Euclid, Elements, book 5, type Prop

Εἂν ᾖ ὁποσαοῦν μεγέθη ὁποσωνοῦν μεγεθῶν ἴσων τὸ πλῆθοσ ἕκαστον ἑκάστου ἰσάκισ πολλαπλάσιον, ὁσαπλάσιόν ἐστιν ἓν τῶν μεγεθῶν ἑνόσ, τοσαυταπλάσια ἔσται καὶ τὰ πάντα τῶν πάντων. Ἔστω ὁποσαοῦν μεγέθη τὰ ΑΒ, ΓΔ ὁποσωνοῦν μεγεθῶν τῶν Ε, Ζ ἴσων τὸ πλῆθοσ ἕκαστον ἑκάστου ἰσάκισ πολλαπλάσιον· λέγω, ὅτι ὁσαπλάσιόν ἐστι τὸ ΑΒ τοῦ Ε, τοσαυταπλάσια ἔσται καὶ τὰ ΑΒ, ΓΔ τῶν Ε, Ζ. Ἐπεὶ γὰρ ἰσάκισ ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Ε καὶ τὸ ΓΔ τοῦ Ζ, ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ μεγέθη ἴσα τῷ Ε, τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΓΔ ἴσα τῷ Ζ. διῃρήσθω τὸ μὲν ΑΒ εἰσ τὰ τῷ Ε μεγέθη ἴσα τὰ ΑΗ, ΗΒ, τὸ δὲ ΓΔ εἰσ τὰ τῷ Ζ ἴσα τὰ ΓΘ, ΘΔ· ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθοσ τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ πλήθει τῶν ΓΘ, ΘΔ. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ μὲν ΑΗ τῷ Ε, τὸ δὲ ΓΘ τῷ Ζ, ἴσον ἄρα τὸ ΑΗ τῷ Ε, καὶ τὰ ΑΗ, ΓΘ τοῖσ Ε, Ζ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἴσον ἐστὶ τὸ ΗΒ τῷ Ε, καὶ τὰ ΗΒ, ΘΔ τοῖσ Ε, Ζ· ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ ἴσα τῷ Ε, τοσαῦτα καὶ ἐν τοῖσ ΑΒ, ΓΔ ἴσα τοῖσ Ε, Ζ· ὁσαπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒ τοῦ Ε, τοσαυταπλάσια ἔσται καὶ τὰ ΑΒ, ΓΔ τῶν Ε, Ζ. Εἂν ἄρα ᾖ ὁποσαοῦν μεγέθη ὁποσωνοῦν μεγεθῶν ἴσων τὸ πλῆθοσ ἕκαστον ἑκάστου ἰσάκισ πολλαπλάσιον, ὁσαπλάσιόν ἐστιν ἓν τῶν μεγεθῶν ἑνόσ, τοσαυταπλάσια ἔσται καὶ τὰ πάντα τῶν πάντων· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν πρῶτον δευτέρου ἰσάκισ ᾖ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τετάρτου, ᾖ δὲ καὶ πέμπτον δευτέρου ἰσάκισ πολλαπλάσιον καὶ ἕκτον τετάρτου, καὶ συντεθὲν πρῶτον καὶ πέμπτον δευτέρου ἰσάκισ ἔσται πολλαπλάσιον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον τετάρτου. Πρῶτον γὰρ τὸ ΑΒ δευτέρου τοῦ Γ ἰσάκισ ἔστω πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τὸ ΔΕ τετάρτου τοῦ Ζ, ἔστω δὲ καὶ πέμπτον τὸ ΒΗ δευτέρου τοῦ Γ ἰσάκισ πολλαπλάσιον καὶ ἕκτον τὸ ΕΘ τετάρτου τοῦ Ζ· λέγω, ὅτι καὶ συντεθὲν πρῶτον καὶ πέμπτον τὸ ΑΗ δευτέρου τοῦ Γ ἰσάκισ ἔσται πολλαπλάσιον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον τὸ ΔΘ τετάρτου τοῦ Ζ. Ἐπεὶ γὰρ ἰσάκισ ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Γ καὶ τὸ ΔΕ τοῦ Ζ, ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ ἴσα τῷ Γ, τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΔΕ ἴσα τῷ Ζ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὅσα ἐστὶν ἐν τῷ ΒΗ ἴσα τῷ Γ, τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΕΘ ἴσα τῷ Ζ· ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν ὅλῳ τῷ ΑΗ ἴσα τῷ Γ, τοσαῦτα καὶ ἐν ὅλῳ τῷ ΔΘ ἴσα τῷ Ζ· ὁσαπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΗ τοῦ Γ, τοσαυταπλάσιον ἔσται καὶ τὸ ΔΘ τοῦ Ζ. καὶ συντεθὲν ἄρα πρῶτον καὶ πέμπτον τὸ ΑΗ δευτέρου τοῦ Γ ἰσάκισ ἔσται πολλαπλάσιον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον τὸ ΔΘ τετάρτου τοῦ Ζ. Εἂν ἄρα πρῶτον δευτέρου ἰσάκισ ᾖ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τετάρτου, ᾖ δὲ καὶ πέμπτον δευτέρου ἰσάκισ πολλαπλάσιον καὶ ἕκτον τετάρτου, καὶ συντεθὲν πρῶτον καὶ πέμπτον δευτέρου ἰσάκισ ἔσται πολλαπλάσιον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον τετάρτου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν πρῶτον δευτέρου ἰσάκισ ᾖ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τετάρτου, ληφθῇ δὲ ἰσάκισ πολλαπλάσια τοῦ τε πρώτου καὶ τρίτου, καὶ δι’ ἴσου τῶν ληφθέντων ἑκάτερον ἑκατέρου ἰσάκισ ἔσται πολλαπλάσιον τὸ μὲν τοῦ δευτέρου τὸ δὲ τοῦ τετάρτου. Πρῶτον γὰρ τὸ Α δευτέρου τοῦ Β ἰσάκισ ἔστω πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τὸ Γ τετάρτου τοῦ Δ, καὶ εἰλήφθω τῶν Α, Γ ἰσάκισ πολλαπλάσια τὰ ΕΖ, ΗΘ· λέγω, ὅτι ἰσάκισ ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΕΖ τοῦ Β καὶ τὸ ΗΘ τοῦ Δ. Ἐπεὶ γὰρ ἰσάκισ ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΕΖ τοῦ Α καὶ τὸ ΗΘ τοῦ Γ, ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΕΖ ἴσα τῷ Α, τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΗΘ ἴσα τῷ Γ. διῃρήσθω τὸ μὲν ΕΖ εἰσ τὰ τῷ Α μεγέθη ἴσα τὰ ΕΚ, ΚΖ, τὸ δὲ ΗΘ εἰσ τὰ τῷ Γ ἴσα τὰ ΗΛ, ΛΘ· ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθοσ τῶν ΕΚ, ΚΖ τῷ πλήθει τῶν ΗΛ, ΛΘ. καὶ ἐπεὶ ἰσάκισ ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ Α τοῦ Β καὶ τὸ Γ τοῦ Δ, ἴσον δὲ τὸ μὲν ΕΚ τῷ Α, τὸ δὲ ΗΛ τῷ Γ, ἰσάκισ ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΕΚ τοῦ Β καὶ τὸ ΗΛ τοῦ Δ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἰσάκισ ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΚΖ τοῦ Β καὶ τὸ ΛΘ τοῦ Δ. ἐπεὶ οὖν πρῶτον τὸ ΕΚ δευτέρου τοῦ Β ἰσάκισ ἐστὶ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τὸ ΗΛ τετάρτου τοῦ Δ, ἔστι δὲ καὶ πέμπτον τὸ ΚΖ δευτέρου τοῦ Β ἰσάκισ πολλαπλάσιον καὶ ἕκτον τὸ ΛΘ τετάρτου τοῦ Δ, καὶ συντεθὲν ἄρα πρῶτον καὶ πέμπτον τὸ ΕΖ δευτέρου τοῦ Β ἰσάκισ ἐστὶ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον τὸ ΗΘ τετάρτου τοῦ Δ. Εἂν ἄρα πρῶτον δευτέρου ἰσάκισ ᾖ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τετάρτου, ληφθῇ δὲ τοῦ πρώτου καὶ τρίτου ἰσάκισ πολλαπλάσια, καὶ δι’ ἴσου τῶν ληφθέντων ἑκάτερον ἑκατέρου ἰσάκισ ἔσται πολλαπλάσιον τὸ μὲν τοῦ δευτέρου τὸ δὲ τοῦ τετάρτου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν πρῶτον πρὸσ δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸσ τέταρτον, καὶ τὰ ἰσάκισ πολλαπλάσια τοῦ τε πρώτου καὶ τρίτου πρὸσ τὰ ἰσάκισ πολλαπλάσια τοῦ δευτέρου καὶ τετάρτου καθ’ ὁποιονοῦν πολλαπλασιασμὸν τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον ληφθέντα κατάλληλα. Πρῶτον γὰρ τὸ Α πρὸσ δεύτερον τὸ Β τὸν αὐτὸν ἐχέτω λόγον καὶ τρίτον τὸ Γ πρὸσ τέταρτον τὸ Δ, καὶ εἰλήφθω τῶν μὲν Α, Γ ἰσάκισ πολλαπλάσια τὰ Ε, Ζ, τῶν δὲ Β, Δ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκισ πολλαπλάσια τὰ Η, Θ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡσ τὸ Ε πρὸσ τὸ Η, οὕτωσ τὸ Ζ πρὸσ τὸ Θ. Εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν Ε, Ζ ἰσάκισ πολλαπλάσια τὰ Κ, Λ, τῶν δὲ Η, Θ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκισ πολλαπλάσια τὰ Μ, Ν. [Καὶ] ἐπεὶ ἰσάκισ ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ μὲν Ε τοῦ Α, τὸ δὲ Ζ τοῦ Γ, καὶ εἴληπται τῶν Ε, Ζ ἰσάκισ πολλαπλάσια τὰ Κ, Λ, ἰσάκισ ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ Κ τοῦ Α καὶ τὸ Λ τοῦ Γ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἰσάκισ ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ Μ τοῦ Β καὶ τὸ Ν τοῦ Λ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ τὸ Α πρὸσ τὸ Β, οὕτωσ τὸ Γ πρὸσ τὸ Δ, καὶ εἴληπται τῶν μὲν Α, Γ ἰσάκισ πολλαπλάσια τὰ Κ, Λ, τῶν δὲ Β, Δ ἄλλα ἃ ἔτυχεν, ἰσάκισ πολλαπλάσια τὰ Μ, Ν, εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Κ τοῦ Μ, ὑπερέχει καὶ τὸ Λ τοῦ Ν, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον. καί ἐστι τὰ μὲν Κ, Λ τῶν Ε, Ζ ἰσάκισ πολλαπλάσια, τὰ δὲ Μ, Ν τῶν Η, Θ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκισ πολλαπλάσια· ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ Ε πρὸσ τὸ Η, οὕτωσ τὸ Ζ πρὸσ τὸ Θ. Εἂν ἄρα πρῶτον πρὸσ δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸσ τέταρτον, καὶ τὰ ἰσάκισ πολλαπλάσια τοῦ τε πρώτου καὶ τρίτου πρὸσ τὰ ἰσάκισ πολλαπλάσια τοῦ δευτέρου καὶ τετάρτου τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον καθ’ ὁποιονοῦν πολλαπλασιασμὸν ληφθέντα κατάλληλα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν μέγεθοσ μεγέθουσ ἰσάκισ ᾖ πολλαπλάσιον, ὅπερ ἀφαιρεθὲν ἀφαιρεθέντοσ, καὶ τὸ λοιπὸν τοῦ λοιποῦ ἰσάκισ ἔσται πολλαπλάσιον, ὁσαπλάσιόν ἐστι τὸ ὅλον τοῦ ὅλου. Μέγεθοσ γὰρ τὸ ΑΒ μεγέθουσ τοῦ ΓΔ ἰσάκισ ἔστω πολλαπλάσιον, ὅπερ ἀφαιρεθὲν τὸ ΑΕ ἀφαιρεθέντοσ τοῦ ΓΖ· λέγω, ὅτι καὶ λοιπὸν τὸ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ ἰσάκισ ἔσται πολλαπλάσιον, ὁσαπλάσιόν ἐστιν ὅλον τὸ ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ. Ὁσαπλάσιον γάρ ἐστι τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ, τοσαυταπλάσιον γεγονέτω καὶ τὸ ΕΒ τοῦ ΓΗ. Καὶ ἐπεὶ ἰσάκισ ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΕΒ τοῦ ΗΓ, ἰσάκισ ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΑΒ τοῦ ΗΖ. κεῖται δὲ ἰσάκισ πολλαπλάσιον τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ. ἰσάκισ ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ ἑκατέρου τῶν ΗΖ, ΓΔ· ἴσον ἄρα τὸ ΗΖ τῷ ΓΔ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΓΖ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΗΓ λοιπῷ τῷ ΖΔ ἴσον ἐστίν. καὶ ἐπεὶ ἰσάκισ ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΕΒ τοῦ ΗΓ, ἴσον δὲ τὸ ΗΓ τῷ ΔΖ, ἰσάκισ ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΕΒ τοῦ ΖΔ. ἰσάκισ δὲ ὑπόκειται πολλαπλάσιον τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ· ἰσάκισ ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΕΒ τοῦ ΖΔ καὶ τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ. καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ ἰσάκισ ἔσται πολλαπλάσιον, ὁσαπλάσιόν ἐστιν ὅλον τὸ ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ. Εἂν ἄρα μέγεθοσ μεγέθουσ ἰσάκισ ᾖ πολλαπλάσιον, ὅπερ ἀφαιρεθὲν ἀφαιρεθέντοσ, καὶ τὸ λοιπὸν τοῦ λοιποῦ ἰσάκισ ἔσται πολλαπλάσιον, ὁσαπλάσιόν ἐστι καὶ τὸ ὅλον τοῦ ὅλου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν δύο μεγέθη δύο μεγεθῶν ἰσάκισ ᾖ πολλαπλάσια, καὶ ἀφαιρεθέντα τινὰ τῶν αὐτῶν ἰσάκισ ᾖ πολλαπλάσια, καὶ τὰ λοιπὰ τοῖσ αὐτοῖσ ἤτοι ἴσα ἐστὶν ἢ ἰσάκισ αὐτῶν πολλαπλάσια. Δύο γὰρ μεγέθη τὰ ΑΒ, ΓΔ δύο μεγεθῶν τῶν Ε, Ζ ἰσάκισ ἔστω πολλαπλάσια, καὶ ἀφαιρεθέντα τὰ ΑΗ, ΓΘ τῶν αὐτῶν τῶν Ε, Ζ ἰσάκισ ἔστω πολλαπλάσια· λέγω, ὅτι καὶ λοιπὰ τὰ ΗΒ, ΘΔ τοῖσ Ε, Ζ ἤτοι ἴσα ἐστὶν ἢ ἰσάκισ αὐτῶν πολλαπλάσια. Ἔστω γὰρ πρότερον τὸ ΗΒ τῷ Ε ἴσον. λέγω, ὅτι καὶ τὸ ΘΔ τῷ Ζ ἴσον ἐστίν. Κείσθω γὰρ τῷ Ζ ἴσον τὸ ΓΚ. ἐπεὶ ἰσάκισ ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΗ τοῦ Ε καὶ τὸ ΓΘ τοῦ Ζ, ἴσον δὲ τὸ μὲν ΗΒ τῷ Ε, τὸ δὲ ΚΓ τῷ Ζ, ἰσάκισ ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Ε καὶ τὸ ΚΘ τοῦ Ζ. ἰσάκισ δὲ ὑπόκειται πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Ε καὶ τὸ ΓΔ τοῦ Ζ· ἰσάκισ ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΚΘ τοῦ Ζ καὶ τὸ ΓΔ τοῦ Ζ. ἐπεὶ οὖν ἑκάτερον τῶν ΚΘ, ΓΔ τοῦ Ζ ἰσάκισ ἐστὶ πολλαπλάσιον, ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΚΘ τῷ ΓΔ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΓΘ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΚΓ λοιπῷ τῷ ΘΔ ἴσον ἐστίν. ἀλλὰ τὸ Ζ τῷ ΚΓ ἐστιν ἴσον· καὶ τὸ ΘΔ ἄρα τῷ Ζ ἴσον ἐστίν. ὥστε εἰ τὸ ΗΒ τῷ Ε ἴσον ἐστίν, καὶ τὸ ΘΔ ἴσον ἔσται τῷ Ζ. Ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι, κἂν πολλαπλάσιον ᾖ τὸ ΗΒ τοῦ Ε, τοσαυταπλάσιον ἔσται καὶ τὸ ΘΔ τοῦ Ζ. Εἂν ἄρα δύο μεγέθη δύο μεγεθῶν ἰσάκισ ᾖ πολλαπλάσια, καὶ ἀφαιρεθέντα τινὰ τῶν αὐτῶν ἰσάκισ ᾖ πολλαπλάσια, καὶ τὰ λοιπὰ τοῖσ αὐτοῖσ ἤτοι ἴσα ἐστὶν ἢ ἰσάκισ αὐτῶν πολλαπλάσια· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τὰ ἴσα πρὸσ τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον καὶ τὸ αὐτὸ πρὸσ τὰ ἴσα. Ἔστω ἴσα μεγέθη τὰ Α, Β, ἄλλο δέ τι, ὃ ἔτυχεν, μέγεθοσ τὸ Γ· λέγω, ὅτι ἑκάτερον τῶν Α, Β πρὸσ τὸ Γ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, καὶ τὸ Γ πρὸσ ἑκάτερον τῶν Α, Β. Εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν Α, Β ἰσάκισ πολλαπλάσια τὰ Δ, Ε, τοῦ δὲ Γ ἄλλο, ὃ ἔτυχεν, πολλαπλάσιον τὸ Ζ. Ἐπεὶ οὖν ἰσάκισ ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ Δ τοῦ Α καὶ τὸ Ε τοῦ Β, ἴσον δὲ τὸ Α τῷ Β, ἴσον ἄρα καὶ τὸ Δ τῷ Ε. ἄλλο δέ, ὃ ἔτυχεν, τὸ Ζ. Εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Δ τοῦ Ζ, ὑπερέχει καὶ τὸ Ε τοῦ Ζ, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον. καί ἐστι τὰ μὲν Δ, Ε τῶν Α, Β ἰσάκισ πολλαπλάσια, τὸ δὲ Ζ τοῦ Γ ἄλλο, ὃ ἔτυχεν, πολλαπλάσιον· ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ Α πρὸσ τὸ Γ, οὕτωσ τὸ Β πρὸσ τὸ Γ. Λέγω [δή], ὅτι καὶ τὸ Γ πρὸσ ἑκάτερον τῶν Α, Β τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον. Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίωσ δείξομεν, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ Δ τῷ Ε· ἄλλο δέ τι τὸ Ζ· εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Ζ τοῦ Δ, ὑπερέχει καὶ τοῦ Ε, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον. καί ἐστι τὸ μὲν Ζ τοῦ Γ πολλαπλάσιον, τὰ δὲ Δ, Ε τῶν Α, Β ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκισ πολλαπλάσια· ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ Γ πρὸσ τὸ Α, οὕτωσ τὸ Γ πρὸσ τὸ Β. Τὰ ἴσα ἄρα πρὸσ τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον καὶ τὸ αὐτὸ πρὸσ τὰ ἴσα. Πόρισμα Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἐὰν μεγέθη τινὰ ἀνάλογον ᾖ, καὶ ἀνάπαλιν ἀνάλογον ἔσται. ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τῶν ἀνίσων μεγεθῶν τὸ μεῖζον πρὸσ τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἔλαττον. καὶ τὸ αὐτὸ πρὸσ τὸ ἔλαττον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸσ τὸ μεῖζον. Ἔστω ἄνισα μεγέθη τὰ ΑΒ, Γ, καὶ ἔστω μεῖζον τὸ ΑΒ, ἄλλο δέ, ὃ ἔτυχεν, τὸ Δ· λέγω, ὅτι τὸ ΑΒ πρὸσ τὸ Δ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸσ τὸ Δ, καὶ τὸ Δ πρὸσ τὸ Γ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸσ τὸ ΑΒ. Ἐπεὶ γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΒ τοῦ Γ, κείσθω τῷ Γ ἴσον τὸ ΒΕ· τὸ δὴ ἔλασσον τῶν ΑΕ, ΕΒ πολλαπλασιαζόμενον ἔσται ποτὲ τοῦ Δ μεῖζον. ἔστω πρότερον τὸ ΑΕ ἔλαττον τοῦ ΕΒ, καὶ πεπολλαπλασιάσθω τὸ ΑΕ, καὶ ἔστω αὐτοῦ πολλαπλάσιον τὸ ΖΗ μεῖζον ὂν τοῦ Δ, καὶ ὁσαπλάσιόν ἐστι τὸ ΖΗ τοῦ ΑΕ, τοσαυταπλάσιον γεγονέτω καὶ τὸ μὲν ΗΘ τοῦ ΕΒ τὸ δὲ Κ τοῦ Γ· καὶ εἰλήφθω τοῦ Δ διπλάσιον μὲν τὸ Λ, τριπλάσιον δὲ τὸ Μ, καὶ ἑξῆσ ἑνὶ πλεῖον, ἑώσ ἂν τὸ λαμβανόμενον πολλαπλάσιον μὲν γένηται τοῦ Δ, πρώτωσ δὲ μεῖζον τοῦ Κ. εἰλήφθω, καὶ ἔστω τὸ Ν τετραπλάσιον μὲν τοῦ Δ, πρώτωσ δὲ μεῖζον τοῦ Κ. Ἐπεὶ οὖν τὸ Κ τοῦ Ν πρώτωσ ἐστὶν ἔλαττον, τὸ Κ ἄρα τοῦ Μ οὔκ ἐστιν ἔλαττον. καὶ ἐπεὶ ἰσάκισ ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΖΗ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ ΗΘ τοῦ ΕΒ, ἰσάκισ ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΖΗ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ ΖΘ τοῦ ΑΒ. ἰσάκισ δέ ἐστι πολλαπλάσιον τὸ ΖΗ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ Κ τοῦ Γ· ἰσάκισ ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΖΘ τοῦ ΑΒ καὶ τὸ Κ τοῦ Γ. τὰ ΖΘ, Κ ἄρα τῶν ΑΒ, Γ ἰσάκισ ἐστὶ πολλαπλάσια. πάλιν, ἐπεὶ ἰσάκισ ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΗΘ τοῦ ΕΒ καὶ τὸ Κ τοῦ Γ, ἴσον δὲ τὸ ΕΒ τῷ Γ, ἴσον ἄρα καὶ τὸ ΗΘ τῷ Κ· τὸ δὲ Κ τοῦ Μ οὔκ ἐστιν ἔλαττον· οὐδ’ ἄρα τὸ ΗΘ τοῦ Μ ἔλαττόν ἐστιν. μεῖζον δὲ τὸ ΖΗ τοῦ Δ· ὅλον ἄρα τὸ ΖΘ συναμφοτέρων τῶν Δ, Μ μεῖζόν ἐστιν. ἀλλὰ συναμφότερα τὰ Δ, Μ τῷ Ν ἐστιν ἴσα, ἐπειδήπερ τὸ Μ τοῦ Δ τριπλάσιόν ἐστιν, συναμφότερα δὲ τὰ Μ, Δ τοῦ Δ ἐστι τετραπλάσια, ἔστι δὲ καὶ τὸ Ν τοῦ Δ τετραπλάσιον· συναμφότερα ἄρα τὰ Μ, Δ τῷ Ν ἴσα ἐστίν. ἀλλὰ τὸ ΖΘ τῶν Μ, Δ μεῖζόν ἐστιν· τὸ ΖΘ ἄρα τοῦ Ν ὑπερέχει· τὸ δὲ Κ τοῦ Ν οὐχ ὑπερέχει. καί ἐστι τὰ μὲν ΖΘ, Κ τῶν ΑΒ, Γ ἰσάκισ πολλαπλάσια, τὸ δὲ Ν τοῦ Δ ἄλλο, ὃ ἔτυχεν, πολλαπλάσιον· τὸ ΑΒ ἄρα πρὸσ τὸ Δ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸσ τὸ Δ. Λέγω δή, ὅτι καὶ τὸ Δ πρὸσ τὸ Γ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Δ πρὸσ τὸ ΑΒ. Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίωσ δείξομεν, ὅτι τὸ μὲν Ν τοῦ Κ ὑπερέχει, τὸ δὲ Ν τοῦ ΖΘ οὐχ ὑπερέχει. καί ἐστι τὸ μὲν Ν τοῦ Δ πολλαπλάσιον, τὰ δὲ ΖΘ, Κ τῶν ΑΒ, Γ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκισ πολλαπλάσια· τὸ Δ ἄρα πρὸσ τὸ Γ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Δ πρὸσ τὸ ΑΒ. Ἀλλὰ δὴ τὸ ΑΕ τοῦ ΕΒ μεῖζον ἔστω. τὸ δὴ ἔλαττον τὸ ΕΒ πολλαπλασιαζόμενον ἔσται ποτὲ τοῦ Δ μεῖζον. πεπολλαπλασιάσθω, καὶ ἔστω τὸ ΗΘ πολλαπλάσιον μὲν τοῦ ΕΒ, μεῖζον δὲ τοῦ Δ· καὶ ὁσαπλάσιόν ἐστι τὸ ΗΘ τοῦ ΕΒ, τοσαυταπλάσιον γεγονέτω καὶ τὸ μὲν ΖΗ τοῦ ΑΕ, τὸ δὲ Κ τοῦ Γ. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι τὰ ΖΘ, Κ τῶν ΑΒ, Γ ἰσάκισ ἐστὶ πολλαπλάσια· καὶ εἰλήφθω ὁμοίωσ τὸ Ν πολλαπλάσιον μὲν τοῦ Δ, πρώτωσ δὲ μεῖζον τοῦ ΖΗ· ὥστε πάλιν τὸ ΖΗ τοῦ Μ οὔκ ἐστιν ἔλασσον. μεῖζον δὲ τὸ ΗΘ τοῦ Δ· ὅλον ἄρα τὸ ΖΘ τῶν Δ, Μ, τουτέστι τοῦ Ν, ὑπερέχει. τὸ δὲ Κ τοῦ Ν οὐχ ὑπερέχει, ἐπειδήπερ καὶ τὸ ΖΗ μεῖζον ὂν τοῦ ΗΘ, τουτέστι τοῦ Κ, τοῦ Ν οὐχ ὑπερέχει. καὶ ὡσαύτωσ κατακολουθοῦντεσ τοῖσ ἐπάνω περαίνομεν τὴν ἀπόδειξιν. Τῶν ἄρα ἀνίσων μεγεθῶν τὸ μεῖζον πρὸσ τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἔλαττον· καὶ τὸ αὐτὸ πρὸσ τὸ ἔλαττον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸσ τὸ μεῖζον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τὰ πρὸσ τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχοντα λόγον ἴσα ἀλλήλοισ ἐστίν· καὶ πρὸσ ἃ τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ἐκεῖνα ἴσα ἐστίν. Ἐχέτω γὰρ ἑκάτερον τῶν Α, Β πρὸσ τὸ Γ τὸν αὐτὸν λόγον· λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ Α τῷ Β. Εἰ γὰρ μή, οὐκ ἂν ἑκάτερον τῶν Α, Β πρὸσ τὸ Γ τὸν αὐτὸν εἶχε λόγον· ἔχει δέ· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ Α τῷ Β. Ἐχέτω δὴ πάλιν τὸ Γ πρὸσ ἑκάτερον τῶν Α, Β τὸν αὐτὸν λόγον· λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ Α τῷ Β. Εἰ γὰρ μή, οὐκ ἂν τὸ Γ πρὸσ ἑκάτερον τῶν Α, Β τὸν αὐτὸν εἶχε λόγον· ἔχει δέ· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ Α τῷ Β. Τὰ ἄρα πρὸσ τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχοντα λόγον ἴσα ἀλλήλοισ ἐστίν· καὶ πρὸσ ἃ τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ἐκεῖνα ἴσα ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τῶν πρὸσ τὸ αὐτὸ λόγον ἐχόντων τὸ μείζονα λόγον ἔχον ἐκεῖνο μεῖζόν ἐστιν· πρὸσ ὃ δὲ τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει, ἐκεῖνο ἔλαττόν ἐστιν. Ἐχέτω γὰρ τὸ Α πρὸσ τὸ Γ μείζονα λόγον ἤπερ τὸ Β πρὸσ τὸ Γ· λέγω, ὅτι μεῖζόν ἐστι τὸ Α τοῦ Β. Εἰ γὰρ μή, ἤτοι ἴσον ἐστὶ τὸ Α τῷ Β ἢ ἔλασσον. ἴσον μὲν οὖν οὔκ ἐστι τὸ Α τῷ Β· ἑκάτερον γὰρ ἂν τῶν Α, Β πρὸσ τὸ Γ τὸν αὐτὸν εἶχε λόγον. οὐκ ἔχει δέ· οὐκ ἄρα ἴσον ἐστὶ τὸ Α τῷ Β. οὐδὲ μὴν ἔλασσόν ἐστι τὸ Α τοῦ Β· τὸ Α γὰρ ἂν πρὸσ τὸ Γ ἐλάσσονα λόγον εἶχεν ἤπερ τὸ Β πρὸσ τὸ Γ. οὐκ ἔχει δέ· οὐκ ἄρα ἔλασσόν ἐστι τὸ Α τοῦ Β. ἐδείχθη δὲ οὐδὲ ἴσον· μεῖζον ἄρα ἐστὶ τὸ Α τοῦ Β. Ἐχέτω δὴ πάλιν τὸ Γ πρὸσ τὸ Β μείζονα λόγον ἤπερ τὸ Γ πρὸσ τὸ Α· λέγω, ὅτι ἔλασσόν ἐστι τὸ Β τοῦ Α. Εἰ γὰρ μή, ἤτοι ἴσον ἐστὶν ἢ μεῖζον. ἴσον μὲν οὖν οὔκ ἐστι τὸ Β τῷ Α· τὸ Γ γὰρ ἂν πρὸσ ἑκάτερον τῶν Α, Β τὸν αὐτὸν εἶχε λόγον. οὐκ ἔχει δέ· οὐκ ἄρα ἴσον ἐστὶ τὸ Α τῷ Β. οὐδὲ μὴν μεῖζόν ἐστι τὸ Β τοῦ Α· τὸ Γ γὰρ ἂν πρὸσ τὸ Β ἐλάσσονα λόγον εἶχεν ἤπερ πρὸσ τὸ Α. οὐκ ἔχει δέ· οὐκ ἄρα μεῖζόν ἐστι τὸ Β τοῦ Α. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ ἴσον· ἔλαττον ἄρα ἐστὶ τὸ Β τοῦ Α. Τῶν ἄρα πρὸσ τὸ αὐτὸ λόγον ἐχόντων τὸ μείζονα λόγον ἔχον μεῖζόν ἐστιν· καὶ πρὸσ ὃ τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει, ἐκεῖνο ἔλαττόν ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Οἱ τῷ αὐτῷ λόγῳ οἱ αὐτοὶ καὶ ἀλλήλοισ εἰσὶν οἱ αὐτοί. Ἔστωσαν γὰρ ὡσ μὲν τὸ Α πρὸσ τὸ Β, οὕτωσ τὸ Γ πρὸσ τὸ Δ, ὡσ δὲ τὸ Γ πρὸσ τὸ Δ, οὕτωσ τὸ Ε πρὸσ τὸ Ζ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡσ τὸ Α πρὸσ τὸ Β, οὕτωσ τὸ Ε πρὸσ τὸ Ζ. Εἰλήφθω γὰρ τῶν Α, Γ, Ε ἰσάκισ πολλαπλάσια τὰ Η, Θ, Κ, τῶν δὲ Β, Δ, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκισ πολλαπλάσια τὰ Λ, Μ, Ν. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ τὸ Α πρὸσ τὸ Β, οὕτωσ τὸ Γ πρὸσ τὸ Δ, καὶ εἴληπται τῶν μὲν Α, Γ ἰσάκισ πολλαπλάσια τὰ Η, Θ, τῶν δὲ Β, Δ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκισ πολλαπλάσια τὰ Λ, Μ, εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Η τοῦ Λ, ὑπερέχει καὶ τὸ Θ τοῦ Μ, καὶ εἰ ἴσον ἐστίν, ἴσον, καὶ εἰ ἐλλείπει, ἐλλείπει. πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡσ τὸ Γ πρὸσ τὸ Δ, οὕτωσ τὸ Ε πρὸσ τὸ Ζ, καὶ εἴληπται τῶν Γ, Ε ἰσάκισ πολλαπλάσια τὰ Θ, Κ, τῶν δὲ Δ, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκισ πολλαπλάσια τὰ Μ, Ν, εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Θ τοῦ Μ, ὑπερέχει καὶ τὸ Κ τοῦ Ν, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον. ἀλλὰ εἰ ὑπερεῖχε τὸ Θ τοῦ Μ, ὑπερεῖχε καὶ τὸ Η τοῦ Λ, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον· ὥστε καὶ εἰ ὑπερέχει τὸ Η τοῦ Λ, ὑπερέχει καὶ τὸ Κ τοῦ Ν, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον. καί ἐστι τὰ μὲν Η, Κ τῶν Α, Ε ἰσάκισ πολλαπλάσια, τὰ δὲ Λ, Ν τῶν Β, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκισ πολλαπλάσια· ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ Α πρὸσ τὸ Β, οὕτωσ τὸ Ε πρὸσ τὸ Ζ. Οἱ ἄρα τῷ αὐτῷ λόγῳ οἱ αὐτοὶ καὶ ἀλλήλοισ εἰσὶν οἱ αὐτοί· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ᾖ ὁποσαοῦν μεγέθη ἀνάλογον, ἔσται ὡσ ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸσ ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτωσ ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸσ ἅπαντα τὰ ἑπόμενα. Ἔστωσαν ὁποσαοῦν μεγέθη ἀνάλογον τὰ Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, ὡσ τὸ Α πρὸσ τὸ Β, οὕτωσ τὸ Γ πρὸσ τὸ Δ, καὶ τὸ Ε πρὸσ τὸ Ζ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡσ τὸ Α πρὸσ τὸ Β, οὕτωσ τὰ Α, Γ, Ε πρὸσ τὰ Β, Δ, Ζ. Εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν Α, Γ, Ε ἰσάκισ πολλαπλάσια τὰ Η, Θ, Κ, τῶν δὲ Β, Δ, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκισ πολλαπλάσια τὰ Λ, Μ, Ν. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ τὸ Α πρὸσ τὸ Β, οὕτωσ τὸ Γ πρὸσ τὸ Δ, καὶ τὸ Ε πρὸσ τὸ Ζ, καὶ εἴληπται τῶν μὲν Α, Γ, Ε ἰσάκισ πολλαπλάσια τὰ Η, Θ, Κ τῶν δὲ Β, Δ, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκισ πολλαπλάσια τὰ Λ, Μ, Ν, εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Η τοῦ Λ, ὑπερέχει καὶ τὸ Θ τοῦ Μ, καὶ τὸ Κ τοῦ Ν, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον. ὥστε καὶ εἰ ὑπερέχει τὸ Η τοῦ Λ, ὑπερέχει καὶ τὰ Η, Θ, Κ τῶν Λ, Μ, Ν, καὶ εἰ ἴσον, ἴσα, καὶ εἰ ἔλαττον, ἐλάττονα. καί ἐστι τὸ μὲν Η καὶ τὰ Η, Θ, Κ τοῦ Α καὶ τῶν Α, Γ, Ε ἰσάκισ πολλαπλάσια, ἐπειδήπερ ἐὰν ᾖ ὁποσαοῦν μεγέθη ὁποσωνοῦν μεγεθῶν ἴσων τὸ πλῆθοσ ἕκαστον ἑκάστου ἰσάκισ πολλαπλάσιον, ὁσαπλάσιόν ἐστιν ἓν τῶν μεγεθῶν ἑνόσ, τοσαυταπλάσια ἔσται καὶ τὰ πάντα τῶν πάντων. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ Λ καὶ τὰ Λ, Μ, Ν τοῦ Β καὶ τῶν Β, Δ, Ζ ἰσάκισ ἐστὶ πολλαπλάσια· ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ Α πρὸσ τὸ Β, οὕτωσ τὰ Α, Γ, Ε πρὸσ τὰ Β, Δ, Ζ. Εἂν ἄρα ᾖ ὁποσαοῦν μεγέθη ἀνάλογον, ἔσται ὡσ ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸσ ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτωσ ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸσ ἅπαντα τὰ ἑπόμενα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν πρῶτον πρὸσ δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸσ τέταρτον, τρίτον δὲ πρὸσ τέταρτον μείζονα λόγον ἔχῃ ἢ πέμπτον πρὸσ ἕκτον, καὶ πρῶτον πρὸσ δεύτερον μείζονα λόγον ἕξει ἢ πέμπτον πρὸσ ἕκτον. Πρῶτον γὰρ τὸ Α πρὸσ δεύτερον τὸ Β τὸν αὐτὸν ἐχέτω λόγον καὶ τρίτον τὸ Γ πρὸσ τέταρτον τὸ Δ, τρίτον δὲ τὸ Γ πρὸσ τέταρτον τὸ Δ μείζονα λόγον ἐχέτω ἢ πέμπτον τὸ Ε πρὸσ ἕκτον τὸ Ζ. λέγω, ὅτι καὶ πρῶτον τὸ Α πρὸσ δεύτερον τὸ Β μείζονα λόγον ἕξει ἤπερ πέμπτον τὸ Ε πρὸσ ἕκτον τὸ Ζ. Ἐπεὶ γὰρ ἔστι τινὰ τῶν μὲν Γ, Ε ἰσάκισ πολλαπλάσια, τῶν δὲ Δ, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκισ πολλαπλάσια, καὶ τὸ μὲν τοῦ Γ πολλαπλάσιον τοῦ τοῦ Δ πολλαπλασίου ὑπερέχει, τὸ δὲ τοῦ Ε πολλαπλάσιον τοῦ τοῦ Ζ πολλαπλασίου οὐχ ὑπερέχει, εἰλήφθω, καὶ ἔστω τῶν μὲν Γ, Ε ἰσάκισ πολλαπλάσια τὰ Η, Θ, τῶν δὲ Δ, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκισ πολλαπλάσια τὰ Κ, Λ, ὥστε τὸ μὲν Η τοῦ Κ ὑπερέχειν, τὸ δὲ Θ τοῦ Λ μὴ ὑπερέχειν· καὶ ὁσαπλάσιον μέν ἐστι τὸ Η τοῦ Γ, τοσαυταπλάσιον ἔστω καὶ τὸ Μ τοῦ Α, ὁσαπλάσιον δὲ τὸ Κ τοῦ Δ, τοσαυταπλάσιον ἔστω καὶ τὸ Ν τοῦ Β. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ τὸ Α πρὸσ τὸ Β, οὕτωσ τὸ Γ πρὸσ τὸ Δ, καὶ εἴληπται τῶν μὲν Α, Γ ἰσάκισ πολλαπλάσια τὰ Μ, Η, τῶν δὲ Β, Δ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκισ πολλαπλάσια τὰ Ν, Κ, εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Μ τοῦ Ν, ὑπερέχει καὶ τὸ Η τοῦ Κ, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον. ὑπερέχει δὲ τὸ Η τοῦ Κ· ὑπερέχει ἄρα καὶ τὸ Μ τοῦ Ν. τὸ δὲ Θ τοῦ Λ οὐχ ὑπερέχει· καί ἐστι τὰ μὲν Μ, Θ τῶν Α, Ε ἰσάκισ πολλαπλάσια, τὰ δὲ Ν, Λ τῶν Β, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκισ πολλαπλάσια· τὸ ἄρα Α πρὸσ τὸ Β μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Ε πρὸσ τὸ Ζ. Εἂν ἄρα πρῶτον πρὸσ δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸσ τέταρτον, τρίτον δὲ πρὸσ τέταρτον μείζονα λόγον ἔχῃ ἢ πέμπτον πρὸσ ἕκτον, καὶ πρῶτον πρὸσ δεύτερον μείζονα λόγον ἕξει ἢ πέμπτον πρὸσ ἕκτον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν πρῶτον πρὸσ δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸσ τέταρτον, τὸ δὲ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ᾖ, καὶ τὸ δεύτερον τοῦ τετάρτου μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον. Πρῶτον γὰρ τὸ Α πρὸσ δεύτερον τὸ Β τὸν αὐτὸν ἐχέτω λόγον καὶ τρίτον τὸ Γ πρὸσ τέταρτον τὸ Δ, μεῖζον δὲ ἔστω τὸ Α τοῦ Γ· λέγω, ὅτι καὶ τὸ Β τοῦ Δ μεῖζόν ἐστιν. Ἐπεὶ γὰρ τὸ Α τοῦ Γ μεῖζόν ἐστιν, ἄλλο δέ, ὃ ἔτυχεν, [μέγεθοσ] τὸ Β, τὸ Α ἄρα πρὸσ τὸ Β μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸσ τὸ Β. ὡσ δὲ τὸ Α πρὸσ τὸ Β, οὕτωσ τὸ Γ πρὸσ τὸ Δ· καὶ τὸ Γ ἄρα πρὸσ τὸ Δ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸσ τὸ Β. πρὸσ ὃ δὲ τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει, ἐκεῖνο ἔλασσόν ἐστιν· ἔλασσον ἄρα τὸ Δ τοῦ Β· ὥστε μεῖζόν ἐστι τὸ Β τοῦ Δ. Ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι κἂν ἴσον ᾖ τὸ Α τῷ Γ, ἴσον ἔσται καὶ τὸ Β τῷ Δ, κἂν ἔλασσον ᾖ τὸ Α τοῦ Γ, ἔλασσον ἔσται καὶ τὸ Β τοῦ Δ. Εἂν ἄρα πρῶτον πρὸσ δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸσ τέταρτον, τὸ δὲ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ᾖ, καὶ τὸ δεύτερον τοῦ τετάρτου μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τὰ μέρη τοῖσ ὡσαύτωσ πολλαπλασίοισ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ληφθέντα κατάλληλα. Ἔστω γὰρ ἰσάκισ πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Γ καὶ τὸ ΔΕ τοῦ Ζ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡσ τὸ Γ πρὸσ τὸ Ζ, οὕτωσ τὸ ΑΒ πρὸσ τὸ ΔΕ. Ἐπεὶ γὰρ ἰσάκισ ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Γ καὶ τὸ ΔΕ τοῦ Ζ, ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ μεγέθη ἴσα τῷ Γ, τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΔΕ ἴσα τῷ Ζ. διῃρήσθω τὸ μὲν ΑΒ εἰσ τὰ τῷ Γ ἴσα τὰ ΑΗ, ΗΘ, ΘΒ, τὸ δὲ ΔΕ εἰσ τὰ τῷ Ζ ἴσα τὰ ΔΚ, ΚΛ, ΛΕ· ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθοσ τῶν ΑΗ, ΗΘ, ΘΒ τῷ πλήθει τῶν ΔΚ, ΚΛ, ΛΕ. καὶ ἐπεὶ ἴσα ἐστὶ τὰ ΑΗ, ΗΘ, ΘΒ ἀλλήλοισ, ἔστι δὲ καὶ τὰ ΔΚ, ΚΛ, ΛΕ ἴσα ἀλλήλοισ, ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ ΑΗ πρὸσ τὸ ΔΚ, οὕτωσ τὸ ΗΘ πρὸσ τὸ ΚΛ, καὶ τὸ ΘΒ πρὸσ τὸ ΛΕ. ἔσται ἄρα καὶ ὡσ ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸσ ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτωσ ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸσ ἅπαντα τὰ ἑπόμενα· ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ ΑΗ πρὸσ τὸ ΔΚ, οὕτωσ τὸ ΑΒ πρὸσ τὸ ΔΕ. ἴσον δὲ τὸ μὲν ΑΗ τῷ Γ, τὸ δὲ ΔΚ τῷ Ζ· ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ Γ πρὸσ τὸ Ζ οὕτωσ τὸ ΑΒ πρὸσ τὸ ΔΕ. Τὰ ἄρα μέρη τοῖσ ὡσαύτωσ πολλαπλασίοισ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ληφθέντα κατάλληλα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ ἐναλλὰξ ἀνάλογον ἔσται. Ἔστω τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον τὰ Α, Β, Γ, Δ, ὡσ τὸ Α πρὸσ τὸ Β, οὕτωσ τὸ Γ πρὸσ τὸ Δ· λέγω, ὅτι καὶ ἐναλλὰξ [ἀνάλογον] ἔσται, ὡσ τὸ Α πρὸσ τὸ Γ, οὕτωσ τὸ Β πρὸσ τὸ Δ. Εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν Α, Β ἰσάκισ πολλαπλάσια τὰ Ε, Ζ, τῶν δὲ Γ, Δ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκισ πολλαπλάσια τὰ Η, Θ. Καὶ ἐπεὶ ἰσάκισ ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ Ε τοῦ Α καὶ τὸ Ζ τοῦ Β, τὰ δὲ μέρη τοῖσ ὡσαύτωσ πολλαπλασίοισ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ Α πρὸσ τὸ Β, οὕτωσ τὸ Ε πρὸσ τὸ Ζ. ὡσ δὲ τὸ Α πρὸσ τὸ Β, οὕτωσ τὸ Γ πρὸσ τὸ Δ· καὶ ὡσ ἄρα τὸ Γ πρὸσ τὸ Δ, οὕτωσ τὸ Ε πρὸσ τὸ Ζ. πάλιν, ἐπεὶ τὰ Η, Θ τῶν Γ, Δ ἰσάκισ ἐστὶ πολλαπλάσια, ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ Γ πρὸσ τὸ Δ, οὕτωσ τὸ Η πρὸσ τὸ Θ. ὡσ δὲ τὸ Γ πρὸσ τὸ Δ, [οὕτωσ] τὸ Ε πρὸσ τὸ Ζ· καὶ ὡσ ἄρα τὸ Ε πρὸσ τὸ Ζ, οὕτωσ τὸ Η πρὸσ τὸ Θ. ἐὰν δὲ τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, τὸ δὲ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ᾖ, καὶ τὸ δεύτερον τοῦ τετάρτου μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον. εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Ε τοῦ Η, ὑπερέχει καὶ τὸ Ζ τοῦ Θ, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον. καί ἐστι τὰ μὲν Ε, Ζ τῶν Α, Β ἰσάκισ πολλαπλάσια, τὰ δὲ Η, Θ τῶν Γ, Δ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκισ πολλαπλάσια· ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ Α πρὸσ τὸ Γ, οὕτωσ τὸ Β πρὸσ τὸ Δ. Εἂν ἄρα τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ ἐναλλὰξ ἀνάλογον ἔσται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ διαιρεθέντα ἀνάλογον ἔσται. Ἔστω συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογον τὰ ΑΒ, ΒΕ, ΓΔ, ΔΖ, ὡσ τὸ ΑΒ πρὸσ τὸ ΒΕ, οὕτωσ τὸ ΓΔ πρὸσ τὸ ΔΖ· λέγω, ὅτι καὶ διαιρεθέντα ἀνάλογον ἔσται, ὡσ τὸ ΑΕ πρὸσ τὸ ΕΒ, οὕτωσ τὸ ΓΖ πρὸσ τὸ ΔΖ. Εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν ΑΕ, ΕΒ, ΓΖ, ΖΔ ἰσάκισ πολλαπλάσια τὰ ΗΘ, ΘΚ, ΛΜ, ΜΝ, τῶν δὲ ΕΒ, ΖΔ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκισ πολλαπλάσια τὰ ΚΞ, ΝΠ. Καὶ ἐπεὶ ἰσάκισ ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΗΘ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ ΘΚ τοῦ ΕΒ, ἰσάκισ ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΗΘ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ ΗΚ τοῦ ΑΒ. ἰσάκισ δέ ἐστι πολλαπλάσιον τὸ ΗΘ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ ΛΜ τοῦ ΓΖ· ἰσάκισ ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΗΚ τοῦ ΑΒ καὶ τὸ ΛΜ τοῦ ΓΖ. πάλιν, ἐπεὶ ἰσάκισ ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΛΜ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΜΝ τοῦ ΖΔ, ἰσάκισ ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΛΜ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΛΝ τοῦ ΓΔ. ἰσάκισ δὲ ἦν πολλαπλάσιον τὸ ΛΜ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΗΚ τοῦ ΑΒ· ἰσάκισ ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΗΚ τοῦ ΑΒ καὶ τὸ ΛΝ τοῦ ΓΔ. τὰ ΗΚ, ΛΝ ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ ἰσάκισ ἐστὶ πολλαπλάσια. πάλιν, ἐπεὶ ἰσάκισ ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΘΚ τοῦ ΕΒ καὶ τὸ ΜΝ τοῦ ΖΔ, ἔστι δὲ καὶ τὸ ΚΞ τοῦ ΕΒ ἰσάκισ πολλαπλάσιον καὶ τὸ ΝΠ τοῦ ΖΔ, καὶ συντεθὲν τὸ ΘΞ τοῦ ΕΒ ἰσάκισ ἐστὶ πολλαπλάσιον καὶ τὸ ΜΠ τοῦ ΖΔ. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ τὸ ΑΒ πρὸσ τὸ ΒΕ, οὕτωσ τὸ ΓΔ πρὸσ τὸ ΔΖ, καὶ εἴληπται τῶν μὲν ΑΒ, ΓΔ ἰσάκισ πολλαπλάσια τὰ ΗΚ, ΛΝ, τῶν δὲ ΕΒ, ΖΔ ἰσάκισ πολλαπλάσια τὰ ΘΞ, ΜΠ, εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ ΗΚ τοῦ ΘΞ, ὑπερέχει καὶ τὸ ΛΝ τοῦ ΜΠ, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον. ὑπερεχέτω δὴ τὸ ΗΚ τοῦ ΘΞ, καὶ κοινοῦ ἀφαιρεθέντοσ τοῦ ΘΚ ὑπερέχει ἄρα καὶ τὸ ΗΘ τοῦ ΚΞ. ἀλλὰ εἰ ὑπερεῖχε τὸ ΗΚ τοῦ ΘΞ, ὑπερεῖχε καὶ τὸ ΛΝ τοῦ ΜΠ· ὑπερέχει ἄρα καὶ τὸ ΛΝ τοῦ ΜΠ, καὶ κοινοῦ ἀφαιρεθέντοσ τοῦ ΜΝ ὑπερέχει καὶ τὸ ΛΜ τοῦ ΝΠ· ὥστε εἰ ὑπερέχει τὸ ΗΘ τοῦ ΚΞ, ὑπερέχει καὶ τὸ ΛΜ τοῦ ΝΠ. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι κἂν ἴσον ᾖ τὸ ΗΘ τῷ ΚΞ, ἴσον ἔσται καὶ τὸ ΛΜ τῷ ΝΠ, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον. καί ἐστι τὰ μὲν ΗΘ, ΛΜ τῶν ΑΕ, ΓΖ ἰσάκισ πολλαπλάσια, τὰ δὲ ΚΞ, ΝΠ τῶν ΕΒ, ΖΔ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκισ πολλαπλάσια· ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ ΑΕ πρὸσ τὸ ΕΒ, οὕτωσ τὸ ΓΖ πρὸσ τὸ ΖΔ. Εἂν ἄρα συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ διαιρεθέντα ἀνάλογον ἔσται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν διῃρημένα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ συντεθέντα ἀνάλογον ἔσται. Ἔστω διῃρημένα μεγέθη ἀνάλογον τὰ ΑΕ, ΕΒ, ΓΖ, ΖΔ, ὡσ τὸ ΑΕ πρὸσ τὸ ΕΒ, οὕτωσ τὸ ΓΖ πρὸσ τὸ ΖΔ· λέγω, ὅτι καὶ συντεθέντα ἀνάλογον ἔσται, ὡσ τὸ ΑΒ πρὸσ τὸ ΒΕ, οὕτωσ τὸ ΓΔ πρὸσ τὸ ΖΔ. Εἰ γὰρ μή ἐστιν ὡσ τὸ ΑΒ πρὸσ τὸ ΒΕ, οὕτωσ τὸ ΓΔ πρὸσ τὸ ΔΖ, ἔσται ὡσ τὸ ΑΒ πρὸσ τὸ ΒΕ, οὕτωσ τὸ ΓΔ ἤτοι πρὸσ ἔλασσόν τι τοῦ ΔΖ ἢ πρὸσ μεῖζον. Ἔστω πρότερον πρὸσ ἔλασσον τὸ ΔΗ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ τὸ ΑΒ πρὸσ τὸ ΒΕ, οὕτωσ τὸ ΓΔ πρὸσ τὸ ΔΗ, συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογόν ἐστιν· ὥστε καὶ διαιρεθέντα ἀνάλογον ἔσται. ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ ΑΕ πρὸσ τὸ ΕΒ, οὕτωσ τὸ ΓΗ πρὸσ τὸ ΗΔ. ὑπόκειται δὲ καὶ ὡσ τὸ ΑΕ πρὸσ τὸ ΕΒ, οὕτωσ τὸ ΓΖ πρὸσ τὸ ΖΔ. καὶ ὡσ ἄρα τὸ ΓΗ πρὸσ τὸ ΗΔ, οὕτωσ τὸ ΓΖ πρὸσ τὸ ΖΔ. μεῖζον δὲ τὸ πρῶτον τὸ ΓΗ τοῦ τρίτου τοῦ ΓΖ· μεῖζον ἄρα καὶ τὸ δεύτερον τὸ ΗΔ τοῦ τετάρτου τοῦ ΖΔ. ἀλλὰ καὶ ἔλαττον· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡσ τὸ ΑΒ πρὸσ τὸ ΒΕ, οὕτωσ τὸ ΓΔ πρὸσ ἔλασσον τοῦ ΖΔ. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ πρὸσ μεῖζον· πρὸσ αὐτὸ ἄρα. Εἂν ἄρα διῃρημένα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ συντεθέντα ἀνάλογον ἔσται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ᾖ ὡσ ὅλον πρὸσ ὅλον, οὕτωσ ἀφαιρεθὲν πρὸσ ἀφαιρεθέν, καὶ τὸ λοιπὸν πρὸσ τὸ λοιπὸν ἔσται ὡσ ὅλον πρὸσ ὅλον. Ἔστω γὰρ ὡσ ὅλον τὸ ΑΒ πρὸσ ὅλον τὸ ΓΔ, οὕτωσ ἀφαιρεθὲν τὸ ΑΕ πρὸσ ἀφαιρεθὲν τὸ ΓΖ· λέγω, ὅτι καὶ λοιπὸν τὸ ΕΒ πρὸσ λοιπὸν τὸ ΖΔ ἔσται ὡσ ὅλον τὸ ΑΒ πρὸσ ὅλον τὸ ΓΔ. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡσ τὸ ΑΒ πρὸσ τὸ ΓΔ, οὕτωσ τὸ ΑΕ πρὸσ τὸ ΓΖ, καὶ ἐναλλὰξ ὡσ τὸ ΒΑ πρὸσ τὸ ΑΕ, οὕτωσ τὸ ΔΓ πρὸσ τὸ ΓΖ. καὶ ἐπεὶ συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογόν ἐστιν, καὶ διαιρεθέντα ἀνάλογον ἔσται, ὡσ τὸ ΒΕ πρὸσ τὸ ΕΑ, οὕτωσ τὸ ΔΖ πρὸσ τὸ ΓΖ· καὶ ἐναλλάξ, ὡσ τὸ ΒΕ πρὸσ τὸ ΔΖ, οὕτωσ τὸ ΕΑ πρὸσ τὸ ΖΓ. ὡσ δὲ τὸ ΑΕ πρὸσ τὸ ΓΖ, οὕτωσ ὑπόκειται ὅλον τὸ ΑΒ πρὸσ ὅλον τὸ ΓΔ. καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΕΒ πρὸσ λοιπὸν τὸ ΖΔ ἔσται ὡσ ὅλον τὸ ΑΒ πρὸσ ὅλον τὸ ΓΔ. Εἂν ἄρα ᾖ ὡσ ὅλον πρὸσ ὅλον, οὕτωσ ἀφαιρεθὲν πρὸσ ἀφαιρεθέν, καὶ τὸ λοιπὸν πρὸσ τὸ λοιπὸν ἔσται ὡσ ὅλον πρὸσ ὅλον [ὅπερ ἔδει δεῖξαι]. [Καὶ ἐπεὶ ἐδείχθη ὡσ τὸ ΑΒ πρὸσ τὸ ΓΔ, οὕτωσ τὸ ΕΒ πρὸσ τὸ ΖΔ, καὶ ἐναλλὰξ ὡσ τὸ ΑΒ πρὸσ τὸ ΒΕ οὕτωσ τὸ ΓΔ πρὸσ τὸ ΖΔ, συγκείμενα ἄρα μεγέθη ἀνάλογόν ἐστιν· ἐδείχθη δὲ ὡσ τὸ ΒΑ πρὸσ τὸ ΑΕ, οὕτωσ τὸ ΔΓ πρὸσ τὸ ΓΖ· καί ἐστιν ἀναστρέψαντι]. Πόρισμα Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἐὰν συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ ἀναστρέψαντι ἀνάλογον ἔσται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ᾖ τρία μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖσ ἴσα τὸ πλῆθοσ, σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, δι’ ἴσου δὲ τὸ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ᾖ, καὶ τὸ τέταρτον τοῦ ἕκτου μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον. Ἔστω τρία μεγέθη τὰ Α, Β, Γ, καὶ ἄλλα αὐτοῖσ ἴσα τὸ πλῆθοσ τὰ Δ, Ε, Ζ, σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ὡσ μὲν τὸ Α πρὸσ τὸ Β, οὕτωσ τὸ Δ πρὸσ τὸ Ε, ὡσ δὲ τὸ Β πρὸσ τὸ Γ, οὕτωσ τὸ Ε πρὸσ τὸ Ζ, δι’ ἴσου δὲ μεῖζον ἔστω τὸ Α τοῦ Γ· λέγω, ὅτι καὶ τὸ Δ τοῦ Ζ μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον. Ἐπεὶ γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ Α τοῦ Γ, ἄλλο δέ τι τὸ Β, τὸ δὲ μεῖζον πρὸσ τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἔλαττον, τὸ Α ἄρα πρὸσ τὸ Β μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸσ τὸ Β. ἀλλ’ ὡσ μὲν τὸ Α πρὸσ τὸ Β, [οὕτωσ] τὸ Δ πρὸσ τὸ Ε, ὡσ δὲ τὸ Γ πρὸσ τὸ Β, ἀνάπαλιν οὕτωσ τὸ Ζ πρὸσ τὸ Ε· καὶ τὸ Δ ἄρα πρὸσ τὸ Ε μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Ζ πρὸσ τὸ Ε. τῶν δὲ πρὸσ τὸ αὐτὸ λόγον ἐχόντων τὸ μείζονα λόγον ἔχον μεῖζόν ἐστιν. μεῖζον ἄρα τὸ Δ τοῦ Ζ. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι κἂν ἴσον ᾖ τὸ Α τῷ Γ, ἴσον ἔσται καὶ τὸ Δ τῷ Ζ, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον. Εἂν ἄρα ᾖ τρία μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖσ ἴσα τὸ πλῆθοσ, σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, δι’ ἴσου δὲ τὸ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ᾖ, καὶ τὸ τέταρτον τοῦ ἕκτου μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ᾖ τρία μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖσ ἴσα τὸ πλῆθοσ σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ᾖ δὲ τεταραγμένη αὐτῶν ἡ ἀναλογία, δι’ ἴσου δὲ τὸ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ᾖ, καὶ τὸ τέταρτον τοῦ ἕκτου μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον. Ἔστω τρία μεγέθη τὰ Α, Β, Γ καὶ ἄλλα αὐτοῖσ ἴσα τὸ πλῆθοσ τὰ Δ, Ε, Ζ, σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ἔστω δὲ τεταραγμένη αὐτῶν ἡ ἀναλογία, ὡσ μὲν τὸ Α πρὸσ τὸ Β, οὕτωσ τὸ Ε πρὸσ τὸ Ζ, ὡσ δὲ τὸ Β πρὸσ τὸ Γ, οὕτωσ τὸ Δ πρὸσ τὸ Ε, δι’ ἴσου δὲ τὸ Α τοῦ Γ μεῖζον ἔστω· λέγω, ὅτι καὶ τὸ Δ τοῦ Ζ μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον. Ἐπεὶ γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ Α τοῦ Γ, ἄλλο δέ τι τὸ Β, τὸ Α ἄρα πρὸσ τὸ Β μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸσ τὸ Β. ἀλλ’ ὡσ μὲν τὸ Α πρὸσ τὸ Β, οὕτωσ τὸ Ε πρὸσ τὸ Ζ, ὡσ δὲ τὸ Γ πρὸσ τὸ Β, ἀνάπαλιν οὕτωσ τὸ Ε πρὸσ τὸ Δ. καὶ τὸ Ε ἄρα πρὸσ τὸ Ζ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Ε πρὸσ τὸ Δ. πρὸσ ὃ δὲ τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει, ἐκεῖνο ἔλασσόν ἐστιν· ἔλασσον ἄρα ἐστὶ τὸ Ζ τοῦ Δ· μεῖζον ἄρα ἐστὶ τὸ Δ τοῦ Ζ. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι κἂν ἴσον ᾖ τὸ Α τῷ Γ, ἴσον ἔσται καὶ τὸ Δ τῷ Ζ, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον. Εἂν ἄρα ᾖ τρία μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖσ ἴσα τὸ πλῆθοσ, σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ᾖ δὲ τεταραγμένη αὐτῶν ἡ ἀναλογία, δι’ ἴσου δὲ τὸ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ᾖ, καὶ τὸ τέταρτον τοῦ ἕκτου μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ᾖ ὁποσαοῦν μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖσ ἴσα τὸ πλῆθοσ, σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ δι’ ἴσου ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἔσται. Ἔστω ὁποσαοῦν μεγέθη τὰ Α, Β, Γ καὶ ἄλλα αὐτοῖσ ἴσα τὸ πλῆθοσ τὰ Δ, Ε, Ζ, σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ὡσ μὲν τὸ Α πρὸσ τὸ Β, οὕτωσ τὸ Δ πρὸσ τὸ Ε, ὡσ δὲ τὸ Β πρὸσ τὸ Γ, οὕτωσ τὸ Ε πρὸσ τὸ Ζ· λέγω, ὅτι καὶ δι’ ἴσου ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἔσται. Εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν Α, Δ ἰσάκισ πολλαπλάσια τὰ Η, Θ, τῶν δὲ Β, Ε ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκισ πολλαπλάσια τὰ Κ, Λ, καὶ ἔτι τῶν Γ, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκισ πολλαπλάσια τὰ Μ, Ν. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ τὸ Α πρὸσ τὸ Β, οὕτωσ τὸ Δ πρὸσ τὸ Ε, καὶ εἴληπται τῶν μὲν Α, Δ ἰσάκισ πολλαπλάσια τὰ Η, Θ, τῶν δὲ Β, Ε ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκισ πολλαπλάσια τὰ Κ, Λ, ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ Η πρὸσ τὸ Κ, οὕτωσ τὸ Θ πρὸσ τὸ Λ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡσ τὸ Κ πρὸσ τὸ Μ, οὕτωσ τὸ Λ πρὸσ τὸ Ν. ἐπεὶ οὖν τρία μεγέθη ἐστὶ τὰ Η, Κ, Μ, καὶ ἄλλα αὐτοῖσ ἴσα τὸ πλῆθοσ τὰ Θ, Λ, Ν, σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, δι’ ἴσου ἄρα, εἰ ὑπερέχει τὸ Η τοῦ Μ, ὑπερέχει καὶ τὸ Θ τοῦ Ν, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον. καί ἐστι τὰ μὲν Η, Θ τῶν Α, Δ ἰσάκισ πολλαπλάσια, τὰ δὲ Μ, Ν τῶν Γ, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκισ πολλαπλάσια. ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ Α πρὸσ τὸ Γ, οὕτωσ τὸ Δ πρὸσ τὸ Ζ. Εἂν ἄρα ᾖ ὁποσαοῦν μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖσ ἴσα τὸ πλῆθοσ, σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ δι’ ἴσου ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἔσται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ᾖ τρία μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖσ ἴσα τὸ πλῆθοσ σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ᾖ δὲ τεταραγμένη αὐτῶν ἡ ἀναλογία, καὶ δι’ ἴσου ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἔσται. Ἔστω τρία μεγέθη τὰ Α, Β, Γ καὶ ἄλλα αὐτοῖσ ἴσα τὸ πλῆθοσ σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ τὰ Δ, Ε, Ζ, ἔστω δὲ τεταραγμένη αὐτῶν ἡ ἀναλογία, ὡσ μὲν τὸ Α πρὸσ τὸ Β, οὕτωσ τὸ Ε πρὸσ τὸ Ζ, ὡσ δὲ τὸ Β πρὸσ τὸ Γ, οὕτωσ τὸ Δ πρὸσ τὸ Ε· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡσ τὸ Α πρὸσ τὸ Γ, οὕτωσ τὸ Δ πρὸσ τὸ Ζ. Εἰλήφθω τῶν μὲν Α, Β, Δ ἰσάκισ πολλαπλάσια τὰ Η, Θ, Κ, τῶν δὲ Γ, Ε, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκισ πολλαπλάσια τὰ Λ, Μ, Ν. Καὶ ἐπεὶ ἰσάκισ ἐστὶ πολλαπλάσια τὰ Η, Θ τῶν Α, Β, τὰ δὲ μέρη τοῖσ ὡσαύτωσ πολλαπλασίοισ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ Α πρὸσ τὸ Β, οὕτωσ τὸ Η πρὸσ τὸ Θ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡσ τὸ Ε πρὸσ τὸ Ζ, οὕτωσ τὸ Μ πρὸσ τὸ Ν· καί ἐστιν ὡσ τὸ Α πρὸσ τὸ Β, οὕτωσ τὸ Ε πρὸσ τὸ Ζ· καὶ ὡσ ἄρα τὸ Η πρὸσ τὸ Θ, οὕτωσ τὸ Μ πρὸσ τὸ Ν. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ τὸ Β πρὸσ τὸ Γ, οὕτωσ τὸ Δ πρὸσ τὸ Ε, καὶ ἐναλλὰξ ὡσ τὸ Β πρὸσ τὸ Δ, οὕτωσ τὸ Γ πρὸσ τὸ Ε. καὶ ἐπεὶ τὰ Θ, Κ τῶν Β, Δ ἰσάκισ ἐστὶ πολλαπλάσια, τὰ δὲ μέρη τοῖσ ἰσάκισ πολλαπλασίοισ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ Β πρὸσ τὸ Δ, οὕτωσ τὸ Θ πρὸσ τὸ Κ. ἀλλ’ ὡσ τὸ Β πρὸσ τὸ Δ, οὕτωσ τὸ Γ πρὸσ τὸ Ε· καὶ ὡσ ἄρα τὸ Θ πρὸσ τὸ Κ, οὕτωσ τὸ Γ πρὸσ τὸ Ε. πάλιν, ἐπεὶ τὰ Λ, Μ τῶν Γ, Ε ἰσάκισ ἐστι πολλαπλάσια, ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ Γ πρὸσ τὸ Ε, οὕτωσ τὸ Λ πρὸσ τὸ Μ. ἀλλ’ ὡσ τὸ Γ πρὸσ τὸ Ε, οὕτωσ τὸ Θ πρὸσ τὸ Κ· καὶ ὡσ ἄρα τὸ Θ πρὸσ τὸ Κ, οὕτωσ τὸ Λ πρὸσ τὸ Μ, καὶ ἐναλλὰξ ὡσ τὸ Θ πρὸσ τὸ Λ, τὸ Κ πρὸσ τὸ Μ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡσ τὸ Η πρὸσ τὸ Θ, οὕτωσ τὸ Μ πρὸσ τὸ Ν. ἐπεὶ οὖν τρία μεγέθη ἐστὶ τὰ Η, Θ, Λ, καὶ ἄλλα αὐτοῖσ ἴσα τὸ πλῆθοσ τὰ Κ, Μ, Ν σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καί ἐστιν αὐτῶν τεταραγμένη ἡ ἀναλογία, δι’ ἴσου ἄρα, εἰ ὑπερέχει τὸ Η τοῦ Λ, ὑπερέχει καὶ τὸ Κ τοῦ Ν, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον. καί ἐστι τὰ μὲν Η, Κ τῶν Α, Δ ἰσάκισ πολλαπλάσια, τὰ δὲ Λ, Ν τῶν Γ, Ζ. ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ Α πρὸσ τὸ Γ, οὕτωσ τὸ Δ πρὸσ τὸ Ζ. Εἂν ἄρα ᾖ τρία μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖσ ἴσα τὸ πλῆθοσ σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ᾖ δὲ τεταραγμένη αὐτῶν ἡ ἀναλογία, καὶ δι’ ἴσου ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἔσται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν πρῶτον πρὸσ δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸσ τέταρτον, ἔχῃ δὲ καὶ πέμπτον πρὸσ δεύτερον τὸν αὐτὸν λόγον καὶ ἕκτον πρὸσ τέταρτον, καὶ συντεθὲν πρῶτον καὶ πέμπτον πρὸσ δεύτερον τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον πρὸσ τέταρτον. Πρῶτον γὰρ τὸ ΑΒ πρὸσ δεύτερον τὸ Γ τὸν αὐτὸν ἐχέτω λόγον καὶ τρίτον τὸ ΔΕ πρὸσ τέταρτον τὸ Ζ, ἐχέτω δὲ καὶ πέμπτον τὸ ΒΗ πρὸσ δεύτερον τὸ Γ τὸν αὐτὸν λόγον καὶ ἕκτον τὸ ΕΘ πρὸσ τέταρτον τὸ Ζ· λέγω, ὅτι καὶ συντεθὲν πρῶτον καὶ πέμπτον τὸ ΑΗ πρὸσ δεύτερον τὸ Γ τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον, καὶ τρίτον καὶ ἕκτον τὸ ΔΘ πρὸσ τέταρτον τὸ Ζ. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡσ τὸ ΒΗ πρὸσ τὸ Γ, οὕτωσ τὸ ΕΘ πρὸσ τὸ Ζ, ἀνάπαλιν ἄρα ὡσ τὸ Γ πρὸσ τὸ ΒΗ, οὕτωσ τὸ Ζ πρὸσ τὸ ΕΘ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡσ τὸ ΑΒ πρὸσ τὸ Γ, οὕτωσ τὸ ΔΕ πρὸσ τὸ Ζ, ὡσ δὲ τὸ Γ πρὸσ τὸ ΒΗ, οὕτωσ τὸ Ζ πρὸσ τὸ ΕΘ, δι’ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡσ τὸ ΑΒ πρὸσ τὸ ΒΗ, οὕτωσ τὸ ΔΕ πρὸσ τὸ ΕΘ. καὶ ἐπεὶ διῃρημένα μεγέθη ἀνάλογόν ἐστιν, καὶ συντεθέντα ἀνάλογον ἔσται· ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ ΑΗ πρὸσ τὸ ΗΒ, οὕτωσ τὸ ΔΘ πρὸσ τὸ ΘΕ. ἔστι δὲ καὶ ὡσ τὸ ΒΗ πρὸσ τὸ Γ, οὕτωσ τὸ ΕΘ πρὸσ τὸ Ζ· δι’ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡσ τὸ ΑΗ πρὸσ τὸ Γ, οὕτωσ τὸ ΔΘ πρὸσ τὸ Ζ. Εἂν ἄρα πρῶτον πρὸσ δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸσ τέταρτον, ἔχῃ δὲ καὶ πέμπτον πρὸσ δεύτερον τὸν αὐτὸν λόγον καὶ ἕκτον πρὸσ τέταρτον, καὶ συντεθὲν πρῶτον καὶ πέμπτον πρὸσ δεύτερον τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον πρὸσ τέταρτον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, τὸ μέγιστον [αὐτῶν] καὶ τὸ ἐλάχιστον δύο τῶν λοιπῶν μείζονά ἐστιν. Ἔστω τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον τὰ ΑΒ, ΓΔ, Ε, Ζ, ὡσ τὸ ΑΒ πρὸσ τὸ ΓΔ, οὕτωσ τὸ Ε πρὸσ τὸ Ζ, ἔστω δὲ μέγιστον μὲν αὐτῶν τὸ ΑΒ, ἐλάχιστον δὲ τὸ Ζ· λέγω, ὅτι τὰ ΑΒ, Ζ τῶν ΓΔ, Ε μείζονά ἐστιν. Κείσθω γὰρ τῷ μὲν Ε ἴσον τὸ ΑΗ, τῷ δὲ Ζ ἴσον τὸ ΓΘ. Ἐπεὶ [οὖν] ἐστιν ὡσ τὸ ΑΒ πρὸσ τὸ ΓΔ, οὕτωσ τὸ Ε πρὸσ τὸ Ζ, ἴσον δὲ τὸ μὲν Ε τῷ ΑΗ, τὸ δὲ Ζ τῷ ΓΘ, ἔστιν ἄρα ὡσ τὸ ΑΒ πρὸσ τὸ ΓΔ, οὕτωσ τὸ ΑΗ πρὸσ τὸ ΓΘ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ὅλον τὸ ΑΒ πρὸσ ὅλον τὸ ΓΔ, οὕτωσ ἀφαιρεθὲν τὸ ΑΗ πρὸσ ἀφαιρεθὲν τὸ ΓΘ, καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΗΒ πρὸσ λοιπὸν τὸ ΘΔ ἔσται ὡσ ὅλον τὸ ΑΒ πρὸσ ὅλον τὸ ΓΔ. μεῖζον δὲ τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ· μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ΗΒ τοῦ ΘΔ. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ μὲν ΑΗ τῷ Ε, τὸ δὲ ΓΘ τῷ Ζ, τὰ ἄρα ΑΗ, Ζ ἴσα ἐστὶ τοῖσ ΓΘ, Ε. Καὶ [ἐπεὶ] ἐὰν [ἀνίσοισ ἴσα προστεθῇ, τὰ ὅλα ἄνισά ἐστιν, ἐὰν ἄρα] τῶν ΗΒ, ΘΔ ἀνίσων ὄντων καὶ μείζονοσ τοῦ ΗΒ τῷ μὲν ΗΒ προστεθῇ τὰ ΑΗ, Ζ, τῷ δὲ ΘΔ προστεθῇ τὰ ΓΘ, Ε, συνάγεται τὰ ΑΒ, Ζ μείζονα τῶν ΓΔ, Ε. Εἂν ἄρα τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, τὸ μέγιστον αὐτῶν καὶ τὸ ἐλάχιστον δύο τῶν λοιπῶν μείζονά ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.