Euclid, Elements, book 10, type Prop 2

(유클리드, Elements, book 10, type Prop 2)

Εὑρεῖν τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων πρώτην. Ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΓ, ΓΒ, ὥστε τὸν συγκείμενον ἐξ αὐτῶν τὸν ΑΒ πρὸσ μὲν τὸν ΒΓ λόγον ἔχειν, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν, πρὸσ δὲ τὸν ΓΑ λόγον μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν, καὶ ἐκκείσθω τισ ῥητὴ ἡ Δ, καὶ τῇ Δ σύμμετροσ ἔστω μήκει ἡ ΕΖ. ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΕΖ. καὶ γεγονέτω ὡσ ὁ ΒΑ ἀριθμὸσ πρὸσ τὸν ΑΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΕΖ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ. ὁ δὲ ΑΒ πρὸσ τὸν ΑΓ λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸσ πρὸσ ἀριθμόν· καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΕΖ ἄρα πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸσ πρὸσ ἀριθμόν· ὥστε σύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΕΖ τῷ ἀπὸ τῆσ ΖΗ. καί ἐστι ῥητὴ ἡ ΕΖ· ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΖΗ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΒΑ πρὸσ τὸν ΑΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆσ ΕΖ ἄρα πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΖΗ μήκει. αἱ ΕΖ, ΖΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΕΗ. Λέγω, ὅτι καὶ πρώτη. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡσ ὁ ΒΑ ἀριθμὸσ πρὸσ τὸν ΑΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΕΖ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ, μείζων δὲ ὁ ΒΑ τοῦ ΑΓ, μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΕΖ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΖΗ. ἔστω οὖν τῷ ἀπὸ τῆσ ΕΖ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΖΗ, Θ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ὁ ΒΑ πρὸσ τὸν ΑΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΕΖ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ, ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡσ ὁ ΑΒ πρὸσ τὸν ΒΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΕΖ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Θ. ὁ δὲ ΑΒ πρὸσ τὸν ΒΓ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΕΖ ἄρα πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Θ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν. σύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ Θ μήκει· ἡ ΕΖ ἄρα τῆσ ΖΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ. καί εἰσι ῥηταὶ αἱ ΕΖ, ΖΗ, καὶ σύμμετροσ ἡ ΕΖ τῇ Δ μήκει. Ἡ ΕΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πρώτη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εὑρεῖν τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέραν. Ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΓ, ΓΒ, ὥστε τὸν συγκείμενον ἐξ αὐτῶν τὸν ΑΒ πρὸσ μὲν τὸν ΒΓ λόγον ἔχειν, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν, πρὸσ δὲ τὸν ΑΓ λόγον μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν, καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Δ, καὶ τῇ Δ σύμμετροσ ἔστω ἡ ΕΖ μήκει· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ. γεγονέτω δὴ καὶ ὡσ ὁ ΓΑ ἀριθμὸσ πρὸσ τὸν ΑΒ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΕΖ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΕΖ τῷ ἀπὸ τῆσ ΖΗ. ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΗ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΓΑ ἀριθμὸσ πρὸσ τὸν ΑΒ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆσ ΕΖ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν. ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΖΗ μήκει· αἱ ΕΖ, ΖΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΕΗ. Δεικτέον δή, ὅτι καὶ δευτέρα. Ἐπεὶ γὰρ ἀνάπαλίν ἐστιν ὡσ ὁ ΒΑ ἀριθμὸσ πρὸσ τὸν ΑΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΖ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΕ, μείζων δὲ ὁ ΒΑ τοῦ ΑΓ, μεῖζον ἄρα [καὶ] τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΖ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΖΕ. ἔστω τῷ ἀπὸ τῆσ ΗΖ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΕΖ, Θ· ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡσ ὁ ΑΒ πρὸσ τὸν ΒΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Θ. ἀλλ’ ὁ ΑΒ πρὸσ τὸν ΒΓ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ ἄρα πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Θ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν. σύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ Θ μήκει· ὥστε ἡ ΖΗ τῆσ ΖΕ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ. καί εἰσι ῥηταὶ αἱ ΖΗ, ΖΕ δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ τὸ ΕΖ ἔλασσον ὄνομα τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ σύμμετρόν ἐστι τῇ Δ μήκει. Ἡ ΕΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ δευτέρα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εὑρεῖν τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων τρίτην. Ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΓ, ΓΒ, ὥστε τὸν συγκείμενον ἐξ αὐτῶν τὸν ΑΒ πρὸσ μὲν τὸν ΒΓ λόγον ἔχειν, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν, πρὸσ δὲ τὸν ΑΓ λόγον μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν. ἐκκείσθω δέ τισ καὶ ἄλλοσ μὴ τετράγωνοσ ἀριθμὸσ ὁ Δ, καὶ πρὸσ ἑκάτερον τῶν ΒΑ, ΑΓ λόγον μὴ ἐχέτω, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· καὶ ἐκκείσθω τισ ῥητὴ εὐθεῖα ἡ Ε, καὶ γεγονέτω ὡσ ὁ Δ πρὸσ τὸν ΑΒ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ Ε πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ Ε τῷ ἀπὸ τῆσ ΖΗ. καί ἐστι ῥητὴ ἡ Ε· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΗ. καὶ ἐπεὶ ὁ Δ πρὸσ τὸν ΑΒ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆσ Ε πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ Ε τῇ ΖΗ μήκει. γεγονέτω δὴ πάλιν ὡσ ὁ ΒΑ ἀριθμὸσ πρὸσ τὸν ΑΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΘ· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ τῷ ἀπὸ τῆσ ΗΘ. ῥητὴ δὲ ἡ ΖΗ· ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΗΘ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΒΑ πρὸσ τὸν ΑΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὅν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΘΗ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΗΘ μήκει. αἱ ΖΗ, ΗΘ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἡ ΖΘ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστίν. Λέγω δή, ὅτι καὶ τρίτη. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡσ ὁ Δ πρὸσ τὸν ΑΒ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ Ε πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ, ὡσ δὲ ὁ ΒΑ πρὸσ τὸν ΑΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΘ, δι’ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡσ ὁ Δ πρὸσ τὸν ΑΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ Ε πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΘ. ὁ δὲ Δ πρὸσ τὸν ΑΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆσ Ε ἄρα πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΘ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ Ε τῇ ΗΘ μήκει. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ὁ ΒΑ πρὸσ τὸν ΑΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΘ, μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΗΘ. ἔστω οὖν τῷ ἀπὸ τῆσ ΖΗ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΗΘ, Κ· ἀναστρέψαντι ἄρα [ἐστὶν] ὡσ ὁ ΑΒ πρὸσ τὸν ΒΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Κ. ὁ δὲ ΑΒ πρὸσ τὸν ΒΓ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ ἄρα πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Κ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· σύμμετροσ ἄρα [ἐστὶν] ἡ ΖΗ τῇ Κ μήκει. ἡ ΖΗ ἄρα τῆσ ΗΘ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ. καί εἰσιν αἱ ΖΗ, ΗΘ ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ οὐδετέρα αὐτῶν σύμμετρόσ ἐστι τῇ Ε μήκει. Ἡ ΖΘ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τρίτη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εὑρεῖν τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων τετάρτην. Ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΓ, ΓΒ, ὥστε τὸν ΑΒ πρὸσ τὸν ΒΓ λόγον μὴ ἔχειν μήτε μὴν πρὸσ τὸν ΑΓ, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν. καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Δ, καὶ τῇ Δ σύμμετροσ ἔστω μήκει ἡ ΕΖ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΕΖ. καὶ γεγονέτω ὡσ ὁ ΒΑ ἀριθμὸσ πρὸσ τὸν ΑΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΕΖ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΕΖ τῷ ἀπὸ τῆσ ΖΗ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΗ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΒΑ πρὸσ τὸν ΑΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆσ ΕΖ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΖΗ μήκει. αἱ ΕΖ, ΖΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ὥστε ἡ ΕΗ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστίν. Λέγω δή, ὅτι καὶ τετάρτη. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡσ ὁ ΒΑ πρὸσ τὸν ΑΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΕΖ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ [μείζων δὲ ὁ ΒΑ τοῦ ΑΓ], μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΕΖ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΖΗ. ἔστω οὖν τῷ ἀπὸ τῆσ ΕΖ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΖΗ, Θ· ἀναστρέψαντι ἄρα ὡσ ὁ ΑΒ ἀριθμὸσ πρὸσ τὸν ΒΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΕΖ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Θ. ὁ δὲ ΑΒ πρὸσ τὸν ΒΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· οὐδ’ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΕΖ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Θ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν. ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ Θ μήκει· ἡ ΕΖ ἄρα τῆσ ΗΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. καί εἰσιν αἱ ΕΖ, ΖΗ ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΕΖ τῇ Δ σύμμετρόσ ἐστι μήκει. Ἡ ΕΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τετάρτη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εὑρεῖν τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων πέμπτην. Ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΓ, ΓΒ, ὥστε τὸν ΑΒ πρὸσ ἑκάτερον αὐτῶν λόγον μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν, καὶ ἐκκείσθω ῥητή τισ εὐθεῖα ἡ Δ, καὶ τῇ Δ σύμμετροσ ἔστω [μήκει] ἡ ΕΖ· ῥητὴ ἄρα ἡ ΕΖ. καὶ γεγονέτω ὡσ ὁ ΓΑ πρὸσ τὸν ΑΒ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΕΖ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ. ὁ δὲ ΓΑ πρὸσ τὸν ΑΒ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆσ ΕΖ ἄρα πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν. αἱ ΕΖ, ΖΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΕΗ. Λέγω δή, ὅτι καὶ πέμπτη. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡσ ὁ ΓΑ πρὸσ τὸν ΑΒ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΕΖ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ, ἀνάπαλιν ὡσ ὁ ΒΑ πρὸσ τὸν ΑΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΕ· μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΖ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΖΕ. ἔστω οὖν τῷ ἀπὸ τῆσ ΗΖ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΕΖ, Θ· ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡσ ὁ ΑΒ ἀριθμὸσ πρὸσ τὸν ΒΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΖ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Θ. ὁ δὲ ΑΒ πρὸσ τὸν ΒΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· οὐδ’ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Θ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν. ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ Θ μήκει· ὥστε ἡ ΖΗ τῆσ ΖΕ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. καί εἰσιν αἱ ΗΖ, ΖΕ ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι καὶ τὸ ΕΖ ἔλαττον ὄνομα σύμμετρόν ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ Δ μήκει. Ἡ ΕΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πέμπτη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εὑρεῖν τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων ἕκτην. Ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΓ, ΓΒ, ὥστε τὸν ΑΒ πρὸσ ἑκάτερον αὐτῶν λόγον μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· ἔστω δὲ καὶ ἕτεροσ ἀριθμὸσ ὁ Δ μὴ τετράγωνοσ ὢν μηδὲ πρὸσ ἑκάτερον τῶν ΒΑ, ΑΓ λόγον ἔχων, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· καὶ ἐκκείσθω τισ ῥητὴ εὐθεῖα ἡ Ε, καὶ γεγονέτω ὡσ ὁ Δ πρὸσ τὸν ΑΒ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ Ε πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ· σύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ Ε τῷ ἀπὸ τῆσ ΖΗ. καί ἐστι ῥητὴ ἡ Ε· ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΖΗ. καὶ ἐπεὶ οὐκ ἔχει ὁ Δ πρὸσ τὸν ΑΒ λόγον, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆσ Ε ἄρα πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετροσ ἄρα ἡ Ε τῇ ΖΗ μήκει. γεγονέτω δὴ πάλιν ὡσ ὁ ΒΑ πρὸσ τὸν ΑΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΘ. σύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ τῷ ἀπὸ τῆσ ΘΗ. ῥητὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΘΗ· ῥητὴ ἄρα ἡ ΘΗ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΒΑ πρὸσ τὸν ΑΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΘ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΗΘ μήκει. αἱ ΖΗ, ΗΘ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΖΘ. Δεικτέον δή, ὅτι καὶ ἕκτη. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡσ ὁ Δ πρὸσ τὸν ΑΒ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ Ε πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ, ἔστι δὲ καὶ ὡσ ὁ ΒΑ πρὸσ τὸν ΑΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΘ, δι’ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡσ ὁ Δ πρὸσ τὸν ΑΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ Ε πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΘ. ὁ δὲ Δ πρὸσ τὸν ΑΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆσ Ε ἄρα πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΘ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ Ε τῇ ΗΘ μήκει. ἐδείχθη δὲ καὶ τῇ ΖΗ ἀσύμμετροσ· ἑκατέρα ἄρα τῶν ΖΗ, ΗΘ ἀσύμμετρόσ ἐστι τῇ Ε μήκει. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ὁ ΒΑ πρὸσ τὸν ΑΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΗΘ, μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΖΗ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΗΘ. ἔστω οὖν τῷ ἀπὸ [τῆσ] ΖΗ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΗΘ, Κ· ἀναστρέψαντι ἄρα ὡσ ὁ ΑΒ πρὸσ ΒΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ ΖΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Κ. ὁ δὲ ΑΒ πρὸσ τὸν ΒΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· ὥστε οὐδὲ τὸ ἀπὸ ΖΗ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ Κ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν. ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ Κ μήκει· ἡ ΖΗ ἄρα τῆσ ΗΘ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. καί εἰσιν αἱ ΖΗ, ΗΘ ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ οὐδετέρα αὐτῶν σύμμετρόσ ἐστι μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ Ε. Ἡ ΖΘ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἕκτη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Λῆμμα Ἔστω δύο τετράγωνα τὰ ΑΒ, ΒΓ καὶ κείσθωσαν ὥστε ἐπ’ εὐθείασ εἶναι τὴν ΔΒ τῇ ΒΕ· ἐπ’ εὐθείασ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΒ τῇ ΒΗ. καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΑΓ παραλληλόγραμμον· λέγω, ὅτι τετράγωνόν ἐστι τὸ ΑΓ, καὶ ὅτι τῶν ΑΒ, ΒΓ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΔΗ, καὶ ἔτι τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΔΓ. Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΔΒ τῇ ΒΖ, ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΒΗ, ὅλη ἄρα ἡ ΔΕ ὅλῃ τῇ ΖΗ ἐστιν ἴση. ἀλλ’ ἡ μὲν ΔΕ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΘ, ΚΓ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ΖΗ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΚ, ΘΓ ἐστιν ἴση· καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΘ, ΚΓ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΚ, ΘΓ ἐστιν ἴση. ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΓ παραλληλόγραμμον· ἔστι δὲ καὶ ὀρθογώνιον· τετράγωνον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΓ. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ ΖΒ πρὸσ τὴν ΒΗ, οὕτωσ ἡ ΔΒ πρὸσ τὴν ΒΕ, ἀλλ’ ὡσ μὲν ἡ ΖΒ πρὸσ τὴν ΒΗ, οὕτωσ τὸ ΑΒ πρὸσ τὸ ΔΗ, ὡσ δὲ ἡ ΔΒ πρὸσ τὴν ΒΕ, οὕτωσ τὸ ΔΗ πρὸσ τὸ ΒΓ, καὶ ὡσ ἄρα τὸ ΑΒ πρὸσ τὸ ΔΗ, οὕτωσ τὸ ΔΗ πρὸσ τὸ ΒΓ. τῶν ΑΒ, ΒΓ ἄρα μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΔΗ. Λέγω δή, ὅτι καὶ τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον ἀνάλογόν [ἐστι] τὸ ΔΓ. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡσ ἡ ΑΔ πρὸσ τὴν ΔΚ, οὕτωσ ἡ ΚΗ πρὸσ τὴν ΗΓ· ἴση γάρ [ἐστιν] ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ συνθέντι ὡσ ἡ ΑΚ πρὸσ ΚΔ, οὕτωσ ἡ ΚΓ πρὸσ ΓΗ, ἀλλ’ ὡσ μὲν ἡ ΑΚ πρὸσ ΚΔ, οὕτωσ τὸ ΑΓ πρὸσ τὸ ΓΔ, ὡσ δὲ ἡ ΚΓ πρὸσ ΓΗ, οὕτωσ τὸ ΔΓ πρὸσ ΓΒ, καὶ ὡσ ἄρα τὸ ΑΓ πρὸσ ΔΓ, οὕτωσ τὸ ΔΓ πρὸσ τὸ ΒΓ. τῶν ΑΓ, ΓΒ ἄρα μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΔΓ· ἃ προέκειτο δεῖξαι. Εἂν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆσ καὶ τῆσ ἐκ δύο ὀνομάτων πρώτησ, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη ἐκ δύο ὀνομάτων. Χωρίον γὰρ τὸ ΑΓ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆσ τῆσ ΑΒ καὶ τῆσ ἐκ δύο ὀνομάτων πρώτησ τῆσ ΑΔ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη ἐκ δύο ὀνομάτων. Ἐπεὶ γὰρ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πρώτη ἡ ΑΔ, διῃρήσθω εἰσ τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Ε, καὶ ἔστω τὸ μεῖζον ὄνομα τὸ ΑΕ. φανερὸν δή, ὅτι αἱ ΑΕ, ΕΔ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΑΕ τῆσ ΕΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΑΕ σύμμετρόσ ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΑΒ μήκει. τετμήσθω δὴ ἡ ΕΔ δίχα κατὰ τὸ Ζ σημεῖον. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΕ τῆσ ΕΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, ἐὰν ἄρα τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆσ ἐλάσσονοσ, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆσ ΕΖ, ἴσον παρὰ τὴν μείζονα τὴν ΑΕ παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰσ σύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ. παραβεβλήσθω οὖν παρὰ τὴν ΑΕ τῷ ἀπὸ τῆσ ΕΖ ἴσον τὸ ὑπὸ ΑΗ, ΗΕ· σύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΗ τῇ ΕΗ μήκει. καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Η, Ε, Ζ ὁποτέρᾳ τῶν ΑΒ, ΓΔ παράλληλοι αἱ ΗΘ, ΕΚ, ΖΛ· καὶ τῷ μὲν ΑΘ παραλληλογράμμῳ ἴσον τετράγωνον συνεστάτω τὸ ΣΝ, τῷ δὲ ΗΚ ἴσον τὸ ΝΠ, καὶ κείσθω ὥστε ἐπ’ εὐθείασ εἶναι τὴν ΜΝ τῇ ΝΞ· ἐπ’ εὐθείασ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΡΝ τῇ ΝΟ. καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΣΠ παραλληλόγραμμον· τετράγωνον ἄρα ἐστὶ τὸ ΣΠ. καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΕΖ, ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΑΗ πρὸσ ΕΖ, οὕτωσ ἡ ΖΕ πρὸσ ΕΗ· καὶ ὡσ ἄρα τὸ ΑΘ πρὸσ ΕΛ, τὸ ΕΛ πρὸσ ΚΗ· τῶν ΑΘ, ΗΚ ἄρα μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΕΛ. ἀλλὰ τὸ μὲν ΑΘ ἴσον ἐστὶ τῷ ΣΝ, τὸ δὲ ΗΚ ἴσον τῷ ΝΠ· τῶν ΣΝ, ΝΠ ἄρα μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΕΛ. ἔστι δὲ τῶν αὐτῶν τῶν ΣΝ, ΝΠ μέσον ἀνάλογον καὶ τὸ ΜΡ· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΛ τῷ ΜΡ· ὥστε καὶ τῷ ΟΞ ἴσον ἐστίν. ἔστι δὲ καὶ τὰ ΑΘ, ΗΚ τοῖσ ΣΝ, ΝΠ ἴσα· ὅλον ἄρα τὸ ΑΓ ἴσον ἐστὶν ὅλῳ τῷ ΣΠ, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆσ ΜΞ τετραγώνῳ· τὸ ΑΓ ἄρα δύναται ἡ ΜΞ. Λέγω, ὅτι ἡ ΜΞ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστίν. Ἐπεὶ γὰρ σύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΑΗ τῇ ΗΕ, σύμμετρόσ ἐστι καὶ ἡ ΑΕ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΗ, ΗΕ. ὑπόκειται δὲ καὶ ἡ ΑΕ τῇ ΑΒ σύμμετροσ· καὶ αἱ ΑΗ, ΗΕ ἄρα τῇ ΑΒ σύμμετροί εἰσιν. καί ἐστι ῥητὴ ἡ ΑΒ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἑκατέρα τῶν ΑΗ, ΗΕ· ῥητὸν ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΑΘ, ΗΚ, καί ἐστι σύμμετρον τὸ ΑΘ τῷ ΗΚ. ἀλλὰ τὸ μὲν ΑΘ τῷ ΣΝ ἴσον ἐστίν, τὸ δὲ ΗΚ τῷ ΝΠ· καὶ τὰ ΣΝ, ΝΠ ἄρα, τουτέστι τὰ ἀπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ, ῥητά ἐστι καὶ σύμμετρα. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ΕΔ μήκει, ἀλλ’ ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΑΗ ἐστι σύμμετροσ, ἡ δὲ ΔΕ τῇ ΕΖ σύμμετροσ, ἀσύμμετροσ ἄρα καὶ ἡ ΑΗ τῇ ΕΖ· ὥστε καὶ τὸ ΑΘ τῷ ΕΛ ἀσύμμετρόν ἐστιν. ἀλλὰ τὸ μὲν ΑΘ τῷ ΣΝ ἐστιν ἴσον, τὸ δὲ ΕΛ τῷ ΜΡ· καὶ τὸ ΣΝ ἄρα τῷ ΜΡ ἀσύμμετρόν ἐστιν. ἀλλ’ ὡσ τὸ ΣΝ πρὸσ ΜΡ, ἡ ΟΝ πρὸσ τὴν ΝΡ· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΟΝ τῇ ΝΡ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΟΝ τῇ ΜΝ, ἡ δὲ ΝΡ τῇ ΝΞ· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΝ τῇ ΝΞ. καί ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΜΝ σύμμετρον τῷ ἀπὸ τῆσ ΝΞ, καὶ ῥητὸν ἑκάτερον· αἱ ΜΝ, ΝΞ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι. Ἡ ΜΞ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ καὶ δύναται τὸ ΑΓ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆσ καὶ τῆσ ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέρασ, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη ἐκ δύο μέσων πρώτη. Περιεχέσθω γὰρ χωρίον τὸ ΑΒΓΔ ὑπὸ ῥητῆσ τῆσ ΑΒ καὶ τῆσ ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέρασ τῆσ ΑΔ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη ἐκ δύο μέσων πρώτη ἐστίν. Ἐπεὶ γὰρ ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέρα ἐστὶν ἡ ΑΔ, διῃρήσθω εἰσ τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Ε, ὥστε τὸ μεῖζον ὄνομα εἶναι τὸ ΑΕ· αἱ ΑΕ, ΕΔ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΑΕ τῆσ ΕΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ τὸ ἔλαττον ὄνομα ἡ ΕΔ σύμμετρόν ἐστι τῇ ΑΒ μήκει. τετμήσθω ἡ ΕΔ δίχα κατὰ τὸ Ζ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΕΖ ἴσον παρὰ τὴν ΑΕ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗΕ· σύμμετροσ ἄρα ἡ ΑΗ τῇ ΗΕ μήκει. καὶ διὰ τῶν Η, Ε, Ζ παράλληλοι ἤχθωσαν ταῖσ ΑΒ, ΓΔ αἱ ΗΘ, ΕΚ, ΖΛ, καὶ τῷ μὲν ΑΘ παραλληλογράμμῳ ἴσον τετράγωνον συνεστάτω τὸ ΣΝ, τῷ δὲ ΗΚ ἴσον τετράγωνον τὸ ΝΠ, καὶ κείσθω ὥστε ἐπ’ εὐθείασ εἶναι τὴν ΜΝ τῇ ΝΞ· ἐπ’ εὐθείασ ἄρα [ἐστὶ] καὶ ἡ ΡΝ τῇ ΝΟ. καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΣΠ τετράγωνον· φανερὸν δὴ ἐκ τοῦ προδεδειγμένου, ὅτι τὸ ΜΡ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τῶν ΣΝ, ΝΠ, καὶ ἴσον τῷ ΕΛ, καὶ ὅτι τὸ ΑΓ χωρίον δύναται ἡ ΜΞ. δεικτέον δή, ὅτι ἡ ΜΞ ἐκ δύο μέσων ἐστὶ πρώτη. ἐπεὶ ἀσύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ΕΔ μήκει, σύμμετροσ δὲ ἡ ΕΔ τῇ ΑΒ, ἀσύμμετροσ ἄρα ἡ ΑΕ τῇ ΑΒ. καὶ ἐπεὶ σύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΑΗ τῇ ΕΗ, σύμμετρόσ ἐστι καὶ ἡ ΑΕ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΗ, ΗΕ. ἀλλὰ ἡ ΑΕ ἀσύμμετροσ τῇ ΑΒ μήκει· καὶ αἱ ΑΗ, ΗΕ ἄρα ἀσύμμετροί εἰσι τῇ ΑΒ. αἱ ΒΑ, ΑΗ, ΗΕ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ὥστε μέσον ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΑΘ, ΗΚ. ὥστε καὶ ἑκάτερον τῶν ΣΝ, ΝΠ μέσον ἐστίν. καὶ αἱ ΜΝ, ΝΞ ἄρα μέσαι εἰσίν. καὶ ἐπεὶ σύμμετροσ ἡ ΑΗ τῇ ΗΕ μήκει, σύμμετρόν ἐστι καὶ τὸ ΑΘ τῷ ΗΚ, τουτέστι τὸ ΣΝ τῷ ΝΠ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΜΝ τῷ ἀπὸ τῆσ ΝΞ [ὥστε δυνάμει εἰσὶ σύμμετροι αἱ ΜΝ, ΝΞ]. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ΕΔ μήκει, ἀλλ’ ἡ μὲν ΑΕ σύμμετρόσ ἐστι τῇ ΑΗ, ἡ δὲ ΕΔ τῇ ΕΖ σύμμετροσ, ἀσύμμετροσ ἄρα ἡ ΑΗ τῇ ΕΖ· ὥστε καὶ τὸ ΑΘ τῷ ΕΛ ἀσύμμετρόν ἐστιν, τουτέστι τὸ ΣΝ τῷ ΜΡ, τουτέστιν ἡ ΟΝ τῇ ΝΡ, τουτέστιν ἡ ΜΝ τῇ ΝΞ ἀσύμμετρόσ ἐστι μήκει. ἐδείχθησαν δὲ αἱ ΜΝ, ΝΞ καὶ μέσαι οὖσαι καὶ δυνάμει σύμμετροι· αἱ ΜΝ, ΝΞ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι. λέγω δή, ὅτι καὶ ῥητὸν περιέχουσιν. ἐπεὶ γὰρ ἡ ΔΕ ὑπόκειται ἑκατέρᾳ τῶν ΑΒ, ΕΖ σύμμετροσ, σύμμετροσ ἄρα καὶ ἡ ΕΖ τῇ ΕΚ. καὶ ῥητὴ ἑκατέρα αὐτῶν· ῥητὸν ἄρα τὸ ΕΛ, τουτέστι τὸ ΜΡ· τὸ δὲ ΜΡ ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΜΝΞ. ἐὰν δὲ δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι συντεθῶσι ῥητὸν περιέχουσαι, ἡ ὅλη ἄλογόσ ἐστιν, καλεῖται δὲ ἐκ δύο μέσων πρώτη. Ἡ ἄρα ΜΞ ἐκ δύο μέσων ἐστὶ πρώτη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆσ καὶ τῆσ ἐκ δύο ὀνομάτων τρίτησ, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη ἐκ δύο μέσων δευτέρα. Χωρίον γὰρ τὸ ΑΒΓΔ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆσ τῆσ ΑΒ καὶ τῆσ ἐκ δύο ὀνομάτων τρίτησ τῆσ ΑΔ διῃρημένησ εἰσ τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Ε, ὧν μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΕ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη ἐκ δύο μέσων δευτέρα. Κατεσκευάσθω γὰρ τὰ αὐτὰ τοῖσ πρότερον. καὶ ἐπεὶ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τρίτη ἡ ΑΔ, αἱ ΑΕ, ΕΔ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΑΕ τῆσ ΕΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ οὐδετέρα τῶν ΑΕ, ΕΔ σύμμετρόσ [ἐστι] τῇ ΑΒ μήκει. ὁμοίωσ δὴ τοῖσ προδεδειγμένοισ δείξομεν, ὅτι ἡ ΜΞ ἐστιν ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη, καὶ αἱ ΜΝ, ΝΞ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι· ὥστε ἡ ΜΞ ἐκ δύο μέσων ἐστίν. Δεικτέον δή, ὅτι καὶ δευτέρα. [Καὶ] ἐπεὶ ἀσύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΔΕ τῇ ΑΒ μήκει, τουτέστι τῇ ΕΚ, σύμμετροσ δὲ ἡ ΔΕ τῇ ΕΖ, ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΕΚ μήκει. καί εἰσι ῥηταί· αἱ ΖΕ, ΕΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι. μέσον ἄρα [ἐστὶ] τὸ ΕΛ, τουτέστι τὸ ΜΡ· καὶ περιέχεται ὑπὸ τῶν ΜΝΞ· μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΜΝΞ. Ἡ ΜΞ ἄρα ἐκ δύο μέσων ἐστὶ δευτέρα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆσ καὶ τῆσ ἐκ δύο ὀνομάτων τετάρτησ, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη μείζων. Χωρίον γὰρ τὸ ΑΓ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆσ τῆσ ΑΒ καὶ τῆσ ἐκ δύο ὀνομάτων τετάρτησ τῆσ ΑΔ διῃρημένησ εἰσ τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Ε, ὧν μεῖζον ἔστω τὸ ΑΕ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη μείζων. Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΑΔ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τετάρτη, αἱ ΑΕ, ΕΔ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΑΕ τῆσ ΕΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΑΕ τῇ ΑΒ σύμμετρόσ [ἐστι] μήκει. τετμήσθω ἡ ΔΕ δίχα κατὰ τὸ Ζ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΕΖ ἴσον παρὰ τὴν ΑΕ παραβεβλήσθω παραλληλόγραμμον τὸ ὑπὸ ΑΗ, ΗΕ· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΗ τῇ ΗΕ μήκει. ἤχθωσαν παράλληλοι τῇ ΑΒ αἱ ΗΘ, ΕΚ, ΖΛ, καὶ τὰ λοιπὰ τὰ αὐτὰ τοῖσ πρὸ τούτου γεγονέτω· φανερὸν δή, ὅτι ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη ἐστὶν ἡ ΜΞ. δεικτέον δή, ὅτι ἡ ΜΞ ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη μείζων. ἐπεὶ ἀσύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΑΗ τῇ ΕΗ μήκει, ἀσύμμετρόν ἐστι καὶ τὸ ΑΘ τῷ ΗΚ, τουτέστι τὸ ΣΝ τῷ ΝΠ· αἱ ΜΝ, ΝΞ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι. καὶ ἐπεὶ σύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ΑΒ μήκει, ῥητόν ἐστι τὸ ΑΚ· καί ἐστιν ἴσον τοῖσ ἀπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ· ῥητὸν ἄρα [ἐστὶ] καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόσ [ἐστιν] ἡ ΔΕ τῇ ΑΒ μήκει, τουτέστι τῇ ΕΚ, ἀλλὰ ἡ ΔΕ σύμμετρόσ ἐστι τῇ ΕΖ, ἀσύμμετροσ ἄρα ἡ ΕΖ τῇ ΕΚ μήκει. αἱ ΕΚ, ΕΖ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· μέσον ἄρα τὸ ΛΕ, τουτέστι τὸ ΜΡ. καὶ περιέχεται ὑπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ· μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ. καὶ ῥητὸν τὸ [συγκείμενον] ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ, καί εἰσιν ἀσύμμετροι αἱ ΜΝ, ΝΞ δυνάμει. ἐὰν δὲ δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι συντεθῶσι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δ’ ὑπ’ αὐτῶν μέσον, ἡ ὅλη ἄλογόσ ἐστιν, καλεῖται δὲ μείζων. Ἡ ΜΞ ἄρα ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη μείζων, καὶ δύναται τὸ ΑΓ χωρίον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆσ καὶ τῆσ ἐκ δύο ὀνομάτων πέμπτησ, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη. Χωρίον γὰρ τὸ ΑΓ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆσ τῆσ ΑΒ καὶ τῆσ ἐκ δύο ὀνομάτων πέμπτησ τῆσ ΑΔ διῃρημένησ εἰσ τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Ε, ὥστε τὸ μεῖζον ὄνομα εἶναι τὸ ΑΕ· λέγω [δή], ὅτι ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη. Κατεσκευάσθω γὰρ τὰ αὐτὰ τοῖσ πρότερον δεδειγμένοισ· φανερὸν δή, ὅτι ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη ἐστὶν ἡ ΜΞ. δεικτέον δή, ὅτι ἡ ΜΞ ἐστιν ἡ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη. ἐπεὶ γὰρ ἀσύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΑΗ τῇ ΗΕ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΑΘ τῷ ΘΕ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΜΝ τῷ ἀπὸ τῆσ ΝΞ· αἱ ΜΝ, ΝΞ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΔ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πέμπτη, καί [ἐστιν] ἔλασσον αὐτῆσ τμῆμα τὸ ΕΔ, σύμμετροσ ἄρα ἡ ΕΔ τῇ ΑΒ μήκει. ἀλλὰ ἡ ΑΕ τῇ ΕΔ ἐστιν ἀσύμμετροσ· καὶ ἡ ΑΒ ἄρα τῇ ΑΕ ἐστιν ἀσύμμετροσ μήκει. [αἱ ΒΑ, ΑΕ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι. ] μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΚ, τουτέστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ. καὶ ἐπεὶ σύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΔΕ τῇ ΑΒ μήκει, τουτέστι τῇ ΕΚ, ἀλλὰ ἡ ΔΕ τῇ ΕΖ σύμμετρόσ ἐστιν, καὶ ἡ ΕΖ ἄρα τῇ ΕΚ σύμμετρόσ ἐστιν. καὶ ῥητὴ ἡ ΕΚ· ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ΕΛ, τουτέστι τὸ ΜΡ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΜΝΞ· αἱ ΜΝ, ΝΞ ἄρα δυνάμει ἀσύμμετροί εἰσι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δ’ ὑπ’ αὐτῶν ῥητόν. Ἡ ΜΞ ἄρα ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἐστὶ καὶ δύναται τὸ ΑΓ χωρίον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆσ καὶ τῆσ ἐκ δύο ὀνομάτων ἕκτησ, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη δύο μέσα δυναμένη. Χωρίον γὰρ τὸ ΑΒΓΔ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆσ τῆσ ΑΒ καὶ τῆσ ἐκ δύο ὀνομάτων ἕκτησ τῆσ ΑΔ διῃρημένησ εἰσ τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Ε, ὥστε τὸ μεῖζον ὄνομα εἶναι τὸ ΑΕ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΓ δυναμένη ἡ δύο μέσα δυναμένη ἐστίν. Κατεσκευάσθω [γὰρ] τὰ αὐτὰ τοῖσ προδεδειγμένοισ. φανερὸν δή, ὅτι [ἡ] τὸ ΑΓ δυναμένη ἐστὶν ἡ ΜΞ, καὶ ὅτι ἀσύμμετρόσ ἐστι ἡ ΜΝ τῇ ΝΞ δυνάμει. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΕΑ τῇ ΑΒ μήκει, αἱ ΕΑ, ΑΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΚ, τουτέστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ. πάλιν, ἐπεὶ ἀσύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΕΔ τῇ ΑΒ μήκει, ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΕ τῇ ΕΚ· αἱ ΖΕ, ΕΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΛ, τουτέστι τὸ ΜΡ, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΜΝΞ. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετροσ ἡ ΑΕ τῇ ΕΖ, καὶ τὸ ΑΚ τῷ ΕΛ ἀσύμμετρόν ἐστιν. ἀλλὰ τὸ μὲν ΑΚ ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ, τὸ δὲ ΕΛ ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΜΝΞ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΜΝΞ τῷ ὑπὸ τῶν ΜΝΞ. καί ἐστι μέσον ἑκάτερον αὐτῶν, καὶ αἱ ΜΝ, ΝΞ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι. Ἡ ΜΞ ἄρα δύο μέσα δυναμένη ἐστὶ καὶ δύναται τὸ ΑΓ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. [Λῆμμα Εἂν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ εἰσ ἄνισα, τὰ ἀπὸ τῶν ἀνίσων τετράγωνα μείζονά ἐστι τοῦ δὶσ ὑπὸ τῶν ἀνίσων περιεχομένου ὀρθογωνίου. Ἔστω εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ τετμήσθω εἰσ ἄνισα κατὰ τὸ Γ, καὶ ἔστω μείζων ἡ ΑΓ· λέγω, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μείζονά ἐστι τοῦ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. Τετμήσθω γὰρ ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Δ. ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα γραμμὴ τέτμηται εἰσ μὲν ἴσα κατὰ τὸ Δ, εἰσ δὲ ἄνισα κατὰ τὸ Γ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΑΔ· ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἔλαττόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΑΔ· τὸ ἄρα δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἔλαττον ἢ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΑΔ. ἀλλὰ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ διπλάσιά [ἐστι] τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μείζονά ἐστι τοῦ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ] Τὸ ἀπὸ τῆσ ἐκ δύο ὀνομάτων παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων πρώτην. Ἔστω ἐκ δύο ὀνομάτων ἡ ΑΒ διῃρημένη εἰσ τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Γ, ὥστε τὸ μεῖζον ὄνομα εἶναι τὸ ΑΓ, καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΔΕ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΔΕ παραβεβλήσθω τὸ ΔΕΖΗ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΔΗ· λέγω, ὅτι ἡ ΔΗ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πρώτη. Παραβεβλήσθω γὰρ παρὰ τὴν ΔΕ τῷ μὲν ἀπὸ τῆσ ΑΓ ἴσον τὸ ΔΘ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆσ ΒΓ ἴσον τὸ ΚΛ· λοιπὸν ἄρα τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΜΖ. τετμήσθω ἡ ΜΗ δίχα κατὰ τὸ Ν, καὶ παράλληλοσ ἤχθω ἡ ΝΞ [ἑκατέρᾳ τῶν ΜΛ, ΗΖ]. ἑκάτερον ἄρα τῶν ΜΞ, ΝΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ἅπαξ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ. καὶ ἐπεὶ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΑΒ διῃρημένη εἰσ τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Γ, αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ῥητά ἐστι καὶ σύμμετρα ἀλλήλοισ· ὥστε καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ [σύμμετρόν ἐστι τοῖσ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ]. καί ἐστιν ἴσον τῷ ΔΛ· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΕ παράκειται· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΜ καὶ σύμμετροσ τῇ ΔΕ μήκει. πάλιν, ἐπεὶ αἱ ΑΓ, ΓΒ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τουτέστι τὸ ΜΖ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΜΛ παράκειται· ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΜΗ ἐστι καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΜΛ, τουτέστι τῇ ΔΕ, μήκει. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΜΔ ῥητὴ καὶ τῇ ΔΕ μήκει σύμμετροσ· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΜ τῇ ΜΗ μήκει. καί εἰσι ῥηταί· αἱ ΔΜ, ΜΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΔΗ. Δεικτέον δή, ὅτι καὶ πρώτη. Ἐπεὶ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ, καὶ τῶν ΔΘ, ΚΛ ἄρα μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΜΞ. ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ ΔΘ πρὸσ τὸ ΜΞ, οὕτωσ τὸ ΜΞ πρὸσ τὸ ΚΛ, τουτέστιν ὡσ ἡ ΔΚ πρὸσ τὴν ΜΝ, ἡ ΜΝ πρὸσ τὴν ΜΚ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΔΚ, ΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΜΝ. καὶ ἐπεὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΓ τῷ ἀπὸ τῆσ ΓΒ, σύμμετρόν ἐστι καὶ τὸ ΔΘ τῷ ΚΛ· ὥστε καὶ ἡ ΔΚ τῇ ΚΜ σύμμετρόσ ἐστιν. καὶ ἐπεὶ μείζονά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τοῦ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ΔΛ τοῦ ΜΖ· ὥστε καὶ ἡ ΔΜ τῆσ ΜΗ μείζων ἐστίν. καί ἐστιν ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν ΔΚ, ΚΜ τῷ ἀπὸ τῆσ ΜΝ, τουτέστι τῷ τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆσ ΜΗ, καὶ σύμμετροσ ἡ ΔΚ τῇ ΚΜ. ἐὰν δὲ ὦσι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι, τῷ δὲ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆσ ἐλάσσονοσ ἴσον παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ καὶ εἰσ σύμμετρα αὐτὴν διαιρῇ, ἡ μείζων τῆσ ἐλάσσονοσ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ· ἡ ΔΜ ἄρα τῆσ ΜΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ. καί εἰσι ῥηταὶ αἱ ΔΜ, ΜΗ, καὶ ἡ ΔΜ μεῖζον ὄνομα σύμμετρόσ ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΔΕ μήκει. Ἡ ΔΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πρώτη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τὸ ἀπὸ τῆσ ἐκ δύο μέσων πρώτησ παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέραν. Ἔστω ἐκ δύο μέσων πρώτη ἡ ΑΒ διῃρημένη εἰσ τὰσ μέσασ κατὰ τὸ Γ, ὧν μείζων ἡ ΑΓ, καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΔΕ, καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΔΕ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΒ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΔΖ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΔΗ· λέγω, ὅτι ἡ ΔΗ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ δευτέρα. Κατεσκευάσθω γὰρ τὰ αὐτὰ τοῖσ πρὸ τούτου. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ ἐκ δύο μέσων ἐστὶ πρώτη διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι ῥητὸν περιέχουσαι· ὥστε καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσα ἐστίν. μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΕ παραβέβληται· ῥητὴ ἄρα ἐστίν ἡ ΜΔ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΔΕ μήκει. πάλιν, ἐπεὶ ῥητόν ἐστι τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, ῥητόν ἐστι καὶ τὸ ΜΖ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΜΛ παράκειται· ῥητὴ ἄρα [ἐστὶ] καὶ ἡ ΜΗ καὶ μήκει σύμμετροσ τῇ ΜΛ, τουτέστι τῇ ΔΕ· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΜ τῇ ΜΗ μήκει. καί εἰσι ῥηταί· αἱ ΔΜ, ΜΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΔΗ. Δεικτέον δή, ὅτι καὶ δευτέρα. Ἐπεὶ γὰρ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μείζονά ἐστι τοῦ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ΔΛ τοῦ ΜΖ· ὥστε καὶ ἡ ΔΜ τῆσ ΜΗ. καὶ ἐπεὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΓ τῷ ἀπὸ τῆσ ΓΒ, σύμμετρόν ἐστι καὶ τὸ ΔΘ τῷ ΚΛ· ὥστε καὶ ἡ ΔΚ τῇ ΚΜ σύμμετρόσ ἐστιν. καί ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΔΚΜ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆσ ΜΝ· ἡ ΔΜ ἄρα τῆσ ΜΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ. καί ἐστιν ἡ ΜΗ σύμμετροσ τῇ ΔΕ μήκει. Ἡ ΔΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ δευτέρα. Τὸ ἀπὸ τῆσ ἐκ δύο μέσων δευτέρασ παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων τρίτην. Ἔστω ἐκ δύο μέσων δευτέρα ἡ ΑΒ διῃρημένη εἰσ τὰσ μέσασ κατὰ τὸ Γ, ὥστε τὸ μεῖζον τμῆμα εἶναι τὸ ΑΓ, ῥητὴ δέ τισ ἔστω ἡ ΔΕ, καὶ παρὰ τὴν ΔΕ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΒ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβεβλήσθω τὸ ΔΖ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΔΗ· λέγω, ὅτι ἡ ΔΗ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τρίτη. Κατεσκευάσθω τὰ αὐτὰ τοῖσ προδεδειγμένοισ. καὶ ἐπεὶ ἐκ δύο μέσων δευτέρα ἐστὶν ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι μέσον περιέχουσαι· ὥστε καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον ἐστίν. καί ἐστιν ἴσον τῷ ΔΛ· μέσον ἄρα καὶ τὸ ΔΛ. καὶ παράκειται παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΕ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΜΔ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΔΕ μήκει. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΜΗ ῥητή ἐστι καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΜΛ, τουτέστι τῇ ΔΕ, μήκει· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΔΜ, ΜΗ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΔΕ μήκει. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ μήκει, ὡσ δὲ ἡ ΑΓ πρὸσ τὴν ΓΒ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΓ πρὸσ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ, ἀσύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΓ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ. ὥστε καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ ἀσύμμετρόν ἐστιν, τουτέστι τὸ ΔΛ τῷ ΜΖ· ὥστε καὶ ἡ ΔΜ τῇ ΜΗ ἀσύμμετρόσ ἐστιν. καί εἰσι ῥηταί· ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΔΗ. Δεικτέον [δή], ὅτι καὶ τρίτη. Ὁμοίωσ δὴ τοῖσ προτέροισ ἐπιλογιούμεθα, ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΔΜ τῆσ ΜΗ, καὶ σύμμετροσ ἡ ΔΚ τῇ ΚΜ. καί ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΔΚΜ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆσ ΜΝ· ἡ ΔΜ ἄρα τῆσ ΜΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ. καὶ οὐδετέρα τῶν ΔΜ, ΜΗ σύμμετρόσ ἐστι τῇ ΔΕ μήκει. Ἡ ΔΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τρίτη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τὸ ἀπὸ τῆσ μείζονοσ παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων τετάρτην. Ἔστω μείζων ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, ὥστε μείζονα εἶναι τὴν ΑΓ τῆσ ΓΒ, ῥητὴ δὲ ἡ ΔΕ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΔΕ παραβεβλήσθω τὸ ΔΖ παραλληλόγραμμον πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΔΗ· λέγω, ὅτι ἡ ΔΗ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τετάρτη. Κατεσκευάσθω τὰ αὐτὰ τοῖσ προδεδειγμένοισ. καὶ ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, αἱ ΑΓ, ΓΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δὲ ὑπ’ αὐτῶν μέσον. ἐπεὶ οὖν ῥητόν ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΛ· ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΔΜ καὶ σύμμετροσ τῇ ΔΕ μήκει. πάλιν, ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τουτέστι τὸ ΜΖ, καὶ παρὰ ῥητήν ἐστι τὴν ΜΛ, ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΜΗ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΔΕ μήκει· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΜ τῇ ΜΗ μήκει. αἱ ΔΜ, ΜΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΔΗ. Δεικτέον [δή], ὅτι καὶ τετάρτη. Ὁμοίωσ δὴ δείξομεν τοῖσ πρότερον, ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΔΜ τῆσ ΜΗ, καὶ ὅτι τὸ ὑπὸ ΔΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΜΝ. ἐπεὶ οὖν ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΓ τῷ ἀπὸ τῆσ ΓΒ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΔΘ τῷ ΚΛ· ὥστε ἀσύμμετροσ καὶ ἡ ΔΚ τῇ ΚΜ ἐστιν. ἐὰν δὲ ὦσι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι, τῷ δὲ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆσ ἐλάσσονοσ ἴσον παραλληλόγραμμον παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ καὶ εἰσ ἀσύμμετρα αὐτὴν διαιρῇ, ἡ μείζων τῆσ ἐλάσσονοσ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει· ἡ ΔΜ ἄρα τῆσ ΜΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. καί εἰσιν αἱ ΔΜ, ΜΗ ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΔΜ σύμμετρόσ ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΔΕ. Ἡ ΔΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τετάρτη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τὸ ἀπὸ τῆσ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένησ παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων πέμπτην. Ἔστω ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἡ ΑΒ διῃρημένη εἰσ τὰσ εὐθείασ κατὰ τὸ Γ, ὥστε μείζονα εἶναι τὴν ΑΓ, καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΔΕ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΔΕ παραβεβλήσθω τὸ ΔΖ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΔΗ· λέγω, ὅτι ἡ ΔΗ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πέμπτη. Κατεσκευάσθω τὰ αὐτὰ τοῖσ πρὸ τούτου. ἐπεὶ οὖν ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἐστὶν ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δ’ ὑπ’ αὐτῶν ῥητόν. ἐπεὶ οὖν μέσον ἐστὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΛ· ὥστε ῥητή ἐστιν ἡ ΔΜ καὶ μήκει ἀσύμμετροσ τῇ ΔΕ. πάλιν, ἐπεὶ ῥητόν ἐστι τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ, τουτέστι τὸ ΜΖ, ῥητὴ ἄρα ἡ ΜΗ καὶ σύμμετροσ τῇ ΔΕ. ἀσύμμετροσ ἄρα ἡ ΔΜ τῇ ΜΗ· αἱ ΔΜ, ΜΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΔΗ. Λέγω δή, ὅτι καὶ πέμπτη. Ὁμοίωσ γὰρ δειχθήσεται, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΔΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΜΝ, καὶ ἀσύμμετροσ ἡ ΔΚ τῇ ΚΜ μήκει· ἡ ΔΜ ἄρα τῆσ ΜΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. καί εἰσιν αἱ ΔΜ, ΜΗ [ῥηταὶ] δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ἐλάσσων ἡ ΜΗ σύμμετροσ τῇ ΔΕ μήκει. Ἡ ΔΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πέμπτη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τὸ ἀπὸ τῆσ δύο μέσα δυναμένησ παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων ἕκτην. Ἔστω δύο μέσα δυναμένη ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, ῥητὴ δὲ ἔστω ἡ ΔΕ. καὶ παρὰ τὴν ΔΕ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΒ ἴσον παραβεβλήσθω τὸ ΔΖ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΔΗ· λέγω, ὅτι ἡ ΔΗ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἕκτη. Κατεσκευάσθω γὰρ τὰ αὐτὰ τοῖσ πρότερον. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ δύο μέσα δυναμένη ἐστὶ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ τὸ ὑπ’ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τὸ ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων συγκείμενον τῷ ὑπ’ αὐτῶν· ὥστε κατὰ τὰ προδεδειγμένα μέσον ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΔΛ, ΜΖ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΕ παράκειται· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΔΜ, ΜΗ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΔΕ μήκει. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΛ τῷ ΜΖ. ἀσύμμετροσ ἄρα καὶ ἡ ΔΜ τῇ ΜΗ· αἱ ΔΜ, ΜΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΔΗ. Λέγω δή, ὅτι καὶ ἕκτη. Ὁμοίωσ δὴ πάλιν δείξομεν, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΔΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΜΝ, καὶ ὅτι ἡ ΔΚ τῇ ΚΜ μήκει ἐστὶν ἀσύμμετροσ· καὶ διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἡ ΔΜ τῆσ ΜΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει. καὶ οὐδετέρα τῶν ΔΜ, ΜΗ σύμμετρόσ ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΔΕ μήκει. Ἡ ΔΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἕκτη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἡ τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων μήκει σύμμετροσ καὶ αὐτὴ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτή. Ἔστω ἐκ δύο ὀνομάτων ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ μήκει σύμμετροσ ἔστω ἡ ΓΔ· λέγω, ὅτι ἡ ΓΔ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ. Ἐπεὶ γὰρ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΑΒ, διῃρήσθω εἰσ τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Ε, καὶ ἔστω μεῖζον ὄνομα τὸ ΑΕ· αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι. γεγονέτω ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΓΔ, οὕτωσ ἡ ΑΕ πρὸσ τὴν ΓΖ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΕΒ πρὸσ λοιπὴν τὴν ΖΔ ἐστιν, ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΓΔ. σύμμετροσ δὲ ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ μήκει. σύμμετροσ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΓΖ, ἡ δὲ ΕΒ τῇ ΖΔ. καί εἰσι ῥηταὶ αἱ ΑΕ, ΕΒ· ῥηταὶ ἄρα εἰσὶ καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ. καὶ [ἐπεί] ἐστιν ὡσ ἡ ΑΕ πρὸσ ΓΖ, ἡ ΕΒ πρὸσ ΖΔ. ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΑΕ πρὸσ ΕΒ, ἡ ΓΖ πρὸσ ΖΔ. αἱ δὲ ΑΕ, ΕΒ δυνάμει μόνον [εἰσὶ] σύμμετροι· καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ ἄρα δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι. καί εἰσι ῥηταί· ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΓΔ. Λέγω δή, ὅτι τῇ τάξει ἐστὶν ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ. Ἡ γὰρ ΑΕ τῆσ ΕΒ μεῖζον δύναται ἤτοι τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ ἢ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου. εἰ μὲν οὖν ἡ ΑΕ τῆσ ΕΒ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΓΖ τῆσ ΖΔ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ. καὶ εἰ μὲν σύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ, καὶ ἡ ΓΖ σύμμετροσ αὐτῇ ἔσται, καὶ διὰ τοῦτο ἑκατέρα τῶν ΑΒ, ΓΔ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πρώτη, τουτέστι τῇ τάξει ἡ αὐτή. εἰ δὲ ἡ ΕΒ σύμμετρόσ ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ, καὶ ἡ ΖΔ σύμμετρόσ ἐστιν αὐτῇ, καὶ διὰ τοῦτο πάλιν τῇ τάξει ἡ αὐτὴ ἔσται τῇ ΑΒ· ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν ἔσται ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέρα. εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΑΕ, ΕΒ σύμμετρόσ ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ, οὐδετέρα τῶν ΓΖ, ΖΔ σύμμετροσ αὐτῇ ἔσται, καί ἐστιν ἑκατέρα τρίτη. εἰ δὲ ἡ ΑΕ τῆσ ΕΒ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΓΖ τῆσ ΖΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. καὶ εἰ μὲν ἡ ΑΕ σύμμετρόσ ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ, καὶ ἡ ΓΖ σύμμετρόσ ἐστιν αὐτῇ, καί ἐστιν ἑκατέρα τετάρτη. εἰ δὲ ἡ ΕΒ, καὶ ἡ ΖΔ, καὶ ἔσται ἑκατέρα πέμπτη. εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΑΕ, ΕΒ, καὶ τῶν ΓΖ, ΖΔ οὐδετέρα σύμμετρόσ ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ, καὶ ἔσται ἑκατέρα ἕκτη. Ὥστε ἡ τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων μήκει σύμμετροσ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτή· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἡ τῇ ἐκ δύο μέσων μήκει σύμμετροσ καὶ αὐτὴ ἐκ δύο μέσων ἐστὶ καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτή. Ἔστω ἐκ δύο μέσων ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ σύμμετροσ ἔστω μήκει ἡ ΓΔ· λέγω, ὅτι ἡ ΓΔ ἐκ δύο μέσων ἐστὶ καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ. Ἐπεὶ γὰρ ἐκ δύο μέσων ἐστὶν ἡ ΑΒ, διῃρήσθω εἰσ τὰσ μέσασ κατὰ τὸ Ε· αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι. καὶ γεγονέτω ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ ΓΔ, ἡ ΑΕ πρὸσ ΓΖ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΕΒ πρὸσ λοιπὴν τὴν ΖΔ ἐστιν, ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ ΓΔ. σύμμετροσ δὲ ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ μήκει· σύμμετροσ ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΑΕ, ΕΒ ἑκατέρᾳ τῶν ΓΖ, ΖΔ. μέσαι δὲ αἱ ΑΕ, ΕΒ· μέσαι ἄρα καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ ΑΕ πρὸσ ΕΒ, ἡ ΓΖ πρὸσ ΖΔ, αἱ δὲ ΑΕ, ΕΒ δυνάμει μόνον σύμμετροί εἰσιν, καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ [ἄρα] δυνάμει μόνον σύμμετροί εἰσιν. ἐδείχθησαν δὲ καὶ μέσαι· ἡ ΓΔ ἄρα ἐκ δύο μέσων ἐστίν. Λέγω δή, ὅτι καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτή ἐστι τῇ ΑΒ. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡσ ἡ ΑΕ πρὸσ ΕΒ, ἡ ΓΖ πρὸσ ΖΔ, καὶ ὡσ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΕ πρὸσ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΓΖ πρὸσ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖΔ· ἐναλλὰξ ὡσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΕ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΓΖ, οὕτωσ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ πρὸσ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖΔ. σύμμετρον δὲ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΕ τῷ ἀπὸ τῆσ ΓΖ· σύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖΔ. εἴτε οὖν ῥητόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ, καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖΔ ῥητόν ἐστιν [καὶ διὰ τοῦτό ἐστιν ἐκ δύο μέσων πρώτη]. εἴτε μέσον, μέσον, καί ἐστιν ἑκατέρα δευτέρα. Καὶ διὰ τοῦτο ἔσται ἡ ΓΔ τῇ ΑΒ τῇ τάξει ἡ αὐτή· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἡ τῇ μείζονι σύμμετροσ καὶ αὐτὴ μείζων ἐστίν. Ἔστω μείζων ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ σύμμετροσ ἔστω ἡ ΓΔ· λέγω, ὅτι ἡ ΓΔ μείζων ἐστίν. Διῃρήσθω ἡ ΑΒ κατὰ τὸ Ε· αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δ’ ὑπ’ αὐτῶν μέσον· καὶ γεγονέτω τὰ αὐτὰ τοῖσ πρότερον. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΓΔ, οὕτωσ ἥ τε ΑΕ πρὸσ τὴν ΓΖ καὶ ἡ ΕΒ πρὸσ τὴν ΖΔ, καὶ ὡσ ἄρα ἡ ΑΕ πρὸσ τὴν ΓΖ, οὕτωσ ἡ ΕΒ πρὸσ τὴν ΖΔ. σύμμετροσ δὲ ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ. σύμμετροσ ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΑΕ, ΕΒ ἑκατέρᾳ τῶν ΓΖ, ΖΔ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ ΑΕ πρὸσ τὴν ΓΖ, οὕτωσ ἡ ΕΒ πρὸσ τὴν ΖΔ, καὶ ἐναλλὰξ ὡσ ἡ ΑΕ πρὸσ ΕΒ, οὕτωσ ἡ ΓΖ πρὸσ ΖΔ, καὶ συνθέντι ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΕ, οὕτωσ ἡ ΓΔ πρὸσ τὴν ΔΖ· καὶ ὡσ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΕ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΓΔ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΔΖ. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ὡσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΕ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΓΔ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΓΖ. καὶ ὡσ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ πρὸσ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΓΔ πρὸσ τὰ ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ· καὶ ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΓΔ, οὕτωσ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ πρὸσ τὰ ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ. σύμμετρον δὲ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ τῷ ἀπὸ τῆσ ΓΔ· σύμμετρα ἄρα καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τοῖσ ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ. καί ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ ἅμα ῥητόν, καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ ἅμα ῥητόν ἐστιν. ὁμοίωσ δὲ καὶ τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ σύμμετρόν ἐστι τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ. καί ἐστι μέσον τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ· μέσον ἄρα καὶ τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ. αἱ ΓΖ, ΖΔ ἄρα δυνάμει ἀσύμμετροί εἰσι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων ἅμα ῥητόν, τὸ δὲ δὶσ ὑπ’ αὐτῶν μέσον· ὅλη ἄρα ἡ ΓΔ ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη μείζων. Ἡ ἄρα τῇ μείζονι σύμμετροσ μείζων ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἡ τῇ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένῃ σύμμετροσ [καὶ αὐτὴ] ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἐστίν. Ἔστω ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ σύμμετροσ ἔστω ἡ ΓΔ· δεικτέον, ὅτι καὶ ἡ ΓΔ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἐστίν. Διῃρήσθω ἡ ΑΒ εἰσ τὰσ εὐθείασ κατὰ τὸ Ε· αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δ’ ὑπ’ αὐτῶν ῥητόν· καὶ τὰ αὐτὰ κατεσκευάσθω τοῖσ πρότερον. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι, καὶ σύμμετρον τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΕ, ΕΒ τῷ ὑπὸ ΓΖ, ΖΔ· ὥστε καὶ τὸ [μὲν] συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ τετραγώνων ἐστὶ μέσον, τὸ δ’ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ ῥητόν. Ῥητὸν ἄρα καὶ μέσον δυναμένη ἐστὶν ἡ ΓΔ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἡ τῇ δύο μέσα δυναμένῃ σύμμετροσ δύο μέσα δυναμένη ἐστίν. Ἔστω δύο μέσα δυναμένη ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ σύμμετροσ ἡ ΓΔ· δεικτέον, ὅτι καὶ ἡ ΓΔ δύο μέσα δυναμένη ἐστίν. ἐπεὶ γὰρ δύο μέσα δυναμένη ἐστὶν ἡ ΑΒ, διῃρήσθω εἰσ τὰσ εὐθείασ κατὰ τὸ Ε· αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν [τετραγώνων] μέσον καὶ τὸ ὑπ’ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τετραγώνων τῷ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ· καὶ κατεσκευάσθω τὰ αὐτὰ τοῖσ πρότερον. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι καὶ σύμμετρον τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ· ὥστε καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ τετραγώνων μέσον ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ τετραγώνων τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ. Ἡ ἄρα ΓΔ δύο μέσα δυναμένη ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ῥητοῦ καὶ μέσου συντιθεμένου τέσσαρεσ ἄλογοι γίγνονται ἤτοι ἐκ δύο ὀνομάτων ἢ ἐκ δύο μέσων πρώτη ἢ μείζων ἢ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη. Ἔστω ῥητὸν μὲν τὸ ΑΒ, μέσον δὲ τὸ ΓΔ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΔ χωρίον δυναμένη ἤτοι ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἢ ἐκ δύο μέσων πρώτη ἢ μείζων ἢ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη. Τὸ γὰρ ΑΒ τοῦ ΓΔ ἤτοι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἔλασσον. ἔστω πρότερον μεῖζον· καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΕΖ, καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΕΖ τῷ ΑΒ ἴσον τὸ ΕΗ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΕΘ· τῷ δὲ ΔΓ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραβεβλήσθω τὸ ΘΙ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΘΚ. καὶ ἐπεὶ ῥητόν ἐστι τὸ ΑΒ καί ἐστιν ῥητόν ἐστι τὸ ΑΒ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΕΗ, ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ΕΗ. καὶ παρὰ [ῥητὴν] τὴν ΕΖ παραβέβληται πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΕΘ· ἡ ΕΘ ἄρα ῥητή ἐστι καὶ σύμμετροσ τῇ ΕΖ μήκει. πάλιν, ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ ΓΔ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΘΙ, μέσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΘΙ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΘΚ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΚ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΕΖ μήκει. καὶ ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ ΓΔ, ῥητὸν δὲ τὸ ΑΒ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒ τῷ ΓΔ· ὥστε καὶ τὸ ΕΗ ἀσύμμετρόν ἐστι τῷ ΘΙ. ὡσ δὲ τὸ ΕΗ πρὸσ τὸ ΘΙ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΕΘ πρὸσ τὴν ΘΚ· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΕΘ τῇ ΘΚ μήκει. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ΕΘ, ΘΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΕΚ διῃρημένη κατὰ τὸ Θ. καὶ ἐπεὶ μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ, ἴσον δὲ τὸ μὲν ΑΒ τῷ ΕΗ, τὸ δὲ ΓΔ τῷ ΘΙ, μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ΕΗ τοῦ ΘΙ· καὶ ἡ ΕΘ ἄρα μείζων ἐστὶ τῆσ ΘΚ. ἤτοι οὖν ἡ ΕΘ τῆσ ΘΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει ἢ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου. δυνάσθω πρότερον τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ. καί ἐστιν ἡ μείζων ἡ ΘΕ σύμμετροσ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΕΖ· ἡ ἄρα ΕΚ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πρώτη. ῥητὴ δὲ ἡ ΕΖ· ἐὰν δὲ χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆσ καὶ τῆσ ἐκ δύο ὀνομάτων πρώτησ, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστίν. ἡ ἄρα τὸ ΕΙ δυναμένη ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστίν· ὥστε καὶ ἡ τὸ ΑΔ δυναμένη ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστίν. ἀλλὰ δὴ δυνάσθω ἡ ΕΘ τῆσ ΘΚ μεῖζον τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ· καί ἐστιν ἡ μείζων ἡ ΕΘ σύμμετροσ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΕΖ μήκει· ἡ ἄρα ΕΚ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τετάρτη. ῥητὴ δὲ ἡ ΕΖ· ἐὰν δὲ χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆσ καὶ τῆσ ἐκ δύο ὀνομάτων τετάρτησ, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη μείζων. ἡ ἄρα τὸ ΕΙ χωρίον δυναμένη μείζων ἐστίν· ὥστε καὶ ἡ τὸ ΑΔ δυναμένη μείζων ἐστίν. Ἀλλὰ δὴ ἔστω ἔλασσον τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ· καὶ τὸ ΕΗ ἄρα ἔλασσόν ἐστι τοῦ ΘΙ· ὥστε καὶ ἡ ΕΘ ἐλάσσων ἐστὶ τῆσ ΘΚ. ἤτοι δὲ ἡ ΘΚ τῆσ ΕΘ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ ἢ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου. δυνάσθω πρότερον τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει· καί ἐστιν ἡ ἐλάσσων ἡ ΕΘ σύμμετροσ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΕΖ μήκει· ἡ ἄρα ΕΚ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ δευτέρα. ῥητὴ δὲ ἡ ΕΖ· ἐὰν δὲ χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆσ καὶ τῆσ ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέρασ, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἐκ δύο μέσων ἐστὶ πρώτη. ἡ ἄρα τὸ ΕΙ χωρίον δυναμένη ἐκ δύο μέσων ἐστὶ πρώτη· ὥστε καὶ ἡ τὸ ΑΔ δυναμένη ἐκ δύο μέσων ἐστὶ πρώτη. ἀλλὰ δὴ ἡ ΘΚ τῆσ ΘΕ μεῖζον δυνάσθω τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. καί ἐστιν ἡ ἐλάσσων ἡ ΕΘ σύμμετροσ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΕΖ· ἡ ἄρα ΕΚ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πέμπτη. ῥητὴ δὲ ἡ ΕΖ· ἐὰν δὲ χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆσ καὶ τῆσ ἐκ δύο ὀνομάτων πέμπτησ, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἐστίν. ἡ ἄρα τὸ ΕΙ χωρίον δυναμένη ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἐστίν· ὥστε καὶ ἡ τὸ ΑΔ χωρίον δυναμένη ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἐστίν. Ῥητοῦ ἄρα καὶ μέσου συντιθεμένου τέσσαρεσ ἄλογοι γίγνονται ἤτοι ἐκ δύο ὀνομάτων ἢ ἐκ δύο μέσων πρώτη ἢ μείζων ἢ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Δύο μέσων ἀσυμμέτρων ἀλλήλοισ συντιθεμένων αἱ λοιπαὶ δύο ἄλογοι γίγνονται ἤτοι ἐκ δύο μέσων δευτέρα ἢ [ἡ] δύο μέσα δυναμένη. Συγκείσθω γὰρ δύο μέσα ἀσύμμετρα ἀλλήλοισ τὰ ΑΒ, ΓΔ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΔ χωρίον δυναμένη ἤτοι ἐκ δύο μέσων ἐστὶ δευτέρα ἢ δύο μέσα δυναμένη. Τὸ γὰρ ΑΒ τοῦ ΓΔ ἤτοι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἔλασσον. ἔστω, εἰ τύχοι, πρότερον μεῖζον τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ· καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΕΖ, καὶ τῷ μὲν ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραβεβλήσθω τὸ ΕΗ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΕΘ, τῷ δὲ ΓΔ ἴσον τὸ ΘΙ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΘΚ. καὶ ἐπεὶ μέσον ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΑΒ, ΓΔ, μέσον ἄρα καὶ ἑκάτερον τῶν ΕΗ, ΘΙ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΖΕ παράκειται πλάτοσ ποιοῦν τὰσ ΕΘ, ΘΚ· ἑκατέρα ἄρα τῶν ΕΘ, ΘΚ ῥητή ἐστι καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΕΖ μήκει. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ ΑΒ τῷ ΓΔ, καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν ΑΒ τῷ ΕΗ, τὸ δὲ ΓΔ τῷ ΘΙ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΕΗ τῷ ΘΙ. ὡσ δὲ τὸ ΕΗ πρὸσ τὸ ΘΙ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΕΘ πρὸσ ΘΚ· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ τῇ ΘΚ μήκει. αἱ ΕΘ, ΘΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΕΚ. ἤτοι δὲ ἡ ΕΘ τῆσ ΘΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ ἢ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου. δυνάσθω πρότερον τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει· καὶ οὐδετέρα τῶν ΕΘ, ΘΚ σύμμετρόσ ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΕΖ μήκει· ἡ ΕΚ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τρίτη. ῥητὴ δὲ ἡ ΕΖ· ἐὰν δὲ χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆσ καὶ τῆσ ἐκ δύο ὀνομάτων τρίτησ, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἐκ δύο μέσων ἐστὶ δευτέρα· ἡ ἄρα τὸ ΕΙ, τουτέστι τὸ ΑΔ, δυναμένη ἐκ δύο μέσων ἐστὶ δευτέρα. ἀλλὰ δὴ ἡ ΕΘ τῆσ ΘΚ μεῖζον δυνάσθω τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει· καὶ ἀσύμμετρόσ ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΕΘ, ΘΚ τῇ ΕΖ μήκει· ἡ ἄρα ΕΚ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἕκτη. ἐὰν δὲ χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆσ καὶ τῆσ ἐκ δύο ὀνομάτων ἕκτησ, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἡ δύο μέσα δυναμένη ἐστίν· ὥστε καὶ ἡ τὸ ΑΔ χωρίον δυναμένη ἡ δύο μέσα δυναμένη ἐστίν. [Ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι κἂν ἔλαττον ᾖ τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ, ἡ τὸ ΑΔ χωρίον δυναμένη ἢ ἐκ δύο μέσων δευτέρα ἐστὶν ἤτοι δύο μέσα δυναμένη]. Δύο ἄρα μέσων ἀσυμμέτρων ἀλλήλοισ συντιθεμένων αἱ λοιπαὶ δύο ἄλογοι γίγνονται ἤτοι ἐκ δύο μέσων δευτέρα ἢ δύο μέσα δυναμένη. Ἡ ἐκ δύο ὀνομάτων καὶ αἱ μετ’ αὐτὴν ἄλογοι οὔτε τῇ μέσῃ οὔτε ἀλλήλαισ εἰσὶν αἱ αὐταί. τὸ μὲν γὰρ ἀπὸ μέσησ παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ ῥητὴν καὶ ἀσύμμετρον τῇ παρ’ ἣν παράκειται μήκει. τὸ δὲ ἀπὸ τῆσ ἐκ δύο ὀνομάτων παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων πρώτην. τὸ δὲ ἀπὸ τῆσ ἐκ δύο μέσων πρώτησ παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέραν. τὸ δὲ ἀπὸ τῆσ ἐκ δύο μέσων δευτέρασ παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων τρίτην. τὸ δὲ ἀπὸ τῆσ μείζονοσ παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων τετάρτην. τὸ δὲ ἀπὸ τῆσ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένησ παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων πέμπτην. τὸ δὲ ἀπὸ τῆσ δύο μέσα δυναμένησ παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτοσ ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων ἕκτην. τὰ δ’ εἰρημένα πλάτη διαφέρει τοῦ τε πρώτου καὶ ἀλλήλων, τοῦ μὲν πρώτου, ὅτι ῥητή ἐστιν, ἀλλήλων δέ, ὅτι τῇ τάξει οὐκ εἰσὶν αἱ αὐταί· ὥστε καὶ αὐταὶ αἱ ἄλογοι διαφέρουσιν ἀλλήλων. Εἂν ἀπὸ ῥητῆσ ῥητὴ ἀφαιρεθῇ δυνάμει μόνον σύμμετροσ οὖσα τῇ ὅλῃ, ἡ λοιπὴ ἄλογόσ ἐστιν· καλείσθω δὲ ἀποτομή. Ἀπὸ γὰρ ῥητῆσ τῆσ ΑΒ ῥητὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΒΓ δυνάμει μόνον σύμμετροσ οὖσα τῇ ὅλῃ· λέγω, ὅτι ἡ λοιπὴ ἡ ΑΓ ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη ἀποτομή. Ἐπεὶ γὰρ ἀσύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει, καί ἐστιν ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ πρὸσ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆσ ΑΒ σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνα, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ σύμμετρόν ἐστι τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. καὶ ἐπειδήπερ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσα ἐστὶ τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΑ, καὶ λοιπῷ ἄρα τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΓ ἀσύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ῥητὰ δὲ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· ἄλογοσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ· καλείσθω δὲ ἀποτομή. ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ἀπὸ μέσησ μέση ἀφαιρεθῇ δυνάμει μόνον σύμμετροσ οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆσ ὅλησ ῥητὸν περιέχουσα, ἡ λοιπὴ ἄλογόσ ἐστιν· καλείσθω δὲ μέσησ ἀποτομὴ πρώτη. Ἀπὸ γὰρ μέσησ τῆσ ΑΒ μέση ἀφῃρήσθω ἡ ΒΓ δυνάμει μόνον σύμμετροσ οὖσα τῇ ΑΒ, μετὰ δὲ τῆσ ΑΒ ῥητὸν ποιοῦσα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· λέγω, ὅτι ἡ λοιπὴ ἡ ΑΓ ἄλογόσ ἐστιν· καλείσθω δὲ μέσησ ἀποτομὴ πρώτη. Ἐπεὶ γὰρ αἱ ΑΒ, ΒΓ μέσαι εἰσίν, μέσα ἐστὶ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ῥητὸν δὲ τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· ἀσύμμετρα ἄρα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· καὶ λοιπῷ ἄρα τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΓ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ἐπεὶ κἂν τὸ ὅλον ἑνὶ αὐτῶν ἀσύμμετρον ᾖ, καὶ τὰ ἐξ ἀρχῆσ μεγέθη ἀσύμμετρα ἔσται. ῥητὸν δὲ τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· ἄλογον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΓ· ἄλογοσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ· καλείσθω δὲ μέσησ ἀποτομὴ πρώτη. Εἂν ἀπὸ μέσησ μέση ἀφαιρεθῇ δυνάμει μόνον σύμμετροσ οὖσα τῇ ὅλη, μετὰ δὲ τῆσ ὅλησ μέσον περιέχουσα, ἡ λοιπὴ ἄλογόσ ἐστιν· καλείσθω δὲ μέσησ ἀποτομὴ δευτέρα. Ἀπὸ γὰρ μέσησ τῆσ ΑΒ μέση ἀφῃρήσθω ἡ ΓΒ δυνάμει μόνον σύμμετροσ οὖσα τῇ ὅλῃ τῇ ΑΒ, μετὰ δὲ τῆσ ὅλησ τῆσ ΑΒ μέσον περιέχουσα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· λέγω, ὅτι ἡ λοιπὴ ἡ ΑΓ ἄλογόσ ἐστιν· καλείσθω δὲ μέσησ ἀποτομὴ δευτέρα. Ἐκκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ ΔΙ, καὶ τοῖσ μὲν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον παρὰ τὴν ΔΙ παραβεβλήσθω τὸ ΔΕ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΔΗ, τῷ δὲ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον παρὰ τὴν ΔΙ παραβεβλήσθω τὸ ΔΘ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΔΖ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΖΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΓ. καὶ ἐπεὶ μέσα καὶ σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, μέσον ἄρα καὶ τὸ ΔΕ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΙ παράκειται πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΔΗ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΗ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΔΙ μήκει. πάλιν, ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, καὶ τὸ δὶσ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μέσον ἐστίν. καί ἐστιν ἴσον τῷ ΔΘ· καὶ τὸ ΔΘ ἄρα μέσον ἐστίν. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΙ παραβέβληται πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΔΖ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΖ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΔΙ μήκει. καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΒ, ΒΓ δυνάμει μόνον σύμμετροί εἰσιν, ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει· ἀσύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ τετράγωνον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆσ ΑΒ σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ σύμμετρόν ἐστι τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τοῖσ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ἴσον δὲ τοῖσ μὲν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τὸ ΔΕ, τῷ δὲ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τὸ ΔΘ· ἀσύμμετρον ἄρα [ἐστὶ] τὸ ΔΕ τῷ ΔΘ. ὡσ δὲ τὸ ΔΕ πρὸσ τὸ ΔΘ, οὕτωσ ἡ ΗΔ πρὸσ τὴν ΔΖ· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΔ τῇ ΔΖ. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ἄρα ΗΔ, ΔΖ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἡ ΖΗ ἄρα ἀποτομή ἐστιν. ῥητὴ δὲ ἡ ΔΙ· τὸ δὲ ὑπὸ ῥητῆσ καὶ ἀλόγου περιεχόμενον ἄλογόν ἐστιν, καὶ ἡ δυναμένη αὐτὸ ἄλογόσ ἐστιν. καὶ δύναται τὸ ΖΕ ἡ ΑΓ· ἡ ΑΓ ἄρα ἄλογόσ ἐστιν· καλείσθω δὲ μέσησ ἀποτομὴ δευτέρα. ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ἀπὸ εὐθείασ εὐθεῖα ἀφαιρεθῇ δυνάμει ἀσύμμετροσ οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆσ ὅλησ ποιοῦσα τὰ μὲν ἀπ’ αὐτῶν ἅμα ῥητόν, τὸ δ’ ὑπ’ αὐτῶν μέσον, ἡ λοιπὴ ἄλογόσ ἐστιν· καλείσθω δὲ ἐλάσσων. Ἀπὸ γὰρ εὐθείασ τῆσ ΑΒ εὐθεῖα ἀφῃρήσθω ἡ ΒΓ δυνάμει ἀσύμμετροσ οὖσα τῇ ὅλῃ ποιοῦσα τὰ προκείμενα. λέγω, ὅτι ἡ λοιπὴ ἡ ΑΓ ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάσσων. Ἐπεὶ γὰρ τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετραγώνων ῥητόν ἐστιν, τὸ δὲ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μέσον, ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· καὶ ἀναστρέψαντι λοιπῷ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΓ ἀσύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ῥητὰ δὲ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ἄλογον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΓ· ἄλογοσ ἄρα ἡ ΑΓ· καλείσθω δὲ ἐλάσσων. ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ἀπὸ εὐθείασ εὐθεῖα ἀφαιρεθῇ δυνάμει ἀσύμμετροσ οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆσ ὅλησ ποιοῦσα τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δὲ δὶσ ὑπ’ αὐτῶν ῥητόν, ἡ λοιπὴ ἄλογόσ ἐστιν· καλείσθω δὲ ἡ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα. Ἀπὸ γὰρ εὐθείασ τῆσ ΑΒ εὐθεῖα ἀφῃρήσθω ἡ ΒΓ δυνάμει ἀσύμμετροσ οὖσα τῇ ΑΒ ποιοῦσα τὰ προκείμενα· λέγω, ὅτι ἡ λοιπὴ ἡ ΑΓ ἄλογόσ ἐστιν ἡ προειρημένη. Ἐπεὶ γὰρ τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετραγώνων μέσον ἐστίν, τὸ δὲ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ῥητόν, ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΓ ἀσύμμετρόν ἐστι τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. καί ἐστι τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ῥητόν· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆσ ΑΓ ἄλογόν ἐστιν· ἄλογοσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ· καλείσθω δὲ ἡ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα. ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ἀπὸ εὐθείασ εὐθεῖα ἀφαιρεθῇ δυνάμει ἀσύμμετροσ οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆσ ὅλησ ποιοῦσα τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων μέσον τό τε δὶσ ὑπ’ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι τὰ ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα ἀσύμμετρα τῷ δὶσ ὑπ’ αὐτῶν, ἡ λοιπὴ ἄλογόσ ἐστιν· καλείσθω δὲ ἡ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα. Ἀπὸ γὰρ εὐθείασ τῆσ ΑΒ εὐθεῖα ἀφῃρήσθω ἡ ΒΓ δυνάμει ἀσύμμετροσ οὖσα τῇ ΑΒ ποιοῦσα τὰ προκείμενα· λέγω, ὅτι ἡ λοιπὴ ἡ ΑΓ ἄλογόσ ἐστιν ἡ καλουμένη ἡ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα. Ἐκκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ ΔΙ, καὶ τοῖσ μὲν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον παρὰ τὴν ΔΙ παραβεβλήσθω τὸ ΔΕ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΔΗ, τῷ δὲ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΔΘ [πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΔΖ]. λοιπὸν ἄρα τὸ ΖΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΓ· ὥστε ἡ ΑΓ δύναται τὸ ΖΕ. καὶ ἐπεὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετραγώνων μέσον ἐστὶ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΔΕ, μέσον ἄρα [ἐστὶ] τὸ ΔΕ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΙ παράκειται πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΔΗ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΗ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΔΙ μήκει. πάλιν, ἐπεὶ τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μέσον ἐστὶ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΔΘ, τὸ ἄρα ΔΘ μέσον ἐστίν. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΙ παράκειται πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΔΖ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΖ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΔΙ μήκει. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ἀσύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ΔΕ τῷ ΔΘ. ὡσ δὲ τὸ ΔΕ πρὸσ τὸ ΔΘ, οὕτωσ ἐστὶ καὶ ἡ ΔΗ πρὸσ τὴν ΔΖ· ἀσύμμετροσ ἄρα ἡ ΔΗ τῇ ΔΖ. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ΗΔ, ΔΖ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι. ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ· ῥητὴ δὲ ἡ ΖΘ. τὸ δὲ ὑπὸ ῥητῆσ καὶ ἀποτομῆσ περιεχόμενον [ὀρθογώνιον] ἄλογόν ἐστιν, καὶ ἡ δυναμένη αὐτὸ ἄλογόσ ἐστιν. καὶ δύναται τὸ ΖΕ ἡ ΑΓ· ἡ ΑΓ ἄρα ἄλογόσ ἐστιν· καλείσθω δὲ ἡ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα. ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τῇ ἀποτομῇ μία [μόνον] προσαρμόζει εὐθεῖα ῥητὴ δυνάμει μόνον σύμμετροσ οὖσα τῇ ὅλῃ. Ἔστω ἀποτομὴ ἡ ΑΒ, προσαρμόζουσα δὲ αὐτῇ ἡ ΒΓ· αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· λέγω, ὅτι τῇ ΑΒ ἑτέρα οὐ προσαρμόζει ῥητὴ δυνάμει μόνον σύμμετροσ οὖσα τῇ ὅλῃ. Εἰ γὰρ δυνατόν, προσαρμοζέτω ἡ ΒΔ· καὶ αἱ ΑΔ, ΔΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι. καὶ ἐπεί, ᾧ ὑπερέχει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, τούτῳ ὑπερέχει καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τοῦ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· τῷ γὰρ αὐτῷ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΒ ἀμφότερα ὑπερέχει· ἐναλλὰξ ἄρα, ᾧ ὑπερέχει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τούτῳ ὑπερέχει [καὶ] τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. τὰ δὲ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ· ῥητὰ γὰρ ἀμφότερα. καὶ τὸ δὶσ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· μέσα γὰρ ἀμφότερα, μέσον δὲ μέσου οὐχ ὑπερέχει ῥητῷ. τῇ ἄρα ΑΒ ἑτέρα οὐ προσαρμόζει ῥητὴ δυνάμει μόνον σύμμετροσ οὖσα τῇ ὅλῃ. Μία ἄρα μόνη τῇ ἀποτομῇ προσαρμόζει ῥητὴ δυνάμει μόνον σύμμετροσ οὖσα τῇ ὅλῃ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τῇ μέσησ ἀποτομῇ πρώτῃ μία μόνον προσαρμόζει εὐθεῖα μέση δυνάμει μόνον σύμμετροσ οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆσ ὅλησ ῥητὸν περιέχουσα. Ἔστω γὰρ μέσησ ἀποτομὴ πρώτη ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ προσαρμοζέτω ἡ ΒΓ· αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι ῥητὸν περιέχουσαι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· λέγω, ὅτι τῇ ΑΒ ἑτέρα οὐ προσαρμόζει μέση δυνάμει μόνον σύμμετροσ οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆσ ὅλησ ῥητὸν περιέχουσα. Εἰ γὰρ δυνατόν, προσαρμοζέτω καὶ ἡ ΔΒ. αἱ ἄρα ΑΔ, ΔΒ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι ῥητὸν περιέχουσαι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. καὶ ἐπεί, ᾧ ὑπερέχει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, τούτῳ ὑπερέχει καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τοῦ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· τῷ γὰρ αὐτῷ [πάλιν] ὑπερέχουσι τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΒ· ἐναλλὰξ ἄρα, ᾧ ὑπερέχει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τούτῳ ὑπερέχει καὶ τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. τὸ δὲ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ· ῥητὰ γὰρ ἀμφότερα. καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἄρα τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ [τετραγώνων] ὑπερέχει ῥητῷ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· μέσα γάρ ἐστιν ἀμφότερα, μέσον δὲ μέσου οὐχ ὑπερέχει ῥητῷ. Τῇ ἄρα μέσησ ἀποτομῇ πρώτῃ μία μόνον προσαρμόζει εὐθεῖα μέση δυνάμει μόνον σύμμετροσ οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆσ ὅλησ ῥητὸν περιέχουσα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τῇ μέσησ ἀποτομῇ δευτέρᾳ μία μόνον προσαρμόζει εὐθεῖα μέση δυνάμει μόνον σύμμετροσ τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆσ ὅλησ μέσον περιέχουσα. Ἔστω μέσησ ἀποτομὴ δευτέρα ἡ ΑΒ καὶ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΓ· αἱ ἄρα ΑΓ, ΓΒ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι μέσον περιέχουσαι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· λέγω, ὅτι τῇ ΑΒ ἑτέρα οὐ προσαρμόσει εὐθεῖα μέση δυνάμει μόνον σύμμετροσ οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆσ ὅλησ μέσον περιέχουσα. Εἰ γὰρ δυνατόν, προσαρμοζέτω ἡ ΒΔ· καὶ αἱ ΑΔ, ΔΒ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι μέσον περιέχουσαι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΕΖ, καὶ τοῖσ μὲν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραβεβλήσθω τὸ ΕΗ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΕΜ· τῷ δὲ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΘΗ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΘΜ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΕΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΒ· ὥστε ἡ ΑΒ δύναται τὸ ΕΛ. πάλιν δὴ τοῖσ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραβεβλήσθω τὸ ΕΙ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΕΝ· ἔστι δὲ καὶ τὸ ΕΛ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆσ ΑΒ τετραγώνῳ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΘΙ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. καὶ ἐπεὶ μέσαι εἰσὶν αἱ ΑΓ, ΓΒ, μέσα ἄρα ἐστὶ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. καί ἐστιν ἴσα τῷ ΕΗ· μέσον ἄρα καὶ τὸ ΕΗ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΕΜ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΜ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΕΖ μήκει. πάλιν, ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, καὶ τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον ἐστίν. καί ἐστιν ἴσον τῷ ΘΗ· καὶ τὸ ΘΗ ἄρα μέσον ἐστίν. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΘΜ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΘΜ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΕΖ μήκει. καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΓ, ΓΒ δυνάμει μόνον σύμμετροί εἰσιν, ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ μήκει. ὡσ δὲ ἡ ΑΓ πρὸσ τὴν ΓΒ, οὕτωσ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΓ πρὸσ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΓ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆσ ΑΓ σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ σύμμετρόν ἐστι τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. καί ἐστι τοῖσ μὲν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον τὸ ΕΗ, τῷ δὲ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον τὸ ΗΘ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΗ τῷ ΘΗ. ὡσ δὲ τὸ ΕΗ πρὸσ τὸ ΘΗ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΕΜ πρὸσ τὴν ΘΜ· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΜ τῇ ΜΘ μήκει. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ΕΜ, ΜΘ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ, προσαρμόζουσα δὲ αὐτῇ ἡ ΘΜ. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΘΝ αὐτῇ προσαρμόζει· τῇ ἄρα ἀποτομῇ ἄλλη καὶ ἄλλη προσαρμόζει εὐθεῖα δυνάμει μόνον σύμμετροσ οὖσα τῇ ὅλῃ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. Τῇ ἄρα μέσησ ἀποτομῇ δευτέρᾳ μία μόνον προσαρμόζει εὐθεῖα μέση δυνάμει μόνον σύμμετροσ οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆσ ὅλησ μέσον περιέχουσα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τῇ ἐλάσσονι μία μόνον προσαρμόζει εὐθεῖα δυνάμει ἀσύμμετροσ οὖσα τῇ ὅλῃ ποιοῦσα μετὰ τῆσ ὅλησ τὸ μὲν ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δὲ δὶσ ὑπ’ αὐτῶν μέσον. Ἔστω ἡ ἐλάσσων ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἔστω ἡ ΒΓ· αἱ ἄρα ΑΓ, ΓΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δὲ δὶσ ὑπ’ αὐτῶν μέσον· λέγω, ὅτι τῇ ΑΒ ἑτέρα εὐθεῖα οὐ προσαρμόσει τὰ αὐτὰ ποιοῦσα. Εἰ γὰρ δυνατόν, προσαρμοζέτω ἡ ΒΔ· καὶ αἱ ΑΔ, ΔΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὰ προειρημένα. καὶ ἐπεί, ᾧ ὑπερέχει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τούτῳ ὑπερέχει καὶ τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τὰ δὲ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τετράγωνα τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τετραγώνων ὑπερέχει ῥητῷ· ῥητὰ γάρ ἐστιν ἀμφότερα· καὶ τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἄρα τοῦ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· μέσα γάρ ἐστιν ἀμφότερα. Τῇ ἄρα ἐλάσσονι μία μόνον προσαρμόζει εὐθεῖα δυνάμει ἀσύμμετροσ οὖσα τῇ ὅλῃ καὶ ποιοῦσα τὰ μὲν ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα ἅμα ῥητόν, τὸ δὲ δὶσ ὑπ’ αὐτῶν μέσον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τῇ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιούσῃ μία μόνον προσαρμόζει εὐθεῖα δυνάμει ἀσύμμετροσ οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆσ ὅλησ ποιοῦσα τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δὲ δὶσ ὑπ’ αὐτῶν ῥητόν. Ἔστω ἡ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ προσαρμοζέτω ἡ ΒΓ· αἱ ἄρα ΑΓ, ΓΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὰ προκείμενα· λέγω, ὅτι τῇ ΑΒ ἑτέρα οὐ προσαρμόσει τὰ αὐτὰ ποιοῦσα. Εἰ γὰρ δυνατόν, προσαρμοζέτω ἡ ΒΔ· καὶ αἱ ΑΔ, ΔΒ ἄρα εὐθεῖαι δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὰ προκείμενα. ἐπεὶ οὖν, ᾧ ὑπερέχει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τούτῳ ὑπερέχει καὶ τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἀκολούθωσ τοῖσ πρὸ αὐτοῦ, τὸ δὲ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ· ῥητὰ γάρ ἐστιν ἀμφότερα· καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἄρα τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· μέσα γάρ ἐστιν ἀμφότερα. οὐκ ἄρα τῇ ΑΒ ἑτέρα προσαρμόσει εὐθεῖα δυνάμει ἀσύμμετροσ οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆσ ὅλησ ποιοῦσα τὰ προειρημένα· μία ἄρα μόνον προσαρμόσει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τῇ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιούσῃ μία μόνη προσαρμόζει εὐθεῖα δυνάμει ἀσύμμετροσ οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆσ ὅλησ ποιοῦσα τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων μέσον τό τε δὶσ ὑπ’ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν. Ἔστω ἡ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα ἡ ΑΒ, προσαρμόζουσα δὲ αὐτῇ ἡ ΒΓ· αἱ ἄρα ΑΓ, ΓΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὰ προειρημένα. λέγω, ὅτι τῇ ΑΒ ἑτέρα οὐ προσαρμόσει ποιοῦσα τὰ προειρημένα. Εἰ γὰρ δυνατόν, προσαρμοζέτω ἡ ΒΔ, ὥστε καὶ τὰσ ΑΔ, ΔΒ δυνάμει ἀσυμμέτρουσ εἶναι ποιούσασ τά τε ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τετράγωνα ἅμα μέσον καὶ τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μέσον καὶ ἔτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἀσύμμετρα τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ· καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΕΖ, καὶ τοῖσ μὲν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραβεβλήσθω τὸ ΕΗ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΕΜ, τῷ δὲ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραβεβλήσθω τὸ ΘΗ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΘΜ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΕΛ· ἡ ἄρα ΑΒ δύναται τὸ ΕΛ. πάλιν τοῖσ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραβεβλήσθω τὸ ΕΙ πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΕΝ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΑΒ ἴσον τῷ ΕΛ· λοιπὸν ἄρα τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἴσον [ἐστὶ] τῷ ΘΙ. καὶ ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΕΗ, μέσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΕΗ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΕΜ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΜ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΕΖ μήκει. πάλιν, ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΘΗ, μέσον ἄρα καὶ τὸ ΘΗ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται πλάτοσ ποιοῦν τὴν ΘΜ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΜ καὶ ἀσύμμετροσ τῇ ΕΖ μήκει. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῷ δὶσ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, ἀσύμμετρόν ἐστι καὶ τὸ ΕΗ τῷ ΘΗ· ἀσύμμετροσ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΕΜ τῇ ΜΘ μήκει. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ἄρα ΕΜ, ΜΘ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ, προσαρμόζουσα δὲ αὐτῇ ἡ ΘΜ. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι ἡ ΕΘ πάλιν ἀποτομή ἐστιν, προσαρμόζουσα δὲ αὐτῇ ἡ ΘΝ. τῇ ἄρα ἀποτομῇ ἄλλη καὶ ἄλλη προσαρμόζει ῥητὴ δυνάμει μόνον σύμμετροσ οὖσα τῇ ὅλῃ· ὅπερ ἐδείχθη ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τῇ ΑΒ ἑτέρα προσαρμόσει εὐθεῖα. Τῇ ἄρα ΑΒ μία μόνον προσαρμόζει εὐθεῖα δυνάμει ἀσύμμετροσ οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆσ ὅλησ ποιοῦσα τά τε ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα ἅμα μέσον καὶ τὸ δὶσ ὑπ’ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι τὰ ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα ἀσύμμετρα τῷ δὶσ ὑπ’ αὐτῶν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

일치하는 문장이 없습니다.

SEARCH

MENU NAVIGATION