Euclid, Elements, book 6, type Prop

(유클리드, Elements, book 6, type Prop)

Τὰ τρίγωνα καὶ τὰ παραλληλόγραμμα, τὰ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψοσ ὄντα πρὸσ ἄλληλά ἐστιν ὡσ αἱ βάσεισ. Ἔστω τρίγωνα μὲν τὰ ΑΒΓ, ΑΓΔ, παραλληλόγραμμα δὲ τὰ ΕΓ, ΓΖ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψοσ τὸ ΑΓ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡσ ἡ ΒΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΓΔ βάσιν, οὕτωσ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΑΓΔ τρίγωνον, καὶ τὸ ΕΓ παραλληλόγραμμον πρὸσ τὸ ΓΖ παραλληλόγραμμον. Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΒΔ ἐφ’ ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ τὰ Θ, Λ σημεῖα, καὶ κείσθωσαν τῇ μὲν ΒΓ βάσει ἴσαι [ὁσαιδηποτοῦν] αἱ ΒΗ, ΗΘ, τῇ δὲ ΓΔ βάσει ἴσαι ὁσαιδηποτοῦν αἱ ΔΚ, ΚΛ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΗ, ΑΘ, ΑΚ, ΑΛ. Καὶ ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν αἱ ΓΒ, ΒΗ, ΗΘ ἀλλήλαισ, ἴσα ἐστὶ καὶ τὰ ΑΘΗ, ΑΗΒ, ΑΒΓ τρίγωνα ἀλλήλοισ. ὁσαπλασίων ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΓ βάσισ τῆσ ΒΓ βάσεωσ, τοσαυταπλάσιόν ἐστι καὶ τὸ ΑΘΓ τρίγωνον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ὁσαπλασίων ἐστὶν ἡ ΛΓ βάσισ τῆσ ΓΔ βάσεωσ, τοσαυταπλάσιόν ἐστι καὶ τὸ ΑΛΓ τρίγωνον τοῦ ΑΓΔ τριγώνου· καὶ εἰ ἴση ἐστὶν ἡ ΘΓ βάσισ τῇ ΓΛ βάσει, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ΑΘΓ τρίγωνον τῷ ΑΓΛ τριγώνῳ, καὶ εἰ ὑπερέχει ἡ ΘΓ βάσισ τῆσ ΓΛ βάσεωσ, ὑπερέχει καὶ τὸ ΑΘΓ τρίγωνον τοῦ ΑΓΛ τριγώνου, καὶ εἰ ἐλάσσων, ἔλασσον. τεσσάρων δὴ ὄντων μεγεθῶν δύο μὲν βάσεων τῶν ΒΓ, ΓΔ, δύο δὲ τριγώνων τῶν ΑΒΓ, ΑΓΔ εἴληπται ἰσάκισ πολλαπλάσια τῆσ μὲν ΒΓ βάσεωσ καὶ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἥ τε ΘΓ βάσισ καὶ τὸ ΑΘΓ τρίγωνον, τῆσ δὲ ΓΔ βάσεωσ καὶ τοῦ ΑΔΓ τριγώνου ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκισ πολλαπλάσια ἥ τε ΛΓ βάσισ καὶ τὸ ΑΛΓ τρίγωνον· καὶ δέδεικται, ὅτι, εἰ ὑπερέχει ἡ ΘΓ βάσισ τῆσ ΓΛ βάσεωσ, ὑπερέχει καὶ τὸ ΑΘΓ τρίγωνον τοῦ ΑΛΓ τριγώνου, καὶ εἰ ἴση, ἴσον, καὶ εἰ ἐλάσσων, ἔλασσον· ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΒΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΓΔ βάσιν, οὕτωσ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΑΓΔ τρίγωνον. Καὶ ἐπεὶ τοῦ μὲν ΑΒΓ τριγώνου διπλάσιόν ἐστι τὸ ΕΓ παραλληλόγραμμον, τοῦ δὲ ΑΓΔ τριγώνου διπλάσιόν ἐστι τὸ ΖΓ παραλληλόγραμμον, τὰ δὲ μέρη τοῖσ ὡσαύτωσ πολλαπλασίοισ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΑΓΔ τρίγωνον, οὕτωσ τὸ ΕΓ παραλληλόγραμμον πρὸσ τὸ ΖΓ παραλληλόγραμμον. ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη, ὡσ μὲν ἡ ΒΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΓΔ, οὕτωσ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΑΓΔ τρίγωνον, ὡσ δὲ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΑΓΔ τρίγωνον, οὕτωσ τὸ ΕΓ παραλληλόγραμμον πρὸσ τὸ ΓΖ παραλληλόγραμμον, καὶ ὡσ ἄρα ἡ ΒΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΓΔ βάσιν, οὕτωσ τὸ ΕΓ παραλληλόγραμμον πρὸσ τὸ ΖΓ παραλληλόγραμμον. Τὰ ἄρα τρίγωνα καὶ τὰ παραλληλόγραμμα τὰ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψοσ ὄντα πρὸσ ἄλληλά ἐστιν ὡσ αἱ βάσεισ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν τριγώνου παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν ἀχθῇ τισ εὐθεῖα, ἀνάλογον τεμεῖ τὰσ τοῦ τριγώνου πλευράσ· καὶ ἐὰν αἱ τοῦ τριγώνου πλευραὶ ἀνάλογον τμηθῶσιν, ἡ ἐπὶ τὰσ τομὰσ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα παρὰ τὴν λοιπὴν ἔσται τοῦ τριγώνου πλευράν. Τριγώνου γὰρ τοῦ ΑΒΓ παράλληλοσ μιᾷ τῶν πλευρῶν τῇ ΒΓ ἤχθω ἡ ΔΕ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡσ ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΔΑ, οὕτωσ ἡ ΓΕ πρὸσ τὴν ΕΑ. Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΕ, ΓΔ. Ἴσον ἄρα ἐστὶ ΒΔΕ τρίγωνον τῷ ΓΔΕ τριγώνῳ· ἐπὶ γὰρ τῆσ αὐτῆσ βάσεώσ ἐστι τῆσ ΔΕ καὶ ἐν ταῖσ αὐταῖσ παραλλήλοισ ταῖσ ΔΕ, ΒΓ· ἄλλο δέ τι τὸ ΑΔΕ τρίγωνον. τὰ δὲ ἴσα πρὸσ τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον· ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ ΒΔΕ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΑΔΕ [τρίγωνον], οὕτωσ τὸ ΓΔΕ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΑΔΕ τρίγωνον. ἀλλ’ ὡσ μὲν τὸ ΒΔΕ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΑΔΕ, οὕτωσ ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΔΑ· ὑπὸ γὰρ τὸ αὐτὸ ὕψοσ ὄντα τὴν ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετον ἀγομένην πρὸσ ἄλληλά εἰσιν ὡσ αἱ βάσεισ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ὡσ τὸ ΓΔΕ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΑΔΕ, οὕτωσ ἡ ΓΕ πρὸσ τὴν ΕΑ· καὶ ὡσ ἄρα ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΔΑ, οὕτωσ ἡ ΓΕ πρὸσ τὴν ΕΑ. Ἀλλὰ δὴ αἱ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου πλευραὶ αἱ ΑΒ, ΑΓ ἀνάλογον τετμήσθωσαν, ὡσ ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΔΑ, οὕτωσ ἡ ΓΕ πρὸσ τὴν ΕΑ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ· λέγω, ὅτι παράλληλόσ ἐστιν ἡ ΔΕ τῇ ΒΓ. Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΔΑ, οὕτωσ ἡ ΓΕ πρὸσ τὴν ΕΑ, ἀλλ’ ὡσ μὲν ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΔΑ, οὕτωσ τὸ ΒΔΕ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΑΔΕ τρίγωνον, ὡσ δὲ ἡ ΓΕ πρὸσ τὴν ΕΑ, οὕτωσ τὸ ΓΔΕ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΑΔΕ τρίγωνον, καὶ ὡσ ἄρα τὸ ΒΔΕ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΑΔΕ τρίγωνον, οὕτωσ τὸ ΓΔΕ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΑΔΕ τρίγωνον. ἑκάτερον ἄρα τῶν ΒΔΕ, ΓΔΕ τριγώνων πρὸσ τὸ ΑΔΕ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον. ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΔΕ τρίγωνον τῷ ΓΔΕ τριγώνῳ· καί εἰσιν ἐπὶ τῆσ αὐτῆσ βάσεωσ τῆσ ΔΕ. τὰ δὲ ἴσα τρίγωνα καὶ ἐπὶ τῆσ αὐτῆσ βάσεωσ ὄντα καὶ ἐν ταῖσ αὐταῖσ παραλλήλοισ ἐστίν. παράλληλοσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΕ τῇ ΒΓ. Εἂν ἄρα τριγώνου παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν ἀχθῇ τισ εὐθεῖα, ἀνάλογον τεμεῖ τὰσ τοῦ τριγώνου πλευράσ· καὶ ἐὰν αἱ τοῦ τριγώνου πλευραὶ ἀνάλογον τμηθῶσιν, ἡ ἐπὶ τὰσ τομὰσ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα παρὰ τὴν λοιπὴν ἔσται τοῦ τριγώνου πλευράν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν τριγώνου ἡ γωνία δίχα τμηθῇ, ἡ δὲ τέμνουσα τὴν γωνίαν εὐθεῖα τέμνῃ καὶ τὴν βάσιν, τὰ τῆσ βάσεωσ τμήματα τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον ταῖσ λοιπαῖσ τοῦ τριγώνου πλευραῖσ· καὶ ἐὰν τὰ τῆσ βάσεωσ τμήματα τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον ταῖσ λοιπαῖσ τοῦ τριγώνου πλευραῖσ, ἡ ἀπὸ τῆσ κορυφῆσ ἐπὶ τὴν τομὴν ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα δίχα τεμεῖ τὴν τοῦ τριγώνου γωνίαν. Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ τετμήσθω ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία δίχα ὑπὸ τῆσ ΑΔ εὐθείασ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡσ ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΓΔ, οὕτωσ ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΓ. Ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Γ τῇ ΔΑ παράλληλοσ ἡ ΓΕ καὶ διαχθεῖσα ἡ ΒΑ συμπιπτέτω αὐτῇ κατὰ τὸ Ε. Καὶ ἐπεὶ εἰσ παραλλήλουσ τὰσ ΑΔ, ΕΓ εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ ΑΓ, ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΓΕ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΓΑΔ. ἀλλ’ ἡ ὑπὸ ΓΑΔ τῇ ὑπὸ ΒΑΔ ὑπόκειται ἴση· καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ ἄρα τῇ ὑπὸ ΑΓΕ ἐστιν ἴση. πάλιν, ἐπεὶ εἰσ παραλλήλουσ τὰσ ΑΔ, ΕΓ εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ ΒΑΕ, ἡ ἐκτὸσ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΔ ἴση ἐστὶ τῇ ἐντὸσ τῇ ὑπὸ ΑΕΓ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΕ τῇ ὑπὸ ΒΑΔ ἴση· καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΕ ἄρα γωνία τῇ ὑπὸ ΑΕΓ ἐστιν ἴση· ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΑΕ πλευρᾷ τῇ ΑΓ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΒΓΕ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΕΓ ἦκται ἡ ΑΔ, ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΔΓ, οὕτωσ ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΕ. ἴση δὲ ἡ ΑΕ τῇ ΑΓ· ὡσ ἄρα ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΔΓ, οὕτωσ ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΓ. Ἀλλὰ δὴ ἔστω ὡσ ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΔΓ, οὕτωσ ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΓ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΔ· λέγω, ὅτι δίχα τέτμηται ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία ὑπὸ τῆσ ΑΔ εὐθείασ. Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΔΓ, οὕτωσ ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΓ, ἀλλὰ καὶ ὡσ ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΔΓ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΕ· τριγώνου γὰρ τοῦ ΒΓΕ παρὰ μίαν τὴν ΕΓ ἦκται ἡ ΑΔ· καὶ ὡσ ἄρα ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΓ, οὕτωσ ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΕ. ἴση ἄρα ἡ ΑΓ τῇ ΑΕ· ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΕΓ τῇ ὑπὸ ΑΓΕ ἐστιν ἴση. ἀλλ’ ἡ μὲν ὑπὸ ΑΕΓ τῇ ἐκτὸσ τῇ ὑπὸ ΒΑΔ [ἐστιν] ἴση, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΓΕ τῇ ἐναλλὰξ τῇ ὑπὸ ΓΑΔ ἐστιν ἴση· καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ ἄρα τῇ ὑπὸ ΓΑΔ ἐστιν ἴση. ἡ ἄρα ὑπὸ ΒΑΓ γωνία δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆσ ΑΔ εὐθείασ. Εἂν ἄρα τριγώνου ἡ γωνία δίχα τμηθῇ, ἡ δὲ τέμνουσα τὴν γωνίαν εὐθεῖα τέμνῃ καὶ τὴν βάσιν, τὰ τῆσ βάσεωσ τμήματα τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον ταῖσ λοιπαῖσ τοῦ τριγώνου πλευραῖσ· καὶ ἐὰν τὰ τῆσ βάσεωσ τμήματα τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον ταῖσ λοιπαῖσ τοῦ τριγώνου πλευραῖσ, ἡ ἀπὸ τῆσ κορυφῆσ ἐπὶ τὴν τομὴν ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα δίχα τέμνει τὴν τοῦ τριγώνου γωνίαν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τῶν ἰσογωνίων τριγώνων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ καὶ ὁμόλογοι αἱ ὑπὸ τὰσ ἴσασ γωνίασ ὑποτείνουσαι. Ἔστω ἰσογώνια τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΓΕ ἴσην ἔχοντα τὴν μὲν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΔΓΕ, τὴν δὲ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΓΔΕ καὶ ἔτι τὴν ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΓΕΔ· λέγω, ὅτι τῶν ΑΒΓ, ΔΓΕ τριγώνων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ καὶ ὁμόλογοι αἱ ὑπὸ τὰσ ἴσασ γωνίασ ὑποτείνουσαι. Κείσθω γὰρ ἐπ’ εὐθείασ ἡ ΒΓ τῇ ΓΕ. καὶ ἐπεὶ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΓΒ γωνίαι δύο ὀρθῶν ἐλάττονέσ εἰσιν, ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΕΓ, αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΓ δύο ὀρθῶν ἐλάττονέσ εἰσιν· αἱ ΒΑ, ΕΔ ἄρα ἐκβαλλόμεναι συμπεσοῦνται. ἐκβεβλήσθωσαν καὶ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Ζ. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΓΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΒΓ, παράλληλόσ ἐστιν ἡ ΒΖ τῇ ΓΔ. πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΕΓ, παράλληλόσ ἐστιν ἡ ΑΓ τῇ ΖΕ. παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΑΓΔ· ἴση ἄρα ἡ μὲν ΖΑ τῇ ΔΓ, ἡ δὲ ΑΓ τῇ ΖΔ. καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΖΒΕ παρὰ μίαν τὴν ΖΕ ἦκται ἡ ΑΓ, ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΖ, οὕτωσ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΓΕ. ἴση δὲ ἡ ΑΖ τῇ ΓΔ· ὡσ ἄρα ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΓΔ, οὕτωσ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΓΕ, καὶ ἐναλλὰξ ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΓ, οὕτωσ ἡ ΔΓ πρὸσ τὴν ΓΕ. πάλιν, ἐπεὶ παράλληλόσ ἐστιν ἡ ΓΔ τῇ ΒΖ, ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΓΕ, οὕτωσ ἡ ΖΔ πρὸσ τὴν ΔΕ. ἴση δὲ ἡ ΖΔ τῇ ΑΓ· ὡσ ἄρα ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΓΕ, οὕτωσ ἡ ΑΓ πρὸσ τὴν ΔΕ, καὶ ἐναλλὰξ ὡσ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΓΑ, οὕτωσ ἡ ΓΕ πρὸσ τὴν ΕΔ. ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη ὡσ μὲν ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΓ, οὕτωσ ἡ ΔΓ πρὸσ τὴν ΓΕ, ὡσ δὲ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΓΑ, οὕτωσ ἡ ΓΕ πρὸσ τὴν ΕΔ, δι’ ἴσου ἄρα ὡσ ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΓ, οὕτωσ ἡ ΓΔ πρὸσ τὴν ΔΕ. Τῶν ἄρα ἰσογωνίων τριγώνων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ καὶ ὁμόλογοι αἱ ὑπὸ τὰσ ἴσασ γωνίασ ὑποτείνουσαι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν δύο τρίγωνα τὰσ πλευρὰσ ἀνάλογον ἔχῃ, ἰσογώνια ἔσται τὰ τρίγωνα καὶ ἴσασ ἕξει τὰσ γωνίασ, ὑφ’ ἃσ αἱ ὁμόλογοι πλευραὶ ὑποτείνουσιν. Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ τὰσ πλευρὰσ ἀνάλογον ἔχοντα, ὡσ μὲν τὴν ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΓ, οὕτωσ τὴν ΔΕ πρὸσ τὴν ΕΖ, ὡσ δὲ τὴν ΒΓ πρὸσ τὴν ΓΑ, οὕτωσ τὴν ΕΖ πρὸσ τὴν ΖΔ, καὶ ἔτι ὡσ τὴν ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΓ, οὕτωσ τὴν ΕΔ πρὸσ τὴν ΔΖ. λέγω, ὅτι ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ καὶ ἴσασ ἕξουσι τὰσ γωνίασ, ὑφ’ ἃσ αἱ ὁμόλογοι πλευραὶ ὑποτείνουσιν, τὴν μὲν ὑπὸ ΑΒΓ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ, τὴν δὲ ὑπὸ ΒΓΑ τῇ ὑπὸ ΕΖΔ καὶ ἔτι τὴν ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ. Συνεστάτω γὰρ πρὸσ τῇ ΕΖ εὐθείᾳ καὶ τοῖσ πρὸσ αὐτῇ σημείοισ τοῖσ Ε, Ζ τῇ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΖΕΗ, τῇ δὲ ὑπὸ ΑΓΒ ἴση ἡ ὑπὸ ΕΖΗ· λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸσ τῷ Α λοιπῇ τῇ πρὸσ τῷ Η ἐστιν ἴση. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΕΗΖ [τριγώνῳ]. τῶν ἄρα ΑΒΓ, ΕΗΖ τριγώνων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ καὶ ὁμόλογοι αἱ ὑπὸ τὰσ ἴσασ γωνίασ ὑποτείνουσαι· ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΓ, [οὕτωσ] ἡ ΗΕ πρὸσ τὴν ΕΖ. ἀλλ’ ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΓ, οὕτωσ ὑπόκειται ἡ ΔΕ πρὸσ τὴν ΕΖ· ὡσ ἄρα ἡ ΔΕ πρὸσ τὴν ΕΖ, οὕτωσ ἡ ΗΕ πρὸσ τὴν ΕΖ. ἑκατέρα ἄρα τῶν ΔΕ, ΗΕ πρὸσ τὴν ΕΖ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΕ τῇ ΗΕ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΔΖ τῇ ΗΖ ἐστιν ἴση. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΔΕ τῇ ΕΗ, κοινὴ δὲ ἡ ΕΖ, δύο δὴ αἱ ΔΕ, ΕΖ δυσὶ ταῖσ ΗΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσίν· καὶ βάσισ ἡ ΔΖ βάσει τῇ ΖΗ [ἐστιν] ἴση· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΕΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΗΕΖ ἐστιν ἴση, καὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον τῷ ΗΕΖ τριγώνῳ ἴσον, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖσ λοιπαῖσ γωνίαισ ἴσαι, ὑφ’ ἃσ αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν. ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΔΖΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΖΕ, ἡ δὲ ὑπὸ ΕΔΖ τῇ ὑπὸ ΕΗΖ. καὶ ἐπεὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΖΕΔ τῇ ὑπὸ ΗΕΖ ἐστιν ἴση, ἀλλ’ ἡ ὑπὸ ΗΕΖ τῇ ὑπὸ ΑΒΓ, καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ἄρα γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἐστιν ἴση. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ ἐστιν ἴση, καὶ ἔτι ἡ πρὸσ τῷ Α τῇ πρὸσ τῷ Δ· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ. Εἂν ἄρα δύο τρίγωνα τὰσ πλευρὰσ ἀνάλογον ἔχῃ, ἰσογώνια ἔσται τὰ τρίγωνα καὶ ἴσασ ἕξει τὰσ γωνίασ, ὑφ’ ἃσ αἱ ὁμόλογοι πλευραὶ ὑποτείνουσιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν δύο τρίγωνα μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχῃ, περὶ δὲ τὰσ ἴσασ γωνίασ τὰσ πλευρὰσ ἀνάλογον, ἰσογώνια ἔσται τὰ τρίγωνα καὶ ἴσασ ἕξει τὰσ γωνίασ, ὑφ’ ἃσ αἱ ὁμόλογοι πλευραὶ ὑποτείνουσιν. Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ μίαν γωνίαν τὴν ὑπὸ ΒΑΓ μιᾷ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἴσην ἔχοντα, περὶ δὲ τὰσ ἴσασ γωνίασ τὰσ πλευρὰσ ἀνάλογον, ὡσ τὴν ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΓ, οὕτωσ τὴν ΕΔ πρὸσ τὴν ΔΖ· λέγω, ὅτι ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ καὶ ἴσην ἕξει τὴν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΔΕΖ, τὴν δὲ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ. Συνεστάτω γὰρ πρὸσ τῇ ΔΖ εὐθείᾳ καὶ τοῖσ πρὸσ αὐτῇ σημείοισ τοῖσ Δ, Ζ ὁποτέρᾳ μὲν τῶν ὑπὸ ΒΑΓ, ΕΔΖ ἴση ἡ ὑπὸ ΖΔΗ, τῇ δὲ ὑπὸ ΑΓΒ ἴση ἡ ὑπὸ ΔΖΗ· λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸσ τῷ Β γωνία λοιπῇ τῇ πρὸσ τῷ Η ἴση ἐστίν. Ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΗΖ τριγώνῳ. ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΓ, οὕτωσ ἡ ΗΔ πρὸσ τὴν ΔΖ. ὑπόκειται δὲ καὶ ὡσ ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΓ, οὕτωσ ἡ ΕΔ πρὸσ τὴν ΔΖ· καὶ ὡσ ἄρα ἡ ΕΔ πρὸσ τὴν ΔΖ, οὕτωσ ἡ ΗΔ πρὸσ τὴν ΔΖ. ἴση ἄρα ἡ ΕΔ τῇ ΔΗ· καὶ κοινὴ ἡ ΔΖ· δύο δὴ αἱ ΕΔ, ΔΖ δυσὶ ταῖσ ΗΔ, ΔΖ ἴσαι εἰσίν· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΔΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΗΔΖ [ἐστιν] ἴση· βάσισ ἄρα ἡ ΕΖ βάσει τῇ ΗΖ ἐστιν ἴση, καὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον τῷ ΗΔΖ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖσ λοιπαῖσ γωνίαισ ἴσαι ἔσονται, ὑφ’ ἃσ αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΔΖΗ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ, ἡ δὲ ὑπὸ ΔΗΖ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ. ἀλλ’ ἡ ὑπὸ ΔΖΗ τῇ ὑπὸ ΑΓΒ ἐστιν ἴση· καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ ἄρα τῇ ὑπὸ ΔΖΕ ἐστιν ἴση. ὑπόκειται δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἴση· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸσ τῷ Β λοιπῇ τῇ πρὸσ τῷ Ε ἴση ἐστίν· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ. Εἂν ἄρα δύο τρίγωνα μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχῃ, περὶ δὲ τὰσ ἴσασ γωνίασ τὰσ πλευρὰσ ἀνάλογον, ἰσογώνια ἔσται τὰ τρίγωνα καὶ ἴσασ ἕξει τὰσ γωνίασ, ὑφ’ ἃσ αἱ ὁμόλογοι πλευραὶ ὑποτείνουσιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν δύο τρίγωνα μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχῃ, περὶ δὲ ἄλλασ γωνίασ τὰσ πλευρὰσ ἀνάλογον, τῶν δὲ λοιπῶν ἑκατέραν ἅμα ἤτοι ἐλάσσονα ἢ μὴ ἐλάσσονα ὀρθῆσ, ἰσογώνια ἔσται τὰ τρίγωνα καὶ ἴσασ ἕξει τὰσ γωνίασ, περὶ ἃσ ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραί. Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχοντα τὴν ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ, περὶ δὲ ἄλλασ γωνίασ τὰσ ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ τὰσ πλευρὰσ ἀνάλογον, ὡσ τὴν ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΓ, οὕτωσ τὴν ΔΕ πρὸσ τὴν ΕΖ, τῶν δὲ λοιπῶν τῶν πρὸσ τοῖσ Γ, Ζ πρότερον ἑκατέραν ἅμα ἐλάσσονα ὀρθῆσ· λέγω, ὅτι ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ, καὶ ἴση ἔσται ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ, καὶ λοιπὴ δηλονότι ἡ πρὸσ τῷ Γ λοιπῇ τῇ πρὸσ τῷ Ζ ἴση. Εἰ γὰρ ἄνισόσ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ, μία αὐτῶν μείζων ἐστίν. ἔστω μείζων ἡ ὑπὸ ΑΒΓ. καὶ συνεστάτω πρὸσ τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸσ αὐτῇ σημείῳ τῷ Β τῇ ὑπὸ ΔΕΖ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΑΒΗ. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν Α γωνία τῇ Δ, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΒΗ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΗΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ ἐστιν ἴση. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΗ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ. ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΗ, οὕτωσ ἡ ΔΕ πρὸσ τὴν ΕΖ. ὡσ δὲ ἡ ΔΕ πρὸσ τὴν ΕΖ, [οὕτωσ] ὑπόκειται ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΓ· ἡ ΑΒ ἄρα πρὸσ ἑκατέραν τῶν ΒΓ, ΒΗ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον· ἴση ἄρα ἡ ΒΓ τῇ ΒΗ. ὥστε καὶ γωνία ἡ πρὸσ τῷ Γ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΗΓ ἐστιν ἴση. ἐλάττων δὲ ὀρθῆσ ὑπόκειται ἡ πρὸσ τῷ Γ· ἐλάττων ἄρα ἐστὶν ὀρθῆσ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΗΓ· ὥστε ἡ ἐφεξῆσ αὐτῇ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΗΒ μείζων ἐστὶν ὀρθῆσ. καὶ ἐδείχθη ἴση οὖσα τῇ πρὸσ τῷ Ζ· καὶ ἡ πρὸσ τῷ Ζ ἄρα μείζων ἐστὶν ὀρθῆσ. ὑπόκειται δὲ ἐλάσσων ὀρθῆσ· ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον. οὐκ ἄρα ἄνισόσ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ· ἴση ἄρα. ἔστι δὲ καὶ ἡ πρὸσ τῷ Α ἴση τῇ πρὸσ τῷ Δ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸσ τῷ Γ λοιπῇ τῇ πρὸσ τῷ Ζ ἴση ἐστίν. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ. Ἀλλὰ δὴ πάλιν ὑποκείσθω ἑκατέρα τῶν πρὸσ τοῖσ Γ, Ζ μὴ ἐλάσσων ὀρθῆσ· λέγω πάλιν, ὅτι καὶ οὕτωσ ἐστὶν ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ. Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίωσ δείξομεν, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΒΗ· ὥστε καὶ γωνία ἡ πρὸσ τῷ Γ τῇ ὑπὸ ΒΗΓ ἴση ἐστίν. οὐκ ἐλάττων δὲ ὀρθῆσ ἡ πρὸσ τῷ Γ· οὐκ ἐλάττων ἄρα ὀρθῆσ οὐδὲ ἡ ὑπὸ ΒΗΓ. τριγώνου δὴ τοῦ ΒΗΓ αἱ δύο γωνίαι δύο ὀρθῶν οὔκ εἰσιν ἐλάττονεσ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα πάλιν ἄνισόσ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ· ἴση ἄρα. ἔστι δὲ καὶ ἡ πρὸσ τῷ Α τῇ πρὸσ τῷ Δ ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸσ τῷ Γ λοιπῇ τῇ πρὸσ τῷ Ζ ἴση ἐστίν. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ. Εἂν ἄρα δύο τρίγωνα μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχῃ, περὶ δὲ ἄλλασ γωνίασ τὰσ πλευρὰσ ἀνάλογον, τῶν δὲ λοιπῶν ἑκατέραν ἅμα ἐλάττονα ἢ μὴ ἐλάττονα ὀρθῆσ, ἰσογώνια ἔσται τὰ τρίγωνα καὶ ἴσασ ἕξει τὰσ γωνίασ, περὶ ἃσ ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραί· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ ἀπὸ τῆσ ὀρθῆσ γωνίασ ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετοσ ἀχθῇ, τὰ πρὸσ τῇ καθέτῳ τρίγωνα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ καὶ ἀλλήλοισ. Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΒΓ κάθετοσ ἡ ΑΔ· λέγω, ὅτι ὅμοιόν ἐστιν ἑκάτερον τῶν ΑΒΔ, ΑΔΓ τριγώνων ὅλῳ τῷ ΑΒΓ καὶ ἔτι ἀλλήλοισ. Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΑΔΒ· ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα· καὶ κοινὴ τῶν δύο τριγώνων τοῦ τε ΑΒΓ καὶ τοῦ ΑΒΔ ἡ πρὸσ τῷ Β, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΒΑΔ ἐστιν ἴση· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΒΔ τριγώνῳ. ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΒΓ ὑποτείνουσα τὴν ὀρθὴν τοῦ ΑΒΓ τριγώνου πρὸσ τὴν ΒΑ ὑποτείνουσαν τὴν ὀρθὴν τοῦ ΑΒΔ τριγώνου, οὕτωσ αὐτὴ ἡ ΑΒ ὑποτείνουσα τὴν πρὸσ τῷ Γ γωνίαν τοῦ ΑΒΓ τριγώνου πρὸσ τὴν ΒΔ ὑποτείνουσαν τὴν ἴσην τὴν ὑπὸ ΒΑΔ τοῦ ΑΒΔ τριγώνου, καὶ ἔτι ἡ ΑΓ πρὸσ τὴν ΑΔ ὑποτείνουσαν τὴν πρὸσ τῷ Β γωνίαν κοινὴν τῶν δύο τριγώνων. τὸ ΑΒΓ ἄρα τρίγωνον τῷ ΑΒΔ τριγώνῳ ἰσογώνιόν τέ ἐστι καὶ τὰσ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ πλευρὰσ ἀνάλογον ἔχει. ὅμοιον ἄρα [ἐστὶ] τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΒΔ τριγώνῳ. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τῷ ΑΔΓ τριγώνῳ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον· ἑκάτερον ἄρα τῶν ΑΒΔ, ΑΔΓ [τριγώνων] ὅμοιόν ἐστιν ὅλῳ τῷ ΑΒΓ. Λέγω δή, ὅτι καὶ ἀλλήλοισ ἐστὶν ὅμοια τὰ ΑΒΔ, ΑΔΓ τρίγωνα. Ἐπεὶ γὰρ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΒΔΑ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΑΔΓ ἐστιν ἴση, ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ τῇ πρὸσ τῷ Γ ἐδείχθη ἴση, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸσ τῷ Β λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΔΑΓ ἐστιν ἴση· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΑΔΓ τριγώνῳ. ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΒΔ τοῦ ΑΒΔ τριγώνου ὑποτείνουσα τὴν ὑπὸ ΒΑΔ πρὸσ τὴν ΔΑ τοῦ ΑΔΓ τριγώνου ὑποτείνουσαν τὴν πρὸσ τῷ Γ ἴσην τῇ ὑπὸ ΒΑΔ, οὕτωσ αὐτὴ ἡ ΑΔ τοῦ ΑΒΔ τριγώνου ὑποτείνουσα τὴν πρὸσ τῷ Β γωνίαν πρὸσ τὴν ΔΓ ὑποτείνουσαν τὴν ὑπὸ ΔΑΓ τοῦ ΑΔΓ τριγώνου ἴσην τῇ πρὸσ τῷ Β, καὶ ἔτι ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΓ ὑποτείνουσαι τὰσ ὀρθάσ· ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΑΔΓ τριγώνῳ. Εἂν ἄρα ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ ἀπὸ τῆσ ὀρθῆσ γωνίασ ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετοσ ἀχθῇ, τὰ πρὸσ τῇ καθέτῳ τρίγωνα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ καὶ ἀλλήλοισ [ὅπερ ἔδει δεῖξαι]. Πόρισμα Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἐὰν ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ ἀπὸ τῆσ ὀρθῆσ ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετοσ ἀχθῇ, ἡ ἀχθεῖσα τῶν τῆσ βάσεωσ τμημάτων μέση ἀνάλογόν ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι [καὶ ἔτι τῆσ βάσεωσ καὶ ἑνὸσ ὁποιουοῦν τῶν τμημάτων ἡ πρὸσ τῷ τμήματι πλευρὰ μέση ἀνάλογόν ἐστιν]. Τῆσ δοθείσησ εὐθείασ τὸ προσταχθὲν μέροσ ἀφελεῖν. Ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ· δεῖ δὴ τῆσ ΑΒ τὸ προσταχθὲν μέροσ ἀφελεῖν. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸ τρίτον. [καὶ] διήχθω τισ ἀπὸ τοῦ Α εὐθεῖα ἡ ΑΓ γωνίαν περιέχουσα μετὰ τῆσ ΑΒ τυχοῦσαν· καὶ εἰλήφθω τυχὸν σημεῖον ἐπὶ τῆσ ΑΓ τὸ Δ, καὶ κείσθωσαν τῇ ΑΔ ἴσαι αἱ ΔΕ, ΕΓ. καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ, καὶ διὰ τοῦ Δ παράλληλοσ αὐτῇ ἤχθω ἡ ΔΖ. Ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΑΒΓ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΒΓ ἦκται ἡ ΖΔ, ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΓΔ πρὸσ τὴν ΔΑ, οὕτωσ ἡ ΒΖ πρὸσ τὴν ΖΑ. διπλῆ δὲ ἡ ΓΔ τῆσ ΔΑ· διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΒΖ τῆσ ΖΑ· τριπλῆ ἄρα ἡ ΒΑ τῆσ ΑΖ. Τῆσ ἄρα δοθείσησ εὐθείασ τῆσ ΑΒ τὸ ἐπιταχθὲν τρίτον μέροσ ἀφῄρηται τὸ ΑΖ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. Τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄτμητον τῇ δοθείσῃ τετμημένῃ ὁμοίωσ τεμεῖν. Ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἄτμητοσ ἡ ΑΒ, ἡ δὲ τετμημένη ἡ ΑΓ κατὰ τὰ Δ, Ε σημεῖα, καὶ κείσθωσαν ὥστε γωνίαν τυχοῦσαν περιέχειν, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΒ, καὶ διὰ τῶν Δ, Ε τῇ ΒΓ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΔΖ, ΕΗ, διὰ δὲ τοῦ Δ τῇ ΑΒ παράλληλοσ ἤχθω ἡ ΔΘΚ. Παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΖΘ, ΘΒ· ἴση ἄρα ἡ μὲν ΔΘ τῇ ΖΗ, ἡ δὲ ΘΚ τῇ ΗΒ. καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΔΚΓ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΚΓ εὐθεῖα ἦκται ἡ ΘΕ, ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΓΕ πρὸσ τὴν ΕΔ, οὕτωσ ἡ ΚΘ πρὸσ τὴν ΘΔ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΚΘ τῇ ΒΗ, ἡ δὲ ΘΔ τῇ ΗΖ. ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΓΕ πρὸσ τὴν ΕΔ, οὕτωσ ἡ ΒΗ πρὸσ τὴν ΗΖ. πάλιν, ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΑΗΕ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΗΕ ἦκται ἡ ΖΔ, ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΕΔ πρὸσ τὴν ΔΑ, οὕτωσ ἡ ΗΖ πρὸσ τὴν ΖΑ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡσ ἡ ΓΕ πρὸσ τὴν ΕΔ, οὕτωσ ἡ ΒΗ πρὸσ τὴν ΗΖ· ἔστιν ἄρα ὡσ μὲν ἡ ΓΕ πρὸσ τὴν ΕΔ, οὕτωσ ἡ ΒΗ πρὸσ τὴν ΗΖ, ὡσ δὲ ἡ ΕΔ πρὸσ τὴν ΔΑ, οὕτωσ ἡ ΗΖ πρὸσ τὴν ΖΑ. Ἡ ἄρα δοθεῖσα εὐθεῖα ἄτμητοσ ἡ ΑΒ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τετμημένῃ τῇ ΑΓ ὁμοίωσ τέτμηται· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. Δύο δοθεισῶν εὐθειῶν τρίτην ἀνάλογον προσευρεῖν. Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι [δύο εὐθεῖαι] αἱ ΒΑ, ΑΓ καὶ κείσθωσαν γωνίαν περιέχουσαι τυχοῦσαν. δεῖ δὴ τῶν ΒΑ, ΑΓ τρίτην ἀνάλογον προσευρεῖν. ἐκβεβλήσθωσαν γὰρ ἐπὶ τὰ Δ, Ε σημεῖα, καὶ κείσθω τῇ ΑΓ ἴση ἡ ΒΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ, καὶ διὰ τοῦ Δ παράλληλοσ αὐτῇ ἤχθω ἡ ΔΕ. Ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΑΔΕ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΔΕ ἦκται ἡ ΒΓ, ἀνάλογόν ἐστιν ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΔ, οὕτωσ ἡ ΑΓ πρὸσ τὴν ΓΕ. ἴση δὲ ἡ ΒΔ τῇ ΑΓ. ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΑΓ, οὕτωσ ἡ ΑΓ πρὸσ τὴν ΓΕ. Δύο ἄρα δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΑΓ τρίτη ἀνάλογον αὐταῖσ προσεύρηται ἡ ΓΕ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. Τριῶν δοθεισῶν εὐθειῶν τετάρτην ἀνάλογον προσευρεῖν. Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι τρεῖσ εὐθεῖαι αἱ Α, Β, Γ· δεῖ δὴ τῶν Α, Β, Γ τετάρτην ἀνάλογον προσευρεῖν. Ἐκκείσθωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΔΕ, ΔΖ γωνίαν περιέχουσαι [τυχοῦσαν] τὴν ὑπὸ ΕΔΖ· καὶ κείσθω τῇ μὲν Α ἴση ἡ ΔΗ, τῇ δὲ Β ἴση ἡ ΗΕ, καὶ ἔτι τῇ Γ ἴση ἡ ΔΘ· καὶ ἐπιζευχθείσησ τῆσ ΗΘ παράλληλοσ αὐτῇ ἤχθω διὰ τοῦ Ε ἡ ΕΖ. Ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΔΕΖ παρὰ μίαν τὴν ΕΖ ἦκται ἡ ΗΘ, ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΔΗ πρὸσ τὴν ΗΕ, οὕτωσ ἡ ΔΘ πρὸσ τὴν ΘΖ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΔΗ τῇ Α, ἡ δὲ ΗΕ τῇ Β, ἡ δὲ ΔΘ τῇ Γ· ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ Α πρὸσ τὴν Β, οὕτωσ ἡ Γ πρὸσ τὴν ΘΖ. Τριῶν ἄρα δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν Α, Β, Γ τετάρτη ἀνάλογον προσεύρηται ἡ ΘΖ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. Δύο δοθεισῶν εὐθειῶν μέσην ἀνάλογον προσευρεῖν. Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ· δεῖ δὴ τῶν ΑΒ, ΒΓ μέσην ἀνάλογον προσευρεῖν. Κείσθωσαν ἐπ’ εὐθείασ, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆσ ΑΓ ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΓ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β σημείου τῇ ΑΓ εὐθείᾳ πρὸσ ὀρθὰσ ἡ ΒΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΔΓ. Ἐπεὶ ἐν ἡμικυκλίῳ γωνία ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΔΓ, ὀρθή ἐστιν. καὶ ἐπεὶ ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ τῷ ΑΔΓ ἀπὸ τῆσ ὀρθῆσ γωνίασ ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετοσ ἦκται ἡ ΔΒ, ἡ ΔΒ ἄρα τῶν τῆσ βάσεωσ τμημάτων τῶν ΑΒ, ΒΓ μέση ἀνάλογόν ἐστιν. Δύο ἄρα δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΒΓ μέση ἀνάλογον προσεύρηται ἡ ΔΒ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. Τῶν ἴσων τε καὶ ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ· καὶ ὧν ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα. Ἔστω ἴσα τε καὶ ἰσογώνια παραλληλόγραμμα τὰ ΑΒ, ΒΓ ἴσασ ἔχοντα τὰσ πρὸσ τῷ Β γωνίασ, καὶ κείσθωσαν ἐπ’ εὐθείασ αἱ ΔΒ, ΒΕ· ἐπ’ εὐθείασ ἄρα εἰσὶ καὶ αἱ ΖΒ, ΒΗ. λέγω, ὅτι τῶν ΑΒ, ΒΓ ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ, τουτέστιν, ὅτι ἐστὶν ὡσ ἡ ΔΒ πρὸσ τὴν ΒΕ, οὕτωσ ἡ ΗΒ πρὸσ τὴν ΒΖ. Συμπεπληρώσθω γὰρ τὸ ΖΕ παραλληλόγραμμον. ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒ παραλληλόγραμμον τῷ ΒΓ παραλληλογράμμῳ, ἄλλο δέ τι τὸ ΖΕ, ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ ΑΒ πρὸσ τὸ ΖΕ, οὕτωσ τὸ ΒΓ πρὸσ τὸ ΖΕ. ἀλλ’ ὡσ μὲν τὸ ΑΒ πρὸσ τὸ ΖΕ, οὕτωσ ἡ ΔΒ πρὸσ τὴν ΒΕ, ὡσ δὲ τὸ ΒΓ πρὸσ τὸ ΖΕ, οὕτωσ ἡ ΗΒ πρὸσ τὴν ΒΖ· καὶ ὡσ ἄρα ἡ ΔΒ πρὸσ τὴν ΒΕ, οὕτωσ ἡ ΗΒ πρὸσ τὴν ΒΖ. τῶν ἄρα ΑΒ, ΒΓ παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ. Ἀλλὰ δὴ ἔστω ὡσ ἡ ΔΒ πρὸσ τὴν ΒΕ, οὕτωσ ἡ ΗΒ πρὸσ τὴν ΒΖ· λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒ παραλληλόγραμμον τῷ ΒΓ παραλληλογράμμῳ. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡσ ἡ ΔΒ πρὸσ τὴν ΒΕ, οὕτωσ ἡ ΗΒ πρὸσ τὴν ΒΖ, ἀλλ’ ὡσ μὲν ἡ ΔΒ πρὸσ τὴν ΒΕ, οὕτωσ τὸ ΑΒ παραλληλόγραμμον πρὸσ τὸ ΖΕ παραλληλόγραμμον, ὡσ δὲ ἡ ΗΒ πρὸσ τὴν ΒΖ, οὕτωσ τὸ ΒΓ παραλληλόγραμμον πρὸσ τὸ ΖΕ παραλληλόγραμμον, καὶ ὡσ ἄρα τὸ ΑΒ πρὸσ τὸ ΖΕ, οὕτωσ τὸ ΒΓ πρὸσ τὸ ΖΕ· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒ παραλληλόγραμμον τῷ ΒΓ παραλληλογράμμῳ. Τῶν ἄρα ἴσων τε καὶ ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ· καὶ ὧν ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τῶν ἴσων καὶ μίαν μιᾷ ἴσην ἐχόντων γωνίαν τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ· καὶ ὧν μίαν μιᾷ ἴσην ἐχόντων γωνίαν τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα. Ἔστω ἴσα τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΑΔΕ μίαν μιᾷ ἴσην ἔχοντα γωνίαν τὴν ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΔΑΕ· λέγω, ὅτι τῶν ΑΒΓ, ΑΔΕ τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ, τουτέστιν, ὅτι ἐστὶν ὡσ ἡ ΓΑ πρὸσ τὴν ΑΔ, οὕτωσ ἡ ΕΑ πρὸσ τὴν ΑΒ. Κείσθω γὰρ ὥστε ἐπ’ εὐθείασ εἶναι τὴν ΓΑ τῇ ΑΔ· ἐπ’ εὐθείασ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΕΑ τῇ ΑΒ. καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΔ. Ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΔΕ τριγώνῳ, ἄλλο δέ τι τὸ ΒΑΔ, ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ ΓΑΒ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΒΑΔ τρίγωνον, οὕτωσ τὸ ΕΑΔ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΒΑΔ τρίγωνον. ἀλλ’ ὡσ μὲν τὸ ΓΑΒ πρὸσ τὸ ΒΑΔ, οὕτωσ ἡ ΓΑ πρὸσ τὴν ΑΔ, ὡσ δὲ τὸ ΕΑΔ πρὸσ τὸ ΒΑΔ, οὕτωσ ἡ ΕΑ πρὸσ τὴν ΑΒ. καὶ ὡσ ἄρα ἡ ΓΑ πρὸσ τὴν ΑΔ, οὕτωσ ἡ ΕΑ πρὸσ τὴν ΑΒ. τῶν ΑΒΓ, ΑΔΕ ἄρα τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ. Ἀλλὰ δὴ ἀντιπεπονθέτωσαν αἱ πλευραὶ τῶν ΑΒΓ, ΑΔΕ τριγώνων, καὶ ἔστω ὡσ ἡ ΓΑ πρὸσ τὴν ΑΔ, οὕτωσ ἡ ΕΑ πρὸσ τὴν ΑΒ· λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΔΕ τριγώνῳ. Ἐπιζευχθείσησ γὰρ πάλιν τῆσ ΒΔ, ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ ΓΑ πρὸσ τὴν ΑΔ, οὕτωσ ἡ ΕΑ πρὸσ τὴν ΑΒ, ἀλλ’ ὡσ μὲν ἡ ΓΑ πρὸσ τὴν ΑΔ, οὕτωσ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΒΑΔ τρίγωνον, ὡσ δὲ ἡ ΕΑ πρὸσ τὴν ΑΒ, οὕτωσ τὸ ΕΑΔ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΒΑΔ τρίγωνον, ὡσ ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΒΑΔ τρίγωνον, οὕτωσ τὸ ΕΑΔ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΒΑΔ τρίγωνον. ἑκάτερον ἄρα τῶν ΑΒΓ, ΕΑΔ πρὸσ τὸ ΒΑΔ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον. ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ [τρίγωνον] τῷ ΕΑΔ τριγώνῳ. Τῶν ἄρα ἴσων καὶ μίαν μιᾷ ἴσην ἐχόντων γωνίαν τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ· καὶ ὧν μίαν μιᾷ ἴσην ἐχόντων γωνίαν τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ, ἐκεῖνα ἴσα ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν τέσσαρεσ εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ· κἂν τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ᾖ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ, αἱ τέσσαρεσ εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται. Ἔστωσαν τέσσαρεσ εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ ΑΒ, ΓΔ, Ε, Ζ, ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΓΔ, οὕτωσ ἡ Ε πρὸσ τὴν Ζ· λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, Ζ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΔ, Ε περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ. Ἤχθωσαν [γὰρ] ἀπὸ τῶν Α, Γ σημείων ταῖσ ΑΒ, ΓΔ εὐθείαισ πρὸσ ὀρθὰσ αἱ ΑΗ, ΓΘ, καὶ κείσθω τῇ μὲν Ζ ἴση ἡ ΑΓ, τῇ δὲ Ε ἴση ἡ ΓΘ. καὶ συμπεπληρώσθω τὰ ΒΗ, ΔΘ παραλληλόγραμμα. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΓΔ, οὕτωσ ἡ Ε πρὸσ τὴν Ζ, ἴση δὲ ἡ μὲν Ε τῇ ΓΘ, ἡ δὲ Ζ τῇ ΑΗ, ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΓΔ, οὕτωσ ἡ ΓΘ πρὸσ τὴν ΑΗ. τῶν ΒΗ, ΔΘ ἄρα παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ. ὧν δὲ ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΗ παραλληλόγραμμον τῷ ΔΘ παραλληλογράμμῳ. καί ἐστι τὸ μὲν ΒΗ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, Ζ· ἴση γὰρ ἡ ΑΗ τῇ Ζ· τὸ δὲ ΔΘ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, Ε· ἴση γὰρ ἡ Ε τῇ ΓΘ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒ, Ζ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΔ, Ε περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ. Ἀλλὰ δὴ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, Ζ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἔστω τῷ ὑπὸ τῶν ΓΔ, Ε περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ· λέγω, ὅτι αἱ τέσσαρεσ εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται, ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΓΔ, οὕτωσ ἡ Ε πρὸσ τὴν Ζ. Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, Ζ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΔ, Ε, καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΑΒ, Ζ τὸ ΒΗ· ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΑΗ τῇ Ζ· τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΓΔ, Ε τὸ ΔΘ· ἴση γὰρ ἡ ΓΘ τῇ Ε· τὸ ἄρα ΒΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ΔΘ. καί ἐστιν ἰσογώνια. τῶν δὲ ἴσων καὶ ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ. ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΓΔ, οὕτωσ ἡ ΓΘ πρὸσ τὴν ΑΗ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΓΘ τῇ Ε, ἡ δὲ ΑΗ τῇ Ζ· ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΓΔ, οὕτωσ ἡ Ε πρὸσ τὴν Ζ. Εἂν ἄρα τέσσαρεσ εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ· κἂν τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ᾖ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ, αἱ τέσσαρεσ εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν τρεῖσ εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ μέσησ τετραγώνῳ· κἂν τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ᾖ τῷ ἀπὸ τῆσ μέσησ τετραγώνῳ, αἱ τρεῖσ εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται. Ἔστωσαν τρεῖσ εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ Α, Β, Γ, ὡσ ἡ Α πρὸσ τὴν Β, οὕτωσ ἡ Β πρὸσ τὴν Γ· λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν Α, Γ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ Β τετραγώνῳ. Κείσθω τῇ Β ἴση ἡ Δ. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ Α πρὸσ τὴν Β, οὕτωσ ἡ Β πρὸσ τὴν Γ, ἴση δὲ ἡ Β τῇ Δ, ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ Α πρὸσ τὴν Β, ἡ Δ πρὸσ τὴν Γ. ἐὰν δὲ τέσσαρεσ εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον [ὀρθογώνιον] ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Γ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν Β, Δ. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ τῶν Β, Δ τὸ ἀπὸ τῆσ Β ἐστιν· ἴση γὰρ ἡ Β τῇ Δ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Γ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ Β τετραγώνῳ. Ἀλλὰ δὴ τὸ ὑπὸ τῶν Α, Γ ἴσον ἔστω τῷ ἀπὸ τῆσ Β· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡσ ἡ Α πρὸσ τὴν Β, οὕτωσ ἡ Β πρὸσ τὴν Γ. Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν Α, Γ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ Β, ἀλλὰ τὸ ἀπὸ τῆσ Β τὸ ὑπὸ τῶν Β, Δ ἐστιν· ἴση γὰρ ἡ Β τῇ Δ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Γ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν Β, Δ. ἐὰν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον ᾖ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων, αἱ τέσσαρεσ εὐθεῖαι ἀνάλογόν εἰσιν. ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ Α πρὸσ τὴν Β, οὕτωσ ἡ Δ πρὸσ τὴν Γ. ἴση δὲ ἡ Β τῇ Δ· ὡσ ἄρα ἡ Α πρὸσ τὴν Β, οὕτωσ ἡ Β πρὸσ τὴν Γ. Εἂν ἄρα τρεῖσ εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ μέσησ τετραγώνῳ· κἂν τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ᾖ τῷ ἀπὸ τῆσ μέσησ τετραγώνῳ, αἱ τρεῖσ εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἀπὸ τῆσ δοθείσησ εὐθείασ τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίωσ κείμενον εὐθύγραμμον ἀναγράψαι. Ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, τὸ δὲ δοθὲν εὐθύγραμμον τὸ ΓΕ· δεῖ δὴ ἀπὸ τῆσ ΑΒ εὐθείασ τῷ ΓΕ εὐθυγράμμῳ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίωσ κείμενον εὐθύγραμμον ἀναγράψαι. Ἐπεζεύχθω ἡ ΔΖ, καὶ συνεστάτω πρὸσ τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τοῖσ πρὸσ αὐτῇ σημείοισ τοῖσ Α, Β τῇ μὲν πρὸσ τῷ Γ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΗΑΒ, τῇ δὲ ὑπὸ ΓΔΖ ἴση ἡ ὑπὸ ΑΒΗ. λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΖΔ τῇ ὑπὸ ΑΗΒ ἐστιν ἴση· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΓΔ τρίγωνον τῷ ΗΑΒ τριγώνῳ. ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΖΔ πρὸσ τὴν ΗΒ, οὕτωσ ἡ ΖΓ πρὸσ τὴν ΗΑ, καὶ ἡ ΓΔ πρὸσ τὴν ΑΒ. πάλιν συνεστάτω πρὸσ τῇ ΒΗ εὐθείᾳ καὶ τοῖσ πρὸσ αὐτῇ σημείοισ τοῖσ Β, Η τῇ μὲν ὑπὸ ΔΖΕ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΗΘ, τῇ δὲ ὑπὸ ΖΔΕ ἴση ἡ ὑπὸ ΗΒΘ. λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸσ τῷ Ε λοιπῇ τῇ πρὸσ τῷ Θ ἐστιν ἴση· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΔΕ τρίγωνον τῷ ΗΘΒ τριγώνῳ· ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΖΔ πρὸσ τὴν ΗΒ, οὕτωσ ἡ ΖΕ πρὸσ τὴν ΗΘ καὶ ἡ ΕΔ πρὸσ τὴν ΘΒ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡσ ἡ ΖΔ πρὸσ τὴν ΗΒ, οὕτωσ ἡ ΖΓ πρὸσ τὴν ΗΑ καὶ ἡ ΓΔ πρὸσ τὴν ΑΒ· καὶ ὡσ ἄρα ἡ ΖΓ πρὸσ τὴν ΑΗ, οὕτωσ ἥ τε ΓΔ πρὸσ τὴν ΑΒ καὶ ἡ ΖΕ πρὸσ τὴν ΗΘ καὶ ἔτι ἡ ΕΔ πρὸσ τὴν ΘΒ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΓΖΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΗΒ, ἡ δὲ ὑπὸ ΔΖΕ τῇ ὑπὸ ΒΗΘ, ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΖΕ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΑΗΘ ἐστιν ἴση. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΔΕ τῇ ὑπὸ ΑΒΘ ἐστιν ἴση. ἔστι δὲ καὶ ἡ μὲν πρὸσ τῷ Γ τῇ πρὸσ τῷ Α ἴση, ἡ δὲ πρὸσ τῷ Ε τῇ πρὸσ τῷ Θ. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΘ τῷ ΓΕ· καὶ τὰσ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ αὐτῶν πλευρὰσ ἀνάλογον ἔχει· ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΘ εὐθύγραμμον τῷ ΓΕ εὐθυγράμμῳ. Ἀπὸ τῆσ δοθείσησ ἄρα εὐθείασ τῆσ ΑΒ τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ ΓΕ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίωσ κείμενον εὐθύγραμμον ἀναγέγραπται τὸ ΑΘ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. Τὰ ὅμοια τρίγωνα πρὸσ ἄλληλα ἐν διπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν. Ἔστω ὅμοια τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ ἴσην ἔχοντα τὴν πρὸσ τῷ Β γωνίαν τῇ πρὸσ τῷ Ε, ὡσ δὲ τὴν ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΓ, οὕτωσ τὴν ΔΕ πρὸσ τὴν ΕΖ, ὥστε ὁμόλογον εἶναι τὴν ΒΓ τῇ ΕΖ· λέγω, ὅτι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΕΖ. Εἰλήφθω γὰρ τῶν ΒΓ, ΕΖ τρίτη ἀνάλογον ἡ ΒΗ, ὥστε εἶναι ὡσ τὴν ΒΓ πρὸσ τὴν ΕΖ, οὕτωσ τὴν ΕΖ πρὸσ τὴν ΒΗ· καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΗ. Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΓ, οὕτωσ ἡ ΔΕ πρὸσ τὴν ΕΖ, ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΔΕ, οὕτωσ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΕΖ. ἀλλ’ ὡσ ἡ ΒΓ πρὸσ ΕΖ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΕΖ πρὸσ ΒΗ. καὶ ὡσ ἄρα ἡ ΑΒ πρὸσ ΔΕ, οὕτωσ ἡ ΕΖ πρὸσ ΒΗ· τῶν ΑΒΗ, ΔΕΖ ἄρα τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ. ὧν δὲ μίαν μιᾷ ἴσην ἐχόντων γωνίαν τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα. ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΗ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΕΖ, οὕτωσ ἡ ΕΖ πρὸσ τὴν ΒΗ, ἐὰν δὲ τρεῖσ εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, ἡ πρώτη πρὸσ τὴν τρίτην διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸσ τὴν δευτέραν, ἡ ΒΓ ἄρα πρὸσ τὴν ΒΗ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΒ πρὸσ τὴν ΕΖ. ὡσ δὲ ἡ ΓΒ πρὸσ τὴν ΒΗ, οὕτωσ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΑΒΗ τρίγωνον· καὶ τὸ ΑΒΓ ἄρα τρίγωνον πρὸσ τὸ ΑΒΗ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΕΖ. ἴσον δὲ τὸ ΑΒΗ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ· καὶ τὸ ΑΒΓ ἄρα τρίγωνον πρὸσ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΕΖ. Τὰ ἄρα ὅμοια τρίγωνα πρὸσ ἄλληλα ἐν διπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν· [ὅπερ ἔδει δεῖξαι]. Πόρισμα Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι, ἐὰν τρεῖσ εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, ἔστιν ὡσ ἡ πρώτη πρὸσ τὴν τρίτην, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ πρώτησ εἶδοσ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ δευτέρασ τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίωσ ἀναγραφόμενον [ἐπείπερ ἐδείχθη, ὡσ ἡ ΓΒ πρὸσ ΒΗ, οὕτωσ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΑΒΗ τρίγωνον, τουτέστι τὸ ΔΕΖ]· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τὰ ὅμοια πολύγωνα εἴσ τε ὅμοια τρίγωνα διαιρεῖται καὶ εἰσ ἴσα τὸ πλῆθοσ καὶ ὁμόλογα τοῖσ ὅλοισ, καὶ τὸ πολύγωνον πρὸσ τὸ πολύγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογοσ πλευρὰ πρὸσ τὴν ὁμόλογον πλευράν. Ἔστω ὅμοια πολύγωνα τὰ ΑΒΓΔΕ, ΖΗΘΚΛ, ὁμόλογοσ δὲ ἔστω ἡ ΑΒ τῇ ΖΗ· λέγω, ὅτι τὰ ΑΒΓΔΕ, ΖΗΘΚΛ πολύγωνα εἴσ τε ὅμοια τρίγωνα διαιρεῖται καὶ εἰσ ἴσα τὸ πλῆθοσ καὶ ὁμόλογα τοῖσ ὅλοισ, καὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον πρὸσ τὸ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΖΗ. Ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΕ, ΕΓ, ΗΛ, ΛΘ. Καὶ ἐπεὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον τῷ ΖΗΘΚΛ πολυγώνῳ, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΖΛ. καί ἐστιν ὡσ ἡ ΒΑ πρὸσ ΑΕ, οὕτωσ ἡ ΗΖ πρὸσ ΖΛ. ἐπεὶ οὖν δύο τρίγωνά ἐστι τὰ ΑΒΕ, ΖΗΛ μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχοντα, περὶ δὲ τὰσ ἴσασ γωνίασ τὰσ πλευρὰσ ἀνάλογον, ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΖΗΛ τριγώνῳ· ὥστε καὶ ὅμοιον· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΗΛ. ἔστι δὲ καὶ ὅλη ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΖΗΘ ἴση διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν πολυγώνων· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΛΗΘ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΑΒΕ, ΖΗΛ τριγώνων ἐστὶν ὡσ ἡ ΕΒ πρὸσ ΒΑ, οὕτωσ ἡ ΛΗ πρὸσ ΗΖ, ἀλλὰ μὴν καὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν πολυγώνων ἐστὶν ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ ΒΓ, οὕτωσ ἡ ΖΗ πρὸσ ΗΘ, δι’ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΕΒ πρὸσ ΒΓ, οὕτωσ ἡ ΛΗ πρὸσ ΗΘ, καὶ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ τὰσ ὑπὸ ΕΒΓ, ΛΗΘ αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΒΓ τρίγωνον τῷ ΛΗΘ τριγώνῳ· ὥστε καὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΕΒΓ τρίγωνον τῷ ΛΗΘ τριγώνῳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΕΓΔ τρίγωνον ὅμοιόν ἐστι τῷ ΛΘΚ τριγώνῳ. τὰ ἄρα ὅμοια πολύγωνα τὰ ΑΒΓΔΕ, ΖΗΘΚΛ εἴσ τε ὅμοια τρίγωνα διῄρηται καὶ εἰσ ἴσα τὸ πλῆθοσ. Λέγω, ὅτι καὶ ὁμόλογα τοῖσ ὅλοισ, τουτέστιν ὥστε ἀνάλογον εἶναι τὰ τρίγωνα, καὶ ἡγούμενα μὲν εἶναι τὰ ΑΒΕ, ΕΒΓ, ΕΓΔ, ἑπόμενα δὲ αὐτῶν τὰ ΖΗΛ, ΛΗΘ, ΛΘΚ, καὶ ὅτι τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον πρὸσ τὸ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογοσ πλευρὰ πρὸσ τὴν ὁμόλογον πλευράν, τουτέστιν ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΖΗ. Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΓ, ΖΘ. καὶ ἐπεὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν πολυγώνων ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΗΘ, καί ἐστιν ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ ΒΓ, οὕτωσ ἡ ΖΗ πρὸσ ΗΘ, ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΖΗΘ τριγώνῳ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΖΘ, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΓΑ τῇ ὑπὸ ΗΘΖ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΜ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΖΝ, ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΜ τῇ ὑπὸ ΖΗΝ ἴση, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΜΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΖΝΗ ἴση ἐστίν· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΜ τρίγωνον τῷ ΖΗΝ τριγώνῳ. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τὸ ΒΜΓ τρίγωνον ἰσογώνιόν ἐστι τῷ ΗΝΘ τριγώνῳ. ἀνάλογον ἄρα ἐστίν, ὡσ μὲν ἡ ΑΜ πρὸσ ΜΒ, οὕτωσ ἡ ΖΝ πρὸσ ΝΗ, ὡσ δὲ ἡ ΒΜ πρὸσ ΜΓ, οὕτωσ ἡ ΗΝ πρὸσ ΝΘ· ὥστε καὶ δι’ ἴσου, ὡσ ἡ ΑΜ πρὸσ ΜΓ, οὕτωσ ἡ ΖΝ πρὸσ ΝΘ. ἀλλ’ ὡσ ἡ ΑΜ πρὸσ ΜΓ, οὕτωσ τὸ ΑΒΜ [τρίγωνον] πρὸσ τὸ ΜΒΓ, καὶ τὸ ΑΜΕ πρὸσ τὸ ΕΜΓ· πρὸσ ἄλληλα γάρ εἰσιν ὡσ αἱ βάσεισ. καὶ ὡσ ἄρα ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸσ ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτωσ ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸσ ἅπαντα τὰ ἑπόμενα· ὡσ ἄρα τὸ ΑΜΒ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΒΜΓ, οὕτωσ τὸ ΑΒΕ πρὸσ τὸ ΓΒΕ. ἀλλ’ ὡσ τὸ ΑΜΒ πρὸσ τὸ ΒΜΓ, οὕτωσ ἡ ΑΜ πρὸσ ΜΓ· καὶ ὡσ ἄρα ἡ ΑΜ πρὸσ ΜΓ, οὕτωσ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΕΒΓ τρίγωνον. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡσ ἡ ΖΝ πρὸσ ΝΘ, οὕτωσ τὸ ΖΗΛ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΗΛΘ τρίγωνον. καί ἐστιν ὡσ ἡ ΑΜ πρὸσ ΜΓ, οὕτωσ ἡ ΖΝ πρὸσ ΝΘ· καὶ ὡσ ἄρα τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΒΕΓ τρίγωνον, οὕτωσ τὸ ΖΗΛ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΗΛΘ τρίγωνον, καὶ ἐναλλὰξ, ὡσ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΖΗΛ τρίγωνον, οὕτωσ τὸ ΒΕΓ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΗΛΘ τρίγωνον. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν ἐπιζευχθεισῶν τῶν ΒΔ, ΗΚ, ὅτι καὶ ὡσ τὸ ΒΕΓ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΛΗΘ τρίγωνον, οὕτωσ τὸ ΕΓΔ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΛΘΚ τρίγωνον. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΖΗΛ τρίγωνον, οὕτωσ τὸ ΕΒΓ πρὸσ τὸ ΛΗΘ, καὶ ἔτι τὸ ΕΓΔ πρὸσ τὸ ΛΘΚ, καὶ ὡσ ἄρα ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸσ ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτωσ ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸσ ἅπαντα τὰ ἑπόμενα· ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΖΗΛ τρίγωνον, οὕτωσ τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον πρὸσ τὸ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον. ἀλλὰ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΖΗΛ τρίγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ ὁμόλογοσ πλευρὰ πρὸσ τὴν ΖΗ ὁμόλογον πλευράν· τὰ γὰρ ὅμοια τρίγωνα ἐν διπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν. καὶ τὸ ΑΒΓΔΕ ἄρα πολύγωνον πρὸσ τὸ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ ὁμόλογοσ πλευρὰ πρὸσ τὴν ΖΗ ὁμόλογον πλευράν. Τὰ ἄρα ὅμοια πολύγωνα εἴσ τε ὅμοια τρίγωνα διαιρεῖται καὶ εἰσ ἴσα τὸ πλῆθοσ καὶ ὁμόλογα τοῖσ ὅλοισ, καὶ τὸ πολύγωνον πρὸσ τὸ πολύγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογοσ πλευρὰ πρὸσ τὴν ὁμόλογον πλευράν· [ὅπερ ἔδει δεῖξαι]. Πόρισμα Ὡσαύτωσ δὲ καὶ ἐπὶ τῶν [ὁμοίων] τετραπλεύρων δειχθήσεται, ὅτι ἐν διπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν. ἐδείχθη δὲ καὶ ἐπὶ τῶν τριγώνων· ὥστε καὶ καθόλου τὰ ὅμοια εὐθύγραμμα σχήματα πρὸσ ἄλληλα ἐν διπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν. ὅπερ ἔδει δεῖξαι. [Πόρισμα β# Καὶ ἐὰν τῶν ΑΒ, ΖΗ τρίτην ἀνάλογον λάβωμεν τὴν Ξ, ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν Ξ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΖΗ. ἔχει δὲ καὶ τὸ πολύγωνον πρὸσ τὸ πολύγωνον ἢ τὸ τετράπλευρον πρὸσ τὸ τετράπλευρον διπλασίονα λόγον ἤπερ ἡ ὁμόλογοσ πλευρὰ πρὸσ τὴν ὁμόλογον πλευράν, τουτέστιν ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΖΗ· ἐδείχθη δὲ τοῦτο καὶ ἐπὶ τῶν τριγώνων· ὥστε καὶ καθόλου φανερόν, ὅτι, ἐὰν τρεῖσ εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, ἔσται ὡσ ἡ πρώτη πρὸσ τὴν τρίτην, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ πρώτησ εἶδοσ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ δευτέρασ τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίωσ ἀναγραφόμενον. ] Τὰ τῷ αὐτῷ εὐθυγράμμῳ ὅμοια καὶ ἀλλήλοισ ἐστὶν ὅμοια. Ἔστω γὰρ ἑκάτερον τῶν Α, Β εὐθυγράμμων τῷ Γ ὅμοιον· λέγω, ὅτι καὶ τὸ Α τῷ Β ἐστιν ὅμοιον. Ἐπεὶ γὰρ ὅμοιόν ἐστι τὸ Α τῷ Γ, ἰσογώνιόν τέ ἐστιν αὐτῷ καὶ τὰσ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ πλευρὰσ ἀνάλογον ἔχει. πάλιν, ἐπεὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ Β τῷ Γ, ἰσογώνιόν τέ ἐστιν αὐτῷ καὶ τὰσ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ πλευρὰσ ἀνάλογον ἔχει. ἑκάτερον ἄρα τῶν Α, Β τῷ Γ ἰσογώνιόν τέ ἐστι καὶ τὰσ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ πλευρὰσ ἀνάλογον ἔχει [ὥστε καὶ τὸ Α τῷ Β ἰσογώνιόν τέ ἐστι καὶ τὰσ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ πλευρὰσ ἀνάλογον ἔχει]. ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ Α τῷ Β· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν τέσσαρεσ εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, καὶ τὰ ἀπ’ αὐτῶν εὐθύγραμμα ὅμοιά τε καὶ ὁμοίωσ ἀναγεγραμμένα ἀνάλογον ἔσται· κἂν τὰ ἀπ’ αὐτῶν εὐθύγραμμα ὅμοιά τε καὶ ὁμοίωσ ἀναγεγραμμένα ἀνάλογον ᾖ, καὶ αὐταὶ αἱ εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται. Ἔστωσαν τέσσαρεσ εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ, ΗΘ, ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΓΔ, οὕτωσ ἡ ΕΖ πρὸσ τὴν ΗΘ, καὶ ἀναγεγράφθωσαν ἀπὸ μὲν τῶν ΑΒ, ΓΔ ὅμοιά τε καὶ ὁμοίωσ κείμενα εὐθύγραμμα τὰ ΚΑΒ, ΛΓΔ, ἀπὸ δὲ τῶν ΕΖ, ΗΘ ὅμοιά τε καὶ ὁμοίωσ κείμενα εὐθύγραμμα τὰ ΜΖ, ΝΘ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡσ τὸ ΚΑΒ πρὸσ τὸ ΛΓΔ, οὕτωσ τὸ ΜΖ πρὸσ τὸ ΝΘ. Εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν ΑΒ, ΓΔ τρίτη ἀνάλογον ἡ Ξ, τῶν δὲ ΕΖ, ΗΘ τρίτη ἀνάλογον ἡ Ο. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ μὲν ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΓΔ, οὕτωσ ἡ ΕΖ πρὸσ τὴν ΗΘ, ὡσ δὲ ἡ ΓΔ πρὸσ τὴν Ξ, οὕτωσ ἡ ΗΘ πρὸσ τὴν Ο, δι’ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν Ξ, οὕτωσ ἡ ΕΖ πρὸσ τὴν Ο. ἀλλ’ ὡσ μὲν ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν Ξ, οὕτωσ [καὶ] τὸ ΚΑΒ πρὸσ τὸ ΛΓΔ, ὡσ δὲ ἡ ΕΖ πρὸσ τὴν Ο, οὕτωσ τὸ ΜΖ πρὸσ τὸ ΝΘ· καὶ ὡσ ἄρα τὸ ΚΑΒ πρὸσ τὸ ΛΓΔ, οὕτωσ τὸ ΜΖ πρὸσ τὸ ΝΘ. Ἀλλὰ δὴ ἔστω ὡσ τὸ ΚΑΒ πρὸσ τὸ ΛΓΔ, οὕτωσ τὸ ΜΖ πρὸσ τὸ ΝΘ· λέγω, ὅτι ἐστὶ καὶ ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΓΔ, οὕτωσ ἡ ΕΖ πρὸσ τὴν ΗΘ. εἰ γὰρ μή ἐστιν, ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΓΔ, οὕτωσ ἡ ΕΖ πρὸσ τὴν ΗΘ, ἔστω ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΓΔ, οὕτωσ ἡ ΕΖ πρὸσ τὴν ΠΡ, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆσ ΠΡ ὁποτέρῳ τῶν ΜΖ, ΝΘ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίωσ κείμενον εὐθύγραμμον τὸ ΣΡ. Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΓΔ, οὕτωσ ἡ ΕΖ πρὸσ τὴν ΠΡ, καὶ ἀναγέγραπται ἀπὸ μὲν τῶν ΑΒ, ΓΔ ὅμοιά τε καὶ ὁμοίωσ κείμενα τὰ ΚΑΒ, ΛΓΔ, ἀπὸ δὲ τῶν ΕΖ, ΠΡ ὅμοιά τε καὶ ὁμοίωσ κείμενα τὰ ΜΖ, ΣΡ, ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ ΚΑΒ πρὸσ τὸ ΛΓΔ, οὕτωσ τὸ ΜΖ πρὸσ τὸ ΣΡ. ὑπόκειται δὲ καὶ ὡσ τὸ ΚΑΒ πρὸσ τὸ ΛΓΔ, οὕτωσ τὸ ΜΖ πρὸσ τὸ ΝΘ· καὶ ὡσ ἄρα τὸ ΜΖ πρὸσ τὸ ΣΡ, οὕτωσ τὸ ΜΖ πρὸσ τὸ ΝΘ. τὸ ΜΖ ἄρα πρὸσ ἑκάτερον τῶν ΝΘ, ΣΡ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΝΘ τῷ ΣΡ. ἔστι δὲ αὐτῷ καὶ ὅμοιον καὶ ὁμοίωσ κείμενον· ἴση ἄρα ἡ ΗΘ τῇ ΠΡ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΓΔ, οὕτωσ ἡ ΕΖ πρὸσ τὴν ΠΡ, ἴση δὲ ἡ ΠΡ τῇ ΗΘ, ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΓΔ, οὕτωσ ἡ ΕΖ πρὸσ τὴν ΗΘ. Εἂν ἄρα τέσσαρεσ εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, καὶ τὰ ἀπ’ αὐτῶν εὐθύγραμμα ὅμοιά τε καὶ ὁμοίωσ ἀναγεγραμμένα ἀνάλογον ἔσται· κἂν τὰ ἀπ’ αὐτῶν εὐθύγραμμα ὅμοιά τε καὶ ὁμοίωσ ἀναγεγραμμένα ἀνάλογον ᾖ, καὶ αὐταὶ αἱ εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. [Λῆμμα] [Ὅτι δέ, ἐὰν εὐθύγραμμα ἴσα ᾖ καὶ ὅμοια, αἱ ὁμόλογοι αὐτῶν πλευραὶ ἴσαι ἀλλήλαισ εἰσίν, δείξομεν οὕτωσ. Ἔστω ἴσα καὶ ὅμοια εὐθύγραμμα τὰ ΝΘ, ΣΡ, καὶ ἔστω ὡσ ἡ ΘΗ πρὸσ τὴν ΗΝ, οὕτωσ ἡ ΡΠ πρὸσ τὴν ΠΣ· λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΡΠ τῇ ΘΗ. Εἰ γὰρ ἄνισοί εἰσιν, μία αὐτῶν μείζων ἐστίν. ἔστω μείζων ἡ ΡΠ τῆσ ΘΗ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ ΡΠ πρὸσ ΠΣ, οὕτωσ ἡ ΘΗ πρὸσ τὴν ΗΝ, καὶ ἐναλλάξ, ὡσ ἡ ΡΠ πρὸσ τὴν ΘΗ, οὕτωσ ἡ ΠΣ πρὸσ τὴν ΗΝ, μείζων δὲ ἡ ΠΡ τῆσ ΘΗ, μείζων ἄρα καὶ ἡ ΠΣ τῆσ ΗΝ· ὥστε καὶ τὸ ΡΣ μεῖζόν ἐστι τοῦ ΘΝ. ἀλλὰ καὶ ἴσον· ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἄνισόσ ἐστιν ἡ ΠΡ τῇ ΗΘ· ἴση ἄρα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ] Τὰ ἰσογώνια παραλληλόγραμμα πρὸσ ἄλληλα λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν. Ἔστω ἰσογώνια παραλληλόγραμμα τὰ ΑΓ, ΓΖ ἴσην ἔχοντα τὴν ὑπὸ ΒΓΔ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΕΓΗ· λέγω, ὅτι τὸ ΑΓ παραλληλόγραμμον πρὸσ τὸ ΓΖ παραλληλόγραμμον λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν. Κείσθω γὰρ ὥστε ἐπ’ εὐθείασ εἶναι τὴν ΒΓ τῇ ΓΗ· ἐπ’ εὐθείασ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΓ τῇ ΓΕ. καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΔΗ παραλληλόγραμμον, καὶ ἐκκείσθω τισ εὐθεῖα ἡ Κ, καὶ γεγονέτω ὡσ μὲν ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΓΗ, οὕτωσ ἡ Κ πρὸσ τὴν Λ, ὡσ δὲ ἡ ΔΓ πρὸσ τὴν ΓΕ, οὕτωσ ἡ Λ πρὸσ τὴν Μ. Οἱ ἄρα λόγοι τῆσ τε Κ πρὸσ τὴν Λ καὶ τῆσ Λ πρὸσ τὴν Μ οἱ αὐτοί εἰσι τοῖσ λόγοισ τῶν πλευρῶν, τῆσ τε ΒΓ πρὸσ τὴν ΓΗ καὶ τῆσ ΔΓ πρὸσ τὴν ΓΕ. ἀλλ’ ὁ τῆσ Κ πρὸσ Μ λόγοσ σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆσ Κ πρὸσ Λ λόγου καὶ τοῦ τῆσ Λ πρὸσ Μ· ὥστε καὶ ἡ Κ πρὸσ τὴν Μ λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΓΗ, οὕτωσ τὸ ΑΓ παραλληλόγραμμον πρὸσ τὸ ΓΘ, ἀλλ’ ὡσ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΓΗ, οὕτωσ ἡ Κ πρὸσ τὴν Λ, καὶ ὡσ ἄρα ἡ Κ πρὸσ τὴν Λ, οὕτωσ τὸ ΑΓ πρὸσ τὸ ΓΘ. πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ ΔΓ πρὸσ τὴν ΓΕ, οὕτωσ τὸ ΓΘ παραλληλόγραμμον πρὸσ τὸ ΓΖ, ἀλλ’ ὡσ ἡ ΔΓ πρὸσ τὴν ΓΕ, οὕτωσ ἡ Λ πρὸσ τὴν Μ, καὶ ὡσ ἄρα ἡ Λ πρὸσ τὴν Μ, οὕτωσ τὸ ΓΘ παραλληλόγραμμον πρὸσ τὸ ΓΖ παραλληλόγραμμον. ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη, ὡσ μὲν ἡ Κ πρὸσ τὴν Λ, οὕτωσ τὸ ΑΓ παραλληλόγραμμον πρὸσ τὸ ΓΘ παραλληλόγραμμον, ὡσ δὲ ἡ Λ πρὸσ τὴν Μ, οὕτωσ τὸ ΓΘ παραλληλόγραμμον πρὸσ τὸ ΓΖ παραλληλόγραμμον, δι’ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ Κ πρὸσ τὴν Μ, οὕτωσ τὸ ΑΓ πρὸσ τὸ ΓΖ παραλληλόγραμμον. ἡ δὲ Κ πρὸσ τὴν Μ λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν· καὶ τὸ ΑΓ ἄρα πρὸσ τὸ ΓΖ λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν. Τὰ ἄρα ἰσογώνια παραλληλόγραμμα πρὸσ ἄλληλα λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Παντὸσ παραλληλογράμμου τὰ περὶ τὴν διάμετρον παραλληλόγραμμα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ καὶ ἀλλήλοισ. Ἔστω παραλληλόγραμμον τὸ ΑΒΓΔ, διάμετροσ δὲ αὐτοῦ ἡ ΑΓ, περὶ δὲ τὴν ΑΓ παραλληλόγραμμα ἔστω τὰ ΕΗ, ΘΚ· λέγω, ὅτι ἑκάτερον τῶν ΕΗ, ΘΚ παραλληλογράμμων ὅμοιόν ἐστι ὅλῳ τῷ ΑΒΓΔ καὶ ἀλλήλοισ. Ἐπεὶ γὰρ τριγώνου τοῦ ΑΒΓ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΒΓ ἦκται ἡ ΕΖ, ἀνάλογόν ἐστιν ὡσ ἡ ΒΕ πρὸσ τὴν ΕΑ, οὕτωσ, ἡ ΓΖ πρὸσ τὴν ΖΑ. πάλιν, ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΑΓΔ παρὰ μίαν τὴν ΓΔ ἦκται ἡ ΖΗ, ἀνάλογόν ἐστιν ὡσ ἡ ΓΖ πρὸσ τὴν ΖΑ, οὕτωσ ἡ ΔΗ πρὸσ τὴν ΗΑ. ἀλλ’ ὡσ ἡ ΓΖ πρὸσ τὴν ΖΑ, οὕτωσ ἐδείχθη καὶ ἡ ΒΕ πρὸσ τὴν ΕΑ· καὶ ὡσ ἄρα ἡ ΒΕ πρὸσ τὴν ΕΑ, οὕτωσ ἡ ΔΗ πρὸσ τὴν ΗΑ, καὶ συνθέντι ἄρα ὡσ ἡ ΒΑ πρὸσ ΑΕ, οὕτωσ ἡ ΔΑ πρὸσ ΑΗ, καὶ ἐναλλὰξ ὡσ ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΔ, οὕτωσ ἡ ΕΑ πρὸσ τὴν ΑΗ. τῶν ἄρα ΑΒΓΔ, ΕΗ παραλληλογράμμων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὴν κοινὴν γωνίαν τὴν ὑπὸ ΒΑΔ. καὶ ἐπεὶ παράλληλόσ ἐστιν ἡ ΗΖ τῇ ΔΓ, ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΑΖΗ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΓΑ· καὶ κοινὴ τῶν δύο τριγώνων τῶν ΑΔΓ, ΑΗΖ ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνία· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔΓ τρίγωνον τῷ ΑΗΖ τριγώνῳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΑΓΒ τρίγωνον ἰσογώνιόν ἐστι τῷ ΑΖΕ τριγώνῳ, καὶ ὅλον τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον τῷ ΕΗ παραλληλογράμμῳ ἰσογώνιόν ἐστιν. ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΑΔ πρὸσ τὴν ΔΓ, οὕτωσ ἡ ΑΗ πρὸσ τὴν ΗΖ, ὡσ δὲ ἡ ΔΓ πρὸσ τὴν ΓΑ, οὕτωσ ἡ ΗΖ πρὸσ τὴν ΖΑ, ὡσ δὲ ἡ ΑΓ πρὸσ τὴν ΓΒ, οὕτωσ ἡ ΑΖ πρὸσ τὴν ΖΕ, καὶ ἔτι ὡσ ἡ ΓΒ πρὸσ τὴν ΒΑ, οὕτωσ ἡ ΖΕ πρὸσ τὴν ΕΑ. καὶ ἐπεὶ ἐδείχθη ὡσ μὲν ἡ ΔΓ πρὸσ τὴν ΓΑ, οὕτωσ ἡ ΗΖ πρὸσ τὴν ΖΑ, ὡσ δὲ ἡ ΑΓ πρὸσ τὴν ΓΒ, οὕτωσ ἡ ΑΖ πρὸσ τὴν ΖΕ, δι’ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΔΓ πρὸσ τὴν ΓΒ, οὕτωσ ἡ ΗΖ πρὸσ τὴν ΖΕ. τῶν ἄρα ΑΒΓΔ, ΕΗ παραλληλογράμμων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ· ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον τῷ ΕΗ παραλληλογράμμῳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον καὶ τῷ ΚΘ παραλληλογράμμῳ ὅμοιόν ἐστιν· ἑκάτερον ἄρα τῶν ΕΗ, ΘΚ παραλληλογράμμων τῷ ΑΒΓΔ [παραλληλογράμμῳ] ὅμοιόν ἐστιν. τὰ δὲ τῷ αὐτῷ εὐθυγράμμῳ ὅμοια καὶ ἀλλήλοισ ἐστὶν ὅμοια· καὶ τὸ ΕΗ ἄρα παραλληλόγραμμον τῷ ΘΚ παραλληλογράμμῳ ὅμοιόν ἐστιν. Παντὸσ ἄρα παραλληλογράμμου τὰ περὶ τὴν διάμετρον παραλληλόγραμμα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ καὶ ἀλλήλοισ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ὅμοιον καὶ ἄλλῳ τῷ δοθέντι ἴσον τὸ αὐτὸ συστήσασθαι. Ἔστω τὸ μὲν δοθὲν εὐθύγραμμον, ᾧ δεῖ ὅμοιον συστήσασθαι, τὸ ΑΒΓ, ᾧ δὲ δεῖ ἴσον, τὸ Δ· δεῖ δὴ τῷ μὲν ΑΒΓ ὅμοιον, τῷ δὲ Δ ἴσον τὸ αὐτὸ συστήσασθαι. Παραβεβλήσθω γὰρ παρὰ μὲν τὴν ΒΓ τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΒΕ, παρὰ δὲ τὴν ΓΕ τῷ Δ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΓΜ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΓΕ, ἥ ἐστιν ἴση τῇ ὑπὸ ΓΒΛ. ἐπ’ εὐθείασ ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΒΓ τῇ ΓΖ, ἡ δὲ ΛΕ τῇ ΕΜ. καὶ εἰλήφθω τῶν ΒΓ, ΓΖ μέση ἀνάλογον ἡ ΗΘ, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆσ ΗΘ τῷ ΑΒΓ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίωσ κείμενον τὸ ΚΗΘ. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΗΘ, οὕτωσ ἡ ΗΘ πρὸσ τὴν ΓΖ, ἐὰν δὲ τρεῖσ εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, ἔστιν ὡσ ἡ πρώτη πρὸσ τὴν τρίτην, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ πρώτησ εἶδοσ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ δευτέρασ τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίωσ ἀναγραφόμενον, ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΓΖ, οὕτωσ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΚΗΘ τρίγωνον. ἀλλὰ καὶ ὡσ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΓΖ, οὕτωσ τὸ ΒΕ παραλληλόγραμμον πρὸσ τὸ ΕΖ παραλληλόγραμμον. καὶ ὡσ ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΚΗΘ τρίγωνον, οὕτωσ τὸ ΒΕ παραλληλόγραμμον πρὸσ τὸ ΕΖ παραλληλόγραμμον· ἐναλλὰξ ἄρα ὡσ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΒΕ παραλληλόγραμμον, οὕτωσ τὸ ΚΗΘ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΕΖ παραλληλόγραμμον. ἴσον δὲ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΒΕ παραλληλογράμμῳ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ΚΗΘ τρίγωνον τῷ ΕΖ παραλληλογράμμῳ. ἀλλὰ τὸ ΕΖ παραλληλόγραμμον τῷ Δ ἐστιν ἴσον· καὶ τὸ ΚΗΘ ἄρα τῷ Δ ἐστιν ἴσον. ἔστι δὲ τὸ ΚΗΘ καὶ τῷ ΑΒΓ ὅμοιον. Τῷ ἄρα δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ ΑΒΓ ὅμοιον καὶ ἄλλῳ τῷ δοθέντι τῷ Δ ἴσον τὸ αὐτὸ συνέσταται τὸ ΚΗΘ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. Εἂν ἀπὸ παραλληλογράμμου παραλληλόγραμμον ἀφαιρεθῇ ὅμοιόν τε τῷ ὅλῳ καὶ ὁμοίωσ κείμενον κοινὴν γωνίαν ἔχον αὐτῷ, περὶ τὴν αὐτὴν διάμετρόν ἐστι τῷ ὅλῳ. Ἀπὸ γὰρ παραλληλογράμμου τοῦ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον ἀφῃρήσθω τὸ ΑΖ ὅμοιον τῷ ΑΒΓΔ καὶ ὁμοίωσ κείμενον κοινὴν γωνίαν ἔχον αὐτῷ τὴν ὑπὸ ΔΑΒ· λέγω, ὅτι περὶ τὴν αὐτὴν διάμετρόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ τῷ ΑΖ. Μὴ γάρ, ἀλλ’ εἰ δυνατόν, ἔστω [αὐτῶν] διάμετροσ ἡ ΑΘΓ, καὶ ἐκβληθεῖσα ἡ ΗΖ διήχθω ἐπὶ τὸ Θ, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Θ ὁποτέρᾳ τῶν ΑΔ, ΒΓ παράλληλοσ ἡ ΘΚ. Ἐπεὶ οὖν περὶ τὴν αὐτὴν διάμετρόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ τῷ ΚΗ, ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΔΑ πρὸσ τὴν ΑΒ, οὕτωσ ἡ ΗΑ πρὸσ τὴν ΑΚ. ἔστι δὲ καὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΑΒΓΔ, ΕΗ καὶ ὡσ ἡ ΔΑ πρὸσ τὴν ΑΒ, οὕτωσ ἡ ΗΑ πρὸσ τὴν ΑΕ· καὶ ὡσ ἄρα ἡ ΗΑ πρὸσ τὴν ΑΚ, οὕτωσ ἡ ΗΑ πρὸσ τὴν ΑΕ. ἡ ΗΑ ἄρα πρὸσ ἑκατέραν τῶν ΑΚ, ΑΕ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΑΚ ἡ ἐλάττων τῇ μείζονι· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα οὔκ ἐστι περὶ τὴν αὐτὴν διάμετρον τὸ ΑΒΓΔ τῷ ΑΖ· περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα ἐστὶ διάμετρον τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον τῷ ΑΖ παραλληλογράμμῳ. Εἂν ἄρα ἀπὸ παραλληλογράμμου παραλληλόγραμμον ἀφαιρεθῇ ὅμοιόν τε τῷ ὅλῳ καὶ ὁμοίωσ κείμενον κοινὴν γωνίαν ἔχον αὐτῷ, περὶ τὴν αὐτὴν διάμετρόν ἐστι τῷ ὅλῳ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Πάντων τῶν παρὰ τὴν αὐτὴν εὐθεῖαν παραβαλλομένων παραλληλογράμμων καὶ ἐλλειπόντων εἴδεσι παραλληλογράμμοισ ὁμοίοισ τε καὶ ὁμοίωσ κειμένοισ τῷ ἀπὸ τῆσ ἡμισείασ ἀναγραφομένῳ μέγιστόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ἡμισείασ παραβαλλόμενον [παραλληλόγραμμον] ὅμοιον ὂν τῷ ἐλλείμματι. Ἔστω εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Γ, καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν τὸ ΑΔ παραλληλόγραμμον ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ τῷ ΔΒ ἀναγραφέντι ἀπὸ τῆσ ἡμισείασ τῆσ ΑΒ, τουτέστι τῆσ ΓΒ· λέγω, ὅτι πάντων τῶν παρὰ τὴν ΑΒ παραβαλλομένων παραλληλογράμμων καὶ ἐλλειπόντων εἴδεσι [παραλληλογράμμοισ] ὁμοίοισ τε καὶ ὁμοίωσ κειμένοισ τῷ ΔΒ μέγιστόν ἐστι τὸ ΑΔ. παραβεβλήσθω γὰρ παρὰ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν τὸ ΑΖ παραλληλόγραμμον ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ τῷ ΖΒ ὁμοίῳ τε καὶ ὁμοίωσ κειμένῳ τῷ ΔΒ· λέγω, ὅτι μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΔ τοῦ ΑΖ. Ἐπεὶ γὰρ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΔΒ παραλληλόγραμμον τῷ ΖΒ παραλληλογράμμῳ, περὶ τὴν αὐτήν εἰσι διάμετρον. ἤχθω αὐτῶν διάμετροσ ἡ ΔΒ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα. Ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΖ τῷ ΖΕ, κοινὸν δὲ τὸ ΖΒ, ὅλον ἄρα τὸ ΓΘ ὅλῳ τῷ ΚΕ ἐστιν ἴσον. ἀλλὰ τὸ ΓΘ τῷ ΓΗ ἐστιν ἴσον, ἐπεὶ καὶ ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ. καὶ τὸ ΗΓ ἄρα τῷ ΕΚ ἐστιν ἴσον. κοινὸν προσκείσθω τὸ ΓΖ· ὅλον ἄρα τὸ ΑΖ τῷ ΛΜΝ γνώμονί ἐστιν ἴσον· ὥστε τὸ ΔΒ παραλληλόγραμμον, τουτέστι τὸ ΑΔ, τοῦ ΑΖ παραλληλογράμμου μεῖζόν ἐστιν. Πάντων ἄρα τῶν παρὰ τὴν αὐτὴν εὐθεῖαν παραβαλλομένων παραλληλογράμμων καὶ ἐλλειπόντων εἴδεσι παραλληλογράμμοισ ὁμοίοισ τε καὶ ὁμοίωσ κειμένοισ τῷ ἀπὸ τῆσ ἡμισείασ ἀναγραφομένῳ μέγιστόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ἡμισείασ παραβληθέν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ ὁμοίῳ τῷ δοθέντι· δεῖ δὲ τὸ διδόμενον εὐθύγραμμον [ᾧ δεῖ ἴσον παραβαλεῖν] μὴ μεῖζον εἶναι τοῦ ἀπὸ τῆσ ἡμισείασ ἀναγραφομένου ὁμοίου τῷ ἐλλείμματι [τοῦ τε ἀπὸ τῆσ ἡμισείασ καὶ ᾧ δεῖ ὅμοιον ἐλλείπειν]. Ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, τὸ δὲ δοθὲν εὐθύγραμμον, ᾧ δεῖ ἴσον παρὰ τὴν ΑΒ παραβαλεῖν, τὸ Γ μὴ μεῖζον [ὂν] τοῦ ἀπὸ τῆσ ἡμισείασ τῆσ ΑΒ ἀναγραφομένου ὁμοίου τῷ ἐλλείμματι, ᾧ δὲ δεῖ ὅμοιον ἐλλείπειν, τὸ Δ· δεῖ δὴ παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ Γ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ ὁμοίῳ ὄντι τῷ Δ. Τετμήσθω ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆσ ΕΒ τῷ Δ ὅμοιον καὶ ὁμοίωσ κείμενον τὸ ΕΒΖΗ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΑΗ παραλληλόγραμμον. Εἰ μὲν οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΗ τῷ Γ, γεγονὸσ ἂν εἰή τὸ ἐπιταχθέν· παραβέβληται γὰρ παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ Γ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΑΗ ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ τῷ ΗΒ ὁμοίῳ ὄντι τῷ Δ. εἰ δὲ οὔ, μεῖζον ἔστω τὸ ΘΕ τοῦ Γ. ἴσον δὲ τὸ ΘΕ τῷ ΗΒ· μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ΗΒ τοῦ Γ. ᾧ δὴ μεῖζόν ἐστι τὸ ΗΒ τοῦ Γ, ταύτῃ τῇ ὑπεροχῇ ἴσον, τῷ δὲ Δ ὅμοιον καὶ ὁμοίωσ κείμενον τὸ αὐτὸ συνεστάτω τὸ ΚΛΜΝ. ἀλλὰ τὸ Δ τῷ ΗΒ [ἐστιν] ὅμοιον· καὶ τὸ ΚΜ ἄρα τῷ ΗΒ ἐστιν ὅμοιον. ἔστω οὖν ὁμόλογοσ ἡ μὲν ΚΛ τῇ ΗΕ, ἡ δὲ ΛΜ τῇ ΗΖ. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΗΒ τοῖσ Γ, ΚΜ, μεῖζον ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΒ τοῦ ΚΜ· μείζων ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ μὲν ΗΕ τῆσ ΚΛ, ἡ δὲ ΗΖ τῆσ ΛΜ. κείσθω τῇ μὲν ΚΛ ἴση ἡ ΗΞ, τῇ δὲ ΛΜ ἴση ἡ ΗΟ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΞΗΟΠ παραλληλόγραμμον· ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιόν ἐστι [τὸ ΗΠ] τῷ ΚΜ [ἀλλὰ τὸ ΚΜ τῷ ΗΒ ὅμοιόν ἐστιν]. καὶ τὸ ΗΠ ἄρα τῷ ΗΒ ὅμοιόν ἐστιν· περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν ἐστι τὸ ΗΠ τῷ ΗΒ. ἔστω αὐτῶν διάμετροσ ἡ ΗΠΒ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα. Ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ΒΗ τοῖσ Γ, ΚΜ, ὧν τὸ ΗΠ τῷ ΚΜ ἐστιν ἴσον, λοιπὸσ ἄρα ὁ ΥΧΦ γνώμων λοιπῷ τῷ Γ ἴσοσ ἐστίν. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΟΡ τῷ ΞΣ, κοινὸν προσκείσθω τὸ ΠΒ· ὅλον ἄρα τὸ ΟΒ ὅλῳ τῷ ΞΒ ἴσον ἐστίν. ἀλλὰ τὸ ΞΒ τῷ ΤΕ ἐστιν ἴσον, ἐπεὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΑΕ πλευρᾷ τῇ ΕΒ ἐστιν ἴση· καὶ τὸ ΤΕ ἄρα τῷ ΟΒ ἐστιν ἴσον. κοινὸν προσκείσθω τὸ ΞΣ· ὅλον ἄρα τὸ ΤΣ ὅλῳ τῷ ΦΧΥ γνώμονί ἐστιν ἴσον. ἀλλ’ ὁ ΦΧΥ γνώμων τῷ Γ ἐδείχθη ἴσοσ· καὶ τὸ ΤΣ ἄρα τῷ Γ ἐστιν ἴσον. Παρὰ τὴν δοθεῖσαν ἄρα εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ Γ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβέβληται τὸ ΣΤ ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ τῷ ΠΒ ὁμοίῳ ὄντι τῷ Δ [ἐπειδήπερ τὸ ΠΒ τῷ ΗΠ ὅμοιόν ἐστιν]· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. Παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ὑπερβάλλον εἴδει παραλληλογράμμῳ ὁμοίῳ τῷ δοθέντι. Ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, τὸ δὲ δοθὲν εὐθύγραμμον, ᾧ δεῖ ἴσον παρὰ τὴν ΑΒ παραβαλεῖν, τὸ Γ, ᾧ δὲ δεῖ ὅμοιον ὑπερβάλλειν, τὸ Δ· δεῖ δὴ παρὰ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν τῷ Γ εὐθυγράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ὑπερβάλλον εἴδει παραλληλογράμμῳ ὁμοίῳ τῷ Δ. Τετμήσθω ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆσ ΕΒ τῷ Δ ὅμοιον καὶ ὁμοίωσ κείμενον παραλληλόγραμμον τὸ ΒΖ, καὶ συναμφοτέροισ μὲν τοῖσ ΒΖ, Γ ἴσον, τῷ δὲ Δ ὅμοιον καὶ ὁμοίωσ κείμενον τὸ αὐτὸ συνεστάτω τὸ ΗΘ. ὁμόλογοσ δὲ ἔστω ἡ μὲν ΚΘ τῇ ΖΛ, ἡ δὲ ΚΗ τῇ ΖΕ. καὶ ἐπεὶ μεῖζόν ἐστι τὸ ΗΘ τοῦ ΖΒ, μείζων ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ μὲν ΚΘ τῆσ ΖΛ, ἡ δὲ ΚΗ τῆσ ΖΕ. ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΖΛ, ΖΕ, καὶ τῇ μὲν ΚΘ ἴση ἔστω ἡ ΖΛΜ, τῇ δὲ ΚΗ ἴση ἡ ΖΕΝ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΜΝ· τὸ ΜΝ ἄρα τῷ ΗΘ ἴσον τέ ἐστι καὶ ὅμοιον. ἀλλὰ τὸ ΗΘ τῷ ΕΛ ἐστιν ὅμοιον· καὶ τὸ ΜΝ ἄρα τῷ ΕΛ ὅμοιόν ἐστιν· περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν ἐστι τὸ ΕΛ τῷ ΜΝ. ἤχθω αὐτῶν διάμετροσ ἡ ΖΞ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα. Ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΗΘ τοῖσ ΕΛ, Γ, ἀλλὰ τὸ ΗΘ τῷ ΜΝ ἴσον ἐστίν, καὶ τὸ ΜΝ ἄρα τοῖσ ΕΛ, Γ ἴσον ἐστίν. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΕΛ· λοιπὸσ ἄρα ὁ ΨΧΦ γνώμων τῷ Γ ἐστιν ἴσοσ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ΑΝ τῷ ΝΒ, τουτέστι τῷ ΛΟ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ΕΞ· ὅλον ἄρα τὸ ΑΞ ἴσον ἐστὶ τῷ ΦΧΨ γνώμονι. ἀλλὰ ὁ ΦΧΨ γνώμων τῷ Γ ἴσοσ ἐστίν· καὶ τὸ ΑΞ ἄρα τῷ Γ ἴσον ἐστίν. Παρὰ τὴν δοθεῖσαν ἄρα εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ Γ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβέβληται τὸ ΑΞ ὑπερβάλλον εἴδει παραλληλογράμμῳ τῷ ΠΟ ὁμοίῳ ὄντι τῷ Δ, ἐπεὶ καὶ τῷ ΕΛ ἐστιν ὅμοιον τὸ ΟΠ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. Τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν πεπερασμένην ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμεῖν. Ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα πεπερασμένη ἡ ΑΒ· δεῖ δὴ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμεῖν. Ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆσ ΑΒ τετράγωνον τὸ ΒΓ, καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΑΓ τῇ ΒΓ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΓΔ ὑπερβάλλον εἴδει τῷ ΑΔ ὁμοίῳ τῷ ΒΓ. Τετράγωνον δέ ἐστι τὸ ΒΓ· τετράγωνον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΑΔ. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΒΓ τῷ ΓΔ, κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΓΕ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΒΖ λοιπῷ τῷ ΑΔ ἐστιν ἴσον. ἔστι δὲ αὐτῷ καὶ ἰσογώνιον· τῶν ΒΖ, ΑΔ ἄρα ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ· ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΖΕ πρὸσ τὴν ΕΔ, οὕτωσ ἡ ΑΕ πρὸσ τὴν ΕΒ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΖΕ τῇ ΑΒ, ἡ δὲ ΕΔ τῇ ΑΕ. ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΕ, οὕτωσ ἡ ΑΕ πρὸσ τὴν ΕΒ. μείζων δὲ ἡ ΑΒ τῆσ ΑΕ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΑΕ τῆσ ΕΒ. Ἡ ἄρα ΑΒ εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ε, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆσ τμῆμά ἐστι τὸ ΑΕ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. Ἐν τοῖσ ὀρθογωνίοισ τριγώνοισ τὸ ἀπὸ τῆσ τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσησ πλευρᾶσ εἶδοσ ἴσον ἐστὶ τοῖσ ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν εἴδεσι τοῖσ ὁμοίοισ τε καὶ ὁμοίωσ ἀναγραφομένοισ. Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν· λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΓ εἶδοσ ἴσον ἐστὶ τοῖσ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ εἴδεσι τοῖσ ὁμοίοισ τε καὶ ὁμοίωσ ἀναγραφομένοισ. Ἤχθω κάθετοσ ἡ ΑΔ. Ἐπεὶ οὖν ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ τῷ ΑΒΓ ἀπὸ τῆσ πρὸσ τῷ Α ὀρθῆσ γωνίασ ἐπὶ τὴν ΒΓ βάσιν κάθετοσ ἦκται ἡ ΑΔ, τὰ ΑΒΔ, ΑΔΓ πρὸσ τῇ καθέτῳ τρίγωνα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ τῷ ΑΒΓ καὶ ἀλλήλοισ. καὶ ἐπεὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τῷ ΑΒΔ, ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΓΒ πρὸσ τὴν ΒΑ, οὕτωσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΔ. καὶ ἐπεὶ τρεῖσ εὐθεῖαι ἀνάλογόν εἰσιν, ἔστιν ὡσ ἡ πρώτη πρὸσ τὴν τρίτην, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ πρώτησ εἶδοσ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ δευτέρασ τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίωσ ἀναγραφόμενον. ὡσ ἄρα ἡ ΓΒ πρὸσ τὴν ΒΔ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΓΒ εἶδοσ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΑ τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίωσ ἀναγραφόμενον. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡσ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΓΔ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΓ εἶδοσ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΓΑ. ὥστε καὶ ὡσ ἡ ΒΓ πρὸσ τὰσ ΒΔ, ΔΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΓ εἶδοσ πρὸσ τὰ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ τὰ ὅμοια καὶ ὁμοίωσ ἀναγραφόμενα. ἴση δὲ ἡ ΒΓ ταῖσ ΒΔ, ΔΓ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΓ εἶδοσ τοῖσ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ εἴδεσι τοῖσ ὁμοίοισ τε καὶ ὁμοίωσ ἀναγραφομένοισ. Ἐν ἄρα τοῖσ ὀρθογωνίοισ τριγώνοισ τὸ ἀπὸ τῆσ τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσησ πλευρᾶσ εἶδοσ ἴσον ἐστὶ τοῖσ ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν εἴδεσι τοῖσ ὁμοίοισ τε καὶ ὁμοίωσ ἀναγραφομένοισ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν δύο τρίγωνα συντεθῇ κατὰ μίαν γωνίαν τὰσ δύο πλευρὰσ ταῖσ δυσὶ πλευραῖσ ἀνάλογον ἔχοντα ὥστε τὰσ ὁμολόγουσ αὐτῶν πλευρὰσ καὶ παραλλήλουσ εἶναι, αἱ λοιπαὶ τῶν τριγώνων πλευραὶ ἐπ’ εὐθείασ ἔσονται. Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΓΕ τὰσ δύο πλευρὰσ τὰσ ΒΑ, ΑΓ ταῖσ δυσὶ πλευραῖσ ταῖσ ΔΓ, ΔΕ ἀνάλογον ἔχοντα, ὡσ μὲν τὴν ΑΒ πρὸσ τὴν ΑΓ, οὕτωσ τὴν ΔΓ πρὸσ τὴν ΔΕ, παράλληλον δὲ τὴν μὲν ΑΒ τῇ ΔΓ, τὴν δὲ ΑΓ τῇ ΔΕ· λέγω, ὅτι ἐπ’ εὐθείασ ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΓΕ. Ἐπεὶ γὰρ παράλληλόσ ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΔΓ, καὶ εἰσ αὐτὰσ ἐμπέπτωκεν εὐθεῖα ἡ ΑΓ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΓΔ ἴσαι ἀλλήλαισ εἰσίν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΔΕ τῇ ὑπὸ ΑΓΔ ἴση ἐστίν. ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΓΔΕ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ δύο τρίγωνά ἐστι τὰ ΑΒΓ, ΔΓΕ μίαν γωνίαν τὴν πρὸσ τῷ Α μιᾷ γωνίᾳ τῇ πρὸσ τῷ Δ ἴσην ἔχοντα, περὶ δὲ τὰσ ἴσασ γωνίασ τὰσ πλευρὰσ ἀνάλογον, ὡσ τὴν ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΓ, οὕτωσ τὴν ΓΔ πρὸσ τὴν ΔΕ, ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΓΕ τριγώνῳ· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΓΕ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΔ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ ἴση· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΕ δυσὶ ταῖσ ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΑΓ ἴση ἐστίν. κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΓΒ· αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΓΕ, ΑΓΒ ταῖσ ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΓΒ, ΓΒΑ ἴσαι εἰσίν. ἀλλ’ αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΒΓ, ΑΓΒ δυσὶν ὀρθαῖσ ἴσαι εἰσίν· καὶ αἱ ὑπὸ ΑΓΕ, ΑΓΒ ἄρα δυσὶν ὀρθαῖσ ἴσαι εἰσίν. πρὸσ δή τινι εὐθείᾳ τῇ ΑΓ καὶ τῷ πρὸσ αὐτῇ σημείῳ τῷ Γ δύο εὐθεῖαι αἱ ΒΓ, ΓΕ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰσ ἐφεξῆσ γωνίασ τὰσ ὑπὸ ΑΓΕ, ΑΓΒ δυσὶν ὀρθαῖσ ἴσασ ποιοῦσιν· ἐπ’ εὐθείασ ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΓΕ. Εἂν ἄρα δύο τρίγωνα συντεθῇ κατὰ μίαν γωνίαν τὰσ δύο πλευρὰσ ταῖσ δυσὶ πλευραῖσ ἀνάλογον ἔχοντα ὥστε τὰσ ὁμολόγουσ αὐτῶν πλευρὰσ καὶ παραλλήλουσ εἶναι, αἱ λοιπαὶ τῶν τριγώνων πλευραὶ ἐπ’ εὐθείασ ἔσονται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἐν τοῖσ ἴσοισ κύκλοισ αἱ γωνίαι τὸν αὐτὸν ἔχουσι λόγον ταῖσ περιφερείαισ, ἐφ’ ὧν βεβήκασιν, ἐάν τε πρὸσ τοῖσ κέντροισ ἐάν τε πρὸσ ταῖσ περιφερείαισ ὦσι βεβηκυῖαι. Ἔστωσαν ἴσοι κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ, καὶ πρὸσ μὲν τοῖσ κέντροισ αὐτῶν τοῖσ Η, Θ γωνίαι ἔστωσαν αἱ ὑπὸ ΒΗΓ, ΕΘΖ, πρὸσ δὲ ταῖσ περιφερείαισ αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΕΔΖ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡσ ἡ ΒΓ περιφέρεια πρὸσ τὴν ΕΖ περιφέρειαν, οὕτωσ ἥ τε ὑπὸ ΒΗΓ γωνία πρὸσ τὴν ὑπὸ ΕΘΖ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸσ τὴν ὑπὸ ΕΔΖ. Κείσθωσαν γὰρ τῇ μὲν ΒΓ περιφερείᾳ ἴσαι κατὰ τὸ ἑξῆσ ὁσαιδηποτοῦν αἱ ΓΚ, ΚΛ, τῇ δὲ ΕΖ περιφερείᾳ ἴσαι ὁσαιδηποτοῦν αἱ ΖΜ, ΜΝ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΚ, ΗΛ, ΘΜ, ΘΝ. Ἐπεὶ οὖν ἴσαι εἰσὶν αἱ ΒΓ, ΓΚ, ΚΛ περιφέρειαι ἀλλήλαισ, ἴσαι εἰσὶ καὶ αἱ ὑπὸ ΒΗΓ, ΓΗΚ, ΚΗΛ γωνίαι ἀλλήλαισ· ὁσαπλασίων ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΛ περιφέρεια τῆσ ΒΓ, τοσαυταπλασίων ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΗΛ γωνία τῆσ ὑπὸ ΒΗΓ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁσαπλασίων ἐστὶν ἡ ΝΕ περιφέρεια τῆσ ΕΖ, τοσαυταπλασίων ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΝΘΕ γωνία τῆσ ὑπὸ ΕΘΖ. εἰ ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ΒΛ περιφέρεια τῇ ΕΝ περιφερείᾳ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΗΛ τῇ ὑπὸ ΕΘΝ, καὶ εἰ μείζων ἐστὶν ἡ ΒΛ περιφέρεια τῆσ ΕΝ περιφερείασ, μείζων ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΗΛ γωνία τῆσ ὑπὸ ΕΘΝ, καὶ εἰ ἐλάσσων, ἐλάσσων. τεσσάρων δὴ ὄντων μεγεθῶν, δύο μὲν περιφερειῶν τῶν ΒΓ, ΕΖ, δύο δὲ γωνιῶν τῶν ὑπὸ ΒΗΓ, ΕΘΖ, εἴληπται τῆσ μὲν ΒΓ περιφερείασ καὶ τῆσ ὑπὸ ΒΗΓ γωνίασ ἰσάκισ πολλαπλασίων ἥ τε ΒΛ περιφέρεια καὶ ἡ ὑπὸ ΒΗΛ γωνία, τῆσ δὲ ΕΖ περιφερείασ καὶ τῆσ ὑπὸ ΕΘΖ γωνίασ ἥ τε ΕΝ περιφέρεια καὶ ἡ ὑπὸ ΕΘΝ γωνία. καὶ δέδεικται, ὅτι εἰ ὑπερέχει ἡ ΒΛ περιφέρεια τῆσ ΕΝ περιφερείασ, ὑπερέχει καὶ ἡ ὑπὸ ΒΗΛ γωνία τῆσ ὑπὸ ΕΘΝ γωνίασ, καὶ εἰ ἴση, ἴση, καὶ εἰ ἐλάσσων, ἐλάσσων. ἔστιν ἄρα, ὡσ ἡ ΒΓ περιφέρεια πρὸσ τὴν ΕΖ, οὕτωσ ἡ ὑπὸ ΒΗΓ γωνία πρὸσ τὴν ὑπὸ ΕΘΖ. ἀλλ’ ὡσ ἡ ὑπὸ ΒΗΓ γωνία πρὸσ τὴν ὑπὸ ΕΘΖ, οὕτωσ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸσ τὴν ὑπὸ ΕΔΖ· διπλασία γὰρ ἑκατέρα ἑκατέρασ. καὶ ὡσ ἄρα ἡ ΒΓ περιφέρεια πρὸσ τὴν ΕΖ περιφέρειαν, οὕτωσ ἥ τε ὑπὸ ΒΗΓ γωνία πρὸσ τὴν ὑπὸ ΕΘΖ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸσ τὴν ὑπὸ ΕΔΖ. Ἐν ἄρα τοῖσ ἴσοισ κύκλοισ αἱ γωνίαι τὸν αὐτὸν ἔχουσι λόγον ταῖσ περιφερείαισ, ἐφ’ ὧν βεβήκασιν, ἐάν τε πρὸσ τοῖσ κέντροισ ἐάν τε πρὸσ ταῖσ περιφερείαισ ὦσι βεβηκυῖαι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

상위

Elements

목록

일치하는 문장이 없습니다.

SEARCH

MENU NAVIGATION