Euclid, Elements, book 9, type Prop

Εἂν δύο ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντεσ ἀλλήλουσ ποιῶσί τινα, ὁ γενόμενοσ τετράγωνοσ ἔσται. Ἔστωσαν δύο ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, καὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσασ τὸν Γ ποιείτω· λέγω, ὅτι ὁ Γ τετράγωνόσ ἐστιν. Ὁ γὰρ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσασ τὸν Δ ποιείτω. ὁ Δ ἄρα τετράγωνόσ ἐστιν. ἐπεὶ οὖν ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσασ τὸν Δ πεποίηκεν, τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσασ τὸν Γ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β, οὕτωσ ὁ Δ πρὸσ τὸν Γ. καὶ ἐπεὶ οἱ Α, Β ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί, τῶν Α, Β ἄρα εἷσ μέσοσ ἀνάλογον ἐμπίπτει ἀριθμόσ. ἐὰν δὲ δύο ἀριθμῶν μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲσ ἀνάλογον ἐμπίπτωσιν ἀριθμοί, ὅσοι εἰσ αὐτοὺσ ἐμπίπτουσι, τοσοῦτοι καὶ εἰσ τοὺσ τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντασ· ὥστε καὶ τῶν Δ, Γ εἷσ μέσοσ ἀνάλογον ἐμπίπτει ἀριθμόσ. καί ἐστι τετράγωνοσ ὁ Δ· τετράγωνοσ ἄρα καὶ ὁ Γ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν δύο ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντεσ ἀλλήλουσ ποιῶσι τετράγωνον, ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί. Ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, καὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσασ τετράγωνον τὸν Γ ποιείτω· λέγω, ὅτι οἱ Α, Β ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί. Ὁ γὰρ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσασ τὸν Δ ποιείτω· ὁ Δ ἄρα τετράγωνόσ ἐστιν. καὶ ἐπεὶ ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσασ τὸν Δ πεποίηκεν, τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσασ τὸν Γ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β, ὁ Δ πρὸσ τὸν Γ. καὶ ἐπεὶ ὁ Δ τετράγωνόσ ἐστιν, ἀλλὰ καὶ ὁ Γ, οἱ Δ, Γ ἄρα ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν. τῶν Δ, Γ ἄρα εἷσ μέσοσ ἀνάλογον ἐμπίπτει. καί ἐστιν ὡσ ὁ Δ πρὸσ τὸν Γ, οὕτωσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β· καὶ τῶν Α, Β ἄρα εἷσ μέσοσ ἀνάλογον ἐμπίπτει. ἐὰν δὲ δύο ἀριθμῶν εἷσ μέσοσ ἀνάλογον ἐμπίπτῃ, ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν [οἱ] ἀριθμοί· οἱ ἄρα Α, Β ὅμοιοί εἰσιν ἐπίπεδοι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν κύβοσ ἀριθμὸσ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσασ ποιῇ τινα, ὁ γενόμενοσ κύβοσ ἔσται. Κύβοσ γὰρ ἀριθμὸσ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσασ τὸν Β ποιείτω· λέγω, ὅτι ὁ Β κύβοσ ἐστίν. Εἰλήφθω γὰρ τοῦ Α πλευρὰ ὁ Γ, καὶ ὁ Γ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσασ τὸν Δ ποιείτω. φανερὸν δή ἐστιν, ὅτι ὁ Γ τὸν Δ πολλαπλασιάσασ τὸν Α πεποίηκεν. καὶ ἐπεὶ ὁ Γ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσασ τὸν Δ πεποίηκεν, ὁ Γ ἄρα τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὰσ ἐν αὑτῷ μονάδασ. ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ μονὰσ τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὰσ ἐν αὐτῷ μονάδασ· ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ μονὰσ πρὸσ τὸν Γ, ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Γ τὸν Δ πολλαπλασιάσασ τὸν Α πεποίηκεν, ὁ Δ ἄρα τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰσ ἐν τῷ Γ μονάδασ. μετρεῖ δὲ καὶ ἡ μονὰσ τὸν Γ κατὰ τὰσ ἐν αὐτῷ μονάδασ· ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ μονὰσ πρὸσ τὸν Γ, ὁ Δ πρὸσ τὸν Α. ἀλλ’ ὡσ ἡ μονὰσ πρὸσ τὸν Γ, ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ· καὶ ὡσ ἄρα ἡ μονὰσ πρὸσ τὸν Γ, οὕτωσ ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ καὶ ὁ Δ πρὸσ τὸν Α. τῆσ ἄρα μονάδοσ καὶ τοῦ Α ἀριθμοῦ δύο μέσοι ἀνάλογον κατὰ τὸ συνεχὲσ ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοὶ οἱ Γ, Δ. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσασ τὸν Β πεποίηκεν, ὁ Α ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰσ ἐν αὑτῷ μονάδασ. μετρεῖ δὲ καὶ ἡ μονὰσ τὸν Α κατὰ τὰσ ἐν αὐτῷ μονάδασ· ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ μονὰσ πρὸσ τὸν Α, ὁ Α πρὸσ τὸν Β. τῆσ δὲ μονάδοσ καὶ τοῦ Α δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί· καὶ τῶν Α, Β ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται ἀριθμοί. ἐὰν δὲ δύο ἀριθμῶν δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτωσιν, ὁ δὲ πρῶτοσ κύβοσ ᾖ, καὶ ὁ δεύτεροσ κύβοσ ἔσται. καί ἐστιν ὁ Α κύβοσ· καὶ ὁ Β ἄρα κύβοσ ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν κύβοσ ἀριθμὸσ κύβον ἀριθμὸν πολλαπλασιάσασ ποιῇ τινα, ὁ γενόμενοσ κύβοσ ἔσται. Κύβοσ γὰρ ἀριθμὸσ ὁ Α κύβον ἀριθμὸν τὸν Β πολλαπλασιάσασ τὸν Γ ποιείτω· λέγω, ὅτι ὁ Γ κύβοσ ἐστίν. Ὁ γὰρ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσασ τὸν Δ ποιείτω· ὁ Δ ἄρα κύβοσ ἐστίν. καὶ ἐπεὶ ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσασ τὸν Δ πεποίηκεν, τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσασ τὸν Γ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β, οὕτωσ ὁ Δ πρὸσ τὸν Γ. καὶ ἐπεὶ οἱ Α, Β κύβοι εἰσίν, ὅμοιοι στερεοί εἰσιν οἱ Α, Β. τῶν Α, Β ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί· ὥστε καὶ τῶν Δ, Γ δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται ἀριθμοί. καί ἐστι κύβοσ ὁ Δ· κύβοσ ἄρα καὶ ὁ Γ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν κύβοσ ἀριθμὸσ ἀριθμόν τινα πολλαπλασιάσασ κύβον ποιῇ, καὶ ὁ πολλαπλασιασθεὶσ κύβοσ ἔσται. Κύβοσ γὰρ ἀριθμὸσ ὁ Α ἀριθμόν τινα τὸν Β πολλαπλασιάσασ κύβον τὸν Γ ποιείτω· λέγω, ὅτι ὁ Β κύβοσ ἐστίν. Ὁ γὰρ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσασ τὸν Δ ποιείτω· κύβοσ ἄρα ἐστίν ὁ Δ. καὶ ἐπεὶ ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσασ τὸν Δ πεποίηκεν, τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσασ τὸν Γ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β, ὁ Δ πρὸσ τὸν Γ. καὶ ἐπεὶ οἱ Δ, Γ κύβοι εἰσίν, ὅμοιοι στερεοί εἰσιν. τῶν Δ, Γ ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί. καί ἐστιν ὡσ ὁ Δ πρὸσ τὸν Γ, οὕτωσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β· καὶ τῶν Α, Β ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί. καί ἐστι κύβοσ ὁ Α· κύβοσ ἄρα ἐστὶ καὶ ὁ Β· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ἀριθμὸσ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσασ κύβον ποιῇ, καὶ αὐτὸσ κύβοσ ἔσται. Ἀριθμὸσ γὰρ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσασ κύβον τὸν Β ποιείτω· λέγω, ὅτι καὶ ὁ Α κύβοσ ἐστίν. ὁ γὰρ Α τὸν Β πολλαπλασιάσασ τὸν Γ ποιείτω. ἐπεὶ οὖν ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσασ τὸν Β πεποίηκεν, τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσασ τὸν Γ πεποίηκεν, ὁ Γ ἄρα κύβοσ ἐστίν. καὶ ἐπεὶ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσασ τὸν Β πεποίηκεν, ὁ Α ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰσ ἐν αὑτῷ μονάδασ. μετρεῖ δὲ καὶ ἡ μονὰσ τὸν Α κατὰ τὰσ ἐν αὐτῷ μονάδασ. ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ μονὰσ πρὸσ τὸν Α, οὕτωσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β. καὶ ἐπεὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσασ τὸν Γ πεποίηκεν, ὁ Β ἄρα τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὰσ ἐν τῷ Α μονάδασ. μετρεῖ δὲ καὶ ἡ μονὰσ τὸν Α κατὰ τὰσ ἐν αὐτῷ μονάδασ. ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ μονὰσ πρὸσ τὸν Α, οὕτωσ ὁ Β πρὸσ τὸν Γ. ἀλλ’ ὡσ ἡ μονὰσ πρὸσ τὸν Α, οὕτωσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β· καὶ ὡσ ἄρα ὁ Α πρὸσ τὸν Β, ὁ Β πρὸσ τὸν Γ. καὶ ἐπεὶ οἱ Β, Γ κύβοι εἰσίν, ὅμοιοι στερεοί εἰσιν. τῶν Β, Γ ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογόν εἰσιν ἀριθμοί. καί ἐστιν ὡσ ὁ Β πρὸσ τὸν Γ, ὁ Α πρὸσ τὸν Β. καὶ τῶν Α, Β ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογόν εἰσιν ἀριθμοί. καί ἐστι κύβοσ ὁ Β· κύβοσ ἄρα ἐστὶ καὶ ὁ Α· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν σύνθετοσ ἀριθμὸσ ἀριθμόν τινα πολλαπλασιάσασ ποιῇ τινα, ὁ γενόμενοσ στερεὸσ ἔσται. Σύνθετοσ γὰρ ἀριθμὸσ ὁ Α ἀριθμόν τινα τὸν Β πολλαπλασιάσασ τὸν Γ ποιείτω· λέγω, ὅτι ὁ Γ στερεόσ ἐστιν. Ἐπεὶ γὰρ ὁ Α σύνθετόσ ἐστιν, ὑπὸ ἀριθμοῦ τινοσ μετρηθήσεται. μετρείσθω ὑπὸ τοῦ Δ, καὶ ὁσάκισ ὁ Δ τὸν Α μετρεῖ, τοσαῦται μονάδεσ ἔστωσαν ἐν τῷ Ε. ἐπεὶ οὖν ὁ Δ τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰσ ἐν τῷ Ε μονάδασ, ὁ Ε ἄρα τὸν Δ πολλαπλασιάσασ τὸν Α πεποίηκεν. καὶ ἐπεὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσασ τὸν Γ πεποίηκεν, ὁ δὲ Α ἐστιν ὁ ἐκ τῶν Δ, Ε, ὁ ἄρα ἐκ τῶν Δ, Ε τὸν Β πολλαπλασιάσασ τὸν Γ πεποίηκεν. ὁ Γ ἄρα στερεόσ ἐστιν, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ εἰσιν οἱ Δ, Ε, Β· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ἀπὸ μονάδοσ ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆσ ἀνάλογον ὦσιν, ὁ μὲν τρίτοσ ἀπὸ τῆσ μονάδοσ τετράγωνοσ ἔσται καὶ οἱ ἕνα διαλείποντεσ, ὁ δὲ τέταρτοσ κύβοσ καὶ οἱ δύο διαλείποντεσ πάντεσ, ὁ δὲ ἕβδομοσ κύβοσ ἅμα καὶ τετράγωνοσ καὶ οἱ πέντε διαλείποντεσ. Ἔστωσαν ἀπὸ μονάδοσ ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆσ ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ· λέγω, ὅτι ὁ μὲν τρίτοσ ἀπὸ τῆσ μονάδοσ ὁ Β τετράγωνόσ ἐστι καὶ οἱ ἕνα διαλείποντεσ πάντεσ, ὁ δὲ τέταρτοσ ὁ Γ κύβοσ καὶ οἱ δύο διαλείποντεσ πάντεσ, ὁ δὲ ἕβδομοσ ὁ Ζ κύβοσ ἅμα καὶ τετράγωνοσ καὶ οἱ πέντε διαλείποντεσ πάντεσ. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡσ ἡ μονὰσ πρὸσ τὸν Α, οὕτωσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β, ἰσάκισ ἄρα ἡ μονὰσ τὸν Α ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Α τὸν Β. ἡ δὲ μονὰσ τὸν Α ἀριθμὸν μετρεῖ κατὰ τὰσ ἐν αὐτῷ μονάδασ· καὶ ὁ Α ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰσ ἐν τῷ Α μονάδασ. ὁ Α ἄρα ἑαυτὸν πολλαπλασιάσασ τὸν Β πεποίηκεν· τετράγωνοσ ἄρα ἐστὶν ὁ Β. καὶ ἐπεὶ οἱ Β, Γ, Δ ἑξῆσ ἀνάλογόν εἰσιν, ὁ δὲ Β τετράγωνόσ ἐστιν, καὶ ὁ Δ ἄρα τετράγωνόσ ἐστιν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Ζ τετράγωνόσ ἐστιν. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ οἱ ἕνα διαλείποντεσ πάντεσ τετράγωνοί εἰσιν. λέγω δή, ὅτι καὶ ὁ τέταρτοσ ἀπὸ τῆσ μονάδοσ ὁ Γ κύβοσ ἐστὶ καὶ οἱ δύο διαλείποντεσ πάντεσ. ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡσ ἡ μονὰσ πρὸσ τὸν Α, οὕτωσ ὁ Β πρὸσ τὸν Γ, ἰσάκισ ἄρα ἡ μονὰσ τὸν Α ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Β τὸν Γ. ἡ δὲ μονὰσ τὸν Α ἀριθμὸν μετρεῖ κατὰ τὰσ ἐν τῷ Α μονάδασ· καὶ ὁ Β ἄρα τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὰσ ἐν τῷ Α μονάδασ· ὁ Α ἄρα τὸν Β πολλαπλασιάσασ τὸν Γ πεποίηκεν. ἐπεὶ οὖν ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσασ τὸν Β πεποίηκεν, τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσασ τὸν Γ πεποίηκεν, κύβοσ ἄρα ἐστὶν ὁ Γ. καὶ ἐπεὶ οἱ Γ, Δ, Ε, Ζ ἑξῆσ ἀνάλογόν εἰσιν, ὁ δὲ Γ κύβοσ ἐστίν, καὶ ὁ Ζ ἄρα κύβοσ ἐστίν. ἐδείχθη δὲ καὶ τετράγωνοσ· ὁ ἄρα ἕβδομοσ ἀπὸ τῆσ μονάδοσ κύβοσ τέ ἐστι καὶ τετράγωνοσ. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ οἱ πέντε διαλείποντεσ πάντεσ κύβοι τέ εἰσι καὶ τετράγωνοι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ἀπὸ μονάδοσ ὁποσοιοῦν ἑξῆσ κατὰ τὸ συνεχὲσ ἀριθμοὶ ἀνάλογον ὦσιν, ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα τετράγωνοσ ᾖ, καὶ οἱ λοιποὶ πάντεσ τετράγωνοι ἔσονται. καὶ ἐὰν ὁ μετὰ τὴν μονάδα κύβοσ ᾖ, καὶ οἱ λοιποὶ πάντεσ κύβοι ἔσονται. Ἔστωσαν ἀπὸ μονάδοσ ἑξῆσ ἀνάλογον ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα ὁ Α τετράγωνοσ ἔστω· λέγω, ὅτι καὶ οἱ λοιποὶ πάντεσ τετράγωνοι ἔσονται. Ὅτι μὲν οὖν ὁ τρίτοσ ἀπὸ τῆσ μονάδοσ ὁ Β τετράγωνόσ ἐστι καὶ οἱ ἕνα διαλείποντεσ πάντεσ, δέδεικται· λέγω [δή], ὅτι καὶ οἱ λοιποὶ πάντεσ τετράγωνοί εἰσιν. ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Β, Γ ἑξῆσ ἀνάλογόν εἰσιν, καί ἐστιν ὁ Α τετράγωνοσ, καὶ ὁ Γ [ἄρα] τετράγωνόσ ἐστιν. πάλιν, ἐπεὶ [καὶ] οἱ Β, Γ, Δ ἑξῆσ ἀνάλογόν εἰσιν, καί ἐστιν ὁ Β τετράγωνοσ, καὶ ὁ Δ [ἄρα] τετράγωνόσ ἐστιν. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ οἱ λοιποὶ πάντεσ τετράγωνοί εἰσιν. Ἀλλὰ δὴ ἔστω ὁ Α κύβοσ· λέγω, ὅτι καὶ οἱ λοιποὶ πάντεσ κύβοι εἰσίν. Ὅτι μὲν οὖν ὁ τέταρτοσ ἀπὸ τῆσ μονάδοσ ὁ Γ κύβοσ ἐστὶ καὶ οἱ δύο διαλείποντεσ πάντεσ, δέδεικται· λέγω [δή], ὅτι καὶ οἱ λοιποὶ πάντεσ κύβοι εἰσίν. ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡσ ἡ μονὰσ πρὸσ τὸν Α, οὕτωσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β, ἰσάκισ ἄρα ἡ μονὰσ τὸν Α μετρεῖ καὶ ὁ Α τὸν Β. ἡ δὲ μονὰσ τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰσ ἐν αὐτῷ μονάδασ· καὶ ὁ Α ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰσ ἐν αὑτῷ μονάδασ· ὁ Α ἄρα ἑαυτὸν πολλαπλασιάσασ τὸν Β πεποίηκεν. καί ἐστιν ὁ Α κύβοσ. ἐὰν δὲ κύβοσ ἀριθμὸσ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσασ ποιῇ τινα, ὁ γενόμενοσ κύβοσ ἐστίν· καὶ ὁ Β ἄρα κύβοσ ἐστίν. καὶ ἐπεὶ τέσσαρεσ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ, Δ ἑξῆσ ἀνάλογόν εἰσιν, καί ἐστιν ὁ Α κύβοσ, καὶ ὁ Δ ἄρα κύβοσ ἐστίν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Ε κύβοσ ἐστίν, καὶ ὁμοίωσ οἱ λοιποὶ πάντεσ κύβοι εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ἀπὸ μονάδοσ ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ [ἑξῆσ] ἀνάλογον ὦσιν, ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα μὴ ᾖ τετράγωνοσ, οὐδ’ ἄλλοσ οὐδεὶσ τετράγωνοσ ἔσται χωρὶσ τοῦ τρίτου ἀπὸ τῆσ μονάδοσ καὶ τῶν ἕνα διαλειπόντων πάντων. καὶ ἐὰν ὁ μετὰ τὴν μονάδα κύβοσ μὴ ᾖ, οὐδὲ ἄλλοσ οὐδεὶσ κύβοσ ἔσται χωρὶσ τοῦ τετάρτου ἀπὸ τῆσ μονάδοσ καὶ τῶν δύο διαλειπόντων πάντων. Ἔστωσαν ἀπὸ μονάδοσ ἑξῆσ ἀνάλογον ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα ὁ Α μὴ ἔστω τετράγωνοσ· λέγω, ὅτι οὐδὲ ἄλλοσ οὐδεὶσ τετράγωνοσ ἔσται χωρὶσ τοῦ τρίτου ἀπὸ τῆσ μονάδοσ [καὶ τῶν ἕνα διαλειπόντων]. Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ὁ Γ τετράγωνοσ. ἔστι δὲ καὶ ὁ Β τετράγωνοσ· οἱ Β, Γ ἄρα πρὸσ ἀλλήλουσ λόγον ἔχουσιν, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν. καί ἐστιν ὡσ ὁ Β πρὸσ τὸν Γ, ὁ Α πρὸσ τὸν Β· οἱ Α, Β ἄρα πρὸσ ἀλλήλουσ λόγον ἔχουσιν, ὃν τετράγωνοσ ἀριθμὸσ πρὸσ τετράγωνον ἀριθμόν· ὥστε οἱ Α, Β ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν. καί ἐστι τετράγωνοσ ὁ Β· τετράγωνοσ ἄρα ἐστὶ καὶ ὁ Α· ὅπερ οὐχ ὑπέκειτο. οὐκ ἄρα ὁ Γ τετράγωνόσ ἐστιν. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδ’ ἄλλοσ οὐδεὶσ τετράγωνόσ ἐστι χωρὶσ τοῦ τρίτου ἀπὸ τῆσ μονάδοσ καὶ τῶν ἕνα διαλειπόντων. Ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω ὁ Α κύβοσ. λέγω, ὅτι οὐδ’ ἄλλοσ οὐδεὶσ κύβοσ ἔσται χωρὶσ τοῦ τετάρτου ἀπὸ τῆσ μονάδοσ καὶ τῶν δύο διαλειπόντων. Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ὁ Δ κύβοσ. ἔστι δὲ καὶ ὁ Γ κύβοσ· τέταρτοσ γάρ ἐστιν ἀπὸ τῆσ μονάδοσ. καί ἐστιν ὡσ ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ, ὁ Β πρὸσ τὸν Γ· καὶ ὁ Β ἄρα πρὸσ τὸν Γ λόγον ἔχει, ὃν κύβοσ πρὸσ κύβον. καί ἐστιν ὁ Γ κύβοσ· καὶ ὁ Β ἄρα κύβοσ ἐστίν. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ἡ μονὰσ πρὸσ τὸν Α, ὁ Α πρὸσ τὸν Β, ἡ δὲ μονὰσ τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰσ ἐν αὐτῷ μονάδασ, καὶ ὁ Α ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰσ ἐν αὑτῷ μονάδασ· ὁ Α ἄρα ἑαυτὸν πολλαπλασιάσασ κύβον τὸν Β πεποίηκεν. ἐὰν δὲ ἀριθμὸσ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσασ κύβον ποιῇ, καὶ αὐτὸσ κύβοσ ἔσται. κύβοσ ἄρα καὶ ὁ Α· ὅπερ οὐχ ὑπόκειται. οὐκ ἄρα ὁ Δ κύβοσ ἐστίν. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδ’ ἄλλοσ οὐδεὶσ κύβοσ ἐστὶ χωρὶσ τοῦ τετάρτου ἀπὸ τῆσ μονάδοσ καὶ τῶν δύο διαλειπόντων· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ἀπὸ μονάδοσ ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆσ ἀνάλογον ὦσιν, ὁ ἐλάττων τὸν μείζονα μετρεῖ κατά τινα τῶν ὑπαρχόντων ἐν τοῖσ ἀνάλογον ἀριθμοῖσ. Ἔστωσαν ἀπὸ μονάδοσ τῆσ Α ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆσ ἀνάλογον οἱ Β, Γ, Δ, Ε· λέγω, ὅτι τῶν Β, Γ, Δ, Ε ὁ ἐλάχιστοσ ὁ Β τὸν Ε μετρεῖ κατά τινα τῶν Γ, Δ. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡσ ἡ Α μονὰσ πρὸσ τὸν Β, οὕτωσ ὁ Δ πρὸσ τὸν Ε, ἰσάκισ ἄρα ἡ Α μονὰσ τὸν Β ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Δ τὸν Ε· ἐναλλὰξ ἄρα ἰσάκισ ἡ Α μονὰσ τὸν Δ μετρεῖ καὶ ὁ Β τὸν Ε. ἡ δὲ Α μονὰσ τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὰσ ἐν αὐτῷ μονάδασ· καὶ ὁ Β ἄρα τὸν Ε μετρεῖ κατὰ τὰσ ἐν τῷ Δ μονάδασ· ὥστε ὁ ἐλάσσων ὁ Β τὸν μείζονα τὸν Ε μετρεῖ κατά τινα ἀριθμὸν τῶν ὑπαρχόντων ἐν τοῖσ ἀνάλογον ἀριθμοῖσ. Πόρισμα Καὶ φανερόν, ὅτι ἣν ἔχει τάξιν ὁ μετρῶν ἀπὸ μονάδοσ, τὴν αὐτὴν ἔχει καὶ ὁ καθ’ ὃν μετρεῖ ἀπὸ τοῦ μετρουμένου ἐπὶ τὸ πρὸ αὐτοῦ. —ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ἀπὸ μονάδοσ ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆσ ἀνάλογον ὦσιν, ὑφ’ ὅσων ἂν ὁ ἔσχατοσ πρώτων ἀριθμῶν μετρῆται, ὑπὸ τῶν αὐτῶν καὶ ὁ παρὰ τὴν μονάδα μετρηθήσεται. Ἔστωσαν ἀπὸ μονάδοσ ὁποσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ· λέγω, ὅτι ὑφ’ ὅσων ἂν ὁ Δ πρώτων ἀριθμῶν μετρῆται, ὑπὸ τῶν αὐτῶν καὶ ὁ Α μετρηθήσεται. Μετρείσθω γὰρ ὁ Δ ὑπό τινοσ πρώτου ἀριθμοῦ τοῦ Ε· λέγω, ὅτι ὁ Ε τὸν Α μετρεῖ. μὴ γάρ· καί ἐστιν ὁ Ε πρῶτοσ, ἅπασ δὲ πρῶτοσ ἀριθμὸσ πρὸσ ἅπαντα, ὃν μὴ μετρεῖ, πρῶτόσ ἐστιν· οἱ Ε, Α ἄρα πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν. καὶ ἐπεὶ ὁ Ε τὸν Δ μετρεῖ, μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Ζ· ὁ Ε ἄρα τὸν Ζ πολλαπλασιάσασ τὸν Δ πεποίηκεν. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Α τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὰσ ἐν τῷ Γ μονάδασ, ὁ Α ἄρα τὸν Γ πολλαπλασιάσασ τὸν Δ πεποίηκεν. ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Ε τὸν Ζ πολλαπλασιάσασ τὸν Δ πεποίηκεν· ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Γ ἴσοσ ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Ε, Ζ. ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Ε, ὁ Ζ πρὸσ τὸν Γ. οἱ δὲ Α, Ε πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺσ τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντασ ἰσάκισ ὅ τε ἡγούμενοσ τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενοσ τὸν ἑπόμενον· μετρεῖ ἄρα ὁ Ε τὸν Γ. μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Η· ὁ Ε ἄρα τὸν Η πολλαπλασιάσασ τὸν Γ πεποίηκεν. ἀλλὰ μὴν διὰ τὸ πρὸ τούτου καὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσασ τὸν Γ πεποίηκεν. ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Β ἴσοσ ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Ε, Η. ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Ε, ὁ Η πρὸσ τὸν Β. οἱ δὲ Α, Ε πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ μετροῦσι τοὺσ τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντασ αὐτοῖσ ἰσάκισ ὅ τε ἡγούμενοσ τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενοσ τὸν ἑπόμενον· μετρεῖ ἄρα ὁ Ε τὸν Β. μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Θ· ὁ Ε ἄρα τὸν Θ πολλαπλασιάσασ τὸν Β πεποίηκεν. ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσασ τὸν Β πεποίηκεν· ὁ ἄρα ἐκ τῶν Ε, Θ ἴσοσ ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ Α. ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Ε πρὸσ τὸν Α, ὁ Α πρὸσ τὸν Θ. οἱ δὲ Α, Ε πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺσ τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντασ ἰσάκισ ὅ τε ἡγούμενοσ τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενοσ τὸν ἑπόμενον· μετρεῖ ἄρα ὁ Ε τὸν Α ὡσ ἡγούμενοσ ἡγούμενον. ἀλλὰ μὴν καὶ οὐ μετρεῖ· ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα οἱ Ε, Α πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν. σύνθετοι ἄρα. οἱ δὲ σύνθετοι ὑπὸ [πρώτου] ἀριθμοῦ τινοσ μετροῦνται. καὶ ἐπεὶ ὁ Ε πρῶτοσ ὑπόκειται, ὁ δὲ πρῶτοσ ὑπὸ ἑτέρου ἀριθμοῦ οὐ μετρεῖται ἢ ὑφ’ ἑαυτοῦ, ὁ Ε ἄρα τοὺσ Α, Ε μετρεῖ· ὥστε ὁ Ε τὸν Α μετρεῖ. μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Δ· ὁ Ε ἄρα τοὺσ Α, Δ μετρεῖ. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι ὑφ’ ὅσων ἂν ὁ Δ πρώτων ἀριθμῶν μετρῆται, ὑπὸ τῶν αὐτῶν καὶ ὁ Α μετρηθήσεται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ἀπὸ μονάδοσ ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆσ ἀνάλογον ὦσιν, ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα πρῶτοσ ᾖ, ὁ μέγιστοσ ὑπ’ οὐδενὸσ [ἄλλου] μετρηθήσεται παρὲξ τῶν ὑπαρχόντων ἐν τοῖσ ἀνάλογον ἀριθμοῖσ. Ἔστωσαν ἀπὸ μονάδοσ ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆσ ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ, ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα ὁ Α πρῶτοσ ἔστω· λέγω, ὅτι ὁ μέγιστοσ αὐτῶν ὁ Δ ὑπ’ οὐδενὸσ ἄλλου μετρηθήσεται παρὲξ τῶν Α, Β, Γ. Εἰ γὰρ δυνατόν, μετρείσθω ὑπὸ τοῦ Ε, καὶ ὁ Ε μηδενὶ τῶν Α, Β, Γ ἔστω ὁ αὐτόσ. φανερὸν δή, ὅτι ὁ Ε πρῶτοσ οὔκ ἐστιν. εἰ γὰρ ὁ Ε πρῶτόσ ἐστι καὶ μετρεῖ τὸν Δ, καὶ τὸν Α μετρήσει πρῶτον ὄντα μὴ ὢν αὐτῷ ὁ αὐτόσ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ὁ Ε πρῶτόσ ἐστιν. σύνθετοσ ἄρα. πᾶσ δὲ σύνθετοσ ἀριθμὸσ ὑπὸ πρώτου τινὸσ ἀριθμοῦ μετρεῖται· ὁ Ε ἄρα ὑπὸ πρώτου τινὸσ ἀριθμοῦ μετρεῖται. λέγω δή, ὅτι ὑπ’ οὐδενὸσ ἄλλου πρώτου μετρηθήσεται πλὴν τοῦ Α. εἰ γὰρ ὑφ’ ἑτέρου μετρεῖται ὁ Ε, ὁ δὲ Ε τὸν Δ μετρεῖ, κἀκεῖνοσ ἄρα τὸν Δ μετρήσει· ὥστε καὶ τὸν Α μετρήσει πρῶτον ὄντα μὴ ὢν αὐτῷ ὁ αὐτόσ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. ὁ Α ἄρα τὸν Ε μετρεῖ. καὶ ἐπεὶ ὁ Ε τὸν Δ μετρεῖ, μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Ζ. λέγω, ὅτι ὁ Ζ οὐδενὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτόσ. εἰ γὰρ ὁ Ζ ἑνὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτὸσ καὶ μετρεῖ τὸν Δ κατὰ τὸν Ε, καὶ εἷσ ἄρα τῶν Α, Β, Γ τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὸν Ε. ἀλλὰ εἷσ τῶν Α, Β, Γ τὸν Δ μετρεῖ κατά τινα τῶν Α, Β, Γ· καὶ ὁ Ε ἄρα ἑνὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτόσ· ὅπερ οὐχ ὑπόκειται. οὐκ ἄρα ὁ Ζ ἑνὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτόσ. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι μετρεῖται ὁ Ζ ὑπὸ τοῦ Α, δεικνύντεσ πάλιν, ὅτι ὁ Ζ οὔκ ἐστι πρῶτοσ. εἰ γάρ, καὶ μετρεῖ τὸν Δ, καὶ τὸν Α μετρήσει πρῶτον ὄντα μὴ ὢν αὐτῷ ὁ αὐτόσ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· οὐκ ἄρα πρῶτόσ ἐστιν ὁ Ζ· σύνθετοσ ἄρα. ἅπασ δὲ σύνθετοσ ἀριθμὸσ ὑπὸ πρώτου τινὸσ ἀριθμοῦ μετρεῖται· ὁ Ζ ἄρα ὑπὸ πρώτου τινὸσ ἀριθμοῦ μετρεῖται. λέγω δή, ὅτι ὑφ’ ἑτέρου πρώτου οὐ μετρηθήσεται πλὴν τοῦ Α. εἰ γὰρ ἕτερόσ τισ πρῶτοσ τὸν Ζ μετρεῖ, ὁ δὲ Ζ τὸν Δ μετρεῖ, κἀκεῖνοσ ἄρα τὸν Δ μετρήσει· ὥστε καὶ τὸν Α μετρήσει πρῶτον ὄντα μὴ ὢν αὐτῷ ὁ αὐτόσ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. ὁ Α ἄρα τὸν Ζ μετρεῖ. καὶ ἐπεὶ ὁ Ε τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὸν Ζ, ὁ Ε ἄρα τὸν Ζ πολλαπλασιάσασ τὸν Δ πεποίηκεν. ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Α τὸν Γ πολλαπλασιάσασ τὸν Δ πεποίηκεν· ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Γ ἴσοσ ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Ε, Ζ. ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Ε, οὕτωσ ὁ Ζ πρὸσ τὸν Γ. ὁ δὲ Α τὸν Ε μετρεῖ· καὶ ὁ Ζ ἄρα τὸν Γ μετρεῖ. μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Η. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι ὁ Η οὐδενὶ τῶν Α, Β ἐστιν ὁ αὐτόσ, καὶ ὅτι μετρεῖται ὑπὸ τοῦ Α. καὶ ἐπεὶ ὁ Ζ τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὸν Η, ὁ Ζ ἄρα τὸν Η πολλαπλασιάσασ τὸν Γ πεποίηκεν. ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσασ τὸν Γ πεποίηκεν· ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Β ἴσοσ ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Ζ, Η. ἀνάλογον ἄρα ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Ζ, ὁ Η πρὸσ τὸν Β. μετρεῖ δὲ ὁ Α τὸν Ζ· μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Η τὸν Β. μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Θ. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι ὁ Θ τῷ Α οὐκ ἔστιν ὁ αὐτόσ. καὶ ἐπεὶ ὁ Η τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὸν Θ, ὁ Η ἄρα τὸν Θ πολλαπλασιάσασ τὸν Β πεποίηκεν. ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσασ τὸν Β πεποίηκεν· ὁ ἄρα ὑπὸ Θ, Η ἴσοσ ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ Α τετραγώνῳ. ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Θ πρὸσ τὸν Α, ὁ Α πρὸσ τὸν Η. μετρεῖ δὲ ὁ Α τὸν Η· μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Θ τὸν Α πρῶτον ὄντα μὴ ὢν αὐτῷ ὁ αὐτόσ· ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα ὁ μέγιστοσ ὁ Δ ὑπὸ ἑτέρου ἀριθμοῦ μετρηθήσεται παρὲξ τῶν Α, Β, Γ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ἐλάχιστοσ ἀριθμὸσ ὑπὸ πρώτων ἀριθμῶν μετρῆται, ὑπ’ οὐδενὸσ ἄλλου πρώτου ἀριθμοῦ μετρηθήσεται παρὲξ τῶν ἐξ ἀρχῆσ μετρούντων. Ἐλάχιστοσ γὰρ ἀριθμὸσ ὁ Α ὑπὸ πρώτων ἀριθμῶν τῶν Β, Γ, Δ μετρείσθω· λέγω, ὅτι ὁ Α ὑπ’ οὐδενὸσ ἄλλου πρώτου ἀριθμοῦ μετρηθήσεται παρὲξ τῶν Β, Γ, Δ. Εἰ γὰρ δυνατόν, μετρείσθω ὑπὸ πρώτου τοῦ Ε, καὶ ὁ Ε μηδενὶ τῶν Β, Γ, Δ ἔστω ὁ αὐτόσ. καὶ ἐπεὶ ὁ Ε τὸν Α μετρεῖ, μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Ζ· ὁ Ε ἄρα τὸν Ζ πολλαπλασιάσασ τὸν Α πεποίηκεν. καὶ μετρεῖται ὁ Α ὑπὸ πρώτων ἀριθμῶν τῶν Β, Γ, Δ. ἐὰν δὲ δύο ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντεσ ἀλλήλουσ ποιῶσί τινα, τὸν δὲ γενόμενον ἐξ αὐτῶν μετρῇ τισ πρῶτοσ ἀριθμόσ, καὶ ἕνα τῶν ἐξ ἀρχῆσ μετρήσει· οἱ Β, Γ, Δ ἄρα ἕνα τῶν Ε, Ζ μετρήσουσιν. τὸν μὲν οὖν Ε οὐ μετρήσουσιν· ὁ γὰρ Ε πρῶτόσ ἐστι καὶ οὐδενὶ τῶν Β, Γ, Δ ὁ αὐτόσ. τὸν Ζ ἄρα μετροῦσιν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Α· ὅπερ ἀδύνατον. ὁ γὰρ Α ὑπόκειται ἐλάχιστοσ ὑπὸ τῶν Β, Γ, Δ μετρούμενοσ. οὐκ ἄρα τὸν Α μετρήσει πρῶτοσ ἀριθμὸσ παρὲξ τῶν Β, Γ, Δ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν τρεῖσ ἀριθμοὶ ἑξῆσ ἀνάλογον ὦσιν ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖσ, δύο ὁποιοιοῦν συντεθέντεσ πρὸσ τὸν λοιπὸν πρῶτοί εἰσιν. Ἔστωσαν τρεῖσ ἀριθμοὶ ἑξῆσ ἀνάλογον ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖσ οἱ Α, Β, Γ· λέγω, ὅτι τῶν Α, Β, Γ δύο ὁποιοιοῦν συντεθέντεσ πρὸσ τὸν λοιπὸν πρῶτοί εἰσιν, οἱ μὲν Α, Β πρὸσ τὸν Γ, οἱ δὲ Β, Γ πρὸσ τὸν Α καὶ ἔτι οἱ Α, Γ πρὸσ τὸν Β. Εἰλήφθωσαν γὰρ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖσ Α, Β, Γ δύο οἱ ΔΕ, ΕΖ. φανερὸν δή, ὅτι ὁ μὲν ΔΕ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσασ τὸν Α πεποίηκεν, τὸν δὲ ΕΖ πολλαπλασιάσασ τὸν Β πεποίηκεν, καὶ ἔτι ὁ ΕΖ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσασ τὸν Γ πεποίηκεν. καὶ ἐπεὶ οἱ ΔΕ, ΕΖ ἐλάχιστοί εἰσιν, πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν. ἐὰν δὲ δύο ἀριθμοί πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ ὦσιν, καὶ συναμφότεροσ πρὸσ ἑκάτερον πρῶτόσ ἐστιν· καὶ ὁ ΔΖ ἄρα πρὸσ ἑκάτερον τῶν ΔΕ, ΕΖ πρῶτόσ ἐστιν. ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ ΔΕ πρὸσ τὸν ΕΖ πρῶτόσ ἐστιν· οἱ ΔΖ, ΔΕ ἄρα πρὸσ τὸν ΕΖ πρῶτοί εἰσιν. ἐὰν δὲ δύο ἀριθμοὶ πρόσ τινα ἀριθμὸν πρῶτοι ὦσιν, καὶ ὁ ἐξ αὐτῶν γενόμενοσ πρὸσ τὸν λοιπὸν πρῶτόσ ἐστιν· ὥστε ὁ ἐκ τῶν ΖΔ, ΔΕ πρὸσ τὸν ΕΖ πρῶτόσ ἐστιν· ὥστε καὶ ὁ ἐκ τῶν ΖΔ, ΔΕ πρὸσ τὸν ἀπὸ τοῦ ΕΖ πρῶτόσ ἐστιν. [ἐὰν γὰρ δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ ὦσιν, ὁ ἐκ τοῦ ἑνὸσ αὐτῶν γενόμενοσ πρὸσ τὸν λοιπὸν πρῶτόσ ἐστιν]. ἀλλ’ ὁ ἐκ τῶν ΖΔ, ΔΕ ὁ ἀπὸ τοῦ ΔΕ ἐστι μετὰ τοῦ ἐκ τῶν ΔΕ, ΕΖ· ὁ ἄρα ἀπὸ τοῦ ΔΕ μετὰ τοῦ ἐκ τῶν ΔΕ, ΕΖ πρὸσ τὸν ἀπὸ τοῦ ΕΖ πρῶτόσ ἐστιν. καί ἐστιν ὁ μὲν ἀπὸ τοῦ ΔΕ ὁ Α, ὁ δὲ ἐκ τῶν ΔΕ, ΕΖ ὁ Β, ὁ δὲ ἀπὸ τοῦ ΕΖ ὁ Γ· οἱ Α, Β ἄρα συντεθέντεσ πρὸσ τὸν Γ πρῶτοί εἰσιν. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ οἱ Β, Γ πρὸσ τὸν Α πρῶτοί εἰσιν. λέγω δή, ὅτι καὶ οἱ Α, Γ πρὸσ τὸν Β πρῶτοί εἰσιν. ἐπεὶ γὰρ ὁ ΔΖ πρὸσ ἑκάτερον τῶν ΔΕ, ΕΖ πρῶτόσ ἐστιν, καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ ΔΖ πρὸσ τὸν ἐκ τῶν ΔΕ, ΕΖ πρῶτόσ ἐστιν. ἀλλὰ τῷ ἀπὸ τοῦ ΔΖ ἴσοι εἰσὶν οἱ ἀπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ μετὰ τοῦ δὶσ ἐκ τῶν ΔΕ, ΕΖ· καὶ οἱ ἀπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ ἄρα μετὰ τοῦ δὶσ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ πρὸσ τὸν ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ πρῶτοί [εἰσι]. διελόντι οἱ ἀπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ μετὰ τοῦ ἅπαξ ὑπὸ ΔΕ, ΕΖ πρὸσ τὸν ὑπὸ ΔΕ, ΕΖ πρῶτοί εἰσιν. ἔτι διελόντι οἱ ἀπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ ἄρα πρὸσ τὸν ὑπὸ ΔΕ, ΕΖ πρῶτοί εἰσιν. καί ἐστιν ὁ μὲν ἀπὸ τοῦ ΔΕ ὁ Α, ὁ δὲ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ ὁ Β, ὁ δὲ ἀπὸ τοῦ ΕΖ ὁ Γ. οἱ Α, Γ ἄρα συντεθέντεσ πρὸσ τὸν Β πρῶτοί εἰσιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ ὦσιν, οὐκ ἔσται ὡσ ὁ πρῶτοσ πρὸσ τὸν δεύτερον, οὕτωσ ὁ δεύτεροσ πρὸσ ἄλλον τινά. Δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ ἔστωσαν· λέγω, ὅτι οὐκ ἔστιν ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β, οὕτωσ ὁ Β πρὸσ ἄλλον τινά. Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β, ὁ Β πρὸσ τὸν Γ. οἱ δὲ Α, Β πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ μετροῦσι τοὺσ τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντασ ἰσάκισ ὅ τε ἡγούμενοσ τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενοσ τὸν ἑπόμενον· μετρεῖ ἄρα ὁ Α τὸν Β ὡσ ἡγούμενοσ ἡγούμενον. μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτόν· ὁ Α ἄρα τοὺσ Α, Β μετρεῖ πρώτουσ ὄντασ πρὸσ ἀλλήλουσ· ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα ἔσται ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β, οὕτωσ ὁ Β πρὸσ τὸν Γ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ὦσιν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆσ ἀνάλογον, οἱ δὲ ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ ὦσιν, οὐκ ἔσται ὡσ ὁ πρῶτοσ πρὸσ τὸν δεύτερον, οὕτωσ ὁ ἔσχατοσ πρὸσ ἄλλον τινά. Ἔστωσαν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆσ ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ, οἱ δὲ ἄκροι αὐτῶν οἱ Α, Δ πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ ἔστωσαν· λέγω, ὅτι οὐκ ἔστιν ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β, οὕτωσ ὁ Δ πρὸσ ἄλλον τινά. Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β, οὕτωσ ὁ Δ πρὸσ τὸν Ε· ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Δ, ὁ Β πρὸσ τὸν Ε. οἱ δὲ Α, Δ πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ μετροῦσι τοὺσ τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντασ ἰσάκισ ὅ τε ἡγούμενοσ τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενοσ τὸν ἑπόμενον. μετρεῖ ἄρα ὁ Α τὸν Β. καί ἐστιν ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β, ὁ Β πρὸσ τὸν Γ. καὶ ὁ Β ἄρα τὸν Γ μετρεῖ· ὥστε καὶ ὁ Α τὸν Γ μετρεῖ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ὁ Β πρὸσ τὸν Γ, ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ, μετρεῖ δὲ ὁ Β τὸν Γ, μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Γ τὸν Δ. ἀλλ’ ὁ Α τὸν Γ ἐμέτρει· ὥστε ὁ Α καὶ τὸν Δ μετρεῖ. μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτόν. ὁ Α ἄρα τοὺσ Α, Δ μετρεῖ πρώτουσ ὄντασ πρὸσ ἀλλήλουσ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἔσται ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β, οὕτωσ ὁ Δ πρὸσ ἄλλον τινά· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Δύο ἀριθμῶν δοθέντων ἐπισκέψασθαι, εἰ δυνατόν ἐστιν αὐτοῖσ τρίτον ἀνάλογον προσευρεῖν. Ἔστωσαν οἱ δοθέντεσ δύο ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, καὶ δέον ἔστω ἐπισκέψασθαι, εἰ δυνατόν ἐστιν αὐτοῖσ τρίτον ἀνάλογον προσευρεῖν. Οἱ δὴ Α, Β ἤτοι πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσὶν ἢ οὔ. καὶ εἰ πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν, δέδεικται, ὅτι ἀδύνατόν ἐστιν αὐτοῖσ τρίτον ἀνάλογον προσευρεῖν. Ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστωσαν οἱ Α, Β πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ, καὶ ὁ Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσασ τὸν Γ ποιείτω· ὁ Α δὴ τὸν Γ ἤτοι μετρεῖ ἢ οὐ μετρεῖ. μετρείτω πρότερον κατὰ τὸν Δ· ὁ Α ἄρα τὸν Δ πολλαπλασιάσασ τὸν Γ πεποίηκεν. ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσασ τὸν Γ πεποίηκεν· ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Δ ἴσοσ ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ Β. ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β, ὁ Β πρὸσ τὸν Δ· τοῖσ Α, Β ἄρα τρίτοσ ἀριθμὸσ ἀνάλογον προσηύρηται ὁ Δ. Ἀλλὰ δὴ μὴ μετρείτω ὁ Α τὸν Γ· λέγω, ὅτι τοῖσ Α, Β ἀδύνατόν ἐστι τρίτον ἀνάλογον προσευρεῖν ἀριθμόν. εἰ γὰρ δυνατόν, προσηυρήσθω ὁ Δ. ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Δ ἴσοσ ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ Β. ὁ δὲ ἀπὸ τοῦ Β ἐστιν ὁ Γ· ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Δ ἴσοσ ἐστὶ τῷ Γ. ὥστε ὁ Α τὸν Δ πολλαπλασιάσασ τὸν Γ πεποίηκεν· ὁ Α ἄρα τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὸν Δ. ἀλλὰ μὴν ὑπόκειται καὶ μὴ μετρῶν· ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα δυνατόν ἐστι τοῖσ Α, Β τρίτον ἀνάλογον προσευρεῖν ἀριθμόν, ὅταν ὁ Α τὸν Γ μὴ μετρῇ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τριῶν ἀριθμῶν δοθέντων ἐπισκέψασθαι, πότε δυνατόν ἐστιν αὐτοῖσ τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν. Ἔστωσαν οἱ δοθέντεσ τρεῖσ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ, καὶ δέον ἔστω ἐπισκέψασθαι, πότε δυνατόν ἐστιν αὐτοῖσ τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν. Ἤτοι οὖν οὔκ εἰσιν ἑξῆσ ἀνάλογον, καὶ οἱ ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν, ἢ ἑξῆσ εἰσιν ἀνάλογον, καὶ οἱ ἄκροι αὐτῶν οὔκ εἰσι πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ, ἢ οὔτε ἑξῆσ εἰσιν ἀνάλογον, οὔτε οἱ ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν, ἢ καὶ ἑξῆσ εἰσιν ἀνάλογον, καὶ οἱ ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν. Εἰ μὲν οὖν οἱ Α, Β, Γ ἑξῆσ εἰσιν ἀνάλογον, καὶ οἱ ἄκροι αὐτῶν οἱ Α, Γ πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν, δέδεικται, ὅτι ἀδύνατόν ἐστιν αὐτοῖσ τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν ἀριθμόν. μὴ ἔστωσαν δὴ οἱ Α, Β, Γ ἑξῆσ ἀνάλογον τῶν ἄκρων πάλιν ὄντων πρώτων πρὸσ ἀλλήλουσ. λέγω, ὅτι καὶ οὕτωσ ἀδύνατόν ἐστιν αὐτοῖσ τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν. εἰ γὰρ δυνατόν, προσευρήσθω ὁ Δ, ὥστε εἶναι ὡσ τὸν Α πρὸσ τὸν Β, τὸν Γ πρὸσ τὸν Δ, καὶ γεγονέτω ὡσ ὁ Β πρὸσ τὸν Γ, ὁ Δ πρὸσ τὸν Ε. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ μὲν ὁ Α πρὸσ τὸν Β, ὁ Γ πρὸσ τὸν Δ, ὡσ δὲ ὁ Β πρὸσ τὸν Γ, ὁ Δ πρὸσ τὸν Ε, δι’ ἴσου ἄρα ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Γ, ὁ Γ πρὸσ τὸν Ε. οἱ δὲ Α, Γ πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺσ τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντασ ὅ τε ἡγούμενοσ τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενοσ τὸν ἑπόμενον. μετρεῖ ἄρα ὁ Α τὸν Γ ὡσ ἡγούμενοσ ἡγούμενον. μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτόν· ὁ Α ἄρα τοὺσ Α, Γ μετρεῖ πρώτουσ ὄντασ πρὸσ ἀλλήλουσ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τοῖσ Α, Β, Γ δυνατόν ἐστι τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν. Ἀλλὰ δὴ πάλιν ἔστωσαν οἱ Α, Β, Γ ἑξῆσ ἀνάλογον, οἱ δὲ Α, Γ μὴ ἔστωσαν πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ. λέγω, ὅτι δυνατόν ἐστιν αὐτοῖσ τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν. ὁ γὰρ Β τὸν Γ πολλαπλασιάσασ τὸν Δ ποιείτω· ὁ Α ἄρα τὸν Δ ἤτοι μετρεῖ ἢ οὐ μετρεῖ. μετρείτω αὐτὸν πρότερον κατὰ τὸν Ε· ὁ Α ἄρα τὸν Ε πολλαπλασιάσασ τὸν Δ πεποίηκεν. ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Β τὸν Γ πολλαπλασιάσασ τὸν Δ πεποίηκεν· ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Ε ἴσοσ ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Β, Γ. ἀνάλογον ἄρα [ἐστὶν] ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Β, ὁ Γ πρὸσ τὸν Ε· τοῖσ Α, Β, Γ ἄρα τέταρτοσ ἀνάλογον προσηύρηται ὁ Ε. Ἀλλὰ δὴ μὴ μετρείτω ὁ Α τὸν Δ· λέγω, ὅτι ἀδύνατόν ἐστι τοῖσ Α, Β, Γ τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν ἀριθμόν. εἰ γὰρ δυνατόν, προσευρήσθω ὁ Ε· ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Ε ἴσοσ ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Β, Γ. ἀλλὰ ὁ ἐκ τῶν Β, Γ ἐστιν ὁ Δ· καὶ ὁ ἐκ τῶν Α, Ε ἄρα ἴσοσ ἐστὶ τῷ Δ. ὁ Α ἄρα τὸν Ε πολλαπλασιάσασ τὸν Δ πεποίηκεν· ὁ Α ἄρα τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὸν Ε· ὥστε μετρεῖ ὁ Α τὸν Δ. ἀλλὰ καὶ οὐ μετρεῖ· ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα δυνατόν ἐστι τοῖσ Α, Β, Γ τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν ἀριθμόν, ὅταν ὁ Α τὸν Δ μὴ μετρῇ. ἀλλὰ δὴ οἱ Α, Β, Γ μήτε ἑξῆσ ἔστωσαν ἀνάλογον μήτε οἱ ἄκροι πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ. καὶ ὁ Β τὸν Γ πολλαπλασιάσασ τὸν Δ ποιείτω. ὁμοίωσ δὴ δειχθήσεται, ὅτι εἰ μὲν μετρεῖ ὁ Α τὸν Δ, δυνατόν ἐστιν αὐτοῖσ ἀνάλογον προσευρεῖν, εἰ δὲ οὐ μετρεῖ, ἀδύνατον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Οἱ πρῶτοι ἀριθμοὶ πλείουσ εἰσὶ παντὸσ τοῦ προτεθέντοσ πλήθουσ πρώτων ἀριθμῶν. Ἔστωσαν οἱ προτεθέντεσ πρῶτοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ· λέγω, ὅτι τῶν Α, Β, Γ πλείουσ εἰσὶ πρῶτοι ἀριθμοί. Εἰλήφθω γὰρ ὁ ὑπὸ τῶν Α, Β, Γ ἐλάχιστοσ μετρούμενοσ καὶ ἔστω ὁ ΔΕ, καὶ προσκείσθω τῷ ΔΕ μονὰσ ἡ ΔΖ. ὁ δὴ ΕΖ ἤτοι πρῶτόσ ἐστιν ἢ οὔ. ἔστω πρότερον πρῶτοσ· εὑρημένοι ἄρα εἰσὶ πρῶτοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ, ΕΖ πλείουσ τῶν Α, Β, Γ. Ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω ὁ ΕΖ πρῶτοσ· ὑπὸ πρώτου ἄρα τινὸσ ἀριθμοῦ μετρεῖται. μετρείσθω ὑπὸ πρώτου τοῦ Η· λέγω, ὅτι ὁ Η οὐδενὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτόσ. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω. οἱ δὲ Α, Β, Γ τὸν ΔΕ μετροῦσιν· καὶ ὁ Η ἄρα τὸν ΔΕ μετρήσει. μετρεῖ δὲ καὶ τὸν ΕΖ· καὶ λοιπὴν τὴν ΔΖ μονάδα μετρήσει ὁ Η ἀριθμὸσ ὤν· ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα ὁ Η ἑνὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτόσ. καὶ ὑπόκειται πρῶτοσ. εὑρημένοι ἄρα εἰσὶ πρῶτοι ἀριθμοὶ πλείουσ τοῦ προτεθέντοσ πλήθουσ τῶν Α, Β, Γ οἱ Α, Β, Γ, Η· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ἄρτιοι ἀριθμοὶ ὁποσοιοῦν συντεθῶσιν, ὁ ὅλοσ ἄρτιόσ ἐστιν. Συγκείσθωσαν γὰρ ἄρτιοι ἀριθμοὶ ὁποσοιοῦν οἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ· λέγω, ὅτι ὅλοσ ὁ ΑΕ ἄρτιόσ ἐστιν. Ἐπεὶ γὰρ ἕκαστοσ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ ἄρτιόσ ἐστιν, ἔχει μέροσ ἥμισυ· ὥστε καὶ ὅλοσ ὁ ΑΕ ἔχει μέροσ ἥμισυ. ἄρτιοσ δὲ ἀριθμόσ ἐστιν ὁ δίχα διαιρούμενοσ· ἄρτιοσ ἄρα ἐστὶν ὁ ΑΕ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν περισσοὶ ἀριθμοὶ ὁποσοιοῦν συντεθῶσιν, τὸ δὲ πλῆθοσ αὐτῶν ἄρτιον ᾖ, ὁ ὅλοσ ἄρτιοσ ἔσται. Συγκείσθωσαν γὰρ περισσοὶ ἀριθμοὶ ὁσοιδηποτοῦν ἄρτιοι τὸ πλῆθοσ οἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ· λέγω, ὅτι ὅλοσ ὁ ΑΕ ἄρτιόσ ἐστιν. Ἐπεὶ γὰρ ἕκαστοσ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ περιττόσ ἐστιν, ἀφαιρεθείσησ μονάδοσ ἀφ’ ἑκάστου ἕκαστοσ τῶν λοιπῶν ἄρτιοσ ἔσται· ὥστε καὶ ὁ συγκείμενοσ ἐξ αὐτῶν ἄρτιοσ ἔσται. ἔστι δὲ καὶ τὸ πλῆθοσ τῶν μονάδων ἄρτιον. καὶ ὅλοσ ἄρα ὁ ΑΕ ἄρτιόσ ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν περισσοὶ ἀριθμοὶ ὁποσοιοῦν συντεθῶσιν, τὸ δὲ πλῆθοσ αὐτῶν περισσὸν ᾖ, καὶ ὁ ὅλοσ περισσὸσ ἔσται. Συγκείσθωσαν γὰρ ὁποσοιοῦν περισσοὶ ἀριθμοί, ὧν τὸ πλῆθοσ περισσὸν ἔστω, οἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ· λέγω, ὅτι καὶ ὅλοσ ὁ ΑΔ περισσόσ ἐστιν. Ἀφῃρήσθω ἀπὸ τοῦ ΓΔ μονὰσ ἡ ΔΕ· λοιπὸσ ἄρα ὁ ΓΕ ἄρτιόσ ἐστιν. ἔστι δὲ καὶ ὁ ΓΑ ἄρτιοσ· καὶ ὅλοσ ἄρα ὁ ΑΕ ἄρτιόσ ἐστιν. καί ἐστι μονὰσ ἡ ΔΕ. περισσὸσ ἄρα ἐστὶν ὁ ΑΔ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ἀπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ ἄρτιοσ ἀφαιρεθῇ, ὁ λοιπὸσ ἄρτιοσ ἔσται. Ἀπὸ γὰρ ἀρτίου τοῦ ΑΒ ἄρτιοσ ἀφῃρήσθω ὁ ΒΓ· λέγω, ὅτι ὁ λοιπὸσ ὁ ΓΑ ἄρτιόσ ἐστιν. Ἐπεὶ γὰρ ὁ ΑΒ ἄρτιόσ ἐστιν, ἔχει μέροσ ἥμισυ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ ΒΓ ἔχει μέροσ ἥμισυ· ὥστε καὶ λοιπὸσ [ὁ ΓΑ ἔχει μέροσ ἥμισυ] ἄρτιοσ [ἄρα] ἐστὶν ὁ ΑΓ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ἀπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ περισσὸσ ἀφαιρεθῇ, ὁ λοιπὸσ περισσὸσ ἔσται. Ἀπὸ γὰρ ἀρτίου τοῦ ΑΒ περισσὸσ ἀφῃρήσθω ὁ ΒΓ· λέγω, ὅτι ὁ λοιπὸσ ὁ ΓΑ περισσόσ ἐστιν. Ἀφῃρήσθω γὰρ ἀπὸ τοῦ ΒΓ μονὰσ ἡ ΓΔ· ὁ ΔΒ ἄρα ἄρτιόσ ἐστιν. ἔστι δὲ καὶ ὁ ΑΒ ἄρτιοσ· καὶ λοιπὸσ ἄρα ὁ ΑΔ ἄρτιόσ ἐστιν. καί ἐστι μονὰσ ἡ ΓΔ· ὁ ΓΑ ἄρα περισσόσ ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ἀπὸ περισσοῦ ἀριθμοῦ περισσὸσ ἀφαιρεθῇ, ὁ λοιπὸσ ἄρτιοσ ἔσται. Ἀπὸ γὰρ περισσοῦ τοῦ ΑΒ περισσὸσ ἀφῃρήσθω ὁ ΒΓ· λέγω, ὅτι ὁ λοιπὸσ ὁ ΓΑ ἄρτιόσ ἐστιν. Ἐπεὶ γὰρ ὁ ΑΒ περισσόσ ἐστιν, ἀφῃρήσθω μονὰσ ἡ ΒΔ· λοιπὸσ ἄρα ὁ ΑΔ ἄρτιόσ ἐστιν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ ΓΔ ἄρτιόσ ἐστιν· ὥστε καὶ λοιπὸσ ὁ ΓΑ ἄρτιόσ ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ἀπὸ περισσοῦ ἀριθμοῦ ἄρτιοσ ἀφαιρεθῇ, ὁ λοιπὸσ περισσὸσ ἔσται. Ἀπὸ γὰρ περισσοῦ τοῦ ΑΒ ἄρτιοσ ἀφῃρήσθω ὁ ΒΓ· λέγω, ὅτι ὁ λοιπὸσ ὁ ΓΑ περισσόσ ἐστιν. Ἀφῃρήσθω [γὰρ] μονὰσ ἡ ΑΔ· ὁ ΔΒ ἄρα ἄρτιόσ ἐστιν. ἔστι δὲ καὶ ὁ ΒΓ ἄρτιοσ· καὶ λοιπὸσ ἄρα ὁ ΓΔ ἄρτιόσ ἐστιν. περισσὸσ ἄρα ὁ ΓΑ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν περισσὸσ ἀριθμὸσ ἄρτιον πολλαπλασιάσασ ποιῇ τινα, ὁ γενόμενοσ ἄρτιοσ ἔσται. Περισσὸσ γὰρ ἀριθμὸσ ὁ Α ἄρτιον τὸν Β πολλαπλασιάσασ τὸν Γ ποιείτω· λέγω, ὅτι ὁ Γ ἄρτιόσ ἐστιν. ἐπεὶ γὰρ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσασ τὸν Γ πεποίηκεν, ὁ Γ ἄρα σύγκειται ἐκ τοσούτων ἴσων τῷ Β, ὅσαι εἰσὶν ἐν τῷ Α μονάδεσ. καί ἐστιν ὁ Β ἄρτιοσ· ὁ Γ ἄρα σύγκειται ἐξ ἀρτίων. ἐὰν δὲ ἄρτιοι ἀριθμοὶ ὁποσοιοῦν συντεθῶσιν, ὁ ὅλοσ ἄρτιόσ ἐστιν. ἄρτιοσ ἄρα ἐστὶν ὁ Γ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν περισσὸσ ἀριθμὸσ περισσὸν ἀριθμὸν πολλαπλασιάσασ ποιῇ τινα, ὁ γενόμενοσ περισσὸσ ἔσται. Περισσὸσ γὰρ ἀριθμὸσ ὁ Α περισσὸν τὸν Β πολλαπλασιάσασ τὸν Γ ποιείτω· λέγω, ὅτι ὁ Γ περισσόσ ἐστιν. Ἐπεὶ γὰρ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσασ τὸν Γ πεποίηκεν, ὁ Γ ἄρα σύγκειται ἐκ τοσούτων ἴσων τῷ Β, ὅσαι εἰσὶν ἐν τῷ Α μονάδεσ. καί ἐστιν ἑκάτεροσ τῶν Α, Β περισσόσ· ὁ Γ ἄρα σύγκειται ἐκ περισσῶν ἀριθμῶν, ὧν τὸ πλῆθοσ περισσόν ἐστιν. ὥστε ὁ Γ περισσόσ ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν περισσὸσ ἀριθμὸσ ἄρτιον ἀριθμὸν μετρῇ, καὶ τὸν ἥμισυν αὐτοῦ μετρήσει. Περισσὸσ γὰρ ἀριθμὸσ ὁ Α ἄρτιον τὸν Β μετρείτω· λέγω, ὅτι καὶ τὸν ἥμισυν αὐτοῦ μετρήσει. Ἐπεὶ γὰρ ὁ Α τὸν Β μετρεῖ, μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Γ· λέγω, ὅτι ὁ Γ οὐκ ἔστι περισσόσ. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω. καὶ ἐπεὶ ὁ Α τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὸν Γ, ὁ Α ἄρα τὸν Γ πολλαπλασιάσασ τὸν Β πεποίηκεν. ὁ Β ἄρα σύγκειται ἐκ περισσῶν ἀριθμῶν, ὧν τὸ πλῆθοσ περισσόν ἐστιν. ὁ Β ἄρα περισσόσ ἐστιν· ὅπερ ἄτοπον· ὑπόκειται γὰρ ἄρτιοσ. οὐκ ἄρα ὁ Γ περισσόσ ἐστιν· ἄρτιοσ ἄρα ἐστὶν ὁ Γ. ὥστε ὁ Α τὸν Β μετρεῖ ἀρτιάκισ. διὰ δὴ τοῦτο καὶ τὸν ἥμισυν αὐτοῦ μετρήσει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν περισσὸσ ἀριθμὸσ πρόσ τινα ἀριθμὸν πρῶτοσ ᾖ, καὶ πρὸσ τὸν διπλασίονα αὐτοῦ πρῶτοσ ἔσται. Περισσὸσ γὰρ ἀριθμὸσ ὁ Α πρόσ τινα ἀριθμὸν τὸν Β πρῶτοσ ἔστω, τοῦ δὲ Β διπλασίων ἔστω ὁ Γ· λέγω, ὅτι ὁ Α [καὶ] πρὸσ τὸν Γ πρῶτόσ ἐστιν. Εἰ γὰρ μή εἰσιν [οἱ Α, Γ] πρῶτοι, μετρήσει τισ αὐτοὺσ ἀριθμόσ. μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Δ. καί ἐστιν ὁ Α περισσόσ· περισσὸσ ἄρα καὶ ὁ Δ. καὶ ἐπεὶ ὁ Δ περισσὸσ ὢν τὸν Γ μετρεῖ, καί ἐστιν ὁ Γ ἄρτιοσ, καὶ τὸν ἥμισυν ἄρα τοῦ Γ μετρήσει [ὁ Δ]. τοῦ δὲ Γ ἥμισύ ἐστιν ὁ Β· ὁ Δ ἄρα τὸν Β μετρεῖ. μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Α. ὁ Δ ἄρα τοὺσ Α, Β μετρεῖ πρώτουσ ὄντασ πρὸσ ἀλλήλουσ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ὁ Α πρὸσ τὸν Γ πρῶτοσ οὔκ ἐστιν. οἱ Α, Γ ἄρα πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Τῶν ἀπὸ δυάδοσ διπλασιαζομένων ἀριθμῶν ἕκαστοσ ἀρτιάκισ ἄρτιόσ ἐστι μόνον. Ἀπὸ γὰρ δυάδοσ τῆσ Α δεδιπλασιάσθωσαν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ οἱ Β, Γ, Δ· λέγω, ὅτι οἱ Β, Γ, Δ ἀρτιάκισ ἄρτιοί εἰσι μόνον. Ὅτι μὲν οὖν ἕκαστοσ [τῶν Β, Γ, Δ] ἀρτιάκισ ἄρτιόσ ἐστιν, φανερόν· ἀπὸ γὰρ δυάδοσ ἐστὶ διπλασιασθείσ. λέγω, ὅτι καὶ μόνον. ἐκκείσθω γὰρ μονάσ. ἐπεὶ οὖν ἀπὸ μονάδοσ ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆσ ἀνάλογόν εἰσιν, ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα ὁ Α πρῶτόσ ἐστιν, ὁ μέγιστοσ τῶν Α, Β, Γ, Δ ὁ Δ ὑπ’ οὐδενὸσ ἄλλου μετρηθήσεται παρὲξ τῶν Α, Β, Γ. καί ἐστιν ἕκαστοσ τῶν Α, Β, Γ ἄρτιοσ· ὁ Δ ἄρα ἀρτιάκισ ἄρτιόσ ἐστι μόνον. ὁμοίωσ δὴ δείξομεν, ὅτι [καὶ] ἑκάτεροσ τῶν Β, Γ ἀρτιάκισ ἄρτιόσ ἐστι μόνον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ἀριθμὸσ τὸν ἥμισυν ἔχῃ περισσόν, ἀρτιάκισ περισσόσ ἐστι μόνον. Ἀριθμὸσ γὰρ ὁ Α τὸν ἥμισυν ἐχέτω περισσόν· λέγω, ὅτι ὁ Α ἀρτιάκισ περισσόσ ἐστι μόνον. Ὅτι μὲν οὖν ἀρτιάκισ περισσόσ ἐστιν, φανερόν· ὁ γὰρ ἥμισυσ αὐτοῦ περισσὸσ ὢν μετρεῖ αὐτὸν ἀρτιάκισ. λέγω δή, ὅτι καὶ μόνον. εἰ γὰρ ἔσται ὁ Α καὶ ἀρτιάκισ ἄρτιοσ, μετρηθήσεται ὑπὸ ἀρτίου κατὰ ἄρτιον ἀριθμόν· ὥστε καὶ ὁ ἥμισυσ αὐτοῦ μετρηθήσεται ὑπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ περισσὸσ ὤν· ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον. ὁ Α ἄρα ἀρτιάκισ περισσόσ ἐστι μόνον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ἀριθμὸσ μήτε τῶν ἀπὸ δυάδοσ διπλασιαζομένων ᾖ μήτε τὸν ἥμισυν ἔχῃ περισσόν, ἀρτιάκισ τε ἄρτιόσ ἐστι καὶ ἀρτιάκισ περισσόσ. Ἀριθμὸσ γὰρ ὁ Α μήτε τῶν ἀπὸ δυάδοσ διπλασιαζομένων ἔστω μήτε τὸν ἥμισυν ἐχέτω περισσόν· λέγω, ὅτι ὁ Α ἀρτιάκισ τέ ἐστιν ἄρτιοσ καὶ ἀρτιάκισ περισσόσ. Ὅτι μὲν οὖν ὁ Α ἀρτιάκισ ἐστὶν ἄρτιοσ, φανερόν· τὸν γὰρ ἥμισυν οὐκ ἔχει περισσόν. λέγω δή, ὅτι καὶ ἀρτιάκισ περισσόσ ἐστιν. ἐὰν γὰρ τὸν Α τέμνωμεν δίχα καὶ τὸν ἥμισυν αὐτοῦ δίχα καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιῶμεν, καταντήσομεν εἴσ τινα ἀριθμὸν περισσόν, ὃσ μετρήσει τὸν Α κατὰ ἄρτιον ἀριθμόν. εἰ γὰρ οὔ, καταντήσομεν εἰσ δυάδα, καὶ ἔσται ὁ Α τῶν ἀπὸ δυάδοσ διπλασιαζομένων· ὅπερ οὐχ ὑπόκειται. ὥστε ὁ Α ἀρτιάκισ περισσόσ ἐστιν. ἐδείχθη δὲ καὶ ἀρτιάκισ ἄρτιοσ. ὁ Α ἄρα ἀρτιάκισ τε ἄρτιόσ ἐστι καὶ ἀρτιάκισ περισσόσ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ὦσιν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆσ ἀνάλογον, ἀφαιρεθῶσι δὲ ἀπό τε τοῦ δευτέρου καὶ τοῦ ἐσχάτου ἴσοι τῷ πρώτῳ, ἔσται ὡσ ἡ τοῦ δευτέρου ὑπεροχὴ πρὸσ τὸν πρῶτον, οὕτωσ ἡ τοῦ ἐσχάτου ὑπεροχὴ πρὸσ τοὺσ πρὸ ἑαυτοῦ πάντασ. Ἔστωσαν ὁποσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆσ ἀνάλογον οἱ Α, ΒΓ, Δ, ΕΖ ἀρχόμενοι ἀπὸ ἐλαχίστου τοῦ Α, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τοῦ ΒΓ καὶ τοῦ ΕΖ τῷ Α ἴσοσ ἑκάτεροσ τῶν ΒΗ, ΖΘ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡσ ὁ ΗΓ πρὸσ τὸν Α, οὕτωσ ὁ ΕΘ πρὸσ τοὺσ Α, ΒΓ, Δ. Κείσθω γὰρ τῷ μὲν ΒΓ ἴσοσ ὁ ΖΚ, τῷ δὲ Δ ἴσοσ ὁ ΖΛ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΖΚ τῷ ΒΓ ἴσοσ ἐστίν, ὧν ὁ ΖΘ τῷ ΒΗ ἴσοσ ἐστίν, λοιπὸσ ἄρα ὁ ΘΚ λοιπῷ τῷ ΗΓ ἐστιν ἴσοσ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡσ ὁ ΕΖ πρὸσ τὸν Δ, οὕτωσ ὁ Δ πρὸσ τὸν ΒΓ καὶ ὁ ΒΓ πρὸσ τὸν Α, ἴσοσ δὲ ὁ μὲν Δ τῷ ΖΛ, ὁ δὲ ΒΓ τῷ ΖΚ, ὁ δὲ Α τῷ ΖΘ, ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ ΕΖ πρὸσ τὸν ΖΛ, οὕτωσ ὁ ΛΖ πρὸσ τὸν ΖΚ καὶ ὁ ΖΚ πρὸσ τὸν ΖΘ. διελόντι, ὡσ ὁ ΕΛ πρὸσ τὸν ΛΖ, οὕτωσ ὁ ΛΚ πρὸσ τὸν ΖΚ καὶ ὁ ΚΘ πρὸσ τὸν ΖΘ. ἔστιν ἄρα καὶ ὡσ εἷσ τῶν ἡγουμένων πρὸσ ἕνα τῶν ἑπομένων, οὕτωσ ἅπαντεσ οἱ ἡγούμενοι πρὸσ ἅπαντασ τοὺσ ἑπομένουσ· ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ ΚΘ πρὸσ τὸν ΖΘ, οὕτωσ οἱ ΕΛ, ΛΚ, ΚΘ πρὸσ τοὺσ ΛΖ, ΖΚ, ΘΖ. ἴσοσ δὲ ὁ μὲν ΚΘ τῷ ΓΗ, ὁ δὲ ΖΘ τῷ Α, οἱ δὲ ΛΖ, ΖΚ, ΘΖ τοῖσ Δ, ΒΓ, Α· ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ ΓΗ πρὸσ τὸν Α, οὕτωσ ὁ ΕΘ πρὸσ τοὺσ Δ, ΒΓ, Α. ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ τοῦ δευτέρου ὑπεροχὴ πρὸσ τὸν πρῶτον, οὕτωσ ἡ τοῦ ἐσχάτου ὑπεροχὴ πρὸσ τοὺσ πρὸ ἑαυτοῦ πάντασ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Εἂν ἀπὸ μονάδοσ ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆσ ἐκτεθῶσιν ἐν τῇ διπλασίονι ἀναλογίᾳ, ἑώσ οὗ ὁ σύμπασ συντεθεὶσ πρῶτοσ γένηται, καὶ ὁ σύμπασ ἐπὶ τὸν ἔσχατον πολλαπλασιασθεὶσ ποιῇ τινα, ὁ γενόμενοσ τέλειοσ ἔσται. Ἀπὸ γὰρ μονάδοσ ἐκκείσθωσαν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἐν τῇ διπλασίονι ἀναλογίᾳ, ἑώσ οὗ ὁ σύμπασ συντεθεὶσ πρῶτοσ γένηται, οἱ Α, Β, Γ, Δ, καὶ τῷ σύμπαντι ἴσοσ ἔστω ὁ Ε, καὶ ὁ Ε τὸν Δ πολλαπλασιάσασ τὸν ΖΗ ποιείτω. λέγω, ὅτι ὁ ΖΗ τέλειόσ ἐστιν. Ὅσοι γάρ εἰσιν οἱ Α, Β, Γ, Δ τῷ πλήθει, τοσοῦτοι ἀπὸ τοῦ Ε εἰλήφθωσαν ἐν τῇ διπλασίονι ἀναλογίᾳ οἱ Ε, ΘΚ, Λ, Μ· δι’ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡσ ὁ Α πρὸσ τὸν Δ, οὕτωσ ὁ Ε πρὸσ τὸν Μ. ὁ ἄρα ἐκ τῶν Ε, Δ ἴσοσ ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Α, Μ. καί ἐστιν ὁ ἐκ τῶν Ε, Δ ὁ ΖΗ· καὶ ὁ ἐκ τῶν Α, Μ ἄρα ἐστὶν ὁ ΖΗ. ὁ Α ἄρα τὸν Μ πολλαπλασιάσασ τὸν ΖΗ πεποίηκεν· ὁ Μ ἄρα τὸν ΖΗ μετρεῖ κατὰ τὰσ ἐν τῷ Α μονάδασ. καί ἐστι δυὰσ ὁ Α· διπλάσιοσ ἄρα ἐστὶν ὁ ΖΗ τοῦ Μ. εἰσὶ δὲ καὶ οἱ Μ, Λ, ΘΚ, Ε ἑξῆσ διπλάσιοι ἀλλήλων· οἱ Ε, ΘΚ, Λ, Μ, ΖΗ ἄρα ἑξῆσ ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τῇ διπλασίονι ἀναλογίᾳ. ἀφῃρήσθω δὴ ἀπὸ τοῦ δευτέρου τοῦ ΘΚ καὶ τοῦ ἐσχάτου τοῦ ΖΗ τῷ πρώτῳ τῷ Ε ἴσοσ ἑκάτεροσ τῶν ΘΝ, ΖΞ· ἔστιν ἄρα ὡσ ἡ τοῦ δευτέρου ἀριθμοῦ ὑπεροχὴ πρὸσ τὸν πρῶτον, οὕτωσ ἡ τοῦ ἐσχάτου ὑπεροχὴ πρὸσ τοὺσ πρὸ ἑαυτοῦ πάντασ. ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ ΝΚ πρὸσ τὸν Ε, οὕτωσ ὁ ΞΗ πρὸσ τοὺσ Μ, Λ, ΚΘ, Ε. καί ἐστιν ὁ ΝΚ ἴσοσ τῷ Ε· καὶ ὁ ΞΗ ἄρα ἴσοσ ἐστὶ τοῖσ Μ, Λ, ΘΚ, Ε. ἔστι δὲ καὶ ὁ ΖΞ τῷ Ε ἴσοσ, ὁ δὲ Ε τοῖσ Α, Β, Γ, Δ καὶ τῇ μονάδι. ὅλοσ ἄρα ὁ ΖΗ ἴσοσ ἐστὶ τοῖσ τε Ε, ΘΚ, Λ, Μ καὶ τοῖσ Α, Β, Γ, Δ καὶ τῇ μονάδι· καὶ μετρεῖται ὑπ’ αὐτῶν. λέγω, ὅτι καὶ ὁ ΖΗ ὑπ’ οὐδενὸσ ἄλλου μετρηθήσεται παρὲξ τῶν Α, Β, Γ, Δ, Ε, ΘΚ, Λ, Μ καὶ τῆσ μονάδοσ. εἰ γὰρ δυνατόν, μετρείτω τισ τὸν ΖΗ ὁ Ο, καὶ ὁ Ο μηδενὶ τῶν Α, Β, Γ, Δ, Ε, ΘΚ, Λ, Μ ἔστω ὁ αὐτόσ. καὶ ὁσάκισ ὁ Ο τὸν ΖΗ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδεσ ἔστωσαν ἐν τῷ Π· ὁ Π ἄρα τὸν Ο πολλαπλασιάσασ τὸν ΖΗ πεποίηκεν. ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Ε τὸν Δ πολλαπλασιάσασ τὸν ΖΗ πεποίηκεν· ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Ε πρὸσ τὸν Π, ὁ Ο πρὸσ τὸν Δ. καὶ ἐπεὶ ἀπὸ μονάδοσ ἑξῆσ ἀνάλογόν εἰσιν οἱ Α, Β, Γ, Δ, ὁ Δ ἄρα ὑπ’ οὐδενὸσ ἄλλου ἀριθμοῦ μετρηθήσεται παρὲξ τῶν Α, Β, Γ. καὶ ὑπόκειται ὁ Ο οὐδενὶ τῶν Α, Β, Γ ὁ αὐτόσ· οὐκ ἄρα μετρήσει ὁ Ο τὸν Δ. ἀλλ’ ὡσ ὁ Ο πρὸσ τὸν Δ, ὁ Ε πρὸσ τὸν Π· οὐδὲ ὁ Ε ἄρα τὸν Π μετρεῖ. καί ἐστιν ὁ Ε πρῶτοσ· πᾶσ δὲ πρῶτοσ ἀριθμὸσ πρὸσ ἅπαντα, ὃν μὴ μετρεῖ, πρῶτοσ [ἐστιν]. οἱ Ε, Π ἄρα πρῶτοι πρὸσ ἀλλήλουσ εἰσίν. οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺσ τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντασ ἰσάκισ ὅ τε ἡγούμενοσ τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενοσ τὸν ἑπόμενον· καί ἐστιν ὡσ ὁ Ε πρὸσ τὸν Π, ὁ Ο πρὸσ τὸν Δ· ἰσάκισ ἄρα ὁ Ε τὸν Ο μετρεῖ καὶ ὁ Π τὸν Δ· ἰσάκισ ἄρα ὁ Ε τὸν Ο μετρεῖ καὶ ὁ Π τὸν Δ. ὁ δὲ Δ ὑπ’ οὐδενὸσ ἄλλου μετρεῖται παρὲξ τῶν Α, Β, Γ· ὁ Π ἄρα ἑνὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτόσ. ἔστω τῷ Β ὁ αὐτόσ. καὶ ὅσοι εἰσὶν οἱ Β, Γ, Δ τῷ πλήθει τοσοῦτοι εἰλήφθωσαν ἀπὸ τοῦ Ε οἱ Ε, ΘΚ, Λ. καί εἰσιν οἱ Ε, ΘΚ, Λ τοῖσ Β, Γ, Δ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ· δι’ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡσ ὁ Β πρὸσ τὸν Δ, ὁ Ε πρὸσ τὸν Λ. ὁ ἄρα ἐκ τῶν Β, Λ ἴσοσ ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Δ, Ε· ἀλλ’ ὁ ἐκ τῶν Δ, Ε ἴσοσ ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Π, Ο· καὶ ὁ ἐκ τῶν Π, Ο ἄρα ἴσοσ ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Β, Λ. ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Π πρὸσ τὸν Β, ὁ Λ πρὸσ τὸν Ο. καί ἐστιν ὁ Π τῷ Β ὁ αὐτόσ· καὶ ὁ Λ ἄρα τῷ Ο ἐστιν ὁ αὐτόσ· ὅπερ ἀδύνατον· ὁ γὰρ Ο ὑπόκειται μηδενὶ τῶν ἐκκειμένων ὁ αὐτόσ. οὐκ ἄρα τὸν ΖΗ μετρήσει τισ ἀριθμὸσ παρὲξ τῶν Α, Β, Γ, Δ, Ε, ΘΚ, Λ, Μ καὶ τῆσ μονάδοσ. καὶ ἐδείχθη ὁ ΖΗ τοῖσ Α, Β, Γ, Δ, Ε, ΘΚ, Λ, Μ καὶ τῇ μονάδι ἴσοσ. τέλειοσ δὲ ἀριθμόσ ἐστιν ὁ τοῖσ ἑαυτοῦ μέρεσιν ἴσοσ ὤν· τέλειοσ ἄρα ἐστὶν ὁ ΖΗ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.