Euclid, Elements, book 10, type Prop 3

(유클리드, Elements, book 10, type Prop 3)

Εὑρεῖν τὴν πρώτην ἀποτομήν. Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Α, καὶ τῇ Α μήκει σύμμετροσ ἔστω ἡ ΒΗ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΗ. καὶ ἐκκείσθωσαν δύο τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ ΔΕ, ΕΖ, ὧν ἡ ὑπεροχὴ ὁ ΖΔ μὴ ἔστω τετράγωνοσ· οὐδ’ ἄρα ὁ ΕΔ πρὸσ τὸν ΔΖ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν. καὶ πεποιήσθω ὡσ ὁ ΕΔ πρὸσ τὸν ΔΖ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΗ τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΓ τετράγωνον· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΗ τῷ ἀπὸ τῆσ ΗΓ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΗ· ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΓ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΗΓ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΕΔ πρὸσ τὸν ΔΖ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδ’ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΓ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ ΗΓ μήκει. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ΒΗ, ΗΓ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἡ ἄρα ΒΓ ἀποτομή ἐστιν. Λέγω δή, ὅτι καὶ πρώτη. Ωἷ γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΗ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΗΓ, ἔστω τὸ ἀπὸ τῆσ Θ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ὁ ΕΔ πρὸσ τὸν ΖΔ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΓ, καὶ ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡσ ὁ ΔΕ πρὸσ τὸν ΕΖ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΒ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Θ. ὁ δὲ ΔΕ πρὸσ τὸν ΕΖ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· ἑκάτεροσ γὰρ τετράγωνόσ ἐστιν· καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΒ ἄρα πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Θ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· σύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ Θ μήκει. καὶ δύναται ἡ ΒΗ τῆσ ΗΓ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆσ Θ· ἡ ΒΗ ἄρα τῆσ ΗΓ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει. καί ἐστιν ἡ ὅλη ἡ ΒΗ σύμμετροσ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ Α. ἡ ΒΓ ἄρα ἀποτομή ἐστι πρώτη. Εὑρ́ηται ἄρα ἡ πρώτη ἀποτομὴ ἡ ΒΓ· ὅπερ ἔδει εὑρεῖν. Εὑρεῖν τὴν δευτέραν ἀποτομήν. Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Α καὶ τῇ Α σύμμετροσ μήκει ἡ ΗΓ. ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΓ. καὶ ἐκκείσθωσαν δύο τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ ΔΕ, ΕΖ, ὧν ἡ ὑπεροχὴ ὁ ΔΖ μὴ ἔστω τετράγωνοσ. καὶ πεποιήσθω ὡσ ὁ ΖΔ πρὸσ τὸν ΔΕ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΓΗ τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΒ τετράγωνον. σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΓΗ τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆσ ΗΒ τετραγώνῳ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΓ. ῥητὸν ἄρα [ἐστὶ] καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΒ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΓ τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΒ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν, ἀσύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΓΗ τῇ ΗΒ μήκει. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ΓΗ, ΗΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἡ ΒΓ ἄρα ἀποτομή ἐστιν. Λέγω δή, ὅτι καὶ δευτέρα. Ωἷ γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΗ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΗΓ, ἔστω τὸ ἀπὸ τῆσ Θ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΓ, οὕτωσ ὁ ΕΔ ἀριθμὸσ πρὸσ τὸν ΔΖ ἀριθμόν, ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Θ, οὕτωσ ὁ ΔΕ πρὸσ τὸν ΕΖ. καί ἐστιν ἑκάτεροσ τῶν ΔΕ, ΕΖ τετράγωνοσ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆσ ΒΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Θ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· σύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ Θ μήκει. καὶ δύναται ἡ ΒΗ τῆσ ΗΓ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆσ Θ· ἡ ΒΗ ἄρα τῆσ ΗΓ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει. καί ἐστιν ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΓΗ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ σύμμετροσ τῇ Α. ἡ ΒΓ ἄρα ἀποτομή ἐστι δευτέρα. Εὑρ́ηται ἄρα δευτέρα ἀποτομὴ ἡ ΒΓ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εὑρεῖν τὴν τρίτην ἀποτομήν. Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Α, καὶ ἐκκείσθωσαν τρεῖσ ἀριθμοὶ οἱ Ε, ΒΓ, ΓΔ λόγον μὴ ἔχοντεσ πρὸσ ἀλλήλουσ, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν, ὁ δὲ ΓΒ πρὸσ τὸν ΒΔ λόγον ἐχέτω, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν, καὶ πεποιήσθω ὡσ μὲν ὁ Ε πρὸσ τὸν ΒΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ Α τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ τετράγωνον, ὡσ δὲ ὁ ΒΓ πρὸσ τὸν ΓΔ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΘ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡσ ὁ Ε πρὸσ τὸν ΒΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ Α τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ τετράγωνον, σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ Α τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆσ ΖΗ τετραγώνῳ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆσ Α τετράγωνον. ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ. καὶ ἐπεὶ ὁ Ε πρὸσ τὸν ΒΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδ’ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ Α τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ [τετράγωνον] λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ Α τῇ ΖΗ μήκει. πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡσ ὁ ΒΓ πρὸσ τὸν ΓΔ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΘ, σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ τῷ ἀπὸ τῆσ ΗΘ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ· ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΘ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΒΓ πρὸσ τὸν ΓΔ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδ’ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΘ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΗΘ μήκει. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ΖΗ, ΗΘ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΘ. Λέγω δή, ὅτι καὶ τρίτη. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡσ μὲν ὁ Ε πρὸσ τὸν ΒΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ Α τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ, ὡσ δὲ ὁ ΒΓ πρὸσ τὸν ΓΔ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΘΗ, δι’ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡσ ὁ Ε πρὸσ τὸν ΓΔ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ Α πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΘΗ. ὁ δὲ Ε πρὸσ τὸν ΓΔ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· οὐδ’ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ Α πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΘ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετροσ ἄρα ἡ Α τῇ ΗΘ μήκει. οὐδετέρα ἄρα τῶν ΖΗ, ΗΘ σύμμετρόσ ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ Α μήκει. ᾧ οὖν μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΗΘ, ἔστω τὸ ἀπὸ τῆσ Κ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡσ ὁ ΒΓ πρὸσ τὸν ΓΔ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΘ, ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡσ ὁ ΒΓ πρὸσ τὸν ΒΔ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Κ. ὁ δὲ ΒΓ πρὸσ τὸν ΒΔ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ ἄρα πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Κ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν. σύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ Κ μήκει, καὶ δύναται ἡ ΖΗ τῆσ ΗΘ μεῖζον τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ. καὶ οὐδετέρα τῶν ΖΗ, ΗΘ σύμμετρόσ ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ Α μήκει· ἡ ΖΘ ἄρα ἀποτομή ἐστι τρίτη. Εὑρ́ηται ἄρα ἡ τρίτη ἀποτομὴ ἡ ΖΘ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εὑρεῖν τὴν τετάρτην ἀποτομήν. Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Α καὶ τῇ Α μήκει σύμμετροσ ἡ ΒΗ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΗ. καὶ ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΔΖ, ΖΕ, ὥστε τὸν ΔΕ ὅλον πρὸσ ἑκάτερον τῶν ΔΖ, ΕΖ λόγον μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν. καὶ πεποιήσθω ὡσ ὁ ΔΕ πρὸσ τὸν ΕΖ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΗ τετράγωνον πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΓ. σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΗ τῷ ἀπὸ τῆσ ΗΓ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΗ· ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΓ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΓ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΔΕ πρὸσ τὸν ΕΖ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδ’ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΓ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ ΗΓ μήκει. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ΒΗ, ΗΓ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ. [Λέγω δή, ὅτι καὶ τετάρτη]. Ωἷ οὖν μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΗ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΗΓ, ἔστω τὸ ἀπὸ τῆσ Θ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡσ ὁ ΔΕ πρὸσ τὸν ΕΖ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΓ, καὶ ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡσ ὁ ΕΔ πρὸσ τὸν ΔΖ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΒ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Θ. ὁ δὲ ΕΔ πρὸσ τὸν ΔΖ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· οὐδ’ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΒ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Θ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ Θ μήκει. καὶ δύναται ἡ ΒΗ τῆσ ΗΓ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆσ Θ· ἡ ἄρα ΒΗ τῆσ ΗΓ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. καί ἐστιν ὅλη ἡ ΒΗ σύμμετροσ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ Α. ἡ ἄρα ΒΓ ἀποτομή ἐστι τετάρτη. Εὑρ́ηται ἄρα ἡ τετάρτη ἀποτομή· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εὑρεῖν τὴν πέμπτην ἀποτομήν. Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Α, καὶ τῇ Α μήκει σύμμετροσ ἔστω ἡ ΓΗ· ῥητὴ ἄρα [ἐστὶν] ἡ ΓΗ. καὶ ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΔΖ, ΖΕ, ὥστε τὸν ΔΕ πρὸσ ἑκάτερον τῶν ΔΖ, ΖΕ λόγον πάλιν μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· καὶ πεποιήσθω ὡσ ὁ ΖΕ πρὸσ τὸν ΕΔ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΓΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΒ. ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΒ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΗ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ὁ ΔΕ πρὸσ τὸν ΕΖ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΓ, ὁ δὲ ΔΕ πρὸσ τὸν ΕΖ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδ’ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΓ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ ΗΓ μήκει. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ΒΗ, ΗΓ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἡ ΒΓ ἄρα ἀποτομή ἐστιν. Λέγω δή, ὅτι καὶ πέμπτη. Ωἷ γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΗ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΗΓ, ἔστω τὸ ἀπὸ τῆσ Θ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΓ, οὕτωσ ὁ ΔΕ πρὸσ τὸν ΕΖ, ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡσ ὁ ΕΔ πρὸσ τὸν ΔΖ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Θ. ὁ δὲ ΕΔ πρὸσ τὸν ΔΖ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· οὐδ’ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Θ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ Θ μήκει. καὶ δύναται ἡ ΒΗ τῆσ ΗΓ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆσ Θ· ἡ ΗΒ ἄρα τῆσ ΗΓ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει. καί ἐστιν ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΓΗ σύμμετροσ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ Α μήκει· ἡ ἄρα ΒΓ ἀποτομή ἐστι πέμπτη. Εὑρ́ηται ἄρα ἡ πέμπτη ἀποτομὴ ἡ ΒΓ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εὑρεῖν τὴν ἕκτην ἀποτομήν. Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Α καὶ τρεῖσ ἀριθμοὶ οἱ Ε, ΒΓ, ΓΔ λόγον μὴ ἔχοντεσ πρὸσ ἀλλήλουσ, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· ἔτι δὲ καὶ ὁ ΓΒ πρὸσ τὸν ΒΔ λόγον μὴ ἐχέτω, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· καὶ πεποιήσθω ὡσ μὲν ὁ Ε πρὸσ τὸν ΒΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ Α πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ, ὡσ δὲ ὁ ΒΓ πρὸσ τὸν ΓΔ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΘ. Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡσ ὁ Ε πρὸσ τὸν ΒΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ Α πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ, σύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ Α τῷ ἀπὸ τῆσ ΖΗ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆσ Α· ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΗ. καὶ ἐπεὶ ὁ Ε πρὸσ τὸν ΒΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδ’ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ Α πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ Α τῇ ΖΗ μήκει. πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡσ ὁ ΒΓ πρὸσ τὸν ΓΔ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΘ, σύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ τῷ ἀπὸ τῆσ ΗΘ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ· ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΘ· ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΗΘ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΒΓ πρὸσ τὸν ΓΔ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδ’ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΘ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΗΘ μήκει. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ΖΗ, ΗΘ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἡ ἄρα ΖΘ ἀποτομή ἐστιν. Λέγω δή, ὅτι καὶ ἕκτη. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡσ μὲν ὁ Ε πρὸσ τὸν ΒΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ Α πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ, ὡσ δὲ ὁ ΒΓ πρὸσ τὸν ΓΔ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΘ, δι’ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡσ ὁ Ε πρὸσ τὸν ΓΔ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ Α πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΘ. ὁ δὲ Ε πρὸσ τὸν ΓΔ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· οὐδ’ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ Α πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΘ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ Α τῇ ΗΘ μήκει· οὐδετέρα ἄρα τῶν ΖΗ, ΗΘ σύμμετρόσ ἐστι τῇ Α ῥητῇ μήκει. ᾧ οὖν μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΗΘ, ἔστω τὸ ἀπὸ τῆσ Κ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡσ ὁ ΒΓ πρὸσ τὸν ΓΔ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΘ, ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡσ ὁ ΓΒ πρὸσ τὸν ΒΔ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Κ. ὁ δὲ ΓΒ πρὸσ τὸν ΒΔ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· οὐδ’ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Κ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ Κ μήκει. καὶ δύναται ἡ ΖΗ τῆσ ΗΘ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆσ Κ· ἡ ΖΗ ἄρα τῆσ ΗΘ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει. καὶ οὐδετέρα τῶν ΖΗ, ΗΘ σύμμετρόσ ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ Α. ἡ ἄρα ΖΘ ἀποτομή ἐστιν ἕκτη. Εὑρ́ηται ἄρα ἡ ἕκτη ἀποτομὴ ἡ ΖΘ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆσ καὶ ἀποτομῆσ πρώτησ, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἀποτομή ἐστιν. Περιεχέσθω γὰρ χωρίον τὸ ΑΒ ὑπὸ ῥητῆσ τῆσ ΑΓ καὶ ἀποτομῆσ πρώτησ τῆσ ΑΔ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη ἀποτομή ἐστιν. Ἐπεὶ γὰρ ἀποτομή ἐστι πρώτη ἡ ΑΔ, ἔστω αὐτῇ προσαρμόζουσα ἡ ΔΗ· αἱ ΑΗ, ΗΔ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι. καὶ ὅλη ἡ ΑΗ σύμμετρόσ ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΑΓ, καὶ ἡ ΑΗ τῆσ ΗΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει· ἐὰν ἄρα τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆσ ΔΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰσ σύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ. τετμήσθω ἡ ΔΗ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΕΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ· σύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ. καὶ διὰ τῶν Ε, Ζ, Η σημείων τῇ ΑΓ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΕΘ, ΖΙ, ΗΚ. Καὶ ἐπεὶ σύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ μήκει, καὶ ἡ ΑΗ ἄρα ἑκατέρᾳ τῶν ΑΖ, ΖΗ σύμμετρόσ ἐστι μήκει. ἀλλὰ ἡ ΑΗ σύμμετρόσ ἐστι τῇ ΑΓ· καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΖ, ΖΗ σύμμετρόσ ἐστι τῇ ΑΓ μήκει. καί ἐστι ῥητὴ ἡ ΑΓ· ῥητὴ ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΑΖ, ΖΗ· ὥστε καὶ ἑκάτερον τῶν ΑΙ, ΖΚ ῥητόν ἐστιν. καὶ ἐπεὶ σύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΔΕ τῇ ΕΗ μήκει, καὶ ἡ ΔΗ ἄρα ἑκατέρᾳ τῶν ΔΕ, ΕΗ σύμμετρόσ ἐστι μήκει. ῥητὴ δὲ ἡ ΔΗ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΑΓ μήκει· ῥητὴ ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΔΕ, ΕΗ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΑΓ μήκει· ἑκάτερον ἄρα τῶν ΔΘ, ΕΚ μέσον ἐστίν. Κείσθω δὴ τῷ μὲν ΑΙ ἴσον τετράγωνον τὸ ΛΜ, τῷ δὲ ΖΚ ἴσον τετράγωνον ἀφῃρήσθω κοινὴν γωνίαν ἔχον αὐτῷ τὴν ὑπὸ ΛΟΜ τὸ ΝΞ· περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν ἐστι τὰ ΛΜ, ΝΞ τετράγωνα. ἔστω αὐτῶν διάμετροσ ἡ ΟΡ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα. ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ περιεχόμενον ὀρθογώνιον τῷ ἀπὸ τῆσ ΕΗ τετραγώνῳ, ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΑΖ πρὸσ τὴν ΕΗ, οὕτωσ ἡ ΕΗ πρὸσ τὴν ΖΗ. ἀλλ’ ὡσ μὲν ἡ ΑΖ πρὸσ τὴν ΕΗ, οὕτωσ τὸ ΑΙ πρὸσ τὸ ΕΚ, ὡσ δὲ ἡ ΕΗ πρὸσ τὴν ΖΗ, οὕτωσ ἐστὶ τὸ ΕΚ πρὸσ τὸ ΚΖ· τῶν ἄρα ΑΙ, ΚΖ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΕΚ. ἔστι δὲ καὶ τῶν ΛΜ, ΝΞ μέσον ἀνάλογον τὸ ΜΝ, ὡσ ἐν τοῖσ ἔμπροσθεν ἐδείχθη, καί ἐστι τὸ [μὲν] ΑΙ τῷ ΛΜ τετραγώνῳ ἴσον, τὸ δὲ ΚΖ τῷ ΝΞ· καὶ τὸ ΜΝ ἄρα τῷ ΕΚ ἴσον ἐστίν. ἀλλὰ τὸ μὲν ΕΚ τῷ ΔΘ ἐστιν ἴσον, τὸ δὲ ΜΝ τῷ ΛΞ· τὸ ἄρα ΔΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΥΦΧ γνώμονι καὶ τῷ ΝΞ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ΑΚ ἴσον τοῖσ ΛΜ, ΝΞ τετραγώνοισ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΣΤ. τὸ δὲ ΣΤ τὸ ἀπὸ τῆσ ΛΝ ἐστι τετράγωνον· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆσ ΛΝ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΒ· ἡ ΛΝ ἄρα δύναται τὸ ΑΒ. Λέγω δή, ὅτι ἡ ΛΝ ἀποτομή ἐστιν. Ἐπεὶ γὰρ ῥητόν ἐστιν ἑκάτερον τῶν ΑΙ, ΖΚ, καί ἐστιν ἴσον τοῖσ ΛΜ, ΝΞ, καὶ ἑκάτερον ἄρα τῶν ΛΜ, ΝΞ ῥητόν ἐστιν, τουτέστι τὸ ἀπὸ ἑκατέρασ τῶν ΛΟ, ΟΝ· καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ΛΟ, ΟΝ ῥητή ἐστιν. πάλιν, ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ ΔΘ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΛΞ, μέσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΛΞ. ἐπεὶ οὖν τὸ μὲν ΛΞ μέσον ἐστίν, τὸ δὲ ΝΞ ῥητόν, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΞ τῷ ΝΞ· ὡσ δὲ τὸ ΛΞ πρὸσ τὸ ΝΞ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΛΟ πρὸσ τὴν ΟΝ· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΟ τῇ ΟΝ μήκει. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ΛΟ, ΟΝ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΝ. καὶ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον· ἡ ἄρα τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη ἀποτομή ἐστιν. Εἂν ἄρα χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆσ, καὶ τὰ ἑξῆσ. Εἂν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆσ καὶ ἀποτομῆσ δευτέρασ, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη μέσησ ἀποτομή ἐστι πρώτη. Χωρίον γὰρ τὸ ΑΒ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆσ τῆσ ΑΓ καὶ ἀποτομῆσ δευτέρασ τῆσ ΑΔ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη μέσησ ἀποτομή ἐστι πρώτη. Ἔστω γὰρ τῇ ΑΔ προσαρμόζουσα ἡ ΔΗ· αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΔ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΔΗ σύμμετρόσ ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΑΓ, ἡ δὲ ὅλη ἡ ΑΗ τῆσ προσαρμοζούσησ τῆσ ΗΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΗ τῆσ ΗΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, ἐὰν ἄρα τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆσ ΗΔ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰσ σύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ. τετμήσθω οὖν ἡ ΔΗ δίχα κατὰ τὸ Ε· καὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΕΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ· σύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ μήκει. καὶ ἡ ΑΗ ἄρα ἑκατέρᾳ τῶν ΑΖ, ΖΗ σύμμετρόσ ἐστι μήκει. ῥητὴ δὲ ἡ ΑΗ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΑΓ μήκει· καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΖ, ΖΗ ῥητή ἐστι καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΑΓ μήκει· ἑκάτερον ἄρα τῶν ΑΙ, ΖΚ μέσον ἐστίν. πάλιν, ἐπεὶ σύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΔΕ τῇ ΕΗ, καὶ ἡ ΔΗ ἄρα ἑκατέρᾳ τῶν ΔΕ, ΕΗ σύμμετρόσ ἐστιν. ἀλλ’ ἡ ΔΗ σύμμετρόσ ἐστι τῇ ΑΓ μήκει. [ῥητὴ ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΔΕ, ΕΗ καὶ σύμμετροσ τῇ ΑΓ μήκει. ] ἑκάτερον ἄρα τῶν ΔΘ, ΕΚ ῥητόν ἐστιν. Συνεστάτω οὖν τῷ μὲν ΑΙ ἴσον τετράγωνον τὸ ΛΜ, τῷ δὲ ΖΚ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΝΞ περὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν ὂν τῷ ΛΜ τὴν ὑπὸ τῶν ΛΟΜ· περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα ἐστὶ διάμετρον τὰ ΛΜ, ΝΞ τετράγωνα. ἔστω αὐτῶν διάμετροσ ἡ ΟΡ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα. ἐπεὶ οὖν τὰ ΑΙ, ΖΚ μέσα ἐστὶ καί ἐστιν ἴσα τοῖσ ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ, καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ [ἄρα] μέσα ἐστίν· καὶ αἱ ΛΟ, ΟΝ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι. καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΕΗ, ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΑΖ πρὸσ τὴν ΕΗ, οὕτωσ ἡ ΕΗ πρὸσ τὴν ΖΗ· ἀλλ’ ὡσ μὲν ἡ ΑΖ πρὸσ τὴν ΕΗ, οὕτωσ τὸ ΑΙ πρὸσ τὸ ΕΚ· ὡσ δὲ ἡ ΕΗ πρὸσ τὴν ΖΗ, οὕτωσ [ἐστὶ] τὸ ΕΚ πρὸσ τὸ ΖΚ· τῶν ἄρα ΑΙ, ΖΚ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΕΚ. ἔστι δὲ καὶ τῶν ΛΜ, ΝΞ τετραγώνων μέσον ἀνάλογον τὸ ΜΝ· καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν ΑΙ τῷ ΛΜ, τὸ δὲ ΖΚ τῷ ΝΞ· καὶ τὸ ΜΝ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ΕΚ. ἀλλὰ τῷ μὲν ΕΚ ἴσον [ἐστὶ] τὸ ΔΘ, τῷ δὲ ΜΝ ἴσον τὸ ΛΞ· ὅλον ἄρα τὸ ΔΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΥΦΧ γνώμονι καὶ τῷ ΝΞ. ἐπεὶ οὖν ὅλον τὸ ΑΚ ἴσον ἐστὶ τοῖσ ΛΜ, ΝΞ, ὧν τὸ ΔΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΥΦΧ γνώμονι καὶ τῷ ΝΞ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΤΣ. τὸ δὲ ΤΣ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΛΝ· τὸ ἀπὸ τῆσ ΛΝ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΒ χωρίῳ· ἡ ΛΝ ἄρα δύναται τὸ ΑΒ χωρίον. Λέγω [δή], ὅτι ἡ ΛΝ μέσησ ἀποτομή ἐστι πρώτη. Ἐπεὶ γὰρ ῥητόν ἐστι τὸ ΕΚ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΛΞ, ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΞ, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ. μέσον δὲ ἐδείχθη τὸ ΝΞ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΞ τῷ ΝΞ· ὡσ δὲ τὸ ΛΞ πρὸσ τὸ ΝΞ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΛΟ πρὸσ ΟΝ· αἱ ΛΟ, ΟΝ ἄρα ἀσύμμετροί εἰσι μήκει. αἱ ἄρα ΛΟ, ΟΝ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι ῥητὸν περιέχουσαι· ἡ ΛΝ ἄρα μέσησ ἀποτομή ἐστι πρώτη· καὶ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον. Ἡ ἄρα τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη μέσησ ἀποτομή ἐστι πρώτη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆσ καὶ ἀποτομῆσ τρίτησ, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη μέσησ ἀποτομή ἐστι δευτέρα. Χωρίον γὰρ τὸ ΑΒ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆσ τῆσ ΑΓ καὶ ἀποτομῆσ τρίτησ τῆσ ΑΔ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη μέσησ ἀποτομή ἐστι δευτέρα. Ἔστω γὰρ τῇ ΑΔ προσαρμόζουσα ἡ ΔΗ· αἱ ΑΗ, ΗΔ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ οὐδετέρα τῶν ΑΗ, ΗΔ σύμμετρόσ ἐστι μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΑΓ, ἡ δὲ ὅλη ἡ ΑΗ τῆσ προσαρμοζούσησ τῆσ ΔΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΗ τῆσ ΗΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, ἐὰν ἄρα τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆσ ΔΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰσ σύμμετρα αὐτὴν διελεῖ. τετμήσθω οὖν ἡ ΔΗ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΕΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ. καὶ ἤχθωσαν διὰ τῶν Ε, Ζ, Η σημείων τῇ ΑΓ παράλληλοι αἱ ΕΘ, ΖΙ, ΗΚ· σύμμετροι ἄρα εἰσὶν αἱ ΑΖ, ΖΗ· σύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ΑΙ τῷ ΖΚ. καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΖ, ΖΗ σύμμετροί εἰσι μήκει, καὶ ἡ ΑΗ ἄρα ἑκατέρᾳ τῶν ΑΖ, ΖΗ σύμμετρόσ ἐστι μήκει. ῥητὴ δὲ ἡ ΑΗ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΑΓ μήκει· ὥστε καὶ αἱ ΑΖ, ΖΗ. ἑκάτερον ἄρα τῶν ΑΙ, ΖΚ μέσον ἐστίν. πάλιν, ἐπεὶ σύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΔΕ τῇ ΕΗ μήκει, καὶ ἡ ΔΗ ἄρα ἑκατέρᾳ τῶν ΔΕ, ΕΗ σύμμετρόσ ἐστι μήκει. ῥητὴ δὲ ἡ ΗΔ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΑΓ μήκει· ῥητὴ ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΔΕ, ΕΗ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΑΓ μήκει· ἑκάτερον ἄρα τῶν ΔΘ, ΕΚ μέσον ἐστίν. καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΗ, ΗΔ δυνάμει μόνον σύμμετροί εἰσιν, ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶ μήκει ἡ ΑΗ τῇ ΗΔ. ἀλλ’ ἡ μὲν ΑΗ τῇ ΑΖ σύμμετρόσ ἐστι μήκει, ἡ δὲ ΔΗ τῇ ΕΗ· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΕΗ μήκει. ὡσ δὲ ἡ ΑΖ πρὸσ τὴν ΕΗ, οὕτωσ ἐστὶ τὸ ΑΙ πρὸσ τὸ ΕΚ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΙ τῷ ΕΚ. Συνεστάτω οὖν τῷ μὲν ΑΙ ἴσον τετράγωνον τὸ ΛΜ, τῷ δὲ ΖΚ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΝΞ περὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν ὂν τῷ ΛΜ· περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν ἐστι τὰ ΛΜ, ΝΞ. ἔστω αὐτῶν διάμετροσ ἡ ΟΡ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΕΗ, ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΑΖ πρὸσ τὴν ΕΗ, οὕτωσ ἡ ΕΗ πρὸσ τὴν ΖΗ. ἀλλ’ ὡσ μὲν ἡ ΑΖ πρὸσ τὴν ΕΗ, οὕτωσ ἐστὶ τὸ ΑΙ πρὸσ τὸ ΕΚ· ὡσ δὲ ἡ ΕΗ πρὸσ τὴν ΖΗ, οὕτωσ ἐστὶ τὸ ΕΚ πρὸσ τὸ ΖΚ· καὶ ὡσ ἄρα τὸ ΑΙ πρὸσ τὸ ΕΚ, οὕτωσ τὸ ΕΚ πρὸσ τὸ ΖΚ· τῶν ἄρα ΑΙ, ΖΚ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΕΚ. ἔστι δὲ καὶ τῶν ΛΜ, ΝΞ τετραγώνων μέσον ἀνάλογον τὸ ΜΝ· καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν ΑΙ τῷ ΛΜ, τὸ δὲ ΖΚ τῷ ΝΞ· καὶ τὸ ΕΚ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ΜΝ. ἀλλὰ τὸ μὲν ΜΝ ἴσον ἐστὶ τῷ ΛΞ, τὸ δὲ ΕΚ ἴσον [ἐστὶ] τῷ ΔΘ· καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΔΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΥΦΧ γνώμονι καὶ τῷ ΝΞ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ΑΚ ἴσον τοῖσ ΛΜ, ΝΞ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΣΤ, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆσ ΛΝ τετραγώνῳ· ἡ ΛΝ ἄρα δύναται τὸ ΑΒ χωρίον. Λέγω, ὅτι ἡ ΛΝ μέσησ ἀποτομή ἐστι δευτέρα. Ἐπεὶ γὰρ μέσα ἐδείχθη τὰ ΑΙ, ΖΚ καί ἐστιν ἴσα τοῖσ ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ, μέσον ἄρα καὶ ἑκάτερον τῶν ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ· μέση ἄρα ἑκατέρα τῶν ΛΟ, ΟΝ. καὶ ἐπεὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ ΑΙ τῷ ΖΚ, σύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΛΟ τῷ ἀπὸ τῆσ ΟΝ. πάλιν, ἐπεὶ ἀσύμμετρον ἐδείχθη τὸ ΑΙ τῷ ΕΚ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΛΜ τῷ ΜΝ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΛΟ τῷ ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ· ὥστε καὶ ἡ ΛΟ ἀσύμμετρόσ ἐστι τῇ ΟΝ· αἱ ΛΟ, ΟΝ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι. Λέγω δή, ὅτι καὶ μέσον περιέχουσιν. Ἐπεὶ γὰρ μέσον ἐδείχθη τὸ ΕΚ καί ἐστιν ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ, μέσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ· ὥστε αἱ ΛΟ, ΟΝ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι μέσον περιέχουσαι. ἡ ΛΝ ἄρα μέσησ ἀποτομή ἐστι δευτέρα· καὶ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον. Ἡ ἄρα τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη μέσησ ἀποτομή ἐστι δευτέρα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆσ καὶ ἀποτομῆσ τετάρτησ, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἐλάσσων ἐστίν. Χωρίον γὰρ τὸ ΑΒ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆσ τῆσ ΑΓ καὶ ἀποτομῆσ τετάρτησ τῆσ ΑΔ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη ἐλάσσων ἐστίν. Ἔστω γὰρ τῇ ΑΔ προσαρμόζουσα ἡ ΔΗ· αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΔ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΑΗ σύμμετρόσ ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΑΓ μήκει, ἡ δὲ ὅλη ἡ ΑΗ τῆσ προσαρμοζούσησ τῆσ ΔΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΗ τῆσ ΗΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει, ἐὰν ἄρα τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆσ ΔΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰσ ἀσύμμετρα αὐτὴν διελεῖ. τετμήσθω οὖν ἡ ΔΗ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΕΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶ μήκει ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ. ἤχθωσαν οὖν διὰ τῶν Ε, Ζ, Η παράλληλοι ταῖσ ΑΓ, ΒΔ αἱ ΕΘ, ΖΙ, ΗΚ. ἐπεὶ οὖν ῥητή ἐστιν ἡ ΑΗ καὶ σύμμετροσ τῇ ΑΓ μήκει, ῥητὸν ἄρα ἐστὶν ὅλον τὸ ΑΚ. πάλιν, ἐπεὶ ἀσύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΔΗ τῇ ΑΓ μήκει, καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί, μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΚ. πάλιν, ἐπεὶ ἀσύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ μήκει, ἀσύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ΑΙ τῷ ΖΚ. συνεστάτω οὖν τῷ μὲν ΑΙ ἴσον τετράγωνον τὸ ΛΜ, τῷ δὲ ΖΚ ἴσον ἀφῃρήσθω περὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν τὴν ὑπὸ τῶν ΛΟΜ τὸ ΝΞ. περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν ἐστι τὰ ΛΜ, ΝΞ τετράγωνα. ἔστω αὐτῶν διάμετροσ ἡ ΟΡ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΕΗ, ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΑΖ πρὸσ τὴν ΕΗ, οὕτωσ ἡ ΕΗ πρὸσ τὴν ΖΗ. ἀλλ’ ὡσ μὲν ἡ ΑΖ πρὸσ τὴν ΕΗ, οὕτωσ ἐστὶ τὸ ΑΙ πρὸσ τὸ ΕΚ, ὡσ δὲ ἡ ΕΗ πρὸσ τὴν ΖΗ, οὕτωσ ἐστὶ τὸ ΕΚ πρὸσ τὸ ΖΚ· τῶν ἄρα ΑΙ, ΖΚ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΕΚ. ἔστι δὲ καὶ τῶν ΛΜ, ΝΞ τετραγώνων μέσον ἀνάλογον τὸ ΜΝ, καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν ΑΙ τῷ ΛΜ, τὸ δὲ ΖΚ τῷ ΝΞ· καὶ τὸ ΕΚ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ΜΝ. ἀλλὰ τῷ μὲν ΕΚ ἴσον ἐστὶ τὸ ΔΘ, τῷ δὲ ΜΝ ἴσον ἐστὶ τὸ ΛΞ· ὅλον ἄρα τὸ ΔΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΥΦΧ γνώμονι καὶ τῷ ΝΞ. ἐπεὶ οὖν ὅλον τὸ ΑΚ ἴσον ἐστὶ τοῖσ ΛΜ, ΝΞ τετραγώνοισ, ὧν τὸ ΔΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΥΦΧ γνώμονι καὶ τῷ ΝΞ τετραγώνῳ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΣΤ, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆσ ΛΝ τετραγώνῳ· ἡ ΛΝ ἄρα δύναται τὸ ΑΒ χωρίον. Λέγω, ὅτι ἡ ΛΝ ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάσσων. Ἐπεὶ γὰρ ῥητόν ἐστι τὸ ΑΚ καί ἐστιν ἴσον τοῖσ ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ τετραγώνοισ, τὸ ἄρα συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ ῥητόν ἐστιν. πάλιν, ἐπεὶ τὸ ΔΚ μέσον ἐστίν, καί ἐστιν ἴσον τὸ ΔΚ τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ, τὸ ἄρα δὶσ ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ μέσον ἐστίν. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρον ἐδείχθη τὸ ΑΙ τῷ ΖΚ, ἀσύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΛΟ τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆσ ΟΝ τετραγώνῳ. αἱ ΛΟ, ΟΝ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δὲ δὶσ ὑπ’ αὐτῶν μέσον. ἡ ΛΝ ἄρα ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάσσων· καὶ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον. Ἡ ἄρα τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη ἐλάσσων ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆσ καὶ ἀποτομῆσ πέμπτησ, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη [ἡ] μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν. Χωρίον γὰρ τὸ ΑΒ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆσ τῆσ ΑΓ καὶ ἀποτομῆσ πέμπτησ τῆσ ΑΔ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη [ἡ] μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν. Ἔστω γὰρ τῇ ΑΔ προσαρμόζουσα ἡ ΔΗ· αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΔ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΗΔ σύμμετρόσ ἐστι μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΑΓ, ἡ δὲ ὅλη ἡ ΑΗ τῆσ προσαρμοζούσησ τῆσ ΔΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. ἐὰν ἄρα τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆσ ΔΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰσ ἀσύμμετρα αὐτὴν διελεῖ. τετμήσθω οὖν ἡ ΔΗ δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον, καὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΕΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ μήκει. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΑΗ τῇ ΓΑ μήκει, καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί, μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΚ. πάλιν, ἐπεὶ ῥητή ἐστιν ἡ ΔΗ καὶ σύμμετροσ τῇ ΑΓ μήκει, ῥητόν ἐστι τὸ ΔΚ. συνεστάτω οὖν τῷ μὲν ΑΙ ἴσον τετράγωνον τὸ ΛΜ, τῷ δὲ ΖΚ ἴσον τετράγωνον ἀφῃρήσθω τὸ ΝΞ περὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν τὴν ὑπὸ ΛΟΜ· περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν ἐστι τὰ ΛΜ, ΝΞ τετράγωνα. ἔστω αὐτῶν διάμετροσ ἡ ΟΡ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι ἡ ΛΝ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον. Λέγω, ὅτι ἡ ΛΝ ἡ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν. Ἐπεὶ γὰρ μέσον ἐδείχθη τὸ ΑΚ καί ἐστιν ἴσον τοῖσ ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ, τὸ ἄρα συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ μέσον ἐστίν. πάλιν, ἐπεὶ ῥητόν ἐστι τὸ ΔΚ καί ἐστιν ἴσον τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ, καὶ αὐτὸ ῥητόν ἐστιν. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ ΑΙ τῷ ΖΚ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΛΟ τῷ ἀπὸ τῆσ ΟΝ· αἱ ΛΟ, ΟΝ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δὲ δὶσ ὑπ’ αὐτῶν ῥητόν. ἡ λοιπὴ ἄρα ἡ ΛΝ ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα· καὶ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον. Ἡ τὸ ΑΒ ἄρα χωρίον δυναμένη μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆσ καὶ ἀποτομῆσ ἕκτησ, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν. Χωρίον γὰρ τὸ ΑΒ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆσ τῆσ ΑΓ καὶ ἀποτομῆσ ἕκτησ τῆσ ΑΔ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη [ἡ] μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν. Ἔστω γὰρ τῇ ΑΔ προσαρμόζουσα ἡ ΔΗ· αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΔ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ οὐδετέρα αὐτῶν σύμμετρόσ ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΑΓ μήκει, ἡ δὲ ὅλη ἡ ΑΗ τῆσ προσαρμοζούσησ τῆσ ΔΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΗ τῆσ ΗΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει, ἐὰν ἄρα τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆσ ΔΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰσ ἀσύμμετρα αὐτὴν διελεῖ. τετμήσθω οὖν ἡ ΔΗ δίχα κατὰ τὸ Ε [σημεῖον], καὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΕΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ μήκει. ὡσ δὲ ἡ ΑΖ πρὸσ τὴν ΖΗ, οὕτωσ ἐστὶ τὸ ΑΙ πρὸσ τὸ ΖΚ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΙ τῷ ΖΚ. καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΗ, ΑΓ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, μέσον ἐστὶ τὸ ΑΚ. πάλιν, ἐπεὶ αἱ ΑΓ, ΔΗ ῥηταί εἰσι καὶ ἀσύμμετροι μήκει, μέσον ἐστὶ καὶ τὸ ΔΚ. ἐπεὶ οὖν αἱ ΑΗ, ΗΔ δυνάμει μόνον σύμμετροί εἰσιν, ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΗ τῇ ΗΔ μήκει. ὡσ δὲ ἡ ΑΗ πρὸσ τὴν ΗΔ, οὕτωσ ἐστὶ τὸ ΑΚ πρὸσ τὸ ΚΔ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΚ τῷ ΚΔ. συνεστάτω οὖν τῷ μὲν ΑΙ ἴσον τετράγωνον τὸ ΛΜ, τῷ δὲ ΖΚ ἴσον ἀφῃρήσθω περὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν τὸ ΝΞ· περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν ἐστι τὰ ΛΜ, ΝΞ τετράγωνα. ἔστω αὐτῶν διάμετροσ ἡ ΟΡ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα. ὁμοίωσ δὴ τοῖσ ἐπάνω δείξομεν, ὅτι ἡ ΛΝ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον. Λέγω, ὅτι ἡ ΛΝ [ἡ] μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν. Ἐπεὶ γὰρ μέσον ἐδείχθη τὸ ΑΚ καί ἐστιν ἴσον τοῖσ ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ, τὸ ἄρα συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ μέσον ἐστίν. πάλιν, ἐπεὶ μέσον ἐδείχθη τὸ ΔΚ καί ἐστιν ἴσον τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ, καὶ τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ μέσον ἐστίν. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρον ἐδείχθη τὸ ΑΚ τῷ ΔΚ, ἀσύμμετρα [ἄρα] ἐστὶ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ τετράγωνα τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ ΑΙ τῷ ΖΚ, ἀσύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΛΟ τῷ ἀπὸ τῆσ ΟΝ· αἱ ΛΟ, ΟΝ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ τὸ δὶσ ὑπ’ αὐτῶν μέσον ἔτι τε τὰ ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα ἀσύμμετρα τῷ δὶσ ὑπ’ αὐτῶν. ἡ ἄρα ΛΝ ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα· καὶ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον. Ἡ ἄρα τὸ χωρίον δυναμένη μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τὸ ἀπὸ ἀποτομῆσ παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ ἀποτομὴν πρώτην. Ἔστω ἀποτομὴ ἡ ΑΒ, ῥητὴ δὲ ἡ ΓΔ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΕ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΓΖ· λέγω, ὅτι ἡ ΓΖ ἀποτομή ἐστι πρώτη. Ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΗ· αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΒ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι. καὶ τῷ μὲν ἀπὸ τῆσ ΑΗ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΘ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆσ ΒΗ τὸ ΚΛ. ὅλον ἄρα τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖσ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ· ὧν τὸ ΓΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΒ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΖΛ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. τετμήσθω ἡ ΖΜ δίχα κατὰ τὸ Ν σημεῖον, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ν τῇ ΓΔ παράλληλοσ ἡ ΝΞ· ἑκάτερον ἄρα τῶν ΖΞ, ΛΝ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. καὶ ἐπεὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ῥητά ἐστιν, καί ἐστι τοῖσ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον τὸ ΔΜ, ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΜ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παραβέβληται πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΓΜ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ καὶ σύμμετροσ τῇ ΓΔ μήκει. πάλιν, ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, καὶ τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον τὸ ΖΛ, μέσον ἄρα τὸ ΖΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παράκειται πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΖΜ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΜ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΓΔ μήκει. καὶ ἐπεὶ τὰ μὲν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ῥητά ἐστιν, τὸ δὲ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον, ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. καὶ τοῖσ μὲν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΛ, τῷ δὲ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τὸ ΖΛ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΜ τῷ ΖΛ. ὡσ δὲ τὸ ΔΜ πρὸσ τὸ ΖΛ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΓΜ πρὸσ τὴν ΖΜ. ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ τῇ ΖΜ μήκει. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ἄρα ΓΜ, ΜΖ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἡ ΓΖ ἄρα ἀποτομή ἐστιν. Λέγω δή, ὅτι καὶ πρώτη. Ἐπεὶ γὰρ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, καί ἐστι τῷ μὲν ἀπὸ τῆσ ΑΗ ἴσον τὸ ΓΘ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆσ ΒΗ ἴσον τὸ ΚΛ, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τὸ ΝΛ, καὶ τῶν ΓΘ, ΚΛ ἄρα μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΝΛ· ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ ΓΘ πρὸσ τὸ ΝΛ, οὕτωσ τὸ ΝΛ πρὸσ τὸ ΚΛ. ἀλλ’ ὡσ μὲν τὸ ΓΘ πρὸσ τὸ ΝΛ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΓΚ πρὸσ τὴν ΝΜ· ὡσ δὲ τὸ ΝΛ πρὸσ τὸ ΚΛ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΝΜ πρὸσ τὴν ΚΜ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΚ, ΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΝΜ, τουτέστι τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆσ ΖΜ. καὶ ἐπεὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΗ τῷ ἀπὸ τῆσ ΗΒ, σύμμετρόν [ἐστι] καὶ τὸ ΓΘ τῷ ΚΛ. ὡσ δὲ τὸ ΓΘ πρὸσ τὸ ΚΛ, οὕτωσ ἡ ΓΚ πρὸσ τὴν ΚΜ· σύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΚ τῇ ΚΜ. ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι ἄνισοί εἰσιν αἱ ΓΜ, ΜΖ, καὶ τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆσ ΖΜ ἴσον παρὰ τὴν ΓΜ παραβέβληται ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΚ, ΚΜ, καί ἐστι σύμμετροσ ἡ ΓΚ τῇ ΚΜ, ἡ ἄρα ΓΜ τῆσ ΜΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει. καί ἐστιν ἡ ΓΜ σύμμετροσ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΓΔ μήκει· ἡ ἄρα ΓΖ ἀποτομή ἐστι πρώτη. Τὸ ἄρα ἀπὸ ἀποτομῆσ παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ ἀποτομὴν πρώτην· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τὸ ἀπὸ μέσησ ἀποτομῆσ πρώτησ παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ ἀποτομὴν δευτέραν. Ἔστω μέσησ ἀποτομὴ πρώτη ἡ ΑΒ, ῥητὴ δὲ ἡ ΓΔ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΕ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΓΖ· λέγω, ὅτι ἡ ΓΖ ἀποτομή ἐστι δευτέρα. Ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΗ· αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΒ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι ῥητὸν περιέχουσαι. καὶ τῷ μὲν ἀπὸ τῆσ ΑΗ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΘ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΓΚ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆσ ΗΒ ἴσον τὸ ΚΛ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΚΜ· ὅλον ἄρα τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖσ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ· μέσον ἄρα καὶ τὸ ΓΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παράκειται πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΓΜ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΓΔ μήκει. καὶ ἐπεὶ τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖσ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, ὧν τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΓΕ, λοιπὸν ἄρα τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΖΛ. ῥητὸν δὲ [ἐστι] τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ· ῥητὸν ἄρα τὸ ΖΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΖΕ παράκειται πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΖΜ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΜ καὶ σύμμετροσ τῇ ΓΔ μήκει. ἐπεὶ οὖν τὰ μὲν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, τουτέστι τὸ ΓΛ, μέσον ἐστίν, τὸ δὲ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, τουτέστι τὸ ΖΛ, ῥητόν, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΛ τῷ ΖΛ. ὡσ δὲ τὸ ΓΛ πρὸσ τὸ ΖΛ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΓΜ πρὸσ τὴν ΖΜ· ἀσύμμετροσ ἄρα ἡ ΓΜ τῇ ΖΜ μήκει. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ἄρα ΓΜ, ΜΖ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἡ ΓΖ ἄρα ἀποτομή ἐστιν. Λέγω δή, ὅτι καὶ δευτέρα. Τετμήσθω γὰρ ἡ ΖΜ δίχα κατὰ τὸ Ν, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ν τῇ ΓΔ παράλληλοσ ἡ ΝΞ· ἑκάτερον ἄρα τῶν ΖΞ, ΝΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. καὶ ἐπεὶ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τετραγώνων μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν ἀπὸ τῆσ ΑΗ τῷ ΓΘ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ ΝΛ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆσ ΒΗ τῷ ΚΛ, καὶ τῶν ΓΘ, ΚΛ ἄρα μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΝΛ· ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ ΓΘ πρὸσ τὸ ΝΛ, οὕτωσ τὸ ΝΛ πρὸσ τὸ ΚΛ. ἀλλ’ ὡσ μὲν τὸ ΓΘ πρὸσ τὸ ΝΛ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΓΚ πρὸσ τὴν ΝΜ, ὡσ δὲ τὸ ΝΛ πρὸσ τὸ ΚΛ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΝΜ πρὸσ τὴν ΜΚ· ὡσ ἄρα ἡ ΓΚ πρὸσ τὴν ΝΜ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΝΜ πρὸσ τὴν ΚΜ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΚ, ΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΝΜ, τουτέστι τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆσ ΖΜ. [καὶ ἐπεὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΗ τῷ ἀπὸ τῆσ ΒΗ, σύμμετρόν ἐστι καὶ τὸ ΓΘ τῷ ΚΛ, τουτέστιν ἡ ΓΚ τῇ ΚΜ. ] ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι ἄνισοί εἰσιν αἱ ΓΜ, ΜΖ, καὶ τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆσ ΜΖ ἴσον παρὰ τὴν μείζονα τὴν ΓΜ παραβέβληται ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΚ, ΚΜ καὶ εἰσ σύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ, ἡ ἄρα ΓΜ τῆσ ΜΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει. καί ἐστιν ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΖΜ σύμμετροσ μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΓΔ· ἡ ἄρα ΓΖ ἀποτομή ἐστι δευτέρα. Τὸ ἄρα ἀπὸ μέσησ ἀποτομῆσ πρώτησ παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ ἀποτομὴν δευτέραν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τὸ ἀπὸ μέσησ ἀποτομῆσ δευτέρασ παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ ἀποτομὴν τρίτην. Ἔστω μέσησ ἀποτομὴ δευτέρα ἡ ΑΒ, ῥητὴ δὲ ἡ ΓΔ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΕ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΓΖ· λέγω, ὅτι ἡ ΓΖ ἀποτομή ἐστι τρίτη. Ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΗ· αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΒ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι μέσον περιέχουσαι. καὶ τῷ μὲν ἀπὸ τῆσ ΑΗ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΘ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΓΚ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆσ ΒΗ ἴσον παρὰ τὴν ΚΘ παραβεβλήσθω τὸ ΚΛ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΚΜ· ὅλον ἄρα τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖσ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ [καί ἐστι μέσα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ]· μέσον ἄρα καὶ τὸ ΓΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παραβέβληται πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΓΜ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΓΔ μήκει. καὶ ἐπεὶ ὅλον τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖσ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, ὧν τὸ ΓΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΒ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΛΖ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. τετμήσθω οὖν ἡ ΖΜ δίχα κατὰ τὸ Ν σημεῖον, καὶ τῇ ΓΔ παράλληλοσ ἤχθω ἡ ΝΞ· ἑκάτερον ἄρα τῶν ΖΞ, ΝΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. μέσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ· μέσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΖΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΖΜ· ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΖΜ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΓΔ μήκει. καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΗ, ΗΒ δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι, ἀσύμμετροσ ἄρα [ἐστὶ] μήκει ἡ ΑΗ τῇ ΗΒ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΗ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆσ ΑΗ σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ· ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. ἀλλὰ τοῖσ μὲν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΛ, τῷ δὲ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ΖΛ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΛ τῷ ΖΛ. ὡσ δὲ τὸ ΓΛ πρὸσ τὸ ΖΛ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΓΜ πρὸσ τὴν ΖΜ· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ τῇ ΖΜ μήκει. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ἄρα ΓΜ, ΜΖ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΖ. Λέγω δή, ὅτι καὶ τρίτη. Ἐπεὶ γὰρ σύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΗ τῷ ἀπὸ τῆσ ΗΒ, σύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ΓΘ τῷ ΚΛ· ὥστε καὶ ἡ ΓΚ τῇ ΚΜ. καὶ ἐπεὶ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, καί ἐστι τῷ μὲν ἀπὸ τῆσ ΑΗ ἴσον τὸ ΓΘ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆσ ΗΒ ἴσον τὸ ΚΛ, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον τὸ ΝΛ, καὶ τῶν ΓΘ, ΚΛ ἄρα μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΝΛ· ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ ΓΘ πρὸσ τὸ ΝΛ, οὕτωσ τὸ ΝΛ πρὸσ τὸ ΚΛ. ἀλλ’ ὡσ μὲν τὸ ΓΘ πρὸσ τὸ ΝΛ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΓΚ πρὸσ τὴν ΝΜ, ὡσ δὲ τὸ ΝΛ πρὸσ τὸ ΚΛ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΝΜ πρὸσ τὴν ΚΜ· ὡσ ἄρα ἡ ΓΚ πρὸσ τὴν ΜΝ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΜΝ πρὸσ τὴν ΚΜ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΚ, ΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ [ἀπὸ τῆσ ΜΝ, τουτέστι τῷ] τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆσ ΖΜ. ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι ἄνισοί εἰσιν αἱ ΓΜ, ΜΖ, καὶ τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆσ ΖΜ ἴσον παρὰ τὴν ΓΜ παραβέβληται ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ καὶ εἰσ σύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ, ἡ ΓΜ ἄρα τῆσ ΜΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ. καὶ οὐδετέρα τῶν ΓΜ, ΜΖ σύμμετρόσ ἐστι μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΓΔ· ἡ ἄρα ΓΖ ἀποτομή ἐστι τρίτη. Τὸ ἄρα ἀπὸ μέσησ ἀποτομῆσ δευτέρασ παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ ἀποτομὴν τρίτην· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τὸ ἀπὸ ἐλάσσονοσ παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ ἀποτομὴν τετάρτην. Ἔστω ἐλάσσων ἡ ΑΒ, ῥητὴ δὲ ἡ ΓΔ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΒ ἴσον παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΕ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΓΖ· λέγω, ὅτι ἡ ΓΖ ἀποτομή ἐστι τετάρτη. Ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΗ· αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τετραγώνων ῥητόν, τὸ δὲ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον. καὶ τῷ μὲν ἀπὸ τῆσ ΑΗ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΘ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΓΚ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆσ ΒΗ ἴσον τὸ ΚΛ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΚΜ· ὅλον ἄρα τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖσ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. καί ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ῥητόν· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΓΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παράκειται πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΓΜ· ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΓΜ καὶ σύμμετροσ τῇ ΓΔ μήκει. καὶ ἐπεὶ ὅλον τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖσ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, ὧν τὸ ΓΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΒ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΖΛ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. τετμήσθω οὖν ἡ ΖΜ δίχα κατὰ τὸ Ν σημεῖον, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ν ὁποτέρᾳ τῶν ΓΔ, ΜΛ παράλληλοσ ἡ ΝΞ· ἑκάτερον ἄρα τῶν ΖΞ, ΝΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. καὶ ἐπεὶ τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον ἐστὶ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΖΛ, καὶ τὸ ΖΛ ἄρα μέσον ἐστίν. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΖΕ παράκειται πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΖΜ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΜ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΓΔ μήκει. καὶ ἐπεὶ τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ῥητόν ἐστιν, τὸ δὲ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον, ἀσύμμετρα [ἄρα] ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. ἴσον δέ [ἐστι] τὸ ΓΛ τοῖσ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, τῷ δὲ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον τὸ ΖΛ· ἀσύμμετρον ἄρα [ἐστὶ] τὸ ΓΛ τῷ ΖΛ. ὡσ δὲ τὸ ΓΛ πρὸσ τὸ ΖΛ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΓΜ πρὸσ τὴν ΜΖ· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ τῇ ΜΖ μήκει. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ἄρα ΓΜ, ΜΖ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΖ. Λέγω [δή], ὅτι καὶ τετάρτη. Ἐπεὶ γὰρ αἱ ΑΗ, ΗΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι, ἀσύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΗ τῷ ἀπὸ τῆσ ΗΒ. καί ἐστι τῷ μὲν ἀπὸ τῆσ ΑΗ ἴσον τὸ ΓΘ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆσ ΗΒ ἴσον τὸ ΚΛ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΘ τῷ ΚΛ. ὡσ δὲ τὸ ΓΘ πρὸσ τὸ ΚΛ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΓΚ πρὸσ τὴν ΚΜ· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΚ τῇ ΚΜ μήκει. καὶ ἐπεὶ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν ἀπὸ τῆσ ΑΗ τῷ ΓΘ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆσ ΗΒ τῷ ΚΛ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ ΝΛ, τῶν ἄρα ΓΘ, ΚΛ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΝΛ· ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ ΓΘ πρὸσ τὸ ΝΛ, οὕτωσ τὸ ΝΛ πρὸσ τὸ ΚΛ. ἀλλ’ ὡσ μὲν τὸ ΓΘ πρὸσ τὸ ΝΛ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΓΚ πρὸσ τὴν ΝΜ, ὡσ δὲ τὸ ΝΛ πρὸσ τὸ ΚΛ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΝΜ πρὸσ τὴν ΚΜ· ὡσ ἄρα ἡ ΓΚ πρὸσ τὴν ΜΝ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΜΝ πρὸσ τὴν ΚΜ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΚ, ΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΜΝ, τουτέστι τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆσ ΖΜ. ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι ἄνισοί εἰσιν αἱ ΓΜ, ΜΖ, καὶ τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆσ ΜΖ ἴσον παρὰ τὴν ΓΜ παραβέβληται ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΚ, ΚΜ καὶ εἰσ ἀσύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ, ἡ ἄρα ΓΜ τῆσ ΜΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. καί ἐστιν ὅλη ἡ ΓΜ σύμμετροσ μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΓΔ· ἡ ἄρα ΓΖ ἀποτομή ἐστι τετάρτη. Τὸ ἄρα ἀπὸ ἐλάσσονοσ καὶ τὰ ἑξῆσ. Τὸ ἀπὸ τῆσ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιούσησ παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ ἀποτομὴν πέμπτην. Ἔστω ἡ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα ἡ ΑΒ, ῥητὴ δὲ ἡ ΓΔ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΕ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΓΖ· λέγω, ὅτι ἡ ΓΖ ἀποτομή ἐστι πέμπτη. Ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΗ· αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΒ εὐθεῖαι δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δὲ δὶσ ὑπ’ αὐτῶν ῥητόν. καὶ τῷ μὲν ἀπὸ τῆσ ΑΗ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΘ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆσ ΗΒ ἴσον τὸ ΚΛ· ὅλον ἄρα τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖσ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. τὸ δὲ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἅμα μέσον ἐστίν· μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παράκειται πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΓΜ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΓΔ. καὶ ἐπεὶ ὅλον τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖσ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, ὧν τὸ ΓΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΒ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΖΛ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. τετμήσθω οὖν ἡ ΖΜ δίχα κατὰ τὸ Ν, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ν ὁποτέρᾳ τῶν ΓΔ, ΜΛ παράλληλοσ ἡ ΝΞ· ἑκάτερον ἄρα τῶν ΖΞ, ΝΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. καὶ ἐπεὶ τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ῥητόν ἐστι καί [ἐστιν] ἴσον τῷ ΖΛ, ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΖΜ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΜ καὶ σύμμετροσ τῇ ΓΔ μήκει. καὶ ἐπεὶ τὸ μὲν ΓΛ μέσον ἐστίν, τὸ δὲ ΖΛ ῥητόν, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΛ τῷ ΖΛ. ὡσ δὲ τὸ ΓΛ πρὸσ τὸ ΖΛ, οὕτωσ ἡ ΓΜ πρὸσ τὴν ΜΖ· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ τῇ ΜΖ μήκει. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ἄρα ΓΜ, ΜΖ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΖ. Λέγω δή, ὅτι καὶ πέμπτη. Ὁμοίωσ γὰρ δείξομεν, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΓΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΝΜ, τουτέστι τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆσ ΖΜ. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΗ τῷ ἀπὸ τῆσ ΗΒ, ἴσον δὲ τὸ μὲν ἀπὸ τῆσ ΑΗ τῷ ΓΘ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆσ ΗΒ τῷ ΚΛ, ἀσύμμετρον ἄρα τὸ ΓΘ τῷ ΚΛ. ὡσ δὲ τὸ ΓΘ πρὸσ τὸ ΚΛ, οὕτωσ ἡ ΓΚ πρὸσ τὴν ΚΜ· ἀσύμμετροσ ἄρα ἡ ΓΚ τῇ ΚΜ μήκει. ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι ἄνισοί εἰσιν αἱ ΓΜ, ΜΖ, καὶ τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆσ ΖΜ ἴσον παρὰ τὴν ΓΜ παραβέβληται ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ καὶ εἰσ ἀσύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ, ἡ ἄρα ΓΜ τῆσ ΜΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. καί ἐστιν ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΖΜ σύμμετροσ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΓΔ· ἡ ἄρα ΓΖ ἀποτομή ἐστι πέμπτη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τὸ ἀπὸ τῆσ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιούσησ παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ ἀποτομὴν ἕκτην. Ἔστω ἡ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα ἡ ΑΒ, ῥητὴ δὲ ἡ ΓΔ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΕ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΓΖ· λέγω, ὅτι ἡ ΓΖ ἀποτομή ἐστιν ἕκτη. Ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΗ· αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον καὶ ἀσύμμετρον τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. παραβεβλήσθω οὖν παρὰ τὴν ΓΔ τῷ μὲν ἀπὸ τῆσ ΑΗ ἴσον τὸ ΓΘ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΓΚ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆσ ΒΗ τὸ ΚΛ· ὅλον ἄρα τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖσ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ· μέσον ἄρα [ἐστὶ] καὶ τὸ ΓΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παράκειται πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΓΜ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΓΔ μήκει. ἐπεὶ οὖν τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖσ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, ὧν τὸ ΓΕ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΒ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΖΛ ἴσον ἐστὶ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. καί ἐστι τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον· καὶ τὸ ΖΛ ἄρα μέσον ἐστίν. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΖΕ παράκειται πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΖΜ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΜ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΓΔ μήκει. καὶ ἐπεὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἀσύμμετρά ἐστι τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, καί ἐστι τοῖσ μὲν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον τὸ ΓΛ, τῷ δὲ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον τὸ ΖΛ, ἀσύμμετρον ἄρα [ἐστὶ] τὸ ΓΛ τῷ ΖΛ. ὡσ δὲ τὸ ΓΛ πρὸσ τὸ ΖΛ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΓΜ πρὸσ τὴν ΜΖ· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ τῇ ΜΖ μήκει. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί. αἱ ΓΜ, ΜΖ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΖ. Λέγω δή, ὅτι καὶ ἕκτη. Ἐπεὶ γὰρ τὸ ΖΛ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, τετμήσθω δίχα ἡ ΖΜ κατὰ τὸ Ν, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ν τῇ ΓΔ παράλληλοσ ἡ ΝΞ· ἑκάτερον ἄρα τῶν ΖΞ, ΝΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΗ, ΗΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΗ τῷ ἀπὸ τῆσ ΗΒ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆσ ΑΗ ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΘ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆσ ΗΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ΚΛ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΘ τῷ ΚΛ. ὡσ δὲ τὸ ΓΘ πρὸσ τὸ ΚΛ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΓΚ πρὸσ τὴν ΚΜ· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΚ τῇ ΚΜ. καὶ ἐπεὶ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, καί ἐστι τῷ μὲν ἀπὸ τῆσ ΑΗ ἴσον τὸ ΓΘ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆσ ΗΒ ἴσον τὸ ΚΛ, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον τὸ ΝΛ, καὶ τῶν ἄρα ΓΘ, ΚΛ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΝΛ· ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ ΓΘ πρὸσ τὸ ΝΛ, οὕτωσ τὸ ΝΛ πρὸσ τὸ ΚΛ. καὶ διὰ τὰ αὐτὰ ἡ ΓΜ τῆσ ΜΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. καὶ οὐδετέρα αὐτῶν σύμμετρόσ ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΓΔ· ἡ ΓΖ ἄρα ἀποτομή ἐστιν ἕκτη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἡ τῇ ἀποτομῇ μήκει σύμμετροσ ἀποτομή ἐστι καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτή. Ἔστω ἀποτομὴ ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ μήκει σύμμετροσ ἔστω ἡ ΓΔ· λέγω, ὅτι καὶ ἡ ΓΔ ἀποτομή ἐστι καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ. Ἐπεὶ γὰρ ἀποτομή ἐστιν ἡ ΑΒ, ἔστω αὐτῇ προσαρμόζουσα ἡ ΒΕ· αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι. καὶ τῷ τῆσ ΑΒ πρὸσ τὴν ΓΔ λόγῳ ὁ αὐτὸσ γεγονέτω ὁ τῆσ ΒΕ πρὸσ τὴν ΔΖ· καὶ ὡσ ἓν ἄρα πρὸσ ἕν, πάντα [ἐστὶ] πρὸσ πάντα· ἔστιν ἄρα καὶ ὡσ ὅλη ἡ ΑΕ πρὸσ ὅλην τὴν ΓΖ, οὕτωσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΓΔ. σύμμετροσ δὲ ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ μήκει. σύμμετροσ ἄρα καὶ ἡ ΑΕ μὲν τῇ ΓΖ, ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΔΖ. καὶ αἱ ΑΕ, ΕΒ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι. [ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΔ. Λέγω δή, ὅτι καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ. ] Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡσ ἡ ΑΕ πρὸσ τὴν ΓΖ, οὕτωσ ἡ ΒΕ πρὸσ τὴν ΔΖ, ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΑΕ πρὸσ τὴν ΕΒ, οὕτωσ ἡ ΓΖ πρὸσ τὴν ΖΔ. ἤτοι δὴ ἡ ΑΕ τῆσ ΕΒ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ ἢ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου. εἰ μὲν οὖν ἡ ΑΕ τῆσ ΕΒ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΓΖ τῆσ ΖΔ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ. καὶ εἰ μὲν σύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καὶ ἡ ΓΖ, εἰ δὲ ἡ ΒΕ, καὶ ἡ ΔΖ, εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΑΕ, ΕΒ, καὶ οὐδετέρα τῶν ΓΖ, ΖΔ. εἰ δὲ ἡ ΑΕ [τῆσ ΕΒ] μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΓΖ τῆσ ΖΔ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. καὶ εἰ μὲν σύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καὶ ἡ ΓΖ, εἰ δὲ ἡ ΒΕ, καὶ ἡ ΔΖ, εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΑΕ, ΕΒ, οὐδετέρα τῶν ΓΖ, ΖΔ. Ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΔ καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἡ τῇ μέσησ ἀποτομῇ σύμμετροσ μέσησ ἀποτομή ἐστι καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτή. Ἔστω μέσησ ἀποτομὴ ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ μήκει σύμμετροσ ἔστω ἡ ΓΔ· λέγω, ὅτι καὶ ἡ ΓΔ μέσησ ἀποτομή ἐστι καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ. Ἐπεὶ γὰρ μέσησ ἀποτομή ἐστιν ἡ ΑΒ, ἔστω αὐτῇ προσαρμόζουσα ἡ ΕΒ. αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι. καὶ γεγονέτω ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΓΔ, οὕτωσ ἡ ΒΕ πρὸσ τὴν ΔΖ· σύμμετροσ ἄρα [ἐστὶ] καὶ ἡ ΑΕ τῇ ΓΖ, ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΔΖ. αἱ δὲ ΑΕ, ΕΒ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι· καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι· μέσησ ἄρα ἀποτομή ἐστιν ἡ ΓΔ. Λέγω δή, ὅτι καὶ τῇ τάξει ἐστὶν ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ. Ἐπεὶ [γάρ] ἐστιν ὡσ ἡ ΑΕ πρὸσ τὴν ΕΒ, οὕτωσ ἡ ΓΖ πρὸσ τὴν ΖΔ [ἀλλ’ ὡσ μὲν ἡ ΑΕ πρὸσ τὴν ΕΒ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΕ πρὸσ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ, ὡσ δὲ ἡ ΓΖ πρὸσ τὴν ΖΔ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΓΖ πρὸσ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ], ἔστιν ἄρα καὶ ὡσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΕ πρὸσ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΓΖ πρὸσ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ [καὶ ἐναλλὰξ ὡσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΕ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΓΖ, οὕτωσ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ πρὸσ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ]. σύμμετρον δὲ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΕ τῷ ἀπὸ τῆσ ΓΖ· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ. εἴτε οὖν ῥητόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ, ῥητὸν ἔσται καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ, εἴτε μέσον [ἐστὶ] τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ, μέσον [ἐστὶ] καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ. Μέσησ ἄρα ἀποτομή ἐστιν ἡ ΓΔ καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἡ τῇ ἐλάσσονι σύμμετροσ ἐλάσσων ἐστίν. Ἔστω γὰρ ἐλάσσων ἡ ΑΒ καὶ τῇ ΑΒ σύμμετροσ ἡ ΓΔ· λέγω, ὅτι καὶ ἡ ΓΔ ἐλάσσων ἐστίν. Γεγονέτω γὰρ τὰ αὐτά· καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΕ, ΕΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι, καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡσ ἡ ΑΕ πρὸσ τὴν ΕΒ, οὕτωσ ἡ ΓΖ πρὸσ τὴν ΖΔ, ἔστιν ἄρα καὶ ὡσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΕ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΕΒ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΓΖ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΔ. συνθέντι ἄρα ἐστὶν ὡσ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΕΒ, οὕτωσ τὰ ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΔ [καὶ ἐναλλάξ]· σύμμετρον δέ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΕ τῷ ἀπὸ τῆσ ΔΖ· σύμμετρον ἄρα καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τετραγώνων τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ τετραγώνων. ῥητὸν δέ ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τετραγώνων· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ τετραγώνων. πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΕ πρὸσ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΓΖ πρὸσ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ, σύμμετρον δὲ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΕ τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆσ ΓΖ τετραγώνῳ, σύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ. μέσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ· μέσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ· αἱ ΓΖ, ΖΔ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δ’ ὑπ’ αὐτῶν μέσον. Ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΔ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἡ τῇ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιούσῃ σύμμετροσ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν. Ἔστω μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα ἡ ΑΒ καὶ τῇ ΑΒ σύμμετροσ ἡ ΓΔ· λέγω, ὅτι καὶ ἡ ΓΔ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν. Ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΕ· αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τετραγώνων μέσον, τὸ δ’ ὑπ’ αὐτῶν ῥητόν. καὶ τὰ αὐτὰ κατεσκευάσθω. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν τοῖσ πρότερον, ὅτι αἱ ΓΖ, ΖΔ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶ ταῖσ ΑΕ, ΕΒ, καὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τετραγώνων τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ τετραγώνων, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ· ὥστε καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ τετραγώνων μέσον, τὸ δ’ ὑπ’ αὐτῶν ῥητόν. Ἡ ΓΔ ἄρα μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἡ τῇ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιούσῃ σύμμετροσ καὶ αὐτὴ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν. Ἔστω μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ ἔστω σύμμετροσ ἡ ΓΔ· λέγω, ὅτι καὶ ἡ ΓΔ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν. Ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΕ, καὶ τὰ αὐτὰ κατεσκευάσθω· αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ τὸ ὑπ’ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων τῷ ὑπ’ αὐτῶν. καί εἰσιν, ὡσ ἐδείχθη, αἱ ΑΕ, ΕΒ σύμμετροι ταῖσ ΓΖ, ΖΔ, καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τετραγώνων τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ· καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ τὸ ὑπ’ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν [τετραγώνων] τῷ ὑπ’ αὐτῶν. Ἡ ΓΔ ἄρα μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἀπὸ ῥητοῦ μέσου ἀφαιρουμένου ἡ τὸ λοιπὸν χωρίον δυναμένη μία δύο ἀλόγων γίνεται ἤτοι ἀποτομὴ ἢ ἐλάσσων. Ἀπὸ γὰρ ῥητοῦ τοῦ ΒΓ μέσον ἀφῃρήσθω τὸ ΒΔ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ λοιπὸν δυναμένη τὸ ΕΓ μία δύο ἀλόγων γίνεται ἤτοι ἀποτομὴ ἢ ἐλάσσων. Ἐκκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ ΖΗ, καὶ τῷ μὲν ΒΓ ἴσον παρὰ τὴν ΖΗ παραβεβλήσθω ὀρθογώνιον παραλληλόγραμμον τὸ ΗΘ, τῷ δὲ ΔΒ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΗΚ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΕΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ΛΘ. ἐπεὶ οὖν ῥητὸν μέν ἐστι τὸ ΒΓ, μέσον δὲ τὸ ΒΔ, ἴσον δὲ τὸ μὲν ΒΓ τῷ ΗΘ, τὸ δὲ ΒΔ τῷ ΗΚ, ῥητὸν μὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΘ, μέσον δὲ τὸ ΗΚ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΖΗ παράκειται· ῥητὴ μὲν ἄρα ἡ ΖΘ καὶ σύμμετροσ τῇ ΖΗ μήκει, ῥητὴ δὲ ἡ ΖΚ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΖΗ μήκει· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΘ τῇ ΖΚ μήκει. αἱ ΖΘ, ΖΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΘ, προσαρμόζουσα δὲ αὐτῇ ἡ ΚΖ. ἤτοι δὴ ἡ ΘΖ τῆσ ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἢ οὔ. Δυνάσθω πρότερον τῷ ἀπὸ συμμέτρου. καί ἐστιν ὅλη ἡ ΘΖ σύμμετροσ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΖΗ· ἀποτομὴ ἄρα πρώτη ἐστὶν ἡ ΚΘ. τὸ δ’ ὑπὸ ῥητῆσ καὶ ἀποτομῆσ πρώτησ περιεχόμενον ἡ δυναμένη ἀποτομή ἐστιν. ἡ ἄρα τὸ ΛΘ, τουτέστι τὸ ΕΓ, δυναμένη ἀποτομή ἐστιν. Εἰ δὲ ἡ ΘΖ τῆσ ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καί ἐστιν ὅλη ἡ ΖΘ σύμμετροσ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΖΗ, ἀποτομὴ τετάρτη ἐστὶν ἡ ΚΘ. τὸ δ’ ὑπὸ ῥητῆσ καὶ ἀποτομῆσ τετάρτησ περιεχόμενον ἡ δυναμένη ἐλάσσων ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἀπὸ μέσου ῥητοῦ ἀφαιρουμένου ἄλλαι δύο ἄλογοι γίνονται ἤτοι μέσησ ἀποτομὴ πρώτη ἢ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα. Ἀπὸ γὰρ μέσου τοῦ ΒΓ ῥητὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΒΔ. λέγω, ὅτι ἡ τὸ λοιπὸν τὸ ΕΓ δυναμένη μία δύο ἀλόγων γίνεται ἤτοι μέσησ ἀποτομὴ πρώτη ἢ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα. Ἐκκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ ΖΗ, καὶ παραβεβλήσθω ὁμοίωσ τὰ χωρία. ἔστι δὴ ἀκολούθωσ ῥητὴ μὲν ἡ ΖΘ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΖΗ μήκει, ῥητὴ δὲ ἡ ΚΖ καὶ σύμμετροσ τῇ ΖΗ μήκει· αἱ ΖΘ, ΖΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΘ, προσαρμόζουσα δὲ ταύτῃ ἡ ΖΚ. ἤτοι δὴ ἡ ΘΖ τῆσ ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ ἢ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου. Εἰ μὲν οὖν ἡ ΘΖ τῆσ ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καί ἐστιν ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΖΚ σύμμετροσ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΖΗ, ἀποτομὴ δευτέρα ἐστὶν ἡ ΚΘ. ῥητὴ δὲ ἡ ΖΗ· ὥστε ἡ τὸ ΛΘ, τουτέστι τὸ ΕΓ, δυναμένη μέσησ ἀποτομὴ πρώτη ἐστίν. Εἰ δὲ ἡ ΘΖ τῆσ ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου, καί ἐστιν ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΖΚ σύμμετροσ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΖΗ, ἀποτομὴ πέμπτη ἐστὶν ἡ ΚΘ· ὥστε ἡ τὸ ΕΓ δυναμένη μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἀπὸ μέσου μέσου ἀφαιρουμένου ἀσυμμέτρου τῷ ὅλῳ αἱ λοιπαὶ δύο ἄλογοι γίνονται ἤτοι μέσησ ἀποτομὴ δευτέρα ἢ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα. Ἀφῃρήσθω γὰρ ὡσ ἐπὶ τῶν προκειμένων καταγραφῶν ἀπὸ μέσου τοῦ ΒΓ μέσον τὸ ΒΔ ἀσύμμετρον τῷ ὅλῳ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΕΓ δυναμένη μία ἐστὶ δύο ἀλόγων ἤτοι μέσησ ἀποτομὴ δευτέρα ἢ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα. Ἐπεὶ γὰρ μέσον ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΒΓ, ΒΔ, καὶ ἀσύμμετρον τὸ ΒΓ τῷ ΒΔ, ἔσται ἀκολούθωσ ῥητὴ ἑκατέρα τῶν ΖΘ, ΖΚ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΖΗ μήκει. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ ΒΓ τῷ ΒΔ, τουτέστι τὸ ΗΘ τῷ ΗΚ, ἀσύμμετροσ καὶ ἡ ΘΖ τῇ ΖΚ· αἱ ΖΘ, ΖΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΘ [προσαρμόζουσα δὲ ἡ ΖΚ. ἤτοι δὴ ἡ ΖΘ τῆσ ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἢ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ]. Εἰ μὲν δὴ ἡ ΖΘ τῆσ ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ οὐθετέρα τῶν ΖΘ, ΖΚ σύμμετρόσ ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΖΗ, ἀποτομὴ τρίτη ἐστὶν ἡ ΚΘ. ῥητὴ δὲ ἡ ΚΛ, τὸ δ’ ὑπὸ ῥητῆσ καὶ ἀποτομῆσ τρίτησ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἄλογόν ἐστιν, καὶ ἡ δυναμένη αὐτὸ ἄλογόσ ἐστιν, καλεῖται δὲ μέσησ ἀποτομὴ δευτέρα· ὥστε ἡ τὸ ΛΘ, τουτέστι τὸ ΕΓ, δυναμένη μέσησ ἀποτομή ἐστι δευτέρα. Εἰ δὲ ἡ ΖΘ τῆσ ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ [μήκει], καὶ οὐθετέρα τῶν ΘΖ, ΖΚ σύμμετρόσ ἐστι τῇ ΖΗ μήκει, ἀποτομὴ ἕκτη ἐστὶν ἡ ΚΘ. τὸ δ’ ὑπὸ ῥητῆσ καὶ ἀποτομῆσ ἕκτησ ἡ δυναμένη ἐστὶ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα. ἡ τὸ ΛΘ ἄρα, τουτέστι τὸ ΕΓ, δυναμένη μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἡ ἀποτομὴ οὐκ ἔστιν ἡ αὐτὴ τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων. Ἔστω ἀποτομὴ ἡ ΑΒ· λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ οὐκ ἔστιν ἡ αὐτὴ τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων. Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω· καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΔΓ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω ὀρθογώνιον τὸ ΓΕ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΔΕ. ἐπεὶ οὖν ἀποτομή ἐστιν ἡ ΑΒ, ἀποτομὴ πρώτη ἐστὶν ἡ ΔΕ. ἔστω αὐτῇ προσαρμόζουσα ἡ ΕΖ· αἱ ΔΖ, ΖΕ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΔΖ τῆσ ΖΕ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΔΖ σύμμετρόσ ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΔΓ. πάλιν, ἐπεὶ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΑΒ, ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων πρώτη ἐστὶν ἡ ΔΕ. διῃρήσθω εἰσ τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Η, καὶ ἔστω μεῖζον ὄνομα τὸ ΔΗ· αἱ ΔΗ, ΗΕ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΔΗ τῆσ ΗΕ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ τὸ μεῖζον ἡ ΔΗ σύμμετρόσ ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΔΓ. καὶ ἡ ΔΖ ἄρα τῇ ΔΗ σύμμετρόσ ἐστι μήκει· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΗΖ σύμμετρόσ ἐστι τῇ ΔΖ μήκει. [ἐπεὶ οὖν σύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΔΖ τῇ ΗΖ, ῥητὴ δέ ἐστιν ἡ ΔΖ, ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΗΖ. ἐπεὶ οὖν σύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΔΖ τῇ ΗΖ μήκει] ἀσύμμετροσ δὲ ἡ ΔΖ τῇ ΕΖ μήκει· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΗ τῇ ΕΖ μήκει. αἱ ΗΖ, ΖΕ ἄρα ῥηταί [εἰσι] δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΗ. ἀλλὰ καὶ ῥητή· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. Ἡ ἄρα ἀποτομὴ οὐκ ἔστιν ἡ αὐτὴ τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. [Πόρισμα] Ἡ ἀποτομὴ καὶ αἱ μετ’ αὐτὴν ἄλογοι οὔτε τῇ μέσῃ οὔτε ἀλλήλαισ εἰσὶν αἱ αὐταί. Τὸ μὲν γὰρ ἀπὸ μέσησ παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ ῥητὴν καὶ ἀσύμμετρον τῇ, παρ’ ἣν παράκειται, μήκει, τὸ δὲ ἀπὸ ἀποτομῆσ παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ ἀποτομὴν πρώτην, τὸ δὲ ἀπὸ μέσησ ἀποτομῆσ πρώτησ παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ ἀποτομὴν δευτέραν, τὸ δὲ ἀπὸ μέσησ ἀποτομῆσ δευτέρασ παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ ἀποτομὴν τρίτην, τὸ δὲ ἀπὸ ἐλάσσονοσ παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ ἀποτομὴν τετάρτην, τὸ δὲ ἀπὸ τῆσ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιούσησ παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ ἀποτομὴν πέμπτην, τὸ δὲ ἀπὸ τῆσ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιούσησ παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ ἀποτομὴν ἕκτην. ἐπεὶ οὖν τὰ εἰρημένα πλάτη διαφέρει τοῦ τε πρώτου καὶ ἀλλήλων, τοῦ μὲν πρώτου, ὅτι ῥητή ἐστιν, ἀλλήλων δέ, ἐπεὶ τῇ τάξει οὐκ εἰσὶν αἱ αὐταί, δῆλον, ὡσ καὶ αὐταὶ αἱ ἄλογοι διαφέρουσιν ἀλλήλων. καὶ ἐπεὶ δέδεικται ἡ ἀποτομὴ οὐκ οὖσα ἡ αὐτὴ τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων, ποιοῦσι δὲ πλάτη παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμεναι αἱ μετὰ τὴν ἀποτομὴν ἀποτομὰσ ἀκολούθωσ ἑκάστη τῇ τάξει τῇ καθ’ αὑτήν, αἱ δὲ μετὰ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων τὰσ ἐκ δύο ὀνομάτων καὶ αὐταὶ τῇ τάξει ἀκολούθωσ, ἕτεραι ἄρα εἰσὶν αἱ μετὰ τὴν ἀποτομὴν καὶ ἕτεραι αἱ μετὰ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων, ὡσ εἶναι τῇ τάξει πάσασ ἀλόγουσ <ιγ>, Μέσην, Ἐκ δύο ὀνομάτων, Ἐκ δύο μέσων πρώτην, Ἐκ δύο μέσων δευτέραν, Μείζονα, Ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένην, Δύο μέσα δυναμένην, Ἀποτομήν, Μέσησ ἀποτομὴν πρώτην, Μέσησ ἀποτομὴν δευτέραν, Ἐλάσσονα, Μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσαν, Μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσαν. Τὸ ἀπὸ ῥητῆσ παρὰ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ ἀποτομήν, ἧσ τὰ ὀνόματα σύμμετρά ἐστι τοῖσ τῆσ ἐκ δύο ὀνομάτων ὀνόμασι καὶ ἔτι ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ ἔτι ἡ γινομένη ἀποτομὴ τὴν αὐτὴν ἕξει τάξιν τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων. Ἔστω ῥητὴ μὲν ἡ Α, ἐκ δύο ὀνομάτων δὲ ἡ ΒΓ, ἧσ μεῖζον ὄνομα ἔστω ἡ ΔΓ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆσ Α ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΕΖ· λέγω, ὅτι ἡ ΕΖ ἀποτομή ἐστιν, ἧσ τὰ ὀνόματα σύμμετρά ἐστι τοῖσ ΓΔ, ΔΒ, καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ ἔτι ἡ ΕΖ τὴν αὐτὴν ἕξει τάξιν τῇ ΒΓ. Ἔστω γὰρ πάλιν τῷ ἀπὸ τῆσ Α ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, Η. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΕΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔ, Η, ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΓΒ πρὸσ τὴν ΒΔ, οὕτωσ ἡ Η πρὸσ τὴν ΕΖ. μείζων δὲ ἡ ΓΒ τῆσ ΒΔ· μείζων ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ Η τῆσ ΕΖ. ἔστω τῇ Η ἴση ἡ ΕΘ· ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΓΒ πρὸσ τὴν ΒΔ, οὕτωσ ἡ ΘΕ πρὸσ τὴν ΕΖ· διελόντι ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΓΔ πρὸσ τὴν ΒΔ, οὕτωσ ἡ ΘΖ πρὸσ τὴν ΖΕ. γεγονέτω ὡσ ἡ ΘΖ πρὸσ τὴν ΖΕ, οὕτωσ ἡ ΖΚ πρὸσ τὴν ΚΕ· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΘΚ πρὸσ ὅλην τὴν ΚΖ ἐστιν, ὡσ ἡ ΖΚ πρὸσ ΚΕ· ὡσ γὰρ ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸσ ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτωσ ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸσ ἅπαντα τὰ ἑπόμενα. ὡσ δὲ ἡ ΖΚ πρὸσ ΚΕ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΓΔ πρὸσ τὴν ΔΒ· καὶ ὡσ ἄρα ἡ ΘΚ πρὸσ ΚΖ, οὕτωσ ἡ ΓΔ πρὸσ τὴν ΔΒ. σύμμετρον δὲ τὸ ἀπὸ τῆσ ΓΔ τῷ ἀπὸ τῆσ ΔΒ· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΘΚ τῷ ἀπὸ τῆσ ΚΖ. καί ἐστιν ὡσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΘΚ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΚΖ, οὕτωσ ἡ ΘΚ πρὸσ τὴν ΚΕ, ἐπεὶ αἱ τρεῖσ αἱ ΘΚ, ΚΖ, ΚΕ ἀνάλογόν εἰσιν. σύμμετροσ ἄρα ἡ ΘΚ τῇ ΚΕ μήκει· ὥστε καὶ ἡ ΘΕ τῇ ΕΚ σύμμετρόσ ἐστι μήκει. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆσ Α ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΕΘ, ΒΔ, ῥητὸν δέ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ Α, ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΕΘ, ΒΔ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΒΔ παράκειται· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ καὶ σύμμετροσ τῇ ΒΔ μήκει· ὥστε καὶ ἡ σύμμετροσ αὐτῇ ἡ ΕΚ ῥητή ἐστι καὶ σύμμετροσ τῇ ΒΔ μήκει. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡσ ἡ ΓΔ πρὸσ ΔΒ, οὕτωσ ἡ ΖΚ πρὸσ ΚΕ, αἱ δὲ ΓΔ, ΔΒ δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι, καὶ αἱ ΖΚ, ΚΕ δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι. ῥητὴ δέ ἐστιν ἡ ΚΕ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΚ. αἱ ΖΚ, ΚΕ ἄρα ῥηταὶ δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ. Ἤτοι δὲ ἡ ΓΔ τῆσ ΔΒ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ ἢ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου. Εἰ μὲν οὖν ἡ ΓΔ τῆσ ΔΒ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου [ἑαυτῇ], καὶ ἡ ΖΚ τῆσ ΚΕ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ. καὶ εἰ μὲν σύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΓΔ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καὶ ἡ ΖΚ· εἰ δὲ ἡ ΒΔ, καὶ ἡ ΚΕ· εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΓΔ, ΔΒ, καὶ οὐδετέρα τῶν ΖΚ, ΚΕ. Εἰ δὲ ἡ ΓΔ τῆσ ΔΒ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΖΚ τῆσ ΚΕ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. καὶ εἰ μὲν ἡ ΓΔ σύμμετρόσ ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καὶ ἡ ΖΚ· εἰ δὲ ἡ ΒΔ, καὶ ἡ ΚΕ· εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΓΔ, ΔΒ, καὶ οὐδετέρα τῶν ΖΚ, ΚΕ· ὥστε ἀποτομή ἐστιν ἡ ΖΕ, ἧσ τὰ ὀνόματα τὰ ΖΚ, ΚΕ σύμμετρά ἐστι τοῖσ τῆσ ἐκ δύο ὀνομάτων ὀνόμασι τοῖσ ΓΔ, ΔΒ καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ τὴν αὐτὴν τάξιν ἔχει τῇ ΒΓ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τὸ ἀπὸ ῥητῆσ παρὰ ἀποτομὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων, ἧσ τὰ ὀνόματα σύμμετρά ἐστι τοῖσ τῆσ ἀποτομῆσ ὀνόμασι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ἔτι δὲ ἡ γινομένη ἐκ δύο ὀνομάτων τὴν αὐτὴν τάξιν ἔχει τῇ ἀποτομῇ. Ἔστω ῥητὴ μὲν ἡ Α, ἀποτομὴ δὲ ἡ ΒΔ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆσ Α ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΚΘ, ὥστε τὸ ἀπὸ τῆσ Α ῥητῆσ παρὰ τὴν ΒΔ ἀποτομὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ τὴν ΚΘ· λέγω, ὅτι ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΚΘ, ἧσ τὰ ὀνόματα σύμμετρά ἐστι τοῖσ τῆσ ΒΔ ὀνόμασι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ ἔτι ἡ ΚΘ τὴν αὐτὴν ἔχει τάξιν τῇ ΒΔ. Ἔστω γὰρ τῇ ΒΔ προσαρμόζουσα ἡ ΔΓ· αἱ ΒΓ, ΓΔ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι. καὶ τῷ ἀπὸ τῆσ Α ἴσον ἔστω καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, Η. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆσ Α· ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, Η. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΒΓ παραβέβληται· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ Η καὶ σύμμετροσ τῇ ΒΓ μήκει. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, Η ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΚΘ, ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΓΒ πρὸσ ΒΔ, οὕτωσ ἡ ΚΘ πρὸσ Η. μείζων δὲ ἡ ΒΓ τῆσ ΒΔ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΚΘ τῆσ Η. κείσθω τῇ Η ἴση ἡ ΚΕ· σύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΕ τῇ ΒΓ μήκει. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ ΓΒ πρὸσ ΒΔ, οὕτωσ ἡ ΘΚ πρὸσ ΚΕ, ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΓΔ, οὕτωσ ἡ ΚΘ πρὸσ ΘΕ. γεγονέτω ὡσ ἡ ΚΘ πρὸσ ΘΕ, οὕτωσ ἡ ΘΖ πρὸσ ΖΕ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΚΖ πρὸσ ΖΘ ἐστιν, ὡσ ἡ ΚΘ πρὸσ ΘΕ, τουτέστιν [ὡσ] ἡ ΒΓ πρὸσ ΓΔ. αἱ δὲ ΒΓ, ΓΔ δυνάμει μόνον [εἰσὶ] σύμμετροι· καὶ αἱ ΚΖ, ΖΘ ἄρα δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ ΚΘ πρὸσ ΘΕ, ἡ ΚΖ πρὸσ ΖΘ, ἀλλ’ ὡσ ἡ ΚΘ πρὸσ ΘΕ, ἡ ΘΖ πρὸσ ΖΕ, καὶ ὡσ ἄρα ἡ ΚΖ πρὸσ ΖΘ, ἡ ΘΖ πρὸσ ΖΕ· ὥστε καὶ ὡσ ἡ πρώτη πρὸσ τὴν τρίτην, τὸ ἀπὸ τῆσ πρώτησ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ δευτέρασ· καὶ ὡσ ἄρα ἡ ΚΖ πρὸσ ΖΕ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΚΖ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΘ. σύμμετρον δέ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΚΖ τῷ ἀπὸ τῆσ ΖΘ· αἱ γὰρ ΚΖ, ΖΘ δυνάμει εἰσὶ σύμμετροι· σύμμετροσ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΚΖ τῇ ΖΕ μήκει· ὥστε ἡ ΚΖ καὶ τῇ ΚΕ σύμμετρόσ [ἐστι] μήκει. ῥητὴ δέ ἐστιν ἡ ΚΕ καὶ σύμμετροσ τῇ ΒΓ μήκει· ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΚΖ καὶ σύμμετροσ τῇ ΒΓ μήκει. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ ΒΓ πρὸσ ΓΔ, οὕτωσ ἡ ΚΖ πρὸσ ΖΘ, ἐναλλὰξ ὡσ ἡ ΒΓ πρὸσ ΚΖ, οὕτωσ ἡ ΔΓ πρὸσ ΖΘ. σύμμετροσ δὲ ἡ ΒΓ τῇ ΚΖ· σύμμετροσ ἄρα καὶ ἡ ΖΘ τῇ ΓΔ μήκει. αἱ ΒΓ, ΓΔ δὲ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· καὶ αἱ ΚΖ, ΖΘ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἄρα ἡ ΚΘ. Εἰ μὲν οὖν ἡ ΒΓ τῆσ ΓΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΚΖ τῆσ ΖΘ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ. καὶ εἰ μὲν σύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΒΓ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καὶ ἡ ΚΖ, εἰ δὲ ἡ ΓΔ σύμμετρόσ ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καὶ ἡ ΖΘ, εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΒΓ, ΓΔ, οὐδετέρα τῶν ΚΖ, ΖΘ. Εἰ δὲ ἡ ΒΓ τῆσ ΓΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΚΖ τῆσ ΖΘ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. καὶ εἰ μὲν σύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΒΓ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καὶ ἡ ΚΖ, εἰ δὲ ἡ ΓΔ, καὶ ἡ ΖΘ, εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΒΓ, ΓΔ, οὐδετέρα τῶν ΚΖ, ΖΘ. Ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΚΘ, ἧσ τὰ ὀνόματα τὰ ΚΖ, ΖΘ σύμμετρά [ἐστι] τοῖσ τῆσ ἀποτομῆσ ὀνόμασι τοῖσ ΒΓ, ΓΔ καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ ἔτι ἡ ΚΘ τῇ ΒΓ τὴν αὐτὴν ἕξει τάξιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ἀποτομῆσ καὶ τῆσ ἐκ δύο ὀνομάτων, ἧσ τὰ ὀνόματα σύμμετρά τέ ἐστι τοῖσ τῆσ ἀποτομῆσ ὀνόμασι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ῥητή ἐστιν. Περιεχέσθω γὰρ χωρίον τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΓΔ ὑπὸ ἀποτομῆσ τῆσ ΑΒ καὶ τῆσ ἐκ δύο ὀνομάτων τῆσ ΓΔ, ἧσ μεῖζον ὄνομα ἔστω τὸ ΓΕ, καὶ ἔστω τὰ ὀνόματα τῆσ ἐκ δύο ὀνομάτων τὰ ΓΕ, ΕΔ σύμμετρά τε τοῖσ τῆσ ἀποτομῆσ ὀνόμασι τοῖσ ΑΖ, ΖΒ καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ ἔστω ἡ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΓΔ δυναμένη ἡ Η· λέγω, ὅτι ῥητή ἐστιν ἡ Η. Ἐκκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ Θ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆσ Θ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΚΛ· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΛ, ἧσ τὰ ὀνόματα ἔστω τὰ ΚΜ, ΜΛ σύμμετρα τοῖσ τῆσ ἐκ δύο ὀνομάτων ὀνόμασι τοῖσ ΓΕ, ΕΔ καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ. ἀλλὰ καὶ αἱ ΓΕ, ΕΔ σύμμετροί τέ εἰσι ταῖσ ΑΖ, ΖΒ καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ· ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΑΖ πρὸσ τὴν ΖΒ, οὕτωσ ἡ ΚΜ πρὸσ ΜΛ. ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΑΖ πρὸσ τὴν ΚΜ, οὕτωσ ἡ ΒΖ πρὸσ τὴν ΛΜ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΒ πρὸσ λοιπὴν τὴν ΚΛ ἐστιν ὡσ ἡ ΑΖ πρὸσ ΚΜ. σύμμετροσ δὲ ἡ ΑΖ τῇ ΚΜ· σύμμετροσ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΚΛ. καί ἐστιν ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ ΚΛ, οὕτωσ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΑΒ πρὸσ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΚΛ· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΑΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΚΛ. ἴσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΚΛ τῷ ἀπὸ τῆσ Θ· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΑΒ τῷ ἀπὸ τῆσ Θ. τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΑΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ Η· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ Η τῷ ἀπὸ τῆσ Θ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆσ Θ· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ Η· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ Η. καὶ δύναται τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΑΒ. Εἂν ἄρα χωρίον περιέχηται ὑπὸ ἀποτομῆσ καὶ τῆσ ἐκ δύο ὀνομάτων, ἧσ τὰ ὀνόματα σύμμετρά ἐστι τοῖσ τῆσ ἀποτομῆσ ὀνόμασι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ῥητή ἐστιν. Πόρισμα Καὶ γέγονεν ἡμῖν καὶ διὰ τούτου φανερόν, ὅτι δυνατόν ἐστι ῥητὸν χωρίον ὑπὸ ἀλόγων εὐθειῶν περιέχεσθαι. ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἀπὸ μέσησ ἄπειροι ἄλογοι γίνονται, καὶ οὐδεμία οὐδεμιᾷ τῶν πρότερον ἡ αὐτή. Ἔστω μέση ἡ Α· λέγω, ὅτι ἀπὸ τῆσ Α ἄπειροι ἄλογοι γίνονται, καὶ οὐδεμία οὐδεμιᾷ τῶν πρότερον ἡ αὐτή. Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Β, καὶ τῷ ὑπὸ τῶν Β, Α ἴσον ἔστω τὸ ἀπὸ τῆσ Γ· ἄλογοσ ἄρα ἐστὶν ἡ Γ· τὸ γὰρ ὑπὸ ἀλόγου καὶ ῥητῆσ ἄλογόν ἐστιν. καὶ οὐδεμιᾷ τῶν πρότερον ἡ αὐτή· τὸ γὰρ ἀπ’ οὐδεμιᾶσ τῶν πρότερον παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ μέσην. πάλιν δὴ τῷ ὑπὸ τῶν Β, Γ ἴσον ἔστω τὸ ἀπὸ τῆσ Δ· ἄλογον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ Δ. ἄλογοσ ἄρα ἐστὶν ἡ Δ· καὶ οὐδεμιᾷ τῶν πρότερον ἡ αὐτή· τὸ γὰρ ἀπ’ οὐδεμιᾶσ τῶν πρότερον παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ τὴν Γ. ὁμοίωσ δὴ τῆσ τοιαύτησ τάξεωσ ἐπ’ ἄπειρον προβαινούσησ φανερόν, ὅτι ἀπὸ τῆσ μέσησ ἄπειροι ἄλογοι γίνονται, καὶ οὐδεμία οὐδεμιᾷ τῶν πρότερον ἡ αὐτή· ὅπερ ἔδει δεῖξαι].

일치하는 문장이 없습니다.

SEARCH

MENU NAVIGATION