Euclid, Elements, book 12, type Prop

(유클리드, Elements, book 12, type Prop)

Τὰ ἐν τοῖσ κύκλοισ ὅμοια πολύγωνα πρὸσ ἄλληλά ἐστιν ὡσ τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα. Ἔστωσαν κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΖΗΘ, καὶ ἐν αὐτοῖσ ὅμοια πολύγωνα ἔστω τὰ ΑΒΓΔΕ, ΖΗΘΚΛ, διάμετροι δὲ τῶν κύκλων ἔστωσαν αἱ ΒΜ, ΗΝ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΜ τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΝ τετράγωνον, οὕτωσ τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον πρὸσ τὸ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον. Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΕ, ΑΜ, ΗΛ, ΖΝ. καὶ ἐπεὶ ὅμοιον τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον τῷ ΖΗΘΚΛ πολυγώνῳ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΖΛ, καί ἐστιν ὡσ ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΕ, οὕτωσ ἡ ΗΖ πρὸσ τὴν ΖΛ. δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΒΑΕ, ΗΖΛ μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχοντα τὴν ὑπὸ ΒΑΕ τῇ ὑπὸ ΗΖΛ, περὶ δὲ τὰσ ἴσασ γωνίασ τὰσ πλευρὰσ ἀνάλογον· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΖΗΛ τριγώνῳ. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΕΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΛΗ. ἀλλ’ ἡ μὲν ὑπὸ ΑΕΒ τῇ ὑπὸ ΑΜΒ ἐστιν ἴση· ἐπὶ γὰρ τῆσ αὐτῆσ περιφερείασ βεβήκασιν· ἡ δὲ ὑπὸ ΖΛΗ τῇ ὑπὸ ΖΝΗ· καὶ ἡ ὑπὸ ΑΜΒ ἄρα τῇ ὑπὸ ΖΝΗ ἐστιν ἴση. ἔστι δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΒΑΜ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΗΖΝ ἴση· καὶ ἡ λοιπὴ ἄρα τῇ λοιπῇ ἐστιν ἴση. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΜ τρίγωνον τῷ ΖΗΝ τριγώνῳ. ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΒΜ πρὸσ τὴν ΗΝ, οὕτωσ ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΗΖ. ἀλλὰ τοῦ μὲν τῆσ ΒΜ πρὸσ τὴν ΗΝ λόγου διπλασίων ἐστὶν ὁ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΒΜ τετραγώνου πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΝ τετράγωνον, τοῦ δὲ τῆσ ΒΑ πρὸσ τὴν ΗΖ διπλασίων ἐστὶν ὁ τοῦ ΑΒΓΔΕ πολυγώνου πρὸσ τὸ ΖΗ ΘΚΛ πολύγωνον· καὶ ὡσ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΜ τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΝ τετράγωνον, οὕτωσ τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον πρὸσ τὸ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον. Τὰ ἄρα ἐν τοῖσ κύκλοισ ὅμοια πολύγωνα πρὸσ ἄλληλά ἐστιν ὡσ τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Οἱ κύκλοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσὶν ὡσ τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα. Ἔστωσαν κύκλοι οἱ ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ, διάμετροι δὲ αὐτῶν [ἔστωσαν] αἱ ΒΔ, ΖΘ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡσ ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ πρὸσ τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΔ τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΘ τετράγωνον. Εἰ γὰρ μή ἐστιν ὡσ ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ πρὸσ τὸν ΕΖΗΘ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΔ τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΘ, ἔσται ὡσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΔ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΘ, οὕτωσ ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ ἤτοι πρὸσ ἔλασσόν τι τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου χωρίον ἢ πρὸσ μεῖζον. ἔστω πρότερον πρὸσ ἔλασσον τὸ Σ. καὶ ἐγγεγράφθω εἰσ τὸν ΕΖΗΘ κύκλον τετράγωνον τὸ ΕΖΗΘ· τὸ δὴ ἐγγεγραμμένον τετράγωνον μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου, ἐπειδήπερ ἐὰν διὰ τῶν Ε, Ζ, Η, Θ σημείων ἐφαπτομένασ [εὐθείασ] τοῦ κύκλου ἀγάγωμεν, τοῦ περιγραφομένου περὶ τὸν κύκλον τετραγώνου ἥμισύ ἐστι τὸ ΕΖΗΘ τετράγωνον, τοῦ δὲ περιγραφέντοσ τετραγώνου ἐλάττων ἐστὶν ὁ κύκλοσ· ὥστε τὸ ΕΖΗΘ ἐγγεγραμμένον τετράγωνον μεῖζόν ἐστι τοῦ ἡμίσεωσ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου. τετμήσθωσαν δίχα αἱ ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΕ περιφέρειαι κατὰ τὰ Κ, Λ, Μ, Ν σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΚ, ΚΖ, ΖΛ, ΛΗ, ΗΜ, ΜΘ, ΘΝ, ΝΕ· καὶ ἕκαστον ἄρα τῶν ΕΚΖ, ΖΛΗ, ΗΜΘ, ΘΝΕ τριγώνων μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ καθ’ ἑαυτὸ τμήματοσ τοῦ κύκλου, ἐπειδήπερ ἐὰν διὰ τῶν Κ, Λ, Μ, Ν σημείων ἐφαπτομένασ τοῦ κύκλου ἀγάγωμεν καὶ ἀναπληρώσωμεν τὰ ἐπὶ τῶν ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΕ εὐθειῶν παραλληλόγραμμα, ἕκαστον τῶν ΕΚΖ, ΖΛΗ, ΗΜΘ, ΘΝΕ τριγώνων ἥμισυ ἔσται τοῦ καθ’ ἑαυτὸ παραλληλογράμμου, ἀλλὰ τὸ καθ’ ἑαυτὸ τμῆμα ἔλαττόν ἐστι τοῦ παραλληλογράμμου· ὥστε ἕκαστον τῶν ΕΚΖ, ΖΛΗ, ΗΜΘ, ΘΝΕ τριγώνων μεῖζόν ἐστι τοῦ ἡμίσεωσ τοῦ καθ’ ἑαυτὸ τμήματοσ τοῦ κύκλου. τέμνοντεσ δὴ τὰσ ὑπολειπομένασ περιφερείασ δίχα καὶ ἐπιζευγνύντεσ εὐθείασ καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιοῦντεσ καταλείψομέν τινα ἀποτμήματα τοῦ κύκλου, ἃ ἔσται ἐλάσσονα τῆσ ὑπεροχῆσ, ᾗ ὑπερέχει ὁ ΕΖΗΘ κύκλοσ τοῦ Σ χωρίου. ἐδείχθη γὰρ ἐν τῷ πρώτῳ θεωρήματι τοῦ δεκάτου βιβλίου, ὅτι δύο μεγεθῶν ἀνίσων ἐκκειμένων, ἐὰν ἀπὸ τοῦ μείζονοσ ἀφαιρεθῇ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ καὶ τοῦ καταλειπομένου μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ, καὶ τοῦτο ἀεὶ γίγνηται, λειφθήσεταί τι μέγεθοσ, ὃ ἔσται ἔλασσον τοῦ ἐκκειμένου ἐλάσσονοσ μεγέθουσ. λελείφθω οὖν, καὶ ἔστω τὰ ἐπὶ τῶν ΕΚ, ΚΖ, ΖΛ, ΛΗ, ΗΜ, ΜΘ, ΘΝ, ΝΕ τμήματα τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου ἐλάττονα τῆσ ὑπεροχῆσ, ᾗ ὑπερέχει ὁ ΕΖΗΘ κύκλοσ τοῦ Σ χωρίου. λοιπὸν ἄρα τὸ ΕΚΖΛΗ ΜΘΝ πολύγωνον μεῖζόν ἐστι τοῦ Σ χωρίου. ἐγγεγράφθω καὶ εἰσ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τῷ ΕΚΖΛΗΜΘΝ πολυγώνῳ ὅμοιον πολύγωνον τὸ ΑΞΒΟΓΠΔΡ· ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΔ τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΘ τετράγωνον, οὕτωσ τὸ ΑΞΒΟΓΠΔΡ πολύγωνον πρὸσ τὸ ΕΚΖΛ ΗΜΘΝ πολύγωνον. ἀλλὰ καὶ ὡσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΔ τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΘ, οὕτωσ ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ πρὸσ τὸ Σ χωρίον· καὶ ὡσ ἄρα ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ πρὸσ τὸ Σ χωρίον, οὕτωσ τὸ ΑΞΒΟΓΠΔΡ πολύγωνον πρὸσ τὸ ΕΚΖΛΗΜΘΝ πολύγωνον· ἐναλλὰξ ἄρα ὡσ ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ πρὸσ τὸ ἐν αὐτῷ πολύγωνον, οὕτωσ τὸ Σ χωρίον πρὸσ τὸ ΕΚΖΛΗΜΘΝ πολύγωνον. μείζων δὲ ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ τοῦ ἐν αὐτῷ πολυγώνου· μεῖζον ἄρα καὶ τὸ Σ χωρίον τοῦ ΕΚΖΛΗΜΘΝ πολυγώνου. ἀλλὰ καὶ ἔλαττον· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΔ τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΘ, οὕτωσ ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ πρὸσ ἔλασσόν τι τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου χωρίον. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ὡσ τὸ ἀπὸ ΖΘ πρὸσ τὸ ἀπὸ ΒΔ, οὕτωσ ὁ ΕΖΗΘ κύκλοσ πρὸσ ἔλασσόν τι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου χωρίον. Λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ὡσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΔ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΘ, οὕτωσ ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ πρὸσ μεῖζόν τι τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου χωρίον. Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω πρὸσ μεῖζον τὸ Σ. ἀνάπαλιν ἄρα [ἐστὶν] ὡσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΘ τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΔΒ, οὕτωσ τὸ Σ χωρίον πρὸσ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον. ἀλλ’ ὡσ τὸ Σ χωρίον πρὸσ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, οὕτωσ ὁ ΕΖΗΘ κύκλοσ πρὸσ ἔλαττόν τι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου χωρίον· καὶ ὡσ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΘ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΔ, οὕτωσ ὁ ΕΖΗΘ κύκλοσ πρὸσ ἔλασσόν τι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου χωρίον· ὅπερ ἀδύνατον ἐδείχθη. οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΔ τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΘ, οὕτωσ ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ πρὸσ μεῖζόν τι τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου χωρίον. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ πρὸσ ἔλασσον· ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΔ τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΘ, οὕτωσ ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ πρὸσ τὸν ΕΖΗΘ κύκλον. Οἱ ἄρα κύκλοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσὶν ὡσ τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Λῆμμα Λέγω δή, ὅτι τοῦ Σ χωρίου μείζονοσ ὄντοσ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου ἐστὶν ὡσ τὸ Σ χωρίον πρὸσ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, οὕτωσ ὁ ΕΖΗΘ κύκλοσ πρὸσ ἔλαττόν τι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου χωρίον. Γεγονέτω γὰρ ὡσ τὸ Σ χωρίον πρὸσ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, οὕτωσ ὁ ΕΖΗΘ κύκλοσ πρὸσ τὸ Τ χωρίον. λέγω, ὅτι ἔλαττόν ἐστι τὸ Τ χωρίον τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου. ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡσ τὸ Σ χωρίον πρὸσ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, οὕτωσ ὁ ΕΖΗΘ κύκλοσ πρὸσ τὸ Τ χωρίον, ἐναλλάξ ἐστιν ὡσ τὸ Σ χωρίον πρὸσ τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτωσ ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ πρὸσ τὸ Τ χωρίον. μεῖζον δὲ τὸ Σ χωρίον τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου· μείζων ἄρα καὶ ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ τοῦ Τ χωρίου. ὥστε ἐστὶν ὡσ τὸ Σ χωρίον πρὸσ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, οὕτωσ ὁ ΕΖΗΘ κύκλοσ πρὸσ ἔλαττόν τι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου χωρίον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Πᾶσα πυραμὶσ τρίγωνον ἔχουσα βάσιν διαιρεῖται εἰσ δύο πυραμίδασ ἴσασ τε καὶ ὁμοίασ ἀλλήλαισ καὶ [ὁμοίασ] τῇ ὅλῃ τριγώνουσ ἐχούσασ βάσεισ καὶ εἰσ δύο πρίσματα ἴσα· καὶ τὰ δύο πρίσματα μείζονά ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τῆσ ὅλησ πυραμίδοσ. Ἔστω πυραμίσ, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον· λέγω, ὅτι ἡ ΑΒΓΔ πυραμὶσ διαιρεῖται εἰσ δύο πυραμίδασ ἴσασ ἀλλήλαισ τριγώνουσ βάσεισ ἐχούσασ καὶ ὁμοίασ τῇ ὅλῃ καὶ εἰσ δύο πρίσματα ἴσα· καὶ τὰ δύο πρίσματα μείζονά ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τῆσ ὅλησ πυραμίδοσ. Τετμήσθωσαν γὰρ αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ, ΑΔ, ΔΒ, ΔΓ δίχα κατὰ τὰ Ε, Ζ, Η, Θ, Κ, Λ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΕ, ΕΗ, ΗΘ, ΘΚ, ΚΛ, ΛΘ, ΚΖ, ΖΗ. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΕΒ, ἡ δὲ ΑΘ τῇ ΔΘ, παράλληλοσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ τῇ ΔΒ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΘΚ τῇ ΑΒ παράλληλόσ ἐστιν. παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΘΕ ΒΚ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΚ τῇ ΕΒ. ἀλλὰ ἡ ΕΒ τῇ ΕΑ ἐστιν ἴση· καὶ ἡ ΑΕ ἄρα τῇ ΘΚ ἐστιν ἴση. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΘ τῇ ΘΔ ἴση· δύο δὴ αἱ ΕΑ, ΑΘ δυσὶ ταῖσ ΚΘ, ΘΔ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΑΘ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΚΘΔ ἴση· βάσισ ἄρα ἡ ΕΘ βάσει τῇ ΚΔ ἐστιν ἴση. ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΕΘ τρίγωνον τῷ ΘΚΔ τριγώνῳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΑΘΗ τρίγωνον τῷ ΘΛΔ τριγώνῳ ἴσον τέ ἐστι καὶ ὅμοιον. καὶ ἐπεὶ δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων αἱ ΕΘ, ΘΗ παρὰ δύο εὐθείασ ἁπτομένασ ἀλλήλων τὰσ ΚΔ, ΔΛ εἰσιν οὐκ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι, ἴσασ γωνίασ περιέξουσιν. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΘΗ γωνία τῇ ὑπὸ ΚΔΛ γωνίᾳ. καὶ ἐπεὶ δύο εὐθεῖαι αἱ ΕΘ, ΘΗ δυσὶ ταῖσ ΚΔ, ΔΛ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΘΗ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΚΔΛ ἐστιν ἴση, βάσισ ἄρα ἡ ΕΗ βάσει τῇ ΚΛ [ἐστιν] ἴση· ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΕΘΗ τρίγωνον τῷ ΚΔΛ τριγώνῳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΑΕΗ τρίγωνον τῷ ΘΚΛ τριγώνῳ ἴσον τε καὶ ὅμοιόν ἐστιν. ἡ ἄρα πυραμίσ, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΑΕΗ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Θ σημεῖον, ἴση καὶ ὁμοία ἐστὶ πυραμίδι, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΘΚΛ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον. καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΑΔΒ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΑΒ ἦκται ἡ ΘΚ, ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΔΒ τρίγωνον τῷ ΔΘΚ τριγώνῳ, καὶ τὰσ πλευρὰσ ἀνάλογον ἔχουσιν· ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔΒ τρίγωνον τῷ ΔΘΚ τριγώνῳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ μὲν ΔΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΚΛ τριγώνῳ ὅμοιόν ἐστιν, τὸ δὲ ΑΔΓ τῷ ΔΛΘ. καὶ ἐπεὶ δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων αἱ ΒΑ, ΑΓ παρὰ δύο εὐθείασ ἁπτομένασ ἀλλήλων τὰσ ΚΘ, ΘΛ εἰσιν οὐκ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, ἴσασ γωνίασ περιέξουσιν. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΚΘΛ. καί ἐστιν ὡσ ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΓ, οὕτωσ ἡ ΚΘ πρὸσ τὴν ΘΛ· ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΘΚΛ τριγώνῳ. καὶ πυραμὶσ ἄρα, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον, ὁμοία ἐστὶ πυραμίδι, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΘΚΛ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον. ἀλλὰ πυραμίσ, ἧσ βάσισ μὲν [ἐστι] τὸ ΘΚΛ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον, ὁμοία ἐδείχθη πυραμίδι, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΑΕΗ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Θ σημεῖον [ὥστε καὶ πυραμίσ, ἧσ βάσισ μὲν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον, ὁμοία ἐστὶ πυραμίδι, ἧσ βάσισ μὲν τὸ ΑΕΗ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Θ σημεῖον]. ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΕΗΘ, ΘΚΛΔ πυραμίδων ὁμοία ἐστὶ τῇ ὅλῃ τῇ ΑΒΓΔ πυραμίδι. —Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΖ τῇ ΖΓ, διπλάσιόν ἐστι τὸ ΕΒΖΗ παραλληλόγραμμον τοῦ ΗΖΓ τριγώνου. καὶ ἐπεί, ἐὰν ᾖ δύο πρίσματα ἰσοϋψῆ, καὶ τὸ μὲν ἔχῃ βάσιν παραλληλόγραμμον, τὸ δὲ τρίγωνον, διπλάσιον δὲ ᾖ τὸ παραλληλόγραμμον τοῦ τριγώνου, ἴσα ἐστὶ τὰ πρίσματα, ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ πρίσμα τὸ περιεχόμενον ὑπὸ δύο μὲν τριγώνων τῶν ΒΚΖ, ΕΘΗ, τριῶν δὲ παραλληλογράμμων τῶν ΕΒΖΗ, ΕΒΚΘ, ΘΚΖΗ τῷ πρίσματι τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ δύο μὲν τριγώνων τῶν ΗΖΓ, ΘΚΛ, τριῶν δὲ παραλληλογράμμων τῶν ΚΖΓΛ, ΛΓΗΘ, ΘΚΖΗ. καὶ φανερόν, ὅτι ἑκάτερον τῶν πρισμάτων, οὗ τε βάσισ τὸ ΕΒΖΗ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ ἡ ΘΚ εὐθεῖα, καὶ οὗ βάσισ τὸ ΗΖΓ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΘΚΛ τρίγωνον, μεῖζόν ἐστιν ἑκατέρασ τῶν πυραμίδων, ὧν βάσεισ μὲν τὰ ΑΕΗ, ΘΚΛ τρίγωνα, κορυφαὶ δὲ τὰ Θ, Δ σημεῖα, ἐπειδήπερ [καὶ] ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὰσ ΕΖ, ΕΚ εὐθείασ, τὸ μὲν πρίσμα, οὗ βάσισ τὸ ΕΒΖΗ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ ἡ ΘΚ εὐθεῖα, μεῖζόν ἐστι τῆσ πυραμίδοσ, ἧσ βάσισ τὸ ΕΒΖ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Κ σημεῖον. ἀλλ’ ἡ πυραμίσ, ἧσ βάσισ τὸ ΕΒΖ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Κ σημεῖον, ἴση ἐστὶ πυραμίδι, ἧσ βάσισ τὸ ΑΕΗ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Θ σημεῖον· ὑπὸ γὰρ ἴσων καὶ ὁμοίων ἐπιπέδων περιέχονται. ὥστε καὶ τὸ πρίσμα, οὗ βάσισ μὲν τὸ ΕΒΖΗ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ ἡ ΘΚ εὐθεῖα, μεῖζόν ἐστι πυραμίδοσ, ἧσ βάσισ μὲν τὸ ΑΕΗ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Θ σημεῖον. ἴσον δὲ τὸ μὲν πρίσμα, οὗ βάσισ τὸ ΕΒΖΗ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ ἡ ΘΚ εὐθεῖα, τῷ πρίσματι, οὗ βάσισ μὲν τὸ ΗΖΓ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΘΚΛ τρίγωνον· ἡ δὲ πυραμίσ, ἧσ βάσισ τὸ ΑΕΗ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Θ σημεῖον, ἴση ἐστὶ πυραμίδι, ἧσ βάσισ τὸ ΘΚΛ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον. τὰ ἄρα εἰρημένα δύο πρίσματα μείζονά ἐστι τῶν εἰρημένων δύο πυραμίδων, ὧν βάσεισ μὲν τὰ ΑΕΗ, ΘΚΛ τρίγωνα, κορυφαὶ δὲ τὰ Θ, Δ σημεῖα. Ἡ ἄρα ὅλη πυραμίσ, ἧσ βάσισ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον, διῄρηται εἴσ τε δύο πυραμίδασ ἴσασ ἀλλήλαισ [καὶ ὁμοίασ τῇ ὅλῃ] καὶ εἰσ δύο πρίσματα ἴσα, καὶ τὰ δύο πρίσματα μείζονά ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τῆσ ὅλησ πυραμίδοσ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ὦσι δύο πυραμίδεσ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψοσ τριγώνουσ ἔχουσαι βάσεισ, διαιρεθῇ δὲ ἑκατέρα αὐτῶν εἴσ τε δύο πυραμίδασ ἴσασ ἀλλήλαισ καὶ ὁμοίασ τῇ ὅλῃ καὶ εἰσ δύο πρίσματα ἴσα, ἔσται ὡσ ἡ τῆσ μιᾶσ πυραμίδοσ βάσισ πρὸσ τὴν τῆσ ἑτέρασ πυραμίδοσ βάσιν, οὕτωσ τὰ ἐν τῇ μιᾷ πυραμίδι πρίσματα πάντα πρὸσ τὰ ἐν τῇ ἑτέρᾳ πυραμίδι πρίσματα πάντα ἰσοπληθῆ. Ἔστωσαν δύο πυραμίδεσ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψοσ τριγώνουσ ἔχουσαι βάσεισ τὰσ ΑΒΓ, ΔΕΖ, κορυφὰσ δὲ τὰ Η, Θ σημεῖα, καὶ διῃρήσθω ἑκατέρα αὐτῶν εἴσ τε δύο πυραμίδασ ἴσασ ἀλλήλαισ καὶ ὁμοίασ τῇ ὅλῃ καὶ εἰσ δύο πρίσματα ἴσα· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡσ ἡ ΑΒΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτωσ τὰ ἐν τῇ ΑΒΓΗ πυραμίδι πρίσματα πάντα πρὸσ τὰ ἐν τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι πρίσματα ἰσοπληθῆ. Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΒΞ τῇ ΞΓ, ἡ δὲ ΑΛ τῇ ΛΓ, παράλληλοσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΞ τῇ ΑΒ καὶ ὅμοιον τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΛΞΓ τριγώνῳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον τῷ ΡΦΖ τριγώνῳ ὅμοιόν ἐστιν. καὶ ἐπεὶ διπλασίων ἐστὶν ἡ μὲν ΒΓ τῆσ ΓΞ, ἡ δὲ ΕΖ τῆσ ΖΦ, ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΓΞ, οὕτωσ ἡ ΕΖ πρὸσ τὴν ΖΦ. καὶ ἀναγέγραπται ἀπὸ μὲν τῶν ΒΓ, ΓΞ ὅμοιά τε καὶ ὁμοίωσ κείμενα εὐθύγραμμα τὰ ΑΒΓ, ΛΞΓ, ἀπὸ δὲ τῶν ΕΖ, ΖΦ ὅμοιά τε καὶ ὁμοίωσ κείμενα [εὐθύγραμμα] τὰ ΔΕΖ, ΡΦΖ. ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΛΞΓ τρίγωνον, οὕτωσ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΡΦΖ τρίγωνον· ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡσ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΔΕΖ [τρίγωνον], οὕτωσ τὸ ΛΞΓ [τρίγωνον] πρὸσ τὸ ΡΦΖ τρίγωνον. ἀλλ’ ὡσ τὸ ΛΞΓ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΡΦΖ τρίγωνον, οὕτωσ τὸ πρίσμα, οὗ βάσισ μὲν [ἐστι] τὸ ΛΞΓ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΟΜΝ, πρὸσ τὸ πρίσμα, οὗ βάσισ μὲν τὸ ΡΦΖ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΣΤΥ· καὶ ὡσ ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον, οὕτωσ τὸ πρίσμα, οὗ βάσισ μὲν τὸ ΛΞΓ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΟΜΝ, πρὸσ τὸ πρίσμα, οὗ βάσισ μὲν τὸ ΡΦΖ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΣΤΥ. ὡσ δὲ τὰ εἰρημένα πρίσματα πρὸσ ἄλληλα, οὕτωσ τὸ πρίσμα, οὗ βάσισ μὲν τὸ ΚΒΞΛ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ ἡ ΟΜ εὐθεῖα, πρὸσ τὸ πρίσμα, οὗ βάσισ μὲν τὸ ΠΕΦΡ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ ἡ ΣΤ εὐθεῖα. καὶ τὰ δύο ἄρα πρίσματα, οὗ τε βάσισ μὲν τὸ ΚΒΞΛ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ ἡ ΟΜ, καὶ οὗ βάσισ μὲν τὸ ΛΞΓ, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΟΜΝ, πρὸσ τὰ πρίσματα, οὗ τε βάσισ μὲν τὸ ΠΕΦΡ, ἀπεναντίον δὲ ἡ ΣΤ εὐθεῖα, καὶ οὗ βάσισ μὲν τὸ ΡΦΖ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΣΤΥ. καὶ ὡσ ἄρα ἡ ΑΒΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτωσ τὰ εἰρημένα δύο πρίσματα πρὸσ τὰ εἰρημένα δύο πρίσματα. Καὶ ὁμοίωσ, ἐὰν διαιρεθῶσιν αἱ ΟΜΝΗ, ΣΤΥΘ πυραμίδεσ εἴσ τε δύο πρίσματα καὶ δύο πυραμίδασ, ἔσται ὡσ ἡ ΟΜΝ βάσισ πρὸσ τὴν ΣΤΥ βάσιν, οὕτωσ τὰ ἐν τῇ ΟΜ ΝΗ πυραμίδι δύο πρίσματα πρὸσ τὰ ἐν τῇ ΣΤΥΘ πυραμίδι δύο πρίσματα. ἀλλ’ ὡσ ἡ ΟΜΝ βάσισ πρὸσ τὴν ΣΤΥ βάσιν, οὕτωσ ἡ ΑΒΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΔΕΖ βάσιν· ἴσον γὰρ ἑκάτερον τῶν ΟΜΝ, ΣΤΥ τριγώνων ἑκατέρῳ τῶν ΛΞΓ, ΡΦΖ. καὶ ὡσ ἄρα ἡ ΑΒΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτωσ τὰ τέσσαρα πρίσματα πρὸσ τὰ τέσσαρα πρίσματα. ὁμοίωσ δὲ κἂν τὰσ ὑπολειπομένασ πυραμίδασ διέλωμεν εἴσ τε δύο πυραμίδασ καὶ εἰσ δύο πρίσματα, ἔσται ὡσ ἡ ΑΒΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτωσ τὰ ἐν τῇ ΑΒ ΓΗ πυραμίδι πρίσματα πάντα πρὸσ τὰ ἐν τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι πρίσματα πάντα ἰσοπληθῆ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Λῆμμα Ὅτι δέ ἐστιν ὡσ τὸ ΛΞΓ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΡΦΖ τρίγωνον, οὕτωσ τὸ πρίσμα, οὗ βάσισ τὸ ΛΞΓ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΟΜΝ, πρὸσ τὸ πρίσμα, οὗ βάσισ μὲν τὸ ΡΦΖ [τρίγωνον], ἀπεναντίον δὲ τὸ ΣΤΥ, οὕτω δεικτέον. Ἐπὶ γὰρ τῆσ αὐτῆσ καταγραφῆσ νενοήσθωσαν ἀπὸ τῶν Η, Θ κάθετοι ἐπὶ τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ ἐπίπεδα, ἴσαι δηλαδὴ τυγχάνουσαι διὰ τὸ ἰσοϋψεῖσ ὑποκεῖσθαι τὰσ πυραμίδασ. καὶ ἐπεὶ δύο εὐθεῖαι ἥ τε ΗΓ καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Η κάθετοσ ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων τῶν ΑΒΓ, ΟΜΝ τέμνονται, εἰσ τοὺσ αὐτοὺσ λόγουσ τμηθήσονται. καὶ τέτμηται ἡ ΗΓ δίχα ὑπὸ τοῦ ΟΜΝ ἐπιπέδου κατὰ τὸ Ν· καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Η ἄρα κάθετοσ ἐπὶ τὸ ΑΒΓ ἐπίπεδον δίχα τμηθήσεται ὑπὸ τοῦ ΟΜΝ ἐπιπέδου. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Θ κάθετοσ ἐπὶ τὸ ΔΕΖ ἐπίπεδον δίχα τμηθήσεται ὑπὸ τοῦ ΣΤΥ ἐπιπέδου. καί εἰσιν ἴσαι αἱ ἀπὸ τῶν Η, Θ κάθετοι ἐπὶ τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ ἐπίπεδα· ἴσαι ἄρα καὶ αἱ ἀπὸ τῶν ΟΜΝ, ΣΤΥ τριγώνων ἐπὶ τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ κάθετοι. ἰσοϋψῆ ἄρα [ἐστὶ] τὰ πρίσματα, ὧν βάσεισ μέν εἰσι τὰ ΛΞΓ, ΡΦΖ τρίγωνα, ἀπεναντίον δὲ τὰ ΟΜΝ, ΣΤΥ. ὥστε καὶ τὰ στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ ἀπὸ τῶν εἰρημένων πρισμάτων ἀναγραφόμενα ἰσοϋψῆ καὶ πρὸσ ἄλληλα [εἰσὶν] ὡσ αἱ βάσεισ· καὶ τὰ ἡμίση ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΛΞΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΡΦΖ βάσιν, οὕτωσ τὰ εἰρημένα πρίσματα πρὸσ ἄλληλα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Αἱ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψοσ οὖσαι πυραμίδεσ καὶ τριγώνουσ ἔχουσαι βάσεισ πρὸσ ἀλλήλασ εἰσὶν ὡσ αἱ βάσεισ. Ἔστωσαν ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψοσ πυραμίδεσ, ὧν βάσεισ μὲν τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ τρίγωνα, κορυφαὶ δὲ τὰ Η, Θ σημεῖα· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡσ ἡ ΑΒΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτωσ ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶσ πρὸσ τὴν ΔΕΖΘ πυραμίδα. Εἰ γὰρ μή ἐστιν ὡσ ἡ ΑΒΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτωσ ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶσ πρὸσ τὴν ΔΕΖΘ πυραμίδα, ἔσται ὡσ ἡ ΑΒΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτωσ ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶσ ἤτοι πρὸσ ἔλασσόν τι τῆσ ΔΕΖΘ πυραμίδοσ στερεὸν ἢ πρὸσ μεῖζον. ἔστω πρότερον πρὸσ ἔλασσον τὸ Χ, καὶ διῃρήσθω ἡ ΔΕΖΘ πυραμὶσ εἴσ τε δύο πυραμίδασ ἴσασ ἀλλήλαισ καὶ ὁμοίασ τῇ ὅλῃ καὶ εἰσ δύο πρίσματα ἴσα· τὰ δὴ δύο πρίσματα μείζονά ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τῆσ ὅλησ πυραμίδοσ. καὶ πάλιν αἱ ἐκ τῆσ διαιρέσεωσ γινόμεναι πυραμίδεσ ὁμοίωσ διῃρήσθωσαν, καὶ τοῦτο ἀεὶ γινέσθω, ἑώσ οὗ λειφθῶσί τινεσ πυραμίδεσ ἀπὸ τῆσ ΔΕΖΘ πυραμίδοσ, αἵ εἰσιν ἐλάττονεσ τῆσ ὑπεροχῆσ, ᾗ ὑπερέχει ἡ ΔΕ ΖΘ πυραμὶσ τοῦ Χ στερεοῦ. λελείφθωσαν καὶ ἔστωσαν λόγου ἕνεκεν αἱ ΔΠΡΣ, ΣΤΥΘ· λοιπὰ ἄρα τὰ ἐν τῇ ΔΕ ΖΘ πυραμίδι πρίσματα μείζονά ἐστι τοῦ Χ στερεοῦ. διῃρήσθω καὶ ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶσ ὁμοίωσ καὶ ἰσοπληθῶσ τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι· ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΑΒΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτωσ τὰ ἐν τῇ ΑΒΓΗ πυραμίδι πρίσματα πρὸσ τὰ ἐν τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι πρίσματα. ἀλλὰ καὶ ὡσ ἡ ΑΒΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτωσ ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶσ πρὸσ τὸ Χ στερεόν· καὶ ὡσ ἄρα ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶσ πρὸσ τὸ Χ στερεόν, οὕτωσ τὰ ἐν τῇ ΑΒΓΗ πυραμίδι πρίσματα πρὸσ τὰ ἐν τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι πρίσματα· ἐναλλὰξ ἄρα ὡσ ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶσ πρὸσ τὰ ἐν αὐτῇ πρίσματα, οὕτωσ τὸ Χ στερεὸν πρὸσ τὰ ἐν τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι πρίσματα. μείζων δὲ ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶσ τῶν ἐν αὐτῇ πρισμάτων· μεῖζον ἄρα καὶ τὸ Χ στερεὸν τῶν ἐν τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι πρισμάτων. ἀλλὰ καὶ ἔλαττον· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΑΒΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτωσ ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶσ πρὸσ ἔλασσόν τι τῆσ ΔΕΖΘ πυραμίδοσ στερεόν. ὁμοίωσ δὴ δειχθήσεται, ὅτι οὐδὲ ὡσ ἡ ΔΕΖ βάσισ πρὸσ τὴν ΑΒΓ βάσιν, οὕτωσ ἡ ΔΕΖΘ πυραμὶσ πρὸσ ἔλαττόν τι τῆσ ΑΒΓΗ πυραμίδοσ στερεόν. Λέγω δή, ὅτι οὐκ ἔστιν οὐδὲ ὡσ ἡ ΑΒΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτωσ ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶσ πρὸσ μεῖζόν τι τῆσ ΔΕΖΘ πυραμίδοσ στερεόν. Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω πρὸσ μεῖζον τὸ Χ· ἀνάπαλιν ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΔΕΖ βάσισ πρὸσ τὴν ΑΒΓ βάσιν, οὕτωσ τὸ Χ στερεὸν πρὸσ τὴν ΑΒΓΗ πυραμίδα. ὡσ δὲ τὸ Χ στερεὸν πρὸσ τὴν ΑΒΓΗ πυραμίδα, οὕτωσ ἡ ΔΕΖΘ πυραμὶσ πρὸσ ἔλασσόν τι τῆσ ΑΒΓΗ πυραμίδοσ, ὡσ ἔμπροσθεν ἐδείχθη· καὶ ὡσ ἄρα ἡ ΔΕΖ βάσισ πρὸσ τὴν ΑΒΓ βάσιν, οὕτωσ ἡ ΔΕΖΘ πυραμὶσ πρὸσ ἔλασσόν τι τῆσ ΑΒΓΗ πυραμίδοσ· ὅπερ ἄτοπον ἐδείχθη. οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΑΒΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτωσ ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶσ πρὸσ μεῖζόν τι τῆσ ΔΕΖΘ πυραμίδοσ στερεόν. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ πρὸσ ἔλασσον. ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΑΒΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτωσ ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶσ πρὸσ τὴν ΔΕΖΘ πυραμίδα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Αἱ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψοσ οὖσαι πυραμίδεσ καὶ πολυγώνουσ ἔχουσαι βάσεισ πρὸσ ἀλλήλασ εἰσὶν ὡσ αἱ βάσεισ. Ἔστωσαν ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψοσ πυραμίδεσ, ὧν [αἱ] βάσεισ μὲν τὰ ΑΒΓΔΕ, ΖΗΘΚΛ πολύγωνα, κορυφαὶ δὲ τὰ Μ, Ν σημεῖα· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡσ ἡ ΑΒΓΔΕ βάσισ πρὸσ τὴν ΖΗΘΚΛ βάσιν, οὕτωσ ἡ ΑΒΓΔΕΜ πυραμὶσ πρὸσ τὴν ΖΗΘΚΛΝ πυραμίδα. Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΓ, ΑΔ, ΖΘ, ΖΚ. ἐπεὶ οὖν δύο πυραμίδεσ εἰσὶν αἱ ΑΒΓΜ, ΑΓΔΜ τριγώνουσ ἔχουσαι βάσεισ καὶ ὕψοσ ἴσον, πρὸσ ἀλλήλασ εἰσὶν ὡσ αἱ βάσεισ· ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΑΒΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΑΓΔ βάσιν, οὕτωσ ἡ ΑΒΓΜ πυραμὶσ πρὸσ τὴν ΑΓΔΜ πυραμίδα. καὶ συνθέντι ὡσ ἡ ΑΒΓΔ βάσισ πρὸσ τὴν ΑΓΔ βάσιν, οὕτωσ ἡ ΑΒΓΔΜ πυραμὶσ πρὸσ τὴν ΑΓΔΜ πυραμίδα. ἀλλὰ καὶ ὡσ ἡ ΑΓΔ βάσισ πρὸσ τὴν ΑΔΕ βάσιν, οὕτωσ ἡ ΑΓΔΜ πυραμὶσ πρὸσ τὴν ΑΔΕΜ πυραμίδα. δι’ ἴσου ἄρα ὡσ ἡ ΑΒΓΔ βάσισ πρὸσ τὴν ΑΔΕ βάσιν, οὕτωσ ἡ ΑΒΓΔΜ πυραμὶσ πρὸσ τὴν ΑΔΕΜ πυραμίδα. καὶ συνθέντι πάλιν, ὡσ ἡ ΑΒΓΔΕ βάσισ πρὸσ τὴν ΑΔΕ βάσιν, οὕτωσ ἡ ΑΒΓΔΕΜ πυραμὶσ πρὸσ τὴν ΑΔΕΜ πυραμίδα. ὁμοίωσ δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ ὡσ ἡ ΖΗΘΚΛ βάσισ πρὸσ τὴν ΖΗΘ βάσιν, οὕτωσ καὶ ἡ ΖΗΘΚΛΝ πυραμὶσ πρὸσ τὴν ΖΗΘΝ πυραμίδα. καὶ ἐπεὶ δύο πυραμίδεσ εἰσὶν αἱ ΑΔ ΕΜ, ΖΗΘΝ τριγώνουσ ἔχουσαι βάσεισ καὶ ὕψοσ ἴσον, ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΑΔΕ βάσισ πρὸσ τὴν ΖΗΘ βάσιν, οὕτωσ ἡ ΑΔΕΜ πυραμὶσ πρὸσ τὴν ΖΗΘΝ πυραμίδα. ἀλλ’ ὡσ ἡ ΑΔΕ βάσισ πρὸσ τὴν ΑΒΓΔΕ βάσιν, οὕτωσ ἦν ἡ ΑΔ ΕΜ πυραμὶσ πρὸσ τὴν ΑΒΓΔΕΜ πυραμίδα. καὶ δι’ ἴσου ἄρα ὡσ ἡ ΑΒΓΔΕ βάσισ πρὸσ τὴν ΖΗΘ βάσιν, οὕτωσ ἡ ΑΒΓΔΕΜ πυραμὶσ πρὸσ τὴν ΖΗΘΝ πυραμίδα. ἀλλὰ μὴν καὶ ὡσ ἡ ΖΗΘ βάσισ πρὸσ τὴν ΖΗΘΚΛ βάσιν, οὕτωσ ἦν καὶ ἡ ΖΗΘΝ πυραμὶσ πρὸσ τὴν ΖΗΘΚΛΝ πυραμίδα. καὶ δι’ ἴσου ἄρα ὡσ ἡ ΑΒΓΔΕ βάσισ πρὸσ τὴν ΖΗΘΚΛ βάσιν, οὕτωσ ἡ ΑΒΓΔΕΜ πυραμὶσ πρὸσ τὴν ΖΗΘΚΛΝ πυραμίδα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Πᾶν πρίσμα τρίγωνον ἔχον βάσιν διαιρεῖται εἰσ τρεῖσ πυραμίδασ ἴσασ ἀλλήλαισ τριγώνουσ βάσεισ ἐχούσασ. Ἔστω πρίσμα, οὗ βάσισ μὲν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΔΕΖ· λέγω, ὅτι τὸ ΑΒΓΔΕΖ πρίσμα διαιρεῖται εἰσ τρεῖσ πυραμίδασ ἴσασ ἀλλήλαισ τριγώνουσ ἐχούσασ βάσεισ. Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΔ, ΕΓ, ΓΔ. ἐπεὶ παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ΑΒΕΔ, διάμετροσ δὲ αὐτοῦ ἐστιν ἡ ΒΔ, ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΕΒΔ τριγώνῳ· καὶ ἡ πυραμὶσ ἄρα, ἧσ βάσισ μὲν τὸ ΑΒΔ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον, ἴση ἐστὶ πυραμίδι, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΔΕΒ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον. ἀλλὰ ἡ πυραμίσ, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΔΕΒ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον, ἡ αὐτή ἐστι πυραμίδι, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΕΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον· ὑπὸ γὰρ τῶν αὐτῶν ἐπιπέδων περιέχεται. καὶ πυραμὶσ ἄρα, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΑΒΔ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον, ἴση ἐστὶ πυραμίδι, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΕΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον. πάλιν, ἐπεὶ παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ΖΓΒΕ, διάμετροσ δέ ἐστιν αὐτοῦ ἡ ΓΕ, ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΕΖ τρίγωνον τῷ ΓΒΕ τριγώνῳ. καὶ πυραμὶσ ἄρα, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΒΓΕ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον, ἴση ἐστὶ πυραμίδι, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΕΓΖ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον. ἡ δὲ πυραμίσ, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΒΓΕ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον, ἴση ἐδείχθη πυραμίδι, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΑΒΔ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον· καὶ πυραμὶσ ἄρα, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΓΕΖ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον, ἴση ἐστὶ πυραμίδι, ἧσ βάσισ μὲν [ἐστι] τὸ ΑΒΔ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον· διῄρηται ἄρα τὸ ΑΒΓΔΕΖ πρίσμα εἰσ τρεῖσ πυραμίδασ ἴσασ ἀλλήλαισ τριγώνουσ ἐχούσασ βάσεισ. Καὶ ἐπεὶ πυραμίσ, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΑΒΔ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον, ἡ αὐτή ἐστι πυραμίδι, ἧσ βάσισ τὸ ΓΑΒ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον· ὑπὸ γὰρ τῶν αὐτῶν ἐπιπέδων περιέχονται· ἡ δὲ πυραμίσ, ἧσ βάσισ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον, τρίτον ἐδείχθη τοῦ πρίσματοσ, οὗ βάσισ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΔΕΖ, καὶ ἡ πυραμὶσ ἄρα, ἧσ βάσισ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον, τρίτον ἐστὶ τοῦ πρίσματοσ τοῦ ἔχοντοσ βάσιν τὴν αὐτὴν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΔΕΖ. Πόρισμα Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι πᾶσα πυραμὶσ τρίτον μέροσ ἐστὶ τοῦ πρίσματοσ τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντοσ αὐτῇ καὶ ὕψοσ ἴσον [ἐπειδήπερ κἂν ἕτερόν τι σχῆμα εὐθύγραμμον ἔχῃ ἡ βάσισ τοῦ πρίσματοσ, τοιοῦτο καὶ τὸ ἀπεναντίον, καὶ διαιρεῖται εἰσ πρίσματα τρίγωνα ἔχοντα τὰσ βάσεισ καὶ τὰ ἀπεναντίον, καὶ ὡσ ἡ ὅλη βάσισ πρὸσ ἕκαστον]· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Αἱ ὅμοιαι πυραμίδεσ καὶ τριγώνουσ ἔχουσαι βάσεισ ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν. Ἔστωσαν ὅμοιαι καὶ ὁμοίωσ κείμεναι πυραμίδεσ, ὧν βάσεισ μέν εἰσι τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ τρίγωνα, κορυφαὶ δὲ τὰ Η, Θ σημεῖα· λέγω, ὅτι ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶσ πρὸσ τὴν ΔΕΖΘ πυραμίδα τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΕΖ. Συμπεπληρώσθω γὰρ τὰ ΒΗΜΛ, ΕΘΠΟ στερεὰ παραλληλεπίπεδα. καὶ ἐπεὶ ὁμοία ἐστὶν ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶσ τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ γωνίᾳ, ἡ δὲ ὑπὸ ΗΒΓ τῇ ὑπὸ ΘΕΖ, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΒΗ τῇ ὑπὸ ΔΕΘ, καί ἐστιν ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΔΕ, οὕτωσ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΕΖ, καὶ ἡ ΒΗ πρὸσ τὴν ΕΘ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΔΕ, οὕτωσ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΕΖ, καὶ περὶ ἴσασ γωνίασ αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν, ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΜ παραλληλόγραμμον τῷ ΕΠ παραλληλογράμμῳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ μὲν ΒΝ τῷ ΕΡ ὅμοιόν ἐστι, τὸ δὲ ΒΚ τῷ ΕΞ· τὰ τρία ἄρα τὰ ΜΒ, ΒΚ, ΒΝ τρισὶ τοῖσ ΕΠ, ΕΞ, ΕΡ ὅμοιά ἐστιν. ἀλλὰ τὰ μὲν τρία τὰ ΜΒ, ΒΚ, ΒΝ τρισὶ τοῖσ ἀπεναντίον ἴσα τε καὶ ὅμοιά ἐστιν, τὰ δὲ τρία τὰ ΕΠ, ΕΞ, ΕΡ τρισὶ τοῖσ ἀπεναντίον ἴσα τε καὶ ὅμοιά ἐστιν. τὰ ΒΗΜΛ, ΕΘΠΟ ἄρα στερεὰ ὑπὸ ὁμοίων ἐπιπέδων ἴσων τὸ πλῆθοσ περιέχεται. ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΗΜΛ στερεὸν τῷ ΕΘΠΟ στερεῷ. τὰ δὲ ὅμοια στερεὰ παραλληλεπίπεδα ἐν τριπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν. τὸ ΒΗΜΛ ἄρα στερεὸν πρὸσ τὸ ΕΘΠΟ στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογοσ πλευρὰ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ὁμόλογον πλευρὰν τὴν ΕΖ. ὡσ δὲ τὸ ΒΗΜΛ στερεὸν πρὸσ τὸ ΕΘΠΟ στερεόν, οὕτωσ ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶσ πρὸσ τὴν ΔΕΖΘ πυραμίδα, ἐπειδήπερ ἡ πυραμὶσ ἕκτον μέροσ ἐστὶ τοῦ στερεοῦ διὰ τὸ καὶ τὸ πρίσμα ἥμισυ ὂν τοῦ στερεοῦ παραλληλεπιπέδου τριπλάσιον εἶναι τῆσ πυραμίδοσ. καὶ ἡ ΑΒΓΗ ἄρα πυραμὶσ πρὸσ τὴν ΔΕΖΘ πυραμίδα τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΕΖ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Πόρισμα Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι καὶ αἱ πολυγώνουσ ἔχουσαι βάσεισ ὅμοιαι πυραμίδεσ πρὸσ ἀλλήλασ ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν. διαιρεθεισῶν γὰρ αὐτῶν εἰσ τὰσ ἐν αὐταῖσ πυραμίδασ τριγώνουσ βάσεισ ἐχούσασ τῷ καὶ τὰ ὅμοια πολύγωνα τῶν βάσεων εἰσ ὅμοια τρίγωνα διαιρεῖσθαι καὶ ἴσα τῷ πλήθει καὶ ὁμόλογα τοῖσ ὅλοισ ἔσται ὡσ [ἡ] ἐν τῇ ἑτέρᾳ μία πυραμὶσ τρίγωνον ἔχουσα βάσιν πρὸσ τὴν ἐν τῇ ἑτέρᾳ μίαν πυραμίδα τρίγωνον ἔχουσαν βάσιν, οὕτωσ καὶ ἅπασαι αἱ ἐν τῇ ἑτέρᾳ πυραμίδι πυραμίδεσ τριγώνουσ ἔχουσαι βάσεισ πρὸσ τὰσ ἐν τῇ ἑτέρᾳ πυραμίδι πυραμίδασ τριγώνουσ βάσεισ ἐχούσασ, τουτέστιν αὐτὴ ἡ πολύγωνον βάσιν ἔχουσα πυραμὶσ πρὸσ τὴν πολύγωνον βάσιν ἔχουσαν πυραμίδα. ἡ δὲ τρίγωνον βάσιν ἔχουσα πυραμὶσ πρὸσ τὴν τρίγωνον βάσιν ἔχουσαν ἐν τριπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν· καὶ ἡ πολύγωνον ἄρα βάσιν ἔχουσα πρὸσ τὴν ὁμοίαν βάσιν ἔχουσαν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ πλευρὰ πρὸσ τὴν πλευράν. Τῶν ἴσων πυραμίδων καὶ τριγώνουσ βάσεισ ἐχουσῶν ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεισ τοῖσ ὕψεσιν· καὶ ὧν πυραμίδων τριγώνουσ βάσεισ ἐχουσῶν ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεισ τοῖσ ὕψεσιν, ἴσαι εἰσὶν ἐκεῖναι. Ἔστωσαν γὰρ ἴσαι πυραμίδεσ τριγώνουσ βάσεισ ἔχουσαι τὰσ ΑΒΓ, ΔΕΖ, κορυφὰσ δὲ τὰ Η, Θ σημεῖα· λέγω, ὅτι τῶν ΑΒΓΗ, ΔΕΖΘ πυραμίδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεισ τοῖσ ὕψεσιν, καί ἐστιν ὡσ ἡ ΑΒΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτωσ τὸ τῆσ ΔΕΖΘ πυραμίδοσ ὕψοσ πρὸσ τὸ τῆσ ΑΒΓΗ πυραμίδοσ ὕψοσ. Συμπεπληρώσθω γὰρ τὰ ΒΗΜΛ, ΕΘΠΟ στερεὰ παραλληλεπίπεδα. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶσ τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι, καί ἐστι τῆσ μὲν ΑΒΓΗ πυραμίδοσ ἑξαπλάσιον τὸ ΒΗ ΜΛ στερεόν, τῆσ δὲ ΔΕΖΘ πυραμίδοσ ἑξαπλάσιον τὸ ΕΘΠΟ στερεόν, ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΗΜΛ στερεὸν τῷ ΕΘΠΟ στερεῷ. τῶν δὲ ἴσων στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεισ τοῖσ ὕψεσιν· ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΒΜ βάσισ πρὸσ τὴν ΕΠ βάσιν, οὕτωσ τὸ τοῦ ΕΘΠΟ στερεοῦ ὕψοσ πρὸσ τὸ τοῦ ΒΗΜΛ στερεοῦ ὕψοσ. ἀλλ’ ὡσ ἡ ΒΜ βάσισ πρὸσ τὴν ΕΠ, οὕτωσ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον. καὶ ὡσ ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον, οὕτωσ τὸ τοῦ ΕΘΠΟ στερεοῦ ὕψοσ πρὸσ τὸ τοῦ ΒΗΜΛ στερεοῦ ὕψοσ. ἀλλὰ τὸ μὲν τοῦ ΕΘΠΟ στερεοῦ ὕψοσ τὸ αὐτό ἐστι τῷ τῆσ ΔΕΖΘ πυραμίδοσ ὕψει, τὸ δὲ τοῦ ΒΗΜΛ στερεοῦ ὕψοσ τὸ αὐτό ἐστι τῷ τῆσ ΑΒΓΗ πυραμίδοσ ὕψει· ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΑΒΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτωσ τὸ τῆσ ΔΕΖΘ πυραμίδοσ ὕψοσ πρὸσ τὸ τῆσ ΑΒΓΗ πυραμίδοσ ὕψοσ. τῶν ΑΒΓΗ, ΔΕΖΘ ἄρα πυραμίδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεισ τοῖσ ὕψεσιν. Ἀλλὰ δὴ τῶν ΑΒΓΗ, ΔΕΖΘ πυραμίδων ἀντιπεπονθέτωσαν αἱ βάσεισ τοῖσ ὕψεσιν, καὶ ἔστω ὡσ ἡ ΑΒΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτωσ τὸ τῆσ ΔΕΖΘ πυραμίδοσ ὕψοσ πρὸσ τὸ τῆσ ΑΒΓΗ πυραμίδοσ ὕψοσ· λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶσ τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι. Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ ΑΒΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτωσ τὸ τῆσ ΔΕΖΘ πυραμίδοσ ὕψοσ πρὸσ τὸ τῆσ ΑΒΓΗ πυραμίδοσ ὕψοσ, ἀλλ’ ὡσ ἡ ΑΒΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτωσ τὸ ΒΜ παραλληλόγραμμον πρὸσ τὸ ΕΠ παραλληλόγραμμον, καὶ ὡσ ἄρα τὸ ΒΜ παραλληλόγραμμον πρὸσ τὸ ΕΠ παραλληλόγραμμον, οὕτωσ τὸ τῆσ ΔΕΖΘ πυραμίδοσ ὕψοσ πρὸσ τὸ τῆσ ΑΒΓΗ πυραμίδοσ ὕψοσ. ἀλλὰ τὸ [μὲν] τῆσ ΔΕΖΘ πυραμίδοσ ὕψοσ τὸ αὐτό ἐστι τῷ τοῦ ΕΘΠΟ παραλληλεπιπέδου ὕψει, τὸ δὲ τῆσ ΑΒΓΗ πυραμίδοσ ὕψοσ τὸ αὐτό ἐστι τῷ τοῦ ΒΗΜΛ παραλληλεπιπέδου ὕψει· ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΒΜ βάσισ πρὸσ τὴν ΕΠ βάσιν, οὕτωσ τὸ τοῦ ΕΘΠΟ παραλληλεπιπέδου ὕψοσ πρὸσ τὸ τοῦ ΒΗΜΛ παραλληλεπιπέδου ὕψοσ. ὧν δὲ στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεισ τοῖσ ὕψεσιν, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΗΜΛ στερεὸν παραλληλεπίπεδον τῷ ΕΘ ΠΟ στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ. καί ἐστι τοῦ μὲν ΒΗΜΛ ἕκτον μέροσ ἡ ΑΒΓΗ πυραμίσ, τοῦ δὲ ΕΘΠΟ παραλληλεπιπέδου ἕκτον μέροσ ἡ ΔΕΖΘ πυραμίσ· ἴση ἄρα ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶσ τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι. Τῶν ἄρα ἴσων πυραμίδων καὶ τριγώνουσ βάσεισ ἐχουσῶν ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεισ τοῖσ ὕψεσιν· καὶ ὧν πυραμίδων τριγώνουσ βάσεισ ἐχουσῶν ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεισ τοῖσ ὕψεσιν, ἴσαι εἰσὶν ἐκεῖναι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Πᾶσ κῶνοσ κυλίνδρου τρίτον μέροσ ἐστὶ τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντοσ αὐτῷ καὶ ὕψοσ ἴσον. Ἐχέτω γὰρ κῶνοσ κυλίνδρῳ βάσιν τε τὴν αὐτὴν τὸν ΑΒΓΔ κύκλον καὶ ὕψοσ ἴσον· λέγω, ὅτι ὁ κῶνοσ τοῦ κυλίνδρου τρίτον ἐστὶ μέροσ, τουτέστιν ὅτι ὁ κύλινδροσ τοῦ κώνου τριπλασίων ἐστίν. Εἰ γὰρ μή ἐστιν ὁ κύλινδροσ τοῦ κώνου τριπλασίων, ἔσται ὁ κύλινδροσ τοῦ κώνου ἤτοι μείζων ἢ τριπλασίων ἢ ἐλάσσων ἢ τριπλασίων. ἔστω πρότερον μείζων ἢ τριπλασίων, καὶ ἐγγεγράφθω εἰσ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τετράγωνον τὸ ΑΒΓΔ· τὸ δὴ ΑΒΓΔ τετράγωνον μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου. καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ ΑΒΓΔ τετραγώνου πρίσμα ἰσουψὲσ τῷ κυλίνδρῳ. τὸ δὴ ἀνιστάμενον πρίσμα μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ κυλίνδρου, ἐπειδήπερ κἂν περὶ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τετράγωνον περιγράψωμεν, τὸ ἐγγεγραμμένον εἰσ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τετράγωνον ἥμισύ ἐστι τοῦ περιγεγραμμένου· καί ἐστι τὰ ἀπ’ αὐτῶν ἀνιστάμενα στερεὰ παραλληλεπίπεδα πρίσματα ἰσοϋψῆ· τὰ δὲ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψοσ ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα πρὸσ ἄλληλά ἐστιν ὡσ αἱ βάσεισ· καὶ τὸ ἐπὶ τοῦ ΑΒΓΔ ἄρα τετραγώνου ἀνασταθὲν πρίσμα ἥμισύ ἐστι τοῦ ἀνασταθέντοσ πρίσματοσ ἀπὸ τοῦ περὶ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον περιγραφέντοσ τετραγώνου· καί ἐστιν ὁ κύλινδροσ ἐλάττων τοῦ πρίσματοσ τοῦ ἀνασταθέντοσ ἀπὸ τοῦ περὶ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον περιγραφέντοσ τετραγώνου· τὸ ἄρα πρίσμα τὸ ἀνασταθὲν ἀπὸ τοῦ ΑΒΓΔ τετραγώνου ἰσοϋψὲσ τῷ κυλίνδρῳ μεῖζόν ἐστι τοῦ ἡμίσεωσ τοῦ κυλίνδρου. τετμήσθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ Ε, Ζ, Η, Θ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ, ΕΒ, ΒΖ, ΖΓ, ΓΗ, ΗΔ, ΔΘ, ΘΑ· καὶ ἕκαστον ἄρα τῶν ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ, ΔΘΑ τριγώνων μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ καθ’ ἑαυτὸ τμήματοσ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου, ὡσ ἔμπροσθεν ἐδείκνυμεν. ἀνεστάτω ἐφ’ ἑκάστου τῶν ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ, ΔΘΑ τριγώνων πρίσματα ἰσουψῆ τῷ κυλίνδρῳ· καὶ ἕκαστον ἄρα τῶν ἀνασταθέντων πρισμάτων μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ μέροσ τοῦ καθ’ ἑαυτὸ τμήματοσ τοῦ κυλίνδρου, ἐπειδήπερ ἐὰν διὰ τῶν Ε, Ζ, Η, Θ σημείων παραλλήλουσ ταῖσ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ ἀγάγωμεν, καὶ συμπληρώσωμεν τὰ ἐπὶ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ παραλληλόγραμμα, καὶ ἀπ’ αὐτῶν ἀναστήσωμεν στερεὰ παραλληλεπίπεδα ἰσοϋψῆ τῷ κυλίνδρῳ, ἑκάστου τῶν ἀνασταθέντων ἡμίση ἐστὶ τὰ πρίσματα τὰ ἐπὶ τῶν ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ, ΔΘΑ τριγώνων· καί ἐστι τὰ τοῦ κυλίνδρου τμήματα ἐλάττονα τῶν ἀνασταθέντων στερεῶν παραλληλεπιπέδων· ὥστε καὶ τὰ ἐπὶ τῶν ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ, ΔΘΑ τριγώνων πρίσματα μείζονά ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τῶν καθ’ ἑαυτὰ τοῦ κυλίνδρου τμημάτων. τέμνοντεσ δὴ τὰσ ὑπολειπομένασ περιφερείασ δίχα καὶ ἐπιζευγνύντεσ εὐθείασ καὶ ἀνιστάντεσ ἐφ’ ἑκάστου τῶν τριγώνων πρίσματα ἰσοϋψῆ τῷ κυλίνδρῳ καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιοῦντεσ καταλείψομέν τινα ἀποτμήματα τοῦ κυλίνδρου, ἃ ἔσται ἐλάττονα τῆσ ὑπεροχῆσ, ᾗ ὑπερέχει ὁ κύλινδροσ τοῦ τριπλασίου τοῦ κώνου. λελείφθω, καὶ ἔστω τὰ ΑΕ, ΕΒ, ΒΖ, ΖΓ, ΓΗ, ΗΔ, ΔΘ, ΘΑ· λοιπὸν ἄρα τὸ πρίσμα, οὗ βάσισ μὲν τὸ ΑΕΒΖ ΓΗΔΘ πολύγωνον, ὕψοσ δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ, μεῖζόν ἐστιν ἢ τριπλάσιον τοῦ κώνου. ἀλλὰ τὸ πρίσμα, οὗ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον, ὕψοσ δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ, τριπλάσιόν ἐστι τῆσ πυραμίδοσ, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ ἡ αὐτὴ τῷ κώνῳ· καὶ ἡ πυραμὶσ ἄρα, ἧσ βάσισ μὲν [ἐστι] τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ ἡ αὐτὴ τῷ κώνῳ, μείζων ἐστὶ τοῦ κώνου τοῦ βάσιν ἔχοντοσ τὸν ΑΒ ΓΔ κύκλον. ἀλλὰ καὶ ἐλάττων· ἐμπεριέχεται γὰρ ὑπ’ αὐτοῦ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἐστὶν ὁ κύλινδροσ τοῦ κώνου μείζων ἢ τριπλάσιοσ. Λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ἐλάττων ἐστὶν ἢ τριπλάσιοσ ὁ κύλινδροσ τοῦ κώνου. Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ἐλάττων ἢ τριπλάσιοσ ὁ κύλινδροσ τοῦ κώνου· ἀνάπαλιν ἄρα ὁ κῶνοσ τοῦ κυλίνδρου μείζων ἐστὶν ἢ τρίτον μέροσ. ἐγγεγράφθω δὴ εἰσ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τετράγωνον τὸ ΑΒΓΔ· τὸ ΑΒΓΔ ἄρα τετράγωνον μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου. καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ ΑΒΓΔ τετραγώνου πυραμὶσ τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσα τῷ κώνῳ· ἡ ἄρα ἀνασταθεῖσα πυραμὶσ μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ μέροσ τοῦ κώνου, ἐπειδήπερ, ὡσ ἔμπροσθεν ἐδείκνυμεν, ὅτι ἐὰν περὶ τὸν κύκλον τετράγωνον περιγράψωμεν, ἔσται τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον ἥμισυ τοῦ περὶ τὸν κύκλον περιγεγραμμένου τετραγώνου· καὶ ἐὰν ἀπὸ τῶν τετραγώνων στερεὰ παραλληλεπίπεδα ἀναστήσωμεν ἰσοϋψῆ τῷ κώνῳ, ἃ καὶ καλεῖται πρίσματα, ἔσται τὸ ἀνασταθὲν ἀπὸ τοῦ ΑΒΓΔ τετραγώνου ἥμισυ τοῦ ἀνασταθέντοσ ἀπὸ τοῦ περὶ τὸν κύκλον περιγραφέντοσ τετραγώνου· πρὸσ ἄλληλα γάρ εἰσιν ὡσ αἱ βάσεισ. ὥστε καὶ τὰ τρίτα· καὶ πυραμὶσ ἄρα, ἧσ βάσισ τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον, ἥμισύ ἐστι τῆσ πυραμίδοσ τῆσ ἀνασταθείσησ ἀπὸ τοῦ περὶ τὸν κύκλον περιγραφέντοσ τετραγώνου. καί ἐστι μείζων ἡ πυραμὶσ ἡ ἀνασταθεῖσα ἀπὸ τοῦ περὶ τὸν κύκλον τετραγώνου τοῦ κώνου· ἐμπεριέχει γὰρ αὐτόν. ἡ ἄρα πυραμὶσ, ἧσ βάσισ τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον, κορυφὴ δὲ ἡ αὐτὴ τῷ κώνῳ, μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ κώνου. τετμήσθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ Ε, Ζ, Η, Θ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ, ΕΒ, ΒΖ, ΖΓ, ΓΗ, ΗΔ, ΔΘ, ΘΑ· καὶ ἕκαστον ἄρα τῶν ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ, ΔΘΑ τριγώνων μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ μέροσ τοῦ καθ’ ἑαυτὸ τμήματοσ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου. καὶ ἀνεστάτωσαν ἐφ’ ἑκάστου τῶν ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ, ΔΘΑ τριγώνων πυραμίδεσ τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσαι τῷ κώνῳ· καὶ ἑκάστη ἄρα τῶν ἀνασταθεισῶν πυραμίδων κατὰ τὸν αὐτὸν τρόπον μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ μέροσ τοῦ καθ’ ἑαυτὴν τμήματοσ τοῦ κώνου. τέμνοντεσ δὴ τὰσ ὑπολειπομένασ περιφερείασ δίχα καὶ ἐπιζευγνύντεσ εὐθείασ καὶ ἀνιστάντεσ ἐφ’ ἑκάστου τῶν τριγώνων πυραμίδα τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσαν τῷ κώνῳ καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιοῦντεσ καταλείψομέν τινα ἀποτμήματα τοῦ κώνου, ἃ ἔσται ἐλάττονα τῆσ ὑπεροχῆσ, ᾗ ὑπερέχει ὁ κῶνοσ τοῦ τρίτου μέρουσ τοῦ κυλίνδρου. λελείφθω, καὶ ἔστω τὰ ἐπὶ τῶν ΑΕ, ΕΒ, ΒΖ, ΖΓ, ΓΗ, ΗΔ, ΔΘ, ΘΑ· λοιπὴ ἄρα ἡ πυραμίσ, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ ἡ αὐτὴ τῷ κώνῳ, μείζων ἐστὶν ἢ τρίτον μέροσ τοῦ κυλίνδρου. ἀλλ’ ἡ πυραμίσ, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΑΕΒΖΓ ΗΔΘ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ ἡ αὐτὴ τῷ κώνῳ, τρίτον ἐστὶ μέροσ τοῦ πρίσματοσ, οὗ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΑΕΒΖΓ ΗΔΘ πολύγωνον, ὕψοσ δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ· τὸ ἄρα πρίσμα, οὗ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον, ὕψοσ δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ, μεῖζόν ἐστι τοῦ κυλίνδρου, οὗ βάσισ ἐστὶν ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ. ἀλλὰ καὶ ἔλαττον· ἐμπεριέχεται γὰρ ὑπ’ αὐτοῦ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ὁ κύλινδροσ τοῦ κώνου ἐλάττων ἐστὶν ἢ τριπλάσιοσ. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ μείζων ἢ τριπλάσιοσ· τριπλάσιοσ ἄρα ὁ κύλινδροσ τοῦ κώνου· ὥστε ὁ κῶνοσ τρίτον ἐστὶ μέροσ τοῦ κυλίνδρου. Πᾶσ ἄρα κῶνοσ κυλίνδρου τρίτον μέροσ ἐστὶ τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντοσ αὐτῷ καὶ ὕψοσ ἴσον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Οἱ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψοσ ὄντεσ κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσὶν ὡσ αἱ βάσεισ. Ἔστωσαν ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψοσ κῶνοι καὶ κύλινδροι, ὧν βάσεισ μὲν [εἰσιν] οἱ ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ κύκλοι, ἄξονεσ δὲ οἱ ΚΛ, ΜΝ, διάμετροι δὲ τῶν βάσεων αἱ ΑΓ, ΕΗ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡσ ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ πρὸσ τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτωσ ὁ ΑΛ κῶνοσ πρὸσ τὸν ΕΝ κῶνον. Εἰ γὰρ μή, ἔσται ὡσ ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ πρὸσ τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτωσ ὁ ΑΛ κῶνοσ ἤτοι πρὸσ ἔλασσόν τι τοῦ ΕΝ κώνου στερεὸν ἢ πρὸσ μεῖζον. ἔστω πρότερον πρὸσ ἔλασσον τὸ Ξ, καὶ ᾧ ἔλασσόν ἐστι τὸ Ξ στερεὸν τοῦ ΕΝ κώνου, ἐκείνῳ ἴσον ἔστω τὸ Ψ στερεόν· ὁ ΕΝ κῶνοσ ἄρα ἴσοσ ἐστὶ τοῖσ Ξ, Ψ στερεοῖσ. ἐγγεγράφθω εἰσ τὸν ΕΖΗΘ κύκλον τετράγωνον τὸ ΕΖΗΘ· τὸ ἄρα τετράγωνον μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ κύκλου. ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ ΕΖ ΗΘ τετραγώνου πυραμὶσ ἰσοϋψὴσ τῷ κώνῳ· ἡ ἄρα ἀνασταθεῖσα πυραμὶσ μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ κώνου, ἐπειδήπερ ἐὰν περιγράψωμεν περὶ τὸν κύκλον τετράγωνον, καὶ ἀπ’ αὐτοῦ ἀναστήσωμεν πυραμίδα ἰσοϋψῆ τῷ κώνῳ, ἡ ἐγγραφεῖσα πυραμὶσ ἥμισύ ἐστι τῆσ περιγραφείσησ· πρὸσ ἀλλήλασ γάρ εἰσιν ὡσ αἱ βάσεισ· ἐλάττων δὲ ὁ κῶνοσ τῆσ περιγραφείσησ πυραμίδοσ. τετμήσθωσαν αἱ ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΕ περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ Ο, Π, Ρ, Σ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΟ, ΟΕ, ΕΠ, ΠΖ, ΖΡ, ΡΗ, ΗΣ, ΣΘ. ἕκαστον ἄρα τῶν ΘΟΕ, ΕΠΖ, ΖΡΗ, ΗΣΘ τριγώνων μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ καθ’ ἑαυτὸ τμήματοσ τοῦ κύκλου. ἀνεστάτω ἐφ’ ἑκάστου τῶν ΘΟΕ, ΕΠΖ, ΖΡΗ, ΗΣΘ τριγώνων πυραμὶσ ἰσοϋψὴσ τῷ κώνῳ· καὶ ἑκάστη ἄρα τῶν ἀνασταθεισῶν πυραμίδων μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ καθ’ ἑαυτὴν τμήματοσ τοῦ κώνου. τέμνοντεσ δὴ τὰσ ὑπολειπομένασ περιφερείασ δίχα καὶ ἐπιζευγνύντεσ εὐθείασ καὶ ἀνιστάντεσ ἐπὶ ἑκάστου τῶν τριγώνων πυραμίδασ ἰσοϋψεῖσ τῷ κώνῳ καὶ ἀεὶ τοῦτο ποιοῦντεσ καταλείψομέν τινα ἀποτμήματα τοῦ κώνου, ἃ ἔσται ἐλάσσονα τοῦ Ψ στερεοῦ. λελείφθω, καὶ ἔστω τὰ ἐπὶ τῶν ΘΟΕ, ΕΠΖ, ΖΡΗ, ΗΣΘ· λοιπὴ ἄρα ἡ πυραμίσ, ἧσ βάσισ τὸ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολύγωνον, ὕψοσ δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κώνῳ, μείζων ἐστὶ τοῦ Ξ στερεοῦ. ἐγγεγράφθω καὶ εἰσ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τῷ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολυγώνῳ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίωσ κείμενον πολύγωνον τὸ ΔΤΑΥΒ ΦΓΧ, καὶ ἀνεστάτω ἐπ’ αὐτοῦ πυραμὶσ ἰσοϋψὴσ τῷ ΑΛ κώνῳ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΓ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΕΗ, οὕτωσ τὸ ΔΤΑΥΒΦΓΧ πολύγωνον πρὸσ τὸ ΘΟΕ ΠΖΡΗΣ πολύγωνον, ὡσ δὲ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΓ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΕΗ, οὕτωσ ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ πρὸσ τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, καὶ ὡσ ἄρα ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ πρὸσ τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτωσ τὸ ΔΤΑΥΒΦΓΧ πολύγωνον πρὸσ τὸ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολύγωνον. ὡσ δὲ ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ πρὸσ τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτωσ ὁ ΑΛ κῶνοσ πρὸσ τὸ Ξ στερεόν, ὡσ δὲ τὸ ΔΤΑΥΒΦΓΧ πολύγωνον πρὸσ τὸ ΘΟΕΠΖ ΡΗΣ πολύγωνον, οὕτωσ ἡ πυραμίσ, ἧσ βάσισ μὲν τὸ ΔΤΑΥΒΦΓΧ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, πρὸσ τὴν πυραμίδα, ἧσ βάσισ μὲν τὸ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον. καὶ ὡσ ἄρα ὁ ΑΛ κῶνοσ πρὸσ τὸ Ξ στερεόν, οὕτωσ ἡ πυραμίσ, ἧσ βάσισ μὲν τὸ ΔΤΑΥΒΦΓΧ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, πρὸσ τὴν πυραμίδα, ἧσ βάσισ μὲν τὸ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον· ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡσ ὁ ΑΛ κῶνοσ πρὸσ τὴν ἐν αὐτῷ πυραμίδα, οὕτωσ τὸ Ξ στερεὸν πρὸσ τὴν ἐν τῷ ΕΝ κώνῳ πυραμίδα. μείζων δὲ ὁ ΑΛ κῶνοσ τῆσ ἐν αὐτῷ πυραμίδοσ· μεῖζον ἄρα καὶ τὸ Ξ στερεὸν τῆσ ἐν τῷ ΕΝ κώνῳ πυραμίδοσ. ἀλλὰ καὶ ἔλασσον· ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡσ ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ πρὸσ τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτωσ ὁ ΑΛ κῶνοσ πρὸσ ἔλασσόν τι τοῦ ΕΝ κώνου στερεόν. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδέ ἐστιν ὡσ ὁ ΕΖΗΘ κύκλοσ πρὸσ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, οὕτωσ ὁ ΕΝ κῶνοσ πρὸσ ἔλασσόν τι τοῦ ΑΛ κώνου στερεόν. Λέγω δή, ὅτι οὐδέ ἐστιν ὡσ ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ πρὸσ τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτωσ ὁ ΑΛ κῶνοσ πρὸσ μεῖζόν τι τοῦ ΕΝ κώνου στερεόν. Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω πρὸσ μεῖζον τὸ Ξ· ἀνάπαλιν ἄρα ἐστὶν ὡσ ὁ ΕΖΗΘ κύκλοσ πρὸσ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, οὕτωσ τὸ Ξ στερεὸν πρὸσ τὸν ΑΛ κῶνον. ἀλλ’ ὡσ τὸ Ξ στερεὸν πρὸσ τὸν ΑΛ κῶνον, οὕτωσ ὁ ΕΝ κῶνοσ πρὸσ ἔλασσόν τι τοῦ ΑΛ κώνου στερεόν· καὶ ὡσ ἄρα ὁ ΕΖΗΘ κύκλοσ πρὸσ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, οὕτωσ ὁ ΕΝ κῶνοσ πρὸσ ἔλασσόν τι τοῦ ΑΛ κώνου στερεόν· ὅπερ ἀδύνατον ἐδείχθη. οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡσ ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ πρὸσ τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτωσ ὁ ΑΛ κῶνοσ πρὸσ μεῖζόν τι τοῦ ΕΝ κώνου στερεόν. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ πρὸσ ἔλασσον· ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ πρὸσ τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτωσ ὁ ΑΛ κῶνοσ πρὸσ τὸν ΕΝ κῶνον. Ἀλλ’ ὡσ ὁ κῶνοσ πρὸσ τὸν κῶνον, ὁ κύλινδροσ πρὸσ τὸν κύλινδρον· τριπλασίων γὰρ ἑκάτεροσ ἑκατέρου. καὶ ὡσ ἄρα ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ πρὸσ τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτωσ οἱ ἐπ’ αὐτῶν ἰσοϋψεῖσ [τοῖσ κώνοισ] κύλινδροι. Οἱ ἄρα ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψοσ ὄντεσ κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσὶν ὡσ αἱ βάσεισ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Οἱ ὅμοιοι κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸσ ἀλλήλουσ ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ἐν ταῖσ βάσεσι διαμέτρων. Ἔστωσαν ὅμοιοι κῶνοι καὶ κύλινδροι, ὧν βάσεισ μὲν οἱ ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ κύκλοι, διάμετροι δὲ τῶν βάσεων αἱ ΒΔ, ΖΘ, ἄξονεσ δὲ τῶν κώνων καὶ κυλίνδρων οἱ ΚΛ, ΜΝ· λέγω, ὅτι ὁ κῶνοσ, οὗ βάσισ μὲν [ἐστιν] ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, πρὸσ τὸν κῶνον, οὗ βάσισ μὲν [ἐστιν] ὁ ΕΖΗΘ κύκλοσ, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον, τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΖΘ. Εἰ γὰρ μὴ ἔχει ὁ ΑΒΓΔΛ κῶνοσ πρὸσ τὸν ΕΖΗΘΝ κῶνον τριπλασίονα λόγον ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΖΘ, ἕξει ὁ ΑΒΓΔΛ κῶνοσ ἢ πρὸσ ἔλασσόν τι τοῦ ΕΖΗΘΝ κώνου στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἢ πρὸσ μεῖζον. ἐχέτω πρότερον πρὸσ ἔλασσον τὸ Ξ, καὶ ἐγγεγράφθω εἰσ τὸν ΕΖΗΘ κύκλον τετράγωνον τὸ ΕΖΗΘ· τὸ ἄρα ΕΖΗΘ τετράγωνον μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου. καὶ ἀνεστάτω ἐπὶ τοῦ ΕΖΗΘ τετραγώνου πυραμὶσ τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσα τῷ κώνῳ· ἡ ἄρα ἀνασταθεῖσα πυραμὶσ μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ μέροσ τοῦ κώνου. τετμήσθωσαν δὴ αἱ ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΕ περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ Ο, Π, Ρ, Σ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΟ, ΟΖ, ΖΠ, ΠΗ, ΗΡ, ΡΘ, ΘΣ, ΣΕ. καὶ ἕκαστον ἄρα τῶν ΕΟΖ, ΖΠΗ, ΗΡΘ, ΘΣΕ τριγώνων μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ μέροσ τοῦ καθ’ ἑαυτὸ τμήματοσ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου. καὶ ἀνεστάτω ἐφ’ ἑκάστου τῶν ΕΟΖ, ΖΠΗ, ΗΡΘ, ΘΣΕ τριγώνων πυραμὶσ τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσα τῷ κώνῳ· καὶ ἑκάστη ἄρα τῶν ἀνασταθεισῶν πυραμίδων μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ μέροσ τοῦ καθ’ ἑαυτὴν τμήματοσ τοῦ κώνου. τέμνοντεσ δὴ τὰσ ὑπολειπομένασ περιφερείασ δίχα καὶ ἐπιζευγνύντεσ εὐθείασ καὶ ἀνιστάντεσ ἐφ’ ἑκάστου τῶν τριγώνων πυραμίδασ τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἐχούσασ τῷ κώνῳ καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιοῦντεσ καταλείψομέν τινα ἀποτμήματα τοῦ κώνου, ἃ ἔσται ἐλάσσονα τῆσ ὑπεροχῆσ, ᾗ ὑπερέχει ὁ ΕΖΗΘΝ κῶνοσ τοῦ Ξ στερεοῦ. λελείφθω, καὶ ἔστω τὰ ἐπὶ τῶν ΕΟ, ΟΖ, ΖΠ, ΠΗ, ΗΡ, ΡΘ, ΘΣ, ΣΕ· λοιπὴ ἄρα ἡ πυραμίσ, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον, μείζων ἐστὶ τοῦ Ξ στερεοῦ. ἐγγεγράφθω καὶ εἰσ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τῷ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολυγώνῳ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίωσ κείμενον πολύγωνον τὸ ΑΤΒΥΓΦΔΧ, καὶ ἀνεστάτω ἐπὶ τοῦ ΑΤΒΥΓΦΔΧ πολυγώνου πυραμὶσ τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσα τῷ κώνῳ, καὶ τῶν μὲν περιεχόντων τὴν πυραμίδα, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΑΤΒΥ ΓΦΔΧ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, ἓν τρίγωνον ἔστω τὸ ΛΒΤ, τῶν δὲ περιεχόντων τὴν πυραμίδα, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον, ἓν τρίγωνον ἔστω τὸ ΝΖΟ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΤ, ΜΟ. καὶ ἐπεὶ ὅμοιόσ ἐστιν ὁ ΑΒΓΔΛ κῶνοσ τῷ ΕΖΗΘΝ κώνῳ, ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΖΘ, οὕτωσ ὁ ΚΛ ἄξων πρὸσ τὸν ΜΝ ἄξονα. ὡσ δὲ ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΖΘ, οὕτωσ ἡ ΒΚ πρὸσ τὴν ΖΜ· καὶ ὡσ ἄρα ἡ ΒΚ πρὸσ τὴν ΖΜ, οὕτωσ ἡ ΚΛ πρὸσ τὴν ΜΝ. καὶ ἐναλλὰξ ὡσ ἡ ΒΚ πρὸσ τὴν ΚΛ, οὕτωσ ἡ ΖΜ πρὸσ τὴν ΜΝ. καὶ περὶ ἴσασ γωνίασ τὰσ ὑπὸ ΒΚΛ, ΖΜΝ αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν· ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΚΛ τρίγωνον τῷ ΖΜΝ τριγώνῳ. πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ ΒΚ πρὸσ τὴν ΚΤ, οὕτωσ ἡ ΖΜ πρὸσ τὴν ΜΟ, καὶ περὶ ἴσασ γωνίασ τὰσ ὑπὸ ΒΚΤ, ΖΜΟ, ἐπειδήπερ, ὃ μέροσ ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΚΤ γωνία τῶν πρὸσ τῷ Κ κέντρῳ τεσσάρων ὀρθῶν, τὸ αὐτὸ μέροσ ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΜΟ γωνία τῶν πρὸσ τῷ Μ κέντρῳ τεσσάρων ὀρθῶν· ἐπεὶ οὖν περὶ ἴσασ γωνίασ αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν, ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΚΤ τρίγωνον τῷ ΖΜΟ τριγώνῳ. πάλιν, ἐπεὶ ἐδείχθη ὡσ ἡ ΒΚ πρὸσ τὴν ΚΛ, οὕτωσ ἡ ΖΜ πρὸσ τὴν ΜΝ, ἴση δὲ ἡ μὲν ΒΚ τῇ ΚΤ, ἡ δὲ ΖΜ τῇ ΟΜ, ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΤΚ πρὸσ τὴν ΚΛ, οὕτωσ ἡ ΟΜ πρὸσ τὴν ΜΝ. καὶ περὶ ἴσασ γωνίασ τὰσ ὑπὸ ΤΚΛ, ΟΜΝ· ὀρθαὶ γάρ· αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν· ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΚΤ τρίγωνον τῷ ΝΜΟ τριγώνῳ. καὶ ἐπεὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΛΚΒ, ΝΜΖ τριγώνων ἐστὶν ὡσ ἡ ΛΒ πρὸσ τὴν ΒΚ, οὕτωσ ἡ ΝΖ πρὸσ τὴν ΖΜ, διὰ δὲ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΒΚΤ, ΖΜΟ τριγώνων ἐστὶν ὡσ ἡ ΚΒ πρὸσ τὴν ΒΤ, οὕτωσ ἡ ΜΖ πρὸσ τὴν ΖΟ, δι’ ἴσου ἄρα ὡσ ἡ ΛΒ πρὸσ τὴν ΒΤ, οὕτωσ ἡ ΝΖ πρὸσ τὴν ΖΟ. πάλιν, ἐπεὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΛΤΚ, ΝΟΜ τριγώνων ἐστὶν ὡσ ἡ ΛΤ πρὸσ τὴν ΤΚ, οὕτωσ ἡ ΝΟ πρὸσ τὴν ΟΜ, διὰ δὲ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΤΚΒ, ΟΜΖ τριγώνων ἐστὶν ὡσ ἡ ΚΤ πρὸσ τὴν ΤΒ, οὕτωσ ἡ ΜΟ πρὸσ τὴν ΟΖ, δι’ ἴσου ἄρα ὡσ ἡ ΛΤ πρὸσ τὴν ΤΒ, οὕτωσ ἡ ΝΟ πρὸσ τὴν ΟΖ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡσ ἡ ΤΒ πρὸσ τὴν ΒΛ, οὕτωσ ἡ ΟΖ πρὸσ τὴν ΖΝ. δι’ ἴσου ἄρα ὡσ ἡ ΤΛ πρὸσ τὴν ΛΒ, οὕτωσ ἡ ΟΝ πρὸσ τὴν ΝΖ. τῶν ΛΤΒ, ΝΟΖ ἄρα τριγώνων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραί· ἰσογώνια ἄρα ἐστὶ τὰ ΛΤΒ, ΝΟΖ τρίγωνα· ὥστε καὶ ὅμοια. καὶ πυραμὶσ ἄρα, ἧσ βάσισ μὲν τὸ ΒΚΤ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, ὁμοία ἐστὶ πυραμίδι, ἧσ βάσισ μὲν τὸ ΖΜΟ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον· ὑπὸ γὰρ ὁμοίων ἐπιπέδων περιέχονται ἴσων τὸ πλῆθοσ. αἱ δὲ ὅμοιαι πυραμίδεσ καὶ τριγώνουσ ἔχουσαι βάσεισ ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν. ἡ ἄρα ΒΚΤΛ πυραμὶσ πρὸσ τὴν ΖΜΟΝ πυραμίδα τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΚ πρὸσ τὴν ΖΜ. ὁμοίωσ δὴ ἐπιζευγνύντεσ ἀπὸ τῶν Α, Χ, Δ, Φ, Γ, Υ ἐπὶ τὸ Κ εὐθείασ καὶ ἀπὸ τῶν Ε, Σ, Θ, Ρ, Η, Π ἐπὶ τὸ Μ καὶ ἀνιστάντεσ ἐφ’ ἑκάστου τῶν τριγώνων πυραμίδασ τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἐχούσασ τοῖσ κώνοισ δείξομεν, ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν ὁμοταγῶν πυραμίδων πρὸσ ἑκάστην ὁμοταγῆ πυραμίδα τριπλασίονα λόγον ἕξει ἤπερ ἡ ΒΚ ὁμόλογοσ πλευρὰ πρὸσ τὴν ΖΜ ὁμόλογον πλευράν, τουτέστιν ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΖΘ. καὶ ὡσ ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸσ ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτωσ ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸσ ἅπαντα τὰ ἑπόμενα· ἔστιν ἄρα καὶ ὡσ ἡ ΒΚΤΛ πυραμὶσ πρὸσ τὴν ΖΜΟΝ πυραμίδα, οὕτωσ ἡ ὅλη πυραμίσ, ἧσ βάσισ τὸ ΑΤΒΥΓΦΔΧ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, πρὸσ τὴν ὅλην πυραμίδα, ἧσ βάσισ μὲν τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον· ὥστε καὶ πυραμίσ, ἧσ βάσισ μὲν τὸ ΑΤΒΥΓΦΔΧ, κορυφὴ δὲ τὸ Λ, πρὸσ τὴν πυραμίδα, ἧσ βάσισ [μὲν] τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον, τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΖΘ. ὑπόκειται δὲ καὶ ὁ κῶνοσ, οὗ βάσισ [μὲν] ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, πρὸσ τὸ Ξ στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχων ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΖΘ· ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ κῶνοσ, οὗ βάσισ μέν ἐστιν ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ, κορυφὴ δὲ τὸ Λ, πρὸσ τὸ Ξ στερεόν, οὕτωσ ἡ πυραμίσ, ἧσ βάσισ μὲν τὸ ΑΤΒΥΓΦΔΧ [πολύγωνον], κορυφὴ δὲ τὸ Λ, πρὸσ τὴν πυραμίδα, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν· ἐναλλὰξ ἄρα, ὡσ ὁ κῶνοσ, οὗ βάσισ μὲν ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ, κορυφὴ δὲ τὸ Λ, πρὸσ τὴν ἐν αὐτῷ πυραμίδα, ἧσ βάσισ μὲν τὸ ΑΤΒΥΓΦΔΧ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Λ, οὕτωσ τὸ Ξ [στερεὸν] πρὸσ τὴν πυραμίδα, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν. μείζων δὲ ὁ εἰρημένοσ κῶνοσ τῆσ ἐν αὐτῷ πυραμίδοσ· ἐμπεριέχει γὰρ αὐτήν. μεῖζον ἄρα καὶ τὸ Ξ στερεὸν τῆσ πυραμίδοσ, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν. ἀλλὰ καὶ ἔλαττον· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ὁ κῶνοσ, οὗ βάσισ ὁ ΑΒΓΔ κύκλοσ, κορυφὴ δὲ τὸ Λ [σημεῖον], πρὸσ ἔλαττόν τι τοῦ κώνου στερεόν, οὗ βάσισ μὲν ὁ ΕΖΗΘ κύκλοσ, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον, τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΖΘ. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ὁ ΕΖΗΘΝ κῶνοσ πρὸσ ἔλαττόν τι τοῦ ΑΒΓΔΛ κώνου στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΘ πρὸσ τὴν ΒΔ. Λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ὁ ΑΒΓΔΛ κῶνοσ πρὸσ μεῖζόν τι τοῦ ΕΖΗΘΝ κώνου στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΖΘ. Εἰ γὰρ δυνατόν, ἐχέτω πρὸσ μεῖζον τὸ Ξ. ἀνάπαλιν ἄρα τὸ Ξ στερεὸν πρὸσ τὸν ΑΒΓΔΛ κῶνον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΘ πρὸσ τὴν ΒΔ. ὡσ δὲ τὸ Ξ στερεὸν πρὸσ τὸν ΑΒΓΔΛ κῶνον, οὕτωσ ὁ ΕΖΗΘΝ κῶνοσ πρὸσ ἔλαττόν τι τοῦ ΑΒΓΔΛ κώνου στερεόν. καὶ ὁ ΕΖΗΘΝ ἄρα κῶνοσ πρὸσ ἔλαττόν τι τοῦ ΑΒΓΔΛ κώνου στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΘ πρὸσ τὴν ΒΔ· ὅπερ ἀδύνατον ἐδείχθη. οὐκ ἄρα ὁ ΑΒΓΔΛ κῶνοσ πρὸσ μεῖζόν τι τοῦ ΕΖΗΘΝ κώνου στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΖΘ. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ πρὸσ ἔλαττον. ὁ ΑΒΓΔΛ ἄρα κῶνοσ πρὸσ τὸν ΕΖΗΘΝ κῶνον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΖΘ. Ὡσ δὲ ὁ κῶνοσ πρὸσ τὸν κῶνον, ὁ κύλινδροσ πρὸσ τὸν κύλινδρον· τριπλάσιοσ γὰρ ὁ κύλινδροσ τοῦ κώνου ὁ ἐπὶ τῆσ αὐτῆσ βάσεωσ τῷ κώνῳ καὶ ἰσοϋψὴσ αὐτῷ. καὶ ὁ κύλινδροσ ἄρα πρὸσ τὸν κύλινδρον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΖΘ. Οἱ ἄρα ὅμοιοι κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸσ ἀλλήλουσ ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ἐν ταῖσ βάσεσι διαμέτρων· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν κύλινδροσ ἐπιπέδῳ τμηθῇ παραλλήλῳ ὄντι τοῖσ ἀπεναντίον ἐπιπέδοισ, ἔσται ὡσ ὁ κύλινδροσ πρὸσ τὸν κύλινδρον, οὕτωσ ὁ ἄξων πρὸσ τὸν ἄξονα. Κύλινδροσ γὰρ ὁ ΑΔ ἐπιπέδῳ τῷ ΗΘ τετμήσθω παραλλήλῳ ὄντι τοῖσ ἀπεναντίον ἐπιπέδοισ τοῖσ ΑΒ, ΓΔ, καὶ συμβαλλέτω τῷ ἄξονι τὸ ΗΘ ἐπίπεδον κατὰ τὸ Κ σημεῖον· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡσ ὁ ΒΗ κύλινδροσ πρὸσ τὸν ΗΔ κύλινδρον, οὕτωσ ὁ ΕΚ ἄξων πρὸσ τὸν ΚΖ ἄξονα. Ἐκβεβλήσθω γὰρ ὁ ΕΖ ἄξων ἐφ’ ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ τὰ Λ, Μ σημεῖα, καὶ ἐκκείσθωσαν τῷ ΕΚ ἄξονι ἴσοι ὁσοιδηποτοῦν οἱ ΕΝ, ΝΛ, τῷ δὲ ΖΚ ἴσοι ὁσοιδηποτοῦν οἱ ΖΞ, ΞΜ, καὶ νοείσθω ὁ ἐπὶ τοῦ ΛΜ ἄξονοσ κύλινδροσ ὁ ΟΧ, οὗ βάσεισ οἱ ΟΠ, ΦΧ κύκλοι. καὶ ἐκβεβλήσθω διὰ τῶν Ν, Ξ σημείων ἐπίπεδα παράλληλα τοῖσ ΑΒ, ΓΔ καὶ ταῖσ βάσεσι τοῦ ΟΧ κυλίνδρου καὶ ποιείτωσαν τοὺσ ΡΣ, ΤΥ κύκλουσ περὶ τὰ Ν, Ξ κέντρα. καὶ ἐπεὶ οἱ ΛΝ, ΝΕ, ΕΚ ἄξονεσ ἴσοι εἰσὶν ἀλλήλοισ, οἱ ἄρα ΠΡ, ΡΒ, ΒΗ κύλινδροι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσὶν ὡσ αἱ βάσεισ. ἴσαι δέ εἰσιν αἱ βάσεισ· ἴσοι ἄρα καὶ οἱ ΠΡ, ΡΒ, ΒΗ κύλινδροι ἀλλήλοισ. ἐπεὶ οὖν οἱ ΛΝ, ΝΕ, ΕΚ ἄξονεσ ἴσοι εἰσὶν ἀλλήλοισ, εἰσὶ δὲ καὶ οἱ ΠΡ, ΡΒ, ΒΗ κύλινδροι ἴσοι ἀλλήλοισ, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθοσ τῷ πλήθει, ὁσαπλασίων ἄρα ὁ ΚΛ ἄξων τοῦ ΕΚ ἄξονοσ, τοσαυταπλασίων ἔσται καὶ ὁ ΠΗ κύλινδροσ τοῦ ΗΒ κυλίνδρου. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁσαπλασίων ἐστὶν ὁ ΜΚ ἄξων τοῦ ΚΖ ἄξονοσ, τοσαυταπλασίων ἐστὶ καὶ ὁ ΧΗ κύλινδροσ τοῦ ΗΔ κυλίνδρου. καὶ εἰ μὲν ἴσοσ ἐστὶν ὁ ΚΛ ἄξων τῷ ΚΜ ἄξονι, ἴσοσ ἔσται καὶ ὁ ΠΗ κύλινδροσ τῷ ΗΧ κυλίνδρῳ, εἰ δὲ μείζων ὁ ἄξων τοῦ ἄξονοσ, μείζων καὶ ὁ κύλινδροσ τοῦ κυλίνδρου, καὶ εἰ ἐλάσσων, ἐλάσσων. τεσσάρων δὴ μεγεθῶν ὄντων, ἀξόνων μὲν τῶν ΕΚ, ΚΖ, κυλίνδρων δὲ τῶν ΒΗ, ΗΔ, εἴληπται ἰσάκισ πολλαπλάσια, τοῦ μὲν ΕΚ ἄξονοσ καὶ τοῦ ΒΗ κυλίνδρου ὅ τε ΛΚ ἄξων καὶ ὁ ΠΗ κύλινδροσ, τοῦ δὲ ΚΖ ἄξονοσ καὶ τοῦ ΗΔ κυλίνδρου ὅ τε ΚΜ ἄξων καὶ ὁ ΗΧ κύλινδροσ, καὶ δέδεικται, ὅτι εἰ ὑπερέχει ὁ ΚΛ ἄξων τοῦ ΚΜ ἄξονοσ, ὑπερέχει καὶ ὁ ΠΗ κύλινδροσ τοῦ ΗΧ κυλίνδρου, καὶ εἰ ἴσοσ, ἴσοσ, καὶ εἰ ἐλάσσων, ἐλάσσων. ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ ΕΚ ἄξων πρὸσ τὸν ΚΖ ἄξονα, οὕτωσ ὁ ΒΗ κύλινδροσ πρὸσ τὸν ΗΔ κύλινδρον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Οἱ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντεσ κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσὶν ὡσ τὰ ὕψη. Ἔστωσαν γὰρ ἐπὶ ἴσων βάσεων τῶν ΑΒ, ΓΔ κύκλων κύλινδροι οἱ ΕΒ, ΖΔ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡσ ὁ ΕΒ κύλινδροσ πρὸσ τὸν ΖΔ κύλινδρον, οὕτωσ ὁ ΗΘ ἄξων πρὸσ τὸν ΚΛ ἄξονα. Ἐκβεβλήσθω γὰρ ὁ ΚΛ ἄξων ἐπὶ τὸ Ν σημεῖον, καὶ κείσθω τῷ ΗΘ ἄξονι ἴσοσ ὁ ΛΝ, καὶ περὶ ἄξονα τὸν ΛΝ κύλινδροσ νενοήσθω ὁ ΓΜ. ἐπεὶ οὖν οἱ ΕΒ, ΓΜ κύλινδροι ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψοσ εἰσίν, πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσὶν ὡσ αἱ βάσεισ. ἴσαι δέ εἰσιν αἱ βάσεισ ἀλλήλαισ· ἴσοι ἄρα εἰσὶ καὶ οἱ ΕΒ, ΓΜ κύλινδροι. καὶ ἐπεὶ κύλινδροσ ὁ ΖΜ ἐπιπέδῳ τέτμηται τῷ ΓΔ παραλλήλῳ ὄντι τοῖσ ἀπεναντίον ἐπιπέδοισ, ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ ΓΜ κύλινδροσ πρὸσ τὸν ΖΔ κύλινδρον, οὕτωσ ὁ ΛΝ ἄξων πρὸσ τὸν ΚΛ ἄξονα. ἴσοσ δέ ἐστιν ὁ μὲν ΓΜ κύλινδροσ τῷ ΕΒ κυλίνδρῳ, ὁ δὲ ΛΝ ἄξων τῷ ΗΘ ἄξονι· ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ ΕΒ κύλινδροσ πρὸσ τὸν ΖΔ κύλινδρον, οὕτωσ ὁ ΗΘ ἄξων πρὸσ τὸν ΚΛ ἄξονα. ὡσ δὲ ὁ ΕΒ κύλινδροσ πρὸσ τὸν ΖΔ κύλινδρον, οὕτωσ ὁ ΑΒΗ κῶνοσ πρὸσ τὸν ΓΔΚ κῶνον. καὶ ὡσ ἄρα ὁ ΗΘ ἄξων πρὸσ τὸν ΚΛ ἄξονα, οὕτωσ ὁ ΑΒΗ κῶνοσ πρὸσ τὸν ΓΔΚ κῶνον καὶ ὁ ΕΒ κύλινδροσ πρὸσ τὸν ΖΔ κύλινδρον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τῶν ἴσων κώνων καὶ κυλίνδρων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεισ τοῖσ ὕψεσιν· καὶ ὧν κώνων καὶ κυλίνδρων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεισ τοῖσ ὕψεσιν, ἴσοι εἰσὶν ἐκεῖνοι. Ἔστωσαν ἴσοι κῶνοι καὶ κύλινδροι, ὧν βάσεισ μὲν οἱ ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ κύκλοι, διάμετροι δὲ αὐτῶν αἱ ΑΓ, ΕΗ, ἄξονεσ δὲ οἱ ΚΛ, ΜΝ, οἵτινεσ καὶ ὕψη εἰσὶ τῶν κώνων ἢ κυλίνδρων, καὶ συμπεπληρώσθωσαν οἱ ΑΞ, ΕΟ κύλινδροι. λέγω, ὅτι τῶν ΑΞ, ΕΟ κυλίνδρων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεισ τοῖσ ὕψεσιν, καί ἐστιν ὡσ ἡ ΑΒΓΔ βάσισ πρὸσ τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτωσ τὸ ΜΝ ὕψοσ πρὸσ τὸ ΚΛ ὕψοσ. Τὸ γὰρ ΛΚ ὕψοσ τῷ ΜΝ ὕψει ἤτοι ἴσον ἐστὶν ἢ οὔ. ἔστω πρότερον ἴσον. ἔστι δὲ καὶ ὁ ΑΞ κύλινδροσ τῷ ΕΟ κυλίνδρῳ ἴσοσ. οἱ δὲ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψοσ ὄντεσ κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσὶν ὡσ αἱ βάσεισ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΑΒΓΔ βάσισ τῇ ΕΖΗΘ βάσει. ὥστε καὶ ἀντιπέπονθεν, ὡσ ἡ ΑΒΓΔ βάσισ πρὸσ τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτωσ τὸ ΜΝ ὕψοσ πρὸσ τὸ ΚΛ ὕψοσ. ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω τὸ ΛΚ ὕψοσ τῷ ΜΝ ἴσον, ἀλλ’ ἔστω μεῖζον τὸ ΜΝ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τοῦ ΜΝ ὕψουσ τῷ ΚΛ ἴσον τὸ ΠΝ, καὶ διὰ τοῦ Π σημείου τετμήσθω ὁ ΕΟ κύλινδροσ ἐπιπέδῳ τῷ ΤΥΣ παραλλήλῳ τοῖσ τῶν ΕΖΗΘ, ΡΟ κύκλων ἐπιπέδοισ, καὶ ἀπὸ βάσεωσ μὲν τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου, ὕψουσ δὲ τοῦ ΝΠ κύλινδροσ νενοήσθω ὁ ΕΣ. καὶ ἐπεὶ ἴσοσ ἐστὶν ὁ ΑΞ κύλινδροσ τῷ ΕΟ κυλίνδρῳ, ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ ΑΞ κύλινδροσ πρὸσ τὸν ΕΣ κύλινδρον, οὕτωσ ὁ ΕΟ κύλινδροσ πρὸσ τὸν ΕΣ κύλινδρον. ἀλλ’ ὡσ μὲν ὁ ΑΞ κύλινδροσ πρὸσ τὸν ΕΣ κύλινδρον, οὕτωσ ἡ ΑΒΓΔ βάσισ πρὸσ τὴν ΕΖΗΘ· ὑπὸ γὰρ τὸ αὐτὸ ὕψοσ εἰσὶν οἱ ΑΞ, ΕΣ κύλινδροι· ὡσ δὲ ὁ ΕΟ κύλινδροσ πρὸσ τὸν ΕΣ, οὕτωσ τὸ ΜΝ ὕψοσ πρὸσ τὸ ΠΝ ὕψοσ· ὁ γὰρ ΕΟ κύλινδροσ ἐπιπέδῳ τέτμηται παραλλήλῳ ὄντι τοῖσ ἀπεναντίον ἐπιπέδοισ. ἔστιν ἄρα καὶ ὡσ ἡ ΑΒΓΔ βάσισ πρὸσ τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτωσ τὸ ΜΝ ὕψοσ πρὸσ τὸ ΠΝ ὕψοσ. ἴσον δὲ τὸ ΠΝ ὕψοσ τῷ ΚΛ ὕψει· ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΑΒΓΔ βάσισ πρὸσ τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτωσ τὸ ΜΝ ὕψοσ πρὸσ τὸ ΚΛ ὕψοσ. τῶν ἄρα ΑΞ, ΕΟ κυλίνδρων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεισ τοῖσ ὕψεσιν. Ἀλλὰ δὴ τῶν ΑΞ, ΕΟ κυλίνδρων ἀντιπεπονθέτωσαν αἱ βάσεισ τοῖσ ὕψεσιν, καὶ ἔστω ὡσ ἡ ΑΒΓΔ βάσισ πρὸσ τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτωσ τὸ ΜΝ ὕψοσ πρὸσ τὸ ΚΛ ὕψοσ· λέγω, ὅτι ἴσοσ ἐστὶν ὁ ΑΞ κύλινδροσ τῷ ΕΟ κυλίνδρῳ. Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ ΑΒΓΔ βάσισ πρὸσ τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτωσ τὸ ΜΝ ὕψοσ πρὸσ τὸ ΚΛ ὕψοσ, ἴσον δὲ τὸ ΚΛ ὕψοσ τῷ ΠΝ ὕψει, ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΑΒΓΔ βάσισ πρὸσ τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτωσ τὸ ΜΝ ὕψοσ πρὸσ τὸ ΠΝ ὕψοσ. ἀλλ’ ὡσ μὲν ἡ ΑΒΓΔ βάσισ πρὸσ τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτωσ ὁ ΑΞ κύλινδροσ πρὸσ τὸν ΕΣ κύλινδρον· ὑπὸ γὰρ τὸ αὐτὸ ὕψοσ εἰσίν· ὡσ δὲ τὸ ΜΝ ὕψοσ πρὸσ τὸ ΠΝ [ὕψοσ], οὕτωσ ὁ ΕΟ κύλινδροσ πρὸσ τὸν ΕΣ κύλινδρον· ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ ΑΞ κύλινδροσ πρὸσ τὸν ΕΣ κύλινδρον, οὕτωσ ὁ ΕΟ κύλινδροσ πρὸσ τὸν ΕΣ. ἴσοσ ἄρα ὁ ΑΞ κύλινδροσ τῷ ΕΟ κυλίνδρῳ. ὡσαύτωσ δὲ καὶ ἐπὶ τῶν κώνων· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Δύο κύκλων περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον ὄντων εἰσ τὸν μείζονα κύκλον πολύγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἀρτιόπλευρον ἐγγράψαι μὴ ψαῦον τοῦ ἐλάσσονοσ κύκλου. Ἔστωσαν οἱ δοθέντεσ δύο κύκλοι οἱ ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον τὸ Κ· δεῖ δὴ εἰσ τὸν μείζονα κύκλον τὸν ΑΒΓΔ πολύγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἀρτιόπλευρον ἐγγράψαι μὴ ψαῦον τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου. Ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Κ κέντρου εὐθεῖα ἡ ΒΚΔ, καὶ ἀπὸ τοῦ Η σημείου τῇ ΒΔ εὐθείᾳ πρὸσ ὀρθὰσ ἤχθω ἡ ΗΑ καὶ διήχθω ἐπὶ τὸ Γ· ἡ ΑΓ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου. τέμνοντεσ δὴ τὴν ΒΑΔ περιφέρειαν δίχα καὶ τὴν ἡμίσειαν αὐτῆσ δίχα καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιοῦντεσ καταλείψομεν περιφέρειαν ἐλάσσονα τῆσ ΑΔ. λελείφθω, καὶ ἔστω ἡ ΛΔ, καὶ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὴν ΒΔ κάθετοσ ἤχθω ἡ ΛΜ καὶ διήχθω ἐπὶ τὸ Ν, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΔ, ΔΝ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΔ τῇ ΔΝ. καὶ ἐπεὶ παράλληλόσ ἐστιν ἡ ΛΝ τῇ ΑΓ, ἡ δὲ ΑΓ ἐφάπτεται τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου, ἡ ΛΝ ἄρα οὐκ ἐφάπτεται τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου· πολλῷ ἄρα αἱ ΛΔ, ΔΝ οὐκ ἐφάπτονται τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου. ἐὰν δὴ τῇ ΛΔ εὐθείᾳ ἴσασ κατὰ τὸ συνεχὲσ ἐναρμόσωμεν εἰσ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, ἐγγραφήσεται εἰσ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον πολύγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἀρτιόπλευρον μὴ ψαῦον τοῦ ἐλάσσονοσ κύκλου τοῦ ΕΖΗΘ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. Δύο σφαιρῶν περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον οὐσῶν εἰσ τὴν μείζονα σφαῖραν στερεὸν πολύεδρον ἐγγράψαι μὴ ψαῦον τῆσ ἐλάσσονοσ σφαίρασ κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν. Νενοήσθωσαν δύο σφαῖραι περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον τὸ Α· δεῖ δὴ εἰσ τὴν μείζονα σφαῖραν στερεὸν πολύεδρον ἐγγράψαι μὴ ψαῦον τῆσ ἐλάσσονοσ σφαίρασ κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν. Τετμήσθωσαν αἱ σφαῖραι ἐπιπέδῳ τινὶ διὰ τοῦ κέντρου· ἔσονται δὴ αἱ τομαὶ κύκλοι, ἐπειδήπερ μενούσησ τῆσ διαμέτρου καὶ περιφερομένου τοῦ ἡμικυκλίου ἐγίγνετο ἡ σφαῖρα· ὥστε καὶ καθ’ οἱάσ ἂν θέσεωσ ἐπινοήσωμεν τὸ ἡμικύκλιον, τὸ δι’ αὐτοῦ ἐκβαλλόμενον ἐπίπεδον ποιήσει ἐπὶ τῆσ ἐπιφανείασ τῆσ σφαίρασ κύκλον. καὶ φανερόν, ὅτι καὶ μέγιστον, ἐπειδήπερ ἡ διάμετροσ τῆσ σφαίρασ, ἥτισ ἐστὶ καὶ τοῦ ἡμικυκλίου διάμετροσ δηλαδὴ καὶ τοῦ κύκλου, μείζων ἐστὶ πασῶν τῶν εἰσ τὸν κύκλον ἢ τὴν σφαῖραν διαγομένων [εὐθειῶν]. ἔστω οὖν ἐν μὲν τῇ μείζονι σφαίρᾳ κύκλοσ ὁ ΒΓΔΕ, ἐν δὲ τῇ ἐλάσσονι σφαίρᾳ κύκλοσ ὁ ΖΗΘ, καὶ ἤχθωσαν αὐτῶν δύο διάμετροι πρὸσ ὀρθὰσ ἀλλήλαισ αἱ ΒΔ, ΓΕ, καὶ δύο κύκλων περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον ὄντων τῶν ΒΓΔΕ, ΖΗΘ εἰσ τὸν μείζονα κύκλον τὸν ΒΓΔΕ πολύγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἀρτιόπλευρον ἐγγεγράφθω μὴ ψαῦον τοῦ ἐλάσσονοσ κύκλου τοῦ ΖΗΘ, οὗ πλευραὶ ἔστωσαν ἐν τῷ ΒΕ τεταρτημορίῳ αἱ ΒΚ, ΚΛ, ΛΜ, ΜΕ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΚΑ διήχθω ἐπὶ τὸ Ν, καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῷ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸσ ὀρθὰσ ἡ ΑΞ καὶ συμβαλλέτω τῇ ἐπιφανείᾳ τῆσ σφαίρασ κατὰ τὸ Ξ, καὶ διὰ τῆσ ΑΞ καὶ ἑκατέρασ τῶν ΒΔ, ΚΝ ἐπίπεδα ἐκβεβλήσθω· ποιήσουσι δὴ διὰ τὰ εἰρημένα ἐπὶ τῆσ ἐπιφανείασ τῆσ σφαίρασ μεγίστουσ κύκλουσ. ποιείτωσαν, ὧν ἡμικύκλια ἔστω ἐπὶ τῶν ΒΔ, ΚΝ διαμέτρων τὰ ΒΞΔ, ΚΞΝ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΞΑ ὀρθή ἐστι πρὸσ τὸ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπίπεδον, καὶ πάντα ἄρα τὰ διὰ τῆσ ΞΑ ἐπίπεδά ἐστιν ὀρθὰ πρὸσ τὸ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπίπεδον· ὥστε καὶ τὰ ΒΞΔ, ΚΞΝ ἡμικύκλια ὀρθά ἐστι πρὸσ τὸ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπίπεδον. καὶ ἐπεὶ ἴσα ἐστὶ τὰ ΒΕΔ, ΒΞΔ, ΚΞΝ ἡμικύκλια· ἐπὶ γὰρ ἴσων εἰσὶ διαμέτρων τῶν ΒΔ, ΚΝ· ἴσα ἐστὶ καὶ τὰ ΒΕ, ΒΞ, ΚΞ τεταρτημόρια ἀλλήλοισ. ὅσαι ἄρα εἰσὶν ἐν τῷ ΒΕ τεταρτημορίῳ πλευραὶ τοῦ πολυγώνου, τοσαῦταί εἰσι καὶ ἐν τοῖσ ΒΞ, ΚΞ τεταρτημορίοισ ἴσαι ταῖσ ΒΚ, ΚΛ, ΛΜ, ΜΕ εὐθείαισ. ἐγγεγράφθωσαν καὶ ἔστωσαν αἱ ΒΟ, ΟΠ, ΠΡ, ΡΞ, ΚΣ, ΣΤ, ΤΥ, ΥΞ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΣΟ, ΤΠ, ΥΡ, καὶ ἀπὸ τῶν Ο, Σ ἐπὶ τὸ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπίπεδον κάθετοι ἤχθωσαν· πεσοῦνται δὴ ἐπὶ τὰσ κοινὰσ τομὰσ τῶν ἐπιπέδων τὰσ ΒΔ, ΚΝ, ἐπειδήπερ καὶ τὰ τῶν ΒΞΔ, ΚΞΝ ἐπίπεδα ὀρθά ἐστι πρὸσ τὸ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπίπεδον. πιπτέτωσαν, καὶ ἔστωσαν αἱ ΟΦ, ΣΧ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΧΦ. καὶ ἐπεὶ ἐν ἴσοισ ἡμικυκλίοισ τοῖσ ΒΞΔ, ΚΞΝ ἴσαι ἀπειλημμέναι εἰσὶν αἱ ΒΟ, ΚΣ, καὶ κάθετοι ἠγμέναι εἰσὶν αἱ ΟΦ, ΣΧ, ἴση [ἄρα] ἐστὶν ἡ μὲν ΟΦ τῇ ΣΧ, ἡ δὲ ΒΦ τῇ ΚΧ. ἔστι δὲ καὶ ὅλη ἡ ΒΑ ὅλῃ τῇ ΚΑ ἴση· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΦΑ λοιπῇ τῇ ΧΑ ἐστιν ἴση· ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΒΦ πρὸσ τὴν ΦΑ, οὕτωσ ἡ ΚΧ πρὸσ τὴν ΧΑ· παράλληλοσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΧΦ τῇ ΚΒ. καὶ ἐπεὶ ἑκατέρα τῶν ΟΦ, ΣΧ ὀρθή ἐστι πρὸσ τὸ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπίπεδον, παράλληλοσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΟΦ τῇ ΣΧ. ἐδείχθη δὲ αὐτῇ καὶ ἴση· καὶ αἱ ΧΦ, ΣΟ ἄρα ἴσαι εἰσὶ καὶ παράλληλοι. καὶ ἐπεὶ παράλληλόσ ἐστιν ἡ ΧΦ τῇ ΣΟ, ἀλλὰ ἡ ΧΦ τῇ ΚΒ ἐστι παράλληλοσ, καὶ ἡ ΣΟ ἄρα τῇ ΚΒ ἐστι παράλληλοσ. καὶ ἐπιζευγνύουσιν αὐτὰσ αἱ ΒΟ, ΚΣ· τὸ ΚΒΟΣ ἄρα τετράπλευρον ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ, ἐπειδήπερ, ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι παράλληλοι, καὶ ἐφ’ ἑκατέρασ αὐτῶν ληφθῇ τυχόντα σημεῖα, ἡ ἐπὶ τὰ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἐστὶ ταῖσ παραλλήλοισ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκάτερον τῶν ΣΟΠΤ, ΤΠΡΥ τετραπλεύρων ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ΥΡΞ τρίγωνον ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ. ἐὰν δὴ νοήσωμεν ἀπὸ τῶν Ο, Σ, Π, Τ, Ρ, Υ σημείων ἐπὶ τὸ Α ἐπιζευγνυμένασ εὐθείασ, συσταθήσεταί τι σχῆμα στερεὸν πολύεδρον μεταξὺ τῶν ΒΞ, ΚΞ περιφερειῶν ἐκ πυραμίδων συγκείμενον, ὧν βάσεισ μὲν τὰ ΚΒΟΣ, ΣΟΠΤ, ΤΠΡΥ τετράπλευρα καὶ τὸ ΥΡΞ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον. ἐὰν δὲ καὶ ἐπὶ ἑκάστησ τῶν ΚΛ, ΛΜ, ΜΕ πλευρῶν καθάπερ ἐπὶ τῆσ ΒΚ τὰ αὐτὰ κατασκευάσωμεν καὶ ἔτι ἐπὶ τῶν λοιπῶν τριῶν τεταρτημορίων, συσταθήσεταί τι σχῆμα πολύεδρον ἐγγεγραμμένον εἰσ τὴν σφαῖραν πυραμίσι περιεχόμενον, ὧν βάσεισ [μὲν] τὰ εἰρημένα τετράπλευρα καὶ τὸ ΥΡΞ τρίγωνον καὶ τὰ ὁμοταγῆ αὐτοῖσ, κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον. Λέγω, ὅτι τὸ εἰρημένον πολύεδρον οὐκ ἐφάψεται τῆσ ἐλάσσονοσ σφαίρασ κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν, ἐφ’ ἧσ ἐστιν ὁ ΖΗΘ κύκλοσ. Ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α σημείου ἐπὶ τὸ τοῦ ΚΒΟΣ τετραπλεύρου ἐπίπεδον κάθετοσ ἡ ΑΨ καὶ συμβαλλέτω τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Ψ σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΨΒ, ΨΚ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΨ ὀρθή ἐστι πρὸσ τὸ τοῦ ΚΒΟΣ τετραπλεύρου ἐπίπεδον, καὶ πρὸσ πάσασ ἄρα τὰσ ἁπτομένασ αὐτῆσ εὐθείασ καὶ οὔσασ ἐν τῷ τοῦ τετραπλεύρου ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστιν. ἡ ΑΨ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸσ ἑκατέραν τῶν ΒΨ, ΨΚ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΑΚ, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΚ. καί ἐστι τῷ μὲν ἀπὸ τῆσ ΑΒ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΨ, ΨΒ· ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸσ τῷ Ψ· τῷ δὲ ἀπὸ τῆσ ΑΚ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΨ, ΨΚ. τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΨ, ΨΒ ἴσα ἐστὶ τοῖσ ἀπὸ τῶν ΑΨ, ΨΚ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΨ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΨ λοιπῷ τῷ ἀπὸ τῆσ ΨΚ ἴσον ἐστίν· ἴση ἄρα ἡ ΒΨ τῇ ΨΚ. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ ἀπὸ τοῦ Ψ ἐπὶ τὰ Ο, Σ ἐπιζευγνύμεναι εὐθεῖαι ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρᾳ τῶν ΒΨ, ΨΚ. ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Ψ καὶ διαστήματι ἑνὶ τῶν ΨΒ, ΨΚ γραφόμενοσ κύκλοσ ἥξει καὶ διὰ τῶν Ο, Σ, καὶ ἔσται ἐν κύκλῳ τὸ ΚΒΟΣ τετράπλευρον. Καὶ ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ ΚΒ τῆσ ΧΦ, ἴση δὲ ἡ ΧΦ τῇ ΣΟ, μείζων ἄρα ἡ ΚΒ τῆσ ΣΟ. ἴση δὲ ἡ ΚΒ ἑκατέρᾳ τῶν ΚΣ, ΒΟ· καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ΚΣ, ΒΟ τῆσ ΣΟ μείζων ἐστίν. καὶ ἐπεὶ ἐν κύκλῳ τετράπλευρόν ἐστι τὸ ΚΒΟΣ, καὶ ἴσαι αἱ ΚΒ, ΒΟ, ΚΣ, καὶ ἐλάττων ἡ ΟΣ, καὶ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἐστὶν ἡ ΒΨ, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆσ ΚΒ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΒΨ μεῖζόν ἐστιν ἢ διπλάσιον. ἤχθω ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὴν ΒΦ κάθετοσ ἡ ΚΩ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΒΔ τῆσ ΔΩ ἐλάττων ἐστὶν ἢ διπλῆ, καί ἐστιν ὡσ ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΔΩ, οὕτωσ τὸ ὑπὸ τῶν ΔΒ, ΒΩ πρὸσ τὸ ὑπὸ [τῶν] ΔΩ, ΩΒ, ἀναγραφομένου ἀπὸ τῆσ ΒΩ τετραγώνου καὶ συμπληρουμένου τοῦ ἐπὶ τῆσ ΩΔ παραλληλογράμμου καὶ τὸ ὑπὸ ΔΒ, ΒΩ ἄρα τοῦ ὑπὸ ΔΩ, ΩΒ ἔλαττόν ἐστιν ἢ διπλάσιον. καί ἐστι τῆσ ΚΔ ἐπιζευγνυμένησ τὸ μὲν ὑπὸ ΔΒ, ΒΩ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆσ ΒΚ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΔΩ, ΩΒ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆσ ΚΩ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆσ ΚΒ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΚΩ ἔλασσόν ἐστιν ἢ διπλάσιον. ἀλλὰ τὸ ἀπὸ τῆσ ΚΒ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΒΨ μεῖζόν ἐστιν ἢ διπλάσιον· μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΚΩ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΒΨ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΑ τῇ ΚΑ, ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΑ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΚ. καί ἐστι τῷ μὲν ἀπὸ τῆσ ΒΑ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΒΨ, ΨΑ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆσ ΚΑ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΚΩ, ΩΑ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΒΨ, ΨΑ ἴσα ἐστὶ τοῖσ ἀπὸ τῶν ΚΩ, ΩΑ, ὧν τὸ ἀπὸ τῆσ ΚΩ μεῖζον τοῦ ἀπὸ τῆσ ΒΨ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΩΑ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆσ ΨΑ. μείζων ἄρα ἡ ΑΨ τῆσ ΑΩ· πολλῷ ἄρα ἡ ΑΨ μείζων ἐστὶ τῆσ ΑΗ. καί ἐστιν ἡ μὲν ΑΨ ἐπὶ μίαν τοῦ πολυέδρου βάσιν, ἡ δὲ ΑΗ ἐπὶ τὴν τῆσ ἐλάσσονοσ σφαίρασ ἐπιφάνειαν· ὥστε τὸ πολύεδρον οὐ ψαύσει τῆσ ἐλάσσονοσ σφαίρασ κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν. Δύο ἄρα σφαιρῶν περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον οὐσῶν εἰσ τὴν μείζονα σφαῖραν στερεὸν πολύεδρον ἐγγέγραπται μὴ ψαῦον τῆσ ἐλάσσονοσ σφαίρασ κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. Πόρισμα Εἂν δὲ καὶ εἰσ ἑτέραν σφαῖραν τῷ ἐν τῇ ΒΓΔΕ σφαίρᾳ στερεῷ πολυέδρῳ ὅμοιον στερεὸν πολύεδρον ἐγγραφῇ, τὸ ἐν τῇ ΒΓΔΕ σφαίρᾳ στερεὸν πολύεδρον πρὸσ τὸ ἐν τῇ ἑτέρᾳ σφαίρᾳ στερεὸν πολύεδρον τριπλασίονα λόγον ἔχει, ἤπερ ἡ τῆσ ΒΓΔΕ σφαίρασ διάμετροσ πρὸσ τὴν τῆσ ἑτέρασ σφαίρασ διάμετρον. διαιρεθέντων γὰρ τῶν στερεῶν εἰσ τὰσ ὁμοιοπληθεῖσ καὶ ὁμοιοταγεῖσ πυραμίδασ ἔσονται αἱ πυραμίδεσ ὅμοιαι. αἱ δὲ ὅμοιαι πυραμίδεσ πρὸσ ἀλλήλασ ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν· ἡ ἄρα πυραμίσ, ἧσ βάσισ μέν ἐστι τὸ ΚΒΟΣ τετράπλευρον, κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον, πρὸσ τὴν ἐν τῇ ἑτέρᾳ σφαίρᾳ ὁμοιοταγῆ πυραμίδα τριπλασίονα λόγον ἔχει, ἤπερ ἡ ὁμόλογοσ πλευρὰ πρὸσ τὴν ὁμόλογον πλευράν, τουτέστιν ἤπερ ἡ ΑΒ ἐκ τοῦ κέντρου τῆσ σφαίρασ τῆσ περὶ κέντρον τὸ Α πρὸσ τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆσ ἑτέρασ σφαίρασ. ὁμοίωσ καὶ ἑκάστη πυραμὶσ τῶν ἐν τῇ περὶ κέντρον τὸ Α σφαίρᾳ πρὸσ ἑκάστην ὁμοταγῆ πυραμίδα τῶν ἐν τῇ ἑτέρᾳ σφαίρᾳ τριπλασίονα λόγον ἕξει, ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆσ ἑτέρασ σφαίρασ. καὶ ὡσ ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸσ ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτωσ ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸσ ἅπαντα τὰ ἑπόμενα· ὥστε ὅλον τὸ ἐν τῇ περὶ κέντρον τὸ Α σφαίρᾳ στερεὸν πολύεδρον πρὸσ ὅλον τὸ ἐν τῇ ἑτέρᾳ [σφαίρᾳ] στερεὸν πολύεδρον τριπλασίονα λόγον ἕξει, ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆσ ἑτέρασ σφαίρασ, τουτέστιν ἤπερ ἡ ΒΔ διάμετροσ πρὸσ τὴν τῆσ ἑτέρασ σφαίρασ διάμετρον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Αἱ σφαῖραι πρὸσ ἀλλήλασ ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ἰδίων διαμέτρων. Νενοήσθωσαν σφαῖραι αἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ, διάμετροι δὲ αὐτῶν αἱ ΒΓ, ΕΖ· λέγω, ὅτι ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸσ τὴν ΔΕΖ σφαῖραν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΕΖ. Εἰ γὰρ μὴ ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸσ τὴν ΔΕΖ σφαῖραν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΕΖ, ἕξει ἄρα ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸσ ἐλάσσονά τινα τῆσ ΔΕΖ σφαίρασ τριπλασίονα λόγον ἢ πρὸσ μείζονα ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΕΖ. ἐχέτω πρότερον πρὸσ ἐλάσσονα τὴν ΗΘΚ, καὶ νενοήσθω ἡ ΔΕΖ τῇ ΗΘΚ περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον, καὶ ἐγγεγράφθω εἰσ τὴν μείζονα σφαῖραν τὴν ΔΕΖ στερεὸν πολύεδρον μὴ ψαῦον τῆσ ἐλάσσονοσ σφαίρασ τῆσ ΗΘΚ κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν, ἐγγεγράφθω δὲ καὶ εἰσ τὴν ΑΒΓ σφαῖραν τῷ ἐν τῇ ΔΕΖ σφαίρᾳ στερεῷ πολυέδρῳ ὅμοιον στερεὸν πολύεδρον· τὸ ἄρα ἐν τῇ ΑΒΓ στερεὸν πολύεδρον πρὸσ τὸ ἐν τῇ ΔΕΖ στερεὸν πολύεδρον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΕΖ. ἔχει δὲ καὶ ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸσ τὴν ΗΘΚ σφαῖραν τριπλασίονα λόγον ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΕΖ· ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸσ τὴν ΗΘΚ σφαῖραν, οὕτωσ τὸ ἐν τῇ ΑΒΓ σφαίρᾳ στερεὸν πολύεδρον πρὸσ τὸ ἐν τῇ ΔΕΖ σφαίρᾳ στερεὸν πολύεδρον· ἐναλλὰξ [ἄρα] ὡσ ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸσ τὸ ἐν αὐτῇ πολύεδρον, οὕτωσ ἡ ΗΘΚ σφαῖρα πρὸσ τὸ ἐν τῇ ΔΕΖ σφαίρᾳ στερεὸν πολύεδρον. μείζων δὲ ἡ ΑΒΓ σφαῖρα τοῦ ἐν αὐτῇ πολυέδρου· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΗΘΚ σφαῖρα τοῦ ἐν τῇ ΔΕΖ σφαίρᾳ πολυέδρου. ἀλλὰ καὶ ἐλάττων· ἐμπεριέχεται γὰρ ὑπ’ αὐτοῦ. οὐκ ἄρα ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸσ ἐλάσσονα τῆσ ΔΕΖ σφαίρασ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ διάμετροσ πρὸσ τὴν ΕΖ. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἡ ΔΕΖ σφαῖρα πρὸσ ἐλάσσονα τῆσ ΑΒΓ σφαίρασ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸσ τὴν ΒΓ. Λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸσ μείζονά τινα τῆσ ΔΕΖ σφαίρασ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΕΖ. Εἰ γὰρ δυνατόν, ἐχέτω πρὸσ μείζονα τὴν ΛΜΝ· ἀνάπαλιν ἄρα ἡ ΛΜΝ σφαῖρα πρὸσ τὴν ΑΒΓ σφαῖραν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ διάμετροσ πρὸσ τὴν ΒΓ διάμετρον. ὡσ δὲ ἡ ΛΜΝ σφαῖρα πρὸσ τὴν ΑΒΓ σφαῖραν, οὕτωσ ἡ ΔΕΖ σφαῖρα πρὸσ ἐλάσσονά τινα τῆσ ΑΒΓ σφαίρασ, ἐπειδήπερ μείζων ἐστὶν ἡ ΛΜΝ τῆσ ΔΕΖ, ὡσ ἔμπροσθεν ἐδείχθη. καὶ ἡ ΔΕΖ ἄρα σφαῖρα πρὸσ ἐλάσσονά τινα τῆσ ΑΒΓ σφαίρασ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸσ τὴν ΒΓ· ὅπερ ἀδύνατον ἐδείχθη. οὐκ ἄρα ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸσ μείζονά τινα τῆσ ΔΕΖ σφαίρασ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΕΖ. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ πρὸσ ἐλάσσονα. ἡ ἄρα ΑΒΓ σφαῖρα πρὸσ τὴν ΔΕΖ σφαῖραν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΕΖ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

상위

Elements

목록

일치하는 문장이 없습니다.

SEARCH

MENU NAVIGATION