ΒΧΓ, ΒΥΦ, ΥΦΓ τρεῖσ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαισ εἰσίν. ἐὰν δὲ πενταγώνου ἰσοπλεύρου αἱ τρεῖσ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαισ ὦσιν, ἰσογώνιον ἔσται τὸ πεντάγωνον· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΥΦΓΧ πεντάγωνον. ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον· τὸ ἄρα ΒΥΦΓΧ πεντάγωνον ἰσόπλευρόν ἐστι καὶ ἰσογώνιον, καί ἐστιν ἐπὶ μιᾶσ τοῦ κύβου πλευρᾶσ τῆσ ΒΓ. ἐὰν ἄρα ἐφ’ ἑκάστησ τῶν τοῦ κύβου δώδεκα πλευρῶν τὰ αὐτὰ κατασκευάσωμεν, συσταθήσεταί τι σχῆμα στερεὸν ὑπὸ δώδεκα πενταγώνων ἰσοπλεύρων τε καὶ ἰσογωνίων περιεχόμενον, ὃ καλεῖται δωδεκάεδρον. Δεῖ δὴ αὐτὸ καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν τῇ δοθείσῃ καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τοῦ δωδεκαέδρου πλευρὰ ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη ἀποτομή. Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΨΟ, καὶ ἔστω ἡ ΨΩ· συμβάλλει ἄρα ἡ ΟΩ τῇ τοῦ κύβου διαμέτρῳ, καὶ δίχα τέμνουσιν ἀλλήλασ· τοῦτο γὰρ δέδεικται ἐν τῷ παρατελεύτῳ θεωρήματι τοῦ ἑνδεκάτου βιβλίου. τεμνέτωσαν κατὰ τὸ Ω· τὸ Ω ἄρα κέντρον ἐστὶ τῆσ σφαίρασ τῆσ περιλαμβανούσησ τὸν κύβον, καὶ ἡ ΩΟ ἡμίσεια τῆσ πλευρᾶσ τοῦ κύβου. ἐπεζεύχθω δὴ ἡ ΥΩ. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΝΣ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ο, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆσ τμῆμά ἐστιν ἡ ΝΟ, τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΝΣ, ΣΟ τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΝΟ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΝΣ τῇ ΨΩ, ἐπειδήπερ καὶ ἡ μὲν ΝΟ τῇ ΟΩ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ΨΟ τῇ ΟΣ. ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ ΟΣ τῇ ΨΥ, ἐπεὶ καὶ τῇ ΡΟ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΩΨ, ΨΥ τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΝΟ. τοῖσ δὲ ἀπὸ τῶν ΩΨ, ΨΥ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΥΩ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆσ ΥΩ τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΝΟ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆσ σφαίρασ τῆσ περιλαμβανούσησ τὸν κύβον δυνάμει τριπλασίων τῆσ ἡμισείασ τῆσ τοῦ κύβου πλευρᾶσ· προδέδεικται γὰρ κύβον συστήσασθαι καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ δυνάμει τριπλασίων ἐστὶ τῆσ πλευρᾶσ τοῦ κύβου. εἰ δὲ ὅλη τῆσ ὅλησ, καὶ [ἡ] ἡμίσεια τῆσ ἡμισείασ· καί ἐστιν ἡ ΝΟ ἡμίσεια τῆσ τοῦ κύβου πλευρᾶσ· ἡ ἄρα ΥΩ ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆσ σφαίρασ τῆσ περιλαμβανούσησ τὸν κύβον. καί ἐστι τὸ Ω κέντρον τῆσ σφαίρασ τῆσ περιλαμβανούσησ τὸν κύβον· τὸ Υ ἄρα σημεῖον πρὸσ τῇ ἐπιφανείᾳ ἐστὶ τῆσ σφαίρασ. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν λοιπῶν γωνιῶν τοῦ δωδεκαέδρου πρὸσ τῇ ἐπιφανείᾳ ἐστὶ τῆσ σφαίρασ· περιείληπται ἄρα τὸ δωδεκάεδρον τῇ δοθείσῃ σφαίρᾳ. Λέγω δή, ὅτι ἡ τοῦ δωδεκαέδρου πλευρὰ ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη ἀποτομή. Ἐπεὶ γὰρ τῆσ ΝΟ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμημένησ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΡΟ, τῆσ δὲ ΟΞ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμημένησ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΟΣ, ὅλησ ἄρα τῆσ ΝΞ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένησ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΡΣ. οἱο͂ν ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ ΝΟ πρὸσ τὴν ΟΡ, ἡ ΟΡ πρὸσ τὴν ΡΝ, καὶ τὰ διπλάσια· τὰ γὰρ μέρη τοῖσ ἰσάκισ πολλαπλασίοισ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον· ὡσ ἄρα ἡ ΝΞ πρὸσ τὴν ΡΣ, οὕτωσ ἡ ΡΣ πρὸσ συναμφότερον τὴν ΝΡ, ΣΞ. μείζων δὲ ἡ ΝΞ τῆσ ΡΣ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΡΣ συναμφοτέρου τῆσ ΝΡ, ΣΞ· ἡ ΝΞ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆσ τμῆμά ἐστιν ἡ ΡΣ. ἴση δὲ ἡ ΡΣ τῇ ΥΦ· τῆσ ἄρα ΝΞ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένησ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΥΦ. καὶ ἐπεὶ ῥητή ἐστιν ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ καί ἐστι δυνάμει τριπλασίων τῆσ τοῦ κύβου πλευρᾶσ, ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΝΞ πλευρὰ οὖσα τοῦ κύβου. ἐὰν δὲ ῥητὴ γραμμὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, ἑκάτερον τῶν τμημάτων ἄλογόσ ἐστιν ἀποτομή. Ἡ ΥΦ ἄρα πλευρὰ οὖσα τοῦ δωδεκαέδρου ἄλογόσ ἐστιν ἀποτομή. Πόρισμα Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι τῆσ τοῦ κύβου πλευρᾶσ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένησ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ τοῦ δωδεκαέδρου πλευρά. ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τὰσ πλευρὰσ τῶν πέντε σχημάτων ἐκθέσθαι καὶ συγκρῖναι πρὸσ ἀλλήλασ. Ἐκκείσθω ἡ τῆσ δοθείσησ σφαίρασ διάμετροσ ἡ ΑΒ, καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Γ ὥστε ἴσην εἶναι τὴν ΑΓ τῇ ΓΒ, κατὰ δὲ τὸ Δ ὥστε διπλασίονα εἶναι τὴν ΑΔ τῆσ ΔΒ, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆσ ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΕΒ, καὶ ἀπὸ τῶν Γ, Δ τῇ ΑΒ πρὸσ ὀρθὰσ ἤχθωσαν αἱ ΓΕ, ΔΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΖΒ, ΕΒ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΔ τῆσ ΔΒ, τριπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆσ ΒΔ. ἀναστρέψαντι ἡμιολία ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΑ τῆσ ΑΔ. ὡσ δὲ ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΔ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΑ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΖ· ἰσογώνιον γάρ ἐστι τὸ ΑΖΒ τρίγωνον τῷ ΑΖΔ τριγώνῳ· ἡμιόλιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΑ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΑΖ. ἔστι δὲ καὶ ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ δυνάμει ἡμιολία τῆσ πλευρᾶσ τῆσ πυραμίδοσ. καί ἐστιν ἡ ΑΒ ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ· ἡ ΑΖ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ πλευρᾷ τῆσ πυραμίδοσ. Πάλιν, ἐπεὶ διπλασίων ἐστὶν ἡ ΑΔ τῆσ ΔΒ, τριπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆσ ΒΔ. ὡσ δὲ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΔ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΖ· τριπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΒΖ. ἔστι δὲ καὶ ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ δυνάμει τριπλασίων τῆσ τοῦ κύβου πλευρᾶσ. καί ἐστιν ἡ ΑΒ ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ· ἡ ΒΖ ἄρα τοῦ κύβου ἐστὶ πλευρά. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ, διπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆσ ΒΓ. ὡσ δὲ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΕ· διπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΒΕ. ἔστι δὲ καὶ ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ δυνάμει διπλασίων τῆσ τοῦ ὀκταέδρου πλευρᾶσ. καί ἐστιν ἡ ΑΒ ἡ τῆσ δοθείσησ σφαίρασ διάμετροσ· ἡ ΒΕ ἄρα τοῦ ὀκταέδρου ἐστὶ πλευρά. Ἤχθω δὴ ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῇ ΑΒ εὐθείᾳ πρὸσ ὀρθὰσ ἡ ΑΗ, καὶ κείσθω ἡ ΑΗ ἴση τῇ ΑΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΓ, καὶ ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετοσ ἤχθω ἡ ΘΚ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΗΑ τῆσ ΑΓ· ἴση γὰρ ἡ ΗΑ τῇ ΑΒ· ὡσ δὲ ἡ ΗΑ πρὸσ τὴν ΑΓ, οὕτωσ ἡ ΘΚ πρὸσ τὴν ΚΓ, διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΘΚ τῆσ ΚΓ. τετραπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΘΚ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΚΓ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΘΚ, ΚΓ, ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΘΓ, πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΚΓ. ἴση δὲ ἡ ΘΓ τῇ ΓΒ· πενταπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΓ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΓΚ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΒ τῆσ ΓΒ, ὧν ἡ ΑΔ τῆσ ΔΒ ἐστι διπλῆ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΔ λοιπῆσ τῆσ ΔΓ ἐστι διπλῆ. τριπλῆ ἄρα ἡ ΒΓ τῆσ ΓΔ· ἐνναπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΓ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΓΔ. πενταπλάσιον δὲ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΓ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΓΚ· μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΓΚ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΓΔ. μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΚ τῆσ ΓΔ. κείσθω τῇ ΓΚ ἴση ἡ ΓΛ, καὶ ἀπὸ τοῦ Λ τῇ ΑΒ πρὸσ ὀρθὰσ ἤχθω ἡ ΛΜ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΜΒ. καὶ ἐπεὶ πενταπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΓ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΓΚ, καί ἐστι τῆσ μὲν ΒΓ διπλῆ ἡ ΑΒ, τῆσ δὲ ΓΚ διπλῆ ἡ ΚΛ, πενταπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΚΛ. ἔστι δὲ καὶ ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ δυνάμει πενταπλασίων τῆσ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου, ἀφ’ οὗ τὸ εἰκοσάεδρον ἀναγέγραπται. καί ἐστιν ἡ ΑΒ ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ· ἡ ΚΛ ἄρα ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶ τοῦ κύκλου, ἀφ’ οὗ τὸ εἰκοσάεδρον ἀναγέγραπται· ἡ ΚΛ ἄρα ἑξαγώνου ἐστὶ πλευρὰ τοῦ εἰρημένου κύκλου. καὶ ἐπεὶ ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ σύγκειται ἔκ τε τῆσ τοῦ ἑξαγώνου καὶ δύο τῶν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰσ τὸν εἰρημένον κύκλον ἐγγραφομένων, καί ἐστιν ἡ μὲν ΑΒ ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ, ἡ δὲ ΚΛ ἑξαγώνου πλευρά, καὶ ἴση ἡ ΑΚ τῇ ΛΒ, ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΚ, ΛΒ δεκαγώνου ἐστὶ πλευρὰ τοῦ ἐγγραφομένου εἰσ τὸν κύκλον, ἀφ’ οὗ τὸ εἰκοσάεδρον ἀναγέγραπται. καὶ ἐπεὶ δεκαγώνου μὲν ἡ ΛΒ, ἑξαγώνου δὲ ἡ ΜΛ· ἴση γάρ ἐστι τῇ ΚΛ, ἐπεὶ καὶ τῇ ΘΚ· ἴσον γὰρ ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ κέντρου· καί ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΘΚ, ΚΛ διπλασίων τῆσ ΚΓ· πενταγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΒ. ἡ δὲ τοῦ πενταγώνου ἐστὶν ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου· εἰκοσαέδρου ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΒ. Καὶ ἐπεὶ ἡ ΖΒ κύβου ἐστὶ πλευρά, τετμήσθω ἄκρον καὶ μέσον λόγον κατὰ τὸ Ν, καὶ ἔστω μεῖζον τμῆμα τὸ ΝΒ· ἡ ΝΒ ἄρα δωδεκαέδρου ἐστὶ πλευρά. Καὶ ἐπεὶ ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ ἐδείχθη τῆσ μὲν ΑΖ πλευρᾶσ τῆσ πυραμίδοσ δυνάμει ἡμιολία, τῆσ δὲ τοῦ ὀκταέδρου τῆσ ΒΕ δυνάμει διπλασίων, τῆσ δὲ τοῦ κύβου τῆσ ΖΒ δυνάμει τριπλασίων, οἱών ἄρα ἡ τῆσ σφαίρασ διάμετροσ δυνάμει ἕξ, τοιούτων ἡ μὲν τῆσ πυραμίδοσ τεσσάρων, ἡ δὲ τοῦ ὀκταέδρου τριῶν, ἡ δὲ τοῦ κύβου δύο. ἡ μὲν ἄρα τῆσ πυραμίδοσ πλευρὰ τῆσ μὲν τοῦ ὀκταέδρου πλευρᾶσ δυνάμει ἐστὶν ἐπίτριτοσ, τῆσ δὲ τοῦ κύβου δυνάμει διπλῆ, ἡ δὲ τοῦ ὀκταέδρου τῆσ τοῦ κύβου δυνάμει ἡμιολία. αἱ μὲν οὖν εἰρημέναι τῶν τριῶν σχημάτων πλευραί, λέγω δὴ πυραμίδοσ καὶ ὀκταέδρου καὶ κύβου, πρὸσ ἀλλήλασ εἰσὶν ἐν λόγοισ ῥητοῖσ. αἱ δὲ λοιπαὶ δύο, λέγω δὴ ἥ τε τοῦ εἰκοσαέδρου καὶ ἡ τοῦ δωδεκαέδρου, οὔτε πρὸσ ἀλλήλασ οὔτε πρὸσ τὰσ προειρημένασ εἰσὶν ἐν λόγοισ ῥητοῖσ· ἄλογοι γάρ εἰσιν, ἡ μὲν ἐλάττων, ἡ δὲ ἀποτομή. Ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ ἡ ΜΒ τῆσ τοῦ δωδεκαέδρου τῆσ ΝΒ, δείξομεν οὕτωσ. Ἐπεὶ γὰρ ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΖΔΒ τρίγωνον τῷ ΖΑΒ τριγώνῳ, ἀνάλογόν ἐστιν ὡσ ἡ ΔΒ πρὸσ τὴν ΒΖ, οὕτωσ ἡ ΒΖ πρὸσ τὴν ΒΑ. καὶ ἐπεὶ τρεῖσ εὐθεῖαι ἀνάλογόν εἰσιν, ἔστιν ὡσ ἡ πρώτη πρὸσ τὴν τρίτην, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ πρώτησ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ δευτέρασ· ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΔΒ πρὸσ τὴν ΒΑ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΔΒ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΖ· ἀνάπαλιν ἄρα ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΔ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΒ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΔ. τριπλῆ δὲ ἡ ΑΒ τῆσ ΒΔ· τριπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΒ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΒΔ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΔ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΔΒ τετραπλάσιον· διπλῆ γὰρ ἡ ΑΔ τῆσ ΔΒ· μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΔ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΖΒ· μείζων ἄρα ἡ ΑΔ τῆσ ΖΒ· πολλῷ ἄρα ἡ ΑΛ τῆσ ΖΒ μείζων ἐστίν. καὶ τῆσ μὲν ΑΛ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένησ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΚΛ, ἐπειδήπερ ἡ μὲν ΛΚ ἑξαγώνου ἐστίν, ἡ δὲ ΚΑ δεκαγώνου· τῆσ δὲ ΖΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένησ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΝΒ· μείζων ἄρα ἡ ΚΛ τῆσ ΝΒ. ἴση δὲ ἡ ΚΛ τῇ ΛΜ· μείζων ἄρα ἡ ΛΜ τῆσ ΝΒ [τῆσ δὲ ΛΜ μείζων ἐστὶν ἡ ΜΒ]. πολλῷ ἄρα ἡ ΜΒ πλευρὰ οὖσα τοῦ εἰκοσαέδρου μείζων ἐστὶ τῆσ ΝΒ πλευρᾶσ οὔσησ τοῦ δωδεκαέδρου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Λέγω δή, ὅτι παρὰ τὰ εἰρημένα πέντε σχήματα οὐ συσταθήσεται ἕτερον σχῆμα περιεχόμενον ὑπὸ ἰσοπλεύρων τε καὶ ἰσογωνίων ἴσων ἀλλήλοισ. Ὑπὸ μὲν γὰρ δύο τριγώνων ἢ ὅλωσ ἐπιπέδων στερεὰ γωνία οὐ συνίσταται. ὑπὸ δὲ τριῶν τριγώνων ἡ τῆσ πυραμίδοσ, ὑπὸ δὲ τεσσάρων ἡ τοῦ ὀκταέδρου, ὑπὸ δὲ πέντε ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου· ὑπὸ δὲ ἓξ τριγώνων ἰσοπλεύρων τε καὶ ἰσογωνίων πρὸσ ἑνὶ σημείῳ συνισταμένων οὐκ ἔσται στερεὰ γωνία· οὔσησ γὰρ τῆσ τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου γωνίασ διμοίρου ὀρθῆσ ἔσονται αἱ ἓξ τέσσαρσιν ὀρθαῖσ ἴσαι· ὅπερ ἀδύνατον· ἅπασα γὰρ στερεὰ γωνία ὑπὸ ἐλασσόνων ἢ τεσσάρων ὀρθῶν περιέχεται. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ οὐδὲ ὑπὸ πλειόνων ἢ ἓξ γωνιῶν ἐπιπέδων στερεὰ γωνία συνίσταται. ὑπὸ δὲ τετραγώνων τριῶν ἡ τοῦ κύβου γωνία περιέχεται· ὑπὸ δὲ τεσσάρων ἀδύνατον· ἔσονται γὰρ πάλιν τέσσαρεσ ὀρθαί. ὑπὸ δὲ πενταγώνων ἰσοπλεύρων καὶ ἰσογωνίων, ὑπὸ μὲν τριῶν ἡ τοῦ δωδεκαέδρου· ὑπὸ δὲ τεσσάρων ἀδύνατον· οὔσησ γὰρ τῆσ τοῦ πενταγώνου ἰσοπλεύρου γωνίασ ὀρθῆσ καὶ πέμπτου, ἔσονται αἱ τέσσαρεσ γωνίαι τεσσάρων ὀρθῶν μείζουσ· ὅπερ ἀδύνατον. οὐδὲ μὴν ὑπὸ πολυγώνων ἑτέρων σχημάτων περισχεθήσεται στερεὰ γωνία διὰ τὸ αὐτὸ ἄτοπον. Οὐκ ἄρα παρὰ τὰ εἰρημένα πέντε σχήματα ἕτερον σχῆμα στερεὸν συσταθήσεται ὑπὸ ἰσοπλεύρων τε καὶ ἰσογωνίων περιεχόμενον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Λῆμμα Ὅτι δὲ ἡ τοῦ ἰσοπλεύρου καὶ ἰσογωνίου πενταγώνου γωνία ὀρθή ἐστι καὶ πέμπτου, οὕτω δεικτέον. Ἔστω γὰρ πεντάγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓΔΕ, καὶ περιγεγράφθω περὶ αὐτὸ κύκλοσ ὁ ΑΒΓ ΔΕ, καὶ εἰλήφθω αὐτοῦ τὸ κέντρον τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΑ, ΖΒ, ΖΓ, ΖΔ, ΖΕ. δίχα ἄρα τέμνουσι τὰσ πρὸσ τοῖσ Α, Β, Γ, Δ, Ε τοῦ πενταγώνου γωνίασ. καὶ ἐπεὶ αἱ πρὸσ τῷ Ζ πέντε γωνίαι τέσσαρσιν ὀρθαῖσ ἴσαι εἰσὶ καί εἰσιν ἴσαι, μία ἄρα αὐτῶν, ὡσ ἡ ὑπὸ ΑΖΒ, μιᾶσ ὀρθῆσ ἐστι παρὰ πέμπτον· λοιπαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ ΖΑΒ, ΑΒΖ μιᾶσ εἰσιν ὀρθῆσ καὶ πέμπτου. ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΖΑΒ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ τοῦ πενταγώνου γωνία μιᾶσ ἐστιν ὀρθῆσ καὶ πέμπτου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

MENU NAVIGATION

호흡부호 보기

강세부호 보기

장단부호 보기

작은 Iota 보기

모든 부호 보기

헬라어 텍스트

Euclid, Elements, book 13, type Prop

(유클리드, Elements, book 13, type Prop)

상위

목록

SEARCH

MENU NAVIGATION