- 텍스트

Euclid, Elements, book 10, type Prop 1

(유클리드, Elements, book 10, type Prop 1)

Δύο μεγεθῶννίσων κκειμνων, ν ἀπὸ τοῦ μείζονος ἀφαιρεθῇ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ καὶ τοῦ καταλειπομνου μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ, καὶ τοῦτο ἀεὶ γίγνηται, λειφθήσεταί τι μγεθος, ὃ ἔσται ἔλασσον τοῦ κκειμνου λάσσονος μεγθους.? Ἔστω δύο μεγθη ἄνισα τὰ ΑΒ, Γ, ὧν μεῖζον τὸ ΑΒ: λγω, ὅτι, ν ἀπὸ τοῦ ΑΒ ἀφαιρεθῇ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ καὶ τοῦ καταλειπομνου μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ, καὶ τοῦτο ἀεὶ γίγνηται, λειφθήσεταί τι μγεθος, ὃ ἔσται ἔλασσον τοῦ Γ μεγθους. Τὸ Γ γὰρ πολλαπλασιαζόμενον ἔσται ποτὲ τοῦ ΑΒ μεῖζον. πεπολλαπλασιάσθω, καὶ ἔστω τὸ ΔΕ τοῦ μν Γ πολλαπλάσιον, τοῦ δὲ ΑΒ μεῖζον, καὶ διῃρήσθω τὸ ΔΕ εἰς τὰ τῷ Γ ἴσα τὰ ΔΖ, ΖΗ, ΗΕ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ μν τοῦ ΑΒ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ τὸ ΒΘ, ἀπὸ δὲ τοῦ ΑΘ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ τὸ ΘΚ, καὶ τοῦτο ἀεὶ γιγνσθω, ἑώς ἂν αἱ ν τῷ ΑΒ διαιρσεις ἰσοπληθεῖς γνωνται ταῖς ν τῷ ΔΕ διαιρσεσιν. Ἔστωσαν οὖν αἱ ΑΚ, ΚΘ, ΘΒ διαιρσεις ἰσοπληθεῖς οὖσαι ταῖς ΔΖ, ΖΗ, ΗΕ: καὶ πεμεῖζόν στι τὸ ΔΕ τοῦ ΑΒ, καὶ ἀφῄρηται ἀπὸ μν τοῦ ΔΕ ἔλασσον τοῦ ἡμίσεος τὸ ΕΗ, ἀπὸ δὲ τοῦ ΑΒ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ τὸ ΒΘ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΗΔ λοιποῦ τοῦ ΘΑ μεῖζόν στιν. καὶ πεμεῖζόν στι τὸ ΗΔ τοῦ ΘΑ, καὶ ἀφῄρηται τοῦ μν ΗΔ ἥμισυ τὸ ΗΖ, τοῦ δὲ ΘΑ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ τὸ ΘΚ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΔΖ λοιποῦ τοῦ ΑΚ μεῖζόν στιν. ἴσον δὲ τὸ ΔΖ τῷ Γ: καὶ τὸ Γ ἄρα τοῦ ΑΚ μεῖζόν στιν. ἔλασσον ἄρα τὸ ΑΚ τοῦ Γ. Καταλείπεται ἄρα ἀπὸ τοῦ ΑΒ μεγθους τὸ ΑΚ μγεθος ἔλασσον ὀ`ν τοῦ κκειμνου λάσσονος μεγθους τοῦ Γ: ὅπερ ἔδει δεῖξαι. _ὁμοίως δὲ δειχθήσεται, κνμίση ᾖ τὰ ἀφαιρούμενα. Εἂν δύο μεγεθῶν [κκειμνων] ἀνίσωννθυφαιρουμνου ἀεὶ τοῦ λάσσονος ἀπὸ τοῦ μείζονος τὸ καταλειπόμενον μηδποτε καταμετρῇ τὸ πρὸ ἑαυτοῦ, ἀσύμμετρα ἔσται τὰ μεγθη. Δύο γὰρ μεγεθῶνντωννίσων τῶν ΑΒ, ΓΔ καὶ λάσσονος τοῦ ΑΒ ἀνθυφαιρουμνου ἀεὶ τοῦ λάσσονος ἀπὸ τοῦ μείζονος τὸ περιλειπόμενον μηδποτε καταμετρείτω τὸ πρὸ ἑαυτοῦ: λγω, ὅτι ἀσύμμετρά στι τὰ ΑΒ, ΓΔ μεγθη. Εἰ γάρ στι σύμμετρα, μετρήσει τι αὐτὰ μγεθος. μετρείτω, εἰ δυνατόν, καὶ ἔστω τὸ Ε: καὶ τὸ μν ΑΒ τὸ ΖΔ καταμετροῦν λειπτω ἑαυτοῦ ἔλασσον τὸ ΓΖ, τὸ δὲ ΓΖ τὸ ΒΗ καταμετροῦν λειπτω ἑαυτοῦ ἔλασσον τὸ ΑΗ, καὶ τοῦτο ἀεὶ γινσθω, ἑώς οὗ λειφθῇ τι μγεθος, ὅ στιν ἔλασσον τοῦ Ε. γεγοντω, καὶ λελείφθω τὸ ΑΗ ἔλασσον τοῦ Ε. πεὶ οὖν τὸ Ε τὸ ΑΒ μετρεῖ, ἀλλὰ τὸ ΑΒ τὸ ΔΖ μετρεῖ, καὶ τὸ Ε ἄρα τὸ ΖΔ μετρήσει. μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸ ΓΔ: καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΓΖ μετρήσει. ἀλλὰ τὸ ΓΖ τὸ ΒΗ μετρεῖ: καὶ τὸ Ε ἄρα τὸ ΒΗ μετρεῖ. μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸ ΑΒ: καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΗ μετρήσει, τὸ μεῖζον τὸ ἔλασσον. ὅπερ στὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τὰ ΑΒ, ΓΔ μεγθη μετρήσει τι μγεθος: ἀσύμμετρα ἄρα στὶ τὰ ΑΒ, ΓΔ μεγθη. Εἂν ἄρα δύο μεγεθῶννίσων, καὶ τὰ ἑξῆς. Δύο μεγεθῶν συμμτρων δοθντων τὸ μγιστον αὐτῶν κοινν μτρον εὑρεν. Ἔστω τὰ δοθντα δύο μεγθη σύμμετρα τὰ ΑΒ, ΓΔ, ὧν ἔλασσον τὸ ΑΒ: δεῖ δὴ τῶν ΑΒ, ΓΔ τὸ μγιστον κοινν μτρον εὑρεν. Τὸ ΑΒ γὰρ μγεθος ἤτοι μετρεῖ τὸ ΓΔ ἢ οὔ. εμν οὖν μετρεῖ, μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτό, τὸ ΑΒ ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ κοινν μτρον στίν: καὶ φανερόν, ὅτι καὶ μγιστον. μεῖζον γὰρ τοῦ ΑΒ μεγθους τὸ ΑΒ οὐ μετρήσει. Μὴ μετρείτω δὴ τὸ ΑΒ τὸ ΓΔ. καὶ ἀνθυφαιρουμνου ἀεὶ τοῦ λάσσονος ἀπὸ τοῦ μείζονος, τὸ περιλειπόμενον μετρήσει ποτὲ τὸ πρὸ ἑαυτοῦ διὰ τὸ μεναι ἀσύμμετρα τὰ ΑΒ, ΓΔ: καὶ τὸ μν ΑΒ τὸ ΕΔ καταμετροῦν λειπτω ἑαυτοῦ ἔλασσον τὸ ΕΓ, τὸ δὲ ΕΓ τὸ ΖΒ καταμετροῦν λειπτω ἑαυτοῦ ἔλασσον τὸ ΑΖ, τὸ δὲ ΑΖ τὸ ΓΕ μετρείτω. Ἐπεὶ οὖν τὸ ΑΖ τὸ ΓΕ μετρεῖ, ἀλλὰ τὸ ΓΕ τὸ ΖΒ μετρεῖ, καὶ τὸ ΑΖ ἄρα τὸ ΖΒ μετρήσει. μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτό: καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΑΒ μετρήσει τὸ ΑΖ. ἀλλὰ τὸ ΑΒ τὸ ΔΕ μετρεῖ: καὶ τὸ ΑΖ ἄρα τὸ ΕΔ μετρήσει. μετρεῖ δὲ καὶ τὸ ΓΕ: καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΓΔ μετρεῖ: τὸ ΑΖ ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ κοινν μτρον στίν. λγω δή, ὅτι καὶ μγιστον. εἰ γὰρ μή, ἔσται τι μγεθος μεῖζον τοῦ ΑΖ, ὃ μετρήσει τὰ ΑΒ, ΓΔ. ἔστω τὸ Η. πεὶ οὖν τὸ Η τὸ ΑΒ μετρεῖ, ἀλλὰ τὸ ΑΒ τὸ ΕΔ μετρεῖ, καὶ τὸ Η ἄρα τὸ ΕΔ μετρήσει. μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸ ΓΔ: καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΓΕ μετρήσει τὸ Η. ἀλλὰ τὸ ΓΕ τὸ ΖΒ μετρεῖ: καὶ τὸ Η ἄρα τὸ ΖΒ μετρήσει. μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸ ΑΒ, καὶ λοιπὸν τὸ ΑΖ μετρήσει, τὸ μεῖζον τὸ ἔλασσον: ὅπερ στὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα μεῖζόν τι μγεθος τοῦ ΑΖ τὰ ΑΒ, ΓΔ μετρήσει: τὸ ΑΖ ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ τὸ μγιστον κοινν μτρον στίν. Δύο ἄρα μεγεθῶν συμμτρων δοθντων τῶν ΑΒ, ΓΔ τὸ μγιστον κοινν μτρον ηὑρ´ηται: ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Πόρισμα Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι, ν μγεθος δύο μεγθη μετρῇ, καὶ τὸ μγιστον αὐτῶν κοινν μτρον μετρήσει. Τριν μεγεθῶν συμμτρων δοθντων τὸ μγιστον αὐτῶν κοινν μτρον εὑρεν. Ἔστω τὰ δοθντα τρία μεγθη σύμμετρα τὰ Α, Β, Γ: δεῖ δὴ τῶν Α, Β, Γ τὸ μγιστον κοινν μτρον εὑρεν. Εἰλήφθω γὰρ δύο τῶν Α, Β τὸ μγιστον κοινν μτρον, καὶ ἔστω τὸ Δ: τὸ δὴ Δ τὸ Γ ἤτοι μετρεῖ ἢ οὔ [μετρεῖ]. μετρείτω πρότερον. πεὶ οὖν τὸ Δ τὸ Γ μετρεῖ, μετρεῖ δὲ καὶ τὰ Α, Β, τὸ Δ ἄρα τὰ Α, Β, Γ μετρεῖ: τὸ Δ ἄρα τῶν Α, Β, Γ κοινν μτρον στίν. καὶ φανερόν, ὅτι καὶ μγιστον: μεῖζον γὰρ τοῦ Δ μεγθους τὰ Α, Β οὐ μετρεῖ. Μὴ μετρείτω δὴ τὸ Δ τὸ Γ. λγω πρῶτον, ὅτι σύμμετρά στι τὰ Γ, Δ. πεὶ γὰρ σύμμετρά στι τὰ Α, Β, Γ, μετρήσει τι αὐτὰ μγεθος, ὃ δηλαδὴ καὶ τὰ Α, Β μετρήσει: ὥστε καὶ τὸ τῶν Α, Β μγιστον κοινν μτρον τὸ Δ μετρήσει. μετρεῖ δὲ καὶ τὸ Γ: ὥστε τὸ εἰρημνον μγεθος μετρήσει τὰ Γ, Δ: σύμμετρα ἄρα στὶ τὰ Γ, Δ. εἰλήφθω οὖν αὐτῶν τὸ μγιστον κοινν μτρον, καὶ ἔστω τὸ Ε. πεὶ οὖν τὸ Ε τὸ Δ μετρεῖ, ἀλλὰ τὸ Δ τὰ Α, Β μετρεῖ, καὶ τὸ Ε ἄρα τὰ Α, Β μετρήσει. μετρεῖ δὲ καὶ τὸ Γ. τὸ Ε ἄρα τὰ Α, Β, Γ μετρεῖ: τὸ Ε ἄρα τῶν Α, Β, Γ κοινν στι μτρον. λγω δή, ὅτι καὶ μγιστον. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω τι τοῦ Ε μεῖζον μγεθος τὸ Ζ, καὶ μετρείτω τὰ Α, Β, Γ. καὶ πεὶ τὸ Ζ τὰ Α, Β, Γ μετρεῖ, καὶ τὰ Α, Β ἄρα μετρήσει καὶ τὸ τῶν Α, Β μγιστον κοινν μτρον μετρήσει. τὸ δὲ τῶν Α, Β μγιστον κοινν μτρον στὶ τὸ Δ: τὸ Ζ ἄρα τὸ Δ μετρεῖ. μετρεῖ δὲ καὶ τὸ Γ: τὸ Ζ ἄρα τὰ Γ, Δ μετρεῖ: καὶ τὸ τῶν Γ, Δ ἄρα μγιστον κοινν μτρον μετρήσει τὸ Ζ. ἔστι δὲ τὸ Ε: τὸ Ζ ἄρα τὸ Ε μετρήσει, τὸ μεῖζον τὸ ἔλασσον: ὅπερ στὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα μεῖζόν τι τοῦ Ε μεγθους [μγεθος] τὰ Α, Β, Γ μετρεῖ: τὸ Ε ἄρα τῶν Α, Β, Γ τὸ μγιστον κοινν μτρον στίν, ν μμετρῇ τὸ Δ τὸ Γ, ν δὲ μετρῇ, αὐτὸ τὸ Δ. Τριν ἄρα μεγεθῶν συμμτρων δοθντων τὸ μγιστον κοινν μτρον ηὑρ´ηται [ὅπερ ἔδει δεῖξαι]. Πόρισμα Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι, ν μγεθος τρία μεγθη μετρῇ, καὶ τὸ μγιστον αὐτῶν κοινν μτρον μετρήσει. μοίως δὴ καὶ πὶ πλεινων τὸ μγιστον κοινν μτρον ληφθήσεται, καὶ τὸ πόρισμα προχωρήσει. ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τὰ σύμμετρα μεγθη πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμν. Ἔστω σύμμετρα μεγθη τὰ Α, Β: λγω, ὅτι τὸ Α πρὸς τὸ Β λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμν. Ἐπεὶ γὰρ σύμμετρά στι τὰ Α, Β, μετρήσει τι αὐτὰ μγεθος. μετρείτω, καὶ ἔστω τὸ Γ. καὶ ὁσάκις τὸ Γ τὸ Α μετρεῖ τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ν τῷ Δ, ὁσάκις δὲ τὸ Γ τὸ Β μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ν τῷ Ε. Ἐπεὶ οὖν τὸ Γ τὸ Α μετρεκατὰ τὰς ν τῷ Δ μονάδας, μετρεῖ δὲ καὶ ἡ μονὰς τὸν Δ κατὰ τὰς ν αὐτῷ μονάδας, ἰσάκις ἄρα ἡ μονὰς τὸν Δ μετρεῖ ἀριθμν καὶ τὸ Γ μγεθος τὸ Α: ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Α, οὕτως ἡ μονὰς πρὸς τὸν Δ: νάπαλιν ἄρα, ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὴν μονάδα. πάλιν πεὶ τὸ Γ τὸ Β μετρεκατὰ τὰς ν τῷ Ε μονάδας, μετρεῖ δὲ καὶ ἡ μονὰς τὸν Ε κατὰ τὰς ν αὐτῷ μονάδας, ἰσάκις ἄρα ἡ μονὰς τὸν Ε μετρεκαὶ τὸ Γ τὸ Β: ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Β, οὕτως ἡ μονὰς πρὸς τὸν Ε. δείχθη δὲ καὶ ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, ὁ Δ πρὸς τὴν μονάδα: δι ἴσου ἄρα στὶν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως ὁ Δ ἀριθμὸς πρὸς τὸν Ε. Τὰ ἄρα σύμμετρα μεγθη τὰ Α, Β πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς ὁ Δ πρὸς ἀριθμν τὸν Ε: ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν δύο μεγθη πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχῃ, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμν, σύμμετρα ἔσται τὰ μεγθη. Δύο γὰρ μεγθη τὰ Α, Β πρὸς ἄλληλα λόγον χτω, ὃν ἀριθμὸς ὁ Δ πρὸς ἀριθμν τὸν Ε: λγω, ὅτι σύμμετρά στι τὰ Α, Β μεγθη. Ὅσαι γάρ εἰσιν ν τῷ Δ μονάδες, εἰς τοσαῦτα ἴσα διῃρήσθω τὸ Α, καὶ ἑνὶ αὐτῶν ἴσον ἔστω τὸ Γ: ὅσαι δ εἰσιν ν τῷ Ε μονάδες, κ τοσούτων μεγεθῶν ἴσων τῷ Γ συγκείσθω τὸ Ζ. Ἐπεὶ οὖν, ὅσαι εἰσὶν ν τῷ Δ μονάδες, τοσαῦτά εἰσι καὶ ν τῷ Α μεγθη ἴσα τῷ Γ, ὃ ἄρα μρος στὶνμονὰς τοῦ Δ, τὸ αὐτὸ μρος στὶ καὶ τὸ Γ τοῦ Α: ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Α, οὕτως ἡ μονὰς πρὸς τὸν Δ. μετρεῖ δὲ ἡ μονὰς τὸν Δ ἀριθμν: μετρεῖ ἄρα καὶ τὸ Γ τὸ Α. καὶ πεστιν ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Α, οὕτως ἡ μονὰς πρὸς τὸν Δ [ἀριθμν], ἀνάπαλιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως ὁ Δ ἀριθμὸς πρὸς τὴν μονάδα. πάλιν πεί, ὅσαι εἰσὶν ν τῷ Ε μονάδες, τοσαῦτά εἰσι καὶ ν τῷ Ζ ἴσα τῷ Γ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Ζ, οὕτως ἡ μονὰς πρὸς τὸν Ε [ἀριθμν]. δείχθη δὲ καὶ ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὴν μονάδα: δι ἴσου ἄρα στὶν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Ζ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε. ἀλλ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, οὕτως στὶ τὸ Α πρὸς τὸ Β: καὶ ὡς ἄρα τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως καὶ πρὸς τὸ Ζ. τὸ Α ἄρα πρὸς ἑκάτερον τῶν Β, Ζ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον: ἴσον ἄρα στὶ τὸ Β τῷ Ζ. μετρεῖ δὲ τὸ Γ τὸ Ζ: μετρεῖ ἄρα καὶ τὸ Β. ἀλλὰ μν καὶ τὸ Α: τὸ Γ ἄρα τὰ Α, Β μετρεῖ. σύμμετρον ἄρα στὶ τὸ Α τῷ Β. Εἂν ἄρα δύο μεγθη πρὸς ἄλληλα, καὶ τὰ ἑξῆς. Πόρισμα Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι, ν ὦσι δύο ἀριθμοί, ὡς οἱ Δ, Ε, καὶ εὐθεῖα, ὡς ἡ Α, δύνατόν στι ποιῆσαι ὡς ὁ Δ ἀριθμὸς πρὸς τὸν Ε ἀριθμν, οὕτως τὴν εὐθεῖαν πρὸς εὐθεῖαν. ν δὲ καὶ τῶν Α, Ζ μση ἀνάλογον ληφθῇ, ὡς ἡ Β, ἔσται ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Ζ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β, τουτστιν ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτρας τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενον. ἀλλ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Ζ, οὕτως στὶν ὁ Δ ἀριθμὸς πρὸς τὸν Ε ἀριθμν: γγονεν ἄρα καὶ ὡς ὁ Δ ἀριθμὸς πρὸς τὸν Ε ἀριθμν, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α εὐθείας πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β εὐθείας: ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τὰ ἀσύμμετρα μεγθη πρὸς ἄλληλα λόγον οὐκ ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμν. Ἔστω ἀσύμμετρα μεγθη τὰ Α, Β: λγω, ὅτι τὸ Α πρὸς τὸ Β λόγον οὐκ ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμν. εἰ γὰρ ἔχει τὸ Α πρὸς τὸ Β λόγον, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμν, σύμμετρον ἔσται τὸ Α τῷ Β. οὐκ ἔστι δ: οὐκ ἄρα τὸ Α πρὸς τὸ Β λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμν. Τὰ ἄρα ἀσύμμετρα μεγθη πρὸς ἄλληλα λόγον οὐκ ἔχει, καὶ τὰ ἑξῆς. Εἂν δύο μεγθη πρὸς ἄλληλα λόγον μὴ ἔχῃ, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμν, ἀσύμμετρα ἔσται τὰ μεγθη. Δύο γὰρ μεγθη τὰ Α, Β πρὸς ἄλληλα λόγον μχτω, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμν: λγω, ὅτι ἀσύμμετρά στι τὰ Α, Β μεγθη. Εἰ γὰρ ἔσται σύμμετρα, τὸ Α πρὸς τὸ Β λόγον ἕξει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμν. οὐκ ἔχει δ. ἀσύμμετρα ἄρα στὶ τὰ Α, Β μεγθη. Εἂν ἄρα δύο μεγθη πρὸς ἄλληλα, καὶ τὰ ἑξῆς. Τὰ ἀπὸ τῶν μκει συμμτρων εὐθειν τετράγωνα πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμν: καὶ τὰ τετράγωνα τὰ πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχοντα, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμν, καὶ τὰς πλευρὰς ἕξει μκει συμμτρους. τὰ δὲ ἀπὸ τῶν μκει ἀσυμμτρων εὐθειν τετράγωνα πρὸς ἄλληλα λόγον οὐκ ἔχει, ὅνπερ τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμν: καὶ τὰ τετράγωνα τὰ πρὸς ἄλληλα λόγον μὴ ἔχοντα, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμν, οὐδὲ τὰς πλευρὰς ἕξει μκει συμμτρους. Ἔστωσαν γὰρ αἱ Α, Β μκει σύμμετροι: λγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β τετράγωνον λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμν. Ἐπεὶ γὰρ σύμμετρός στιν ἡ Α τῇ Β μκει, ἡ Α ἄρα πρὸς τὴν Β λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμν. χτω, ὃν ὁ Γ πρὸς τὸν Δ. πεὶ οὖν στιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, ἀλλὰ τοῦ μν τῆς Α πρὸς τὴν Β λόγου διπλασίων στὶν ὁ τοῦ ἀπὸ τῆς Α τετραγώνου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β τετράγωνον: τὰ γὰρ ὅμοια σχήματα ν διπλασίονι λόγῳ στὶ τῶνμολόγων πλευρῶν: τοῦ δὲ τοῦ Γ [ἀριθμοῦ] πρὸς τὸν Δ [ἀριθμν] λόγου διπλασίων στὶν ὁ τοῦ ἀπὸ τοῦ Γ τετραγώνου πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ Δ τετράγωνον: δύο γὰρ τετραγώνων ἀριθμν εἷς μσος ἀνάλογόν στιν ἀριθμός, καὶ ὁ τετράγωνος πρὸς τὸν τετράγωνον [ἀριθμν] διπλασίονα λόγον ἔχει, ἤπερ ἡ πλευρὰ πρὸς τὴν πλευράν: ἔστιν ἄρα καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β τετράγωνον, οὕτως ὁ ἀπὸ τοῦ Γ τετράγωνος [ἀριθμὸς] πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ Δ [ἀριθμοῦ] τετράγωνον [ἀριθμν]. Ἀλλὰ δὴ ἔστω ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β, οὕτως ὁ ἀπὸ τοῦ Γ τετράγωνος πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ Δ [τετράγωνον]: λγω, ὅτι σύμμετρός στιν ἡ Α τῇ Β μκει. Ἐπεὶ γάρ στιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β [τετράγωνον], οὕτως ὁ ἀπὸ τοῦ Γ τετράγωνος πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ Δ [τετράγωνον], ἀλλ ὁ μν τοῦ ἀπὸ τῆς Α τετραγώνου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β [τετράγωνον] λόγος διπλασίων στὶ τοῦ τῆς Α πρὸς τὴν Β λόγου, ὁ δὲ τοῦ ἀπὸ τοῦ Γ [ἀριθμοῦ] τετραγώνου [ἀριθμοῦ] πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ Δ [ἀριθμοῦ] τετράγωνον [ἀριθμν] λόγος διπλασίων στὶ τοῦ τοῦ Γ [ἀριθμοῦ] πρὸς τὸν Δ [ἀριθμν] λόγου, ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ὁ Γ [ἀριθμὸς] πρὸς τὸν Δ [ἀριθμν]. ἡ Α ἄρα πρὸς τὴν Β, λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς ὁ Γ πρὸς ἀριθμν τὸν Δ: σύμμετρος ἄρα στὶν ἡ Α τῇ Β μκει. Ἀλλὰ δὴ ἀσύμμετρος ἔστω ἡ Α τῇ Β μκει: λγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β [τετράγωνον] λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμν. Εἰ γὰρ ἔχει τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β [τετράγωνον] λόγον, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμν, σύμμετρος ἔσται ἡ Α τῇ Β. οὐκ ἔστι δ: οὐκ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β [τετράγωνον] λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμν. Πάλιν δὴ τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β [τετράγωνον] λόγον μχτω, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμν: λγω, ὅτι ἀσύμμετρός στιν ἡ Α τῇ Β μκει. Εἰ γάρ στι σύμμετρος ἡ Α τῇ Β, ἕξει τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β λόγον, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμν. οὐκ ἔχει δ: οὐκ ἄρα σύμμετρός στιν ἡ Α τῇ Β μκει. Τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν μκει συμμτρων, καὶ τὰ ἑξῆς. Πόρισμα Καὶ φανερὸν κ τῶν δεδειγμνων ἔσται, ὅτι αἱ μκει σύμμετροι πάντως καὶ δυνμει, αἱ δὲ δυνμει οὐ πάντως καὶ μκει [εἴπερ τὰ ἀπὸ τῶν μκει συμμτρων εὐθειν τετράγωνα λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμν, τὰ δὲ λόγον ἔχοντα, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμν, σύμμετρά στιν. ὥστε αἱ μκει σύμμετροι εὐθεῖαι οὐ μνον [εἰσὶ] μκει σύμμετροι, ἀλλὰ καὶ δυνμει. πάλιν πεί, ὅσα τετράγωνα πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμν, μκει δείχθη σύμμετρα καὶ δυνμειντα σύμμετρα τῷ τὰ τετράγωνα λόγον ἔχειν, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμν, ὅσα ἄρα τετράγωνα λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμν, ἀλλὰ ἁπλῶς, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμν, σύμμετρα μν ἔσται αὐτὰ τὰ τετράγωνα δυνμει, οὐκτι δὲ καὶ μκει: ὥστε τὰ μν μκει σύμμετρα πάντως καὶ δυνμει, τὰ δὲ δυνμει οὐ πάντως καὶ μκει, εμκαὶ λόγον ἔχοιεν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμν. λγω δή, ὅτι [καὶ] αἱ μκει ἀσύμμετροι οὐ πάντως καὶ δυνμει, πειδήπερ αἱ δυνμει σύμμετροι δύνανται λόγον μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμν, καὶ διὰ τοῦτο δυνμει οὖσαι σύμμετροι μκει εἰσὶν ἀσύμμετροι. ὥστε οὐχ αἱ τῷ μκει ἀσύμμετροι πάντως καὶ δυνμει, ἀλλὰ δύνανται μκει οὖσαι ἀσύμμετροι δυνμει εναι καὶ ἀσύμμετροι καὶ σύμμετροι. αἱ δὲ δυνμει ἀσύμμετροι πάντως καὶ μκει ἀσύμμετροι: εἰ γὰρ [εἰσι] μκει σύμμετροι, ἔσονται καὶ δυνμει σύμμετροι. ὑπόκεινται δὲ καὶ ἀσύμμετροι: ὅπερ ἄτοπον. αἱ ἄρα δυνμει ἀσύμμετροι πάντως καὶ μκει]. Λῆμμα Δδεικται ν τοῖς ἀριθμητικοῖς, ὅτι οἱ ὅμοιοι πίπεδοι ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχουσιν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμν, καὶ ὅτι, ν δύο ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχωσιν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμν, ὅμοιοί εἰσιν πίπεδοι. καὶ δῆλον κ τούτων, ὅτι οἱ μὴ ὅμοιοι πίπεδοι ἀριθμοί, τουτστιν οἱ μὴ ἀνάλογον ἔχοντες τὰς πλευράς, πρὸς ἀλλήλους λόγον οὐκ ἔχουσιν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμν. εἰ γὰρ ἕξουσιν, ὅμοιοι πίπεδοι ἔσονται: ὅπερ οὐχ ὑπόκειται. οἱ ἄρα μὴ ὅμοιοι πίπεδοι πρὸς ἀλλήλους λόγον οὐκ ἔχουσιν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμν. Τῇ προτεθείσῃ εὐθείᾳ προσευρεν δύο εὐθείας ἀσυμμτρους, τὴν μν μκει μνον, τὴν δὲ καὶ δυνμει. Ἔστω ἡ προτεθεῖσα εὐθεῖα ἡ Α: δεῖ δὴ τῇ Α προσευρεν δύο εὐθείας ἀσυμμτρους, τὴν μν μκει μνον, τὴν δὲ καὶ δυνμει. κκείσθωσαν γὰρ δύο ἀριθμοὶ οἱ Β, Γ πρὸς ἀλλήλους λόγον μὴ ἔχοντες, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμν, τουτστι μὴ ὅμοιοι πίπεδοι, καὶ γεγοντω ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Γ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Δ τετράγωνον: μάθομεν γάρ: σύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α τῷ ἀπὸ τῆς Δ. καὶ πεὶ ὁ Β πρὸς τὸν Γ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμν, οὐδ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Δ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμν: ἀσύμμετρος ἄρα στὶν ἡ Α τῇ Δ μκει. εἰλήφθω τῶν Α, Δ μση ἀνάλογον ἡ Ε: ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Δ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Ε. ἀσύμμετρος δ στιν ἡ Α τῇ Δ μκει: ἀσύμμετρον ἄρα στὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆς Ε τετραγώνῳ: ἀσύμμετρος ἄρα στὶν ἡ Α τῇ Ε δυνμει. Τῇ ἄρα προτεθείσῃ εὐθείᾳ τῇ Α προσεύρηνται δύο εὐθεῖαι ἀσύμμετροι αἱ Δ, Ε, μκει μν μνον ἡ Δ, δυνμει δὲ καὶ μκει δηλαδὴ ἡ Ε [ὅπερ ἔδει δεῖξαι]. Εἂν τσσαρα μεγθη ἀνάλογον ᾖ, τὸ δὲ πρῶτον τῷ δευτρῳ σύμμετρον ᾖ, καὶ τὸ τρίτον τῷ τετάρτῳ σύμμετρον ἔσται: κν τὸ πρῶτον τῷ δευτρῳ ἀσύμμετρον ᾖ, καὶ τὸ τρίτον τῷ τετάρτῳ ἀσύμμετρον ἔσται. Ἔστωσαν τσσαρα μεγθη ἀνάλογον τὰ Α, Β, Γ, Δ, ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, τὸ Α δὲ τῷ Β σύμμετρον ἔστω: λγω, ὅτι καὶ τὸ Γ τῷ Δ σύμμετρον ἔσται. Ἐπεὶ γὰρ σύμμετρόν στι τὸ Α τῷ Β, τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Β λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμν. καί στιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ: καὶ τὸ Γ ἄρα πρὸς τὸ Δ λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμν: σύμμετρον ἄρα στὶ τὸ Γ τῷ Δ. Ἀλλὰ δὴ τὸ Α τῷ Β ἀσύμμετρον ἔστω: λγω, ὅτι καὶ τὸ Γ τῷ Δ ἀσύμμετρον ἔσται. πεὶ γὰρ ἀσύμμετρόν στι τὸ Α τῷ Β, τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Β λόγον οὐκ ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμν. καί στιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ: οὐδὲ τὸ Γ ἄρα πρὸς τὸ Δ λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμν: ἀσύμμετρον ἄρα στὶ τὸ Γ τῷ Δ. Εἂν ἄρα τσσαρα μεγθη, καὶ τὰ ἑξῆς. Τὰ τῷ αὐτῷ μεγθει σύμμετρα καὶ ἀλλήλοις στὶ σύμμετρα. κάτερον γὰρ τῶν Α, Β τῷ Γ ἔστω σύμμετρον. λγω, ὅτι καὶ τὸ Α τῷ Β στι σύμμετρον. Ἐπεὶ γὰρ σύμμετρόν στι τὸ Α τῷ Γ, τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Γ λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμν. χτω, ὃν ὁ Δ πρὸς τὸν Ε. πάλιν, πεὶ σύμμετρόν στι τὸ Γ τῷ Β, τὸ Γ ἄρα πρὸς τὸ Β λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμν. χτω, ὃν ὁ Ζ πρὸς τὸν Η. καὶ λόγων δοθντων ὁποσωνοῦν τοῦ τε, ὃν ἔχει ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, καὶ ὁ Ζ πρὸς τὸν Η εἰλήφθωσαν ἀριθμοὶ ἑξῆς ν τοῖς δοθεῖσι λόγοις οἱ Θ, Κ, Λ: ὥστε εναι ὡς μν τὸν Δ πρὸς τὸν Ε, οὕτως τὸν Θ πρὸς τὸν Κ, ὡς δὲ τὸν Ζ πρὸς τὸν Η, οὕτως τὸν Κ πρὸς τὸν Λ. Ἐπεὶ οὖν στιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, ἀλλ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Κ, ἔστιν ἄρα καὶ ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Κ. πάλιν, πεστιν ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Β, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Η, ἀλλ ὡς ὁ Ζ πρὸς τὸν Η, [οὕτως] ὁ Κ πρὸς τὸν Λ, καὶ ὡς ἄρα τὸ Γ πρὸς τὸ Β, οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Λ. ἔστι δὲ καὶ ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Κ: δι ἴσου ἄρα στὶν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Λ. τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Β λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς ὁ Θ πρὸς ἀριθμν τὸν Λ: σύμμετρον ἄρα στὶ τὸ Α τῷ Β. Τὰ ἄρα τῷ αὐτῷ μεγθει σύμμετρα καὶ ἀλλήλοις στὶ σύμμετρα: ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ᾖ δύο μεγθη σύμμετρα, τὸ δὲ ἕτερον αὐτῶν μεγθει τινὶ ἀσύμμετρον ᾖ, καὶ τὸ λοιπὸν τῷ αὐτῷ ἀσύμμετρον ἔσται. Ἔστω δύο μεγθη σύμμετρα τὰ Α, Β, τὸ δὲ ἕτερον αὐτῶν τὸ Α ἄλλῳ τινὶ τῷ Γ ἀσύμμετρον ἔστω: λγω, ὅτι καὶ τὸ λοιπὸν τὸ Β τῷ Γ ἀσύμμετρόν στιν. Εἰ γάρ στι σύμμετρον τὸ Β τῷ Γ, ἀλλὰ καὶ τὸ Α τῷ Β σύμμετρόν στιν, καὶ τὸ Α ἄρα τῷ Γ σύμμετρόν στιν. ἀλλὰ καὶ ἀσύμμετρον: ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα σύμμετρόν στι τὸ Β τῷ Γ: ἀσύμμετρον ἄρα. Εἂν ἄρα ᾖ δύο μεγθη σύμμετρα, καὶ τὰ ἑξῆς. Λῆμμα Δύο δοθεισῶν εὐθειννίσων εὑρεν, τίνι μεῖζον δύναταιμείζων τῆς λάσσονος. Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο ἄνισοι εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, Γ, ὧν μείζων ἔστω ἡ ΑΒ: δεῖ δὴ εὑρεν, τίνι μεῖζον δύναται ἡ ΑΒ τῆς Γ. Γεγράφθω πὶ τῆς ΑΒ ἡμικκλιον τὸ ΑΔΒ, καὶ εἰς αὐτὸ νηρμόσθω τῇ Γ ἴση ἡ ΑΔ, καὶ πεζεύχθω ἡ ΔΒ. φανερὸν δή, ὅτι ὀρθή στιν ἡ ὑπὸ ΑΔΒ γωνία, καὶ ὅτι ἡ ΑΒ τῆς ΑΔ, τουτστι τῆς Γ, μεῖζον δύναται τῇ ΔΒ. μοίως δὲ καὶ δύο δοθεισῶν εὐθειν ἡ δυναμνη αὐτὰς εὑρίσκεται οὕτως. Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΔ, ΔΒ, καὶ δον ἔστω εὑρεν τὴν δυναμνην αὐτάς. κείσθωσαν γάρ, ὥστε ὀρθὴν γωνίαν περιχειν τὴν ὑπὸ ΑΔ, ΔΒ, καὶ πεζεύχθω ἡ ΑΒ: φανερὸν πάλιν, ὅτι ἡ τὰς ΑΔ, ΔΒ δυναμνη στὶν ἡ ΑΒ: ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν τσσαρες εὐθεῖαινάλογον ὦσιν, δύνηται δὲ ἡ πρώτη τῆς δευτρας μεῖζον τῷ ἀπὸ συμμτρου ἑαυτῇ [μκει], καὶ ἡ τρίτη τῆς τετάρτης μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ συμμτρου ἑαυτῇ [μκει]. καὶ ν ἡ πρώτη τῆς δευτρας μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ ἀσυμμτρου ἑαυτῇ [μκει], καὶ ἡ τρίτη τῆς τετάρτης μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ ἀσυμμτρου ἑαυτῇ [μκει]. Ἔστωσαν τσσαρες εὐθεῖαινάλογον αἱ Α, Β, Γ, Δ, ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ, καὶ ἡ Α μν τῆς Β μεῖζον δυνάσθω τῷ ἀπὸ τῆς Ε, ἡ δὲ Γ τῆς Δ μεῖζον δυνάσθω τῷ ἀπὸ τῆς Ζ: λγω, ὅτι, εἴτε σύμμετρός στιν ἡ Α τῇ Ε, σύμμετρός στι καὶ ἡ Γ τῇ Ζ, εἴτε ἀσύμμετρός στιν ἡ Α τῇ Ε, ἀσύμμετρός στι καὶ ἡ Γ τῇ Ζ. Ἐπεὶ γάρ στιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ, ἔστιν ἄρα καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Δ. ἀλλὰ τῷ μν ἀπὸ τῆς Α ἴσα στὶ τὰ ἀπὸ τῶν Ε, Β, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς Γ ἴσα στὶ τὰ ἀπὸ τῶν Δ, Ζ. ἔστιν ἄρα ὡς τὰ ἀπὸ τῶν Ε, Β πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β, οὕτως τὰ ἀπὸ τῶν Δ, Ζ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Δ: διελόντι ἄρα στὶν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Ε πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Ζ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Δ: ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ἡ Ε πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Ζ πρὸς τὴν Δ: νάπαλιν ἄρα στὶν ὡς ἡ Β πρὸς τὴν Ε, οὕτως ἡ Δ πρὸς τὴν Ζ. ἔστι δὲ καὶ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ: δι ἴσου ἄρα στὶν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Ε, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Ζ. εἴτε οὖν σύμμετρός στιν ἡ Α τῇ Ε, σύμμετρός στι καὶ ἡ Γ τῇ Ζ, εἴτε ἀσύμμετρός στιν ἡ Α τῇ Ε, ἀσύμμετρός στι καὶ ἡ Γ τῇ Ζ. Εἂν ἄρα, καὶ τὰ ἑξῆς. Εἂν δύο μεγθη σύμμετρα συντεθῇ, καὶ τὸ ὅλονκατρῳ αὐτῶν σύμμετρον ἔσται: κν τὸ ὅλοννὶ αὐτῶν σύμμετρον ᾖ, καὶ τὰ ξ ἀρχῆς μεγθη σύμμετρα ἔσται. Συγκείσθω γὰρ δύο μεγθη σύμμετρα τὰ ΑΒ, ΒΓ: λγω, ὅτι καὶ ὅλον τὸ ΑΓ ἑκατρῳ τῶν ΑΒ, ΒΓ στι σύμμετρον. Ἐπεὶ γὰρ σύμμετρά στι τὰ ΑΒ, ΒΓ, μετρήσει τι αὐτὰ μγεθος. μετρείτω, καὶ ἔστω τὸ Δ. πεὶ οὖν τὸ Δ τὰ ΑΒ, ΒΓ μετρεῖ, καὶ ὅλον τὸ ΑΓ μετρήσει. μετρεῖ δὲ καὶ τὰ ΑΒ, ΒΓ. τὸ Δ ἄρα τὰ ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ μετρεῖ: σύμμετρον ἄρα στὶ τὸ ΑΓ ἑκατρῳ τῶν ΑΒ, ΒΓ. Ἀλλὰ δὴ τὸ ΑΓ ἔστω σύμμετρον τῷ ΑΒ: λγω δή, ὅτι καὶ τὰ ΑΒ, ΒΓ σύμμετρά στιν. Ἐπεὶ γὰρ σύμμετρά στι τὰ ΑΓ, ΑΒ, μετρήσει τι αὐτὰ μγεθος. μετρείτω, καὶ ἔστω τὸ Δ. πεὶ οὖν τὸ Δ τὰ ΓΑ, ΑΒ μετρεῖ, καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΒΓ μετρήσει. μετρεῖ δὲ καὶ τὸ ΑΒ: τὸ Δ ἄρα τὰ ΑΒ, ΒΓ μετρήσει: σύμμετρα ἄρα στὶ τὰ ΑΒ, ΒΓ. Εἂν ἄρα δύο μεγθη, καὶ τὰ ἑξῆς. Εἂν δύο μεγθη ἀσύμμετρα συντεθῇ, καὶ τὸ ὅλονκατρῳ αὐτῶν ἀσύμμετρον ἔσται: κν τὸ ὅλοννὶ αὐτῶν ἀσύμμετρον ᾖ, καὶ τὰ ξ ἀρχῆς μεγθη ἀσύμμετρα ἔσται. Συγκείσθω γὰρ δύο μεγθη ἀσύμμετρα τὰ ΑΒ, ΒΓ: λγω, ὅτι καὶ ὅλον τὸ ΑΓ ἑκατρῳ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἀσύμμετρόν στιν. Εἰ γὰρ μστιν ἀσύμμετρα τὰ ΓΑ, ΑΒ, μετρήσει τι [αὐτὰ] μγεθος. μετρείτω, εἰ δυνατόν, καὶ ἔστω τὸ Δ. πεὶ οὖν τὸ Δ τὰ ΓΑ, ΑΒ μετρεῖ, καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΒΓ μετρήσει. μετρεῖ δὲ καὶ τὸ ΑΒ: τὸ Δ ἄρα τὰ ΑΒ, ΒΓ μετρεῖ. σύμμετρα ἄρα στὶ τὰ ΑΒ, ΒΓ: ὑπκειντο δὲ καὶ ἀσύμμετρα: ὅπερ στὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τὰ ΓΑ, ΑΒ μετρήσει τι μγεθος: ἀσύμμετρα ἄρα στὶ τὰ ΓΑ, ΑΒ. μοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τὰ ΑΓ, ΓΒ ἀσύμμετρά στιν. τὸ ΑΓ ἄρα ἑκατρῳ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἀσύμμετρόν στιν. Ἀλλὰ δὴ τὸ ΑΓ ἑνὶ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἀσύμμετρον ἔστω. ἔστω δὴ πρότερον τῷ ΑΒ: λγω, ὅτι καὶ τὰ ΑΒ, ΒΓ ἀσύμμετρά στιν. εἰ γὰρ ἔσται σύμμετρα, μετρήσει τι αὐτὰ μγεθος. μετρείτω, καὶ ἔστω τὸ Δ. πεὶ οὖν τὸ Δ τὰ ΑΒ, ΒΓ μετρεῖ, καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΑΓ μετρήσει. μετρεῖ δὲ καὶ τὸ ΑΒ: τὸ Δ ἄρα τὰ ΓΑ, ΑΒ μετρεῖ. σύμμετρα ἄρα στὶ τὰ ΓΑ, ΑΒ: ὑπκειτο δὲ καὶ ἀσύμμετρα: ὅπερ στὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τὰ ΑΒ, ΒΓ μετρήσει τι μγεθος: ἀσύμμετρα ἄρα στὶ τὰ ΑΒ, ΒΓ. Εἂν ἄρα δύο μεγθη, καὶ τὰ ἑξῆς. Λῆμμα Εἂν παρά τινα εὐθεῖαν παραβληθῇ παραλληλόγραμμον λλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, τὸ παραβληθὲν ἴσον στὶ τῷ ὑπὸ τῶν κ τῆς παραβολῆς γενομνων τμημάτων τῆς εὐθείας. Παρὰ γὰρ εὐθεῖαν τὴν ΑΒ παραβεβλήσθω παραλληλόγραμμον τὸ ΑΔ λλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τῷ ΔΒ: λγω, ὅτι ἴσον στὶ τὸ ΑΔ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. Καί στιν αὐτόθεν φανερόν: πεὶ γὰρ τετράγωνν στι τὸ ΔΒ, ἴση στὶν ἡ ΔΓ τῇ ΓΒ, καί στι τὸ ΑΔ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ, τουτστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. Εἂν ἄρα παρά τινα εὐθεῖαν, καὶ τὰ ἑξῆς. Εἂν ὦσι δύο εὐθεῖαινισοι, τῷ δὲ τετάρτῳ μρει τοῦ ἀπὸ τῆς λάσσονος ἴσον παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ λλεῖπον εἴδει τετραγώνκαὶ εἰς σύμμετρα αὐτὴν διαιρῇ μκει, ἡ μείζων τῆς λάσσονος μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ συμμτρου ἑαυτῇ [μκει]. καὶ νμείζων τῆς λάσσονος μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ συμμτρου ἑαυτῇ [μκει], τῷ δὲ τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆς λάσσονος ἴσον παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ λλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰς σύμμετρα αὐτὴν διαιρεμκει. Ἔστωσαν δύο εὐθεῖαινισοι αἱ Α, ΒΓ, ὧν μείζων ἡ ΒΓ, τῷ δὲ τετάρτῳ μρει τοῦ ἀπὸ τῆς λάσσονος τῆς Α, τουτστι τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς Α, ἴσον παρὰ τὴν ΒΓ παραβεβλήσθω λλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ, σύμμετρος δὲ ἔστω ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ μκει: λγω, ὅτι ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμτρου ἑαυτῇ. Τετμήσθω γὰρ ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον, καὶ κείσθω τῇ ΔΕ ἴση ἡ ΕΖ. λοιπὴ ἄρα ἡ ΔΓ ἴση στὶ τῇ ΒΖ. καὶ πεεὐθεῖα ἡ ΒΓ ττμηται εἰς μν ἴσα κατὰ τὸ Ε, εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ Δ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΔ, ΔΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΔ τετραγώνου ἴσον στὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΓ τετραγώνῳ: καὶ τὰ τετραπλάσια: τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ τετραπλασίου τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΕ ἴσον στὶ τῷ τετράκις ἀπὸ τῆς ΕΓ τετραγώνῳ. ἀλλὰ τῷ μν τετραπλασίῳ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ ἴσον στὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον, τῷ δὲ τετραπλασίῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΕ ἴσον στὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ τετράγωνον: διπλασίων γάρ στιν ἡ ΔΖ τῆς ΔΕ. τῷ δὲ τετραπλασίῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΓ ἴσον στὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον: διπλασίων γάρ στι πάλιν ἡ ΒΓ τῆς ΓΕ. τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν Α, ΔΖ τετράγωνα ἴσα στὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετραγώνῳ: ὥστε τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τοῦ ἀπὸ τῆς Α μεῖζόν στι τῷ ἀπὸ τῆς ΔΖ: ἡ ΒΓ ἄρα τῆς Α μεῖζον δύναται τῇ ΔΖ. δεικτον, ὅτι καὶ σύμμετρός στιν ἡ ΒΓ τῇ ΔΖ. πεὶ γὰρ σύμμετρός στιν ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ μκει, σύμμετρος ἄρα στὶ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΓΔ μκει. ἀλλὰ ἡ ΓΔ ταῖς ΓΔ, ΒΖ στι σύμμετρος μκει: ἴση γάρ στιν ἡ ΓΔ τῇ ΒΖ. καὶ ἡ ΒΓ ἄρα σύμμετρός στι ταῖς ΒΖ, ΓΔ μκει: ὥστε καὶ λοιπῇ τῇ ΖΔ σύμμετρός στιν ἡ ΒΓ μκει: ἡ ΒΓ ἄρα τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμτρου ἑαυτῇ. Ἀλλὰ δὴ ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δυνάσθω τῷ ἀπὸ συμμτρου ἑαυτῇ, τῷ δὲ τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆς Α ἴσον παρὰ τὴν ΒΓ παραβεβλήσθω λλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ. δεικτον, ὅτι σύμμετρός στιν ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ μκει. Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθντωνμοίως δείξομεν, ὅτι ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ. δύναται δὲ ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον τῷ ἀπὸ συμμτρου ἑαυτῇ. σύμμετρος ἄρα στὶν ἡ ΒΓ τῇ ΖΔ μκει: ὥστε καὶ λοιπῇ συναμφοτρῳ τῇ ΒΖ, ΔΓ σύμμετρός στιν ἡ ΒΓ μκει. ἀλλὰ συναμφότερος ἡ ΒΖ, ΔΓ σύμμετρός στι τῇ ΔΓ [μκει]. ὥστε καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΓΔ σύμμετρός στι μκει: καὶ διελόντι ἄρα ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ στι σύμμετρος μκει. Εἂν ἄρα ὦσι δύο εὐθεῖαινισοι, καὶ τὰ ἑξῆς. Εἂν ὦσι δύο εὐθεῖαινισοι, τῷ δὲ τετάρτῳ μρει τοῦ ἀπὸ τῆς λάσσονος ἴσον παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ λλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ εἰς ἀσύμμετρα αὐτὴν διαιρῇ [μκει], ἡ μείζων τῆς λάσσονος μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ ἀσυμμτρου ἑαυτῇ. καὶ νμείζων τῆς λάσσονος μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ ἀσυμμτρου ἑαυτῇ, τῷ δὲ τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆς λάσσονος ἴσον παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ λλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰς ἀσύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ [μκει]. ἔστωσαν δύο εὐθεῖαινισοι αἱ Α, ΒΓ, ὧν μείζων ἡ ΒΓ, τῷ δὲ τετάρτῳ [μρει] τοῦ ἀπὸ τῆς λάσσονος τῆς Α ἴσον παρὰ τὴν ΒΓ παραβεβλήσθω λλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔΓ, ἀσύμμετρος δὲ ἔστω ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ μκει: λγω, ὅτι ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμτρου ἑαυτῇ. Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθντων τῷ πρότερονμοίως δείξομεν, ὅτι ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ. δεικτον [οὖν], ὅτι ἀσύμμετρός στιν ἡ ΒΓ τῇ ΔΖ μκει. πεὶ γὰρ ἀσύμμετρός στιν ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ μκει, ἀσύμμετρος ἄρα στὶ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΓΔ μκει. ἀλλὰ ἡ ΔΓ σύμμετρός στι συναμφοτραις ταῖς ΒΖ, ΔΓ: καὶ ἡ ΒΓ ἄρα ἀσύμμετρός στι συναμφοτραις ταῖς ΒΖ, ΔΓ. ὥστε καὶ λοιπῇ τῇ ΖΔ ἀσύμμετρός στιν ἡ ΒΓ μκει. καὶ ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ: ἡ ΒΓ ἄρα τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμτρου ἑαυτῇ. Δυνάσθω δὴ πάλιν ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον τῷ ἀπὸ ἀσυμμτρου ἑαυτῇ, τῷ δὲ τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆς Α ἴσον παρὰ τὴν ΒΓ παραβεβλήσθω λλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ. δεικτον, ὅτι ἀσύμμετρός στιν ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ μκει. Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθντωνμοίως δείξομεν, ὅτι ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ. ἀλλὰ ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμτρου ἑαυτῇ. ἀσύμμετρος ἄρα στὶν ἡ ΒΓ τῇ ΖΔ μκει: ὥστε καὶ λοιπῇ συναμφοτρῳ τῇ ΒΖ, ΔΓ ἀσύμμετρός στιν ἡ ΒΓ. ἀλλὰ συναμφότερος ἡ ΒΖ, ΔΓ τῇ ΔΓ σύμμετρός στι μκει: καὶ ἡ ΒΓ ἄρα τῇ ΔΓ ἀσύμμετρός στι μκει: ὥστε καὶ διελόντι ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ ἀσύμμετρός στι μκει. Εἂν ἄρα ὦσι δύο εὐθεῖαι, καὶ τὰ ἑξῆς. Λῆμμα Ἐπεὶ δδεικται, ὅτι αἱ μκει σύμμετροι πάντως καὶ δυνμει [εἰσὶ σύμμετροι], αἱ δὲ δυνμει οὐ πάντως καὶ μκει, ἀλλὰ δὴ δύνανται μκει καὶ σύμμετροι εναι καὶ ἀσύμμετροι, φανερόν, ὅτι, ν τῇ κκειμνῃ ῥητῇ σύμμετρός τις ᾖ μκει, λγεται ῥητὴ καὶ σύμμετρος αὐτῇ οὐ μνον μκει, ἀλλὰ καὶ δυνμει, πεὶ αἱ μκει σύμμετροι πάντως καὶ δυνμει. ν δὲ τῇ κκειμνῃ ῥητῇ σύμμετρός τις ᾖ δυνμει, εμν καὶ μκει, λγεται καὶ οὕτως ῥητὴ καὶ σύμμετρος αὐτῇ μκει καὶ δυνμει: εἰ δὲ τῇ κκειμνῃ πάλιν ῥητῇ σύμμετρός τις οὖσα δυνμει μκει αὐτῇ ᾖ ἀσύμμετρος, λγεται καὶ οὕτως ῥητὴ δυνμει μνον σύμμετρος. Τὸ ὑπὸ ῥητῶν μκει συμμτρων κατά τινα τῶν προειρημνων τρόπων εὐθειν περιεχόμενον ὀρθογώνιον ῥητόν στιν. Ὑπὸ γὰρ ῥητῶν μκει συμμτρων εὐθειν τῶν ΑΒ, ΒΓ ὀρθογώνιον περιεχσθω τὸ ΑΓ: λγω, ὅτι ῥητόν στι τὸ ΑΓ. ναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔ: ῥητὸν ἄρα στὶ τὸ ΑΔ. καὶ πεὶ σύμμετρός στιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μκει, ἴση δ στιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΔ, σύμμετρος ἄρα στὶν ἡ ΒΔ τῇ ΒΓ μκει. καί στιν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ΔΑ πρὸς τὸ ΑΓ. σύμμετρον ἄρα στὶ τὸ ΔΑ τῷ ΑΓ. ῥητὸν δὲ τὸ ΔΑ: ῥητὸν ἄρα στὶ καὶ τὸ ΑΓ. Τὸ ἄρα ὑπὸ ῥητῶν μκει συμμτρων, καὶ τὰ ἑξῆς. Εἂν ῥητὸν παρὰ ῥητὴν παραβληθῇ, πλάτος ποιεῖ ῥητὴν καὶ σύμμετρον τῇ, παρ ἣν παράκειται, μκει. Ῥητὸν γὰρ τὸ ΑΓ παρὰ ῥητὴν κατά τινα πάλιν τῶν προειρημνων τρόπων τὴν ΑΒ παραβεβλήσθω πλάτος ποιοῦν τὴν ΒΓ: λγω, ὅτι ῥητή στιν ἡ ΒΓ καὶ σύμμετρος τῇ ΒΑ μκει. ναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔ: ῥητὸν ἄρα στὶ τὸ ΑΔ. ῥητὸν δὲ καὶ τὸ ΑΓ: σύμμετρον ἄρα στὶ τὸ ΔΑ τῷ ΑΓ. καί στιν ὡς τὸ ΔΑ πρὸς τὸ ΑΓ, οὕτως ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ. σύμμετρος ἄρα στὶ καὶ ἡ ΔΒ τῇ ΒΓ: ἴση δὲ ἡ ΔΒ τῇ ΒΑ: σύμμετρος ἄρα καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ. ῥητὴ δ στιν ἡ ΑΒ: ῥητὴ ἄρα στὶ καὶ ἡ ΒΓ καὶ σύμμετρος τῇ ΑΒ μκει. Εἂν ἄρα ῥητὸν παρὰ ῥητὴν παραβληθῇ, καὶ τὰ ἑξῆς. Τὸ ὑπὸ ῥητῶν δυνμει μνον συμμτρων εὐθειν περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἄλογόν στιν, καὶ ἡ δυναμνη αὐτὸ ἄλογός στιν, καλείσθω δὲ μση. Ὑπὸ γὰρ ῥητῶν δυνμει μνον συμμτρων εὐθειν τῶν ΑΒ, ΒΓ ὀρθογώνιον περιεχσθω τὸ ΑΓ: λγω, ὅτι ἄλογόν στι τὸ ΑΓ, καὶ ἡ δυναμνη αὐτὸ ἄλογός στιν, καλείσθω δὲ μση. ναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔ: ῥητὸν ἄρα στὶ τὸ ΑΔ. καὶ πεὶ ἀσύμμετρός στιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μκει: δυνμει γὰρ μνον ὑπόκεινται σύμμετροι: ἴση δὲ ἡ ΑΒ τῇ ΒΔ, ἀσύμμετρος ἄρα στὶ καὶ ἡ ΔΒ τῇ ΒΓ μκει. καί στιν ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ΑΔ πρὸς τὸ ΑΓ: ἀσύμμετρον ἄρα [στὶ] τὸ ΔΑ τῷ ΑΓ. ῥητὸν δὲ τὸ ΔΑ: ἄλογον ἄρα στὶ τὸ ΑΓ: ὥστε καὶ ἡ δυναμνη τὸ ΑΓ [τουτστιν ἡ ἴσον αὐτῷ τετράγωνον δυναμνη] ἄλογός στιν, καλείσθω δὲ μση: ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Λῆμμα Εἂν ὦσι δύο εὐθεῖαι, ἔστιν ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν δευτραν, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν δύο εὐθειν. Ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΖΕ, ΕΗ. λγω, ὅτι στὶν ὡς ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΖΕ, ΕΗ. ναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΖΕ τετράγωνον τὸ ΔΖ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΗΔ. πεὶ οὖν στιν ὡς ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως τὸ ΖΔ πρὸς τὸ ΔΗ, καί στι τὸ μν ΖΔ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ, τὸ δὲ ΔΗ τὸ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΗ, τουτστι τὸ ὑπὸ τῶν ΖΕ, ΕΗ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΕ τὴν ΕΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΖΕ, ΕΗ. μοίως δὲ καὶ ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΗΕ, ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ, τουτστιν ὡς τὸ ΗΔ πρὸς τὸ ΖΔ, οὕτως ἡ ΗΕ πρὸς τὴν ΕΖ: ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τὸ ἀπὸ μσης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ῥητὴν καὶ ἀσύμμετρον τῇ, παρ ἣν παράκειται, μκει. Ἔστω μση μν ἡ Α, ῥητὴ δὲ ἡ ΓΒ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς Α ἴσον παρὰ τὴν ΒΓ παραβεβλήσθω χωρίον ὀρθογώνιον τὸ ΒΔ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΔ: λγω, ὅτι ῥητή στιν ἡ ΓΔ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΒ μκει. Ἐπεὶ γὰρ μση στὶν ἡ Α, δύναται χωρίον περιεχόμενον ὑπὸ ῥητῶν δυνμει μνον συμμτρων. δυνάσθω τὸ ΗΖ. δύναται δὲ καὶ τὸ ΒΔ: ἴσον ἄρα στὶ τὸ ΒΔ τῷ ΗΖ. ἔστι δὲ αὐτῷ καὶ ἰσογώνιον: τῶν δὲ ἴσων τε καὶ ἰσογωνων παραλληλογράμμωνντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας: νάλογον ἄρα στὶν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΓΔ. ἔστιν ἄρα καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ. σύμμετρον δ στι τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ: ῥητὴ γάρ στινκατρα αὐτῶν: σύμμετρον ἄρα στὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ. ῥητὸν δ στι τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ: ῥητὸν ἄρα στὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ: ῥητὴ ἄρα στὶν ἡ ΓΔ. καὶ πεὶ ἀσύμμετρός στιν ἡ ΕΖ τῇ ΕΗ μκει: δυνμει γὰρ μνον εἰσὶ σύμμετροι: ὡς δὲ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΖΕ, ΕΗ, ἀσύμμετρον ἄρα [στὶ] τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τῷ ὑπὸ τῶν ΖΕ, ΕΗ. ἀλλὰ τῷ μν ἀπὸ τῆς ΕΖ σύμμετρόν στι τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ: ῥηταὶ γάρ εἰσι δυνμει: τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΖΕ, ΕΗ σύμμετρόν στι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ: ἴσα γάρ στι τῷ ἀπὸ τῆς Α: ἀσύμμετρον ἄρα στὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ τῷ ὑπὸ τῶν ΔΓ, ΓΒ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΔΓ, ΓΒ, οὕτως στὶν ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΒ: ἀσύμμετρος ἄρα στὶν ἡ ΔΓ τῇ ΓΒ μκει. ῥητὴ ἄρα στὶν ἡ ΓΔ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΒ μκει: ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἡ τῇ μσῃ σύμμετρος μση στίν. Ἔστω μση ἡ Α, καὶ τῇ Α σύμμετρος ἔστω ἡ Β: λγω, ὅτι καὶ ἡ Β μση στίν. κκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ ΓΔ, καὶ τῷ μν ἀπὸ τῆς Α ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω χωρίον ὀρθογώνιον τὸ ΓΕ πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΔ: ῥητὴ ἄρα στὶν ἡ ΕΔ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΔ μκει. τῷ δὲ ἀπὸ τῆς Β ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω χωρίον ὀρθογώνιον τὸ ΓΖ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΖ. πεὶ οὖν σύμμετρός στιν ἡ Α τῇ Β, σύμμετρόν στι καὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α τῷ ἀπὸ τῆς Β. ἀλλὰ τῷ μν ἀπὸ τῆς Α ἴσον στὶ τὸ ΕΓ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς Β ἴσον στὶ τὸ ΓΖ: σύμμετρον ἄρα στὶ τὸ ΕΓ τῷ ΓΖ. καί στιν ὡς τὸ ΕΓ πρὸς τὸ ΓΖ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΖ: σύμμετρος ἄρα στὶν ἡ ΕΔ τῇ ΔΖ μκει. ῥητὴ δ στιν ἡ ΕΔ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΓ μκει: ῥητὴ ἄρα στὶ καὶ ἡ ΔΖ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΓ μκει: αἱ ΓΔ, ΔΖ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνμει μνον σύμμετροι. ἡ δὲ τὸ ὑπὸ ῥητῶν δυνμει μνον συμμτρων δυναμνη μση στίν. ἡ ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΔΖ δυναμνη μση στίν: καὶ δύναται τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΔΖ ἡ Β: μση ἄρα στὶν ἡ Β. Πόρισμα Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι τὸ τῷ μσῳ χωρίῳ σύμμετρον μσον στίν. [δύνανται γὰρ αὐτὰ εὐθεῖαι, αἵ εἰσι δυνμει σύμμετροι, ὧν ἡ ἑτρα μση: ὥστε καὶ ἡ λοιπὴ μση στίν. ] Ὡσαύτως δὲ τοῖς πὶ τῶν ῥητῶν εἰρημνοις καὶ πὶ τῶν μσων ξακολουθεῖ, τὴν τῇ μσῃ μκει σύμμετρον λγεσθαι μσην καὶ σύμμετρον αὐτῇ μμνον μκει, ἀλλὰ καὶ δυνμει, πειδήπερ καθόλου αἱ μκει σύμμετροι πάντως καὶ δυνμει. ν δὲ τῇ μσῃ σύμμετρός τις ᾖ δυνμει, εμν καὶ μκει, λγονται καὶ οὕτως μσαι καὶ σύμμετροι μκει καὶ δυνμει, εἰ δὲ δυνμει μνον, λγονται μσαι δυνμει μνον σύμμετροι. Τὸ ὑπὸ μσων μκει συμμτρων εὐθειν κατά τινα τῶν εἰρημνων τρόπων περιεχόμενον ὀρθογώνιον μσον στίν. Ὑπὸ γὰρ μσων μκει συμμτρων εὐθειν τῶν ΑΒ, ΒΓ περιεχσθω ὀρθογώνιον τὸ ΑΓ: λγω, ὅτι τὸ ΑΓ μσον στίν. ναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔ: μσον ἄρα στὶ τὸ ΑΔ. καὶ πεὶ σύμμετρός στιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μκει, ἴση δὲ ἡ ΑΒ τῇ ΒΔ, σύμμετρος ἄρα στὶ καὶ ἡ ΔΒ τῇ ΒΓ μκει: ὥστε καὶ τὸ ΔΑ τῷ ΑΓ σύμμετρόν στιν. μσον δὲ τὸ ΔΑ: μσον ἄρα καὶ τὸ ΑΓ: ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τὸ ὑπὸ μσων δυνμει μνον συμμτρων εὐθειν περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἤτοι ῥητὸνμσον στίν. Ὑπὸ γὰρ μσων δυνμει μνον συμμτρων εὐθειν τῶν ΑΒ, ΒΓ ὀρθογώνιον περιεχσθω τὸ ΑΓ: λγω, ὅτι τὸ ΑΓ ἤτοι ῥητὸνμσον στίν. ναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνα τὰ ΑΔ, ΒΕ: μσον ἄρα στὶνκάτερον τῶν ΑΔ, ΒΕ. καὶ κκείσθω ῥητὴ ἡ ΖΗ, καὶ τῷ μν ΑΔ ἴσον παρὰ τὴν ΖΗ παραβεβλήσθω ὀρθογώνιον παραλληλόγραμμον τὸ ΗΘ πλάτος ποιοῦν τὴν ΖΘ, τῷ δὲ ΑΓ ἴσον παρὰ τὴν ΘΜ παραβεβλήσθω ὀρθογώνιον παραλληλόγραμμον τὸ ΜΚ πλάτος ποιοῦν τὴν ΘΚ, καὶ ἔτι τῷ ΒΕ ἴσονμοίως παρὰ τὴν ΚΝ παραβεβλήσθω τὸ ΝΛ πλάτος ποιοῦν τὴν ΚΛ: π εὐθείας ἄρα εἰσὶν αἱ ΖΘ, ΘΚ, ΚΛ. πεὶ οὖν μσον στὶνκάτερον τῶν ΑΔ, ΒΕ, καί στιν ἴσον τὸ μν ΑΔ τῷ ΗΘ, τὸ δὲ ΒΕ τῷ ΝΛ, μσον ἄρα καὶ ἑκάτερον τῶν ΗΘ, ΝΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΖΗ παράκειται: ῥητὴ ἄρα στὶνκατρα τῶν ΖΘ, ΚΛ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΖΗ μκει. καὶ πεὶ σύμμετρόν στι τὸ ΑΔ τῷ ΒΕ, σύμμετρον ἄρα στὶ καὶ τὸ ΗΘ τῷ ΝΛ. καί στιν ὡς τὸ ΗΘ πρὸς τὸ ΝΛ, οὕτως ἡ ΖΘ πρὸς τὴν ΚΛ: σύμμετρος ἄρα στὶν ἡ ΖΘ τῇ ΚΛ μκει. αἱ ΖΘ, ΚΛ ἄρα ῥηταί εἰσι μκει σύμμετροι: ῥητὸν ἄρα στὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΖΘ, ΚΛ. καὶ πεὶ ἴση στὶνμν ΔΒ τῇ ΒΑ, ἡ δὲ ΞΒ τῇ ΒΓ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΞ. ἀλλ ὡς μν ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ΔΑ πρὸς τὸ ΑΓ: ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΞ, οὕτως τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΓΞ: ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΔΑ πρὸς τὸ ΑΓ, οὕτως τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΓΞ. ἴσον δ στι τὸ μν ΑΔ τῷ ΗΘ, τὸ δὲ ΑΓ τῷ ΜΚ, τὸ δὲ ΓΞ τῷ ΝΛ: ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΗΘ πρὸς τὸ ΜΚ, οὕτως τὸ ΜΚ πρὸς τὸ ΝΛ: ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ἡ ΖΘ πρὸς τὴν ΘΚ, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΚΛ: τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΖΘ, ΚΛ ἴσον στὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΘΚ. ῥητὸν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΖΘ, ΚΛ: ῥητὸν ἄρα στὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΚ: ῥητὴ ἄρα στὶν ἡ ΘΚ. καὶ εμν σύμμετρός στι τῇ ΖΗ μκει, ῥητόν στι τὸ ΘΝ: εἰ δὲ ἀσύμμετρός στι τῇ ΖΗ μκει, αἱ ΚΘ, ΘΜ ῥηταί εἰσι δυνμει μνον σύμμετροι: μσον ἄρα τὸ ΘΝ. τὸ ΘΝ ἄρα ἤτοι ῥητὸνμσον στίν. ἴσον δὲ τὸ ΘΝ τῷ ΑΓ: τὸ ΑΓ ἄρα ἤτοι ῥητὸνμσον στίν. Τὸ ἄρα ὑπὸ μσων δυνμει μνον συμμτρων, καὶ τὰ ἑξῆς. Μσον μσου οὐχ ὑπερχει ῥητῷ. Εἰ γὰρ δυνατόν, μσον τὸ ΑΒ μσου τοῦ ΑΓ ὑπερεχτω ῥητῷ τῷ ΔΒ, καὶ κκείσθω ῥητὴ ἡ ΕΖ, καὶ τῷ ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραβεβλήσθω παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον τὸ ΖΘ πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΘ, τῷ δὲ ΑΓ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΖΗ: λοιπὸν ἄρα τὸ ΒΔ λοιπῷ τῷ ΚΘ στιν ἴσον. ῥητὸν δ στι τὸ ΔΒ: ῥητὸν ἄρα στὶ καὶ τὸ ΚΘ. πεὶ οὖν μσον στὶνκάτερον τῶν ΑΒ, ΑΓ, καί στι τὸ μν ΑΒ τῷ ΖΘ ἴσον, τὸ δὲ ΑΓ τῷ ΖΗ, μσον ἄρα καὶ ἑκάτερον τῶν ΖΘ, ΖΗ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται: ῥητὴ ἄρα στὶνκατρα τῶν ΘΕ, ΕΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μκει. καὶ πεὶ ῥητόν στι τὸ ΔΒ καί στιν ἴσον τῷ ΚΘ, ῥητὸν ἄρα στὶ καὶ τὸ ΚΘ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται: ῥητὴ ἄρα στὶν ἡ ΗΘ καὶ σύμμετρος τῇ ΕΖ μκει. ἀλλὰ καὶ ἡ ΕΗ ῥητή στι καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μκει: ἀσύμμετρος ἄρα στὶν ἡ ΕΗ τῇ ΗΘ μκει. καί στιν ὡς ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΗΘ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ: ἀσύμμετρον ἄρα στὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ τῷ ὑπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ. ἀλλὰ τῷ μν ἀπὸ τῆς ΕΗ σύμμετρά στι τὰ ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ τετράγωνα: ῥητὰ γὰρ ἀμφότερα: τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ σύμμετρόν στι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ: διπλάσιον γάρ στιν αὐτοῦ: ἀσύμμετρα ἄρα στὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ: καὶ συναμφότερα ἄρα τά τε ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ, ὅπερ στὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΘ, ἀσύμμετρόν στι τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ. ῥητὰ δὲ τὰ ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ: ἄλογον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΕΘ. ἄλογος ἄρα στὶν ἡ ΕΘ. ἀλλὰ καὶ ῥητή: ὅπερ στὶν ἀδύνατον. Μσον ἄρα μσου οὐχ ὑπερχει ῥητῷ: ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Μσας εὑρεν δυνμει μνον συμμτρους ῥητὸν περιεχούσας. κκείσθωσαν δύο ῥηταὶ δυνμει μνον σύμμετροι αἱ Α, Β, καὶ εἰλήφθω τῶν Α, Β μση ἀνάλογον ἡ Γ, καὶ γεγοντω ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ. Καὶ πεὶ αἱ Α, Β ῥηταί εἰσι δυνμει μνον σύμμετροι, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Β, τουτστι τὸ ἀπὸ τῆς Γ, μσον στίν. μση ἄρα ἡ Γ. καὶ πεστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, [οὕτως] ἡ Γ πρὸς τὴν Δ, αἱ δὲ Α, Β δυνμει μνον [εἰσὶ] σύμμετροι, καὶ αἱ Γ, Δ ἄρα δυνμει μνον εἰσὶ σύμμετροι. καί στι μση ἡ Γ: μση ἄρα καὶ ἡ Δ. αἱ Γ, Δ ἄρα μσαι εἰσὶ δυνμει μνον σύμμετροι. λγω, ὅτι καὶ ῥητὸν περιχουσιν. πεὶ γάρ στιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ, ναλλὰξ ἄρα στὶν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Γ, ἡ Β πρὸς τὴν Δ. ἀλλ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Γ, ἡ Γ πρὸς τὴν Β: καὶ ὡς ἄρα ἡ Γ πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν Δ: τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Γ, Δ ἴσον στὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Β: ῥητὸν ἄρα [στὶ] καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Γ, Δ. Εὑρ´ηνται ἄρα μσαι δυνμει μνον σύμμετροι ῥητὸν περιχουσαι: ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Μσας εὑρεν δυνμει μνον συμμτρους μσον περιεχούσας. κκείσθωσαν [τρεῖς] ῥηταὶ δυνμει μνον σύμμετροι αἱ Α, Β, Γ, καὶ εἰλήφθω τῶν Α, Β μση ἀνάλογον ἡ Δ, καὶ γεγοντω ὡς ἡ Β πρὸς τὴν Γ, ἡ Δ πρὸς τὴν Ε. Ἐπεὶ αἱ Α, Β ῥηταί εἰσι δυνμει μνον σύμμετροι, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Β, τουτστι τὸ ἀπὸ τῆς Δ, μσον στίν. μση ἄρα ἡ Δ. καὶ πεὶ αἱ Β, Γ δυνμει μνον εἰσὶ σύμμετροι, καί στιν ὡς ἡ Β πρὸς τὴν Γ, ἡ Δ πρὸς τὴν Ε, καὶ αἱ Δ, Ε ἄρα δυνμει μνον εἰσὶ σύμμετροι. μση δὲ ἡ Δ: μση ἄρα καὶ ἡ Ε: αἱ Δ, Ε ἄρα μσαι εἰσὶ δυνμει μνον σύμμετροι. λγω δή, ὅτι καὶ μσον περιχουσιν. πεὶ γάρ στιν ὡς ἡ Β πρὸς τὴν Γ, ἡ Δ πρὸς τὴν Ε, ναλλὰξ ἄρα ὡς ἡ Β πρὸς τὴν Δ, ἡ Γ πρὸς τὴν Ε. ὡς δὲ ἡ Β πρὸς τὴν Δ, ἡ Δ πρὸς τὴν Α: καὶ ὡς ἄρα ἡ Δ πρὸς τὴν Α, ἡ Γ πρὸς τὴν Ε: τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Γ ἴσον στὶ τῷ ὑπὸ τῶν Δ, Ε. μσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν Α, Γ: μσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε. Εὑρ´ηνται ἄρα μσαι δυνμει μνον σύμμετροι μσον περιχουσαι: ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Λῆμμα Εὑρεν δύο τετραγώνους ἀριθμούς, ὥστε καὶ τὸν συγκεμενον ξ αὐτῶν εναι τετράγωνον. κκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΒ, ΒΓ, ἔστωσαν δὲ ἤτοι ἄρτιοι ἢ περιττοί. καὶ πεί, ν τε ἀπὸ ἀρτίου ἄρτιος ἀφαιρεθῇ, ν τε ἀπὸ περισσοῦ περισσός, ὁ λοιπὸς ἄρτιός στιν, ὁ λοιπὸς ἄρα ὁ ΑΓ ἄρτιός στιν. τετμήσθω ὁ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Δ. ἔστωσαν δὲ καὶ οἱ ΑΒ, ΒΓ ἤτοιμοιοι πίπεδοι ἢ τετράγωνοι, οἳ καὶ αὐτοὶ ὅμοιοί εἰσιν πίπεδοι: ὁ ἄρα κ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ [τοῦ] ΓΔ τετραγώνου ἴσος στὶ τῷ ἀπὸ τοῦ ΒΔ τετραγώνῳ. καί στι τετράγωνος ὁ κ τῶν ΑΒ, ΒΓ, πειδήπερ δείχθη, ὅτι, ν δύο ὅμοιοι πίπεδοι πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσί τινα, ὁ γενμενος τετράγωνός στιν. εὑρ´ηνται ἄρα δύο τετράγωνοι ἀριθμοὶ ὅ τε κ τῶν ΑΒ, ΒΓ καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ ΓΔ, οἳ συντεθντες ποιοῦσι τὸν ἀπὸ τοῦ ΒΔ τετράγωνον. Καὶ φανερόν, ὅτι εὑρ´ηνται πάλιν δύο τετράγωνοι ὅ τε ἀπὸ τοῦ ΒΔ καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ ΓΔ, ὥστε τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν τὸν ὑπὸ ΑΒ, ΒΓ εναι τετράγωνον, ὅταν οἱ ΑΒ, ΒΓ ὅμοιοι ὦσιν πίπεδοι. ὅταν δὲ μὴ ὦσινμοιοι πίπεδοι, εὑρ´ηνται δύο τετράγωνοι ὅ τε ἀπὸ τοῦ ΒΔ καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ ΔΓ, ὧν ἡ ὑπεροχὴ ὁ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ οὐκ ἔστι τετράγωνος: ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Λῆμμα Εὑρεν δύο τετραγώνους ἀριθμούς, ὥστε τὸν ξ αὐτῶν συγκεμενον μεναι τετράγωνον. Ἔστω γὰρ ὁ κ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ὡς ἔφαμεν, τετράγωνος, καὶ ἄρτιος ὁ ΓΑ, καὶ τετμήσθω ὁ ΓΑ δίχα τῷ Δ. φανερὸν δή, ὅτικ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνος μετὰ τοῦ ἀπὸ [τοῦ] ΓΔ τετραγώνου ἴσος στὶ τῷ ἀπὸ [τοῦ] ΒΔ τετραγώνῳ. ἀφῃρήσθω μονὰς ἡ ΔΕ: ὁ ἄρα κ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ [τοῦ] ΓΕ λάσσων στὶ τοῦ ἀπὸ [τοῦ] ΒΔ τετραγώνου. λγω οὖν, ὅτικ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνος μετὰ τοῦ ἀπὸ [τοῦ] ΓΕ οὐκ ἔσται τετράγωνος. Εἰ γὰρ ἔσται τετράγωνος, ἤτοι ἴσος στὶ τῷ ἀπὸ [τοῦ] ΒΕ ἢ λάσσων τοῦ ἀπὸ [τοῦ] ΒΕ, οὐκτι δὲ καὶ μείζων, ἵνα μὴ τμηθῇ ἡ μονάς. ἔστω, εἰ δυνατόν, πρότερονκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσος τῷ ἀπὸ ΒΕ, καὶ ἔστω τῆς ΔΕ μονάδος διπλασίων ὁ ΗΑ. πεὶ οὖν ὅλος ὁ ΑΓ ὅλου τοῦ ΓΔ στι διπλασίων, ὧν ὁ ΑΗ τοῦ ΔΕ στι διπλασίων, καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΗΓ λοιποῦ τοῦ ΕΓ στι διπλασίων: δίχα ἄρα ττμηται ὁ ΗΓ τῷ Ε. ὁ ἄρα κ τῶν ΗΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσος στὶ τῷ ἀπὸ ΒΕ τετραγώνῳ. ἀλλὰ καὶ ὁ κ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσος ὑπόκειται τῷ ἀπὸ [τοῦ] ΒΕ τετραγώνῳ: ὁ ἄρα κ τῶν ΗΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσος στὶ τῷ κ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ. καὶ κοινοῦ ἀφαιρεθντος τοῦ ἀπὸ ΓΕ συνάγεται ὁ ΑΒ ἴσος τῷ ΗΒ: ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα ὁ κ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ [τοῦ] ΓΕ ἴσος στὶ τῷ ἀπὸ ΒΕ. λγω δή, ὅτι οὐδὲ λάσσων τοῦ ἀπὸ ΒΕ. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω τῷ ἀπὸ ΒΖ ἴσος, καὶ τοῦ ΔΖ διπλασίων ὁ ΘΑ. καὶ συναχθήσεται πάλιν διπλασίων ὁ ΘΓ τοῦ ΓΖ: ὥστε καὶ τὸν ΓΘ δίχα τετμῆσθαι κατὰ τὸ Ζ, καὶ διὰ τοῦτο τὸν κ τῶν ΘΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΖΓ ἴσον γίνεσθαι τῷ ἀπὸ ΒΖ. ὑπόκειται δὲ καὶ ὁ κ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσος τῷ ἀπὸ ΒΖ. ὥστε καὶ ὁ κ τῶν ΘΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΖ ἴσος ἔσται τῷ κ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ: ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα ὁ κ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσος στὶ [τῷ] λάσσονι τοῦ ἀπὸ ΒΕ. δείχθη δ, ὅτι οὐδὲ [αὐτῷ] τῷ ἀπὸ ΒΕ. οὐκ ἄρα ὁ κ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ τετράγωνός στιν. [δυνατοῦ δὲ ὄντος καὶ κατὰ πλείονας τρόπους τοὺς εἰρημνους ἀριθμοὺς πιδεικνειν, ἀρκείσθωσανμν οἱ εἰρημνοι, ἵνα μμακροτρας οὔσης τῆς πραγματείας πὶ πλον αὐτὴν μηκνωμεν. ] ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εὑρεν δύο ῥητὰς δυνμει μνον συμμτρους, ὥστε τὴν μείζονα τῆς λάσσονος μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ συμμτρου ἑαυτῇ μκει. κκείσθω γάρ τις ῥητὴ ἡ ΑΒ καὶ δύο τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ ΓΔ, ΔΕ, ὥστε τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν τὸν ΓΕ μεναι τετράγωνον, καὶ γεγράφθω πὶ τῆς ΑΒ ἡμικκλιον τὸ ΑΖΒ, καὶ πεποιήσθω ὡς ὁ ΔΓ πρὸς τὸν ΓΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ τετράγωνον καὶ πεζεύχθω ἡ ΖΒ. Ἐπεὶ [οὖν] στιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ, οὕτως ὁ ΔΓ πρὸς τὸν ΓΕ, τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς ὁ ΔΓ πρὸς ἀριθμν τὸν ΓΕ: σύμμετρον ἄρα στὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΖ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ: ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ: ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΑΖ. καὶ πεὶ ὁ ΔΓ πρὸς τὸν ΓΕ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμν, οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμν: ἀσύμμετρος ἄρα στὶν ἡ ΑΒ τῇ ΑΖ μκει: αἱ ΒΑ, ΑΖ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνμει μνον σύμμετροι. καὶ πεί [στιν] ὡς ὁ ΔΓ πρὸς τὸν ΓΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ, ἀναστρψαντι ἄρα ὡς ὁ ΓΔ πρὸς τὸν ΔΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ. ὁ δὲ ΓΔ πρὸς τὸν ΔΕ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμν: καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμν: σύμμετρος ἄρα στὶν ἡ ΑΒ τῇ ΒΖ μκει. καί στι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΖ, ΖΒ: ἡ ΑΒ ἄρα τῆς ΑΖ μεῖζον δύναται τῇ ΒΖ συμμτρῳ ἑαυτῇ. Εὑρ´ηνται ἄρα δύο ῥηταὶ δυνμει μνον σύμμετροι αἱ ΒΑ, ΑΖ, ὥστε τὴν μείζονα τὴν ΑΒ τῆς λάσσονος τῆς ΑΖ μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ τῆς ΒΖ συμμτρου ἑαυτῇ μκει: ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εὑρεν δύο ῥητὰς δυνμει μνον συμμτρους, ὥστε τὴν μείζονα τῆς λάσσονος μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ ἀσυμμτρου ἑαυτῇ μκει. κκείσθω ῥητὴ ἡ ΑΒ καὶ δύο τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ ΓΕ, ΕΔ, ὥστε τὸν συγκεμενον ξ αὐτῶν τὸν ΓΔ μεναι τετράγωνον, καὶ γεγράφθω πὶ τῆς ΑΒ ἡμικκλιον τὸ ΑΖΒ, καὶ πεποιήσθω ὡς ὁ ΔΓ πρὸς τὸν ΓΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ, καὶ πεζεύχθω ἡ ΖΒ. μοίως δὴ δείξομεν τῷ πρὸ τούτου, ὅτι αἱ ΒΑ, ΑΖ ῥηταί εἰσι δυνμει μνον σύμμετροι. καὶ πεστιν ὡς ὁ ΔΓ πρὸς τὸν ΓΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ, ἀναστρψαντι ἄρα ὡς ὁ ΓΔ πρὸς τὸν ΔΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ. ὁ δὲ ΓΔ πρὸς τὸν ΔΕ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμν: οὐδ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμν: ἀσύμμετρος ἄρα στὶν ἡ ΑΒ τῇ ΒΖ μκει. καὶ δύναται ἡ ΑΒ τῆς ΑΖ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ ἀσυμμτρου ἑαυτῇ. Αἱ ΑΒ, ΑΖ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνμει μνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΑΒ τῆς ΑΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ ἀσυμμτρου ἑαυτῇ μκει: ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εὑρεν δύο μσας δυνμει μνον συμμτρους ῥητὸν περιεχούσας, ὥστε τὴν μείζονα τῆς λάσσονος μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ συμμτρου ἑαυτῇ μκει. κκείσθωσαν δύο ῥηταὶ δυνμει μνον σύμμετροι αἱ Α, Β, ὥστε τὴν Α μείζονα οὖσαν τῆς λάσσονος τῆς Β μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ συμμτρου ἑαυτῇ μκει. καὶ τῷ ὑπὸ τῶν Α, Β ἴσον ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Γ. μσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν Α, Β: μσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς Γ: μση ἄρα καὶ ἡ Γ. τῷ δὲ ἀπὸ τῆς Β ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν Γ, Δ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Β: ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Γ, Δ. καὶ πεστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν Α, Β πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β, ἀλλὰ τῷ μν ὑπὸ τῶν Α, Β ἴσον στὶ τὸ ἀπὸ τῆς Γ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς Β ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν Γ, Δ, ὡς ἄρα ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Γ, Δ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Γ, Δ, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ: καὶ ὡς ἄρα ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ. σύμμετρος δὲ ἡ Α τῇ Β δυνμει μνον: σύμμετρος ἄρα καὶ ἡ Γ τῇ Δ δυνμει μνον. καί στι μση ἡ Γ: μση ἄρα καὶ ἡ Δ. καὶ πεστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, ἡ Γ πρὸς τὴν Δ, ἡ δὲ Α τῆς Β μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ Γ ἄρα τῆς Δ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμτρου ἑαυτῇ. Εὑρ´ηνται ἄρα δύο μσαι δυνμει μνον σύμμετροι αἱ Γ, Δ ῥητὸν περιχουσαι, καὶ ἡ Γ τῆς Δ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμτρου ἑαυτῇ μκει. μοίως δὴ δειχθήσεται καὶ τῷ ἀπὸ ἀσυμμτρου, ὅταν ἡ Α τῆς Β μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ ἀσυμμτρου ἑαυτῇ. Εὑρεν δύο μσας δυνμει μνον συμμτρους μσον περιεχούσας, ὥστε τὴν μείζονα τῆς λάσσονος μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ συμμτρου ἑαυτῇ. κκείσθωσαν τρεῖς ῥηταὶ δυνμει μνον σύμμετροι αἱ Α, Β, Γ, ὥστε τὴν Α τῆς Γ μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ συμμτρου ἑαυτῇ, καὶ τῷ μν ὑπὸ τῶν Α, Β ἴσον ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Δ. μσον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Δ: καὶ ἡ Δ ἄρα μση στίν. τῷ δὲ ὑπὸ τῶν Β, Γ ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε. καὶ πεστιν ὡς τὸ ὑπὸ τῶν Α, Β πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Β, Γ, οὕτως ἡ Α πρὸς τὴν Γ, ἀλλὰ τῷ μν ὑπὸ τῶν Α, Β ἴσον στὶ τὸ ἀπὸ τῆς Δ, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν Β, Γ ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Γ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Δ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Δ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε, οὕτως ἡ Δ πρὸς τὴν Ε: καὶ ὡς ἄρα ἡ Α πρὸς τὴν Γ, οὕτως ἡ Δ πρὸς τὴν Ε: σύμμετρος δὲ ἡ Α τῇ Γ δυνμει [μνον]. σύμμετρος ἄρα καὶ ἡ Δ τῇ Ε δυνμει μνον. μση δὲ ἡ Δ: μση ἄρα καὶ ἡ Ε. καὶ πεστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Γ, ἡ Δ πρὸς τὴν Ε, ἡ δὲ Α τῆς Γ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ Δ ἄρα τῆς Ε μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ συμμτρου ἑαυτῇ. λγω δή, ὅτι καὶ μσον στὶ τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε. πεὶ γὰρ ἴσον στὶ τὸ ὑπὸ τῶν Β, Γ τῷ ὑπὸ τῶν Δ, Ε, μσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν Β, Γ [αἱ γὰρ Β, Γ ῥηταί εἰσι δυνμει μνον σύμμετροι], μσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε. Εὑρ´ηνται ἄρα δύο μσαι δυνμει μνον σύμμετροι αἱ Δ, Ε μσον περιχουσαι, ὥστε τὴν μείζονα τῆς λάσσονος μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ συμμτρου ἑαυτῇ. μοίως δὴ πάλιν δειχθήσεται καὶ τῷ ἀπὸ ἀσυμμτρου, ὅταν ἡ Α τῆς Γ μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ ἀσυμμτρου ἑαυτῇ. Λῆμμα Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν Α, καὶ ἤχθω κάθετος ἡ ΑΔ: λγω, ὅτι τὸ μν ὑπὸ τῶν ΓΒΔ ἴσον στὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΑ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΒΓΔ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΓΑ, καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΔ, καὶ ἔτι τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΔ ἴσον [στὶ] τῷ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ. Καὶ πρῶτον, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΓΒΔ ἴσον [στὶ] τῷ ἀπὸ τῆς ΒΑ. Ἐπεὶ γὰρ ν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς γωνίας πὶ τὴν βάσιν κάθετος ἦκται ἡ ΑΔ, τὰ ΑΒΔ, ΑΔΓ ἄρα τρίγωνα ὅμοιστι τῷ τε ὅλῳ τῷ ΑΒΓ καὶ ἀλλήλοις. καὶ πεὶ ὅμοιν στι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΒΔ τριγώνῳ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΒΔ: τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΒΔ ἴσον στὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓΔ ἴσον στὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ. Καὶ πεί, ν ν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς γωνίας πὶ τὴν βάσιν κάθετος ἀχθῇ, ἡ ἀχθεῖσα τῶν τῆς βάσεως τμημάτων μση ἀνάλογόν στιν, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ: τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ ἴσον στὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΑ. Λγω, ὅτι καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΔ ἴσον στὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ. πεὶ γάρ, ὡς ἔφαμεν, ὅμοιν στι τὸ ΑΒΓ τῷ ΑΒΔ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΔ. [ν δὲ τσσαρες εὐθεῖαινάλογον ὦσιν, τὸ ὑπὸ τῶνκρων ἴσον στὶ τῷ ὑπὸ τῶν μσων. ] τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΔ ἴσον στὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ: ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εὑρεν δύο εὐθείας δυνμει ἀσυμμτρους ποιούσας τὸ μν συγκεμενον κ τῶν ἀπ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δ ὑπ αὐτῶν μσον. κκείσθωσαν δύο ῥηταὶ δυνμει μνον σύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ὥστε τὴν μείζονα τὴν ΑΒ τῆς λάσσονος τῆς ΒΓ μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ ἀσυμμτρου ἑαυτῇ, καὶ τετμήσθω ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ Δ, καὶ τῷ ἀφ ὁποτρας τῶν ΒΔ, ΔΓ ἴσον παρὰ τὴν ΑΒ παραβεβλήσθω παραλληλόγραμμον λλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ, καὶ γεγράφθω πὶ τῆς ΑΒ ἡμικκλιον τὸ ΑΖΒ, καὶ ἤχθω τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΖ, καὶ πεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΖΒ. Καὶ πεὶ [δύο] εὐθεῖαινισοί εἰσιν αἱ ΑΒ, ΒΓ, καὶ ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμτρου ἑαυτῇ, τῷ δὲ τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΓ, τουτστι τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας αὐτῆς, ἴσον παρὰ τὴν ΑΒ παραββληται παραλληλόγραμμον λλεῖπον εἴδει τετραγώνκαὶ ποιεῖ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ, ἀσύμμετρος ἄρα στὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ. καί στιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΕ, ἴσον δὲ τὸ μν ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΖ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΖ: ἀσύμμετρον ἄρα στὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ: αἱ ΑΖ, ΖΒ ἄρα δυνμει εἰσὶν ἀσύμμετροι. καὶ πεὶ ἡ ΑΒ ῥητή στιν, ῥητὸν ἄρα στὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ: ὥστε καὶ τὸ συγκεμενον κ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΖ, ΖΒ ῥητόν στιν. καὶ πεὶ πάλιν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ ἴσον στὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ, ὑπόκειται δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ ἴσον, ἴση ἄρα στὶν ἡ ΖΕ τῇ ΒΔ: διπλῆ ἄρα ἡ ΒΓ τῆς ΖΕ: ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ σύμμετρόν στι τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΕΖ. μσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ: μσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΕΖ. ἴσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΕΖ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΒ: μσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΒ. δείχθη δὲ καὶ ῥητὸν τὸ συγκεμενον κ τῶν ἀπ αὐτῶν τετραγώνων. Εὑρ´ηνται ἄρα δύο εὐθεῖαι δυνμει ἀσύμμετροι αἱ ΑΖ, ΖΒ ποιοῦσαι τὸ μν συγκεμενον κ τῶν ἀπ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δὲ ὑπ αὐτῶν μσον: ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εὑρεν δύο εὐθείας δυνμει ἀσυμμτρους ποιούσας τὸ μν συγκεμενον κ τῶν ἀπ αὐτῶν τετραγώνων μσον, τὸ δ ὑπ αὐτῶν ῥητόν. κκείσθωσαν δύο μσαι δυνμει μνον σύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ ῥητὸν περιχουσαι τὸ ὑπ αὐτῶν, ὥστε τὴν ΑΒ τῆς ΒΓ μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ ἀσυμμτρου ἑαυτῇ, καὶ γεγράφθω πὶ τῆς ΑΒ τὸ ΑΔΒ ἡμικκλιον, καὶ τετμήσθω ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΑΒ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΕ ἴσον παραλληλόγραμμον λλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖΒ: ἀσύμμετρος ἄρα [στὶν] ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ μκει. καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ζ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΖΔ, καὶ πεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΔΒ. Ἐπεὶ ἀσύμμετρός στιν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ, ἀσύμμετρον ἄρα στὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΖ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΖ. ἴσον δὲ τὸ μν ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΔ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ: ἀσύμμετρον ἄρα στὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ. καὶ πεμσον στὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ, μσον ἄρα καὶ τὸ συγκεμενον κ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. καὶ πεὶ διπλῆ στιν ἡ ΒΓ τῆς ΔΖ, διπλάσιον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΖΔ. ῥητὸν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ: ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΖΔ. τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΖΔ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ: ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ῥητόν στιν. Εὑρ´ηνται ἄρα δύο εὐθεῖαι δυνμει ἀσύμμετροι αἱ ΑΔ, ΔΒ ποιοῦσαι τὸ [μν] συγκεμενον κ τῶν ἀπ αὐτῶν τετραγώνων μσον, τὸ δ ὑπ αὐτῶν ῥητόν: ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εὑρεν δύο εὐθείας δυνμει ἀσυμμτρους ποιούσας τό τε συγκεμενον κ τῶν ἀπ αὐτῶν τετραγώνων μσον καὶ τὸ ὑπ αὐτῶν μσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τῷ συγκειμνκ τῶν ἀπ αὐτῶν τετραγώνῳ. κκείσθωσαν δύο μσαι δυνμει μνον σύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ μσον περιχουσαι, ὥστε τὴν ΑΒ τῆς ΒΓ μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ ἀσυμμτρου ἑαυτῇ, καὶ γεγράφθω πὶ τῆς ΑΒ ἡμικκλιον τὸ ΑΔΒ, καὶ τὰ λοιπὰ γεγοντω τοῖς πάνωμοίως. Καὶ πεὶ ἀσύμμετρός στιν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ μκει, ἀσύμμετρός στι καὶ ἡ ΑΔ τῇ ΔΒ δυνμει. καὶ πεμσον στὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ, μσον ἄρα καὶ τὸ συγκεμενον κ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. καὶ πεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΒ ἴσον στὶ τῷ ἀφ ἑκατρας τῶν ΒΕ, ΔΖ, ἴση ἄρα στὶν ἡ ΒΕ τῇ ΔΖ: διπλῆ ἄρα ἡ ΒΓ τῆς ΖΔ: ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ διπλάσιν στι τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΖΔ. μσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ: μσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΖΔ. καί στιν ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ: μσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. καὶ πεὶ ἀσύμμετρός στιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μκει, σύμμετρος δὲ ἡ ΓΒ τῇ ΒΕ, ἀσύμμετρος ἄρα καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΒΕ μκει: ὥστε καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΕ ἀσύμμετρόν στιν. ἀλλὰ τῷ μν ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσα στὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΕ ἴσον στὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΖΔ, τουτστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ: ἀσύμμετρον ἄρα στὶ τὸ συγκεμενον κ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. Εὑρ´ηνται ἄρα δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΔ, ΔΒ δυνμει ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τό τε συγκεμενον κ τῶν ἀπ αὐτῶν μσον καὶ τὸ ὑπ αὐτῶν μσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τῷ συγκειμνκ τῶν ἀπ αὐτῶν τετραγώνων: ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν δύο ῥηταὶ δυνμει μνον σύμμετροι συντεθῶσιν, ἡ ὅλη ἄλογός στιν, καλείσθω δὲ κ δύο ὀνομάτων. Συγκείσθωσαν γὰρ δύο ῥηταὶ δυνμει μνον σύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ: λγω, ὅτι ὅλη ἡ ΑΓ ἄλογός στιν. Ἐπεὶ γὰρ ἀσύμμετρός στιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μκει: δυνμει γὰρ μνον εἰσὶ σύμμετροι: ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ, ἀσύμμετρον ἄρα στὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΓ. ἀλλὰ τῷ μν ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ σύμμετρόν στι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΓ σύμμετρά στι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ: αἱ γὰρ ΑΒ, ΒΓ ῥηταί εἰσι δυνμει μνον σύμμετροι: ἀσύμμετρον ἄρα στὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. καὶ συνθντι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, τουτστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ, ἀσύμμετρόν στι τῷ συγκειμνκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ῥητὸν δὲ τὸ συγκεμενον κ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ: ἄλογον ἄρα [στὶ] τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ: ὥστε καὶ ἡ ΑΓ ἄλογός στιν, καλείσθω δὲ κ δύο ὀνομάτων: ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν δύο μσαι δυνμει μνον σύμμετροι συντεθῶσι ῥητὸν περιχουσαι, ἡ ὅλη ἄλογός στιν, καλείσθω δὲ κ δύο μσων πρώτη. Συγκείσθωσαν γὰρ δύο μσαι δυνμει μνον σύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ ῥητὸν περιχουσαι: λγω, ὅτι ὅλη ἡ ΑΓ ἄλογός στιν. Ἐπεὶ γὰρ ἀσύμμετρός στιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μκει, καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἄρα ἀσύμμετρά στι τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ: καὶ συνθντι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ὅπερ στὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ, ἀσύμμετρόν στι τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ῥητὸν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ: ὑπόκεινται γὰρ αἱ ΑΒ, ΒΓ ῥητὸν περιχουσαι: ἄλογον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ: ἄλογος ἄρα ἡ ΑΓ, καλείσθω δὲ κ δύο μσων πρώτη: ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν δύο μσαι δυνμει μνον σύμμετροι συντεθῶσι μσον περιχουσαι, ἡ ὅλη ἄλογός στιν, καλείσθω δὲ κ δύο μσων δευτρα. Συγκείσθωσαν γὰρ δύο μσαι δυνμει μνον σύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ μσον περιχουσαι: λγω, ὅτι ἄλογός στιν ἡ ΑΓ. κκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ ΔΕ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἴσον παρὰ τὴν ΔΕ παραβεβλήσθω τὸ ΔΖ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ. καὶ πεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἴσον στὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, παραβεβλήσθω δὴ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ παρὰ τὴν ΔΕ ἴσον τὸ ΕΘ: λοιπὸν ἄρα τὸ ΘΖ ἴσον στὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. καὶ πεμση στὶνκατρα τῶν ΑΒ, ΒΓ, μσα ἄρα στὶ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. μσον δὲ ὑπόκειται καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. καί στι τοῖς μν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον τὸ ΕΘ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον τὸ ΖΘ: μσον ἄρα ἑκάτερον τῶν ΕΘ, ΘΖ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΕ παράκειται: ῥητὴ ἄρα στὶνκατρα τῶν ΔΘ, ΘΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΕ μκει. πεὶ οὖν ἀσύμμετρός στιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μκει, καί στιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ἀσύμμετρον ἄρα στὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ἀλλὰ τῷ μν ἀπὸ τῆς ΑΒ σύμμετρόν στι τὸ συγκεμενον κ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετραγώνων, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ σύμμετρόν στι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ἀσύμμετρον ἄρα στὶ τὸ συγκεμενον κ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ἀλλὰ τοῖς μν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον στὶ τὸ ΕΘ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον στὶ τὸ ΘΖ. ἀσύμμετρον ἄρα στὶ τὸ ΕΘ τῷ ΘΖ: ὥστε καὶ ἡ ΔΘ τῇ ΘΗ στιν ἀσύμμετρος μκει. αἱ ΔΘ, ΘΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνμει μνον σύμμετροι. ὥστε ἡ ΔΗ ἄλογός στιν. ῥητὴ δὲ ἡ ΔΕ: τὸ δὲ ὑπὸ ἀλόγου καὶ ῥητῆς περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἄλογόν στιν: ἄλογον ἄρα στὶ τὸ ΔΖ χωρίον, καὶ ἡ δυναμνη [αὐτὸ] ἄλογός στιν. δύναται δὲ τὸ ΔΖ ἡ ΑΓ: ἄλογος ἄρα στὶν ἡ ΑΓ, καλείσθω δὲ κ δύο μσων δευτρα. ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν δύο εὐθεῖαι δυνμει ἀσύμμετροι συντεθῶσι ποιοῦσαι τὸ μν συγκεμενον κ τῶν ἀπ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δ ὑπ αὐτῶν μσον, ἡ ὅλη εὐθεῖα ἄλογός στιν, καλείσθω δὲ μείζων. Συγκείσθωσαν γὰρ δύο εὐθεῖαι δυνμει ἀσύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ ποιοῦσαι τὰ προκεμενα: λγω, ὅτι ἄλογός στιν ἡ ΑΓ. Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μσον στίν, καὶ τὸ δὶς [ἄρα] ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μσον στίν. τὸ δὲ συγκεμενον κ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ῥητόν: ἀσύμμετρον ἄρα στὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ συγκειμνκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ: ὥστε καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ὅπερ στὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ, ἀσύμμετρόν στι τῷ συγκειμνκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ [ῥητὸν δὲ τὸ συγκεμενον κ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ]: ἄλογον ἄρα στὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ. ὥστε καὶ ἡ ΑΓ ἄλογός στιν, καλείσθω δὲ μείζων. ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν δύο εὐθεῖαι δυνμει ἀσύμμετροι συντεθῶσι ποιοῦσαι τὸ μν συγκεμενον κ τῶν ἀπ αὐτῶν τετραγώνων μσον, τὸ δ ὑπ αὐτῶν ῥητόν, ἡ ὅλη εὐθεῖα ἄλογός στιν, καλείσθω δὲ ῥητὸν καὶ μσον δυναμνη. Συγκείσθωσαν γὰρ δύο εὐθεῖαι δυνμει ἀσύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ ποιοῦσαι τὰ προκεμενα: λγω, ὅτι ἄλογός στιν ἡ ΑΓ. Ἐπεὶ γὰρ τὸ συγκεμενον κ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μσον στίν, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ῥητόν, ἀσύμμετρον ἄρα στὶ τὸ συγκεμενον κ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ: ὥστε καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἀσύμμετρόν στι τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ῥητὸν δὲ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ: ἄλογον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ. ἄλογος ἄρα ἡ ΑΓ, καλείσθω δὲ ῥητὸν καὶ μσον δυναμνη. ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν δύο εὐθεῖαι δυνμει ἀσύμμετροι συντεθῶσι ποιοῦσαι τό τε συγκεμενον κ τῶν ἀπ αὐτῶν τετραγώνων μσον καὶ τὸ ὑπ αὐτῶν μσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τῷ συγκειμνκ τῶν ἀπ αὐτῶν τετραγώνων, ἡ ὅλη εὐθεῖα ἄλογός στιν, καλείσθω δὲ δύο μσα δυναμνη. Συγκείσθωσαν γὰρ δύο εὐθεῖαι δυνμει ἀσύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ ποιοῦσαι τὰ προκεμενα: λγω, ὅτι ἡ ΑΓ ἄλογός στιν. κκείσθω ῥητὴ ἡ ΔΕ, καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΔΕ τοῖς μν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον τὸ ΔΖ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον τὸ ΗΘ: ὅλον ἄρα τὸ ΔΘ ἴσον στὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνῳ. καὶ πεμσον στὶ τὸ συγκεμενον κ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, καί στιν ἴσον τῷ ΔΖ, μσον ἄρα στὶ καὶ τὸ ΔΖ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΕ παράκειται: ῥητὴ ἄρα στὶν ἡ ΔΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΕ μκει. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΗΚ ῥητή στι καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΗΖ, τουτστι τῇ ΔΕ, μκει. καὶ πεὶ ἀσύμμετρά στι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ἀσύμμετρόν στι τὸ ΔΖ τῷ ΗΘ: ὥστε καὶ ἡ ΔΗ τῇ ΗΚ ἀσύμμετρός στιν. καί εἰσι ῥηταί: αἱ ΔΗ, ΗΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνμει μνον σύμμετροι: ἄλογος ἄρα στὶν ἡ ΔΚ ἡ καλουμνη κ δύο ὀνομάτων. ῥητὴ δὲ ἡ ΔΕ: ἄλογον ἄρα στὶ τὸ ΔΘ καὶ ἡ δυναμνη αὐτὸ ἄλογός στιν. δύναται δὲ τὸ ΘΔ ἡ ΑΓ: ἄλογος ἄρα στὶν ἡ ΑΓ, καλείσθω δὲ δύο μσα δυναμνη. ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Λῆμμα Ὅτι δὲ αἱ εἰρημναι ἄλογοι μοναχῶς διαιροῦνται εἰς τὰς εὐθείας, ξ ὧν σύγκεινται ποιουσῶν τὰ προκεμενα εἴδη, δείξομεν ἤδη προεκθμενοι λημμάτιον τοιοῦτον: κκείσθω εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ τετμήσθω ἡ ὅλη εἰς ἄνισα καθ ἑκάτερον τῶν Γ, Δ, ὑποκείσθω δὲ μείζων ἡ ΑΓ τῆς ΔΒ: λγω, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μείζονστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. Τετμήσθω γὰρ ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Ε. καὶ πεμείζων στὶν ἡ ΑΓ τῆς ΔΒ, κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΔΓ: λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΔ λοιπῆς τῆς ΓΒ μείζων στίν. ἴση δὲ ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ: λάττων ἄρα ἡ ΔΕ τῆς ΕΓ: τὰ Γ, Δ ἄρα σημεῖα οὐκ ἴσον ἀπχουσι τῆς διχοτομίας. καὶ πεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΓ ἴσον στὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΒ, ἀλλὰ μν καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΔΕ ἴσον στὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΒ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΓ ἴσον στὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΕ: ν τὸ ἀπὸ τῆς ΔΕ ἔλασσόν στι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΓ: καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἔλασσόν στι τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. ὥστε καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἔλασσόν στι τοῦ δὶς ὑπὸ ΑΔ, ΔΒ. καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ συγκεμενον κ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μεῖζόν στι τοῦ συγκειμνου κ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ: ὅπερ ἔδει δεῖξαι. κ δύο ὀνομάτων κατὰ ἓν μνον σημεῖον διαιρεῖται εἰς τὰ ὀνματα. Ἔστω κ δύο ὀνομάτων ἡ ΑΒ διῃρημνη εἰς τὰ ὀνματα κατὰ τὸ Γ: αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνμει μνον σύμμετροι. λγω, ὅτι ἡ ΑΒ κατ ἄλλο σημεῖον οὐ διαιρεῖται εἰς δύο ῥητὰς δυνμει μνον συμμτρους. Εἰ γὰρ δυνατόν, διῃρήσθω καὶ κατὰ τὸ Δ, ὥστε καὶ τὰς ΑΔ, ΔΒ ῥητὰς εναι δυνμει μνον συμμτρους. φανερὸν δή, ὅτι ἡ ΑΓ τῇ ΔΒ οὐκ ἔστιν ἡ αὐτή. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω. ἔσται δὴ καὶ ἡ ΑΔ τῇ ΓΒ ἡ αὐτή: καὶ ἔσται ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ, καὶ ἔσται ἡ ΑΒ κατὰ τὸ αὐτὸ τῇ κατὰ τὸ Γ διαιρσει διαιρεθεῖσα καὶ κατὰ τὸ Δ: ὅπερ οὐχ ὑπόκειται. οὐκ ἄρα ἡ ΑΓ τῇ ΔΒ στιν ἡ αὐτή. διὰ δὴ τοῦτο καὶ τὰ Γ, Δ σημεῖα οὐκ ἴσον ἀπχουσι τῆς διχοτομίας. ᾧ ἄρα διαφρει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, τούτῳ διαφρει καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ διὰ τὸ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἴσα εναι τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ. ἀλλὰ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ διαφρει ῥητῷ: ῥητὰ γὰρ ἀμφότερα: καὶ τὸ δὶς ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ διαφρει ῥητῷ μσα ὄντα: ὅπερ ἄτοπον: μσον γὰρ μσου οὐχ ὑπερχει ῥητῷ. Οὐκ ἄρα ἡ κ δύο ὀνομάτων κατ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον διαιρεῖται: καθ ἓν ἄρα μνον: ὅπερ ἔδει δεῖξαι. κ δύο μσων πρώτη καθ ἓν μνον σημεῖον διαιρεῖται. Ἔστω κ δύο μσων πρώτη ἡ ΑΒ διῃρημνη κατὰ τὸ Γ, ὥστε τὰς ΑΓ, ΓΒ μσας εναι δυνμει μνον συμμτρους ῥητὸν περιεχούσας: λγω, ὅτι ἡ ΑΒ κατ ἄλλο σημεῖον οὐ διαιρεῖται. Εἰ γὰρ δυνατόν, διῃρήσθω καὶ κατὰ τὸ Δ, ὥστε καὶ τὰς ΑΔ, ΔΒ μσας εναι δυνμει μνον συμμτρους ῥητὸν περιεχούσας. πεὶ οὖν, ᾧ διαφρει τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τούτῳ διαφρει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, ῥητῷ δὲ διαφρει τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ: ῥητὰ γὰρ ἀμφότερα: ῥητῷ ἄρα διαφρει καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μσα ὄντα: ὅπερ ἄτοπον. Οὐκ ἄρα ἡ κ δύο μσων πρώτη κατ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον διαιρεῖται εἰς τὰ ὀνματα: καθ ἓν ἄρα μνον: ὅπερ ἔδει δεῖξαι. κ μσων δευτρα καθ ἓν μνον σημεῖον διαιρεῖται. Ἔστω κ δύο μσων δευτρα ἡ ΑΒ διῃρημνη κατὰ τὸ Γ, ὥστε τὰς ΑΓ, ΓΒ μσας εναι δυνμει μνον συμμτρους μσον περιεχούσας: φανερὸν δή, ὅτι τὸ Γ οὐκ ἔστι κατὰ τῆς διχοτομίας, ὅτι οὐκ εἰσὶ μκει σύμμετροι. λγω, ὅτι ἡ ΑΒ κατ ἄλλο σημεῖον οὐ διαιρεῖται. Εἰ γὰρ δυνατόν, διῃρήσθω καὶ κατὰ τὸ Δ, ὥστε τὴν ΑΓ τῇ ΔΒ μεναι τὴν αὐτήν, ἀλλὰ μείζονα καθ ὑπόθεσιν τὴν ΑΓ: δῆλον δή, ὅτι καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, ὡς πάνω δείξαμεν, λάσσονα τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ: καὶ τὰς ΑΔ, ΔΒ μσας εναι δυνμει μνον συμμτρους μσον περιεχούσας. καὶ κκείσθω ῥητὴ ἡ ΕΖ, καὶ τῷ μν ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον παραβεβλήσθω τὸ ΕΚ, τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΕΗ: λοιπὸν ἄρα τὸ ΘΚ ἴσον στὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. πάλιν δὴ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, ἅπερ λάσσονα δείχθη τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΕΛ: καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΜΚ ἴσον τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. καὶ πεμσα στὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, μσον ἄρα [καὶ] τὸ ΕΗ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται: ῥητὴ ἄρα στὶν ἡ ΕΘ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μκει. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΘΝ ῥητή στι καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μκει. καὶ πεὶ αἱ ΑΓ, ΓΒ μσαι εἰσὶ δυνμει μνον σύμμετροι, ἀσύμμετρος ἄρα στὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ μκει. ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ: ἀσύμμετρον ἄρα στὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. ἀλλὰ τῷ μν ἀπὸ τῆς ΑΓ σύμμετρά στι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ: δυνμει γάρ εἰσι σύμμετροι αἱ ΑΓ, ΓΒ. τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ σύμμετρόν στι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἄρα ἀσύμμετρά στι τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. ἀλλὰ τοῖς μν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον στὶ τὸ ΕΗ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον τὸ ΘΚ: ἀσύμμετρον ἄρα στὶ τὸ ΕΗ τῷ ΘΚ: ὥστε καὶ ἡ ΕΘ τῇ ΘΝ ἀσύμμετρός στι μκει. καί εἰσι ῥηταί: αἱ ΕΘ, ΘΝ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνμει μνον σύμμετροι. ν δὲ δύο ῥηταὶ δυνμει μνον σύμμετροι συντεθῶσιν, ἡ ὅλη ἄλογός στινκαλουμνη κ δύο ὀνομάτων: ἡ ΕΝ ἄρα κ δύο ὀνομάτων στὶ διῃρημνη κατὰ τὸ Θ. κατὰ τὰ αὐτὰ δὴ δειχθήσονται καὶ αἱ ΕΜ, ΜΝ ῥηταὶ δυνμει μνον σύμμετροι: καὶ ἔσται ἡ ΕΝ κ δύο ὀνομάτων κατ ἄλλο καὶ ἄλλο διῃρημνη τό τε Θ καὶ τὸ Μ, καὶ οὐκ ἔστιν ἡ ΕΘ τῇ ΜΝ ἡ αὐτή, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μείζονστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. ἀλλὰ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μείζονστι τοῦ δὶς ὑπὸ ΑΔ, ΔΒ: πολλῷ ἄρα καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τουτστι τὸ ΕΗ, μεῖζόν στι τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, τουτστι τοῦ ΜΚ: ὥστε καὶ ἡ ΕΘ τῆς ΜΝ μείζων στίν. ἡ ἄρα ΕΘ τῇ ΜΝ οὐκ ἔστιν ἡ αὐτή: ὅπερ ἔδει δεῖξαι. μείζων κατὰ τὸ αὐτὸ μνον σημεῖον διαιρεῖται. Ἔστω μείζων ἡ ΑΒ διῃρημνη κατὰ τὸ Γ, ὥστε τὰς ΑΓ, ΓΒ δυνμει ἀσυμμτρους εναι ποιούσας τὸ μν συγκεμενον κ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τετραγώνων ῥητόν, τὸ δ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μσον: λγω, ὅτι ἡ ΑΒ κατ ἄλλο σημεῖον οὐ διαιρεῖται. Εἰ γὰρ δυνατόν, διῃρήσθω καὶ κατὰ τὸ Δ, ὥστε καὶ τὰς ΑΔ, ΔΒ δυνμει ἀσυμμτρους εναι ποιούσας τὸ μν συγκεμενον κ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ῥητόν, τὸ δ ὑπ αὐτῶν μσον. καὶ πεί, ᾧ διαφρει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, τούτῳ διαφρει καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, ἀλλὰ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ὑπερχει ῥητῷ: ῥητὰ γὰρ ἀμφότερα: καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἄρα τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερχει ῥητῷ μσα ὄντα: ὅπερ στὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἡ μείζων κατ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον διαιρεῖται: κατὰ τὸ αὐτὸ ἄρα μνον διαιρεῖται: ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἡ ῥητὸν καὶ μσον δυναμνη καθ ἓν μνον σημεῖον διαιρεῖται. Ἔστω ῥητὸν καὶ μσον δυναμνη ἡ ΑΒ διῃρημνη κατὰ τὸ Γ, ὥστε τὰς ΑΓ, ΓΒ δυνμει ἀσυμμτρους εναι ποιούσας τὸ μν συγκεμενον κ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μσον, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ῥητόν: λγω, ὅτι ἡ ΑΒ κατ ἄλλο σημεῖον οὐ διαιρεῖται. Εἰ γὰρ δυνατόν, διῃρήσθω καὶ κατὰ τὸ Δ, ὥστε καὶ τὰς ΑΔ, ΔΒ δυνμει ἀσυμμτρους εναι ποιούσας τὸ μν συγκεμενον κ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μσον, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ῥητόν. πεὶ οὖν, ᾧ διαφρει τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, τούτῳ διαφρει καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ὑπερχει ῥητῷ, καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἄρα τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερχει ῥητῷ μσα ὄντα: ὅπερ στὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἡ ῥητὸν καὶ μσον δυναμνη κατ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον διαιρεῖται. κατὰ ἓν ἄρα σημεῖον διαιρεῖται: ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἡ δύο μσα δυναμνη καθ ἓν μνον σημεῖον διαιρεῖται. Ἔστω [δύο μσα δυναμνη] ἡ ΑΒ διῃρημνη κατὰ τὸ Γ, ὥστε τὰς ΑΓ, ΓΒ δυνμει ἀσυμμτρους εναι ποιούσας τό τε συγκεμενον κ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μσον καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τῷ συγκειμνκ τῶν ἀπ αὐτῶν. λγω, ὅτι ἡ ΑΒ κατ ἄλλο σημεῖον οὐ διαιρεῖται ποιοῦσα τὰ προκεμενα. Εἰ γὰρ δυνατόν, διῃρήσθω κατὰ τὸ Δ, ὥστε πάλιν δηλονότι τὴν ΑΓ τῇ ΔΒ μεναι τὴν αὐτήν, ἀλλὰ μείζονα καθ ὑπόθεσιν τὴν ΑΓ, καὶ κκείσθω ῥητὴ ἡ ΕΖ, καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΕΖ τοῖς μν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον τὸ ΕΗ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον τὸ ΘΚ: ὅλον ἄρα τὸ ΕΚ ἴσον στὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετραγώνῳ. πάλιν δὴ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΕΖ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἴσον τὸ ΕΛ: λοιπὸν ἄρα τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ λοιπῷ τῷ ΜΚ ἴσον στίν. καὶ πεμσον ὑπόκειται τὸ συγκεμενον κ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, μσον ἄρα στὶ καὶ τὸ ΕΗ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται: ῥητὴ ἄρα στὶν ἡ ΘΕ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μκει. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΘΝ ῥητή στι καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μκει. καὶ πεὶ ἀσύμμετρόν στι τὸ συγκεμενον κ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, καὶ τὸ ΕΗ ἄρα τῷ ΗΝ ἀσύμμετρόν στιν: ὥστε καὶ ἡ ΕΘ τῇ ΘΝ ἀσύμμετρός στιν. καί εἰσι ῥηταί: αἱ ΕΘ, ΘΝ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνμει μνον σύμμετροι: ἡ ΕΝ ἄρα κ δύο ὀνομάτων στὶ διῃρημνη κατὰ τὸ Θ. μοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ κατὰ τὸ Μ διῄρηται. καὶ οὐκ ἔστιν ἡ ΕΘ τῇ ΜΝ ἡ αὐτή: ἡ ἄρα κ δύο ὀνομάτων κατ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον διῄρηται: ὅπερ στὶν ἄτοπον. οὐκ ἄρα ἡ δύο μσα δυναμνη κατ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον διαιρεῖται: καθ ἓν ἄρα μνον [σημεῖον] διαιρεῖται.?

일치하는 문장이 없습니다.

SEARCH

MENU NAVIGATION