Euclid, Elements, book 7, type Prop

Δύο ἀριθμῶν ἀνίσων ἐκκειμένων, ἀνθυφαιρουμένου δὲ ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονοσ ἀπὸ τοῦ μείζονοσ, ἐὰν ὁ λειπόμενοσ μηδέποτε καταμετρῇ τὸν πρὸ ἑαυτοῦ, ἑώσ οὗ λειφθῇ μονάσ, οἱ ἐξ ἀρχῆσ ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ ἔσονται. Δύο γὰρ [ἀνίσων] ἀριθμῶν τῶν ΑΒ, ΓΔ ἀνθυφαιρουμένου ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονοσ ἀπὸ τοῦ μείζονοσ ὁ λειπόμενοσ μηδέποτε καταμετρείτω τὸν πρὸ ἑαυτοῦ, ἑώσ οὗ λειφθῇ μονάσ· λέγω, ὅτι οἱ ΑΒ, ΓΔ πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν, τουτέστιν ὅτι τοὺσ ΑΒ, ΓΔ μονὰσ μόνη μετρεῖ. Εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ ΑΒ, ΓΔ πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ, μετρήσει τισ αὐτοὺσ ἀριθμόσ. μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Ε· καὶ ὁ μὲν ΓΔ τὸν ΒΖ μετρῶν λειπέτω ἑαυτοῦ ἐλάσσονα τὸν ΖΑ, ὁ δὲ ΑΖ τὸν ΔΗ μετρῶν λειπέτω ἑαυτοῦ ἐλάσσονα τὸν ΗΓ, ὁ δὲ ΗΓ τὸν ΖΘ μετρῶν λειπέτω μονάδα τὴν ΘΑ. Ἐπεὶ οὖν ὁ Ε τὸν ΓΔ μετρεῖ, ὁ δὲ ΓΔ τὸν ΒΖ μετρεῖ καὶ ὁ Ε ἄρα τὸν ΒΖ μετρεῖ· μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸν ΒΑ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν ΑΖ μετρήσει. ὁ δὲ ΑΖ τὸν ΔΗ μετρεῖ· καὶ ὁ Ε ἄρα τὸν ΔΗ μετρεῖ· μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸν ΔΓ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν ΓΗ μετρήσει. ὁ δὲ ΓΗ τὸν ΖΘ μετρεῖ· καὶ ὁ Ε ἄρα τὸν ΖΘ μετρεῖ· μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸν ΖΑ· καὶ λοιπὴν ἄρα τὴν ΑΘ μονάδα μετρήσει ἀριθμὸσ ὤν· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τοὺσ ΑΒ, ΓΔ ἀριθμοὺσ μετρήσει τισ ἀριθμόσ· οἱ ΑΒ, ΓΔ ἄρα πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Δύο ἀριθμῶν δοθέντων μὴ πρώτων πρὸσ ἀλλήλουσ τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον εὑρεῖν. Ἔστωσαν οἱ δοθέντεσ δύο ἀριθμοὶ μὴ πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ οἱ ΑΒ, ΓΔ. δεῖ δὴ τῶν ΑΒ, ΓΔ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον εὑρεῖν. Εἰ μὲν οὖν ὁ ΓΔ τὸν ΑΒ μετρεῖ, μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτόν, ὁ ΓΔ ἄρα τῶν ΓΔ, ΑΒ κοινὸν μέτρον ἐστίν. καὶ φανερόν, ὅτι καὶ μέγιστον· οὐδεὶσ γὰρ μείζων τοῦ ΓΔ τὸν ΓΔ μετρήσει. Εἰ δὲ οὐ μετρεῖ ὁ ΓΔ τὸν ΑΒ, τῶν ΑΒ, ΓΔ ἀνθυφαιρουμένου ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονοσ ἀπὸ τοῦ μείζονοσ λειφθήσεταί τισ ἀριθμόσ, ὃσ μετρήσει τὸν πρὸ ἑαυτοῦ. μονὰσ μὲν γὰρ οὐ λειφθήσεται· εἰ δὲ μή, ἔσονται οἱ ΑΒ, ΓΔ πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ· ὅπερ οὐχ ὑπόκειται. λειφθήσεταί τισ ἄρα ἀριθμόσ, ὃσ μετρήσει τὸν πρὸ ἑαυτοῦ. καὶ ὁ μὲν ΓΔ τὸν ΒΕ μετρῶν λειπέτω ἑαυτοῦ ἐλάσσονα τὸν ΕΑ, ὁ δὲ ΕΑ τὸν ΔΖ μετρῶν λειπέτω ἑαυτοῦ ἐλάσσονα τὸν ΖΓ, ὁ δὲ ΓΖ τὸν ΑΕ μετρείτω. ἐπεὶ οὖν ὁ ΓΖ τὸν ΑΕ μετρεῖ, ὁ δὲ ΑΕ τὸν ΔΖ μετρεῖ, καὶ ὁ ΓΖ ἄρα τὸν ΔΖ μετρήσει· μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτόν· καὶ ὅλον ἄρα τὸν ΓΔ μετρήσει. ὁ δὲ ΓΔ τὸν ΒΕ μετρεῖ· καὶ ὁ ΓΖ ἄρα τὸν ΒΕ μετρεῖ· μετρεῖ δὲ καὶ τὸν ΕΑ· καὶ ὅλον ἄρα τὸν ΒΑ μετρήσει· μετρεῖ δὲ καὶ τὸν ΓΔ· ὁ ΓΖ ἄρα τοὺσ ΑΒ, ΓΔ μετρεῖ. ὁ ΓΖ ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ κοινὸν μέτρον ἐστίν. λέγω δή, ὅτι καὶ μέγιστον. εἰ γὰρ μή ἐστιν ὁ ΓΖ τῶν ΑΒ, ΓΔ μέγιστον κοινὸν μέτρον, μετρήσει τισ τοὺσ ΑΒ, ΓΔ ἀριθμοὺσ ἀριθμὸσ μείζων ὢν τοῦ ΓΖ. μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Η. καὶ ἐπεὶ ὁ Η τὸν ΓΔ μετρεῖ, ὁ δὲ ΓΔ τὸν ΒΕ μετρεῖ, καὶ ὁ Η ἄρα τὸν ΒΕ μετρεῖ· μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸν ΒΑ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν ΑΕ μετρήσει. ὁ δὲ ΑΕ τὸν ΔΖ μετρεῖ· καὶ ὁ Η ἄρα τὸν ΔΖ μετρήσει· μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸν ΔΓ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν ΓΖ μετρήσει ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· οὐκ ἄρα τοὺσ ΑΒ, ΓΔ ἀριθμοὺσ ἀριθμόσ τισ μετρήσει μείζων ὢν τοῦ ΓΖ· ὁ ΓΖ ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ μέγιστόν ἐστι κοινὸν μέτρον· [ὅπερ ἔδει δεῖξαι]. Πόρισμα Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἐὰν ἀριθμὸσ δύο ἀριθμοὺσ μετρῇ, καὶ τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον μετρήσει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τριῶν ἀριθμῶν δοθέντων μὴ πρώτων πρὸσ ἀλλήλουσ τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον εὑρεῖν. Ἔστωσαν οἱ δοθέντεσ τρεῖσ ἀριθμοὶ μὴ πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ οἱ Α, Β, Γ· δεῖ δὴ τῶν Α, Β, Γ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον εὑρεῖν. Εἰλήφθω γὰρ δύο τῶν Α, Β τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ὁ Δ· ὁ δὴ Δ τὸν Γ ἤτοι μετρεῖ ἢ οὐ μετρεῖ. μετρείτω πρότερον· μετρεῖ δὲ καὶ τοὺσ Α, Β· ὁ Δ ἄρα τοὺσ Α, Β, Γ μετρεῖ· ὁ Δ ἄρα τῶν Α, Β, Γ κοινὸν μέτρον ἐστίν. λέγω δή, ὅτι καὶ μέγιστον. εἰ γὰρ μή ἐστιν ὁ Δ τῶν Α, Β, Γ μέγιστον κοινὸν μέτρον, μετρήσει τισ τοὺσ Α, Β, Γ ἀριθμοὺσ ἀριθμὸσ μείζων ὢν τοῦ Δ. μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Ε. ἐπεὶ οὖν ὁ Ε τοὺσ Α, Β, Γ μετρεῖ, καὶ τοὺσ Α, Β ἄρα μετρήσει· καὶ τὸ τῶν Α, Β ἄρα μέγιστον κοινὸν μέτρον μετρήσει. τὸ δὲ τῶν Α, Β μέγιστον κοινὸν μέτρον ἐστὶν ὁ Δ· ὁ Ε ἄρα τὸν Δ μετρεῖ ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τοὺσ Α, Β, Γ ἀριθμοὺσ ἀριθμόσ τισ μετρήσει μείζων ὢν τοῦ Δ· ὁ Δ ἄρα τῶν Α, Β, Γ μέγιστόν ἐστι κοινὸν μέτρον. Μὴ μετρείτω δὴ ὁ Δ τὸν Γ· λέγω πρῶτον, ὅτι οἱ Γ, Δ οὔκ εἰσι πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ. ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Β, Γ οὔκ εἰσι πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ, μετρήσει τισ αὐτοὺσ ἀριθμόσ. ὁ δὴ τοὺσ Α, Β, Γ μετρῶν καὶ τοὺσ Α, Β μετρήσει, καὶ τὸ τῶν Α, Β μέγιστον κοινὸν μέτρον τὸν Δ μετρήσει· μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Γ· τοὺσ Δ, Γ ἄρα ἀριθμοὺσ ἀριθμόσ τισ μετρήσει· οἱ Δ, Γ ἄρα οὔκ εἰσι πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ. εἰλήφθω οὖν αὐτῶν τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ὁ Ε. καὶ ἐπεὶ ὁ Ε τὸν Δ μετρεῖ, ὁ δὲ Δ τοὺσ Α, Β μετρεῖ, καὶ ὁ Ε ἄρα τοὺσ Α, Β μετρεῖ· μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Γ· ὁ Ε ἄρα τοὺσ Α, Β, Γ μετρεῖ· ὁ Ε ἄρα τῶν Α, Β, Γ κοινόν ἐστι μέτρον. λέγω δή, ὅτι καὶ μέγιστον. εἰ γὰρ μή ἐστιν ὁ Ε τῶν Α, Β, Γ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον, μετρήσει τισ τοὺσ Α, Β, Γ ἀριθμοὺσ ἀριθμὸσ μείζων ὢν τοῦ Ε. μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Ζ. καὶ ἐπεὶ ὁ Ζ τοὺσ Α, Β, Γ μετρεῖ, καὶ τοὺσ Α, Β μετρεῖ· καὶ τὸ τῶν Α, Β ἄρα μέγιστον κοινὸν μέτρον μετρήσει. τὸ δὲ τῶν Α, Β μέγιστον κοινὸν μέτρον ἐστὶν ὁ Δ· ὁ Ζ ἄρα τὸν Δ μετρεῖ· μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Γ· ὁ Ζ ἄρα τοὺσ Δ, Γ μετρεῖ· καὶ τὸ τῶν Δ, Γ ἄρα μέγιστον κοινὸν μέτρον μετρήσει. τὸ δὲ τῶν Δ, Γ μέγιστον κοινὸν μέτρον ἐστὶν ὁ Ε· ὁ Ζ ἄρα τὸν Ε μετρεῖ ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τοὺσ Α, Β, Γ ἀριθμοὺσ ἀριθμόσ τισ μετρήσει μείζων ὢν τοῦ Ε· ὁ Ε ἄρα τῶν Α, Β, Γ μέγιστόν ἐστι κοινὸν μέτρον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἅπασ ἀριθμὸσ παντὸσ ἀριθμοῦ ὁ ἐλάσσων τοῦ μείζονοσ ἤτοι μέροσ ἐστὶν ἢ μέρη. Ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ Α, ΒΓ, καὶ ἔστω ἐλάσσων ὁ ΒΓ· λέγω, ὅτι ὁ ΒΓ τοῦ Α ἤτοι μέροσ ἐστὶν ἢ μέρη. Οἱ Α, ΒΓ γὰρ ἤτοι πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσὶν ἢ οὔ. ἔστωσαν πρότερον οἱ Α, ΒΓ πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ. διαιρεθέντοσ δὴ τοῦ ΒΓ εἰσ τὰσ ἐν αὐτῷ μονάδασ ἔσται ἑκάστη μονὰσ τῶν ἐν τῷ ΒΓ μέροσ τι τοῦ Α· ὥστε μέρη ἐστὶν ὁ ΒΓ τοῦ Α. Μὴ ἔστωσαν δὴ οἱ Α, ΒΓ πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ· ὁ δὴ ΒΓ τὸν Α ἤτοι μετρεῖ ἢ οὐ μετρεῖ. εἰ μὲν οὖν ὁ ΒΓ τὸν Α μετρεῖ, μέροσ ἐστὶν ὁ ΒΓ τοῦ Α. εἰ δὲ οὔ, εἰλήφθω τῶν Α, ΒΓ μέγιστον κοινὸν μέτρον ὁ Δ, καὶ διῃρήσθω ὁ ΒΓ εἰσ τοὺσ τῷ Δ ἴσουσ τοὺσ ΒΕ, ΕΖ, ΖΓ. καὶ ἐπεὶ ὁ Δ τὸν Α μετρεῖ, μέροσ ἐστὶν ὁ Δ τοῦ Α· ἴσοσ δὲ ὁ Δ ἑκάστῳ τῶν ΒΕ, ΕΖ, ΖΓ· καὶ ἕκαστοσ ἄρα τῶν ΒΕ, ΕΖ, ΖΓ τοῦ Α μέροσ ἐστίν· ὥστε μέρη ἐστὶν ὁ ΒΓ τοῦ Α. Ἅπασ ἄρα ἀριθμὸσ παντὸσ ἀριθμοῦ ὁ ἐλάσσων τοῦ μείζονοσ ἤτοι μέροσ ἐστὶν ἢ μέρη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ἀριθμόσ ἀριθμοῦ μέροσ ᾖ, καὶ ἕτεροσ ἑτέρου τὸ αὐτὸ μέροσ ᾖ, καὶ συναμφότεροσ συναμφοτέρου τὸ αὐτὸ μέροσ ἔσται, ὅπερ ὁ εἷσ τοῦ ἑνόσ. Ἀριθμὸσ γὰρ ὁ Α [ἀριθμοῦ] τοῦ ΒΓ μέροσ ἔστω, καὶ ἕτεροσ ὁ Δ ἑτέρου τοῦ ΕΖ τὸ αὐτὸ μέροσ, ὅπερ ὁ Α τοῦ ΒΓ· λέγω, ὅτι καὶ συναμφότεροσ ὁ Α, Δ συναμφοτέρου τοῦ ΒΓ, ΕΖ τὸ αὐτὸ μέροσ ἐστίν, ὅπερ ὁ Α τοῦ ΒΓ. Ἐπεὶ γάρ, ὃ μέροσ ἐστὶν ὁ Α τοῦ ΒΓ, τὸ αὐτὸ μέροσ ἐστὶ καὶ ὁ Δ τοῦ ΕΖ, ὅσοι ἄρα εἰσὶν ἐν τῷ ΒΓ ἀριθμοὶ ἴσοι τῷ Α, τοσοῦτοί εἰσι καὶ ἐν τῷ ΕΖ ἀριθμοὶ ἴσοι τῷ Δ. διῃρήσθω ὁ μὲν ΒΓ εἰσ τοὺσ τῷ Α ἴσουσ τοὺσ ΒΗ, ΗΓ, ὁ δὲ ΕΖ εἰσ τοὺσ τῷ Δ ἴσουσ τοὺσ ΕΘ, ΘΖ· ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθοσ τῶν ΒΗ, ΗΓ τῷ πλήθει τῶν ΕΘ, ΘΖ. καὶ ἐπεὶ ἴσοσ ἐστὶν ὁ μὲν ΒΗ τῷ Α, ὁ δὲ ΕΘ τῷ Δ, καὶ οἱ ΒΗ, ΕΘ ἄρα τοῖσ Α, Δ ἴσοι. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ οἱ ΗΓ, ΘΖ τοῖσ Α, Δ. ὅσοι ἄρα [εἰσὶν] ἐν τῷ ΒΓ ἀριθμοὶ ἴσοι τῷ Α, τοσοῦτοί εἰσι καὶ ἐν τοῖσ ΒΓ, ΕΖ ἴσοι τοῖσ Α, Δ. ὁσαπλασίων ἄρα ἐστὶν ὁ ΒΓ τοῦ Α, τοσαυταπλασίων ἐστὶ καὶ συναμφότεροσ ὁ ΒΓ, ΕΖ συναμφοτέρου τοῦ Α, Δ. ὃ ἄρα μέροσ ἐστὶν ὁ Α τοῦ ΒΓ, τὸ αὐτὸ μέροσ ἐστὶ καὶ συναμφότεροσ ὁ Α, Δ συναμφοτέρου τοῦ ΒΓ, ΕΖ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ἀριθμὸσ ἀριθμοῦ μέρη ᾖ, καὶ ἕτεροσ ἑτέρου τὰ αὐτὰ μέρη ᾖ, καὶ συναμφότεροσ συναμφοτέρου τὰ αὐτὰ μέρη ἔσται, ὅπερ ὁ εἷσ τοῦ ἑνόσ. Ἀριθμὸσ γὰρ ὁ ΑΒ ἀριθμοῦ τοῦ Γ μέρη ἔστω, καὶ ἕτεροσ ὁ ΔΕ ἑτέρου τοῦ Ζ τὰ αὐτὰ μέρη, ἅπερ ὁ ΑΒ τοῦ Γ· λέγω, ὅτι καὶ συναμφότεροσ ὁ ΑΒ, ΔΕ συναμφοτέρου τοῦ Γ, Ζ τὰ αὐτὰ μέρη ἐστίν, ἅπερ ὁ ΑΒ τοῦ Γ. Ἐπεὶ γάρ, ἃ μέρη ἐστὶν ὁ ΑΒ τοῦ Γ, τὰ αὐτὰ μέρη καὶ ὁ ΔΕ τοῦ Ζ, ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ μέρη τοῦ Γ, τοσαῦτά ἐστι καὶ ἐν τῷ ΔΕ μέρη τοῦ Ζ. διῃρήσθω ὁ μὲν ΑΒ εἰσ τὰ τοῦ Γ μέρη τὰ ΑΗ, ΗΒ, ὁ δὲ ΔΕ εἰσ τὰ τοῦ Ζ μέρη τὰ ΔΘ, ΘΕ· ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθοσ τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ πλήθει τῶν ΔΘ, ΘΕ. καὶ ἐπεί, ὃ μέροσ ἐστὶν ὁ ΑΗ τοῦ Γ, τὸ αὐτὸ μέροσ ἐστὶ καὶ ὁ ΔΘ τοῦ Ζ, ὃ ἄρα μέροσ ἐστὶν ὁ ΑΗ τοῦ Γ, τὸ αὐτὸ μέροσ ἐστὶ καὶ συναμφότεροσ ὁ ΑΗ, ΔΘ συναμφοτέρου τοῦ Γ, Ζ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὃ μέροσ ἐστὶν ὁ ΗΒ τοῦ Γ, τὸ αὐτὸ μέροσ ἐστὶ καὶ συναμφότεροσ ὁ ΗΒ, ΘΕ συναμφοτέρου τοῦ Γ, Ζ. ἃ ἄρα μέρη ἐστὶν ὁ ΑΒ τοῦ Γ, τὰ αὐτὰ μέρη ἐστὶ καὶ συναμφότεροσ ὁ ΑΒ, ΔΕ συναμφοτέρου τοῦ Γ, Ζ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ἀριθμὸσ ἀριθμοῦ μέροσ ᾖ, ὅπερ ἀφαιρεθεὶσ ἀφαιρεθέντοσ, καὶ ὁ λοιπὸσ τοῦ λοιποῦ τὸ αὐτὸ μέροσ ἔσται, ὅπερ ὁ ὅλοσ τοῦ ὅλου. Ἀριθμὸσ γὰρ ὁ ΑΒ ἀριθμοῦ τοῦ ΓΔ μέροσ ἔστω, ὅπερ ἀφαιρεθεὶσ ὁ ΑΕ ἀφαιρεθέντοσ τοῦ ΓΖ· λέγω, ὅτι καὶ λοιπὸσ ὁ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὸ αὐτὸ μέροσ ἐστίν, ὅπερ ὅλοσ ὁ ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ. Ὃ γὰρ μέροσ ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ, τὸ αὐτὸ μέροσ ἔστω καὶ ὁ ΕΒ τοῦ ΓΗ. καὶ ἐπεί, ὃ μέροσ ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ, τὸ αὐτὸ μέροσ ἐστὶ καὶ ὁ ΕΒ τοῦ ΓΗ, ὃ ἄρα μέροσ ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ, τὸ αὐτὸ μέροσ ἐστὶ καὶ ὁ ΑΒ τοῦ ΗΖ. ὃ δὲ μέροσ ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ, τὸ αὐτὸ μέροσ ὑπόκειται καὶ ὁ ΑΒ τοῦ ΓΔ· ὃ ἄρα μέροσ ἐστὶ καὶ ὁ ΑΒ τοῦ ΗΖ, τὸ αὐτὸ μέροσ ἐστὶ καὶ τοῦ ΓΔ· ἴσοσ ἄρα ἐστὶν ὁ ΗΖ τῷ ΓΔ. κοινὸσ ἀφῃρήσθω ὁ ΓΖ· λοιπὸσ ἄρα ὁ ΗΓ λοιπῷ τῷ ΖΔ ἐστιν ἴσοσ. καὶ ἐπεί, ὃ μέροσ ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ, τὸ αὐτὸ μέροσ [ἐστὶ] καὶ ὁ ΕΒ τοῦ ΗΓ, ἴσοσ δὲ ὁ ΗΓ τῷ ΖΔ, ὃ ἄρα μέροσ ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ, τὸ αὐτὸ μέροσ ἐστὶ καὶ ὁ ΕΒ τοῦ ΖΔ. ἀλλὰ ὃ μέροσ ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ, τὸ αὐτὸ μέροσ ἐστὶ καὶ ὁ ΑΒ τοῦ ΓΔ· καὶ λοιπὸσ ἄρα ὁ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὸ αὐτὸ μέροσ ἐστίν, ὅπερ ὅλοσ ὁ ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ἀριθμὸσ ἀριθμοῦ μέρη ᾖ, ἅπερ ἀφαιρεθεὶσ ἀφαιρεθέντοσ, καὶ ὁ λοιπὸσ τοῦ λοιποῦ τὰ αὐτὰ μέρη ἔσται, ἅπερ ὁ ὅλοσ τοῦ ὅλου. Ἀριθμὸσ γὰρ ὁ ΑΒ ἀριθμοῦ τοῦ ΓΔ μέρη ἔστω, ἅπερ ἀφαιρεθεὶσ ὁ ΑΕ ἀφαιρεθέντοσ τοῦ ΓΖ· λέγω, ὅτι καὶ λοιπὸσ ὁ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὰ αὐτὰ μέρη ἐστίν, ἅπερ ὅλοσ ὁ ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ. Κείσθω γὰρ τῷ ΑΒ ἴσοσ ὁ ΗΘ. ἃ ἄρα μέρη ἐστὶν ὁ ΗΘ τοῦ ΓΔ, τὰ αὐτὰ μέρη ἐστὶ καὶ ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ. διῃρήσθω ὁ μὲν ΗΘ εἰσ τὰ τοῦ ΓΔ μέρη τὰ ΗΚ, ΚΘ, ὁ δὲ ΑΕ εἰσ τὰ τοῦ ΓΖ μέρη τὰ ΑΛ, ΛΕ· ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθοσ τῶν ΗΚ, ΚΘ τῷ πλήθει τῶν ΑΛ, ΛΕ. καὶ ἐπεί, ὃ μέροσ ἐστὶν ὁ ΗΚ τοῦ ΓΔ, τὸ αὐτὸ μέροσ ἐστὶ καὶ ὁ ΑΛ τοῦ ΓΖ, μείζων δὲ ὁ ΓΔ τοῦ ΓΖ, μείζων ἄρα καὶ ὁ ΗΚ τοῦ ΑΛ. κείσθω τῷ ΑΛ ἴσοσ ὁ ΗΜ. ὃ ἄρα μέροσ ἐστὶν ὁ ΗΚ τοῦ ΓΔ, τὸ αὐτὸ μέροσ ἐστὶ καὶ ὁ ΗΜ τοῦ ΓΖ· καὶ λοιπὸσ ἄρα ὁ ΜΚ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὸ αὐτὸ μέροσ ἐστίν, ὅπερ ὅλοσ ὁ ΗΚ ὅλου τοῦ ΓΔ. πάλιν ἐπεί, ὃ μέροσ ἐστὶν ὁ ΚΘ τοῦ ΓΔ, τὸ αὐτὸ μέροσ ἐστὶ καὶ ὁ ΕΛ τοῦ ΓΖ, μείζων δὲ ὁ ΓΔ τοῦ ΓΖ, μείζων ἄρα καὶ ὁ ΘΚ τοῦ ΕΛ. κείσθω τῷ ΕΛ ἴσοσ ὁ ΚΝ. ὃ ἄρα μέροσ ἐστὶν ὁ ΚΘ τοῦ ΓΔ, τὸ αὐτὸ μέροσ ἐστὶ καὶ ὁ ΚΝ τοῦ ΓΖ· καὶ λοιπὸσ ἄρα ὁ ΝΘ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὸ αὐτὸ μέροσ ἐστίν, ὅπερ ὅλοσ ὁ ΚΘ ὅλου τοῦ ΓΔ. ἐδείχθη δὲ καὶ λοιπὸσ ὁ ΜΚ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὸ αὐτὸ μέροσ ὤν, ὅπερ ὅλοσ ὁ ΗΚ ὅλου τοῦ ΓΔ· καὶ συναμφότεροσ ἄρα ὁ ΜΚ, ΝΘ τοῦ ΔΖ τὰ αὐτὰ μέρη ἐστίν, ἅπερ ὅλοσ ὁ ΘΗ ὅλου τοῦ ΓΔ. ἴσοσ δὲ συναμφότεροσ μὲν ὁ ΜΚ, ΝΘ τῷ ΕΒ, ὁ δὲ ΘΗ τῷ ΒΑ· καὶ λοιπὸσ ἄρα ὁ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὰ αὐτὰ μέρη ἐστίν, ἅπερ ὅλοσ ὁ ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ἀριθμὸσ ἀριθμοῦ μέροσ ᾖ, καὶ ἕτεροσ ἑτέρου τὸ αὐτὸ μέροσ ᾖ, καὶ ἐναλλάξ, ὃ μέροσ ἐστὶν ἢ μέρη ὁ πρῶτοσ τοῦ τρίτου, τὸ αὐτὸ μέροσ ἔσται ἢ τὰ αὐτὰ μέρη καὶ ὁ δεύτεροσ τοῦ τετάρτου. Ἀριθμὸσ γὰρ ὁ Α ἀριθμοῦ τοῦ ΒΓ μέροσ ἔστω, καὶ ἕτεροσ ὁ Δ ἑτέρου τοῦ ΕΖ τὸ αὐτὸ μέροσ, ὅπερ ὁ Α τοῦ ΒΓ· λέγω, ὅτι καὶ ἐναλλάξ, ὃ μέροσ ἐστὶν ὁ Α τοῦ Δ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέροσ ἐστὶ καὶ ὁ ΒΓ τοῦ ΕΖ ἢ μέρη. Ἐπεὶ γὰρ ὃ μέροσ ἐστὶν ὁ Α τοῦ ΒΓ, τὸ αὐτὸ μέροσ ἐστὶ καὶ ὁ Δ τοῦ ΕΖ, ὅσοι ἄρα εἰσὶν ἐν τῷ ΒΓ ἀριθμοὶ ἴσοι τῷ Α, τοσοῦτοί εἰσι καὶ ἐν τῷ ΕΖ ἴσοι τῷ Δ. διῃρήσθω ὁ μὲν ΒΓ εἰσ τοὺσ τῷ Α ἴσουσ τοὺσ ΒΗ, ΗΓ, ὁ δὲ ΕΖ εἰσ τοὺσ τῷ Δ ἴσουσ τοὺσ ΕΘ, ΘΖ· ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθοσ τῶν ΒΗ, ΗΓ τῷ πλήθει τῶν ΕΘ, ΘΖ. Καὶ ἐπεὶ ἴσοι εἰσὶν οἱ ΒΗ, ΗΓ ἀριθμοὶ ἀλλήλοισ, εἰσὶ δὲ καὶ οἱ ΕΘ, ΘΖ ἀριθμοὶ ἴσοι ἀλλήλοισ, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθοσ τῶν ΒΗ, ΗΓ τῷ πλήθει τῶν ΕΘ, ΘΖ, ὃ ἄρα μέροσ ἐστὶν ὁ ΒΗ τοῦ ΕΘ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέροσ ἐστὶ καὶ ὁ ΗΓ τοῦ ΘΖ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη· ὥστε καὶ ὃ μέροσ ἐστὶν ὁ ΒΗ τοῦ ΕΘ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέροσ ἐστὶ καὶ συναμφότεροσ ὁ ΒΓ συναμφοτέρου τοῦ ΕΖ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη. ἴσοσ δὲ ὁ μὲν ΒΗ τῷ Α, ὁ δὲ ΕΘ τῷ Δ· ὃ ἄρα μέροσ ἐστὶν ὁ Α τοῦ Δ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέροσ ἐστὶ καὶ ὁ ΒΓ τοῦ ΕΖ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ἀριθμὸσ ἀριθμοῦ μέρη ᾖ, καὶ ἕτεροσ ἑτέρου τὰ αὐτὰ μέρη ᾖ, καὶ ἐναλλάξ, ἃ μέρη ἐστὶν ὁ πρῶτοσ τοῦ τρίτου ἢ μέροσ, τὰ αὐτὰ μέρη ἔσται καὶ ὁ δεύτεροσ τοῦ τετάρτου ἢ τὸ αὐτὸ μέροσ. Ἀριθμὸσ γὰρ ὁ ΑΒ ἀριθμοῦ τοῦ Γ μέρη ἔστω, καὶ ἕτεροσ ὁ ΔΕ ἑτέρου τοῦ Ζ τὰ αὐτὰ μέρη· λέγω, ὅτι καὶ ἐναλλάξ, ἃ μέρη ἐστὶν ὁ ΑΒ τοῦ ΔΕ ἢ μέροσ, τὰ αὐτὰ μέρη ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοῦ Ζ ἢ τὸ αὐτὸ μέροσ. Ἐπεὶ γάρ, ἃ μέρη ἐστὶν ὁ ΑΒ τοῦ Γ, τὰ αὐτὰ μέρη ἐστὶ καὶ ὁ ΔΕ τοῦ Ζ, ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ μέρη τοῦ Γ, τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΔΕ μέρη τοῦ Ζ. διῃρήσθω ὁ μὲν ΑΒ εἰσ τὰ τοῦ Γ μέρη τὰ ΑΗ, ΗΒ, ὁ δὲ ΔΕ εἰσ τὰ τοῦ Ζ μέρη τὰ ΔΘ, ΘΕ· ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθοσ τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ πλήθει τῶν ΔΘ, ΘΕ. καὶ ἐπεί, ὃ μέροσ ἐστὶν ὁ ΑΗ τοῦ Γ, τὸ αὐτὸ μέροσ ἐστὶ καὶ ὁ ΔΘ τοῦ Ζ, καὶ ἐναλλάξ, ὃ μέροσ ἐστὶν ὁ ΑΗ τοῦ ΔΘ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέροσ ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοῦ Ζ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καί, ὃ μέροσ ἐστὶν ὁ ΗΒ τοῦ ΘΕ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέροσ ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοῦ Ζ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη· ὥστε καί [ὃ μέροσ ἐστὶν ὁ ΑΗ τοῦ ΔΘ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέροσ ἐστὶ καὶ ὁ ΗΒ τοῦ ΘΕ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη· καὶ ὃ ἄρα μέροσ ἐστὶν ὁ ΑΗ τοῦ ΔΘ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέροσ ἐστὶ καὶ ὁ ΑΒ τοῦ ΔΕ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη· ἀλλ’ ὃ μέροσ ἐστὶν ὁ ΑΗ τοῦ ΔΘ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέροσ ἐδείχθη καὶ ὁ Γ τοῦ Ζ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη, καὶ] ἃ [ἄρα] μέρη ἐστὶν ὁ ΑΒ τοῦ ΔΕ ἢ μέροσ, τὰ αὐτὰ μέρη ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοῦ Ζ ἢ τὸ αὐτὸ μέροσ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ᾖ ὡσ ὅλοσ πρὸσ ὅλον, οὕτωσ ἀφαιρεθεὶσ πρὸσ ἀφαιρεθέντα, καὶ ὁ λοιπὸσ πρὸσ τὸν λοιπὸν ἔσται, ὡσ ὅλοσ πρὸσ ὅλον. Ἔστω ὡσ ὅλοσ ὁ ΑΒ πρὸσ ὅλον τὸν ΓΔ, οὕτωσ ἀφαιρεθεὶσ ὁ ΑΕ πρὸσ ἀφαιρεθέντα τὸν ΓΖ· λέγω, ὅτι καὶ λοιπὸσ ὁ ΕΒ πρὸσ λοιπὸν τὸν ΖΔ ἐστιν, ὡσ ὅλοσ ὁ ΑΒ πρὸσ ὅλον τὸν ΓΔ. Ἐπεί ἐστιν ὡσ ὁ ΑΒ πρὸσ τὸν ΓΔ, οὕτωσ ὁ ΑΕ πρὸσ τὸν ΓΖ, ὃ ἄρα μέροσ ἐστὶν ὁ ΑΒ τοῦ ΓΔ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέροσ ἐστὶ καὶ ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη. καὶ λοιπὸσ ἄρα ὁ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὸ αὐτὸ μέροσ ἐστὶν ἢ μέρη, ἅπερ ὁ ΑΒ τοῦ ΓΔ. ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ ΕΒ πρὸσ τὸν ΖΔ, οὕτωσ ὁ ΑΒ πρὸσ τὸν ΓΔ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ὦσιν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἀνάλογον, ἔσται ὡσ εἷσ τῶν ἡγουμένων πρὸσ ἕνα τῶν ἑπομένων, οὕτωσ ἅπαντεσ οἱ ἡγούμενοι πρὸσ ἅπαντασ τοὺσ ἑπομένουσ. Ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ, ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β, οὕτωσ ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β, οὕτωσ οἱ Α, Γ πρὸσ τοὺσ Β, Δ. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β, οὕτωσ ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ, ὃ ἄρα μέροσ ἐστὶν ὁ Α τοῦ Β ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέροσ ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοῦ Δ ἢ μέρη. καὶ συναμφότεροσ ἄρα ὁ Α, Γ συναμφοτέρου τοῦ Β, Δ τὸ αὐτὸ μέροσ ἐστὶν ἢ τὰ αὐτὰ μέρη, ἅπερ ὁ Α τοῦ Β. ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β, οὕτωσ οἱ Α, Γ πρὸσ τοὺσ Β, Δ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν τέσσαρεσ ἀριθμοὶ ἀνάλογον ὦσιν, καὶ ἐναλλὰξ ἀνάλογον ἔσονται. Ἔστωσαν τέσσαρεσ ἀριθμοὶ ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ, ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β, οὕτωσ ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ· λέγω, ὅτι καὶ ἐναλλὰξ ἀνάλογον ἔσονται, ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Γ, οὕτωσ ὁ Β πρὸσ τὸν Δ. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β, οὕτωσ ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ, ὃ ἄρα μέροσ ἐστὶν ὁ Α τοῦ Β ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέροσ ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοῦ Δ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη. ἐναλλὰξ ἄρα, ὃ μέροσ ἐστὶν ὁ Α τοῦ Γ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέροσ ἐστὶ καὶ ὁ Β τοῦ Δ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη. ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Γ, οὕτωσ ὁ Β πρὸσ τὸν Δ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ὦσιν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ καὶ ἄλλοι αὐτοῖσ ἴσοι τὸ πλῆθοσ σύνδυο λαμβανόμενοι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ δι’ ἴσου ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἔσονται. Ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ καὶ ἄλλοι αὐτοῖσ ἴσοι τὸ πλῆθοσ σύνδυο λαμβανόμενοι ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ οἱ Δ, Ε, Ζ, ὡσ μὲν ὁ Α πρὸσ τὸν Β, οὕτωσ ὁ Δ πρὸσ τὸν Ε, ὡσ δὲ ὁ Β πρὸσ τὸν Γ, οὕτωσ ὁ Ε πρὸσ τὸν Ζ· λέγω, ὅτι καὶ δι’ ἴσου ἐστὶν ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Γ, οὕτωσ ὁ Δ πρὸσ τὸν Ζ. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β, οὕτωσ ὁ Δ πρὸσ τὸν Ε, ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Δ, οὕτωσ ὁ Β πρὸσ τὸν Ε. πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡσ ὁ Β πρὸσ τὸν Γ, οὕτωσ ὁ Ε πρὸσ τὸν Ζ, ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡσ ὁ Β πρὸσ τὸν Ε, οὕτωσ ὁ Γ πρὸσ τὸν Ζ. ὡσ δὲ ὁ Β πρὸσ τὸν Ε, οὕτωσ ὁ Α πρὸσ τὸν Δ· καὶ ὡσ ἄρα ὁ Α πρὸσ τὸν Δ, οὕτωσ ὁ Γ πρὸσ τὸν Ζ· ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Γ, οὕτωσ ὁ Δ πρὸσ τὸν Ζ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν μονὰσ ἀριθμόν τινα μετρῇ, ἰσάκισ δὲ ἕτεροσ ἀριθμὸσ ἄλλον τινὰ ἀριθμὸν μετρῇ, καὶ ἐναλλὰξ ἰσάκισ ἡ μονὰσ τὸν τρίτον ἀριθμὸν μετρήσει καὶ ὁ δεύτεροσ τὸν τέταρτον. Μονὰσ γὰρ ἡ Α ἀριθμόν τινα τὸν ΒΓ μετρείτω, ἰσάκισ δὲ ἕτεροσ ἀριθμὸσ ὁ Δ ἄλλον τινὰ ἀριθμὸν τὸν ΕΖ μετρείτω· λέγω, ὅτι καὶ ἐναλλὰξ ἰσάκισ ἡ Α μονὰσ τὸν Δ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ ΒΓ τὸν ΕΖ. Ἐπεὶ γὰρ ἰσάκισ ἡ Α μονὰσ τὸν ΒΓ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Δ τὸν ΕΖ, ὅσαι ἄρα εἰσὶν ἐν τῷ ΒΓ μονάδεσ, τοσοῦτοί εἰσι καὶ ἐν τῷ ΕΖ ἀριθμοὶ ἴσοι τῷ Δ. διῃρήσθω ὁ μὲν ΒΓ εἰσ τὰσ ἐν ἑαυτῷ μονάδασ τὰσ ΒΗ, ΗΘ, ΘΓ, ὁ δὲ ΕΖ εἰσ τοὺσ τῷ Δ ἴσουσ τοὺσ ΕΚ, ΚΛ, ΛΖ. ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθοσ τῶν ΒΗ, ΗΘ, ΘΓ τῷ πλήθει τῶν ΕΚ, ΚΛ, ΛΖ. καὶ ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν αἱ ΒΗ, ΗΘ, ΘΓ μονάδεσ ἀλλήλαισ, εἰσὶ δὲ καὶ οἱ ΕΚ, ΚΛ, ΛΖ ἀριθμοὶ ἴσοι ἀλλήλοισ, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθοσ τῶν ΒΗ, ΗΘ, ΘΓ μονάδων τῷ πλήθει τῶν ΕΚ, ΚΛ, ΛΖ ἀριθμῶν, ἔσται ἄρα ὡσ ἡ ΒΗ μονὰσ πρὸσ τὸν ΕΚ ἀριθμόν, οὕτωσ ἡ ΗΘ μονὰσ πρὸσ τὸν ΚΛ ἀριθμὸν καὶ ἡ ΘΓ μονὰσ πρὸσ τὸν ΛΖ ἀριθμόν. ἔσται ἄρα καὶ ὡσ εἷσ τῶν ἡγουμένων πρὸσ ἕνα τῶν ἑπομένων, οὕτωσ ἅπαντεσ οἱ ἡγούμενοι πρὸσ ἅπαντασ τοὺσ ἑπομένουσ· ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΒΗ μονὰσ πρὸσ τὸν ΕΚ ἀριθμόν, οὕτωσ ὁ ΒΓ πρὸσ τὸν ΕΖ. ἴση δὲ ἡ ΒΗ μονὰσ τῇ Α μονάδι, ὁ δὲ ΕΚ ἀριθμὸσ τῷ Δ ἀριθμῷ. ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ Α μονὰσ πρὸσ τὸν Δ ἀριθμόν, οὕτωσ ὁ ΒΓ πρὸσ τὸν ΕΖ. ἰσάκισ ἄρα ἡ Α μονὰσ τὸν Δ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ ΒΓ τὸν ΕΖ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν δύο ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντεσ ἀλλήλουσ ποιῶσί τινασ, οἱ γενόμενοι ἐξ αὐτῶν ἴσοι ἀλλήλοισ ἔσονται. Ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, καὶ ὁ μὲν Α τὸν Β πολλαπλασιάσασ τὸν Γ ποιείτω, ὁ δὲ Β τὸν Α πολλαπλασιάσασ τὸν Δ ποιείτω· λέγω, ὅτι ἴσοσ ἐστὶν ὁ Γ τῷ Δ. Ἐπεὶ γὰρ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσασ τὸν Γ πεποίηκεν, ὁ Β ἄρα τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὰσ ἐν τῷ Α μονάδασ. μετρεῖ δὲ καὶ ἡ Ε μονὰσ τὸν Α ἀριθμὸν κατὰ τὰσ ἐν αὐτῷ μονάδασ· ἰσάκισ ἄρα ἡ Ε μονὰσ τὸν Α ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Β τὸν Γ. ἐναλλὰξ ἄρα ἰσάκισ ἡ Ε μονὰσ τὸν Β ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Α τὸν Γ. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Β τὸν Α πολλαπλασιάσασ τὸν Δ πεποίηκεν, ὁ Α ἄρα τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὰσ ἐν τῷ Β μονάδασ. μετρεῖ δὲ καὶ ἡ Ε μονὰσ τὸν Β κατὰ τὰσ ἐν αὐτῷ μονάδασ· ἰσάκισ ἄρα ἡ Ε μονὰσ τὸν Β ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Α τὸν Δ. ἰσάκισ δὲ ἡ Ε μονὰσ τὸν Β ἀριθμὸν ἐμέτρει καὶ ὁ Α τὸν Γ· ἰσάκισ ἄρα ὁ Α ἑκάτερον τῶν Γ, Δ μετρεῖ. ἴσοσ ἄρα ἐστὶν ὁ Γ τῷ Δ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ἀριθμὸσ δύο ἀριθμοὺσ πολλαπλασιάσασ ποιῇ τινασ, οἱ γενόμενοι ἐξ αὐτῶν τὸν αὐτὸν ἕξουσι λόγον τοῖσ πολλαπλασιασθεῖσιν. Ἀριθμὸσ γὰρ ὁ Α δύο ἀριθμοὺσ τοὺσ Β, Γ πολλαπλασιάσασ τοὺσ Δ, Ε ποιείτω· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡσ ὁ Β πρὸσ τὸν Γ, οὕτωσ ὁ Δ πρὸσ τὸν Ε. Ἐπεὶ γὰρ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσασ τὸν Δ πεποίηκεν, ὁ Β ἄρα τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὰσ ἐν τῷ Α μονάδασ. μετρεῖ δὲ καὶ ἡ Ζ μονὰσ τὸν Α ἀριθμὸν κατὰ τὰσ ἐν αὐτῷ μονάδασ· ἰσάκισ ἄρα ἡ Ζ μονὰσ τὸν Α ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Β τὸν Δ. ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ Ζ μονὰσ πρὸσ τὸν Α ἀριθμόν, οὕτωσ ὁ Β πρὸσ τὸν Δ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡσ ἡ Ζ μονὰσ πρὸσ τὸν Α ἀριθμόν, οὕτωσ ὁ Γ πρὸσ τὸν Ε· καὶ ὡσ ἄρα ὁ Β πρὸσ τὸν Δ, οὕτωσ ὁ Γ πρὸσ τὸν Ε. ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡσ ὁ Β πρὸσ τὸν Γ, οὕτωσ ὁ Δ πρὸσ τὸν Ε· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν δύο ἀριθμοὶ ἀριθμόν τινα πολλαπλασιάσαντεσ ποιῶσί τινασ, οἱ γενόμενοι ἐξ αὐτῶν τὸν αὐτὸν ἕξουσι λόγον τοῖσ πολλαπλασιάσασιν. Δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β ἀριθμόν τινα τὸν Γ πολλαπλασιάσαντεσ τοὺσ Δ, Ε ποιείτωσαν· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β, οὕτωσ ὁ Δ πρὸσ τὸν Ε. Ἐπεὶ γὰρ ὁ Α τὸν Γ πολλαπλασιάσασ τὸν Δ πεποίηκεν, καὶ ὁ Γ ἄρα τὸν Α πολλαπλασιάσασ τὸν Δ πεποίηκεν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Γ τὸν Β πολλαπλασιάσασ τὸν Ε πεποίηκεν. ἀριθμὸσ δὴ ὁ Γ δύο ἀριθμοὺσ τοὺσ Α, Β πολλαπλασιάσασ τοὺσ Δ, Ε πεποίηκεν. ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β, οὕτωσ ὁ Δ πρὸσ τὸν Ε· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν τέσσαρεσ ἀριθμοὶ ἀνάλογον ὦσιν, ὁ ἐκ πρώτου καὶ τετάρτου γενόμενοσ ἀριθμὸσ ἴσοσ ἔσται τῷ ἐκ δευτέρου καὶ τρίτου γενομένῳ ἀριθμῷ· καὶ ἐὰν ὁ ἐκ πρώτου καὶ τετάρτου γενόμενοσ ἀριθμὸσ ἴσοσ ᾖ τῷ ἐκ δευτέρου καὶ τρίτου, οἱ τέσσαρεσ ἀριθμοὶ ἀνάλογον ἔσονται. Ἔστωσαν τέσσαρεσ ἀριθμοὶ ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ, ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β, οὕτωσ ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ, καὶ ὁ μὲν Α τὸν Δ πολλαπλασιάσασ τὸν Ε ποιείτω, ὁ δὲ Β τὸν Γ πολλαπλασιάσασ τὸν Ζ ποιείτω· λέγω, ὅτι ἴσοσ ἐστὶν ὁ Ε τῷ Ζ. Ὁ γὰρ Α τὸν Γ πολλαπλασιάσασ τὸν Η ποιείτω. ἐπεὶ οὖν ὁ Α τὸν Γ πολλαπλασιάσασ τὸν Η πεποίηκεν, τὸν δὲ Δ πολλαπλασιάσασ τὸν Ε πεποίηκεν, ἀριθμὸσ δὴ ὁ Α δύο ἀριθμοὺσ τοὺσ Γ, Δ πολλαπλασιάσασ τοὺσ Η, Ε πεποίηκεν. ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ, οὕτωσ ὁ Η πρὸσ τὸν Ε. ἀλλ’ ὡσ ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ, οὕτωσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β· καὶ ὡσ ἄρα ὁ Α πρὸσ τὸν Β, οὕτωσ ὁ Η πρὸσ τὸν Ε. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Α τὸν Γ πολλαπλασιάσασ τὸν Η πεποίηκεν, ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Β τὸν Γ πολλαπλασιάσασ τὸν Ζ πεποίηκεν, δύο δὴ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β ἀριθμόν τινα τὸν Γ πολλαπλασιάσαντεσ τοὺσ Η, Ζ πεποιήκασιν. ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β, οὕτωσ ὁ Η πρὸσ τὸν Ζ. ἀλλὰ μὴν καὶ ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β, οὕτωσ ὁ Η πρὸσ τὸν Ε· καὶ ὡσ ἄρα ὁ Η πρὸσ τὸν Ε, οὕτωσ ὁ Η πρὸσ τὸν Ζ. ὁ Η ἄρα πρὸσ ἑκάτερον τῶν Ε, Ζ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον· ἴσοσ ἄρα ἐστὶν ὁ Ε τῷ Ζ. Ἔστω δὴ πάλιν ἴσοσ ὁ Ε τῷ Ζ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β, οὕτωσ ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ. Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ἐπεὶ ἴσοσ ἐστὶν ὁ Ε τῷ Ζ, ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Η πρὸσ τὸν Ε, οὕτωσ ὁ Η πρὸσ τὸν Ζ. ἀλλ’ ὡσ μὲν ὁ Η πρὸσ τὸν Ε, οὕτωσ ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ, ὡσ δὲ ὁ Η πρὸσ τὸν Ζ, οὕτωσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β. καὶ ὡσ ἄρα ὁ Α πρὸσ τὸν Β, οὕτωσ ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Οἱ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖσ μετροῦσι τοὺσ τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντασ ἰσάκισ ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα. Ἔστωσαν γὰρ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖσ Α, Β οἱ ΓΔ, ΕΖ· λέγω, ὅτι ἰσάκισ ὁ ΓΔ τὸν Α μετρεῖ καὶ ὁ ΕΖ τὸν Β. Ὁ ΓΔ γὰρ τοῦ Α οὔκ ἐστι μέρη. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω· καὶ ὁ ΕΖ ἄρα τοῦ Β τὰ αὐτὰ μέρη ἐστίν, ἅπερ ὁ ΓΔ τοῦ Α. ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΓΔ μέρη τοῦ Α, τοσαῦτά ἐστι καὶ ἐν τῷ ΕΖ μέρη τοῦ Β. διῃρήσθω ὁ μὲν ΓΔ εἰσ τὰ τοῦ Α μέρη τὰ ΓΗ, ΗΔ, ὁ δὲ ΕΖ εἰσ τὰ τοῦ Β μέρη τὰ ΕΘ, ΘΖ· ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθοσ τῶν ΓΗ, ΗΔ τῷ πλήθει τῶν ΕΘ, ΘΖ. καὶ ἐπεὶ ἴσοι εἰσὶν οἱ ΓΗ, ΗΔ ἀριθμοὶ ἀλλήλοισ, εἰσὶ δὲ καὶ οἱ ΕΘ, ΘΖ ἀριθμοὶ ἴσοι ἀλλήλοισ, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθοσ τῶν ΓΗ, ΗΔ τῷ πλήθει τῶν ΕΘ, ΘΖ, ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ ΓΗ πρὸσ τὸν ΕΘ, οὕτωσ ὁ ΗΔ πρὸσ τὸν ΘΖ. ἔσται ἄρα καὶ ὡσ εἷσ τῶν ἡγουμένων πρὸσ ἕνα τῶν ἑπομένων, οὕτωσ ἅπαντεσ οἱ ἡγούμενοι πρὸσ ἅπαντασ τοὺσ ἑπομένουσ. ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ ΓΗ πρὸσ τὸν ΕΘ, οὕτωσ ὁ ΓΔ πρὸσ τὸν ΕΖ· οἱ ΓΗ, ΕΘ ἄρα τοῖσ ΓΔ, ΕΖ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶν ἐλάσσονεσ ὄντεσ αὐτῶν· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· ὑπόκεινται γὰρ οἱ ΓΔ, ΕΖ ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖσ. οὐκ ἄρα μέρη ἐστὶν ὁ ΓΔ τοῦ Α· μέροσ ἄρα. καὶ ὁ ΕΖ τοῦ Β τὸ αὐτὸ μέροσ ἐστίν, ὅπερ ὁ ΓΔ τοῦ Α· ἰσάκισ ἄρα ὁ ΓΔ τὸν Α μετρεῖ καὶ ὁ ΕΖ τὸν Β· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Οἱ πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ ἀριθμοὶ ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖσ. Ἔστωσαν πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β· λέγω, ὅτι οἱ Α, Β ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖσ. Εἰ γὰρ μή, ἔσονταί τινεσ τῶν Α, Β ἐλάσσονεσ ἀριθμοὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὄντεσ τοῖσ Α, Β. ἔστωσαν οἱ Γ, Δ. Ἐπεὶ οὖν οἱ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων [2αὐτοῖσ]2 μετροῦσι τοὺσ τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντασ ἰσάκισ ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάττων τὸν ἐλάττονα, τουτέστιν ὅ τε ἡγούμενοσ τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενοσ τὸν ἑπόμενον, ἰσάκισ ἄρα ὁ Γ τὸν Α μετρεῖ καὶ ὁ Δ τὸν Β. ὁσάκισ δὴ ὁ Γ τὸν Α μετρεῖ, τοσαῦται μονάδεσ ἔστωσαν ἐν τῷ Ε. καὶ ὁ Δ ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰσ ἐν τῷ Ε μονάδασ. καὶ ἐπεὶ ὁ Γ τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰσ ἐν τῷ Ε μονάδασ, καὶ ὁ Ε ἄρα τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰσ ἐν τῷ Γ μονάδασ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ὁ Ε καὶ τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰσ ἐν τῷ Δ μονάδασ. ὁ Ε ἄρα τοὺσ Α, Β μετρεῖ πρώτουσ ὄντασ πρὸσ ἀλλήλουσ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἔσονταί τινεσ τῶν Α, Β ἐλάσσονεσ ἀριθμοὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὄντεσ τοῖσ Α, Β. οἱ Α, Β ἄρα ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖσ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Οἱ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖσ πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν. Ἔστωσαν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖσ οἱ Α, Β· λέγω, ὅτι οἱ Α, Β πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν. Εἰ γὰρ μή εἰσι πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ, μετρήσει τισ αὐτοὺσ ἀριθμόσ. μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Γ. καὶ ὁσάκισ μὲν ὁ Γ τὸν Α μετρεῖ, τοσαῦται μονάδεσ ἔστωσαν ἐν τῷ Δ, ὁσάκισ δὲ ὁ Γ τὸν Β μετρεῖ, τοσαῦται μονάδεσ ἔστωσαν ἐν τῷ Ε. Ἐπεὶ ὁ Γ τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰσ ἐν τῷ Δ μονάδασ, ὁ Γ ἄρα τὸν Δ πολλαπλασιάσασ τὸν Α πεποίηκεν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Γ τὸν Ε πολλαπλασιάσασ τὸν Β πεποίηκεν. ἀριθμὸσ δὴ ὁ Γ δύο ἀριθμοὺσ τοὺσ Δ, Ε πολλαπλασιάσασ τοὺσ Α, Β πεποίηκεν· ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Δ πρὸσ τὸν Ε, οὕτωσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β· οἱ Δ, Ε ἄρα τοῖσ Α, Β ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶν ἐλάσσονεσ ὄντεσ αὐτῶν· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τοὺσ Α, Β ἀριθμοὺσ ἀριθμόσ τισ μετρήσει. οἱ Α, Β ἄρα πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ ὦσιν, ὁ τὸν ἕνα αὐτῶν μετρῶν ἀριθμὸσ πρὸσ τὸν λοιπὸν πρῶτοσ ἔσται. Ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ οἱ Α, Β, τὸν δὲ Α μετρείτω τισ ἀριθμὸσ ὁ Γ· λέγω, ὅτι καὶ οἱ Γ, Β πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν. Εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ Γ, Β πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ, μετρήσει [τισ] τοὺσ Γ, Β ἀριθμόσ. μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Δ. ἐπεὶ ὁ Δ τὸν Γ μετρεῖ, ὁ δὲ Γ τὸν Α μετρεῖ, καὶ ὁ Δ ἄρα τὸν Α μετρεῖ. μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Β· ὁ Δ ἄρα τοὺσ Α, Β μετρεῖ πρώτουσ ὄντασ πρὸσ ἀλλήλουσ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τοὺσ Γ, Β ἀριθμοὺσ ἀριθμόσ τισ μετρήσει. οἱ Γ, Β ἄρα πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν δύο ἀριθμοὶ πρόσ τινα ἀριθμὸν πρῶτοι ὦσιν, καὶ ὁ ἐξ αὐτῶν γενόμενοσ πρὸσ τὸν αὐτὸν πρῶτοσ ἔσται. Δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β πρόσ τινα ἀριθμὸν τὸν Γ πρῶτοι ἔστωσαν, καὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσασ τὸν Δ ποιείτω· λέγω, ὅτι οἱ Γ, Δ πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν. Εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ Γ, Δ πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ, μετρήσει [τισ] τοὺσ Γ, Δ ἀριθμόσ. μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Ε. καὶ ἐπεὶ οἱ Γ, Α πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν, τὸν δὲ Γ μετρεῖ τισ ἀριθμὸσ ὁ Ε, οἱ Α, Ε ἄρα πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν. ὁσάκισ δὴ ὁ Ε τὸν Δ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδεσ ἔστωσαν ἐν τῷ Ζ· καὶ ὁ Ζ ἄρα τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὰσ ἐν τῷ Ε μονάδασ. ὁ Ε ἄρα τὸν Ζ πολλαπλασιάσασ τὸν Δ πεποίηκεν. ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσασ τὸν Δ πεποίηκεν· ἴσοσ ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Ε, Ζ τῷ ἐκ τῶν Α, Β. ἐὰν δὲ ὁ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσοσ ᾖ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων, οἱ τέσσαρεσ ἀριθμοὶ ἀνάλογόν εἰσιν· ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Ε πρὸσ τὸν Α, οὕτωσ ὁ Β πρὸσ τὸν Ζ. οἱ δὲ Α, Ε πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖσ μετροῦσι τοὺσ τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντασ ἰσάκισ ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα, τουτέστιν ὅ τε ἡγούμενοσ τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενοσ τὸν ἑπόμενον· ὁ Ε ἄρα τὸν Β μετρεῖ. μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Γ· ὁ Ε ἄρα τοὺσ Β, Γ μετρεῖ πρώτουσ ὄντασ πρὸσ ἀλλήλουσ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τοὺσ Γ, Δ ἀριθμοὺσ ἀριθμόσ τισ μετρήσει. οἱ Γ, Δ ἄρα πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ ὦσιν, ὁ ἐκ τοῦ ἑνὸσ αὐτῶν γενόμενοσ πρὸσ τὸν λοιπὸν πρῶτοσ ἔσται. Ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ οἱ Α, Β, καὶ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσασ τὸν Γ ποιείτω· λέγω, ὅτι οἱ Β, Γ πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν. Κείσθω γὰρ τῷ Α ἴσοσ ὁ Δ. ἐπεὶ οἱ Α, Β πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν, ἴσοσ δὲ ὁ Α τῷ Δ, καὶ οἱ Δ, Β ἄρα πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν. ἑκάτεροσ ἄρα τῶν Δ, Α πρὸσ τὸν Β πρῶτόσ ἐστιν· καὶ ὁ ἐκ τῶν Δ, Α ἄρα γενόμενοσ πρὸσ τὸν Β πρῶτοσ ἔσται. ὁ δὲ ἐκ τῶν Δ, Α γενόμενοσ ἀριθμόσ ἐστιν ὁ Γ. οἱ Γ, Β ἄρα πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν δύο ἀριθμοὶ πρὸσ δύο ἀριθμοὺσ ἀμφότεροι πρὸσ ἑκάτερον πρῶτοι ὦσιν, καὶ οἱ ἐξ αὐτῶν γενόμενοι πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ ἔσονται. Δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β πρὸσ δύο ἀριθμοὺσ τοὺσ Γ, Δ ἀμφότεροι πρὸσ ἑκάτερον πρῶτοι ἔστωσαν, καὶ ὁ μὲν Α τὸν Β πολλαπλασιάσασ τὸν Ε ποιείτω, ὁ δὲ Γ τὸν Δ πολλαπλασιάσασ τὸν Ζ ποιείτω· λέγω, ὅτι οἱ Ε, Ζ πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν. Ἐπεὶ γὰρ ἑκάτεροσ τῶν Α, Β πρὸσ τὸν Γ πρῶτόσ ἐστιν, καὶ ὁ ἐκ τῶν Α, Β ἄρα γενόμενοσ πρὸσ τὸν Γ πρῶτοσ ἔσται. ὁ δὲ ἐκ τῶν Α, Β γενόμενόσ ἐστιν ὁ Ε· οἱ Ε, Γ ἄρα πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ οἱ Δ, Ε πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν. ἑκάτεροσ ἄρα τῶν Γ, Δ πρὸσ τὸν Ε πρῶτόσ ἐστιν. καὶ ὁ ἐκ τῶν Γ, Δ ἄρα γενόμενοσ πρὸσ τὸν Ε πρῶτοσ ἔσται. ὁ δὲ ἐκ τῶν Γ, Δ γενόμενόσ ἐστιν ὁ Ζ. οἱ Ε, Ζ ἄρα πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ ὦσιν, καὶ πολλαπλασιάσασ ἑκάτεροσ ἑαυτὸν ποιῇ τινα, οἱ γενόμενοι ἐξ αὐτῶν πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ ἔσονται, κἂν οἱ ἐξ ἀρχῆσ τοὺσ γενομένουσ πολλαπλασιάσαντεσ ποιῶσί τινασ, κἀκεῖνοι πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ ἔσονται [καὶ ἀεὶ περὶ τοὺσ ἄκρουσ τοῦτο συμβαίνει]. Ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ οἱ Α, Β, καὶ ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσασ τὸν Γ ποιείτω, τὸν δὲ Γ πολλαπλασιάσασ τὸν Δ ποιείτω, ὁ δὲ Β ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσασ τὸν Ε ποιείτω, τὸν δὲ Ε πολλαπλασιάσασ τὸν Ζ ποιείτω· λέγω, ὅτι οἵ τε Γ, Ε καὶ οἱ Δ, Ζ πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν. Ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Β πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν, καὶ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσασ τὸν Γ πεποίηκεν, οἱ Γ, Β ἄρα πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν. ἐπεὶ οὖν οἱ Γ, Β πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν, καὶ ὁ Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσασ τὸν Ε πεποίηκεν, οἱ Γ, Ε ἄρα πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν. πάλιν, ἐπεὶ οἱ Α, Β πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν, καὶ ὁ Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσασ τὸν Ε πεποίηκεν, οἱ Α, Ε ἄρα πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν. ἐπεὶ οὖν δύο ἀριθμοὶ οἱ Α, Γ πρὸσ δύο ἀριθμοὺσ τοὺσ Β, Ε ἀμφότεροι πρὸσ ἑκάτερον πρῶτοί εἰσιν, καὶ ὁ ἐκ τῶν Α, Γ ἄρα γενόμενοσ πρὸσ τὸν ἐκ τῶν Β, Ε πρῶτόσ ἐστιν. καί ἐστιν ὁ μὲν ἐκ τῶν Α, Γ ὁ Δ, ὁ δὲ ἐκ τῶν Β, Ε ὁ Ζ. οἱ Δ, Ζ ἄρα πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ ὦσιν, καὶ συναμφότεροσ πρὸσ ἑκάτερον αὐτῶν πρῶτοσ ἔσται· καὶ ἐὰν συναμφότεροσ πρὸσ ἕνα τινὰ αὐτῶν πρῶτοσ ᾖ, καὶ οἱ ἐξ ἀρχῆσ ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ ἔσονται. Συγκείσθωσαν γὰρ δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ οἱ ΑΒ, ΒΓ· λέγω, ὅτι καὶ συναμφότεροσ ὁ ΑΓ πρὸσ ἑκάτερον τῶν ΑΒ, ΒΓ πρῶτόσ ἐστιν. Εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ ΓΑ, ΑΒ πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ, μετρήσει τισ τοὺσ ΓΑ, ΑΒ ἀριθμόσ. μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Δ. ἐπεὶ οὖν ὁ Δ τοὺσ ΓΑ, ΑΒ μετρεῖ, καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν ΒΓ μετρήσει. μετρεῖ δὲ καὶ τὸν ΒΑ· ὁ Δ ἄρα τοὺσ ΑΒ, ΒΓ μετρεῖ πρώτουσ ὄντασ πρὸσ ἀλλήλουσ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τοὺσ ΓΑ, ΑΒ ἀριθμοὺσ ἀριθμόσ τισ μετρήσει· οἱ ΓΑ, ΑΒ ἄρα πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ οἱ ΑΓ, ΓΒ πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν. ὁ ΓΑ ἄρα πρὸσ ἑκάτερον τῶν ΑΒ, ΒΓ πρῶτόσ ἐστιν. Ἔστωσαν δὴ πάλιν οἱ ΓΑ, ΑΒ πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ· λέγω, ὅτι καὶ οἱ ΑΒ, ΒΓ πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν. Εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ ΑΒ, ΒΓ πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ, μετρήσει τισ τοὺσ ΑΒ, ΒΓ ἀριθμόσ. μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Δ. καὶ ἐπεὶ ὁ Δ ἑκάτερον τῶν ΑΒ, ΒΓ μετρεῖ, καὶ ὅλον ἄρα τὸν ΓΑ μετρήσει. μετρεῖ δὲ καὶ τὸν ΑΒ· ὁ Δ ἄρα τοὺσ ΓΑ, ΑΒ μετρεῖ πρώτουσ ὄντασ πρὸσ ἀλλήλουσ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τοὺσ ΑΒ, ΒΓ ἀριθμοὺσ ἀριθμόσ τισ μετρήσει. οἱ ΑΒ, ΒΓ ἄρα πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἅπασ πρῶτοσ ἀριθμὸσ πρὸσ ἅπαντα ἀριθμόν, ὃν μὴ μετρεῖ, πρῶτόσ ἐστιν. Ἔστω πρῶτοσ ἀριθμὸσ ὁ Α καὶ τὸν Β μὴ μετρείτω· λέγω, ὅτι οἱ Β, Α πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν. εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ Β, Α πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ, μετρήσει τισ αὐτοὺσ ἀριθμόσ. μετρείτω ὁ Γ. ἐπεὶ ὁ Γ τὸν Β μετρεῖ, ὁ δὲ Α τὸν Β οὐ μετρεῖ, ὁ Γ ἄρα τῷ Α οὔκ ἐστιν ὁ αὐτόσ. καὶ ἐπεὶ ὁ Γ τοὺσ Β, Α μετρεῖ, καὶ τὸν Α ἄρα μετρεῖ πρῶτον ὄντα μὴ ὢν αὐτῷ ὁ αὐτόσ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τοὺσ Β, Α μετρήσει τισ ἀριθμόσ. οἱ Α, Β ἄρα πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν δύο ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντεσ ἀλλήλουσ ποιῶσί τινα, τὸν δὲ γενόμενον ἐξ αὐτῶν μετρῇ τισ πρῶτοσ ἀριθμόσ, καὶ ἕνα τῶν ἐξ ἀρχῆσ μετρήσει. Δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β πολλαπλασιάσαντεσ ἀλλήλουσ τὸν Γ ποιείτωσαν, τὸν δὲ Γ μετρείτω τισ πρῶτοσ ἀριθμὸσ ὁ Δ· λέγω, ὅτι ὁ Δ ἕνα τῶν Α, Β μετρεῖ. Τὸν γὰρ Α μὴ μετρείτω· καί ἐστι πρῶτοσ ὁ Δ· οἱ Α, Δ ἄρα πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν. καὶ ὁσάκισ ὁ Δ τὸν Γ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδεσ ἔστωσαν ἐν τῷ Ε. ἐπεὶ οὖν ὁ Δ τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὰσ ἐν τῷ Ε μονάδασ, ὁ Δ ἄρα τὸν Ε πολλαπλασιάσασ τὸν Γ πεποίηκεν. ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσασ τὸν Γ πεποίηκεν· ἴσοσ ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Δ, Ε τῷ ἐκ τῶν Α, Β. ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Δ πρὸσ τὸν Α, οὕτωσ ὁ Β πρὸσ τὸν Ε. οἱ δὲ Δ, Α πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺσ τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντασ ἰσάκισ ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα, τουτέστιν ὅ τε ἡγούμενοσ τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενοσ τὸν ἑπόμενον· ὁ Δ ἄρα τὸν Β μετρεῖ. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἐὰν τὸν Β μὴ μετρῇ, τὸν Α μετρήσει. ὁ Δ ἄρα ἕνα τῶν Α, Β μετρεῖ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἅπασ σύνθετοσ ἀριθμὸσ ὑπὸ πρώτου τινὸσ ἀριθμοῦ μετρεῖται. Ἔστω σύνθετοσ ἀριθμὸσ ὁ Α· λέγω, ὅτι ὁ Α ὑπὸ πρώτου τινὸσ ἀριθμοῦ μετρεῖται. ἐπεὶ γὰρ σύνθετόσ ἐστιν ὁ Α, μετρήσει τισ αὐτὸν ἀριθμόσ. μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Β. καὶ εἰ μὲν πρῶτόσ ἐστιν ὁ Β, γεγονὸσ ἂν εἰή τὸ ἐπιταχθέν. εἰ δὲ σύνθετοσ, μετρήσει τισ αὐτὸν ἀριθμόσ. μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Γ. καὶ ἐπεὶ ὁ Γ τὸν Β μετρεῖ, ὁ δὲ Β τὸν Α μετρεῖ, καὶ ὁ Γ ἄρα τὸν Α μετρεῖ. καὶ εἰ μὲν πρῶτόσ ἐστιν ὁ Γ, γεγονὸσ ἂν εἰή τὸ ἐπιταχθέν. εἰ δὲ σύνθετοσ, μετρήσει τισ αὐτὸν ἀριθμόσ. τοιαύτησ δὴ γινομένησ ἐπισκέψεωσ ληφθήσεταί τισ πρῶτοσ ἀριθμόσ, ὃσ μετρήσει. εἰ γὰρ οὐ ληφθήσεται, μετρήσουσι τὸν Α ἀριθμὸν ἄπειροι ἀριθμοί, ὧν ἕτεροσ ἑτέρου ἐλάσσων ἐστίν· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον ἐν ἀριθμοῖσ. ληφθήσεταί τισ ἄρα πρῶτοσ ἀριθμόσ, ὃσ μετρήσει τὸν πρὸ ἑαυτοῦ, ὃσ καὶ τὸν Α μετρήσει. Ἅπασ ἄρα σύνθετοσ ἀριθμὸσ ὑπὸ πρώτου τινὸσ ἀριθμοῦ μετρεῖται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἅπασ ἀριθμὸσ ἤτοι πρῶτόσ ἐστιν ἢ ὑπὸ πρώτου τινὸσ ἀριθμοῦ μετρεῖται. Ἔστω ἀριθμὸσ ὁ Α· λέγω, ὅτι ὁ Α ἤτοι πρῶτόσ ἐστιν ἢ ὑπὸ πρώτου τινὸσ ἀριθμοῦ μετρεῖται. Εἰ μὲν οὖν πρῶτόσ ἐστιν ὁ Α, γεγονὸσ ἂν εἰή τὸ ἐπιταχθέν. εἰ δὲ σύνθετοσ, μετρήσει τισ αὐτὸν πρῶτοσ ἀριθμόσ. Ἅπασ ἄρα ἀριθμὸσ ἤτοι πρῶτόσ ἐστιν ἢ ὑπὸ πρώτου τινὸσ ἀριθμοῦ μετρεῖται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἀριθμῶν δοθέντων ὁποσωνοῦν εὑρεῖν τοὺσ ἐλαχίστουσ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖσ. Ἔστωσαν οἱ δοθέντεσ ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ· δεῖ δὴ εὑρεῖν τοὺσ ἐλαχίστουσ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖσ Α, Β, Γ. Οἱ Α, Β, Γ γὰρ ἤτοι πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσὶν ἢ οὔ. εἰ μὲν οὖν οἱ Α, Β, Γ πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν, ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖσ. Εἰ δὲ οὔ, εἰλήφθω τῶν Α, Β, Γ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ὁ Δ, καὶ ὁσάκισ ὁ Δ ἕκαστον τῶν Α, Β, Γ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδεσ ἔστωσαν ἐν ἑκάστῳ τῶν Ε, Ζ, Η. καὶ ἕκαστοσ ἄρα τῶν Ε, Ζ, Η ἕκαστον τῶν Α, Β, Γ μετρεῖ κατὰ τὰσ ἐν τῷ Δ μονάδασ. οἱ Ε, Ζ, Η ἄρα τοὺσ Α, Β, Γ ἰσάκισ μετροῦσιν· οἱ Ε, Ζ, Η ἄρα τοῖσ Α, Β, Γ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσίν. λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστοι. εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ Ε, Ζ, Η ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖσ Α, Β, Γ, ἔσονται [τινεσ] τῶν Ε, Ζ, Η ἐλάσσονεσ ἀριθμοὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὄντεσ τοῖσ Α, Β, Γ. ἔστωσαν οἱ Θ, Κ, Λ· ἰσάκισ ἄρα ὁ Θ τὸν Α μετρεῖ καὶ ἑκάτεροσ τῶν Κ, Λ ἑκάτερον τῶν Β, Γ. ὁσάκισ δὲ ὁ Θ τὸν Α μετρεῖ, τοσαῦται μονάδεσ ἔστωσαν ἐν τῷ Μ· καὶ ἑκάτεροσ ἄρα τῶν Κ, Λ ἑκάτερον τῶν Β, Γ μετρεῖ κατὰ τὰσ ἐν τῷ Μ μονάδασ. καὶ ἐπεὶ ὁ Θ τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰσ ἐν τῷ Μ μονάδασ, καὶ ὁ Μ ἄρα τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰσ ἐν τῷ Θ μονάδασ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ὁ Μ καὶ ἑκάτερον τῶν Β, Γ μετρεῖ κατὰ τὰσ ἐν ἑκατέρῳ τῶν Κ, Λ μονάδασ· ὁ Μ ἄρα τοὺσ Α, Β, Γ μετρεῖ. καὶ ἐπεὶ ὁ Θ τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰσ ἐν τῷ Μ μονάδασ, ὁ Θ ἄρα τὸν Μ πολλαπλασιάσασ τὸν Α πεποίηκεν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Ε τὸν Δ πολλαπλασιάσασ τὸν Α πεποίηκεν. ἴσοσ ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Ε, Δ τῷ ἐκ τῶν Θ, Μ. ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Ε πρὸσ τὸν Θ, οὕτωσ ὁ Μ πρὸσ τὸν Δ. μείζων δὲ ὁ Ε τοῦ Θ· μείζων ἄρα καὶ ὁ Μ τοῦ Δ. καὶ μετρεῖ τοὺσ Α, Β, Γ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· ὑπόκειται γὰρ ὁ Δ τῶν Α, Β, Γ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον. οὐκ ἄρα ἔσονταί τινεσ τῶν Ε, Ζ, Η ἐλάσσονεσ ἀριθμοὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὄντεσ τοῖσ Α, Β, Γ. οἱ Ε, Ζ, Η ἄρα ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖσ Α, Β, Γ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Δύο ἀριθμῶν δοθέντων εὑρεῖν, ὃν ἐλάχιστον μετροῦσιν ἀριθμόν. Ἔστωσαν οἱ δοθέντεσ δύο ἀριθμοὶ οἱ Α, Β· δεῖ δὴ εὑρεῖν, ὃν ἐλάχιστον μετροῦσιν ἀριθμόν. Οἱ Α, Β γὰρ ἤτοι πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσὶν ἢ οὔ. ἔστωσαν πρότερον οἱ Α, Β πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ, καὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσασ τὸν Γ ποιείτω· καὶ ὁ Β ἄρα τὸν Α πολλαπλασιάσασ τὸν Γ πεποίηκεν. οἱ Α, Β ἄρα τὸν Γ μετροῦσιν. λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστον. εἰ γὰρ μή, μετρήσουσί τινα ἀριθμὸν οἱ Α, Β ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Γ. μετρείτωσαν τὸν Δ. καὶ ὁσάκισ ὁ Α τὸν Δ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδεσ ἔστωσαν ἐν τῷ Ε, ὁσάκισ δὲ ὁ Β τὸν Δ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδεσ ἔστωσαν ἐν τῷ Ζ· ὁ μὲν Α ἄρα τὸν Ε πολλαπλασιάσασ τὸν Δ πεποίηκεν, ὁ δὲ Β τὸν Ζ πολλαπλασιάσασ τὸν Δ πεποίηκεν· ἴσοσ ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Α, Ε τῷ ἐκ τῶν Β, Ζ. ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β, οὕτωσ ὁ Ζ πρὸσ τὸν Ε. οἱ δὲ Α, Β πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺσ τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντασ ἰσάκισ ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα· ὁ Β ἄρα τὸν Ε μετρεῖ, ὡσ ἑπόμενοσ ἑπόμενον. καὶ ἐπεὶ ὁ Α τοὺσ Β, Ε πολλαπλασιάσασ τοὺσ Γ, Δ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Β πρὸσ τὸν Ε, οὕτωσ ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ. μετρεῖ δὲ ὁ Β τὸν Ε· μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Γ τὸν Δ ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα οἱ Α, Β μετροῦσί τινα ἀριθμὸν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Γ. ὁ Γ ἄρα ἐλάχιστοσ ὢν ὑπὸ τῶν Α, Β μετρεῖται. Μὴ ἔστωσαν δὴ οἱ Α, Β πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ, καὶ εἰλήφθωσαν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖσ Α, Β οἱ Ζ, Ε· ἴσοσ ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Α, Ε τῷ ἐκ τῶν Β, Ζ. καὶ ὁ Α τὸν Ε πολλαπλασιάσασ τὸν Γ ποιείτω· καὶ ὁ Β ἄρα τὸν Ζ πολλαπλασιάσασ τὸν Γ πεποίηκεν· οἱ Α, Β ἄρα τὸν Γ μετροῦσιν. λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστον. εἰ γὰρ μή, μετρήσουσί τινα ἀριθμὸν οἱ Α, Β ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Γ. μετρείτωσαν τὸν Δ. καὶ ὁσάκισ μὲν ὁ Α τὸν Δ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδεσ ἔστωσαν ἐν τῷ Η, ὁσάκισ δὲ ὁ Β τὸν Δ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδεσ ἔστωσαν ἐν τῷ Θ. ὁ μὲν Α ἄρα τὸν Η πολλαπλασιάσασ τὸν Δ πεποίηκεν, ὁ δὲ Β τὸν Θ πολλαπλασιάσασ τὸν Δ πεποίηκεν. ἴσοσ ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Α, Η τῷ ἐκ τῶν Β, Θ· ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β, οὕτωσ ὁ Θ πρὸσ τὸν Η. ὡσ δὲ ὁ Α πρὸσ τὸν Β, οὕτωσ ὁ Ζ πρὸσ τὸν Ε· καὶ ὡσ ἄρα ὁ Ζ πρὸσ τὸν Ε, οὕτωσ ὁ Θ πρὸσ τὸν Η. οἱ δὲ Ζ, Ε ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺσ τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντασ ἰσάκισ ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα· ὁ Ε ἄρα τὸν Η μετρεῖ. καὶ ἐπεὶ ὁ Α τοὺσ Ε, Η πολλαπλασιάσασ τοὺσ Γ, Δ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Ε πρὸσ τὸν Η, οὕτωσ ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ. ὁ δὲ Ε τὸν Η μετρεῖ· καὶ ὁ Γ ἄρα τὸν Δ μετρεῖ ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα οἱ Α, Β μετρήσουσί τινα ἀριθμὸν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Γ. ὁ Γ ἄρα ἐλάχιστοσ ὢν ὑπὸ τῶν Α, Β μετρεῖται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν δύο ἀριθμοὶ ἀριθμόν τινα μετρῶσιν, καὶ ὁ ἐλάχιστοσ ὑπ’ αὐτῶν μετρούμενοσ τὸν αὐτὸν μετρήσει. Δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β ἀριθμόν τινα τὸν ΓΔ μετρείτωσαν, ἐλάχιστον δὲ τὸν Ε· λέγω, ὅτι καὶ ὁ Ε τὸν ΓΔ μετρεῖ. Εἰ γὰρ οὐ μετρεῖ ὁ Ε τὸν ΓΔ, ὁ Ε τὸν ΔΖ μετρῶν λειπέτω ἑαυτοῦ ἐλάσσονα τὸν ΓΖ. καὶ ἐπεὶ οἱ Α, Β τὸν Ε μετροῦσιν, ὁ δὲ Ε τὸν ΔΖ μετρεῖ, καὶ οἱ Α, Β ἄρα τὸν ΔΖ μετρήσουσιν. μετροῦσι δὲ καὶ ὅλον τὸν ΓΔ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν ΓΖ μετρήσουσιν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Ε· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα οὐ μετρεῖ ὁ Ε τὸν ΓΔ· μετρεῖ ἄρα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τριῶν ἀριθμῶν δοθέντων εὑρεῖν, ὃν ἐλάχιστον μετροῦσιν ἀριθμόν. Ἔστωσαν οἱ δοθέντεσ τρεῖσ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ· δεῖ δὴ εὑρεῖν, ὃν ἐλάχιστον μετροῦσιν ἀριθμόν. Εἰλήφθω γὰρ ὑπὸ δύο τῶν Α, Β ἐλάχιστοσ μετρούμενοσ ὁ Δ. ὁ δὴ Γ τὸν Δ ἤτοι μετρεῖ ἢ οὐ μετρεῖ. μετρείτω πρότερον. μετροῦσι δὲ καὶ οἱ Α, Β τὸν Δ· οἱ Α, Β, Γ ἄρα τὸν Δ μετροῦσιν. λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστον. εἰ γὰρ μή, μετρήσουσιν [τινα] ἀριθμὸν οἱ Α, Β, Γ ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Δ. μετρείτωσαν τὸν Ε. ἐπεὶ οἱ Α, Β, Γ τὸν Ε μετροῦσιν, καὶ οἱ Α, Β ἄρα τὸν Ε μετροῦσιν. καὶ ὁ ἐλάχιστοσ ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Β μετρούμενοσ [τὸν Ε] μετρήσει. ἐλάχιστοσ δὲ ὑπὸ τῶν Α, Β μετρούμενόσ ἐστιν ὁ Δ· ὁ Δ ἄρα τὸν Ε μετρήσει ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα οἱ Α, Β, Γ μετρήσουσί τινα ἀριθμὸν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Δ· οἱ Α, Β, Γ ἄρα ἐλάχιστον τὸν Δ μετροῦσιν. Μὴ μετρείτω δὴ πάλιν ὁ Γ τὸν Δ, καὶ εἰλήφθω ὑπὸ τῶν Γ, Δ ἐλάχιστοσ μετρούμενοσ ἀριθμὸσ ὁ Ε. ἐπεὶ οἱ Α, Β τὸν Δ μετροῦσιν, ὁ δὲ Δ τὸν Ε μετρεῖ, καὶ οἱ Α, Β ἄρα τὸν Ε μετροῦσιν. μετρεῖ δὲ καὶ ὁ Γ [τὸν Ε· καὶ] οἱ Α, Β, Γ ἄρα τὸν Ε μετροῦσιν. λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστον. εἰ γὰρ μή, μετρήσουσί τινα οἱ Α, Β, Γ ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Ε. μετρείτωσαν τὸν Ζ. ἐπεὶ οἱ Α, Β, Γ τὸν Ζ μετροῦσιν, καὶ οἱ Α, Β ἄρα τὸν Ζ μετροῦσιν· καὶ ὁ ἐλάχιστοσ ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Β μετρούμενοσ τὸν Ζ μετρήσει. ἐλάχιστοσ δὲ ὑπὸ τῶν Α, Β μετρούμενόσ ἐστιν ὁ Δ· ὁ Δ ἄρα τὸν Ζ μετρεῖ. μετρεῖ δὲ καὶ ὁ Γ τὸν Ζ· οἱ Δ, Γ ἄρα τὸν Ζ μετροῦσιν· ὥστε καὶ ὁ ἐλάχιστοσ ὑπὸ τῶν Δ, Γ μετρούμενοσ τὸν Ζ μετρήσει. ὁ δὲ ἐλάχιστοσ ὑπὸ τῶν Γ, Δ μετρούμενόσ ἐστιν ὁ Ε· ὁ Ε ἄρα τὸν Ζ μετρεῖ ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα οἱ Α, Β, Γ μετρήσουσί τινα ἀριθμὸν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Ε. ὁ Ε ἄρα ἐλάχιστοσ ὢν ὑπὸ τῶν Α, Β, Γ μετρεῖται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ἀριθμὸσ ὑπό τινοσ ἀριθμοῦ μετρῆται, ὁ μετρούμενοσ ὁμώνυμον μέροσ ἕξει τῷ μετροῦντι. Ἀριθμὸσ γὰρ ὁ Α ὑπό τινοσ ἀριθμοῦ τοῦ Β μετρείσθω· λέγω, ὅτι ὁ Α ὁμώνυμον μέροσ ἔχει τῷ Β. Ὁσάκισ γὰρ ὁ Β τὸν Α μετρεῖ, τοσαῦται μονάδεσ ἔστωσαν ἐν τῷ Γ. ἐπεὶ ὁ Β τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰσ ἐν τῷ Γ μονάδασ, μετρεῖ δὲ καὶ ἡ Δ μονὰσ τὸν Γ ἀριθμὸν κατὰ τὰσ ἐν αὐτῷ μονάδασ, ἰσάκισ ἄρα ἡ Δ μονὰσ τὸν Γ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Β τὸν Α. ἐναλλὰξ ἄρα ἰσάκισ ἡ Δ μονὰσ τὸν Β ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Γ τὸν Α· ὃ ἄρα μέροσ ἐστὶν ἡ Δ μονὰσ τοῦ Β ἀριθμοῦ, τὸ αὐτὸ μέροσ ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοῦ Α. ἡ δὲ Δ μονὰσ τοῦ Β ἀριθμοῦ μέροσ ἐστὶν ὁμώνυμον αὐτῷ· καὶ ὁ Γ ἄρα τοῦ Α μέροσ ἐστὶν ὁμώνυμον τῷ Β. ὥστε ὁ Α μέροσ ἔχει τὸν Γ ὁμώνυμον ὄντα τῷ Β· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ἀριθμὸσ μέροσ ἔχῃ ὁτιοῦν, ὑπὸ ὁμωνύμου ἀριθμοῦ μετρηθήσεται τῷ μέρει. Ἀριθμὸσ γὰρ ὁ Α μέροσ ἐχέτω ὁτιοῦν τὸν Β, καὶ τῷ Β μέρει ὁμώνυμοσ ἔστω [ἀριθμὸσ] ὁ Γ· λέγω, ὅτι ὁ Γ τὸν Α μετρεῖ. Ἐπεὶ γὰρ ὁ Β τοῦ Α μέροσ ἐστὶν ὁμώνυμον τῷ Γ, ἔστι δὲ καὶ ἡ Δ μονὰσ τοῦ Γ μέροσ ὁμώνυμον αὐτῷ, ὃ ἄρα μέροσ ἐστὶν ἡ Δ μονὰσ τοῦ Γ ἀριθμοῦ, τὸ αὐτὸ μέροσ ἐστὶ καὶ ὁ Β τοῦ Α· ἰσάκισ ἄρα ἡ Δ μονὰσ τὸν Γ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Β τὸν Α. ἐναλλὰξ ἄρα ἰσάκισ ἡ Δ μονὰσ τὸν Β ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Γ τὸν Α. ὁ Γ ἄρα τὸν Α μετρεῖ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἀριθμὸν εὑρεῖν, ὃσ ἐλάχιστοσ ὢν ἕξει τὰ δοθέντα μέρη. Ἔστω τὰ δοθέντα μέρη τὰ Α, Β, Γ· δεῖ δὴ ἀριθμὸν εὑρεῖν, ὃσ ἐλάχιστοσ ὢν ἕξει τὰ Α, Β, Γ μέρη. Ἔστωσαν γὰρ τοῖσ Α, Β, Γ μέρεσιν ὁμώνυμοι ἀριθμοὶ οἱ Δ, Ε, Ζ, καὶ εἰλήφθω ὑπὸ τῶν Δ, Ε, Ζ ἐλάχιστοσ μετρούμενοσ ἀριθμὸσ ὁ Η. Ὁ Η ἄρα ὁμώνυμα μέρη ἔχει τοῖσ Δ, Ε, Ζ. τοῖσ δὲ Δ, Ε, Ζ ὁμώνυμα μέρη ἐστὶ τὰ Α, Β, Γ· ὁ Η ἄρα ἔχει τὰ Α, Β, Γ μέρη. λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστοσ ὤν. εἰ γὰρ μή, ἔσται τισ τοῦ Η ἐλάσσων ἀριθμόσ, ὃσ ἕξει τὰ Α, Β, Γ μέρη. ἔστω ὁ Θ. ἐπεὶ ὁ Θ ἔχει τὰ Α, Β, Γ μέρη, ὁ Θ ἄρα ὑπὸ ὁμωνύμων ἀριθμῶν μετρηθήσεται τοῖσ Α, Β, Γ μέρεσιν. τοῖσ δὲ Α, Β, Γ μέρεσιν ὁμώνυμοι ἀριθμοί εἰσιν οἱ Δ, Ε, Ζ· ὁ Θ ἄρα ὑπὸ τῶν Δ, Ε, Ζ μετρεῖται. καί ἐστιν ἐλάσσων τοῦ Η· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἔσται τισ τοῦ Η ἐλάσσων ἀριθμόσ, ὃσ ἕξει τὰ Α, Β, Γ μέρη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.