헬라어 문장 검색 - Ευξλιδ́Ελεμεντ́06́2́0́

(유클리드, Elements, book 6, type Prop)

Τὰ τρίγωνα καὶ τὰ παραλληλόγραμμα, τὰ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψοσ ὄντα πρὸσ ἄλληλά ἐστιν ὡσ αἱ βάσεισ. Ἔστω τρίγωνα μὲν τὰ ΑΒΓ, ΑΓΔ, παραλληλόγραμμα δὲ τὰ ΕΓ, ΓΖ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψοσ τὸ ΑΓ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡσ ἡ ΒΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΓΔ βάσιν, οὕτωσ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΑΓΔ τρίγωνον, καὶ τὸ ΕΓ παραλληλόγραμμον πρὸσ τὸ ΓΖ παραλληλόγραμμον. Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΒΔ ἐφ’ ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ τὰ Θ, Λ σημεῖα, καὶ κείσθωσαν τῇ μὲν ΒΓ βάσει ἴσαι [ὁσαιδηποτοῦν] αἱ ΒΗ, ΗΘ, τῇ δὲ ΓΔ βάσει ἴσαι ὁσαιδηποτοῦν αἱ ΔΚ, ΚΛ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΗ, ΑΘ, ΑΚ, ΑΛ. Καὶ ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν αἱ ΓΒ, ΒΗ, ΗΘ ἀλλήλαισ, ἴσα ἐστὶ καὶ τὰ ΑΘΗ, ΑΗΒ, ΑΒΓ τρίγωνα ἀλλήλοισ. ὁσαπλασίων ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΓ βάσισ τῆσ ΒΓ βάσεωσ, τοσαυταπλάσιόν ἐστι καὶ τὸ ΑΘΓ τρίγωνον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ὁσαπλασίων ἐστὶν ἡ ΛΓ βάσισ τῆσ ΓΔ βάσεωσ, τοσαυταπλάσιόν ἐστι καὶ τὸ ΑΛΓ τρίγωνον τοῦ ΑΓΔ τριγώνου· καὶ εἰ ἴση ἐστὶν ἡ ΘΓ βάσισ τῇ ΓΛ βάσει, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ΑΘΓ τρίγωνον τῷ ΑΓΛ τριγώνῳ, καὶ εἰ ὑπερέχει ἡ ΘΓ βάσισ τῆσ ΓΛ βάσεωσ, ὑπερέχει καὶ τὸ ΑΘΓ τρίγωνον τοῦ ΑΓΛ τριγώνου, καὶ εἰ ἐλάσσων, ἔλασσον. τεσσάρων δὴ ὄντων μεγεθῶν δύο μὲν βάσεων τῶν ΒΓ, ΓΔ, δύο δὲ τριγώνων τῶν ΑΒΓ, ΑΓΔ εἴληπται ἰσάκισ πολλαπλάσια τῆσ μὲν ΒΓ βάσεωσ καὶ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἥ τε ΘΓ βάσισ καὶ τὸ ΑΘΓ τρίγωνον, τῆσ δὲ ΓΔ βάσεωσ καὶ τοῦ ΑΔΓ τριγώνου ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκισ πολλαπλάσια ἥ τε ΛΓ βάσισ καὶ τὸ ΑΛΓ τρίγωνον· καὶ δέδεικται, ὅτι, εἰ ὑπερέχει ἡ ΘΓ βάσισ τῆσ ΓΛ βάσεωσ, ὑπερέχει καὶ τὸ ΑΘΓ τρίγωνον τοῦ ΑΛΓ τριγώνου, καὶ εἰ ἴση, ἴσον, καὶ εἰ ἐλάσσων, ἔλασσον· ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΒΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΓΔ βάσιν, οὕτωσ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΑΓΔ τρίγωνον. Καὶ ἐπεὶ τοῦ μὲν ΑΒΓ τριγώνου διπλάσιόν ἐστι τὸ ΕΓ παραλληλόγραμμον, τοῦ δὲ ΑΓΔ τριγώνου διπλάσιόν ἐστι τὸ ΖΓ παραλληλόγραμμον, τὰ δὲ μέρη τοῖσ ὡσαύτωσ πολλαπλασίοισ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΑΓΔ τρίγωνον, οὕτωσ τὸ ΕΓ παραλληλόγραμμον πρὸσ τὸ ΖΓ παραλληλόγραμμον. ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη, ὡσ μὲν ἡ ΒΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΓΔ, οὕτωσ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΑΓΔ τρίγωνον, ὡσ δὲ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΑΓΔ τρίγωνον, οὕτωσ τὸ ΕΓ παραλληλόγραμμον πρὸσ τὸ ΓΖ παραλληλόγραμμον, καὶ ὡσ ἄρα ἡ ΒΓ βάσισ πρὸσ τὴν ΓΔ βάσιν, οὕτωσ τὸ ΕΓ παραλληλόγραμμον πρὸσ τὸ ΖΓ παραλληλόγραμμον. Τὰ ἄρα τρίγωνα καὶ τὰ παραλληλόγραμμα τὰ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψοσ ὄντα πρὸσ ἄλληλά ἐστιν ὡσ αἱ βάσεισ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν τριγώνου παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν ἀχθῇ τισ εὐθεῖα, ἀνάλογον τεμεῖ τὰσ τοῦ τριγώνου πλευράσ· καὶ ἐὰν αἱ τοῦ τριγώνου πλευραὶ ἀνάλογον τμηθῶσιν, ἡ ἐπὶ τὰσ τομὰσ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα παρὰ τὴν λοιπὴν ἔσται τοῦ τριγώνου πλευράν. Τριγώνου γὰρ τοῦ ΑΒΓ παράλληλοσ μιᾷ τῶν πλευρῶν τῇ ΒΓ ἤχθω ἡ ΔΕ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡσ ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΔΑ, οὕτωσ ἡ ΓΕ πρὸσ τὴν ΕΑ. Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΕ, ΓΔ. Ἴσον ἄρα ἐστὶ ΒΔΕ τρίγωνον τῷ ΓΔΕ τριγώνῳ· ἐπὶ γὰρ τῆσ αὐτῆσ βάσεώσ ἐστι τῆσ ΔΕ καὶ ἐν ταῖσ αὐταῖσ παραλλήλοισ ταῖσ ΔΕ, ΒΓ· ἄλλο δέ τι τὸ ΑΔΕ τρίγωνον. τὰ δὲ ἴσα πρὸσ τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον· ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ ΒΔΕ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΑΔΕ [τρίγωνον], οὕτωσ τὸ ΓΔΕ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΑΔΕ τρίγωνον. ἀλλ’ ὡσ μὲν τὸ ΒΔΕ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΑΔΕ, οὕτωσ ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΔΑ· ὑπὸ γὰρ τὸ αὐτὸ ὕψοσ ὄντα τὴν ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετον ἀγομένην πρὸσ ἄλληλά εἰσιν ὡσ αἱ βάσεισ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ὡσ τὸ ΓΔΕ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΑΔΕ, οὕτωσ ἡ ΓΕ πρὸσ τὴν ΕΑ· καὶ ὡσ ἄρα ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΔΑ, οὕτωσ ἡ ΓΕ πρὸσ τὴν ΕΑ. Ἀλλὰ δὴ αἱ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου πλευραὶ αἱ ΑΒ, ΑΓ ἀνάλογον τετμήσθωσαν, ὡσ ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΔΑ, οὕτωσ ἡ ΓΕ πρὸσ τὴν ΕΑ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ· λέγω, ὅτι παράλληλόσ ἐστιν ἡ ΔΕ τῇ ΒΓ. Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΔΑ, οὕτωσ ἡ ΓΕ πρὸσ τὴν ΕΑ, ἀλλ’ ὡσ μὲν ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΔΑ, οὕτωσ τὸ ΒΔΕ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΑΔΕ τρίγωνον, ὡσ δὲ ἡ ΓΕ πρὸσ τὴν ΕΑ, οὕτωσ τὸ ΓΔΕ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΑΔΕ τρίγωνον, καὶ ὡσ ἄρα τὸ ΒΔΕ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΑΔΕ τρίγωνον, οὕτωσ τὸ ΓΔΕ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΑΔΕ τρίγωνον. ἑκάτερον ἄρα τῶν ΒΔΕ, ΓΔΕ τριγώνων πρὸσ τὸ ΑΔΕ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον. ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΔΕ τρίγωνον τῷ ΓΔΕ τριγώνῳ· καί εἰσιν ἐπὶ τῆσ αὐτῆσ βάσεωσ τῆσ ΔΕ. τὰ δὲ ἴσα τρίγωνα καὶ ἐπὶ τῆσ αὐτῆσ βάσεωσ ὄντα καὶ ἐν ταῖσ αὐταῖσ παραλλήλοισ ἐστίν. παράλληλοσ ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΕ τῇ ΒΓ. Εἂν ἄρα τριγώνου παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν ἀχθῇ τισ εὐθεῖα, ἀνάλογον τεμεῖ τὰσ τοῦ τριγώνου πλευράσ· καὶ ἐὰν αἱ τοῦ τριγώνου πλευραὶ ἀνάλογον τμηθῶσιν, ἡ ἐπὶ τὰσ τομὰσ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα παρὰ τὴν λοιπὴν ἔσται τοῦ τριγώνου πλευράν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν τριγώνου ἡ γωνία δίχα τμηθῇ, ἡ δὲ τέμνουσα τὴν γωνίαν εὐθεῖα τέμνῃ καὶ τὴν βάσιν, τὰ τῆσ βάσεωσ τμήματα τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον ταῖσ λοιπαῖσ τοῦ τριγώνου πλευραῖσ· καὶ ἐὰν τὰ τῆσ βάσεωσ τμήματα τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον ταῖσ λοιπαῖσ τοῦ τριγώνου πλευραῖσ, ἡ ἀπὸ τῆσ κορυφῆσ ἐπὶ τὴν τομὴν ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα δίχα τεμεῖ τὴν τοῦ τριγώνου γωνίαν. Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ τετμήσθω ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία δίχα ὑπὸ τῆσ ΑΔ εὐθείασ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡσ ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΓΔ, οὕτωσ ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΓ. Ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Γ τῇ ΔΑ παράλληλοσ ἡ ΓΕ καὶ διαχθεῖσα ἡ ΒΑ συμπιπτέτω αὐτῇ κατὰ τὸ Ε. Καὶ ἐπεὶ εἰσ παραλλήλουσ τὰσ ΑΔ, ΕΓ εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ ΑΓ, ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΓΕ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΓΑΔ. ἀλλ’ ἡ ὑπὸ ΓΑΔ τῇ ὑπὸ ΒΑΔ ὑπόκειται ἴση· καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ ἄρα τῇ ὑπὸ ΑΓΕ ἐστιν ἴση. πάλιν, ἐπεὶ εἰσ παραλλήλουσ τὰσ ΑΔ, ΕΓ εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ ΒΑΕ, ἡ ἐκτὸσ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΔ ἴση ἐστὶ τῇ ἐντὸσ τῇ ὑπὸ ΑΕΓ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΕ τῇ ὑπὸ ΒΑΔ ἴση· καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΕ ἄρα γωνία τῇ ὑπὸ ΑΕΓ ἐστιν ἴση· ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΑΕ πλευρᾷ τῇ ΑΓ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΒΓΕ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΕΓ ἦκται ἡ ΑΔ, ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΔΓ, οὕτωσ ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΕ. ἴση δὲ ἡ ΑΕ τῇ ΑΓ· ὡσ ἄρα ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΔΓ, οὕτωσ ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΓ. Ἀλλὰ δὴ ἔστω ὡσ ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΔΓ, οὕτωσ ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΓ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΔ· λέγω, ὅτι δίχα τέτμηται ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία ὑπὸ τῆσ ΑΔ εὐθείασ. Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΔΓ, οὕτωσ ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΓ, ἀλλὰ καὶ ὡσ ἡ ΒΔ πρὸσ τὴν ΔΓ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΕ· τριγώνου γὰρ τοῦ ΒΓΕ παρὰ μίαν τὴν ΕΓ ἦκται ἡ ΑΔ· καὶ ὡσ ἄρα ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΓ, οὕτωσ ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΕ. ἴση ἄρα ἡ ΑΓ τῇ ΑΕ· ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΕΓ τῇ ὑπὸ ΑΓΕ ἐστιν ἴση. ἀλλ’ ἡ μὲν ὑπὸ ΑΕΓ τῇ ἐκτὸσ τῇ ὑπὸ ΒΑΔ [ἐστιν] ἴση, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΓΕ τῇ ἐναλλὰξ τῇ ὑπὸ ΓΑΔ ἐστιν ἴση· καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ ἄρα τῇ ὑπὸ ΓΑΔ ἐστιν ἴση. ἡ ἄρα ὑπὸ ΒΑΓ γωνία δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆσ ΑΔ εὐθείασ. Εἂν ἄρα τριγώνου ἡ γωνία δίχα τμηθῇ, ἡ δὲ τέμνουσα τὴν γωνίαν εὐθεῖα τέμνῃ καὶ τὴν βάσιν, τὰ τῆσ βάσεωσ τμήματα τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον ταῖσ λοιπαῖσ τοῦ τριγώνου πλευραῖσ· καὶ ἐὰν τὰ τῆσ βάσεωσ τμήματα τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον ταῖσ λοιπαῖσ τοῦ τριγώνου πλευραῖσ, ἡ ἀπὸ τῆσ κορυφῆσ ἐπὶ τὴν τομὴν ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα δίχα τέμνει τὴν τοῦ τριγώνου γωνίαν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τῶν ἰσογωνίων τριγώνων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ καὶ ὁμόλογοι αἱ ὑπὸ τὰσ ἴσασ γωνίασ ὑποτείνουσαι. Ἔστω ἰσογώνια τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΓΕ ἴσην ἔχοντα τὴν μὲν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΔΓΕ, τὴν δὲ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΓΔΕ καὶ ἔτι τὴν ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΓΕΔ· λέγω, ὅτι τῶν ΑΒΓ, ΔΓΕ τριγώνων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ καὶ ὁμόλογοι αἱ ὑπὸ τὰσ ἴσασ γωνίασ ὑποτείνουσαι. Κείσθω γὰρ ἐπ’ εὐθείασ ἡ ΒΓ τῇ ΓΕ. καὶ ἐπεὶ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΓΒ γωνίαι δύο ὀρθῶν ἐλάττονέσ εἰσιν, ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΕΓ, αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΓ δύο ὀρθῶν ἐλάττονέσ εἰσιν· αἱ ΒΑ, ΕΔ ἄρα ἐκβαλλόμεναι συμπεσοῦνται. ἐκβεβλήσθωσαν καὶ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Ζ. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΓΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΒΓ, παράλληλόσ ἐστιν ἡ ΒΖ τῇ ΓΔ. πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΕΓ, παράλληλόσ ἐστιν ἡ ΑΓ τῇ ΖΕ. παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΑΓΔ· ἴση ἄρα ἡ μὲν ΖΑ τῇ ΔΓ, ἡ δὲ ΑΓ τῇ ΖΔ. καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΖΒΕ παρὰ μίαν τὴν ΖΕ ἦκται ἡ ΑΓ, ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΖ, οὕτωσ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΓΕ. ἴση δὲ ἡ ΑΖ τῇ ΓΔ· ὡσ ἄρα ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΓΔ, οὕτωσ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΓΕ, καὶ ἐναλλὰξ ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΓ, οὕτωσ ἡ ΔΓ πρὸσ τὴν ΓΕ. πάλιν, ἐπεὶ παράλληλόσ ἐστιν ἡ ΓΔ τῇ ΒΖ, ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΓΕ, οὕτωσ ἡ ΖΔ πρὸσ τὴν ΔΕ. ἴση δὲ ἡ ΖΔ τῇ ΑΓ· ὡσ ἄρα ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΓΕ, οὕτωσ ἡ ΑΓ πρὸσ τὴν ΔΕ, καὶ ἐναλλὰξ ὡσ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΓΑ, οὕτωσ ἡ ΓΕ πρὸσ τὴν ΕΔ. ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη ὡσ μὲν ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΓ, οὕτωσ ἡ ΔΓ πρὸσ τὴν ΓΕ, ὡσ δὲ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΓΑ, οὕτωσ ἡ ΓΕ πρὸσ τὴν ΕΔ, δι’ ἴσου ἄρα ὡσ ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΓ, οὕτωσ ἡ ΓΔ πρὸσ τὴν ΔΕ. Τῶν ἄρα ἰσογωνίων τριγώνων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ καὶ ὁμόλογοι αἱ ὑπὸ τὰσ ἴσασ γωνίασ ὑποτείνουσαι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν δύο τρίγωνα τὰσ πλευρὰσ ἀνάλογον ἔχῃ, ἰσογώνια ἔσται τὰ τρίγωνα καὶ ἴσασ ἕξει τὰσ γωνίασ, ὑφ’ ἃσ αἱ ὁμόλογοι πλευραὶ ὑποτείνουσιν. Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ τὰσ πλευρὰσ ἀνάλογον ἔχοντα, ὡσ μὲν τὴν ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΓ, οὕτωσ τὴν ΔΕ πρὸσ τὴν ΕΖ, ὡσ δὲ τὴν ΒΓ πρὸσ τὴν ΓΑ, οὕτωσ τὴν ΕΖ πρὸσ τὴν ΖΔ, καὶ ἔτι ὡσ τὴν ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΓ, οὕτωσ τὴν ΕΔ πρὸσ τὴν ΔΖ. λέγω, ὅτι ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ καὶ ἴσασ ἕξουσι τὰσ γωνίασ, ὑφ’ ἃσ αἱ ὁμόλογοι πλευραὶ ὑποτείνουσιν, τὴν μὲν ὑπὸ ΑΒΓ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ, τὴν δὲ ὑπὸ ΒΓΑ τῇ ὑπὸ ΕΖΔ καὶ ἔτι τὴν ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ. Συνεστάτω γὰρ πρὸσ τῇ ΕΖ εὐθείᾳ καὶ τοῖσ πρὸσ αὐτῇ σημείοισ τοῖσ Ε, Ζ τῇ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΖΕΗ, τῇ δὲ ὑπὸ ΑΓΒ ἴση ἡ ὑπὸ ΕΖΗ· λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸσ τῷ Α λοιπῇ τῇ πρὸσ τῷ Η ἐστιν ἴση. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΕΗΖ [τριγώνῳ]. τῶν ἄρα ΑΒΓ, ΕΗΖ τριγώνων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ καὶ ὁμόλογοι αἱ ὑπὸ τὰσ ἴσασ γωνίασ ὑποτείνουσαι· ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΓ, [οὕτωσ] ἡ ΗΕ πρὸσ τὴν ΕΖ. ἀλλ’ ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΓ, οὕτωσ ὑπόκειται ἡ ΔΕ πρὸσ τὴν ΕΖ· ὡσ ἄρα ἡ ΔΕ πρὸσ τὴν ΕΖ, οὕτωσ ἡ ΗΕ πρὸσ τὴν ΕΖ. ἑκατέρα ἄρα τῶν ΔΕ, ΗΕ πρὸσ τὴν ΕΖ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΕ τῇ ΗΕ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΔΖ τῇ ΗΖ ἐστιν ἴση. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΔΕ τῇ ΕΗ, κοινὴ δὲ ἡ ΕΖ, δύο δὴ αἱ ΔΕ, ΕΖ δυσὶ ταῖσ ΗΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσίν· καὶ βάσισ ἡ ΔΖ βάσει τῇ ΖΗ [ἐστιν] ἴση· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΕΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΗΕΖ ἐστιν ἴση, καὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον τῷ ΗΕΖ τριγώνῳ ἴσον, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖσ λοιπαῖσ γωνίαισ ἴσαι, ὑφ’ ἃσ αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν. ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΔΖΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΖΕ, ἡ δὲ ὑπὸ ΕΔΖ τῇ ὑπὸ ΕΗΖ. καὶ ἐπεὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΖΕΔ τῇ ὑπὸ ΗΕΖ ἐστιν ἴση, ἀλλ’ ἡ ὑπὸ ΗΕΖ τῇ ὑπὸ ΑΒΓ, καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ἄρα γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἐστιν ἴση. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ ἐστιν ἴση, καὶ ἔτι ἡ πρὸσ τῷ Α τῇ πρὸσ τῷ Δ· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ. Εἂν ἄρα δύο τρίγωνα τὰσ πλευρὰσ ἀνάλογον ἔχῃ, ἰσογώνια ἔσται τὰ τρίγωνα καὶ ἴσασ ἕξει τὰσ γωνίασ, ὑφ’ ἃσ αἱ ὁμόλογοι πλευραὶ ὑποτείνουσιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν δύο τρίγωνα μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχῃ, περὶ δὲ τὰσ ἴσασ γωνίασ τὰσ πλευρὰσ ἀνάλογον, ἰσογώνια ἔσται τὰ τρίγωνα καὶ ἴσασ ἕξει τὰσ γωνίασ, ὑφ’ ἃσ αἱ ὁμόλογοι πλευραὶ ὑποτείνουσιν. Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ μίαν γωνίαν τὴν ὑπὸ ΒΑΓ μιᾷ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἴσην ἔχοντα, περὶ δὲ τὰσ ἴσασ γωνίασ τὰσ πλευρὰσ ἀνάλογον, ὡσ τὴν ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΓ, οὕτωσ τὴν ΕΔ πρὸσ τὴν ΔΖ· λέγω, ὅτι ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ καὶ ἴσην ἕξει τὴν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΔΕΖ, τὴν δὲ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ. Συνεστάτω γὰρ πρὸσ τῇ ΔΖ εὐθείᾳ καὶ τοῖσ πρὸσ αὐτῇ σημείοισ τοῖσ Δ, Ζ ὁποτέρᾳ μὲν τῶν ὑπὸ ΒΑΓ, ΕΔΖ ἴση ἡ ὑπὸ ΖΔΗ, τῇ δὲ ὑπὸ ΑΓΒ ἴση ἡ ὑπὸ ΔΖΗ· λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸσ τῷ Β γωνία λοιπῇ τῇ πρὸσ τῷ Η ἴση ἐστίν. Ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΗΖ τριγώνῳ. ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΓ, οὕτωσ ἡ ΗΔ πρὸσ τὴν ΔΖ. ὑπόκειται δὲ καὶ ὡσ ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΓ, οὕτωσ ἡ ΕΔ πρὸσ τὴν ΔΖ· καὶ ὡσ ἄρα ἡ ΕΔ πρὸσ τὴν ΔΖ, οὕτωσ ἡ ΗΔ πρὸσ τὴν ΔΖ. ἴση ἄρα ἡ ΕΔ τῇ ΔΗ· καὶ κοινὴ ἡ ΔΖ· δύο δὴ αἱ ΕΔ, ΔΖ δυσὶ ταῖσ ΗΔ, ΔΖ ἴσαι εἰσίν· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΔΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΗΔΖ [ἐστιν] ἴση· βάσισ ἄρα ἡ ΕΖ βάσει τῇ ΗΖ ἐστιν ἴση, καὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον τῷ ΗΔΖ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖσ λοιπαῖσ γωνίαισ ἴσαι ἔσονται, ὑφ’ ἃσ αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΔΖΗ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ, ἡ δὲ ὑπὸ ΔΗΖ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ. ἀλλ’ ἡ ὑπὸ ΔΖΗ τῇ ὑπὸ ΑΓΒ ἐστιν ἴση· καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ ἄρα τῇ ὑπὸ ΔΖΕ ἐστιν ἴση. ὑπόκειται δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἴση· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸσ τῷ Β λοιπῇ τῇ πρὸσ τῷ Ε ἴση ἐστίν· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ. Εἂν ἄρα δύο τρίγωνα μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχῃ, περὶ δὲ τὰσ ἴσασ γωνίασ τὰσ πλευρὰσ ἀνάλογον, ἰσογώνια ἔσται τὰ τρίγωνα καὶ ἴσασ ἕξει τὰσ γωνίασ, ὑφ’ ἃσ αἱ ὁμόλογοι πλευραὶ ὑποτείνουσιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν δύο τρίγωνα μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχῃ, περὶ δὲ ἄλλασ γωνίασ τὰσ πλευρὰσ ἀνάλογον, τῶν δὲ λοιπῶν ἑκατέραν ἅμα ἤτοι ἐλάσσονα ἢ μὴ ἐλάσσονα ὀρθῆσ, ἰσογώνια ἔσται τὰ τρίγωνα καὶ ἴσασ ἕξει τὰσ γωνίασ, περὶ ἃσ ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραί. Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχοντα τὴν ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ, περὶ δὲ ἄλλασ γωνίασ τὰσ ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ τὰσ πλευρὰσ ἀνάλογον, ὡσ τὴν ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΓ, οὕτωσ τὴν ΔΕ πρὸσ τὴν ΕΖ, τῶν δὲ λοιπῶν τῶν πρὸσ τοῖσ Γ, Ζ πρότερον ἑκατέραν ἅμα ἐλάσσονα ὀρθῆσ· λέγω, ὅτι ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ, καὶ ἴση ἔσται ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ, καὶ λοιπὴ δηλονότι ἡ πρὸσ τῷ Γ λοιπῇ τῇ πρὸσ τῷ Ζ ἴση. Εἰ γὰρ ἄνισόσ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ, μία αὐτῶν μείζων ἐστίν. ἔστω μείζων ἡ ὑπὸ ΑΒΓ. καὶ συνεστάτω πρὸσ τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸσ αὐτῇ σημείῳ τῷ Β τῇ ὑπὸ ΔΕΖ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΑΒΗ. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν Α γωνία τῇ Δ, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΒΗ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΗΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ ἐστιν ἴση. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΗ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ. ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΗ, οὕτωσ ἡ ΔΕ πρὸσ τὴν ΕΖ. ὡσ δὲ ἡ ΔΕ πρὸσ τὴν ΕΖ, [οὕτωσ] ὑπόκειται ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΓ· ἡ ΑΒ ἄρα πρὸσ ἑκατέραν τῶν ΒΓ, ΒΗ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον· ἴση ἄρα ἡ ΒΓ τῇ ΒΗ. ὥστε καὶ γωνία ἡ πρὸσ τῷ Γ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΗΓ ἐστιν ἴση. ἐλάττων δὲ ὀρθῆσ ὑπόκειται ἡ πρὸσ τῷ Γ· ἐλάττων ἄρα ἐστὶν ὀρθῆσ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΗΓ· ὥστε ἡ ἐφεξῆσ αὐτῇ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΗΒ μείζων ἐστὶν ὀρθῆσ. καὶ ἐδείχθη ἴση οὖσα τῇ πρὸσ τῷ Ζ· καὶ ἡ πρὸσ τῷ Ζ ἄρα μείζων ἐστὶν ὀρθῆσ. ὑπόκειται δὲ ἐλάσσων ὀρθῆσ· ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον. οὐκ ἄρα ἄνισόσ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ· ἴση ἄρα. ἔστι δὲ καὶ ἡ πρὸσ τῷ Α ἴση τῇ πρὸσ τῷ Δ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸσ τῷ Γ λοιπῇ τῇ πρὸσ τῷ Ζ ἴση ἐστίν. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ. Ἀλλὰ δὴ πάλιν ὑποκείσθω ἑκατέρα τῶν πρὸσ τοῖσ Γ, Ζ μὴ ἐλάσσων ὀρθῆσ· λέγω πάλιν, ὅτι καὶ οὕτωσ ἐστὶν ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ. Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίωσ δείξομεν, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΒΗ· ὥστε καὶ γωνία ἡ πρὸσ τῷ Γ τῇ ὑπὸ ΒΗΓ ἴση ἐστίν. οὐκ ἐλάττων δὲ ὀρθῆσ ἡ πρὸσ τῷ Γ· οὐκ ἐλάττων ἄρα ὀρθῆσ οὐδὲ ἡ ὑπὸ ΒΗΓ. τριγώνου δὴ τοῦ ΒΗΓ αἱ δύο γωνίαι δύο ὀρθῶν οὔκ εἰσιν ἐλάττονεσ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα πάλιν ἄνισόσ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ· ἴση ἄρα. ἔστι δὲ καὶ ἡ πρὸσ τῷ Α τῇ πρὸσ τῷ Δ ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸσ τῷ Γ λοιπῇ τῇ πρὸσ τῷ Ζ ἴση ἐστίν. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ. Εἂν ἄρα δύο τρίγωνα μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχῃ, περὶ δὲ ἄλλασ γωνίασ τὰσ πλευρὰσ ἀνάλογον, τῶν δὲ λοιπῶν ἑκατέραν ἅμα ἐλάττονα ἢ μὴ ἐλάττονα ὀρθῆσ, ἰσογώνια ἔσται τὰ τρίγωνα καὶ ἴσασ ἕξει τὰσ γωνίασ, περὶ ἃσ ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραί· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ ἀπὸ τῆσ ὀρθῆσ γωνίασ ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετοσ ἀχθῇ, τὰ πρὸσ τῇ καθέτῳ τρίγωνα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ καὶ ἀλλήλοισ. Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΒΓ κάθετοσ ἡ ΑΔ· λέγω, ὅτι ὅμοιόν ἐστιν ἑκάτερον τῶν ΑΒΔ, ΑΔΓ τριγώνων ὅλῳ τῷ ΑΒΓ καὶ ἔτι ἀλλήλοισ. Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΑΔΒ· ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα· καὶ κοινὴ τῶν δύο τριγώνων τοῦ τε ΑΒΓ καὶ τοῦ ΑΒΔ ἡ πρὸσ τῷ Β, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΒΑΔ ἐστιν ἴση· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΒΔ τριγώνῳ. ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΒΓ ὑποτείνουσα τὴν ὀρθὴν τοῦ ΑΒΓ τριγώνου πρὸσ τὴν ΒΑ ὑποτείνουσαν τὴν ὀρθὴν τοῦ ΑΒΔ τριγώνου, οὕτωσ αὐτὴ ἡ ΑΒ ὑποτείνουσα τὴν πρὸσ τῷ Γ γωνίαν τοῦ ΑΒΓ τριγώνου πρὸσ τὴν ΒΔ ὑποτείνουσαν τὴν ἴσην τὴν ὑπὸ ΒΑΔ τοῦ ΑΒΔ τριγώνου, καὶ ἔτι ἡ ΑΓ πρὸσ τὴν ΑΔ ὑποτείνουσαν τὴν πρὸσ τῷ Β γωνίαν κοινὴν τῶν δύο τριγώνων. τὸ ΑΒΓ ἄρα τρίγωνον τῷ ΑΒΔ τριγώνῳ ἰσογώνιόν τέ ἐστι καὶ τὰσ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ πλευρὰσ ἀνάλογον ἔχει. ὅμοιον ἄρα [ἐστὶ] τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΒΔ τριγώνῳ. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τῷ ΑΔΓ τριγώνῳ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον· ἑκάτερον ἄρα τῶν ΑΒΔ, ΑΔΓ [τριγώνων] ὅμοιόν ἐστιν ὅλῳ τῷ ΑΒΓ. Λέγω δή, ὅτι καὶ ἀλλήλοισ ἐστὶν ὅμοια τὰ ΑΒΔ, ΑΔΓ τρίγωνα. Ἐπεὶ γὰρ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΒΔΑ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΑΔΓ ἐστιν ἴση, ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ τῇ πρὸσ τῷ Γ ἐδείχθη ἴση, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸσ τῷ Β λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΔΑΓ ἐστιν ἴση· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΑΔΓ τριγώνῳ. ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΒΔ τοῦ ΑΒΔ τριγώνου ὑποτείνουσα τὴν ὑπὸ ΒΑΔ πρὸσ τὴν ΔΑ τοῦ ΑΔΓ τριγώνου ὑποτείνουσαν τὴν πρὸσ τῷ Γ ἴσην τῇ ὑπὸ ΒΑΔ, οὕτωσ αὐτὴ ἡ ΑΔ τοῦ ΑΒΔ τριγώνου ὑποτείνουσα τὴν πρὸσ τῷ Β γωνίαν πρὸσ τὴν ΔΓ ὑποτείνουσαν τὴν ὑπὸ ΔΑΓ τοῦ ΑΔΓ τριγώνου ἴσην τῇ πρὸσ τῷ Β, καὶ ἔτι ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΓ ὑποτείνουσαι τὰσ ὀρθάσ· ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΑΔΓ τριγώνῳ. Εἂν ἄρα ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ ἀπὸ τῆσ ὀρθῆσ γωνίασ ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετοσ ἀχθῇ, τὰ πρὸσ τῇ καθέτῳ τρίγωνα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ καὶ ἀλλήλοισ [ὅπερ ἔδει δεῖξαι]. Πόρισμα Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἐὰν ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ ἀπὸ τῆσ ὀρθῆσ ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετοσ ἀχθῇ, ἡ ἀχθεῖσα τῶν τῆσ βάσεωσ τμημάτων μέση ἀνάλογόν ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι [καὶ ἔτι τῆσ βάσεωσ καὶ ἑνὸσ ὁποιουοῦν τῶν τμημάτων ἡ πρὸσ τῷ τμήματι πλευρὰ μέση ἀνάλογόν ἐστιν]. Τῆσ δοθείσησ εὐθείασ τὸ προσταχθὲν μέροσ ἀφελεῖν. Ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ· δεῖ δὴ τῆσ ΑΒ τὸ προσταχθὲν μέροσ ἀφελεῖν. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸ τρίτον. [καὶ] διήχθω τισ ἀπὸ τοῦ Α εὐθεῖα ἡ ΑΓ γωνίαν περιέχουσα μετὰ τῆσ ΑΒ τυχοῦσαν· καὶ εἰλήφθω τυχὸν σημεῖον ἐπὶ τῆσ ΑΓ τὸ Δ, καὶ κείσθωσαν τῇ ΑΔ ἴσαι αἱ ΔΕ, ΕΓ. καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ, καὶ διὰ τοῦ Δ παράλληλοσ αὐτῇ ἤχθω ἡ ΔΖ. Ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΑΒΓ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΒΓ ἦκται ἡ ΖΔ, ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΓΔ πρὸσ τὴν ΔΑ, οὕτωσ ἡ ΒΖ πρὸσ τὴν ΖΑ. διπλῆ δὲ ἡ ΓΔ τῆσ ΔΑ· διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΒΖ τῆσ ΖΑ· τριπλῆ ἄρα ἡ ΒΑ τῆσ ΑΖ. Τῆσ ἄρα δοθείσησ εὐθείασ τῆσ ΑΒ τὸ ἐπιταχθὲν τρίτον μέροσ ἀφῄρηται τὸ ΑΖ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. Τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄτμητον τῇ δοθείσῃ τετμημένῃ ὁμοίωσ τεμεῖν. Ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἄτμητοσ ἡ ΑΒ, ἡ δὲ τετμημένη ἡ ΑΓ κατὰ τὰ Δ, Ε σημεῖα, καὶ κείσθωσαν ὥστε γωνίαν τυχοῦσαν περιέχειν, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΒ, καὶ διὰ τῶν Δ, Ε τῇ ΒΓ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΔΖ, ΕΗ, διὰ δὲ τοῦ Δ τῇ ΑΒ παράλληλοσ ἤχθω ἡ ΔΘΚ. Παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΖΘ, ΘΒ· ἴση ἄρα ἡ μὲν ΔΘ τῇ ΖΗ, ἡ δὲ ΘΚ τῇ ΗΒ. καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΔΚΓ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΚΓ εὐθεῖα ἦκται ἡ ΘΕ, ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΓΕ πρὸσ τὴν ΕΔ, οὕτωσ ἡ ΚΘ πρὸσ τὴν ΘΔ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΚΘ τῇ ΒΗ, ἡ δὲ ΘΔ τῇ ΗΖ. ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΓΕ πρὸσ τὴν ΕΔ, οὕτωσ ἡ ΒΗ πρὸσ τὴν ΗΖ. πάλιν, ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΑΗΕ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΗΕ ἦκται ἡ ΖΔ, ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΕΔ πρὸσ τὴν ΔΑ, οὕτωσ ἡ ΗΖ πρὸσ τὴν ΖΑ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡσ ἡ ΓΕ πρὸσ τὴν ΕΔ, οὕτωσ ἡ ΒΗ πρὸσ τὴν ΗΖ· ἔστιν ἄρα ὡσ μὲν ἡ ΓΕ πρὸσ τὴν ΕΔ, οὕτωσ ἡ ΒΗ πρὸσ τὴν ΗΖ, ὡσ δὲ ἡ ΕΔ πρὸσ τὴν ΔΑ, οὕτωσ ἡ ΗΖ πρὸσ τὴν ΖΑ. Ἡ ἄρα δοθεῖσα εὐθεῖα ἄτμητοσ ἡ ΑΒ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τετμημένῃ τῇ ΑΓ ὁμοίωσ τέτμηται· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. Δύο δοθεισῶν εὐθειῶν τρίτην ἀνάλογον προσευρεῖν. Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι [δύο εὐθεῖαι] αἱ ΒΑ, ΑΓ καὶ κείσθωσαν γωνίαν περιέχουσαι τυχοῦσαν. δεῖ δὴ τῶν ΒΑ, ΑΓ τρίτην ἀνάλογον προσευρεῖν. ἐκβεβλήσθωσαν γὰρ ἐπὶ τὰ Δ, Ε σημεῖα, καὶ κείσθω τῇ ΑΓ ἴση ἡ ΒΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ, καὶ διὰ τοῦ Δ παράλληλοσ αὐτῇ ἤχθω ἡ ΔΕ. Ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΑΔΕ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΔΕ ἦκται ἡ ΒΓ, ἀνάλογόν ἐστιν ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΔ, οὕτωσ ἡ ΑΓ πρὸσ τὴν ΓΕ. ἴση δὲ ἡ ΒΔ τῇ ΑΓ. ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΑΓ, οὕτωσ ἡ ΑΓ πρὸσ τὴν ΓΕ. Δύο ἄρα δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΑΓ τρίτη ἀνάλογον αὐταῖσ προσεύρηται ἡ ΓΕ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. Τριῶν δοθεισῶν εὐθειῶν τετάρτην ἀνάλογον προσευρεῖν. Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι τρεῖσ εὐθεῖαι αἱ Α, Β, Γ· δεῖ δὴ τῶν Α, Β, Γ τετάρτην ἀνάλογον προσευρεῖν. Ἐκκείσθωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΔΕ, ΔΖ γωνίαν περιέχουσαι [τυχοῦσαν] τὴν ὑπὸ ΕΔΖ· καὶ κείσθω τῇ μὲν Α ἴση ἡ ΔΗ, τῇ δὲ Β ἴση ἡ ΗΕ, καὶ ἔτι τῇ Γ ἴση ἡ ΔΘ· καὶ ἐπιζευχθείσησ τῆσ ΗΘ παράλληλοσ αὐτῇ ἤχθω διὰ τοῦ Ε ἡ ΕΖ. Ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΔΕΖ παρὰ μίαν τὴν ΕΖ ἦκται ἡ ΗΘ, ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΔΗ πρὸσ τὴν ΗΕ, οὕτωσ ἡ ΔΘ πρὸσ τὴν ΘΖ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΔΗ τῇ Α, ἡ δὲ ΗΕ τῇ Β, ἡ δὲ ΔΘ τῇ Γ· ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ Α πρὸσ τὴν Β, οὕτωσ ἡ Γ πρὸσ τὴν ΘΖ. Τριῶν ἄρα δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν Α, Β, Γ τετάρτη ἀνάλογον προσεύρηται ἡ ΘΖ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. Δύο δοθεισῶν εὐθειῶν μέσην ἀνάλογον προσευρεῖν. Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ· δεῖ δὴ τῶν ΑΒ, ΒΓ μέσην ἀνάλογον προσευρεῖν. Κείσθωσαν ἐπ’ εὐθείασ, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆσ ΑΓ ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΓ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β σημείου τῇ ΑΓ εὐθείᾳ πρὸσ ὀρθὰσ ἡ ΒΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΔΓ. Ἐπεὶ ἐν ἡμικυκλίῳ γωνία ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΔΓ, ὀρθή ἐστιν. καὶ ἐπεὶ ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ τῷ ΑΔΓ ἀπὸ τῆσ ὀρθῆσ γωνίασ ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετοσ ἦκται ἡ ΔΒ, ἡ ΔΒ ἄρα τῶν τῆσ βάσεωσ τμημάτων τῶν ΑΒ, ΒΓ μέση ἀνάλογόν ἐστιν. Δύο ἄρα δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΒΓ μέση ἀνάλογον προσεύρηται ἡ ΔΒ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. Τῶν ἴσων τε καὶ ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ· καὶ ὧν ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα. Ἔστω ἴσα τε καὶ ἰσογώνια παραλληλόγραμμα τὰ ΑΒ, ΒΓ ἴσασ ἔχοντα τὰσ πρὸσ τῷ Β γωνίασ, καὶ κείσθωσαν ἐπ’ εὐθείασ αἱ ΔΒ, ΒΕ· ἐπ’ εὐθείασ ἄρα εἰσὶ καὶ αἱ ΖΒ, ΒΗ. λέγω, ὅτι τῶν ΑΒ, ΒΓ ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ, τουτέστιν, ὅτι ἐστὶν ὡσ ἡ ΔΒ πρὸσ τὴν ΒΕ, οὕτωσ ἡ ΗΒ πρὸσ τὴν ΒΖ. Συμπεπληρώσθω γὰρ τὸ ΖΕ παραλληλόγραμμον. ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒ παραλληλόγραμμον τῷ ΒΓ παραλληλογράμμῳ, ἄλλο δέ τι τὸ ΖΕ, ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ ΑΒ πρὸσ τὸ ΖΕ, οὕτωσ τὸ ΒΓ πρὸσ τὸ ΖΕ. ἀλλ’ ὡσ μὲν τὸ ΑΒ πρὸσ τὸ ΖΕ, οὕτωσ ἡ ΔΒ πρὸσ τὴν ΒΕ, ὡσ δὲ τὸ ΒΓ πρὸσ τὸ ΖΕ, οὕτωσ ἡ ΗΒ πρὸσ τὴν ΒΖ· καὶ ὡσ ἄρα ἡ ΔΒ πρὸσ τὴν ΒΕ, οὕτωσ ἡ ΗΒ πρὸσ τὴν ΒΖ. τῶν ἄρα ΑΒ, ΒΓ παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ. Ἀλλὰ δὴ ἔστω ὡσ ἡ ΔΒ πρὸσ τὴν ΒΕ, οὕτωσ ἡ ΗΒ πρὸσ τὴν ΒΖ· λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒ παραλληλόγραμμον τῷ ΒΓ παραλληλογράμμῳ. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡσ ἡ ΔΒ πρὸσ τὴν ΒΕ, οὕτωσ ἡ ΗΒ πρὸσ τὴν ΒΖ, ἀλλ’ ὡσ μὲν ἡ ΔΒ πρὸσ τὴν ΒΕ, οὕτωσ τὸ ΑΒ παραλληλόγραμμον πρὸσ τὸ ΖΕ παραλληλόγραμμον, ὡσ δὲ ἡ ΗΒ πρὸσ τὴν ΒΖ, οὕτωσ τὸ ΒΓ παραλληλόγραμμον πρὸσ τὸ ΖΕ παραλληλόγραμμον, καὶ ὡσ ἄρα τὸ ΑΒ πρὸσ τὸ ΖΕ, οὕτωσ τὸ ΒΓ πρὸσ τὸ ΖΕ· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒ παραλληλόγραμμον τῷ ΒΓ παραλληλογράμμῳ. Τῶν ἄρα ἴσων τε καὶ ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ· καὶ ὧν ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τῶν ἴσων καὶ μίαν μιᾷ ἴσην ἐχόντων γωνίαν τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ· καὶ ὧν μίαν μιᾷ ἴσην ἐχόντων γωνίαν τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα. Ἔστω ἴσα τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΑΔΕ μίαν μιᾷ ἴσην ἔχοντα γωνίαν τὴν ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΔΑΕ· λέγω, ὅτι τῶν ΑΒΓ, ΑΔΕ τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ, τουτέστιν, ὅτι ἐστὶν ὡσ ἡ ΓΑ πρὸσ τὴν ΑΔ, οὕτωσ ἡ ΕΑ πρὸσ τὴν ΑΒ. Κείσθω γὰρ ὥστε ἐπ’ εὐθείασ εἶναι τὴν ΓΑ τῇ ΑΔ· ἐπ’ εὐθείασ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΕΑ τῇ ΑΒ. καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΔ. Ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΔΕ τριγώνῳ, ἄλλο δέ τι τὸ ΒΑΔ, ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ ΓΑΒ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΒΑΔ τρίγωνον, οὕτωσ τὸ ΕΑΔ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΒΑΔ τρίγωνον. ἀλλ’ ὡσ μὲν τὸ ΓΑΒ πρὸσ τὸ ΒΑΔ, οὕτωσ ἡ ΓΑ πρὸσ τὴν ΑΔ, ὡσ δὲ τὸ ΕΑΔ πρὸσ τὸ ΒΑΔ, οὕτωσ ἡ ΕΑ πρὸσ τὴν ΑΒ. καὶ ὡσ ἄρα ἡ ΓΑ πρὸσ τὴν ΑΔ, οὕτωσ ἡ ΕΑ πρὸσ τὴν ΑΒ. τῶν ΑΒΓ, ΑΔΕ ἄρα τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ. Ἀλλὰ δὴ ἀντιπεπονθέτωσαν αἱ πλευραὶ τῶν ΑΒΓ, ΑΔΕ τριγώνων, καὶ ἔστω ὡσ ἡ ΓΑ πρὸσ τὴν ΑΔ, οὕτωσ ἡ ΕΑ πρὸσ τὴν ΑΒ· λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΔΕ τριγώνῳ. Ἐπιζευχθείσησ γὰρ πάλιν τῆσ ΒΔ, ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ ΓΑ πρὸσ τὴν ΑΔ, οὕτωσ ἡ ΕΑ πρὸσ τὴν ΑΒ, ἀλλ’ ὡσ μὲν ἡ ΓΑ πρὸσ τὴν ΑΔ, οὕτωσ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΒΑΔ τρίγωνον, ὡσ δὲ ἡ ΕΑ πρὸσ τὴν ΑΒ, οὕτωσ τὸ ΕΑΔ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΒΑΔ τρίγωνον, ὡσ ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΒΑΔ τρίγωνον, οὕτωσ τὸ ΕΑΔ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΒΑΔ τρίγωνον. ἑκάτερον ἄρα τῶν ΑΒΓ, ΕΑΔ πρὸσ τὸ ΒΑΔ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον. ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ [τρίγωνον] τῷ ΕΑΔ τριγώνῳ. Τῶν ἄρα ἴσων καὶ μίαν μιᾷ ἴσην ἐχόντων γωνίαν τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ· καὶ ὧν μίαν μιᾷ ἴσην ἐχόντων γωνίαν τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ, ἐκεῖνα ἴσα ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν τέσσαρεσ εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ· κἂν τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ᾖ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ, αἱ τέσσαρεσ εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται. Ἔστωσαν τέσσαρεσ εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ ΑΒ, ΓΔ, Ε, Ζ, ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΓΔ, οὕτωσ ἡ Ε πρὸσ τὴν Ζ· λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, Ζ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΔ, Ε περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ. Ἤχθωσαν [γὰρ] ἀπὸ τῶν Α, Γ σημείων ταῖσ ΑΒ, ΓΔ εὐθείαισ πρὸσ ὀρθὰσ αἱ ΑΗ, ΓΘ, καὶ κείσθω τῇ μὲν Ζ ἴση ἡ ΑΓ, τῇ δὲ Ε ἴση ἡ ΓΘ. καὶ συμπεπληρώσθω τὰ ΒΗ, ΔΘ παραλληλόγραμμα. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΓΔ, οὕτωσ ἡ Ε πρὸσ τὴν Ζ, ἴση δὲ ἡ μὲν Ε τῇ ΓΘ, ἡ δὲ Ζ τῇ ΑΗ, ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΓΔ, οὕτωσ ἡ ΓΘ πρὸσ τὴν ΑΗ. τῶν ΒΗ, ΔΘ ἄρα παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ. ὧν δὲ ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΗ παραλληλόγραμμον τῷ ΔΘ παραλληλογράμμῳ. καί ἐστι τὸ μὲν ΒΗ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, Ζ· ἴση γὰρ ἡ ΑΗ τῇ Ζ· τὸ δὲ ΔΘ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, Ε· ἴση γὰρ ἡ Ε τῇ ΓΘ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒ, Ζ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΔ, Ε περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ. Ἀλλὰ δὴ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, Ζ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἔστω τῷ ὑπὸ τῶν ΓΔ, Ε περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ· λέγω, ὅτι αἱ τέσσαρεσ εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται, ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΓΔ, οὕτωσ ἡ Ε πρὸσ τὴν Ζ. Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, Ζ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΔ, Ε, καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΑΒ, Ζ τὸ ΒΗ· ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΑΗ τῇ Ζ· τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΓΔ, Ε τὸ ΔΘ· ἴση γὰρ ἡ ΓΘ τῇ Ε· τὸ ἄρα ΒΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ΔΘ. καί ἐστιν ἰσογώνια. τῶν δὲ ἴσων καὶ ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ. ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΓΔ, οὕτωσ ἡ ΓΘ πρὸσ τὴν ΑΗ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΓΘ τῇ Ε, ἡ δὲ ΑΗ τῇ Ζ· ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΓΔ, οὕτωσ ἡ Ε πρὸσ τὴν Ζ. Εἂν ἄρα τέσσαρεσ εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ· κἂν τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ᾖ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ, αἱ τέσσαρεσ εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν τρεῖσ εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ μέσησ τετραγώνῳ· κἂν τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ᾖ τῷ ἀπὸ τῆσ μέσησ τετραγώνῳ, αἱ τρεῖσ εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται. Ἔστωσαν τρεῖσ εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ Α, Β, Γ, ὡσ ἡ Α πρὸσ τὴν Β, οὕτωσ ἡ Β πρὸσ τὴν Γ· λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν Α, Γ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ Β τετραγώνῳ. Κείσθω τῇ Β ἴση ἡ Δ. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ Α πρὸσ τὴν Β, οὕτωσ ἡ Β πρὸσ τὴν Γ, ἴση δὲ ἡ Β τῇ Δ, ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ Α πρὸσ τὴν Β, ἡ Δ πρὸσ τὴν Γ. ἐὰν δὲ τέσσαρεσ εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον [ὀρθογώνιον] ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Γ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν Β, Δ. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ τῶν Β, Δ τὸ ἀπὸ τῆσ Β ἐστιν· ἴση γὰρ ἡ Β τῇ Δ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Γ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ Β τετραγώνῳ. Ἀλλὰ δὴ τὸ ὑπὸ τῶν Α, Γ ἴσον ἔστω τῷ ἀπὸ τῆσ Β· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡσ ἡ Α πρὸσ τὴν Β, οὕτωσ ἡ Β πρὸσ τὴν Γ. Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν Α, Γ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ Β, ἀλλὰ τὸ ἀπὸ τῆσ Β τὸ ὑπὸ τῶν Β, Δ ἐστιν· ἴση γὰρ ἡ Β τῇ Δ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Γ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν Β, Δ. ἐὰν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον ᾖ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων, αἱ τέσσαρεσ εὐθεῖαι ἀνάλογόν εἰσιν. ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ Α πρὸσ τὴν Β, οὕτωσ ἡ Δ πρὸσ τὴν Γ. ἴση δὲ ἡ Β τῇ Δ· ὡσ ἄρα ἡ Α πρὸσ τὴν Β, οὕτωσ ἡ Β πρὸσ τὴν Γ. Εἂν ἄρα τρεῖσ εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆσ μέσησ τετραγώνῳ· κἂν τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ᾖ τῷ ἀπὸ τῆσ μέσησ τετραγώνῳ, αἱ τρεῖσ εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἀπὸ τῆσ δοθείσησ εὐθείασ τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίωσ κείμενον εὐθύγραμμον ἀναγράψαι. Ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, τὸ δὲ δοθὲν εὐθύγραμμον τὸ ΓΕ· δεῖ δὴ ἀπὸ τῆσ ΑΒ εὐθείασ τῷ ΓΕ εὐθυγράμμῳ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίωσ κείμενον εὐθύγραμμον ἀναγράψαι. Ἐπεζεύχθω ἡ ΔΖ, καὶ συνεστάτω πρὸσ τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τοῖσ πρὸσ αὐτῇ σημείοισ τοῖσ Α, Β τῇ μὲν πρὸσ τῷ Γ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΗΑΒ, τῇ δὲ ὑπὸ ΓΔΖ ἴση ἡ ὑπὸ ΑΒΗ. λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΖΔ τῇ ὑπὸ ΑΗΒ ἐστιν ἴση· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΓΔ τρίγωνον τῷ ΗΑΒ τριγώνῳ. ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΖΔ πρὸσ τὴν ΗΒ, οὕτωσ ἡ ΖΓ πρὸσ τὴν ΗΑ, καὶ ἡ ΓΔ πρὸσ τὴν ΑΒ. πάλιν συνεστάτω πρὸσ τῇ ΒΗ εὐθείᾳ καὶ τοῖσ πρὸσ αὐτῇ σημείοισ τοῖσ Β, Η τῇ μὲν ὑπὸ ΔΖΕ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΗΘ, τῇ δὲ ὑπὸ ΖΔΕ ἴση ἡ ὑπὸ ΗΒΘ. λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸσ τῷ Ε λοιπῇ τῇ πρὸσ τῷ Θ ἐστιν ἴση· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΔΕ τρίγωνον τῷ ΗΘΒ τριγώνῳ· ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΖΔ πρὸσ τὴν ΗΒ, οὕτωσ ἡ ΖΕ πρὸσ τὴν ΗΘ καὶ ἡ ΕΔ πρὸσ τὴν ΘΒ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡσ ἡ ΖΔ πρὸσ τὴν ΗΒ, οὕτωσ ἡ ΖΓ πρὸσ τὴν ΗΑ καὶ ἡ ΓΔ πρὸσ τὴν ΑΒ· καὶ ὡσ ἄρα ἡ ΖΓ πρὸσ τὴν ΑΗ, οὕτωσ ἥ τε ΓΔ πρὸσ τὴν ΑΒ καὶ ἡ ΖΕ πρὸσ τὴν ΗΘ καὶ ἔτι ἡ ΕΔ πρὸσ τὴν ΘΒ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΓΖΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΗΒ, ἡ δὲ ὑπὸ ΔΖΕ τῇ ὑπὸ ΒΗΘ, ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΖΕ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΑΗΘ ἐστιν ἴση. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΔΕ τῇ ὑπὸ ΑΒΘ ἐστιν ἴση. ἔστι δὲ καὶ ἡ μὲν πρὸσ τῷ Γ τῇ πρὸσ τῷ Α ἴση, ἡ δὲ πρὸσ τῷ Ε τῇ πρὸσ τῷ Θ. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΘ τῷ ΓΕ· καὶ τὰσ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ αὐτῶν πλευρὰσ ἀνάλογον ἔχει· ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΘ εὐθύγραμμον τῷ ΓΕ εὐθυγράμμῳ. Ἀπὸ τῆσ δοθείσησ ἄρα εὐθείασ τῆσ ΑΒ τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ ΓΕ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίωσ κείμενον εὐθύγραμμον ἀναγέγραπται τὸ ΑΘ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. Τὰ ὅμοια τρίγωνα πρὸσ ἄλληλα ἐν διπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν. Ἔστω ὅμοια τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ ἴσην ἔχοντα τὴν πρὸσ τῷ Β γωνίαν τῇ πρὸσ τῷ Ε, ὡσ δὲ τὴν ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΓ, οὕτωσ τὴν ΔΕ πρὸσ τὴν ΕΖ, ὥστε ὁμόλογον εἶναι τὴν ΒΓ τῇ ΕΖ· λέγω, ὅτι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΕΖ. Εἰλήφθω γὰρ τῶν ΒΓ, ΕΖ τρίτη ἀνάλογον ἡ ΒΗ, ὥστε εἶναι ὡσ τὴν ΒΓ πρὸσ τὴν ΕΖ, οὕτωσ τὴν ΕΖ πρὸσ τὴν ΒΗ· καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΗ. Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΓ, οὕτωσ ἡ ΔΕ πρὸσ τὴν ΕΖ, ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΔΕ, οὕτωσ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΕΖ. ἀλλ’ ὡσ ἡ ΒΓ πρὸσ ΕΖ, οὕτωσ ἐστὶν ἡ ΕΖ πρὸσ ΒΗ. καὶ ὡσ ἄρα ἡ ΑΒ πρὸσ ΔΕ, οὕτωσ ἡ ΕΖ πρὸσ ΒΗ· τῶν ΑΒΗ, ΔΕΖ ἄρα τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ. ὧν δὲ μίαν μιᾷ ἴσην ἐχόντων γωνίαν τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα. ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΗ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΕΖ, οὕτωσ ἡ ΕΖ πρὸσ τὴν ΒΗ, ἐὰν δὲ τρεῖσ εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, ἡ πρώτη πρὸσ τὴν τρίτην διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸσ τὴν δευτέραν, ἡ ΒΓ ἄρα πρὸσ τὴν ΒΗ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΒ πρὸσ τὴν ΕΖ. ὡσ δὲ ἡ ΓΒ πρὸσ τὴν ΒΗ, οὕτωσ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΑΒΗ τρίγωνον· καὶ τὸ ΑΒΓ ἄρα τρίγωνον πρὸσ τὸ ΑΒΗ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΕΖ. ἴσον δὲ τὸ ΑΒΗ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ· καὶ τὸ ΑΒΓ ἄρα τρίγωνον πρὸσ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΕΖ. Τὰ ἄρα ὅμοια τρίγωνα πρὸσ ἄλληλα ἐν διπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν· [ὅπερ ἔδει δεῖξαι]. Πόρισμα Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι, ἐὰν τρεῖσ εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, ἔστιν ὡσ ἡ πρώτη πρὸσ τὴν τρίτην, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ πρώτησ εἶδοσ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ δευτέρασ τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίωσ ἀναγραφόμενον [ἐπείπερ ἐδείχθη, ὡσ ἡ ΓΒ πρὸσ ΒΗ, οὕτωσ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΑΒΗ τρίγωνον, τουτέστι τὸ ΔΕΖ]· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τὰ ὅμοια πολύγωνα εἴσ τε ὅμοια τρίγωνα διαιρεῖται καὶ εἰσ ἴσα τὸ πλῆθοσ καὶ ὁμόλογα τοῖσ ὅλοισ, καὶ τὸ πολύγωνον πρὸσ τὸ πολύγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογοσ πλευρὰ πρὸσ τὴν ὁμόλογον πλευράν. Ἔστω ὅμοια πολύγωνα τὰ ΑΒΓΔΕ, ΖΗΘΚΛ, ὁμόλογοσ δὲ ἔστω ἡ ΑΒ τῇ ΖΗ· λέγω, ὅτι τὰ ΑΒΓΔΕ, ΖΗΘΚΛ πολύγωνα εἴσ τε ὅμοια τρίγωνα διαιρεῖται καὶ εἰσ ἴσα τὸ πλῆθοσ καὶ ὁμόλογα τοῖσ ὅλοισ, καὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον πρὸσ τὸ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΖΗ. Ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΕ, ΕΓ, ΗΛ, ΛΘ. Καὶ ἐπεὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον τῷ ΖΗΘΚΛ πολυγώνῳ, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΖΛ. καί ἐστιν ὡσ ἡ ΒΑ πρὸσ ΑΕ, οὕτωσ ἡ ΗΖ πρὸσ ΖΛ. ἐπεὶ οὖν δύο τρίγωνά ἐστι τὰ ΑΒΕ, ΖΗΛ μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχοντα, περὶ δὲ τὰσ ἴσασ γωνίασ τὰσ πλευρὰσ ἀνάλογον, ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΖΗΛ τριγώνῳ· ὥστε καὶ ὅμοιον· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΗΛ. ἔστι δὲ καὶ ὅλη ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΖΗΘ ἴση διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν πολυγώνων· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΛΗΘ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΑΒΕ, ΖΗΛ τριγώνων ἐστὶν ὡσ ἡ ΕΒ πρὸσ ΒΑ, οὕτωσ ἡ ΛΗ πρὸσ ΗΖ, ἀλλὰ μὴν καὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν πολυγώνων ἐστὶν ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ ΒΓ, οὕτωσ ἡ ΖΗ πρὸσ ΗΘ, δι’ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΕΒ πρὸσ ΒΓ, οὕτωσ ἡ ΛΗ πρὸσ ΗΘ, καὶ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ τὰσ ὑπὸ ΕΒΓ, ΛΗΘ αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΒΓ τρίγωνον τῷ ΛΗΘ τριγώνῳ· ὥστε καὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΕΒΓ τρίγωνον τῷ ΛΗΘ τριγώνῳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΕΓΔ τρίγωνον ὅμοιόν ἐστι τῷ ΛΘΚ τριγώνῳ. τὰ ἄρα ὅμοια πολύγωνα τὰ ΑΒΓΔΕ, ΖΗΘΚΛ εἴσ τε ὅμοια τρίγωνα διῄρηται καὶ εἰσ ἴσα τὸ πλῆθοσ. Λέγω, ὅτι καὶ ὁμόλογα τοῖσ ὅλοισ, τουτέστιν ὥστε ἀνάλογον εἶναι τὰ τρίγωνα, καὶ ἡγούμενα μὲν εἶναι τὰ ΑΒΕ, ΕΒΓ, ΕΓΔ, ἑπόμενα δὲ αὐτῶν τὰ ΖΗΛ, ΛΗΘ, ΛΘΚ, καὶ ὅτι τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον πρὸσ τὸ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογοσ πλευρὰ πρὸσ τὴν ὁμόλογον πλευράν, τουτέστιν ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΖΗ. Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΓ, ΖΘ. καὶ ἐπεὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν πολυγώνων ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΗΘ, καί ἐστιν ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ ΒΓ, οὕτωσ ἡ ΖΗ πρὸσ ΗΘ, ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΖΗΘ τριγώνῳ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΖΘ, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΓΑ τῇ ὑπὸ ΗΘΖ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΜ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΖΝ, ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΜ τῇ ὑπὸ ΖΗΝ ἴση, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΜΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΖΝΗ ἴση ἐστίν· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΜ τρίγωνον τῷ ΖΗΝ τριγώνῳ. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τὸ ΒΜΓ τρίγωνον ἰσογώνιόν ἐστι τῷ ΗΝΘ τριγώνῳ. ἀνάλογον ἄρα ἐστίν, ὡσ μὲν ἡ ΑΜ πρὸσ ΜΒ, οὕτωσ ἡ ΖΝ πρὸσ ΝΗ, ὡσ δὲ ἡ ΒΜ πρὸσ ΜΓ, οὕτωσ ἡ ΗΝ πρὸσ ΝΘ· ὥστε καὶ δι’ ἴσου, ὡσ ἡ ΑΜ πρὸσ ΜΓ, οὕτωσ ἡ ΖΝ πρὸσ ΝΘ. ἀλλ’ ὡσ ἡ ΑΜ πρὸσ ΜΓ, οὕτωσ τὸ ΑΒΜ [τρίγωνον] πρὸσ τὸ ΜΒΓ, καὶ τὸ ΑΜΕ πρὸσ τὸ ΕΜΓ· πρὸσ ἄλληλα γάρ εἰσιν ὡσ αἱ βάσεισ. καὶ ὡσ ἄρα ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸσ ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτωσ ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸσ ἅπαντα τὰ ἑπόμενα· ὡσ ἄρα τὸ ΑΜΒ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΒΜΓ, οὕτωσ τὸ ΑΒΕ πρὸσ τὸ ΓΒΕ. ἀλλ’ ὡσ τὸ ΑΜΒ πρὸσ τὸ ΒΜΓ, οὕτωσ ἡ ΑΜ πρὸσ ΜΓ· καὶ ὡσ ἄρα ἡ ΑΜ πρὸσ ΜΓ, οὕτωσ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΕΒΓ τρίγωνον. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡσ ἡ ΖΝ πρὸσ ΝΘ, οὕτωσ τὸ ΖΗΛ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΗΛΘ τρίγωνον. καί ἐστιν ὡσ ἡ ΑΜ πρὸσ ΜΓ, οὕτωσ ἡ ΖΝ πρὸσ ΝΘ· καὶ ὡσ ἄρα τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΒΕΓ τρίγωνον, οὕτωσ τὸ ΖΗΛ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΗΛΘ τρίγωνον, καὶ ἐναλλὰξ, ὡσ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΖΗΛ τρίγωνον, οὕτωσ τὸ ΒΕΓ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΗΛΘ τρίγωνον. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν ἐπιζευχθεισῶν τῶν ΒΔ, ΗΚ, ὅτι καὶ ὡσ τὸ ΒΕΓ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΛΗΘ τρίγωνον, οὕτωσ τὸ ΕΓΔ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΛΘΚ τρίγωνον. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΖΗΛ τρίγωνον, οὕτωσ τὸ ΕΒΓ πρὸσ τὸ ΛΗΘ, καὶ ἔτι τὸ ΕΓΔ πρὸσ τὸ ΛΘΚ, καὶ ὡσ ἄρα ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸσ ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτωσ ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸσ ἅπαντα τὰ ἑπόμενα· ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΖΗΛ τρίγωνον, οὕτωσ τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον πρὸσ τὸ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον. ἀλλὰ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΖΗΛ τρίγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ ὁμόλογοσ πλευρὰ πρὸσ τὴν ΖΗ ὁμόλογον πλευράν· τὰ γὰρ ὅμοια τρίγωνα ἐν διπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν. καὶ τὸ ΑΒΓΔΕ ἄρα πολύγωνον πρὸσ τὸ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ ὁμόλογοσ πλευρὰ πρὸσ τὴν ΖΗ ὁμόλογον πλευράν. Τὰ ἄρα ὅμοια πολύγωνα εἴσ τε ὅμοια τρίγωνα διαιρεῖται καὶ εἰσ ἴσα τὸ πλῆθοσ καὶ ὁμόλογα τοῖσ ὅλοισ, καὶ τὸ πολύγωνον πρὸσ τὸ πολύγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογοσ πλευρὰ πρὸσ τὴν ὁμόλογον πλευράν· [ὅπερ ἔδει δεῖξαι]. Πόρισμα Ὡσαύτωσ δὲ καὶ ἐπὶ τῶν [ὁμοίων] τετραπλεύρων δειχθήσεται, ὅτι ἐν διπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν. ἐδείχθη δὲ καὶ ἐπὶ τῶν τριγώνων· ὥστε καὶ καθόλου τὰ ὅμοια εὐθύγραμμα σχήματα πρὸσ ἄλληλα ἐν διπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν. ὅπερ ἔδει δεῖξαι. [Πόρισμα β# Καὶ ἐὰν τῶν ΑΒ, ΖΗ τρίτην ἀνάλογον λάβωμεν τὴν Ξ, ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν Ξ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΖΗ. ἔχει δὲ καὶ τὸ πολύγωνον πρὸσ τὸ πολύγωνον ἢ τὸ τετράπλευρον πρὸσ τὸ τετράπλευρον διπλασίονα λόγον ἤπερ ἡ ὁμόλογοσ πλευρὰ πρὸσ τὴν ὁμόλογον πλευράν, τουτέστιν ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΖΗ· ἐδείχθη δὲ τοῦτο καὶ ἐπὶ τῶν τριγώνων· ὥστε καὶ καθόλου φανερόν, ὅτι, ἐὰν τρεῖσ εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, ἔσται ὡσ ἡ πρώτη πρὸσ τὴν τρίτην, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ πρώτησ εἶδοσ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ δευτέρασ τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίωσ ἀναγραφόμενον. ] Τὰ τῷ αὐτῷ εὐθυγράμμῳ ὅμοια καὶ ἀλλήλοισ ἐστὶν ὅμοια. Ἔστω γὰρ ἑκάτερον τῶν Α, Β εὐθυγράμμων τῷ Γ ὅμοιον· λέγω, ὅτι καὶ τὸ Α τῷ Β ἐστιν ὅμοιον. Ἐπεὶ γὰρ ὅμοιόν ἐστι τὸ Α τῷ Γ, ἰσογώνιόν τέ ἐστιν αὐτῷ καὶ τὰσ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ πλευρὰσ ἀνάλογον ἔχει. πάλιν, ἐπεὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ Β τῷ Γ, ἰσογώνιόν τέ ἐστιν αὐτῷ καὶ τὰσ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ πλευρὰσ ἀνάλογον ἔχει. ἑκάτερον ἄρα τῶν Α, Β τῷ Γ ἰσογώνιόν τέ ἐστι καὶ τὰσ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ πλευρὰσ ἀνάλογον ἔχει [ὥστε καὶ τὸ Α τῷ Β ἰσογώνιόν τέ ἐστι καὶ τὰσ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ πλευρὰσ ἀνάλογον ἔχει]. ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ Α τῷ Β· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν τέσσαρεσ εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, καὶ τὰ ἀπ’ αὐτῶν εὐθύγραμμα ὅμοιά τε καὶ ὁμοίωσ ἀναγεγραμμένα ἀνάλογον ἔσται· κἂν τὰ ἀπ’ αὐτῶν εὐθύγραμμα ὅμοιά τε καὶ ὁμοίωσ ἀναγεγραμμένα ἀνάλογον ᾖ, καὶ αὐταὶ αἱ εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται. Ἔστωσαν τέσσαρεσ εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ, ΗΘ, ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΓΔ, οὕτωσ ἡ ΕΖ πρὸσ τὴν ΗΘ, καὶ ἀναγεγράφθωσαν ἀπὸ μὲν τῶν ΑΒ, ΓΔ ὅμοιά τε καὶ ὁμοίωσ κείμενα εὐθύγραμμα τὰ ΚΑΒ, ΛΓΔ, ἀπὸ δὲ τῶν ΕΖ, ΗΘ ὅμοιά τε καὶ ὁμοίωσ κείμενα εὐθύγραμμα τὰ ΜΖ, ΝΘ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡσ τὸ ΚΑΒ πρὸσ τὸ ΛΓΔ, οὕτωσ τὸ ΜΖ πρὸσ τὸ ΝΘ. Εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν ΑΒ, ΓΔ τρίτη ἀνάλογον ἡ Ξ, τῶν δὲ ΕΖ, ΗΘ τρίτη ἀνάλογον ἡ Ο. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ μὲν ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΓΔ, οὕτωσ ἡ ΕΖ πρὸσ τὴν ΗΘ, ὡσ δὲ ἡ ΓΔ πρὸσ τὴν Ξ, οὕτωσ ἡ ΗΘ πρὸσ τὴν Ο, δι’ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν Ξ, οὕτωσ ἡ ΕΖ πρὸσ τὴν Ο. ἀλλ’ ὡσ μὲν ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν Ξ, οὕτωσ [καὶ] τὸ ΚΑΒ πρὸσ τὸ ΛΓΔ, ὡσ δὲ ἡ ΕΖ πρὸσ τὴν Ο, οὕτωσ τὸ ΜΖ πρὸσ τὸ ΝΘ· καὶ ὡσ ἄρα τὸ ΚΑΒ πρὸσ τὸ ΛΓΔ, οὕτωσ τὸ ΜΖ πρὸσ τὸ ΝΘ. Ἀλλὰ δὴ ἔστω ὡσ τὸ ΚΑΒ πρὸσ τὸ ΛΓΔ, οὕτωσ τὸ ΜΖ πρὸσ τὸ ΝΘ· λέγω, ὅτι ἐστὶ καὶ ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΓΔ, οὕτωσ ἡ ΕΖ πρὸσ τὴν ΗΘ. εἰ γὰρ μή ἐστιν, ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΓΔ, οὕτωσ ἡ ΕΖ πρὸσ τὴν ΗΘ, ἔστω ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΓΔ, οὕτωσ ἡ ΕΖ πρὸσ τὴν ΠΡ, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆσ ΠΡ ὁποτέρῳ τῶν ΜΖ, ΝΘ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίωσ κείμενον εὐθύγραμμον τὸ ΣΡ. Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΓΔ, οὕτωσ ἡ ΕΖ πρὸσ τὴν ΠΡ, καὶ ἀναγέγραπται ἀπὸ μὲν τῶν ΑΒ, ΓΔ ὅμοιά τε καὶ ὁμοίωσ κείμενα τὰ ΚΑΒ, ΛΓΔ, ἀπὸ δὲ τῶν ΕΖ, ΠΡ ὅμοιά τε καὶ ὁμοίωσ κείμενα τὰ ΜΖ, ΣΡ, ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ ΚΑΒ πρὸσ τὸ ΛΓΔ, οὕτωσ τὸ ΜΖ πρὸσ τὸ ΣΡ. ὑπόκειται δὲ καὶ ὡσ τὸ ΚΑΒ πρὸσ τὸ ΛΓΔ, οὕτωσ τὸ ΜΖ πρὸσ τὸ ΝΘ· καὶ ὡσ ἄρα τὸ ΜΖ πρὸσ τὸ ΣΡ, οὕτωσ τὸ ΜΖ πρὸσ τὸ ΝΘ. τὸ ΜΖ ἄρα πρὸσ ἑκάτερον τῶν ΝΘ, ΣΡ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΝΘ τῷ ΣΡ. ἔστι δὲ αὐτῷ καὶ ὅμοιον καὶ ὁμοίωσ κείμενον· ἴση ἄρα ἡ ΗΘ τῇ ΠΡ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΓΔ, οὕτωσ ἡ ΕΖ πρὸσ τὴν ΠΡ, ἴση δὲ ἡ ΠΡ τῇ ΗΘ, ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΓΔ, οὕτωσ ἡ ΕΖ πρὸσ τὴν ΗΘ. Εἂν ἄρα τέσσαρεσ εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, καὶ τὰ ἀπ’ αὐτῶν εὐθύγραμμα ὅμοιά τε καὶ ὁμοίωσ ἀναγεγραμμένα ἀνάλογον ἔσται· κἂν τὰ ἀπ’ αὐτῶν εὐθύγραμμα ὅμοιά τε καὶ ὁμοίωσ ἀναγεγραμμένα ἀνάλογον ᾖ, καὶ αὐταὶ αἱ εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. [Λῆμμα] [Ὅτι δέ, ἐὰν εὐθύγραμμα ἴσα ᾖ καὶ ὅμοια, αἱ ὁμόλογοι αὐτῶν πλευραὶ ἴσαι ἀλλήλαισ εἰσίν, δείξομεν οὕτωσ. Ἔστω ἴσα καὶ ὅμοια εὐθύγραμμα τὰ ΝΘ, ΣΡ, καὶ ἔστω ὡσ ἡ ΘΗ πρὸσ τὴν ΗΝ, οὕτωσ ἡ ΡΠ πρὸσ τὴν ΠΣ· λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΡΠ τῇ ΘΗ. Εἰ γὰρ ἄνισοί εἰσιν, μία αὐτῶν μείζων ἐστίν. ἔστω μείζων ἡ ΡΠ τῆσ ΘΗ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ ΡΠ πρὸσ ΠΣ, οὕτωσ ἡ ΘΗ πρὸσ τὴν ΗΝ, καὶ ἐναλλάξ, ὡσ ἡ ΡΠ πρὸσ τὴν ΘΗ, οὕτωσ ἡ ΠΣ πρὸσ τὴν ΗΝ, μείζων δὲ ἡ ΠΡ τῆσ ΘΗ, μείζων ἄρα καὶ ἡ ΠΣ τῆσ ΗΝ· ὥστε καὶ τὸ ΡΣ μεῖζόν ἐστι τοῦ ΘΝ. ἀλλὰ καὶ ἴσον· ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἄνισόσ ἐστιν ἡ ΠΡ τῇ ΗΘ· ἴση ἄρα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ] Τὰ ἰσογώνια παραλληλόγραμμα πρὸσ ἄλληλα λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν. Ἔστω ἰσογώνια παραλληλόγραμμα τὰ ΑΓ, ΓΖ ἴσην ἔχοντα τὴν ὑπὸ ΒΓΔ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΕΓΗ· λέγω, ὅτι τὸ ΑΓ παραλληλόγραμμον πρὸσ τὸ ΓΖ παραλληλόγραμμον λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν. Κείσθω γὰρ ὥστε ἐπ’ εὐθείασ εἶναι τὴν ΒΓ τῇ ΓΗ· ἐπ’ εὐθείασ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΓ τῇ ΓΕ. καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΔΗ παραλληλόγραμμον, καὶ ἐκκείσθω τισ εὐθεῖα ἡ Κ, καὶ γεγονέτω ὡσ μὲν ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΓΗ, οὕτωσ ἡ Κ πρὸσ τὴν Λ, ὡσ δὲ ἡ ΔΓ πρὸσ τὴν ΓΕ, οὕτωσ ἡ Λ πρὸσ τὴν Μ. Οἱ ἄρα λόγοι τῆσ τε Κ πρὸσ τὴν Λ καὶ τῆσ Λ πρὸσ τὴν Μ οἱ αὐτοί εἰσι τοῖσ λόγοισ τῶν πλευρῶν, τῆσ τε ΒΓ πρὸσ τὴν ΓΗ καὶ τῆσ ΔΓ πρὸσ τὴν ΓΕ. ἀλλ’ ὁ τῆσ Κ πρὸσ Μ λόγοσ σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆσ Κ πρὸσ Λ λόγου καὶ τοῦ τῆσ Λ πρὸσ Μ· ὥστε καὶ ἡ Κ πρὸσ τὴν Μ λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΓΗ, οὕτωσ τὸ ΑΓ παραλληλόγραμμον πρὸσ τὸ ΓΘ, ἀλλ’ ὡσ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΓΗ, οὕτωσ ἡ Κ πρὸσ τὴν Λ, καὶ ὡσ ἄρα ἡ Κ πρὸσ τὴν Λ, οὕτωσ τὸ ΑΓ πρὸσ τὸ ΓΘ. πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ ΔΓ πρὸσ τὴν ΓΕ, οὕτωσ τὸ ΓΘ παραλληλόγραμμον πρὸσ τὸ ΓΖ, ἀλλ’ ὡσ ἡ ΔΓ πρὸσ τὴν ΓΕ, οὕτωσ ἡ Λ πρὸσ τὴν Μ, καὶ ὡσ ἄρα ἡ Λ πρὸσ τὴν Μ, οὕτωσ τὸ ΓΘ παραλληλόγραμμον πρὸσ τὸ ΓΖ παραλληλόγραμμον. ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη, ὡσ μὲν ἡ Κ πρὸσ τὴν Λ, οὕτωσ τὸ ΑΓ παραλληλόγραμμον πρὸσ τὸ ΓΘ παραλληλόγραμμον, ὡσ δὲ ἡ Λ πρὸσ τὴν Μ, οὕτωσ τὸ ΓΘ παραλληλόγραμμον πρὸσ τὸ ΓΖ παραλληλόγραμμον, δι’ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ Κ πρὸσ τὴν Μ, οὕτωσ τὸ ΑΓ πρὸσ τὸ ΓΖ παραλληλόγραμμον. ἡ δὲ Κ πρὸσ τὴν Μ λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν· καὶ τὸ ΑΓ ἄρα πρὸσ τὸ ΓΖ λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν. Τὰ ἄρα ἰσογώνια παραλληλόγραμμα πρὸσ ἄλληλα λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Παντὸσ παραλληλογράμμου τὰ περὶ τὴν διάμετρον παραλληλόγραμμα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ καὶ ἀλλήλοισ. Ἔστω παραλληλόγραμμον τὸ ΑΒΓΔ, διάμετροσ δὲ αὐτοῦ ἡ ΑΓ, περὶ δὲ τὴν ΑΓ παραλληλόγραμμα ἔστω τὰ ΕΗ, ΘΚ· λέγω, ὅτι ἑκάτερον τῶν ΕΗ, ΘΚ παραλληλογράμμων ὅμοιόν ἐστι ὅλῳ τῷ ΑΒΓΔ καὶ ἀλλήλοισ. Ἐπεὶ γὰρ τριγώνου τοῦ ΑΒΓ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΒΓ ἦκται ἡ ΕΖ, ἀνάλογόν ἐστιν ὡσ ἡ ΒΕ πρὸσ τὴν ΕΑ, οὕτωσ, ἡ ΓΖ πρὸσ τὴν ΖΑ. πάλιν, ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΑΓΔ παρὰ μίαν τὴν ΓΔ ἦκται ἡ ΖΗ, ἀνάλογόν ἐστιν ὡσ ἡ ΓΖ πρὸσ τὴν ΖΑ, οὕτωσ ἡ ΔΗ πρὸσ τὴν ΗΑ. ἀλλ’ ὡσ ἡ ΓΖ πρὸσ τὴν ΖΑ, οὕτωσ ἐδείχθη καὶ ἡ ΒΕ πρὸσ τὴν ΕΑ· καὶ ὡσ ἄρα ἡ ΒΕ πρὸσ τὴν ΕΑ, οὕτωσ ἡ ΔΗ πρὸσ τὴν ΗΑ, καὶ συνθέντι ἄρα ὡσ ἡ ΒΑ πρὸσ ΑΕ, οὕτωσ ἡ ΔΑ πρὸσ ΑΗ, καὶ ἐναλλὰξ ὡσ ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΔ, οὕτωσ ἡ ΕΑ πρὸσ τὴν ΑΗ. τῶν ἄρα ΑΒΓΔ, ΕΗ παραλληλογράμμων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὴν κοινὴν γωνίαν τὴν ὑπὸ ΒΑΔ. καὶ ἐπεὶ παράλληλόσ ἐστιν ἡ ΗΖ τῇ ΔΓ, ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΑΖΗ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΓΑ· καὶ κοινὴ τῶν δύο τριγώνων τῶν ΑΔΓ, ΑΗΖ ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνία· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔΓ τρίγωνον τῷ ΑΗΖ τριγώνῳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΑΓΒ τρίγωνον ἰσογώνιόν ἐστι τῷ ΑΖΕ τριγώνῳ, καὶ ὅλον τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον τῷ ΕΗ παραλληλογράμμῳ ἰσογώνιόν ἐστιν. ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΑΔ πρὸσ τὴν ΔΓ, οὕτωσ ἡ ΑΗ πρὸσ τὴν ΗΖ, ὡσ δὲ ἡ ΔΓ πρὸσ τὴν ΓΑ, οὕτωσ ἡ ΗΖ πρὸσ τὴν ΖΑ, ὡσ δὲ ἡ ΑΓ πρὸσ τὴν ΓΒ, οὕτωσ ἡ ΑΖ πρὸσ τὴν ΖΕ, καὶ ἔτι ὡσ ἡ ΓΒ πρὸσ τὴν ΒΑ, οὕτωσ ἡ ΖΕ πρὸσ τὴν ΕΑ. καὶ ἐπεὶ ἐδείχθη ὡσ μὲν ἡ ΔΓ πρὸσ τὴν ΓΑ, οὕτωσ ἡ ΗΖ πρὸσ τὴν ΖΑ, ὡσ δὲ ἡ ΑΓ πρὸσ τὴν ΓΒ, οὕτωσ ἡ ΑΖ πρὸσ τὴν ΖΕ, δι’ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡσ ἡ ΔΓ πρὸσ τὴν ΓΒ, οὕτωσ ἡ ΗΖ πρὸσ τὴν ΖΕ. τῶν ἄρα ΑΒΓΔ, ΕΗ παραλληλογράμμων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ· ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον τῷ ΕΗ παραλληλογράμμῳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον καὶ τῷ ΚΘ παραλληλογράμμῳ ὅμοιόν ἐστιν· ἑκάτερον ἄρα τῶν ΕΗ, ΘΚ παραλληλογράμμων τῷ ΑΒΓΔ [παραλληλογράμμῳ] ὅμοιόν ἐστιν. τὰ δὲ τῷ αὐτῷ εὐθυγράμμῳ ὅμοια καὶ ἀλλήλοισ ἐστὶν ὅμοια· καὶ τὸ ΕΗ ἄρα παραλληλόγραμμον τῷ ΘΚ παραλληλογράμμῳ ὅμοιόν ἐστιν. Παντὸσ ἄρα παραλληλογράμμου τὰ περὶ τὴν διάμετρον παραλληλόγραμμα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ καὶ ἀλλήλοισ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ὅμοιον καὶ ἄλλῳ τῷ δοθέντι ἴσον τὸ αὐτὸ συστήσασθαι. Ἔστω τὸ μὲν δοθὲν εὐθύγραμμον, ᾧ δεῖ ὅμοιον συστήσασθαι, τὸ ΑΒΓ, ᾧ δὲ δεῖ ἴσον, τὸ Δ· δεῖ δὴ τῷ μὲν ΑΒΓ ὅμοιον, τῷ δὲ Δ ἴσον τὸ αὐτὸ συστήσασθαι. Παραβεβλήσθω γὰρ παρὰ μὲν τὴν ΒΓ τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΒΕ, παρὰ δὲ τὴν ΓΕ τῷ Δ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΓΜ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΓΕ, ἥ ἐστιν ἴση τῇ ὑπὸ ΓΒΛ. ἐπ’ εὐθείασ ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΒΓ τῇ ΓΖ, ἡ δὲ ΛΕ τῇ ΕΜ. καὶ εἰλήφθω τῶν ΒΓ, ΓΖ μέση ἀνάλογον ἡ ΗΘ, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆσ ΗΘ τῷ ΑΒΓ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίωσ κείμενον τὸ ΚΗΘ. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΗΘ, οὕτωσ ἡ ΗΘ πρὸσ τὴν ΓΖ, ἐὰν δὲ τρεῖσ εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, ἔστιν ὡσ ἡ πρώτη πρὸσ τὴν τρίτην, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ πρώτησ εἶδοσ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ δευτέρασ τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίωσ ἀναγραφόμενον, ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΓΖ, οὕτωσ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΚΗΘ τρίγωνον. ἀλλὰ καὶ ὡσ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΓΖ, οὕτωσ τὸ ΒΕ παραλληλόγραμμον πρὸσ τὸ ΕΖ παραλληλόγραμμον. καὶ ὡσ ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΚΗΘ τρίγωνον, οὕτωσ τὸ ΒΕ παραλληλόγραμμον πρὸσ τὸ ΕΖ παραλληλόγραμμον· ἐναλλὰξ ἄρα ὡσ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΒΕ παραλληλόγραμμον, οὕτωσ τὸ ΚΗΘ τρίγωνον πρὸσ τὸ ΕΖ παραλληλόγραμμον. ἴσον δὲ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΒΕ παραλληλογράμμῳ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ΚΗΘ τρίγωνον τῷ ΕΖ παραλληλογράμμῳ. ἀλλὰ τὸ ΕΖ παραλληλόγραμμον τῷ Δ ἐστιν ἴσον· καὶ τὸ ΚΗΘ ἄρα τῷ Δ ἐστιν ἴσον. ἔστι δὲ τὸ ΚΗΘ καὶ τῷ ΑΒΓ ὅμοιον. Τῷ ἄρα δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ ΑΒΓ ὅμοιον καὶ ἄλλῳ τῷ δοθέντι τῷ Δ ἴσον τὸ αὐτὸ συνέσταται τὸ ΚΗΘ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. Εἂν ἀπὸ παραλληλογράμμου παραλληλόγραμμον ἀφαιρεθῇ ὅμοιόν τε τῷ ὅλῳ καὶ ὁμοίωσ κείμενον κοινὴν γωνίαν ἔχον αὐτῷ, περὶ τὴν αὐτὴν διάμετρόν ἐστι τῷ ὅλῳ. Ἀπὸ γὰρ παραλληλογράμμου τοῦ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον ἀφῃρήσθω τὸ ΑΖ ὅμοιον τῷ ΑΒΓΔ καὶ ὁμοίωσ κείμενον κοινὴν γωνίαν ἔχον αὐτῷ τὴν ὑπὸ ΔΑΒ· λέγω, ὅτι περὶ τὴν αὐτὴν διάμετρόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ τῷ ΑΖ. Μὴ γάρ, ἀλλ’ εἰ δυνατόν, ἔστω [αὐτῶν] διάμετροσ ἡ ΑΘΓ, καὶ ἐκβληθεῖσα ἡ ΗΖ διήχθω ἐπὶ τὸ Θ, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Θ ὁποτέρᾳ τῶν ΑΔ, ΒΓ παράλληλοσ ἡ ΘΚ. Ἐπεὶ οὖν περὶ τὴν αὐτὴν διάμετρόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ τῷ ΚΗ, ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΔΑ πρὸσ τὴν ΑΒ, οὕτωσ ἡ ΗΑ πρὸσ τὴν ΑΚ. ἔστι δὲ καὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΑΒΓΔ, ΕΗ καὶ ὡσ ἡ ΔΑ πρὸσ τὴν ΑΒ, οὕτωσ ἡ ΗΑ πρὸσ τὴν ΑΕ· καὶ ὡσ ἄρα ἡ ΗΑ πρὸσ τὴν ΑΚ, οὕτωσ ἡ ΗΑ πρὸσ τὴν ΑΕ. ἡ ΗΑ ἄρα πρὸσ ἑκατέραν τῶν ΑΚ, ΑΕ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΑΚ ἡ ἐλάττων τῇ μείζονι· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα οὔκ ἐστι περὶ τὴν αὐτὴν διάμετρον τὸ ΑΒΓΔ τῷ ΑΖ· περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα ἐστὶ διάμετρον τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον τῷ ΑΖ παραλληλογράμμῳ. Εἂν ἄρα ἀπὸ παραλληλογράμμου παραλληλόγραμμον ἀφαιρεθῇ ὅμοιόν τε τῷ ὅλῳ καὶ ὁμοίωσ κείμενον κοινὴν γωνίαν ἔχον αὐτῷ, περὶ τὴν αὐτὴν διάμετρόν ἐστι τῷ ὅλῳ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Πάντων τῶν παρὰ τὴν αὐτὴν εὐθεῖαν παραβαλλομένων παραλληλογράμμων καὶ ἐλλειπόντων εἴδεσι παραλληλογράμμοισ ὁμοίοισ τε καὶ ὁμοίωσ κειμένοισ τῷ ἀπὸ τῆσ ἡμισείασ ἀναγραφομένῳ μέγιστόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ἡμισείασ παραβαλλόμενον [παραλληλόγραμμον] ὅμοιον ὂν τῷ ἐλλείμματι. Ἔστω εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Γ, καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν τὸ ΑΔ παραλληλόγραμμον ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ τῷ ΔΒ ἀναγραφέντι ἀπὸ τῆσ ἡμισείασ τῆσ ΑΒ, τουτέστι τῆσ ΓΒ· λέγω, ὅτι πάντων τῶν παρὰ τὴν ΑΒ παραβαλλομένων παραλληλογράμμων καὶ ἐλλειπόντων εἴδεσι [παραλληλογράμμοισ] ὁμοίοισ τε καὶ ὁμοίωσ κειμένοισ τῷ ΔΒ μέγιστόν ἐστι τὸ ΑΔ. παραβεβλήσθω γὰρ παρὰ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν τὸ ΑΖ παραλληλόγραμμον ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ τῷ ΖΒ ὁμοίῳ τε καὶ ὁμοίωσ κειμένῳ τῷ ΔΒ· λέγω, ὅτι μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΔ τοῦ ΑΖ. Ἐπεὶ γὰρ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΔΒ παραλληλόγραμμον τῷ ΖΒ παραλληλογράμμῳ, περὶ τὴν αὐτήν εἰσι διάμετρον. ἤχθω αὐτῶν διάμετροσ ἡ ΔΒ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα. Ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΖ τῷ ΖΕ, κοινὸν δὲ τὸ ΖΒ, ὅλον ἄρα τὸ ΓΘ ὅλῳ τῷ ΚΕ ἐστιν ἴσον. ἀλλὰ τὸ ΓΘ τῷ ΓΗ ἐστιν ἴσον, ἐπεὶ καὶ ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ. καὶ τὸ ΗΓ ἄρα τῷ ΕΚ ἐστιν ἴσον. κοινὸν προσκείσθω τὸ ΓΖ· ὅλον ἄρα τὸ ΑΖ τῷ ΛΜΝ γνώμονί ἐστιν ἴσον· ὥστε τὸ ΔΒ παραλληλόγραμμον, τουτέστι τὸ ΑΔ, τοῦ ΑΖ παραλληλογράμμου μεῖζόν ἐστιν. Πάντων ἄρα τῶν παρὰ τὴν αὐτὴν εὐθεῖαν παραβαλλομένων παραλληλογράμμων καὶ ἐλλειπόντων εἴδεσι παραλληλογράμμοισ ὁμοίοισ τε καὶ ὁμοίωσ κειμένοισ τῷ ἀπὸ τῆσ ἡμισείασ ἀναγραφομένῳ μέγιστόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆσ ἡμισείασ παραβληθέν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ ὁμοίῳ τῷ δοθέντι· δεῖ δὲ τὸ διδόμενον εὐθύγραμμον [ᾧ δεῖ ἴσον παραβαλεῖν] μὴ μεῖζον εἶναι τοῦ ἀπὸ τῆσ ἡμισείασ ἀναγραφομένου ὁμοίου τῷ ἐλλείμματι [τοῦ τε ἀπὸ τῆσ ἡμισείασ καὶ ᾧ δεῖ ὅμοιον ἐλλείπειν]. Ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, τὸ δὲ δοθὲν εὐθύγραμμον, ᾧ δεῖ ἴσον παρὰ τὴν ΑΒ παραβαλεῖν, τὸ Γ μὴ μεῖζον [ὂν] τοῦ ἀπὸ τῆσ ἡμισείασ τῆσ ΑΒ ἀναγραφομένου ὁμοίου τῷ ἐλλείμματι, ᾧ δὲ δεῖ ὅμοιον ἐλλείπειν, τὸ Δ· δεῖ δὴ παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ Γ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ ὁμοίῳ ὄντι τῷ Δ. Τετμήσθω ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆσ ΕΒ τῷ Δ ὅμοιον καὶ ὁμοίωσ κείμενον τὸ ΕΒΖΗ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΑΗ παραλληλόγραμμον. Εἰ μὲν οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΗ τῷ Γ, γεγονὸσ ἂν εἰή τὸ ἐπιταχθέν· παραβέβληται γὰρ παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ Γ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΑΗ ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ τῷ ΗΒ ὁμοίῳ ὄντι τῷ Δ. εἰ δὲ οὔ, μεῖζον ἔστω τὸ ΘΕ τοῦ Γ. ἴσον δὲ τὸ ΘΕ τῷ ΗΒ· μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ΗΒ τοῦ Γ. ᾧ δὴ μεῖζόν ἐστι τὸ ΗΒ τοῦ Γ, ταύτῃ τῇ ὑπεροχῇ ἴσον, τῷ δὲ Δ ὅμοιον καὶ ὁμοίωσ κείμενον τὸ αὐτὸ συνεστάτω τὸ ΚΛΜΝ. ἀλλὰ τὸ Δ τῷ ΗΒ [ἐστιν] ὅμοιον· καὶ τὸ ΚΜ ἄρα τῷ ΗΒ ἐστιν ὅμοιον. ἔστω οὖν ὁμόλογοσ ἡ μὲν ΚΛ τῇ ΗΕ, ἡ δὲ ΛΜ τῇ ΗΖ. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΗΒ τοῖσ Γ, ΚΜ, μεῖζον ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΒ τοῦ ΚΜ· μείζων ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ μὲν ΗΕ τῆσ ΚΛ, ἡ δὲ ΗΖ τῆσ ΛΜ. κείσθω τῇ μὲν ΚΛ ἴση ἡ ΗΞ, τῇ δὲ ΛΜ ἴση ἡ ΗΟ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΞΗΟΠ παραλληλόγραμμον· ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιόν ἐστι [τὸ ΗΠ] τῷ ΚΜ [ἀλλὰ τὸ ΚΜ τῷ ΗΒ ὅμοιόν ἐστιν]. καὶ τὸ ΗΠ ἄρα τῷ ΗΒ ὅμοιόν ἐστιν· περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν ἐστι τὸ ΗΠ τῷ ΗΒ. ἔστω αὐτῶν διάμετροσ ἡ ΗΠΒ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα. Ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ΒΗ τοῖσ Γ, ΚΜ, ὧν τὸ ΗΠ τῷ ΚΜ ἐστιν ἴσον, λοιπὸσ ἄρα ὁ ΥΧΦ γνώμων λοιπῷ τῷ Γ ἴσοσ ἐστίν. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΟΡ τῷ ΞΣ, κοινὸν προσκείσθω τὸ ΠΒ· ὅλον ἄρα τὸ ΟΒ ὅλῳ τῷ ΞΒ ἴσον ἐστίν. ἀλλὰ τὸ ΞΒ τῷ ΤΕ ἐστιν ἴσον, ἐπεὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΑΕ πλευρᾷ τῇ ΕΒ ἐστιν ἴση· καὶ τὸ ΤΕ ἄρα τῷ ΟΒ ἐστιν ἴσον. κοινὸν προσκείσθω τὸ ΞΣ· ὅλον ἄρα τὸ ΤΣ ὅλῳ τῷ ΦΧΥ γνώμονί ἐστιν ἴσον. ἀλλ’ ὁ ΦΧΥ γνώμων τῷ Γ ἐδείχθη ἴσοσ· καὶ τὸ ΤΣ ἄρα τῷ Γ ἐστιν ἴσον. Παρὰ τὴν δοθεῖσαν ἄρα εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ Γ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβέβληται τὸ ΣΤ ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ τῷ ΠΒ ὁμοίῳ ὄντι τῷ Δ [ἐπειδήπερ τὸ ΠΒ τῷ ΗΠ ὅμοιόν ἐστιν]· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. Παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ὑπερβάλλον εἴδει παραλληλογράμμῳ ὁμοίῳ τῷ δοθέντι. Ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, τὸ δὲ δοθὲν εὐθύγραμμον, ᾧ δεῖ ἴσον παρὰ τὴν ΑΒ παραβαλεῖν, τὸ Γ, ᾧ δὲ δεῖ ὅμοιον ὑπερβάλλειν, τὸ Δ· δεῖ δὴ παρὰ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν τῷ Γ εὐθυγράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ὑπερβάλλον εἴδει παραλληλογράμμῳ ὁμοίῳ τῷ Δ. Τετμήσθω ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆσ ΕΒ τῷ Δ ὅμοιον καὶ ὁμοίωσ κείμενον παραλληλόγραμμον τὸ ΒΖ, καὶ συναμφοτέροισ μὲν τοῖσ ΒΖ, Γ ἴσον, τῷ δὲ Δ ὅμοιον καὶ ὁμοίωσ κείμενον τὸ αὐτὸ συνεστάτω τὸ ΗΘ. ὁμόλογοσ δὲ ἔστω ἡ μὲν ΚΘ τῇ ΖΛ, ἡ δὲ ΚΗ τῇ ΖΕ. καὶ ἐπεὶ μεῖζόν ἐστι τὸ ΗΘ τοῦ ΖΒ, μείζων ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ μὲν ΚΘ τῆσ ΖΛ, ἡ δὲ ΚΗ τῆσ ΖΕ. ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΖΛ, ΖΕ, καὶ τῇ μὲν ΚΘ ἴση ἔστω ἡ ΖΛΜ, τῇ δὲ ΚΗ ἴση ἡ ΖΕΝ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΜΝ· τὸ ΜΝ ἄρα τῷ ΗΘ ἴσον τέ ἐστι καὶ ὅμοιον. ἀλλὰ τὸ ΗΘ τῷ ΕΛ ἐστιν ὅμοιον· καὶ τὸ ΜΝ ἄρα τῷ ΕΛ ὅμοιόν ἐστιν· περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν ἐστι τὸ ΕΛ τῷ ΜΝ. ἤχθω αὐτῶν διάμετροσ ἡ ΖΞ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα. Ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΗΘ τοῖσ ΕΛ, Γ, ἀλλὰ τὸ ΗΘ τῷ ΜΝ ἴσον ἐστίν, καὶ τὸ ΜΝ ἄρα τοῖσ ΕΛ, Γ ἴσον ἐστίν. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΕΛ· λοιπὸσ ἄρα ὁ ΨΧΦ γνώμων τῷ Γ ἐστιν ἴσοσ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ΑΝ τῷ ΝΒ, τουτέστι τῷ ΛΟ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ΕΞ· ὅλον ἄρα τὸ ΑΞ ἴσον ἐστὶ τῷ ΦΧΨ γνώμονι. ἀλλὰ ὁ ΦΧΨ γνώμων τῷ Γ ἴσοσ ἐστίν· καὶ τὸ ΑΞ ἄρα τῷ Γ ἴσον ἐστίν. Παρὰ τὴν δοθεῖσαν ἄρα εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ Γ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβέβληται τὸ ΑΞ ὑπερβάλλον εἴδει παραλληλογράμμῳ τῷ ΠΟ ὁμοίῳ ὄντι τῷ Δ, ἐπεὶ καὶ τῷ ΕΛ ἐστιν ὅμοιον τὸ ΟΠ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. Τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν πεπερασμένην ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμεῖν. Ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα πεπερασμένη ἡ ΑΒ· δεῖ δὴ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμεῖν. Ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆσ ΑΒ τετράγωνον τὸ ΒΓ, καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΑΓ τῇ ΒΓ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΓΔ ὑπερβάλλον εἴδει τῷ ΑΔ ὁμοίῳ τῷ ΒΓ. Τετράγωνον δέ ἐστι τὸ ΒΓ· τετράγωνον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΑΔ. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΒΓ τῷ ΓΔ, κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΓΕ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΒΖ λοιπῷ τῷ ΑΔ ἐστιν ἴσον. ἔστι δὲ αὐτῷ καὶ ἰσογώνιον· τῶν ΒΖ, ΑΔ ἄρα ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰσ ἴσασ γωνίασ· ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΖΕ πρὸσ τὴν ΕΔ, οὕτωσ ἡ ΑΕ πρὸσ τὴν ΕΒ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΖΕ τῇ ΑΒ, ἡ δὲ ΕΔ τῇ ΑΕ. ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΕ, οὕτωσ ἡ ΑΕ πρὸσ τὴν ΕΒ. μείζων δὲ ἡ ΑΒ τῆσ ΑΕ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΑΕ τῆσ ΕΒ. Ἡ ἄρα ΑΒ εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ε, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆσ τμῆμά ἐστι τὸ ΑΕ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. Ἐν τοῖσ ὀρθογωνίοισ τριγώνοισ τὸ ἀπὸ τῆσ τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσησ πλευρᾶσ εἶδοσ ἴσον ἐστὶ τοῖσ ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν εἴδεσι τοῖσ ὁμοίοισ τε καὶ ὁμοίωσ ἀναγραφομένοισ. Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν· λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΓ εἶδοσ ἴσον ἐστὶ τοῖσ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ εἴδεσι τοῖσ ὁμοίοισ τε καὶ ὁμοίωσ ἀναγραφομένοισ. Ἤχθω κάθετοσ ἡ ΑΔ. Ἐπεὶ οὖν ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ τῷ ΑΒΓ ἀπὸ τῆσ πρὸσ τῷ Α ὀρθῆσ γωνίασ ἐπὶ τὴν ΒΓ βάσιν κάθετοσ ἦκται ἡ ΑΔ, τὰ ΑΒΔ, ΑΔΓ πρὸσ τῇ καθέτῳ τρίγωνα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ τῷ ΑΒΓ καὶ ἀλλήλοισ. καὶ ἐπεὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τῷ ΑΒΔ, ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ ΓΒ πρὸσ τὴν ΒΑ, οὕτωσ ἡ ΑΒ πρὸσ τὴν ΒΔ. καὶ ἐπεὶ τρεῖσ εὐθεῖαι ἀνάλογόν εἰσιν, ἔστιν ὡσ ἡ πρώτη πρὸσ τὴν τρίτην, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ πρώτησ εἶδοσ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ δευτέρασ τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίωσ ἀναγραφόμενον. ὡσ ἄρα ἡ ΓΒ πρὸσ τὴν ΒΔ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΓΒ εἶδοσ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΑ τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίωσ ἀναγραφόμενον. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡσ ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΓΔ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΓ εἶδοσ πρὸσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΓΑ. ὥστε καὶ ὡσ ἡ ΒΓ πρὸσ τὰσ ΒΔ, ΔΓ, οὕτωσ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΓ εἶδοσ πρὸσ τὰ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ τὰ ὅμοια καὶ ὁμοίωσ ἀναγραφόμενα. ἴση δὲ ἡ ΒΓ ταῖσ ΒΔ, ΔΓ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆσ ΒΓ εἶδοσ τοῖσ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ εἴδεσι τοῖσ ὁμοίοισ τε καὶ ὁμοίωσ ἀναγραφομένοισ. Ἐν ἄρα τοῖσ ὀρθογωνίοισ τριγώνοισ τὸ ἀπὸ τῆσ τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσησ πλευρᾶσ εἶδοσ ἴσον ἐστὶ τοῖσ ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν εἴδεσι τοῖσ ὁμοίοισ τε καὶ ὁμοίωσ ἀναγραφομένοισ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν δύο τρίγωνα συντεθῇ κατὰ μίαν γωνίαν τὰσ δύο πλευρὰσ ταῖσ δυσὶ πλευραῖσ ἀνάλογον ἔχοντα ὥστε τὰσ ὁμολόγουσ αὐτῶν πλευρὰσ καὶ παραλλήλουσ εἶναι, αἱ λοιπαὶ τῶν τριγώνων πλευραὶ ἐπ’ εὐθείασ ἔσονται. Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΓΕ τὰσ δύο πλευρὰσ τὰσ ΒΑ, ΑΓ ταῖσ δυσὶ πλευραῖσ ταῖσ ΔΓ, ΔΕ ἀνάλογον ἔχοντα, ὡσ μὲν τὴν ΑΒ πρὸσ τὴν ΑΓ, οὕτωσ τὴν ΔΓ πρὸσ τὴν ΔΕ, παράλληλον δὲ τὴν μὲν ΑΒ τῇ ΔΓ, τὴν δὲ ΑΓ τῇ ΔΕ· λέγω, ὅτι ἐπ’ εὐθείασ ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΓΕ. Ἐπεὶ γὰρ παράλληλόσ ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΔΓ, καὶ εἰσ αὐτὰσ ἐμπέπτωκεν εὐθεῖα ἡ ΑΓ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΓΔ ἴσαι ἀλλήλαισ εἰσίν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΔΕ τῇ ὑπὸ ΑΓΔ ἴση ἐστίν. ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΓΔΕ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ δύο τρίγωνά ἐστι τὰ ΑΒΓ, ΔΓΕ μίαν γωνίαν τὴν πρὸσ τῷ Α μιᾷ γωνίᾳ τῇ πρὸσ τῷ Δ ἴσην ἔχοντα, περὶ δὲ τὰσ ἴσασ γωνίασ τὰσ πλευρὰσ ἀνάλογον, ὡσ τὴν ΒΑ πρὸσ τὴν ΑΓ, οὕτωσ τὴν ΓΔ πρὸσ τὴν ΔΕ, ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΓΕ τριγώνῳ· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΓΕ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΔ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ ἴση· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΕ δυσὶ ταῖσ ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΑΓ ἴση ἐστίν. κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΓΒ· αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΓΕ, ΑΓΒ ταῖσ ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΓΒ, ΓΒΑ ἴσαι εἰσίν. ἀλλ’ αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΒΓ, ΑΓΒ δυσὶν ὀρθαῖσ ἴσαι εἰσίν· καὶ αἱ ὑπὸ ΑΓΕ, ΑΓΒ ἄρα δυσὶν ὀρθαῖσ ἴσαι εἰσίν. πρὸσ δή τινι εὐθείᾳ τῇ ΑΓ καὶ τῷ πρὸσ αὐτῇ σημείῳ τῷ Γ δύο εὐθεῖαι αἱ ΒΓ, ΓΕ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰσ ἐφεξῆσ γωνίασ τὰσ ὑπὸ ΑΓΕ, ΑΓΒ δυσὶν ὀρθαῖσ ἴσασ ποιοῦσιν· ἐπ’ εὐθείασ ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΓΕ. Εἂν ἄρα δύο τρίγωνα συντεθῇ κατὰ μίαν γωνίαν τὰσ δύο πλευρὰσ ταῖσ δυσὶ πλευραῖσ ἀνάλογον ἔχοντα ὥστε τὰσ ὁμολόγουσ αὐτῶν πλευρὰσ καὶ παραλλήλουσ εἶναι, αἱ λοιπαὶ τῶν τριγώνων πλευραὶ ἐπ’ εὐθείασ ἔσονται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἐν τοῖσ ἴσοισ κύκλοισ αἱ γωνίαι τὸν αὐτὸν ἔχουσι λόγον ταῖσ περιφερείαισ, ἐφ’ ὧν βεβήκασιν, ἐάν τε πρὸσ τοῖσ κέντροισ ἐάν τε πρὸσ ταῖσ περιφερείαισ ὦσι βεβηκυῖαι. Ἔστωσαν ἴσοι κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ, καὶ πρὸσ μὲν τοῖσ κέντροισ αὐτῶν τοῖσ Η, Θ γωνίαι ἔστωσαν αἱ ὑπὸ ΒΗΓ, ΕΘΖ, πρὸσ δὲ ταῖσ περιφερείαισ αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΕΔΖ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡσ ἡ ΒΓ περιφέρεια πρὸσ τὴν ΕΖ περιφέρειαν, οὕτωσ ἥ τε ὑπὸ ΒΗΓ γωνία πρὸσ τὴν ὑπὸ ΕΘΖ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸσ τὴν ὑπὸ ΕΔΖ. Κείσθωσαν γὰρ τῇ μὲν ΒΓ περιφερείᾳ ἴσαι κατὰ τὸ ἑξῆσ ὁσαιδηποτοῦν αἱ ΓΚ, ΚΛ, τῇ δὲ ΕΖ περιφερείᾳ ἴσαι ὁσαιδηποτοῦν αἱ ΖΜ, ΜΝ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΚ, ΗΛ, ΘΜ, ΘΝ. Ἐπεὶ οὖν ἴσαι εἰσὶν αἱ ΒΓ, ΓΚ, ΚΛ περιφέρειαι ἀλλήλαισ, ἴσαι εἰσὶ καὶ αἱ ὑπὸ ΒΗΓ, ΓΗΚ, ΚΗΛ γωνίαι ἀλλήλαισ· ὁσαπλασίων ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΛ περιφέρεια τῆσ ΒΓ, τοσαυταπλασίων ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΗΛ γωνία τῆσ ὑπὸ ΒΗΓ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁσαπλασίων ἐστὶν ἡ ΝΕ περιφέρεια τῆσ ΕΖ, τοσαυταπλασίων ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΝΘΕ γωνία τῆσ ὑπὸ ΕΘΖ. εἰ ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ΒΛ περιφέρεια τῇ ΕΝ περιφερείᾳ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΗΛ τῇ ὑπὸ ΕΘΝ, καὶ εἰ μείζων ἐστὶν ἡ ΒΛ περιφέρεια τῆσ ΕΝ περιφερείασ, μείζων ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΗΛ γωνία τῆσ ὑπὸ ΕΘΝ, καὶ εἰ ἐλάσσων, ἐλάσσων. τεσσάρων δὴ ὄντων μεγεθῶν, δύο μὲν περιφερειῶν τῶν ΒΓ, ΕΖ, δύο δὲ γωνιῶν τῶν ὑπὸ ΒΗΓ, ΕΘΖ, εἴληπται τῆσ μὲν ΒΓ περιφερείασ καὶ τῆσ ὑπὸ ΒΗΓ γωνίασ ἰσάκισ πολλαπλασίων ἥ τε ΒΛ περιφέρεια καὶ ἡ ὑπὸ ΒΗΛ γωνία, τῆσ δὲ ΕΖ περιφερείασ καὶ τῆσ ὑπὸ ΕΘΖ γωνίασ ἥ τε ΕΝ περιφέρεια καὶ ἡ ὑπὸ ΕΘΝ γωνία. καὶ δέδεικται, ὅτι εἰ ὑπερέχει ἡ ΒΛ περιφέρεια τῆσ ΕΝ περιφερείασ, ὑπερέχει καὶ ἡ ὑπὸ ΒΗΛ γωνία τῆσ ὑπὸ ΕΘΝ γωνίασ, καὶ εἰ ἴση, ἴση, καὶ εἰ ἐλάσσων, ἐλάσσων. ἔστιν ἄρα, ὡσ ἡ ΒΓ περιφέρεια πρὸσ τὴν ΕΖ, οὕτωσ ἡ ὑπὸ ΒΗΓ γωνία πρὸσ τὴν ὑπὸ ΕΘΖ. ἀλλ’ ὡσ ἡ ὑπὸ ΒΗΓ γωνία πρὸσ τὴν ὑπὸ ΕΘΖ, οὕτωσ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸσ τὴν ὑπὸ ΕΔΖ· διπλασία γὰρ ἑκατέρα ἑκατέρασ. καὶ ὡσ ἄρα ἡ ΒΓ περιφέρεια πρὸσ τὴν ΕΖ περιφέρειαν, οὕτωσ ἥ τε ὑπὸ ΒΗΓ γωνία πρὸσ τὴν ὑπὸ ΕΘΖ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸσ τὴν ὑπὸ ΕΔΖ. Ἐν ἄρα τοῖσ ἴσοισ κύκλοισ αἱ γωνίαι τὸν αὐτὸν ἔχουσι λόγον ταῖσ περιφερείαισ, ἐφ’ ὧν βεβήκασιν, ἐάν τε πρὸσ τοῖσ κέντροισ ἐάν τε πρὸσ ταῖσ περιφερείαισ ὦσι βεβηκυῖαι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

MENU NAVIGATION

호흡부호 보기

강세부호 보기

장단부호 보기

작은 Iota 보기

모든 부호 보기

헬라어 텍스트

Euclid, Elements, book 6, type Prop

(유클리드, Elements, book 6, type Prop)

상위

목록

SEARCH

MENU NAVIGATION